Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter tegner mn en irkelbue med rdius en som vist til højre. sin(60º 60º 60º os(60º osinus til en er første-koordinten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og irkelbuen med rdius en. Sinus til en er nden-koordinten til skæringspunktet mellem vinklens venstre ben og irkelbuen med rdius en. I stedet for osinus til 60º og sinus til 60º skriver mn os(60º og sin(60º. På regnemskinen finder mn os(60º ved t trykke os 60 =. Mn får præis 0,5. Mn finder sin(60º ved t trykke sin 60 =. Mn får et deimltl, som strter med 0,866. Hvis mn kender osinus eller sinus til en, kn mn gå bglæns og finde vinklen ved t trykke Inv os eller Inv sin. Mn klder det også for os -1 og sin -1. Regning med osinus og sinus kldes trigonometri. Eksempler på opgver Find osinus til 35º Hvilken hr sinus-værdien 0,94? På regnemskinen trykkes os 35 =. Mn får os(35º = 0,819 På regnemskinen trykkes Inv sin 0,94 =. Mn får 70º. Side 74
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D osinus og sinus kn bruges til t finde sidelængder og vinkler i i retvinklede treknter. Til venstre er tegnet en retvinklet treknt, hvor hypotenusen hr længden en. Hvis mn plerer treknten i et koordint-system, kn mn se, t trekntens to ndre sider kteterne og b hr længderne sin( og os(. = 1 b = 1 b = os( = sin( 2 2 sin( Treknten til højre hr præis smme form som, men siderne er dobbelt så lnge. Mn siger, t treknterne er ligednnede. 2 os( Tegningerne viser, t mn kn finde kteterne i retvinklede treknter med disse formler: Længden f en ktete = længden f hypotenusen osinus til den hosliggende Længden f en ktete = længden f hypotenusen sinus til den modstående egge formler gælder for begge kteter. Ktete Ktete Formlerne kn også skrives på denne måde: osinus til en = Den hosliggende ktete Sinus n til en = Den modstående ktete n egge formler gælder for begge vinkler. ktete ktete ktete ktete Side 74b
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Eksempel på opgve I en retvinklet treknt er hypotenusen 5 m og er 53º. Hvor stor er? Hvor lnge er kteterne? = 5 m 53º summen i en treknt er 180º, og den rette er 90º. Derfor får mn: = 180º 90º 53º = 37º b Længden f kteterne kn findes med en f formlerne på forrige side. er hypotenusen. er modstående til kteten. er modstående til kteten b. Mn får: = sinus til den modstående = sin( = 5 sin(37º = 3,009 3 m. b = sinus til den modstående = sin( = 5 sin(53º = 3,993 4 m. Mn kn også bruge formlen med osinus til den hosliggende. Prøv selv! Eksempel på opgve Tegningen viser en gvl på et hus. Husets bredde er 8 m, muren er 2,50 m høj, og tgets skrå side er 4,62 m. Hvd er tgets hældning? Hvor højt er huset? 4,62 m 8 m 2,50 m Husets højde Den øverste del f gvlen kn opdeles i to retvinklede treknter. Den skrå side er hypotenusen. Tgets hældning er. Kteten b er hosliggende til. Mn får først: Den hosliggende ktete b 4 os( = = = = 0,8658 n 4,62 Derefter tstes: Inv os 0,8658 =, og mn får = 30º Men mn kn også få resulttet i en beregning ved t tste: Inv os ( 4 4,62 =. For t finde huset højde kn mn først finde kteten, som er tgets højde. Mn får: = sinus til den modstående = sin( = 4,62 sin(30º = 2,31 m Husets højde bliver murens højde + tgets højde: 2,50 m + 2,31 m = 4,81 m. Mn kn også finde kteten ved t bruge Pythgors formel for sidelængderne i en retvinklet treknt: 2 + b 2 = 2. Prøv selv! = 4,62 m b = 4 m Side 74
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der også et tl, som kldes tngens. Mn kn finde tngens til en ved t tegne en lodret linje som vist. Tegningen viser tngens til 40º. Mn skriver blot tn(40º. På regnemskinen finder mn tn(40º ved t trykke tn 40 =. Mn får et deimltl, der strter med 0,839. 40º tn(40º Til venstre er tegnet en retvinklet treknt, hvor kteten b hr længden en. Hvis mn plerer treknten i et koordint-system, kn mn se, t trekntens nden ktete hr længden tn(. 2 tn( b = 1 = tn( 2 b = 1 Ved t kikke på den ligednnede treknt til højre, kn mn se, t der må gælde denne formel for kteterne i en retvinklet treknt: Længden f en ktete = længden f den nden ktete tngens til den modstående Ktete Den nden ktete Den nden ktete Ktete Formlen kn også skrives på denne måde: Tngens til en = Den modstående ktete Den hosliggende ktete ktete ktete ktete ktete Side 74d
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Eksempel på opgve Tegningen viser en stige, der står op d en mur. Stigen står 1,20 m fr muren, og vinklen er 75º. Hvor højt når stigen op på muren? Hvor lng er stigen? Stigen, jorden og muren dnner en retvinklet treknt. er modstående til kteten. Mn kn beregne, hvor lngt stigen når op, således: = b tn( = 1,20 tn(75 = 4,48 m 75º 1,20 m 75º b = 1,20 Stigens længde kn fx findes således: = sin( 4,48 = sin(75 Ved ligningsløsning fås: 4,48 = 4,64 m sin(75 = Eksempel på opgve I en retvinklet treknt er kteten b = 8,5 m og kteten = 5,3 m. = 5,3 m Hvor stor er? Hvor lng er hypotenusen? b = 8,5 m Den modstående ktete 5,3 Mn får først: tn( = = = = 0, 623 Den hosliggende ktete b 8,5 Derefter tstes Inv tn 0,623 =, og mn får = 32º Mn kn også på en gng tste Inv tn ( 5,3 8,5 =. n kn findes på flere måder. Mn kn fx gøre således: b = os( 8,5 = os(32 Ved ligningsløsning fås: 8,5 = 10,0 m os(32 = Side 74e