Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis og dimension Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation Calculus - 2006 Uge 35. -
Koordinatvektorer [LA] Vektorer og linearkombinationer Definition.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x,..., x i,..., x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 kaldes nulvektoren. 0 = (0,..., 0) Calculus - 2006 Uge 35. - 2
Planen [LA] Vektorer og linearkombinationer Figur x 2 u 2 (u, u 2 ) 0 u x Talplanen R 2 Calculus - 2006 Uge 35. - 3
Rummet [LA] Vektorer og..., [S] 9. Three-dimensional co... Figur x 3 u 3 u 2 u x 2 x Talrummet R 3 (u, u 2, u 3 ) (u, u 2, 0) Calculus - 2006 Uge 35. - 4
Addition Definition.3 Sum af vektorer u + v = u. + [LA] Vektorer og linearkombinationer v. = u + v. u n v n u n + v n Eksempel 2 + 3 4 5 = 6 5 7 9 Calculus - 2006 Uge 35. - 5
Skalering [LA] Vektorer og linearkombinationer Definition.3 Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor a u = a u. = ax. u n ax n Eksempel 3 2 = 3 3 6 9 Calculus - 2006 Uge 35. - 6
Regneregler [LA] Vektorer og linearkombinationer Sætning.6. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 3. Distributive love a(u + v) = au + av (a + b)u = au + bu Calculus - 2006 Uge 35. - 7
Associativ addition [LA] Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur.7 u + v + w u u + v Calculus - 2006 Uge 35. - 8
Linearkombination [LA] Vektorer og linearkombinationer Definition.8 Et sæt af vektorer u,..., u k og koefficienter (skalarer) a,..., a k giver linearkombinationen a u + + a k u k Eksempel 0 5 + 3 7 2 2 3 4 5 = 6 5 4 3 Calculus - 2006 Uge 35. - 9
Underrum [LA] Vektorer og linearkombinationer Definition.4 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Eksempel Diagonalen i talplanen er et underrum U = {(x, y) x = y} R 2 Calculus - 2006 Uge 35. - 0
Span [LA] Vektorer og linearkombinationer Definition.6 Givet et sæt af vektorer u,..., u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a u + + a k u k Et Span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et Span {(x, y) x = y} = Span((, )) R 2 Calculus - 2006 Uge 35. -
Test linearkombination [LA] Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ (,, ) + λ 2 (,, ). Løsning Afkryds: ja nej x = λ (,, ) + λ 2 (,, ) = (λ λ 2 )(,, ) som alle har samme. og 2. koordinat. Calculus - 2006 Uge 35. - 2
Lineær uafhængighed [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.2 Et sæt af vektorer u,..., u k kaldes lineært uafhængigt, hvis der for enhver linearkombination der fremstiller 0 a u + + a k u k = 0 gælder, at koefficienterne alle er 0 a = = a k = 0 I modsat fald kaldes sættet for lineært afhængigt; altså hvis der findes skalarer a,..., a k, som ikke alle er 0, men linearkombinationen ovenfor er 0. Calculus - 2006 Uge 35. - 3
Lineær afhængighed [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.4 u u 2 u u 2 LINEÆRT UAFHÆNGIGE LINEÆRT AFHÆNGIGE Calculus - 2006 Uge 35. - 4
Entydig fremstilling [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.5 Et sæt af vektorer u,..., u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u,..., u k ) har en entydig fremstilling v = a u + + a k u k Bevis hvis og kun hvis Heraf følger påstanden. a u + + a k u k = b u + + b k u k (a b )u + + (a k b k )u k = 0 Calculus - 2006 Uge 35. - 5
Vigtigt princip [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.7 For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u,..., u k Span(v,..., v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. Bevis Skriv u = a v + + a m v m med a 0 og få Span(u, v 2,..., v m ) = Span(v, v 2,..., v m ) Samme metode kan nu erstatte v 2 med u 2 osv. Da der skal være plads til alle u er, følger uligheden. Calculus - 2006 Uge 35. - 6
Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.0 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er og alle øvrige er 0. 0. e i =. 0 e i = ( ) 0,...,,..., 0 Calculus - 2006 Uge 35. - 7
Standardbasen [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2. Span(e,..., e n ) = R n En vektor x R n har en entydig fremstilling x = n i= x i e i Eksempel (, 2, 3) = (, 0, 0) + 2(0,, 0) 3(0, 0, ) Calculus - 2006 Uge 35. - 8
Basis [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.9 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u,..., u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Eksempel 2. Standard basen e,..., e n er en basis for vektorrummet R n. Calculus - 2006 Uge 35. - 9
Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.2 Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. Definition 2.3 Lad U være et underrum i R n. Det mindste antal vektorer i en basis for U kaldes dimensionen af U og betegnes dim U. Calculus - 2006 Uge 35. - 20
Basis og Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.4 Lad U være et underrum.. Enhver basis har netop dim U vektorer. 2. Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. 3. Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. Eksempel Standard basen e,..., e n for vektorrummet R n viser, at dim R n = n Calculus - 2006 Uge 35. - 2
Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=...m,j=...n a... a n =. a ij. a m... a mn Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. a ij Calculus - 2006 Uge 35. - 22
Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=...m,j=...n har i-te række a i = (a i... a in ) og j-te søjle a j = a j. a mj Calculus - 2006 Uge 35. - 23
Rækker og søjler [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat m = rækkevektor/rækkematrix (a... a n ) n = søjlevektor/søjlematrix a. a m Calculus - 2006 Uge 35. - 24
3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel 3.3 3 4-matrix 2 0 2 8 3 4 5 4 3 4-rækkematrix ( ) 6 2 9 2 3-søjlematrix 5 0 5 Calculus - 2006 Uge 35. - 25
Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=...m,j=...n B = (b ij ) i=...m,j=...n A + B = (a ij + b ij ) i=...m,j=...n λa = (λa ij ) i=...m,j=...n Eksempel 3.6 ( ) 2 8 + ( ) 2 8 = ( ) 2 4 2 6 = 2 ( ) 2 8 Calculus - 2006 Uge 35. - 26
Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A, B, C af samme størrelse og skalarer λ, µ gælder:. kommutativ lov 2. associativ lov 3. distributive love A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa Calculus - 2006 Uge 35. - 27
Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition 3.0 - Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=...m,j=...n B = (b jk ) j=...n,k=...p AB = (c ik ) i=...m,k=...p c ik = a i b k + + a in b nk = n j= a ij b jk Calculus - 2006 Uge 35. - 28
Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3. I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i... a ij... a in b k. b jk. b nk = a i b k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus - 2006 Uge 35. - 29
Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.2 = ( ) ( ) 2 3 5 8 4 0 ( ) [ 3 + 2 4] [ ( 5) + 2 0] [( ) 3 + 8 4] [( ) ( 5) + 8 0] = ( ) 5 29 5 Calculus - 2006 Uge 35. - 30
Regneark [LA] 3 Matricer Eksempel 3.4 Rækkesum a... a n. a ij. a m... a mn. = a + + a n. a m + + a mn Søjlesum = ( ) a... a n,...,. a ij. a m... a mn ) (a + + a m,..., a n + + a mn Calculus - 2006 Uge 35. - 3
Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) x 2 + x 2 2 + 4x (a) =. 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) 2 2 7 6 (b) =. 3 4 3 4 5 2 Løsning ( ) ( ) x 2 3 4 x 4 = Afkryds det rigtige: ( ) [ + x x] [ 2 + x 4]. [3 + 4 x] [2 3 + 4 4] (a) (b) Calculus - 2006 Uge 35. - 32
Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning 3.5 - Associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl Calculus - 2006 Uge 35. - 33
Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.6 Beregn produktet af følgende m, n og n matricer. ( ) Udregn først produktet af de sidste to ( ).. = n Calculus - 2006 Uge 35. - 34
Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.6 - fortsat Så resultatet er. ( ). =. n = n. n Calculus - 2006 Uge 35. - 35
Multiplikation og linearkombination [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a x + + a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Bevis Udregn y i = j a ij x j Calculus - 2006 Uge 35. - 36
Linearkombination Eksempel 3.8 En linearkombination af to søjler 2 ( 3 4 5 6 x x 2 ) = x 3 + x 2 5 2 4 6 [LA] 3 Matricer En linearkombination af tre søjler ( ) 3 ( 2 2 2 0 = 3 5 3 4 5 ) + 0 ( 3 ) + ( 2 4 ) Calculus - 2006 Uge 35. - 37
Distributive love [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.9 For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder:. distributive love A(B + C) = AB + AC 2. skalar love (A + B)C = AC + BC (λa)b = A(λB) = λ(ab) Calculus - 2006 Uge 35. - 38
Sæt udenfor parentes Eksempel 3.20 Studer udregningen 2 ( ) 3 4 2 5 6 + = = 2 ( ) 3 4 2 5 6 2 [( ) ( )] 3 4 + 2 2 5 6 2 ( ) 0 0 3 4 = 0 0 5 6 0 [LA] 3 Matricer Calculus - 2006 Uge 35. - 39