Rubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv. Gruppe G3-111

Transkript

1 Rubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv Gruppe G3-111 Aalborg Universitet Matematik - 4. semester Forår 2016

2

3 Matematik - 4. semester Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Titel: Rubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv Tema: Symmetri Projektperiode: Forårssemestret 2016 Projektgruppe: G3-111 Deltagere: Thor Thimm Danielsen Anette Hyllested Grønhøj Katrine Engilbertsdóttir Kirkeby Maria Knudsen Pernille Schüsler Kristensen Ninna Vihrs Vejleder: Martin Hubert Raussen Oplagstal: 7 Sidetal: 62 Afleveringsdato: 11. maj 2017 Synopsis: Dette projekt behandler rubiksterningen ud fra et matematisk perspektiv. I denne analyse anvendes symmetrien af en terning i rummet. Det vises, at de illegale træk udgør en algebraisk gruppe, som kan beskrives ved et direkte produkt mellem to semidirekte produkter. Dernæst vises det, at de legale træk naturligt udgør en undergruppe af disse, og at der kan opstilles nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, hvornår et træk er lovligt. Disse betingelser kan benyttes til at bestemme centeret for den legale rubiksgruppe samt den største orden af et element heri. Slutteligt redegøres der for, at enhver lovlig konfiguration kan løses med 26 eller færre træk, hvilket kan vises ved brug af en computer. Dette fører frem til en kort diskussion af computerbevisers validitet i matematik. Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

4 Forord Dette projekt er udfærdiget på 4. semester af matematikuddannelsen ved Aalborg Universitet i foråret 2016 under projektrammen symmetri. Projektets sigte er at analysere rubiksterningen gennem matematisk teori, særligt inden for algebra. Dette projekt forudsætter kendskab til algebra svarende til kurset Algebra 1 på 3. semester samt kurset Lineær Algebra på 1. semester på matematik på Aalborg Universitet. Dette projekt er forsøgt skrevet, så det kan læses uden forudgående kendskab til rubiksterningen, men i visse henseender letter det forståelsen at sammenholde det skrevne med en fysisk rubiksterning. Definitioner, sætninger, lemmaer, propositioner, figurer, tabeller og eksempler er nummereret efter hovedafsnit og fortløbende. Projektet igennem benyttes til at angive afslutningen af et bevis. Referencer angives ved forfatter, årstal og eventuelt side, afsnit eller kapitel i parentes. Aalborg Universitet, 11. maj 2017 Thor Thimm Danielsen ttda12@student.aau.dk Anette Hyllested Grønhøj agranh14@student.aau.dk Katrine Engilbertsdóttir Kirkeby kkirke13@student.aau.dk Maria Knudsen mknud14@student.aau.dk Pernille Schüsler Kristensen pskr13@student.aau.dk Ninna Vihrs nvihrs14@student.aau.dk i

5 Indholdsfortegnelse Forord i 1 Introduktion 1 2 Symmetri af en terning i rummet Isometri og symmetri Symmetrigruppen for en terning Singmasters notation 11 4 Den illegale rubiksgruppe tupel notation Den illegale rubiksgruppe som en algebraisk gruppe Komposition i den illegale rubiksgruppe Den illegale rubiksgruppe er en gruppe Direkte- og semidirekte produkter Den legale rubiksgruppe Den legale rubiksgruppe er en undergruppe af den illegale Det frie produkt og rubiksgruppen Elementer i den legale rubiksgruppe Centret for den legale rubiksgruppe Højeste orden af element i den legale rubiksgruppe Cayleygrafer og Guds algoritme Computerbevisers validitet 47 7 Konklusion 52 Litteratur 53 A Lineær algebra resultater 54 B Algebraresultater 55 ii

6 C Resultater til afsnit C.1 Tabeller C.2 Udregninger til sætning iii

7 1 Introduktion 1 Introduktion Permutationspuslespil som 15-puslespillet, rubiksterningen og lignende varianter har historisk medført en stor interesse. Dette er både i forhold til rent praktisk at løse disse, men også at undersøge disse fra et matematisk synspunkt. Ideen bag permutationspuslespil er, at spillet består af nogle flytbare dele, hvor formålet er at opnå den tilstand i spillet, der kaldes løsningen ved at flytte disse dele. Denne løsning skal være mulig at opnå udelukkende med udgangspunkt i spillets nuværende tilstand, altså uden kendskab til tidligere stadier. Det permutationspuslespil, der behandles i dette projekt, er rubiksterningen, som blev opfundet af professor i arkitektur Erno Rubik i 1974 med det formål at blive anvendt i hans undervisning til at forklare rummelige forhold af en terning (Rubik s Brand Ltd. 2016). Nogle år senere begyndte den at blive produceret og solgt som legetøj, og siden da er der blevet solgt omkring 400 millioner eksemplarer af den populære terning (Rubik s Brand Ltd. 2016). Den kan altså siges at have vundet en stor popularitet, der ikke har skyldtes matematikken bag, men praktisk at forsøge at løse den. Spørgsmålet er, hvordan matematikken kan anvendes til at beskrive rubiksterningen. Rubiksterningen er en terning der tilsyneladende er inddelt i 27 mindre terninger, hvor det er muligt at dreje siderne, der hver består af ni terninger. Derved er hver af rubiksterningens sider inddelt i ni kvadrater. Der er altså 54 kvadrater, der er inddelt i seks farver, og hvis hver enkelt af rubiksterningens sider har én farve, siges denne at være løst. Hvis de ni kvadrater på en side af rubiksterningen ikke har den samme farve, må det gennem en kombination af rotationer af de seks sider forsøges at løse denne. En måde at løse rubiksterningen på er altså gennem den i konstruktionen tiltænkte ved at anvende rotationer af de seks sider, hvilket kan beskrives som de lovlige træk på rubiksterningen. Teoretisk kunne en anden løsningsmulighed være at betragte det mekaniske problem ved at skille rubiksterningen ad i de 27 mindre terninger og sætte den rigtigt sammen. Uanset hvilken metode, der benyttes, må der ske en permutation af de små terninger. Det vigtige er altså, hvor terningerne er placeret, og hvordan de vender, hvilket kaldes en konfiguration. Det er tydeligt, at enhver konfiguration, der kan opnås med et lovligt træk, også kan opnås ved den mekaniske metode, hvorfor de konfigurationer, det er muligt at opnå med de lovlige træk, er en delmængde af de konfigurationer, det er muligt at opnå med den mekani- 1

8 1 Introduktion ske metode. Et spørgsmål kan derfor være, hvorvidt det er muligt at undersøge, om en given konfiguration kan løses ved hjælp af lovlige træk. Gennem ovenstående overvejelser formuleres følgende problemformulering: Hvordan er det muligt gennem matematiske overvejelser at undersøge; Hvilken betydning symmetri har for rubiksterningens konstruktion? Hvornår denne er i en konfiguration, det er muligt at løse ved at anvende lovlige træk, og hvor mange lovlige træk det i værste tilfælde er nødvendigt at benytte? 2

9 2 Symmetri af en terning i rummet 2 Symmetri af en terning i rummet En mulighed for at undersøge rubiksterningen nærmere er ved at betragte den som et platonisk legeme, nemlig en terning i rummet. En sådan terning har visse symmetrier, som kan anvendes i forbindelse med at konstruere og arbejde med rubiksterningen. 2.1 Isometri og symmetri Dette afsnit er baseret på Joyner (2008: af. 8.2) og Artin (1991: kap. 4, af. 5). For at kunne betragte symmetrier af en terning, defineres først hvad en isometri er, for herigennem at definere hvad en symmetri er. Definition 2.1 (Isometri) Lad to metriske rum (X 1, d 1 ) og (X 2, d 2 ) være givet. En isometri er en bijektiv funktion f : X 1 X 2, der opfylder at d 1 (x, y) = d 2 (f(x), f(y)) for alle x, y X 1. En isometri er altså en afstandsbevarende funktion mellem to metriske rum. I det efterfølgende er begge disse metriske rum (R 3, ). Definition 2.2 (Symmetri af figur i rummet) Lad en figur i rummet være centreret omkring et punkt. En isometri, der bevarer dette punkt og afbilder figuren over i sig selv, kaldes for en symmetri af figuren. Det punkt, som figuren er centreret omkring, kan passende placeres i origo. En symmetri af en figur er altså en afstandsbevarende funktion, der holder origo fast, og afbilder figuren over i sig selv. For en terning betragtes altså funktioner f : R 3 R 3. Af proposition 2.3 følger det, at mængden af ortogonale 3 3 matricer udgør en gruppe under matrixmultiplikation. Af proposition 2.5 følger det, at isometrier, der bevarer origo, kan repræsenteres ved ortogonale 3 3 matricer og vice versa, hvorved disse isometrier altså udgør en gruppe. Proposition 2.3 Mængden af alle ortogonale 3 3 matricer A, udgør en gruppe under matrixmultiplikation. 3

10 2.1 Isometri og symmetri Bevis. Lad A og B være ortogonale matricer. Det undersøges om alle aksiomerne for en gruppe er opfyldt. Matrixmultiplikation er associativ, hvorved denne betingelse er opfyldt. Da gælder det at (AB)(AB) T = (AB)(B T A T ) = A(BB T )A T = I hvorved AB også er en ortogonal matrix, og kompositionen er derved veldefineret. Lad I være identitetsmatricen. Da gælder det at II T = II = I så I er en ortogonal matrix, og det følger af matrixmultiplikation at AI = IA = A, hvorfor I er det neutrale element. Da A er ortogonal, gælder det at AA T = A T A = I, hvorved A T er det inverse element til A. Derved er mængden af alle ortogonale 3 3 matricer en gruppe under matrixmultiplikation. Lemma 2.4 En isometri f : R 3 R 3, som fastholder origo, bevarer prikprodukt. Bevis. Antag, at f er en isometri, som bevarer origo. Dette betyder, at for x, y R 3 gælder det at f(x) f(y) = x y. Ved at anvende at a 2 = a a for a R 3 og kvadrere begge sider fås det at f(x) f(y) 2 = (f(x) f(y)) (f(x) f(y)) = (x y) (x y) = x y 2 (1) For y = 0 gælder det derfor at f(x) f(x) = x x da f(0) = 0 og tilsvarende for x = 0. Ved at udregne hver side af den inderste lighed i (1) fås det at f(x) f(x) + f(y) f(y) 2f(x) f(y) = x x + y y 2x y f(x) f(y) = x y hvorved det gælder, at en isometri, der fastholder origo, bevarer prikprodukt. Proposition 2.5 En funktion f : R 3 R 3 er en isometri, som bevarer origo, hvis og kun hvis f kan repræsenteres ved en ortogonal matrix. 4

11 2.1 Isometri og symmetri Bevis. Først antages det, at f : R 3 R 3 er en isometri, som bevarer origo. Af lemma 2.4 følger det, at f bevarer prikprodukt. Lad e 1, e 2, e 3 være standardbasisvektorerne i R 3. Da f(e i ) f(e i ) = e i e i = 1 og f(e i ) f(e j ) = e i e j = 0 for i j er f(e 1 ), f(e 2 ), f(e 3 ) ortonormale. Sæt A = [ f(e 1 ) f(e 2 ) f(e 3 ) ], hvorved A er en ortogonal matrix. Af proposition 2.3 følger det, at A 1 også er ortogonal. Da A er ortogonal er A 1 = A T, og det fås at f(e 1 ) f(x) e 1 x A 1 f(x) = f(e 2 ) f(x) = e 2 x = x f(e 3 ) f(x) e 3 x hvorved A 1 f(x) = x for alle x R 3. Heraf følger det at f(x) = Ax. Dernæst antages det, at f kan repræsenteres ved en ortogonal matrix A. Da f er lineær, følger det at f(x) f(y) = f(x y), og proposition A.3 giver at multiplikation med en ortogonal matrix bevarer prikprodukt så f(x) f(y) 2 = f(x y) 2 = A(x y) A(x y) = (x y) (x y) = x y 2 Derved er f(x) f(y) = x y, og da en lineær operator bevarer origo, følger det, at f er en isometri, der bevarer origo. Gruppen bestående af ortogonale 3 3 matricer benævnes i det efterfølgende med O 3 (R), og det viser sig, at symmetrigruppen for en terning er en undergruppe af denne og derved en gruppe i sig selv. For A O 3 (R) gælder det at det(a) = ±1, hvilket følger af at 1 = det(i) = det(aa T ) = det(a) det(a T ) = det(a) 2. Delmængden af de matricer i O 3 (R), hvor determinanten er 1, benævnes SO 3 (R), og det kan vises, at dette er en undergruppe af O 3 (R). Proposition 2.6 SO 3 (R) er en undergruppe af O 3 (R). Bevis. Lad A, B SO 3 (R). Da det gælder at det(ab) = det(a) det(b) = 1, er gruppen lukket under matrixmultiplikation. Da det gælder at det(i) = 1 er I SO 3 (R), og I er det neutrale element. Idet det(a 1 ) = 1 det(a) = 1 er A 1 SO 3 (R). Derved er det vist at SO 3 (R) er en undergruppe af O 3 (R). 5

12 2.1 Isometri og symmetri En rotation i rummet, som afbilder en figur over i sig selv, viser sig at være en symmetri, da en rotation bevarer origo og alle afstande. Definition 2.7 (Rotation i rummet omkring origo) En rotation ρ i R 3 omkring origo skal opfylde følgende betingelser: 1. ρ er en isometri, der bevarer origo 2. ρ holder en ikke-nul vektor v fast 3. ρ virker som en rotation på planen udspændt af ortogonale vektorer til v Da enhver rotation er en isometri, som bevarer origo, så følger det af proposition 2.5, at hvis A er en rotation, så er A en ortogonal matrix så A O 3 (R). Nogle mulige rotationer i rummet er givet ved rotationer omkring de tre koordinatakser, altså hvor v i definition 2.7 er en vektor langs en af disse tre akser. En rotation af vektoren (a, b, c) over i (a, b, c ) omkring x-aksen kan beskrives ved a a b = 0 cos(θ) sin(θ) b 0 sin(θ) cos(θ) c c Rotationsmatricen i (2) holder x-koordinaten i vektoren fast og rotererer [b c] med vinklen θ i yz-planen. På samme måde kan det ses at cos(θ) 0 sin(θ) cos(θ) sin(θ) 0 R y (θ) = og R z(θ) = sin(θ) cos(θ) 0 sin(θ) 0 cos(θ) beskriver en rotation om henholdsvis y- og z-aksen. En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at en isometri er en rotation, er at det(a) = 1, hvilket proposition 2.9 omhandler som benytter lemma 2.8. (2) Lemma 2.8 En ortogonal 3 3 matrix A hvor det(a) = 1 har en egenværdi λ = 1. 6

13 2.1 Isometri og symmetri Bevis. Det skal vises, at 1 er egenværdi, det vil sige at det(a I) = 0. Da det(a T ) = det(a) og det(a) = 1, følger det at det(a T ) = 1. Da A er ortogonal, gælder det, at A T (A I) = (A T A A T ) = (I A T ) = (I A) T. Derved gælder det at det(a I) = det(a T ) det(a I) = det(a T (A I)) = det((i A) T ) = det(i A) For en 3 3 matrix K gælder det at det( K) = det(k). Derfor gælder det også at det(a I) = det(i A) hvorfor det(a I) = 0, hvorved 1 er en egenværdi. Proposition 2.9 En isometri A O 3 (R) er en rotation hvis og kun hvis det(a) = 1. Bevis. Først vises det, at hvis A O 3 (R) er en rotation, så er det(a) = 1. Af definition 2.7 følger det, at A holder en ikke-nul vektor fast, så dette må være en egenvektor med egenværdi 1. Det er muligt at udvide denne egenvektor til en orthonormal basis {v 1, v 2, v 3 } for R 3, og da det følger af definition 2.7, at orthogonalplanen til egenvektoren roteres, følger det, at matricen for rotationen med hensyn til denne nye basis bliver B = 0 cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) Sæt V = [v 1 v 2 v 3 ]. Da er A = V BV 1 så det(a) = det(v BV 1 ) = det(v ) det(b) det(v 1 ) = det(v ) det(b) 1 det(v ) = det(b) = 1. Dernæst vises det at hvis det(a) = 1, så er A en rotation. Af lemma 2.8 følger det, at for A SO 3 (R) findes en egenvektor v 1 med egenværdi 1. Denne kan udvides til en ortonormal basis {v 1, v 2, v 3 } for R 3. Lad B = [ v 1 v 2 v 3 ] 1. Ved basisskift fås det at A = BAB 1, hvor A er den samme operator som A, men med hensyn til basen bestående af v 1, v 2, v 3. Da A og B er ortogonale, er A ortogonal, og det(a ) = det(b) det(a) det(b 1 ) = det(a) = 1, hvorved A SO 3 (R). Ved at udregne matrixproduktet fås det at v ] 1 v 1 v 1 Av 2 v 1 Av 3 BAB 1 = B [Av 1 Av 2 Av 3 = v 2 v 1 v 2 Av 2 v 2 Av 3 v 3 v 1 v 3 Av 2 v 3 Av 3 7

14 2.1 Isometri og symmetri Da v 1, v 2, v 3 er ortonormal følger det, at første søjle i A er e 1. Da de øvrige to søjler skal være ortogonale til e 1 må matricen have formen a b 0 c d hvor R = [ a b c d ] SO 2(R), da søjlerne må være ortonormale og determinanten lig med 1. Lad r 1 være den første søjle i R, hvilket er en enhedsvektor, da R er ortogonal. Derfor findes en rotation på formen M = cos(θ) sin(θ) sin(θ) cos(θ) sådan at Me 1 = r 1. Dette medfører at M 1 Re 1 = M 1 r 1 = e 1, og M 1 R SO 2 (R), da R, M SO 2 (R). Så søjlerne i M 1 R udgør en ortonormal basis i R 2, hvor den første søjle er e 1, og da det(m 1 R) = 1, må den anden søjle være e 2. Derved er M 1 R = I R = M, hvorved R er en rotation. Dette viser, at A har samme form som en af basisrotationerne i R 3, hvorved A også må være en rotation. Af proposition 2.9 følger det, at elementerne i SO 3 (R) er rotationsmatricer. Hvis en ortogonal 3 3 matrix A har determinant 1, gælder det at det(a + I) = det(a T ) det(a + I) = det((i + A) T ) = det(i + A) hvorfor det(a + I) = 0. Derved har A altså egenværdien 1. Af samme argumentation som i beviset for proposition 2.9, følger det, at der er en ækvivalent operator A til A på formen A = 0 cos(θ) sin(θ) = cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) sin(θ) cos(θ) hvilket er en rotation efterfulgt af en spejling. Derved kan det også vises, at en ortogonal matrix med determinant 1 i O 3 (R) er en rotation efterfulgt af en spejling. Samtidig gælder det, at enhver spejling er en isometri, som bevarer origo, og en sådan kan altid beskrives ved en ortogonal matrix, hvorved denne har determinant ±1. Da en spejling ikke er en rotation, må determinanten for enhver spejling være 1, hvorfor enhver kombination af en spejling og en rotation må have determinant 1. Derved er de mulige tilfælde for isometrier i O 3 (R) fundet. 8

15 2.2 Symmetrigruppen for en terning 2.2 Symmetrigruppen for en terning Dette afsnit er baseret på Joyner (2008: af. 8.4). En symmetrigruppe for en figur er gruppen bestående af alle figurens symmetrier. I det efterfølgende betragtes en terning i rummet med centrum i origo, og de symmetrier som denne har. Først betragtes antallet af rotationer af terningen, der afbilder terningen over i sig selv, hvilket naturligt udgør en undergruppe af SO 3 (R). Denne undergruppe benævnes i det efterfølgende med SO. Proposition 2.10 Der er 24 rotationer i symmetrigruppen for en terning. Bevis. Lad V være mængden af hjørnepunkter på en terning, og lad SO virke på V. Betragt dernæst stabilisatoren H = SO v for et v V. Da de eneste symmetrier, der bevarer v, er rotationer omkring symmetriaksen gennem v og det modsatte hjørnepunkt, og terningen kan roteres to gange over i sig selv omkring denne akse, er H = 3. Da V = 8, og det er muligt at roterere v over i alle elementer af V ved at anvende elementer fra SO, gælder det om banen SOv at SOv = 8. For kvotientgruppen SO/H og banen SOv gælder det jævnfør proposition B.12, at funktionen f : SO/H SOv er en bijektion, hvorfor SO/H = SOv = 8. Derved følger af Lagranges sætning, sætning B.5, at SO = SO/H H = 8 3 = 24. Det er nu muligt eksplicit at beskrive disse 24 rotationer. Der er tre typer af symmetriakser i en terning. Disse er akserne gennem midtpunkterne på to modstående sider, akserne gennem midtpunkterne af to modstående kanter og akserne gennem to modsatte hjørner. Der er tre akser gennem midtpunkter på modstående sider, hvorom det er muligt at rotere terningen tre gange med en vinkel på 90. Der er seks akser gennem midtpunkter på modstående kanter, hvorom terningen kan roteres en gang over i sig selv med en rotation på 180 omkring aksen. Der er fire akser gennem modsatte hjørner, hvorom terningen kan roteres to gange over i sig selv med en rotation på 120. Disse samt identitetsrotationen giver de 24 rotationer i SO. De tre symmetriakser gennem midtpunkterne på to modstående sider muliggør konstruktionen af rubiksterningen, hvor hver af siderne kan roteres tre gange med 90 omkring en sådan akse. Det er også muligt at afbilde terningen over i sig selv ved hjælp af en spejling. En sådan 9

16 2.2 Symmetrigruppen for en terning kunne for eksempel være spejlingen i xy-planen som kan beskrives ved matricen S = hvor det(s) = 1. Der er altså flere elementer i symmetrigruppen for en terning end de 24 rotationer. Sætning 2.11 Symmetrigruppen for en terning har orden 48. Bevis. Lad O være symmetrigruppen for en terning, og betragt funktionen det : O {±1}. Det følger af egenskaberne for determinanten, at dette er en homomorfi, og kernen af funktionen er SO, da dette er mængden af matricer med determinant lig en. Heraf giver isomorfisætningen, sætning B.13, at funktionen f : O/SO {±1} er en isomorfi. Dette giver sammen med Lagranges sætning, at O SO = O/SO = {±1} O = SO {±1} = 24 2 = 48. Da der er 48 elementer i symmetrigruppen for en terning, er der 48 isometrier, der bevarer origo, og afbilder terningen over i sig selv. De 24 af disse er bestemt til at være rotationer, hvorfor de resterende 24 må være en rotation efterfulgt af en spejling. 10

17 3 Singmasters notation 3 Singmasters notation Dette afsnit er baseret på Frey, Jr. og Singmaster (2010: kap. 2) Singmasters notation er en måde at beskrive en konfiguration af en rubiksterning på. Denne beskriver ikke rubiksterningen i forhold til farverne på de små kvadrater, men i forhold til deres position på rubiksterningen. Der skelnes mellem henholdsvis en forreste (front), bagerste (back), højre (right), venstre (left), nedre (down) og øvre (upper) side, der navngives henholdsvis F, B, R, L, D og U efter sidernes engelske navne. Disse betegnelser beskriver også en 90 drejning med uret af denne side omkring symmetriaksen gennem midten af siden og den modstående, med andre ord de elementære træk. Hver af disse seks sider er inddelt i ni tern. For at kunne beskrive rubiksterningen er det nødvendigt at kunne referere til de 26 synlige terninger, som rubiksterningen er inddelt i, og hvor de er placeret. De små terninger vil efterfølgende blot blive refereret til som terninger, og en mulig placering af en terning refereres til som en plads. Både terninger og pladser navngives med udgangspunkt i startkonfigurationen, hvilket er rubiksterningen i løst tilstand. Terninger med kun ét synligt tern kaldes centerterninger og navngives ikke. Terninger med to synlige tern kaldes kantterninger og navngives med store bogstaver efter, hvilke sider de to tern befinder sig på i startkonfigurationen. UF eller F U er for eksempel den samme terning, som er placeret mellem den øvre og forreste side. Hjørneterninger er terningerne med tre synlige tern, og de navngives tilsvarende med store bogstaver og efter hvilke sider ternene befinder sig på i startkonfigurationen. Denne navngivning sker ved at liste navnene på ternene i retning med uret omkring symmetriaksen, der går gennem det hjørne, hvor de tre tern mødes, og det modsatte hjørne. Der er således tre måder at navngive en hjørneterning på. For eksempel er URF, RF U og F UR den samme terning, som er placeret mellem øverste, højre og forreste side. Pladser navngives på nøjagtig samme måde som terningerne, der er placeret på dem i startkonfigurationen, bare med små bogstaver. urf er således pladsen i øverste højre hjørne på forsiden. Her skal det bemærkes, at en plads aldrig flytter sig medmindre terningen reorienteres, hvorimod terningerne flyttes ved brug af et træk, men det ændrer ikke navnene. I en konfiguration er det altså muligt, at UBR terningen er placeret på fur pladsen, hvilket betyder, at den terning, der hører hjemme i øverste højre hjørne på bagsiden, er placeret i 11

18 3 Singmasters notation øverste højre hjørne på forsiden, samt at U-ternet nu er på forsiden, B-ternet på den øvre side og R-ternet fortsat på den højre side. Denne notation vil fremover blive anvendt til at beskrive rubiksterningen. 12

19 4 Den illegale rubiksgruppe 4 Den illegale rubiksgruppe Den illegale rubiksgruppe består af alle træk, det er muligt at udføre, hvis rubiksterningen skilles ad og sættes sammen igen under bestemte forudsætninger. Det er altså i denne gruppe ikke en forudsætning, at det er et lovligt træk, men det kræves dog, at når terningen sættes sammen igen, er der kun farvede tern synlige. Dette medfører, at hjørneterninger kun kan placeres på hjørnepladser, og kantterninger kun kan placeres på kantpladser. Det er ikke tilladt at flytte centerterningerne. Desuden kan hver terning kun roteres på en sådan måde, at det udelukkende er de farvede tern der er synlige. Det følger heraf, at mængden af lovlige træk, hvor der kun anvendes elementære rotationer, er en delmængde af trækkene i den illegale rubiksgruppe tupel notation Følgende afsnit er baseret på Chen (2004). Trækkene i den illegale rubiksgruppe kan karakteriseres ud fra oplysninger om hvilke terninger, der er placeret på hvilke pladser, og hvordan terningerne er orienteret på disse pladser. Det ville være naturligt at betragte disse oplysninger i forhold til startkonfigurationen. I et træk i den illegale rubiksgruppe er det kun muligt for hjørneterninger, at blive placeret på en hjørneplads. Da der er 8 mulige hjørnepladser, hvor hver hjørneterning skal placeres, er det naturligt at betragte dette som en permutation i S 8. På samme måde skal de 12 kantterninger placeres på 12 mulige kantpladser, hvorved dette kan betragtes som en permutation i S 12. For at bestemme orienteringen af terningerne i et bestemt træk, betragtes henholdsvis hjørne- og kantterninger igen hver for sig. Orienteringen af en bestemt hjørneterning bestemmes ved at betragte symmetriaksen gennem det hjørne på hjørneterningen, hvor de tre tern mødes, og det modsatte hjørne på rubiksterningen. Der er tre mulige drejninger omkring denne symmetriakse, der afbilder hjørneterningen over i sig selv, på henholdsvis 120, 240 og 360 = 0. Hver af disse drejninger giver en orientering af hjørneterningen. Orientering af en bestemt kantterning bestemmes tilsvarende ved at betragte symmetriaksen gennem midtpunktet på den kant af kantterningen, hvor de to tern mødes, og midtpunktet på den modsatte kant. På denne måde er der to mulige drejninger omkring denne symmetriakse, der afbilder kantterningen over i sig selv, på henholdsvis 180 og 360 = 0. 13

20 4.1 4-tupel notation For at kunne beskrive disse overvejelser om orienteringen af terningerne anvendes den efterfølgende notation. For at kunne beskrive orienteringen af hjørneterningerne nummereres et tern på hver af hjørnepladserne på den ene side af rubiksterningen og et tern på hver af hjørnepladserne på den modsatte side af rubiksterningen, således at alle hjørnepladserne har et nummereret tern. Disse tern nummereres på følgende måde: i Tern, der nummereres i u u u u d d d d Plads hørende til ternet ufl urf ubr ulb dbl dlf dfr drb Tabel 4.1: Nummerering af hjørnepladserne Hjørneterningen hørende til en bestemt plads i startkonfigurationen, nummereres med 0 på ternet i position i. De øvrige to tilhørende tern nummereres 1 og 2 i urets retning omkring symmetriaksen tilhørende hjørneterningen. Det er nu muligt at definere x i til at være tallet 0, 1 eller 2 på ternet, der er i position i. Det er herigennem muligt at betragte x i som et element i Z/3Z, og 8-tuplen x = (x 1, x 2,..., x 8 ) som et element i (Z/3Z) 8, der beskriver alle hjørneterningernes orientering. På tilsvarende vis nummereres alle kantpladserne på følgende måde: j Tern, der nummereres j u u u u b b f f d d d d Plads hørende til ternet ub ur uf ul bl br fr fl db dr df dl Tabel 4.2: Nummerering af kantpladserne Kantterningen hørende til en bestemt plads i startkonfigurationen, nummereres på tilsvarende vis med 0 på ternet i position j. Det andet tern på kantterningen nummereres med 1. Herigennem defineres y j til at være tallet 0 eller 1, der er på ternet i position j. På tilsvarende vis betragtes y j som et element i Z/2Z, og 12-tuplen y = (y 1, y 2,..., y 12 ) som et element i (Z/2Z) 12, der beskriver alle kantterningernes orientering. Elementerne i den illegale rubiksgruppe kan nu beskrives ved hjælp af 4-tupler på formen (σ, τ, x, y), hvor σ beskriver permutationen af hjørneterningerne, τ beskriver permutationen af kantterningerne, x beskriver orienteringen af hjørneterningerne og y beskriver orienteringen af kantterningerne. Disse oplysninger betragtes i forhold til startkonfigurationen, der 14

21 4.2 Den illegale rubiksgruppe som en algebraisk gruppe kan beskrives ved 4-tuplen (id, id, 0, 0) hvor id er identitetspermutationen. Denne 4-tupel notation betyder i dette projekt, at terningerne først permuteres og derefter orienteres efter de givne oplysninger. 4.2 Den illegale rubiksgruppe som en algebraisk gruppe For at kunne danne den illegale rubiksgruppe, er det nødvendigt at definere en komposition hørende til den illegale rubiksgruppe. Derfor er det nødvendigt at undersøge, hvad der sker, når to 4-tupler komponeres Komposition i den illegale rubiksgruppe For at kunne betragte den illegale rubiksruppe som en algebraisk gruppe er det nødvendigt at definere en komposition på denne. Denne komposition skal opfylde at (σ, τ, x, y) (σ, τ, x, y ) svarer til først at udføre trækket (σ, τ, x, y ) og derefter trækket (σ, τ, x, y). Det naturlige ville være, at kompositionen virker komponentvis på 4-tuplerne. Ligeledes er det naturligt at komponere permutationerne ved at benytte kompositionen fra den symmetriske gruppe, idet dette svarer til først at permutere hjørnerne og kanterne på den ene måde og herefter permutere dem på den anden måde. For at kunne bestemme en passende komposition for orienteringerne ville det være oplagt at benytte plus som komposition, idet en orientering kan betragtes som antal gange, en terning er drejet om den relevante akse. Det er dog ikke tilstrækkeligt blot at addere orinteringerne, da terningerne i den første konfiguration vil gennemgå en permutation, og det dermed ikke er de rigtige indgange, der bliver adderet. Dette kan dog løses ved at permutere orienteringen af terningerne på passende vis. Hvis x = (x 1, x 2,..., x n ) er en orientering, så defineres en gruppevirkning ved σ(x) = (x σ 1 (1), x σ 1 (2),..., x σ 1 (n)). Med udgangspunkt i disse overvejelser og det faktum, at en 4-tupel beskriver det træk, hvor terningerne først permuteres og derefter orienteres, er det muligt at udlede bestemte regler for kompositionen. Dette gøres ved at tage udgangspunkt i 4-tupler, der udelukkende beskriver permutationer givet ved {(σ, τ, 0, 0) σ S 8, τ S 12 } og 4-tupler der udelukkende beskriver orienteringer {(id, id, x, y) x (Z/3Z) 8, y (Z/2Z) 12 }. Herved fås det, at kompositionen skal opfylde følgende 15

22 4.2 Den illegale rubiksgruppe som en algebraisk gruppe (id, id, x, y) (σ, τ, 0, 0) = (σ, τ, x, y) (σ, τ, 0, 0) (id, id, x, y) = (σ, τ, σ(x), τ(y)) (σ, τ, 0, 0) (σ, τ, 0, 0) = (σσ, ττ, 0, 0) (id, id, x, y) (id, id, x, y ) = (id, id, x + x, y + y ) Ved at benytte ovenstående overvejelser, kan kompositionen af to vilkårlige elementer eksplicit udledes (σ, τ, x, y) (σ, τ, x, y ) = (id, id, x, y)(σ, τ, 0, 0)(id, id, x, y )(σ, τ, 0, 0) = (id, id, x, y)(σ, τ, σ(x ), τ(y ))(σ, τ, 0, 0) = (id, id, x, y)(id, id, σ(x ), τ(y ))(σ, τ, 0, 0)(σ, τ, 0, 0) = (id, id, x + σ(x ), y + τ(y ))(σσ, ττ, 0, 0) = (σσ, ττ, x + σ(x ), y + τ(y )) Dette danner baggrund for definition 4.1. Definition 4.1 (Komposition i den illegale Rubiksgruppe) Lad (σ, τ, x, y) og (σ, τ, x, y ) være elementer i den illegale rubiksgruppe. Da defineres kompositionen af disse på følgende måde (σ, τ, x, y) (σ, τ, x, y ) := (σσ, ττ, x + σ(x ), y + τ(y )) (3) Den illegale rubiksgruppe er en gruppe Af sætning 4.3 følger det, at mængden af træk i den illegale rubiksgruppe givet ved 4- tupel notationen og kompositionen i definition 4.1, er en algebraisk gruppe. I denne sætning benyttes lemma 4.2. Lemma 4.2 Lad σ være en permutation i S n og x, y (Z/kZ) n for k, n N. Da er σ(x + y) = σ(x) + σ(y) 16

23 4.2 Den illegale rubiksgruppe som en algebraisk gruppe Bevis. Lad x = (x 1,..., x n ) og y = (y 1,..., y n ) og definer k i σ(x) = (x σ 1 (1),..., x σ 1 (8)). Da gælder det at = x i + y i. Per definition er σ(x + y) = σ((x 1 + y 1,..., x n + y n )) = σ((k 1,..., k n )) = (k σ 1 (1),..., k σ 1 (n)) = (x σ 1 (1) + y σ 1 (1),..., x σ 1 (n) + y σ 1 (n)) = σ(x) + σ(y) hvorved det er vist at σ(x + y) = σ(x) + σ(y). Sætning 4.3 Lad I = {(σ, τ, x, y) σ S 8, τ S 12, x (Z/3Z) 8, y (Z/2Z) 12 } være den illegale rubiksgruppe, og være kompositionen givet i definition 4.1. Så er (I, ) en gruppe. Bevis. Lad I være den illegale rubiksgruppe med den givne kompostion. Det skal vises, at de tre betingelser for en gruppe i definition B.2 er opfyldt. Først vises, at I har et neutralt element. Betragt 4-tuplen (id, id, 0, 0), hvor id er identitetspermutationen i henholdsvis S 8 og S 12 og 0 angiver nulvektoren i henholdsvis (Z/3Z) 8 og (Z/2Z) 12. Ved at komponere denne med et element i I fra henholdsvis venstre og højre fås (id, id, 0, 0) (σ, τ, x, y) = (idσ, idτ, 0 + id(x), 0 + id(y)) = (σ, τ, x, y) og (σ, τ, x, y) (id, id, 0, 0) = (σid, τid, x + σ(0), y + τ(0)) = (σ, τ, x, y) Derved er (id, id, 0, 0) det neutrale element i I. Dernæst vises, at kompositionen i I er associativ. Lad derfor (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ), (σ 2, τ 2, x 2, y 2 ), 17

24 4.3 Direkte- og semidirekte produkter (σ 3, τ 3, x 3, y 3 ) H. Det følger af lemma 4.2, og af at kompostionen i S n er associativ, at ((σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2, τ 2, x 2, y 2 )) (σ 3, τ 3, x 3, y 3 ) = (σ 1 σ 2, τ 1 τ 2, x 1 + σ 1 (x 2 ), y 1 + τ 1 (y 2 )) (σ 3, τ 3, x 3, y 3 ) = ((σ 1 σ 2 )σ 3, (τ 1 τ 2 )τ 3, x 1 + σ 1 (x 2 ) + σ 1 σ 2 (x 3 ), y 1 + τ 1 (y 2 ) + τ 1 τ 2 (y 3 )) = (σ 1 (σ 2 σ 3 ), τ 1 (τ 2 τ 3 ), x 1 + σ 1 ((x 2 ) + σ 2 (x 3 )), y 1 + τ 1 ((y 2 ) + τ 2 (y 3 ))) = (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) (σ 2 σ 3, τ 2 τ 3, x 2 + σ 2 (x 3 ), y 2 + τ 2 (y 3 )) = (σ 1, τ 1, x 1, y 1 ) ((σ 2, τ 2, x 2, y 2 ) (σ 3, τ 3, x 3, y 3 )) Heraf følger det, at kompositionen er associativ. Slutteligt vises det, at der eksisterer et invers element til alle elementer i I. Lad dertil (σ, τ, x, y) H være givet og betragt (σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)). Da gælder det at (σ, τ, x, y) (σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)) = (σσ 1, ττ 1, x + σσ 1 ( x), y + ττ 1 ( y)) = (id, id, x x, y y) = (id, id, 0, 0) og (σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)) (σ, τ, x, y) = (σ 1 σ, τ 1 τ, σ 1 ( x) + σ 1 (x), τ 1 ( y) + τ 1 (y)) = (id, id, σ 1 ( x + x), τ 1 ( y + y)) = (id, id, 0, 0) Derved er (σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)) det inverse element til (σ, τ, x, y). I med den givne komposition opfylder altså de tre betingelser for en gruppe, hvorved det er bevist, at det er en gruppe. 4.3 Direkte- og semidirekte produkter Dette afsnit er baseret på Joyner (2008: af. 9.6, 9.7). Ved at introducere begreberne direkte- og semidirekte produkter, er det muligt at undersøge strukturen af den illegale rubiksgruppe. Det er muligt at betragte nogle grupper som et direkte produkt af to normale undergrupper. 18

25 4.3 Direkte- og semidirekte produkter Definition 4.4 (Direkte produkt) Lad H og N være to normale undergrupper af en gruppe G, hvor H N = {e}. Da siges G at være det direkte produkt af H og N hvis G = HN, altså g G h H, n N : g = hn. Da skrives G = H N. Fra definition 4.4 følger proposition 4.5. Proposition 4.5 Lad G = H N og h 1, h 2 H, n 1, n 2 N. Så er (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = (h 1 h 2 )(n 1 n 2 ). Bevis. Det gælder at (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = h 1 h 2 (h 1 2 n 1 h 2 n 1 1 )n 1 n 2 Da H er normal, gælder det at n 1 h 2 n 1 1 H, hvilket betyder at h 1 2 n 1 h 2 n 1 1 H. Da N er normal, gælder det at h 1 2 n 1 h 2 N, hvilket betyder at h 1 2 n 1 h 2 n 1 1 N. Dermed gælder det at h 1 2 n 1 h 2 n 1 1 N H = {e}. Dette giver at (h 1 n 1 )(h 2 n 2 ) = (h 1 h 2 )(n 1 n 2 ) Hvis en gruppe G kan skrives som et produkt af to undergrupper, hvor kun den ene er normal, kaldes det et semidirekte produkt. Definition 4.6 (Semidirekte produkt) Lad H og N være to undergrupper af G, hvor N er normal og N H = {e}. Da siges G at været et semidirekte produkt af N og H, hvis G = NH, altså g G h H, n N : g = nh. Da skrives G = N H Af definition 4.6 følger det, at nh = h(h 1 nh) = hn for et n N, da N er normal. Da fællesmængden mellem undergrupperne i definition 4.4 og 4.6 er trivielle, følger det, at antal elementer i et direkte eller semidirekte produkt er produktet af antal elementer i undergrupperne. 19

26 4.3 Direkte- og semidirekte produkter Det viser sig, at den illegale rubiksgruppe kan beskrives som et direkte produkt af to semidirekte produkter på følgende vis hvor følgende er undergrupper af I I = ((Z/3Z) 8 S 8 ) ((Z/2Z) 12 S 12 ) ({(id, id, x, 0) x (Z/3Z) 8 }, ) = ((Z/3Z) 8, +) (4) ({(σ, id, 0, 0) σ S 8 }, ) = S 8 (5) ({(id, id, 0, y) y (Z/2Z) 12 }, ) = ((Z/2Z) 12, +) (6) ({(id, τ, 0, 0) τ S 12 }, ) = S 12 (7) (4) er undergruppen af træk, der bevarer alle terningers placering og orienteringen af kantterningerne. (5) er undergruppen af træk, der bevarer kantterningernes placering og alle terningers orientering. (6) er undergruppen af træk, der bevarer alle terningers placering og orienteringen af hjørneterningerne. (7) er undergruppen af træk, der bevarer hjørneterningernes placering og alle terningers orientering. For at indse at ((Z/3Z) 8, +) = ({(id, id, x, 0) x (Z/3Z) 8 }, ), ses det at ϕ : (Z/3Z) 8 {(id, id, x, 0) x (Z/3Z) 8 } givet ved ϕ(x) = (id, id, x, 0) er en gruppehomomorfi jævnfør definition B.6 og bijektiv, hvorfor det er en isomorfi. På lignende måde kan de tre andre isomorfier beskrives. Elementerne i (Z/3Z) 8 S 8 må være på formen (id, id, x, 0) (σ, id, 0, 0) = (σ, id, x, 0). Det gælder at S 8 (Z/3Z) 8 = {(id, id, 0, 0)}. Det ses at (σ 1, id, x 1, 0)(id, id, x, 0)(σ 1 1, id, σ 1 1 ( x 1 ), 0) = (σ 1, id, x 1, 0)(σ 1 1, id, x + id(σ 1 1 ( x 1 )), 0 + id(0)) = (id, id, x 1 + σ 1 (x) + σ 1 σ 1 1 ( x 1 ), 0 + id(0)) = (id, id, σ 1 (x), 0) (Z/3Z) 8 hvorved (Z/3Z) 8 er en normal undergruppe af (Z/3Z) 8 S 8. Dermed er S 8 (Z/3Z) 8 et semidirekte produkt. Da det fås at (σ 1, id, x 1, 0)(σ, id, 0, 0)(σ 1 1, id, σ 1 1 ( x 1 ), 0) = (σ 1, id, x 1, 0)(σσ 1 1, id, 0 + σσ 1 1 ( x 1 ), 0 + id(0)) = (σ 1 σσ 1 1, id, x 1 + σ 1 σσ 1 1 ( x 1 ), 0 + id(0)) / S 8 20

27 4.3 Direkte- og semidirekte produkter er S 8 ikke en normal undergruppe af (Z/3Z) 8 S 8. Derved er der ikke tale om et direkte produkt. På samme måde ses det at S 12 (Z/2Z) 12 = {(id, id, 0, 0)}, at (Z/2Z) 12 er en normal undergruppe af (Z/2Z) 12 S 12 samt at S 12 ikke er. Derved er (Z/2Z) 12 S 12 et semidirekte produkt, men ikke et direkte produkt, hvor elementerne må være på formen (id, τ, 0, y). Begge disse semidirekte produkter er normale undergrupper af I. (Z/3Z) 8 S 8 er en normal undergruppe af I, idet det gælder for (σ 1, id, x 1, 0) (Z/3Z) 8 S 8 at (σ, τ, x, y)(σ 1, id, x 1, 0)(σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)) = (σ, τ, x, y)(σ 1 σ 1, τ 1, x 1 + σ 1 σ 1 ( x), 0 + id(τ 1 ( y))) = (σσ 1 σ 1, ττ 1, x + σ(x 1 ) + σσ 1 σ 1 ( x), y + ττ 1 ( y)) = (σσ 1 σ 1, id, x + σ(x 1 ) + σσ 1 σ 1 ( x), 0) (Z/3Z) 8 S 8 (Z/2Z) 12 S 12 er en normal undergruppe af I, idet det gælder for (id, τ 1, 0, y 1 ) (Z/2Z) 12 S 12 at (σ, τ, x, y)(id, τ 1, 0, y 1 )(σ 1, τ 1, σ 1 ( x), τ 1 ( y)) = (σ, τ, x, y)(σ 1, τ 1 τ 1, 0 + id(σ 1 ( x)), y 1 + τ 1 τ 1 ( y)) = (id, ττ 1 τ 1, x + σσ 1 ( x), y + τ(y 1 ) + ττ 1 τ 1 ( y)) = (id, ττ 1 τ 1, 0, y + τ(y 1 ) + ττ 1 τ 1 ( y)) (Z/2Z) 12 S 12 Idet begge semidirekte produkter er normale undergrupper af I og (Z/2Z) 12 S 12 (Z/3Z) 8 S 8 = {(id, id, 0, 0)}, følger det af definition 4.4, at I kan dannes ved et direkte produkt mellem de to semidirekte produkter, idet dette giver elementerne på formen (σ, id, x, 0) (id, τ, 0, y) = (σ, τ, x, y). Det følger nu at I = S 8 S 12 (Z/3Z) 8 (Z/2Z) 12 = 8! 12! Dette er altså antallet af ulovlige træk. 21

28 5 Den legale rubiksgruppe 5 Den legale rubiksgruppe Den legale rubiksgruppe består af alle de træk i den illegale rubiksgruppe, som er lovlige. Lovlige træk er træk, der kan dannes ved at benytte en kombination af de elementære træk. I dette afsnit undersøges den legale rubiksgruppe som en undergruppe af den illegale gennem 4-tupel notationen, og i sætning 5.5 gives nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en 4-tupel i den illegale rubiksgruppe er et element i den legale rubiksgruppe. Ud fra denne sætning er det muligt at udlede resultater om centret af den legale rubiksgruppe og den højeste orden for et element i denne. Slutteligt ses på det mindste antal af elementære træk, der højst skal anvendes for at løse enhver konfiguration af rubiksterningen. 5.1 Den legale rubiksgruppe er en undergruppe af den illegale Ved at undersøge, hvordan henholdsvis hjørneterninger og kantterninger permuteres og orienteres, når et af de elementære træk udføres, er det muligt at skrive disse som 4-tupler på følgende måde U = (( ), ( ), 0, 0) D = (( ), ( ), 0, 0) F = (( ), ( ), (1, 2, 0, 0, 0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0)) B = (( ), ( ), (0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2), (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0)) L = (( ), ( ), (2, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0), 0) R = (( ), ( ), (0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1), 0) Permutationerne er fundet ved at nummerere både pladser og terninger som i afsnit 4.1. Permutationen af kantterninger ( ) i U skal således forstås som at terning 1 flyttes til plads 2, terning 2 flyttes til plads 3, terning 3 flyttes til plads 4 og terning 4 flyttes til plads 1. Eksempel 5.1. For at komponere det træk, der først anvender R og dernæst B, benyttes kompositionen med de givne 4-tupler ovenfor. Placeringen af hjørneterningerne fremgår derfor af permutationen ( )( ) = ( ) 22

29 5.1 Den legale rubiksgruppe er en undergruppe af den illegale Placeringen af kantterningerne fremgår derfor af permutationen ( )( ) = ( ) Orienteringen af hjørneterningerne er beskrevet ved (0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2) + ( )((0, 1, 2, 0, 0, 0, 2, 1)) = (0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 2) + (0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 0) = (0, 1, 2, 1, 1, 0, 2, 2) Orienteringen af kantterningerne er beskrevet ved (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0) + ( )(0) = (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0) Dette stemmer overens med den opnåede konfiguration af rubiksterningen efter at have udført trækket R efterfulgt af trækket B. For at indse, at den legale rubiksgruppe er en undergruppe af den illegale, anvendes proposition 5.2. Proposition 5.2 Lad S være en ikke-tom mængde af elementer fra gruppen (G, ). Lad S bestå af alle elementer på formen a 1 a 2 a n, n 0 hvor a i S a 1 i S i = 1,..., n. Så er S en undergruppe af G. Bevis. For at vise, at S er en undergruppe af G, vises det, at betingelserne i definition B.4 er opfyldt. Først undersøges det, om S indeholder det neutrale element e G. Da S er en ikke-tom mængde, findes et element a S. Da gælder det at e = aa 1 S. Dernæst undersøges det, om der for ethvert element i S findes et invers element i S. Lad x = a 1 a 2 a n S. Da gælder det at x 1 = a 1 n a 1 1 S. Til sidst undersøges det, om xy ligger i S for x, y S. Lad x = a 1 a 2 a n S og y = b 1 b 2 b m S. Da gælder det at xy = a 1 a n b 1 b m S. Altså er S en undergruppe af G. Da den legale rubiksgruppe G er alle lovlige træk, følger det nu at G = S hvor S = 23

30 5.2 Det frie produkt og rubiksgruppen {U, D, L, R, B, F }, og af proposition 5.2 gælder det, at den legale rubiksgruppe er en undergruppe af den illegale. 5.2 Det frie produkt og rubiksgruppen Den legale rubiksgruppe kan ses i relation til et frit produkt. Definition 5.3 (Det frie produkt) Lad G 1, G 2,..., G n være grupper for n N. Elementer på formen g 1 g 2 g k for k N, hvor g i ligger i en af grupperne, kaldes for et ord. Lad e j være det neutrale element i G j og betragt ordet g 1 g 2 g k. Hvis alle elementer i dette ord opfylder at for g i G j er g i e j og g i+1 / G j så kaldes ordet reduceret. Mængden af alle reducerede ord udgør elementerne i G 1 G 2 G n, hvilket kaldes for det frie produkt. For at komponere to ord i det frie produkt, sker dette ved først at konkatenere og derefter reducere disse. Et ord reduceres ved at komponere på hinanden følgende elementer fra samme gruppe og udelade neutrale elementer fra de enkelte grupper. Samtidig defineres et nyt neutralt element e f i det frie produkt ved g i g 1 i at det frie produkt er en gruppe. = e f hvor g i G i. Heraf fremgår det klart, Da det for hver af de elementære træk gælder at U 4 = D 4 = F 4 = B 4 = L 4 = R 4 = (id, id, 0, 0), så udgør U, D, F, B, L og R cykliske grupper af orden 4. Det frie produkt C = U D F B L R udgør alle træk, som det er muligt at danne ud fra de elementære træk. I det frie produkt er det altid muligt at danne vilkårligt lange ord, hvorfor der nødvendigvis må være uendeligt mange elementer i dette. Den legale rubiksgruppe må dog være en endelig gruppe, da den illegale rubiksgruppe er en endelig gruppe. Betragt ϕ : C I. Denne funktion afbilder et element i det frie produkt C bestående af elementære træk over i det element i den illegale rubiksgruppe, som svarer til det træk, der opnås ved at udføre de pågældende elementære træk. Dette er en homomorfi grundet definitionen af kompositionen i både C og I. Det interessante er nu at bestemme billedmængden af C under denne homomorfi. 24

31 5.3 Elementer i den legale rubiksgruppe 5.3 Elementer i den legale rubiksgruppe Dette afsnit er baseret på Chen (2004: af. 11). I det efterfølgende benævnes den legale rubiksgruppe med G og mængden af konfigurationer med K. 4-tupel notationen beskrevet i afsnit 4.1 kan både benyttes til at beskrive et træk og en konfiguration af rubiksterningen. Derfor er det muligt at definere en gruppevirkning f : G K K ved f(g, k) = g k, hvor er kompositionen i definition 4.1, da betingelserne for en gruppevirkning i definition B.11 er opfyldt. Banen gennem en konfiguration (σ, τ, x, y) K er derved givet ved mængden {g (σ, τ, x, y) g G} Dermed er alle lovlige konfigurationer banen gennem startkonfigurationen, som per definition svarer til alle lovlige træk, det vil sige mængden {g (id, id, 0, 0) g G}. Dette kan anvendes til at vise sætning 5.5, der giver nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at et træk er i G. Lemma 5.4 Lad (σ, τ, x, y) K være givet. Da er følgende betingelser invariante under gruppevirkningen f sgn(σ) sgn(τ) (8) 8 x i (mod 3) (9) i=1 12 y i (mod 2) (10) i=1 Bevis. Lad k = (σ, τ, x, y) K være givet. Det skal vises, at betingelse (8), (9) og (10) er uændrede for alle elementer i banen gennem k. Først vises, at (8) er opfyldt. Lad T = (σ T, τ T, x T, y T ) G. Så kan T skrives som en komposition af elementære træk E 1 E 2 E n. Af definitionen for kompositionen fås det 25

32 5.3 Elementer i den legale rubiksgruppe at σ T = σ E1 σ E2 σ En τ T = τ E1 τ E2 τ En Da alle permutationer i de elementære træk er 4-cykler, gælder det at sgn(σ Ei ) = sgn(τ Ei ) = 1, og da signum er en homomorfi, fås det at sgn(σ T ) = sgn(σ E1 )sgn(σ E2 ) sgn(σ En ) = ( 1) n sgn(τ T ) = sgn(τ E1 )sgn(τ E2 ) sgn(τ En ) = ( 1) n Derved er det vist at sgn(σ T ) = sgn(τ T ). Lad T k = (σ T k, τ T k, x T k, y T k ). Da er sgn(σ T k ) sgn(τ T k ) = sgn(σ T ) sgn(σ) sgn(τ T ) sgn(τ) = sgn(σ) sgn(τ) da sgn(σ T ) = sgn(τ T ), hvorved (8) er opfyldt. Dernæst vises, at (9) og (10) er opfyldt. Betragt igen T = E 1 E 2 E n. Af 4-tuplerne for de elementære træk udregnet i afsnit 5.1 gælder det for hver E i = (σ Ei, τ Ei, x Ei, y Ei ) at 8 x Eij 0 (mod 3) og 12 j=1 j=1 j=1 i=1 y Eij 0 (mod 2) Derved fås det at 8 n 8 x T j = x Eij 0 (mod 3) 12 y T j = j=1 j=1 i=1 j=1 n 12 y Eij 0 (mod 2) hvor den første lighed i begge udtryk følger af, at selvom der sker en permutation af vektorerne i kompositionen, så ændrer det ikke summen, da addition er kommutativ. Det følger nu at 8 n x T ki = x Eij + x i x i (mod 3) i=1 12 y T ki = i=1 j=1 i=1 i=1 n y Eij + y i y i (mod 2) i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 Dermed er (9) og (10) opfyldt. Derved er det bevist, at betingelserne er uændrede for alle elementer i banen gennem k. I beviset for den efterfølgende sætning 5.5 anvendes lemma 5.7, 5.8, 5.10 og

33 5.3 Elementer i den legale rubiksgruppe Sætning 5.5 Lad (σ, τ, x, y) I, hvor x = (x 1,..., x 8 ) og y = (y 1,..., y 12 ). Så gælder det at (σ, τ, x, y) G hvis og kun hvis følgende tre betingelser er opfyldt sgn(σ) = sgn(τ) (11) 8 x i 0 (mod 3) (12) i=1 12 y i 0 (mod 2) (13) i=1 Bevis. Lad (σ, τ, x, y) I. Først vises det at hvis (σ, τ, x, y) G, så er (11), (12) og (13) opfyldt. Da alle lovlige træk er banen gennem startkonfigurationen (id, id, 0, 0) følger det af lemma 5.4 at alle lovlige træk opfylder (11), (12) og (13). Dernæst vises det at hvis (σ, τ, x, y) I opfylder (11), (12) og (13), så er (σ, τ, x, y) G. Det vises, at (σ, τ, x, y) ligger i banen gennem startkonfigurationen, og dermed er en legal konfiguration, ved at vise følgende fire dele: 1. Der eksisterer T 1 G, så T 1 (σ, τ, x, y) = (id, τ, x, y ), hvor sgn(τ ) = 1, 8 i=1 x i 0 (mod 3) og 12 i=1 y i 0 (mod 2). 2. Der eksisterer T 2 G, så T 2 (id, τ, x, y ) = (id, τ, 0, y ), hvor sgn(τ ) = 1 og 12 i=1 y i 0 (mod 2). 3. Der eksisterer T 3 G, så T 3 (id, τ, 0, y ) = (id, id, 0, y ), hvor 12 i=1 y i 0 (mod 2). 4. Der eksisterer T 4 G, så T 4 (id, id, 0, y ) = (id, id, 0, 0). Jævnfør lemma 5.4 er det tilstrækkeligt at vise eksistensen af de fire træk. ad 1) Betragt homomorfien ϕ h : G S 8 givet ved ϕ h ((σ, τ, x, y)) = σ. Det følger af lemma 5.7, at ϕ h er surjektiv, altså at ϕ h (G) = S 8. Derved gælder det, at der eksisterer et træk T 1 G, sådan at ϕ h (T 1 ) = σ 1. Ved at lade T 1 virke på konfigurationen (σ, τ, x, y) fås det at T 1 (σ, τ, x, y) = (id, τ, x, y ). ad 2) Af lemma 5.8 følger det, at der eksisterer et træk T G, der reorienterer to hjørneterninger modsat af hinanden og bevarer alle øvrige placeringer og orienteringer. Antag derfor at (id, τ, x, y ) er en konfiguration af rubiksterningen, hvor mindst to 27

34 5.3 Elementer i den legale rubiksgruppe hjørner har orientering x i 0. Ved at gentage denne type af træk er det muligt at orientere hjørneterningerne, sådan at mindst syv af disse er orienteret korrekt, uden at ændre hjørneterningernes placering. Da (id, τ, x, y ) er i samme bane som (σ, τ, x, y), gælder det at 8 i=1 x i 8 i=1 x i 0 (mod 3), hvorfor den sidste hjørneterning også må have orientering 0. Derved findes et træk T 2, sådan at T 2 (id, τ, x, y ) = (id, τ, 0, y ). ad 3) Betragt homomorfien ϕ k : {(id, τ, 0, ỹ) G} S 12 givet ved ϕ k ((id, τ, 0, ỹ)) = τ. Af lemme 5.10 følger det, at billedmængden af ϕ k indeholder A 12. Derved findes der et træk T 3 {(id, τ, 0, ỹ) G}, således at ϕ k (T 3 ) = τ 1, da sgn(τ ) = 1 og A 12 er en gruppe, så T 3 (id, τ, 0, y ) = (id, id, 0, y ). ad 4) Af lemma 5.11 følger det at, der eksisterer et træk T G, der reorienterer to vilkårlige kantterninger og ikke ændrer på placeringer og orienterninger af de øvrige terninger. Lad (id, id, 0, y ) være en konfiguration, hvor mindst to kantterninger er orienteret forkert. Da er det muligt ved gentagen brug af denne type træk at orientere kantterningerne, så højst en kantterning er orienteret forkert. Hvis kun én kantterning er orienteret forkert, er 12 i=1 y i = 1 (mod 2), hvilket ikke er muligt grundet samme argument som for punkt 2. Derfor må alle terninger være orienteret korrekt, så der eksisterer et lovligt træk T 4 sådan at T 4 (id, id, 0, y ) = (id, id, 0, 0). Derved er det vist, at hvis (11), (12) og (13) er opfyldt, så er (σ, τ, x, y) G. Lemma 5.7, 5.8, 5.10 og 5.11 nedenfor anvendes til at bevise sætning 5.5, hvor lemma 5.6 og 5.9 anvendes til at vise henholdsvis lemma 5.7 og Lemma 5.6 Der eksisterer et træk T G, der permuterer to forskellige hjørneterninger over i vilkårlige forskellige hjørnepladser. Bevis. Det bevises, at der eksisterer et sådant træk i G, ved at betragte de mulige tilfælde i figur