Matematik 2AL, vinteren

Transkript

1 EO 1 Matematik 2AL, vinteren Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales ved større ændringer. 1. Bestem ordenen af elementet [ 4 ] n i den multiplikative gruppe(z/n) forn {7, 11, 13}. Bestem endvidere ordenen af [ 4 ] 1001 i (Z/1001). (1001 = ) 2. Bestem cykelfremstilling, orden og fortegn for σ = (12)(123)(1234)(12345) S Antag, at σ, τ S 9 har σ = 5, og τ = 6. Afgør, om στ = 12 kan forekomme. Afgør, om σ τ = 30 kan forekomme. 4. Betragt de additive kvotientgrupper Z/123 og Q/Z. Bestem en injektiv gruppehomomorfi ϕ: Z/123 Q/Z. 5. Lad ψ: Z Q/Z være en gruppehomomorfi. Begrund, at ψ ikke er surjektiv. 6. Bestem i gruppen G Def == D 3 D 6 et element g, som ikke er det neutrale element, således at g kommuterer med alle elementer, dvs. g g = gg for alle G. 7. Bevis, at grupperne G = D 3 D 6 og H = A 4 D 3 ikke er isomorfe. (Udnyt resultatet i opgave 6.) 8. Begrund, at gruppen G ikke er simpel, hvis G = (2003 er et primtal!) 9. Afgør, om X er irreducibelt i Q[ X ]. 10. Afgør, om X er irreducibelt i R[ X ]. 11. Afgør, om X er irreducibelt i Z[ X ]. I de sidste fire opgaver betragtes den kvadratiske talring Z[ ξ ] med ξ == Def , som er rod i X 2 + X + 1 Z[ X ]. Ringen Z[ ξ ] er UFD (og dette ønskes ikke uddybet). 12. Bestem diskriminanten D(ξ). Bestem normen N(x + yξ), når x, y Z. 13. Afgør hvilke af elementerne ξ, 1 + ξ og 1 ξ, der er enheder i Z[ ξ ]. 14. Afgør hvilke af elementerne 1 ξ, 3 og 1 + 3ξ, der er primelementer i Z[ ξ ]. 15. Bestem normen N(4 + 5ξ) samt primopløsningen af 4 + 5ξ inden for Z[ ξ ]. /local/notes/alg1/ex/exalg12.tex :11:14

2 EO 2 Matematik 2AL, sommeren 2003 I besvarelsen må benyttes, at = , at 2002 = , og at 2003 er et primtal. 1. Bestem i gruppen (Z/22176) ordenen af restklassen af Bestem cykeltype, orden og fortegn for permutationen ( )(1 7 6)(1 8 9)(1 0 7); det er en permutation af de 10 cifre 0, 1,..., Bestem den største mulige orden af en permutation i den alternerende gruppe A Bestem de mulige cykeltyper for permutationer af orden 2 i S 6. Hvor mange permutationer σ i S 6 opfylder, at σ 2 = id? 5. Betragt 4-cyklen γ = ( ) i S 4. Findes der en lige permutation σ i S 4 således, at σγσ 1 = γ 3? Findes der en ulige permutation σ i S 4 således, at σγσ 1 = γ 3? Findes der en permutation σ i S 4 således, at σγσ 1 = γ 2? 6. Angiv de kommutative grupper, der har orden 80 og præcis 3 elementer af orden Bestem 4 ikke-kommutative grupper af orden 120, for hvilke antallene af elementer af orden 2 er forskellige. 8. Vis, at en gruppe G af orden ikke kan være simpel. 9. Lad ϕ : C 15 C 10 være en ikke-triviel gruppehomomorfi. Vis, at kernen for ϕ har orden 3, og at billedet for ϕ har orden 5. Vis, at der findes en sådan homomorfi. 10. Lad p være et ulige primtal. Hvor mange perlekæder med p perler kan der laves, når der er 2 farver perler at vælge mellem? 11. Bestem i Gauss talring Z[i] primopløsninger af tallene 2002 og Angiv for hvert af disse to tal antallet af divisorer. 12. Hver koefficient i polynomiet f = X er 0, 1 eller 1, og f kan opfattes som polynomium i L[X] for et vilkårligt legeme L. Hvor mange rødder har polynomiet i L, når (a) L = R, (b) L = C, (c) L = F 2003, (d) L = F 29? I de næste tre opgaver betragtes polynomiet f = X Afgør, om f er irreducibel i R[X]. 14. Afgør, om f er irreducibel i Q[X]. 15. Afgør, idet koefficienterne i f identificeres med deres restklasser modulo 2003, om f er irreducibel i F 2003 [X]. [Vink: er et kvadrattal.]

3 EO 3 Matematik 2AL, vinteren I besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at = , at 2 11 = 2048, at 2003 er et primtal, og at 2002 = Bestem i gruppen (Z/63457) ordenen af restklassen af Hvor mange elementer i (Z/2003) har orden 13? 3. Idet de 15 tal 0, 1,..., 14 identificeres med deres restklasser modulo 15, bestemmes en permutation af disse tal ved forskriften x 2x (mod 15). Bestem cykelfremstilling, type, orden og fortegn for denne permutation. 4. Angiv cykeltyperne for permutationer af orden 6 i den alternerende gruppe A Lad γ være en given permutation i S n. Vis, at der altid findes permutationer σ S n, som opfylder ligningen σγσ 1 = γ 1. Vis, at når σ opfylder ligningen, så vil også σγ opfylde ligningen. Vis, at når γ er en ulige permutation, så er ligningen altid opfyldt med en lige permutation σ. 6. Angiv de kommutative grupper, der har orden 162 og indeholder præcis 8 elementer af orden Bestem 4 ikke-kommutative grupper af orden 60, for hvilke antallene af elementer af orden 2 er forskellige. 8. Vis, at en gruppe af orden ikke kan være simpel. 9. Om en gruppe G vides, at G = 60 og at G er simpel. Bestem antallet af elementer af orden 5 i G. 10. Lad ϕ : S 4 C 10 være en ikke-triviel gruppehomomorfi. Vis, at billedet for ϕ har orden 2 og at kernen for ϕ har orden 12. Vis, at der findes en sådan homomorfi. 11. Hvor mange perlekæder med 9 perler kan der laves, når der er 2 farver perler at vælge mellem? 12. Bestem i Gauss talring Z[i] primopløsninger af tallene 5, 5 + i, 5 + 2i, og 5 + 3i. I de næste tre opgaver betragtes polynomiet f = X Afgør, om f er irreducibel i R[X]. 14. Afgør, om f er irreducibel i Q[X]. 15. Afgør, idet koefficienterne i f identificeres med deres restklasser modulo 13, om f er irreducibel i F 13 [X].

4 EO 4 Matematik 2AL, sommeren 2004 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. I besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 2004 = , og at 167 er et primtal. 1. Bestem den største orden af et element i gruppen (Z/2004). 2. Idet tallene 0, 1, 2,..., 10 identificeres med deres restklasser modulo 11, bestemmes en permutation af disse tal ved forskriftenx x 3 +3 (mod 11). Bestem cykelfremstilling, type, orden og fortegn for denne permutation. 3. Hvilke permutationer konjugerer (1 2)(3 4 5) over i (1 2 3)(4 5)? Hvilke af dem er lige? 4. Gruppen S n kan opfattes som undergruppen af S n+2 bestående af de permutationer, der har n + 1 og n + 2 som fikspunkt. Lad τ = (n+1 n+2) være transpositionen, der ombytter n + 1 og n + 2. For hver permutation σ S n sættes σ = σ, hvis σ A n, og σ = στ ellers. Vis, at afbildningen σ σ er en injektiv homomorfi S n A n Vis, at gruppen G = C 4 C 2 C 3 C 3 er den eneste kommutative gruppe, der har orden 72 og indeholder 24 elementer af orden Gruppen (Z/16) er isomorf med et produkt af cykliske grupper. Angiv dette produkt. 7. Gruppen S 5 virker på mængden {1, 2, 3, 4, 5}, og dermed også på mængdenp af alle delmængder af denne mængde. Bestem under denne virkning af S 5 påp isotropigruppen for {1, 2}, og banen gennem {1, 2}. 8. Vis, at der kun er én gruppe af orden Vis, at hvis σ og τ er disjunkte 5-cykler i S 15, så udgør permutationerne af formen σ i τ j en undergruppe af orden 25. Vis, at Sylow-5-undergrupperne i S 15 er isomorfe med C 5 C 5 C Lad m betegne antallet af Sylow-3-undergrupper i en gruppe af orden 60. Bestem de værdier af m, der er mulige ifølge Sylow s sætninger. Giv for hver af disse værdier af m et eksempel på en gruppe af orden 60 med præcis m Sylow-3-undergrupper. 11. Et kvadratisk mosaik-vindue opbygges ved at sammensætte 3 3 = 9 små farvede glaskvadrater. Hvor mange forskellige vinduer kan der bygges, når midterkvadratet skal være gult og hvert af de øvrige 8 kvadrater skal have en af farverne rød, grøn eller blå. 12. Vis, i den kvadratiske talring Z[ 11], at tallet er divisor i Vis, at tallet har en ikke-triviel divisor. [Vink: led blandt tal med norm 5.] Bestem en irreducibel opløsning af I de næste tre opgaver betragtes polynomiet f = X X Afgør, om f (X) er irreducibel i R[X]. 14. Afgør, om f (X) er irreducibel i Q[X]. [Vink: kig på polynomiet f (X + 1).] 15. For et primtal p > 3 identificeres koefficienterne i f med deres restklasser modulo p. Vis, at hvis f i F p har roden a, så har f fire rødder i F p, nemlig ±a og ±3a 1. Inden mundtlig eksamen blev det besluttet, at 13 helt rigtigt besvarede opgaver regnes for fuld besvarelse; i praksis foregår justeringen ved at de to dårligst besvarede opgaver ikke indgår i vurderingen.

5 EO 5 Matematik 2AL, vinteren Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. I besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 2004 = , at 2005 = 5 401, og at 167 og 401 er primtal. 1. Hvilken orden har gruppen (Z/2005)? Bestem den største orden af et element i denne gruppe. 2. Idet σ := ( )( )( ) ønskes bestemt cykelfremstilling, type, orden og fortegn for σ. Bestem potensen σ Bestem det mindste naturlige tal n således, at A n indeholder en permutation af orden Bestem de mulige cykeltyper for de permutationer σ i S 6, som opfylder, at σ 2 har cykeltypen , altså er en dobbelttransposition. 5. Hvor mange permutationer i S 6 kommuterer med dobbelttranspositionen (1 2)(3 4)? 6. Bestem de kommutative grupper af orden Vis, at en gruppe af orden ikke kan være simpel. 8. Hvilken orden har Sylow-167-undergruppen i S 2004? 9. Betragt den kvadratiske talring R = Z[ 7]. Vis, at tallene 2 ± 7 er irreducible og ikke associerede i R. Vis, at tallene 3 ± 7 er irreducible og associerede i R. I de næste tre opgaver betragtes polynomiet f = X Afgør, om f (X) er irreducibel i R[X]. 11. Afgør, om f (X) er irreducibel i Q[X]. 12. Idet koefficienterne i f identificeres med deres restklasser modulo 401, kan f opfattes som polynomium i F 401 [X]. Vis, at restklassen af 2 modulo 401 er rod. Hvor mange rødder har polynomiet i F 401? [Vink: Vis, og udnyt, at for alle a F 401 er a2010 = a 10.] 13. Lagkager, bestående af 6 ens stykker, glaceres sådan, at hvert stykke er ensfarvet. Der er glasur af 4 forskellige farver. Hvor mange forskellige lagkager findes der? 14. Hvor mange forskellige perlekæder med 6 glasperler findes der, når der er perler af 4 forskellige farver? 15. På hvor mange måder kan man lægge æbleskiver af 4 forskellige farver i en æbleskivepande, når det midterste af de 7 huller skal være tomt?

6 EO 6 Matematik 2AL og Algebra 2, juni 2005 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. Ved besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 1864 = 8 233, at 2005 = 5 401, og at 233 og 401 er primtal. 1. Hvilken orden har gruppen (Z/1864)? Angiv, med begrundelse, den største orden af et element i denne gruppe. 2. Betragt permutationen σ = (1 2)( ) i S 6. Bestem antallet af med σ konjugerede permutationer, og angiv centralisatoren C(σ) for σ. 3. Vis, at følgende tre grupper D 12, C 2 A 4 og S 4 er parvis ikke-isomorfe. 4. Angiv ordenerne af Sylow-p-undergrupperne af S 6 og A 6 for de relevante primtal p. 5. Vis, at en gruppe af orden ikke kan være simpel. 6. Bestem alle kommutative grupper af orden 80. Afgør, med begrundelse, om de to grupper C 2 C 40 og C 2 C 2 C 20 er isomorfe. 7. Bestem antallet af perlekæder med 9 perler og 3 farver perler. Det er tilstrækkeligt at angive et eksplicit regneudtryk for dette antal. For en kommutativ ring R kaldes et element a R for en nuldeler, hvis der findes et element b R, med b 0, så ab = Bestem nuldelerne i ringen Z/12, og vis, at de ikke udgør et ideal. 9. Bestem nuldelerne i ringen Z/9. Vis, at hvis nuldelerne i en ring R udgør et ideal i R så er dette ideal et primideal. I de følgende to opgaver betegner f polynomiet X Afgør, med begrundelse, om f er irreducibel i R[X]. 11. Afgør, med begrundelse, om f er irreducibel i Q[X]. I de følgende to opgaver betegner g polynomiet X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Det kan uden bevis benyttes, at (X 1)(X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) = X Skriv g som produkt af irreducible polynomier i R[X] og C[X]. 13. Skriv g som produkt af irreducible polynomier i F 7 [X], hvor F 7 betegner legemet med 7 elementer. 14. Bestem mængden af enheder i den kvadratiske talring Z[ 13]. 15. Angiv, med begrundelse, to forskellige irreducible opløsninger af et element fra den kvadratiske talring Z[ 13].

7 EO 7 Matematik 2AL og Algebra 2, juni 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. Ved besvarelsen kan det være nyttigt at kende primopløsningerne 2006 = og 1092 = Hvilken orden har gruppen (Z/2006)? Bestem den største orden af et element i denne gruppe. 2. Betragt diedergruppen D Angiv en normal, ikke-triviel undergruppe. Angiv en undergruppe, der ikke er normal. 3. Betragt permutationen σ = (1)(2 3)(4 5 6) i gruppen S 6. Bestem antallet af de med σ konjugerede permutationer, og angiv centralisatoren C(σ) for σ. 4. Bestem antallet af kommutative grupper af orden Angiv 2 ikke-kommutative grupper af orden Angiv ordenen af en Sylow-5-undergruppe i A Bestem antallet af elementer af orden 13 i en simpel gruppe af orden Bestem antallet af undergrupper i den cykliske gruppe C Bestem de tald, der er orden af et element i(z/16). Hvilke af grupperne C 8, C 4 C 2 og C 2 C 2 C 2 er isomorfe med (Z/16)? Er grupperne (Z/16) og (Z/15) isomorfe? 9. Bestem antallet af perlekæder med 10 perler udvalgt blandt perler af 2 farver. Det er tilstrækkeligt at angive et eksplicit regneudtryk for antallet. 10. Et element a i en kommutativ ring R kaldes nilpotent, hvis der findes et naturligt tal n således, at a n = 0. Bestem de nilpotente elementer i Z/ Bestem i den kvadratiske talring Z[ 5] normen af de 4 tal 2 + 5, , og 5. Hvilke af de 4 tal er enheder? Hvilke er irreducible? 12. Bestem i den kvadratiske talring Z[i] primopløsningen af tallet I de følgende tre opgaver betragtes polynomiet f = X Øjensynlig har f den reelle rod a := , så f kan i R[X] skrives på formen f = (X a)g med g R[X]. Afgør, om g er irreducibel i R[X]. 14. Afgør, om f er irreducibel i Q[X]. 15. Afgør, idet f s koefficienter identificeres med deres restklasser modulo 17, hvor mange rødder f har i F 17.

8 EO 8 Algebra 1, juni 2007 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. Ved besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 2007 = , og at 223 er et primtal. 1. Angiv samtlige abelske grupper af orden 2007, og bestem for hver af dem antallet af elementer af orden Angiv fremstillingen af (Z/385) som produkt af cykliske grupper af primtalspotensorden. (Vink: Udnyt, at 385 = ) 3. Vis, at grupperne C 4 C 6 C 10, C 240, D 120 og C 10 S 4 er parvis ikke-isomorfe. 4. Bestem centrum i diedergruppen D Bestem samtlige permutationer σ S 5, sådan at ( ) = σ( )σ Angiv ordenerne af de ikke-trivielle Sylow-p-undergrupper i C 2 D 3 A 4 S Vis, at en gruppe af orden 2007 ikke kan være simpel. 8. Et rektangulært (men ikke kvadratisk) mosaikvindue opbygges ved at sammensætte 3 5 = 15 lige store, farvede glaskvadrater. Hvor mange forskellige vinduer kan der bygges, når der er 3 farver glas at vælge imellem? Det er nok at angive et eksplicit regneudtryk for antallet. 9. Betragt for hvert element a Z/6 afbildningen f a : Z/6 Z/6 givet ved f a (x) = ax. Vis, at f a er en gruppehomomorfi. For hvilke a Z/6 er f a en gruppeisomorfi? 10. Lad G være en gruppe, og lad g G være et element af endelig orden. Vis, at g = g 2, hvis og kun hvis g er ulige. 11. Betragt undergrupperne 12Z og 4Z i den additive gruppe Z. Find indeks af 12Z i 4Z. Angiv i 4Z et element fra hver af sideklasserne modulo 12Z. 12. Et element a i en ring R kaldes idempotent, hvis a 2 = a. Bestem de idempotente elementer i ringen Z/ Afgør, om X er irreducibel i C[X]. 14. Afgør, om X er irreducibel i R[X]. 15. Afgør, idet koefficienter identificeres med deres restklasser modulo 11, om 3X er irreducibel i F 11 [X]. (Vink: Vis, og udnyt, at for alle a F 11 er a223 = a 3.)

9 EO 9 Algebra 1, juni 2008 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. Ved besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 2008 = , og at 251 er et primtal. 1. En permutationσ S 15 har cykeltypen Bestem ordenen afσ. Bestem cykeltype og orden af σ Betragt i S 6 permutationerne γ = (1 2 3)(4 5)(6) og γ = (1)(2 3)(4 5 6). Hvor mange permutationer σ S 6 opfylder, at γ = σγσ 1? Angiv en sådan permutation σ. 3. Betragt undergrupper af de symmetriske grupper: H S n og K S m. Gør rede for at H K naturligt kan opfattes som en undergruppe af S n+m. Vis, at den symmetriske gruppe S 255 har en undergruppe af orden Betragt i den kommutative gruppe Z/20 afbildningen ϕ : Z/20 Z/20 bestemt ved ϕ(x) = 6x. Vis, at ϕ er en gruppehomomorfi. Bestem de restklasser modulo 20, der udgør kernen for ϕ. 5. Angiv samtlige abelske grupper af orden 2008, og bestem for hver af dem antallet af elementer af orden Angiv fremstillingen af (Z/2008) som produkt af cykliske grupper af primtalspotensorden. 7. Vis, at grupperne C 6 C 8 C 10, C 12 C 40, D 12 C 20 og A 4 C 40 er parvis ikkeisomorfe. 8. Bestem samtlige grupper af ordener 359, 361, 362, og Angiv ordenen af Sylow-251-undergruppen i C 2008 D 2008 A Bestem antallet af elementer af orden 7 i en simpel gruppe af orden Et (primitivt) skakbræt produceres ved at male 5 5 = 25 små kvadrater sorte eller hvide på et kvadratisk træplade. Hvor mange forskellige brætter kan produceres? Det er nok at angive et regneudtryk for antallet. 12. Betragt polynomiet f = X k a L[X], hvor L er et legeme, k 1, og a 0. Antag, at α L er rod i f. Vis, at β L er rod i f, hvis og kun hvis βα 1 er rod i X k Hvor mange komplekse rødder har polynomiet f = X ? Hvor mange af dem er reelle? I de næste to spørgsmål betragtes polynomiet f = X F 251 [X], idet koefficienterne identificeres med deres restklasser modulo Vis, at restklassen af 2 modulo 251 er rod i f. 15. Hvor mange rødder har f i F 251? [Det må uden bevis benyttes, at i en cyklisk gruppe C af orden n (multiplikativt skrevet, med neutralt element 1) er antallet af løsninger til ligningen x k = 1 med x C lig med den største fælles divisor for n, k.]

10 EO 10 Algebra 1, juni 2009 Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt ved besvarelsen, og det er tilladt at benytte blyant ved indskrivningen. Opgavesættet består af 15 opgaver, der vægtes ens ved bedømmelsen. Ved besvarelsen kan det være nyttigt at vide, at 2009 = , og at 41 er et primtal. I de følgende tre spørgsmål identificeres tallene 1, 2,...,11 med deres restklasser modulo 11. Herved kan permutationer af Z/11 opfattes som permutationer af tallene 1, 2,...,11. For a = 1,..., 10 betegnes med σ a permutationen af Z/11 bestemt ved x ax 1. Det er let at se, at restklassen af 2 har orden 10 i gruppen (Z/11). Vis, at permutationen σ 2 har cykeltype Hvilken cykeltype har permutationerne σ2 2 og σ 2 4? Bestem, som produkt af disjunkte cykler, en permutation µ S 11 således, at σ2 4 = µσ 2 2µ 1. [Fodnote 1 ] 3. Bestem i gruppen S 11 ordenen af centralisatoren for σ Lad ϕ : G G være en gruppehomomorfi, og lad g G være et element af endelig orden. Antag, at ϕ(g) har orden k. Vis, at g s orden er et multiplum af k. 5. Vis, at restklassen af 3 modulo 7 har orden 6 i gruppen (Z/7). Hvilken orden har gruppen (Z/49)? Vis, at restklassen af 3 i gruppen (Z/49) har orden Bestem ordenen af gruppen (Z/2009). Bestem den maksimale elementorden i gruppen (Z/2009). Hvilken orden har restklassen af 3 modulo 2009? 7. Bestem antallet af kommutative grupper af orden Bestem fremstillingen af (Z/2009) som produkt af cykliske grupper af primtalspotensordener. 9. Gruppen S 5 virker på talrummet R 5 ved at permutere de 5 koordinater. Bestem for x = (1, 1, 0, 0, 0) ordenen af isotropigrupppen for x og længden af banen gennem x. 10. Lagkager skæres i 10 ens stykker, der glaseres individuelt med glasur af to farver. Stykkerne bliver liggende i lagkageform på fadet. Hvor mange forskellige (gennemskårne) lagkager med glasur kan der serveres. 11. Bestem antallet af elementer af orden 11 i en simpel gruppe af orden Vis, at enhver gruppe af orden 2009 er kommutativ. 13. Et elementa i en ringr kaldes involutorisk, hvisa 2 = 1. Bestem antallet af involutoriske elementer i restklasseringen Z/ Hvor mange komplekse rødder har polynomiet X 4 + 1? Hvor mange af dem er reelle? Er X reducibelt i ringen R[X]? 15. Hvor mange rødder har polynomiet X i F 41? Er X reducibelt i ringen F 41 [X]? 1 Originalteksten havde σ 4 og (fejlagtigt) σ 8 for σ 2 2 og σ 4 2.