IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget for x 1
Kovergesriterier for Ræer Når ma sal udersøge om e ræe S = med afsitssummer s =, N er overget eller ej og evt sal fide ræes sum s = lim s sal ma først og fremmest bruge si sude foruft og se om ræe er e edt ræe eller ved algebraise eller adre midler a briges på e form, hvor de a idetificeres som e edt ræe Hvis dette ie umiddelbart lyes a følgede værtøjer eller stadard metoder hvoraf de fleste er edte som overgesriterier, ofte være til stor ytte Det første værtøj er: Ræer med æste positive led Hvis 0 for store, ie for alle N hvor N N Da er ræe S overget hviss afsitsfølge (s ) er begræset og s = sup{s N} For sådae ræer bruger vi også udtryet < som syoymt med udsaget S er overget og udtryet = som syoymt med udsaget S er diverget Absolut overges Hvis ræe < siges ræe S at være absolut overget I såfald er S også overget og s s = Absolut overges er altså fiere eller stærere ed overges E ræe a godt være såaldt betiget overget dvs overget, me ie absolut overget Me hvis ræes led alle har det samme forteg for store og ræe ie er absolut overget, da er ræe heller ie overget Absolut overges går ige i æste alle overges riterier 2
(Græse) Sammeligigsriteriet Hvis b < er e overget ræe med positive led og der fides K > 0, N N med Kb for alle N Da er ræe S absolut overget og for alle N : s s K b Hvis b = er e diverget ræe med positive led og der fides K > 0, N N med b K for alle N Da er ræe S ie absolut overget, dvs = Itegralriteriet Hvis f(t)dt < hvor f : [N, [ ]0, [ er e aftagede positiv futio og for alle N : f(), da er ræe S absolut overget og N for alle N : s s f(t)dt Hvis derimod f(t)dt = hvor f : [N, [ ]0, [ er e aftagede loalt N itegrabel positiv futio og for alle N : f(), da er ræe S ie absolut overget Kvotietriteriet (u for 0 for store ) Hvis q s = lim sup < 1, da er da er S absolut overget Edvidere givet r, q s < r < 1 og N N med r for alle N, gælder der for alle N : s s a +1 r (+1) = a +1 1 r Hvis derimod q i = lim if > 1, da er da er S divverget 3
Hvis edelig q i 1 q s votietriteriet ie afgøre ræes overges Rodriteriet Lad q = lim sup a Hvis q < 1 da er S absolut overget Edvidere givet r, q s < r < 1 og N N med r for alle N gælder der for alle N : s s = r = r+1 1 r Hvis derimod 1 < q, da er S diverget Edelig hvis r = 1 a rodriteriet ie afgøre ræes overges Det er værd at bemære at rodriteriet er stærere ed votiet riteriet, hvilet er e oseves af følgede ulighed (for et bevis for dee se afsittet beviser og hevisiger edefor): lim if lim if a lim sup a lim sup (1) Ved første øjeast er det ie så emt at fide positive følger ( ) hvor fes lim sup < lim sup +1 Dette syldes at (1) viser at hvis a lim +1 esisterer da er lim = lim if = lim sup = lim E følge hvor ogle af ulighedere i (1) er sarpe sal altså have a lim if +1 a < lim sup +1 Her er et esempel, lad 0 < r < s og defier { r lige c = s ulige Da er lim if c +1 c = 0 < r = lim if c < lim sup c = s < = lim sup c +1 c 4
Kvotiet riteriet a derfor ie bruges til at afgøre om c er overget Derimod giver rodteste her lart svar Ræe er overget hviss s < 1 Idet log = 1 log er betigelse lim sup 1 i rodriteriet ævivalet med betigelse lim if log 1 0 Det følgede logaritme riterium er derfor stærere ed rodriteriet: Logaritmeriteriet (u for 0 for store ) Lad p = lim if log 1 log Hvis 1 < p da er S absolut overget Edvidere givet q, 1 < q < p og N N med 1/ q for alle N gælder der for alle N : s s Hvis derimod p < 1, da er S ie absolut overget, medes hvis p = 1 a logaritmeriteriet ie afgøre overgese Edelig har vi 1 q Derichlets riterie Atag der fides følger (b ) N og (c ) N så for alle N: = b c og således at c 0 samtidigt med at afsitssummere b er begræsede Da er summe S = = b c overget Edvidere givet K > 0, N N med b < M for alle N gælder 5
der for alle N : s s = 2Mc +1 Alteerede ræer Hvis ( ) er e aftagede følge med positive led, da er de alteerede ræe S = ( 1) +1 overget Edvidere gælder der at 0 ( 1) (s s ) = ( 1) ( 1) +1 a +1 Dvs reste er umeris midre ed det først bortastede led og har samme forteg som dette Beviser og hevisiger Lemma 1 For e hver følge ( ) N med positive led er lim if lim if a lim sup a lim sup Hvis specielt følge ( / ) er overget, da er lim = lim Bevis : Vi viser de højre ulighed, idet de midterste er triviel og de a vestre er aalog til de højre Lad q = lim sup +1 Hvis q = er højre ulighed opfyldt uaset værdie af lim sup Hvis 0 q < vil vi vise at for ethvert ɛ > 0 er lim sup a q + ɛ := r Højre ulighed følger da af Th 19 i Wade Af defiitioe på lim sup følger at der fides N N så for alle N : r For N har vi derfor r N a N = r (a N r N ) 6
Idet a N r N er e ostat følger det at lim sup a lim sup r (a N r N ) = r lim sup (an r N ) = r qed De yttige græseværdier som er ævt forrest er udledt i Wade s bog Lad mig dog vise styre af Lemma 1 ved at udlede disse græseværdier x 0 : ( + 1)!! + 1 1 = lim = 1 (2) = + 1 = lim! = (3) x +1! ( + 1)! x = x + 1 for x = 0 har vi umiddelbart lim 0 = lim 0 = 0! x! = 0, (4) x 0 : log (1 + x ) = 1 log(1 + x ) = xlog(1 + x ) log(1 + 0) x 0 = x d dt log(1 + t) t=0 = x 1 = x, = exp(log (1 + x ) ) = (1 + x ) e x (5) For x = 0 har vi umiddelbart (1 + 0 ) = 1 = e 0 for alle ( + 1)! ( + 1) +1! = 1 e 1! = lim (1 + 1 ) = e 1 (6) 7
Nyttige Futios Ræer e x = cos x = si x = =0 =0 =0 x! ( 1) x 2 2! x R ( 1) x 2+1 (2 + 1)! 1 1 x = x x < 1 log(1 + x) = (1 + x) α = =0 ( 1) x ( ) α x =0 x R x < 1 x R x < 1, α R I sidste formel er ( ) α := α(α 1)(α 2) (α + 1) 1 2 3 = 1 m=0 (α m)! og i dee sidste formel sal symbolet 1 m=0 (α m) læses som produtet af (α m) for m = 0 til 1, altså er et produttegsalog til sumteget 8