Svingninger. Erik Vestergaard
|
|
- Julius Bonde
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Svingninger Erik Vestergaard
2 2 Erik Vestergaard Erik Vestergaard, Billeder: Forside: Bearbejdet billede af istock.com/-m-i-s-h-a- Desuden egne illustrationer.
3 Erik Vestergaard 3 Indledning Denne lille note er ikke ment som en udtømmende beskrivelse af emnet svingninger, meningen er kun at give den grundlæggende matematiske beskrivelse af en svingning eller bølge. Som anvendelser vil vi især betragte lydbølger. Vi vil tillige se på begrebet stødtoner, også kaldet svævninger. En tidsmæssig bølgebeskrivelse I det følgende holdes stedet fast, så vi kun betragter det tidsmæssige forløb af en bølge. Den simpleste bølge, man kan tænke sig, er en sinusfunktion y( t) = sin( t), som vist på den øverste figur på næste side. Svingningstiden eller perioden, som det tager at gennemføre en hel bølge, betegnes T. Den er i det nævnte tilfælde lig med 2π. Man kan opnå en anden periode ved at multiplicere tiden med en faktor ω, kaldet vinkelhastigheden: y( t) = sin( ω t). Grafen for sinus-funktionen gennemfører en bølge, når funktionens indmad ændrer sig fra 0 til 2π. Derfor er perioden T her givet ved ω T = 2π T = 2π ω. Bølgen er afbildet på den anden delfigur på næste side. Bølgens frekvens f angiver antallet af bølger pr. tidsenhed (sek). Derfor haves f = 1 T. Man kan overveje at lægge en fast størrelse ϕ til ω t : y( t) = sin( ω t+ϕ ). Det resulterer i en parallelforskydning af grafen i t-aksens retning, som vist på den tredje delfigur på næste side. Forklaringen herpå får man ved at omskrive: (1) y( t) = sin( ω t+ϕ ) = sin ( ω ( t+ϕ ω )) Det viser, at vi får den nye forskrift ved at udskifte t med t+ϕ ω i sin( ω t). Dette betyder en parallelforskydning af grafen for y( t) = sin( ω t) med ϕ ω i t-aksens retning (Overvej!). Størrelsen ϕ kaldes i øvrigt for faseforskydningen. Faseforskydningen bevirker her, at udsvinget y til tiden t= 0 ikke er lig med 0. Situationen på den nederste delfigur på næste side er, at udsvingene overalt er ganget med en faktor A, svarende til, at vi har følgende generelle udtryk for det tidsmæssige forløb af en bølge med vinkelhastighed ω og faseforskydning ϕ : (2) y( t) = A sin( ω t+ϕ ) A kaldes for bølgens amplitude. Undertiden er det hensigtsmæssig at have frekvensen direkte angivet i udtrykket frem for vinkelhastigheden. Da ω= 2π T = 2π f, fås: (3) y( t) = A sin(2 π f t) hvor vi for simpelhedsskyld antager ϕ= 0.
4 4 Erik Vestergaard Opgave 1 Benyt grafregneren til at tegne grafen for en ren tone med frekvensen 440 Hz og amplitude 1,4, uden faseforskydning. Sørg for at vælge et passende vindue, så du kan se 3 hele bølger på skærmen. Hvad fortæller frekvensen om en lydbølge? Hvad fortæller amplituden noget om? Efter du har tegnet grafen, prøv da i samme vindue at tegne den samme lydbølge, blot faseforskudt, således at den nye bølge er 1/4 bølge foran den oprindelige i tid. Hvad skal ϕ sættes til?
5 Erik Vestergaard 5 Den generelle bølgemodel Vi har hidtil fastholdt stedet og udelukkende betragtet den tidsmæssige udvikling af bølgen. Men vi ved alle, at bølger udbreder sig. For lydens vedkommende sker det i luft under normalt tryk og ved 20 C med en hastighed på ca. 343 m/s. For at forenkle situationen antager vi i det følgende, at vi har at gøre med en bølge, som udbreder sig langs en ret linje. På næste side er vist en tegneserie af en bølge, som udbreder sig langs en vandret linje mod højre. Der er taget et snapshot af bølgen til en række tidspunkter. Hver af disse snapshots vil vi kalde for bølgens stedkurve til det pågældende tidspunkt. Samtidigt ser vi, at der er tegnet et punkt på hver stedkurve. Af tegneserien fremgår det, at punktet indikerer bølgens udsving på et fast sted som funktion af tiden. Man kan eventuelt tænke på det som en korkprop, som bevæger sig op og ned på en vandbølge. Hvis man laver en graf af udsvinget som funktion af tiden på et fast sted, får man bølgens tidskurve på det pågældende sted, altså det vi studerede i forrige afsnit. Tegneserien forløber over en hel periode T. Per definition skabes der netop én bølge i løbet af én periode, dvs. hele bølgen har bevæget sig en bølgelængde mod højre i dette tidsrum, som indikeret ved den stiplede linje. Husk dog, at der ikke er tale om udbredelse af stof, men af energi. En bølges bølgelængde betegnes med det græske bogstav lambda, λ, og angiver fx afstanden mellem to bølgetoppe på stedkurven. Husk på ikke at forveksle med afstanden mellem toppene på tidskurven det giver perioden!! I løbet af en periode T kommer bølgen altså stykket λ fremad. Bølgens hastighed kan da nemt beregnes, idet hastighed er strækning tilbagelagt pr. tidsenhed: (4) v s λ 1 = = = λ = λ f t T T Det er en meget vigtig formel, som gælder for alle bølger: v = f λ.
6 6 Erik Vestergaard
7 Erik Vestergaard 7 Opgave 2 a) Hvad er bølgelængden for kammertonen med frekvens 440 Hz, hvis lyden udbreder sig i luft ved normaltryk og ved stuetemperatur? b) En lydbølge udbreder sig i luft ved normaltryk og ved stuetemperatur, og bølgelængden viser sig at være lig med 1,34 m. Hvad er lydens frekvens. c) Lydbølgen fra spørgsmål a) sendes nu ned i luftarten CO 2. Herved ændres bølgelængden til 0,61 m. Hvad er lydens hastighed i CO 2? Opgave 3 (lidt svær) Man kan vise, at for en bølge, som udbreder sig langs en linje, kan udsvinget y( t, x ) på et bestemt sted x til et bestemt tidspunkt t angives på formen (5) y( t, x) = A sin ( ω ( t x v) ) hvor ω er vinkelhastigheden og v er bølgehastigheden. Forsøg at vise dette ved at betragte tegneserien og tænke på, hvor meget bølgen er forsinket på stedet x i forhold til stedet x= 0. Kan du udfra (5) fremstille andre formler, som fx inkluderer f og λ? Interferens Når to eller flere bølger befinder sig på samme sted til samme tidspunkt, så siges de at interferere, dvs. vekselvirke. Her kan benyttes superpositionsprincippet, som siger, at den resulterende bølges udsving på det pågældende sted til det pågældende tidspunkt fås ved at lægge udsvingene fra hver bølge sammen (med fortegn). Princippet er illustreret på figuren på næste side, hvor en lydbølge med amplitude 0,8 og frekvens 440 Hz vekselvirker med en lydbølge med amplitude 0,6 og frekvens 880 Hz. Resultatet er en sammensat tone, hvis udsving kan skrives som: (6) y( t) = 0,8 sin(2π 440 t) + 0, 6 sin(2π 880 t) De to oprindelige toner betegnes derimod som rene, harmoniske toner. Stemmegafler og tonegeneratorer kan frembringe rene toner. Ellers er tonerne fra musikinstrumenter generelt sammensatte. Mere om det i næste afsnit. Opgave 4 Benyt grafregneren til at tegne grafen for følgende sammensatte tone: y( t) = 1,1 sin(2π 200 t) + 0,5 sin(2π 600 t) Eksperimenter ellers med at lægge flere rene toner til, hvoraf alle har en frekvens, som er et multiplum af 200 Hz.
8 8 Erik Vestergaard
9 Erik Vestergaard 9 Fourieranalyse Som nævnt i forrige afsnit, frembringer de fleste musikinstrumenter sammensatte toner, og det er interessant at finde ud af hvilke rene toner, de består af. Hertil er udviklet en ret indviklet matematisk teori, som går under betegnelsen Fourieranalyse, opkaldt efter den fremragende franske matematiker og fysiker Jean Baptiste Joseph Fourier ( ). Løst sagt, så siger en sætning i Fourieranalysen, at enhver stykvis kontinuert periodisk funktion med periode T kan skrives som en sum af sinus-led, cosinus-led og en konstant, og frekvenserne af de trigonometriske funktioner opfylder, at der er en mindste frekvens, og at alle de øvrige frekvenser er multipla heraf. Vi skal kun betragte ulige periodiske funktioner, og i dette tilfælde viser det sig, at funktionen kan opløses i udelukkende sinus-led: y( t) = A sin(2 π f t) + A sin(2π 2 f t) + A sin(2π 3 f t) + (7) Det første led på højre side i (7) betegnes grundtonen. Det er en ren tone med en frekvens f 0, som vi vil betegne grundtone-frekvensen. Næste led kaldes 1. overtone og har den dobbelte frekvens af grundtonen. Det tredje led kaldes 2. overtone og har den tredobbelte frekvens af grundtonen etc. Der eksisterer computerprogrammer, som kan foretage en Fourieranalyse af lyden fra et musikinstrument via en mikrofon tilsluttet computerens lydkort. Hvis musikinstrumenters toner var rene toner, ville det have lydt kedeligt og monotont. Men nu er lydene altså sammensatte, og det er tilstedeværelsen af overtoner, som giver lyden karakter. Man siger, at de bestemmer instrumentets klang. Stødtoner Stødtoner, også kaldes svævninger, er et fænomen, som opstår når to bølger med samme amplitude, men med lidt forskellig frekvens, interfererer. På næste side ser vi resultatet når to lyde med frekvenser henholdsvis f 1= 390 Hz og f 2 = 440 Hz og samme amplitude interfererer. Ikke overraskende lyder det som om lyden pulserer i styrke det lyder lidt som stød. Man kan vise, at stødene forekommer med en frekvens f givet ved stød
10 10 Erik Vestergaard formlen fstød = f2 f1. Det kræver et ret teknisk matematisk apparat at vise dette. Det er derfor henlagt til en opgave i næste afsnit om trigonometriske relationer. Trigonometriske relationer Der er to sæt af trigonometriske formler, som af og til dukker op i anvendelser i både matematik og fysik. Det er de såkaldte additionsformler samt de logaritmiske formler. Du skal udlede alle additionsformlerne samt den første logaritmiske formel igennem en række delopgaver, trin for trin. Lad os begynde med at formulere formlerne: Sætning 1 (Additionsformlerne) (a) cos( u v) = cos( u) cos( v) + sin( u) sin( v) (b) cos( u+ v) = cos( u) cos( v) sin( u) sin( v) (c) sin( u v) = sin( u) cos( v) cos( u) sin( v) (d) sin( u+ v) = sin( u) cos( v) + cos( u) sin( v)
11 Erik Vestergaard 11 Sætning 2 (De logaritmiske formler) x+ y x y (a) sin( x) + sin( y) = 2 sin cos 2 2 x+ y x y (b) sin( x) sin( y) = 2 cos sin 2 2 x+ y x y (c) cos( x) + cos( y) = 2 cos cos 2 2 x+ y x y (d) cos( x) cos( y) = 2 sin sin 2 2 Trin 1 cos( u) cos( v) Lad eu = og ev = være de to enhedsvektorer med retningsvinkler henholdsvis u og v. Benyt sin( u) sin( v) a b formlen cos( w) = fra vektorregningen til at vise a b (a) i sætning 1. Trin 2 Vis (b) i sætning 1 ved hjælp af (a) samt cos( v) = cos( v) og sin( v) = sin( v). Trin 3 Vis (c) i sætning 1. Hjælp: Bemærk omskrivningen 90 ( u v) = (90 u) + v, tag cosinus på begge sider og udnyt de velkendte formler for komplementerne til cosinus og sinus, altså at cos(90 w) = sin( w) og sin(90 w) = cos( w) gælder for alle w. Trin 4 Vis (d) i sætning 1 ved hjælp af (c) samt cos( v) = cos( v) og sin( v) = sin( v). Trin 5 Læg (c) og (d) i sætning 1 sammen, og vis, at sin( u v) + sin( u+ v) = 2 sin( u) cos( v). Trin 6 x+ y x y Sæt x= u+ v og y= u v, og vis, at det betyder, at u= og v=. 2 2 Indsæt endelig i formlen under trin 5 for at vise formel (a) i sætning 2. NB! Hvorfor tror du i øvrigt, at formlerne har fået de anførte navne?
12 12 Erik Vestergaard Opgave 5 Betragt igen eksemplet givet i afsnittet om stødtoner. a) Benyt grafregneren til at tegne grafen for funktionen sin(2 π f1 t) + sin(2 π f2 t) for f 1= 390 Hz og f 2 = 440 Hz. Vær meget omhyggelig med at vælge et passende vindue. For at forklare det specielle udseende af grafen, skal du benytte de logaritmiske formler. b) Vis ved hjælp af (a) i sætning 2 at der gælder: 2 π( f2 f1) t 2 π ( f2+ f1) t sin(2 π f1 t) + sin(2 π f2 t) = 2 cos sin 2 2 c) Forsøg at forklare grafens udseende ved hjælp af formlen i spørgsmål b), idet du opfattter cosinus-faktoren som en variabel amplitude. d) Om stødtoner gælder som tidligere nævnt, at stødene forekommer med en frekvens på fstød = f2 f1. Kan du få dette til at stemme med formlen i spørgsmål b)? Husk, at der forekommer 2 stød for hver periode for cosinus-bølgen. Opgave 6 Lige et lille sidespring her: Man kan benytte additionsformlerne til at frembringe formler for sinus eller cosinus til den dobbelte vinkel. Vis, at der gælder: sin(2 x) = 2 sin( x) cos( x) 2 2 cos(2 x) = 2 cos ( x) 1 = 1 2 sin ( x) Kan du også bruge additionsformler til at finde formler for sinus og cosinus til den halve vinkel? Opgave 7 Undertiden er det hensigtsmæssigt at kunne skrive en linearkombination af sinus og cosinus som en ren sinusfunktion med en faseforskydning ϕ: A sin( ω t) + B cos( ω t) = C sin( ω t+ϕ ) At det overhovedet lader sig gøre at skrive linearkombinationen på denne måde indses ved et par snedige tricks. For det første omskriver vi venstresiden en smule: (*) Det gode her er, at punktet A B sin( ) cos( ) A + B A + B 2 2 A + B ω t + ωt A B, A + B A + B ligger på enhedscirklen (Overvej!), og vi derfor kan finde en vinkel ϕ så:
13 Erik Vestergaard 13 A B, = (cos( ϕ ), sin( ϕ )) A + B A + B + ϕ ω + ϕ ω, som ved hjælp af additionsformlen fra sætning 1d) kan omskrives til: Derved bliver (*) til A 2 B 2 ( cos( ) sin( t) sin( ) cos( t) ) ( 2 2) A + B sin( ω t+ϕ ) Benyt ovenstående teknik til at omskrive 3 sin(0,7 t) + 4 cos(0,7 t) til et udtryk på formen C sin(0, 7 t+ϕ ).
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning I denne
Læs mereNedenfor er tegnet svingningsmønsteret for to sinus-toner med frekvensen 440 og 443 Hz:
Appendiks 1: Om svævning: Hvis to toner ligger meget tæt på hinanden opstår et interessant akustisk og matematisk fænomen, der kaldes svævning. Det er dette fænomen, der ligger bag alle de steder, hvor
Læs mere2 Erik Vestergaard
2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2015. Opdateret 2019. Billeder: Forside: istock.com/demo10 (højre) Desuden egne illustrationer Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 1. Indledning
Læs mereFysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Musik og bølger
Fysikøvelse Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Musik og bølger Formål Hovedformålet med denne øvelse er at studere det fysiske begreb stående bølger, som er vigtigt for at forstå forskellige musikinstrumenters
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereInterferens og gitterformlen
Interferens og gitterformlen Vi skal studere fænomenet interferens og senere bruge denne viden til at sige noget om hvad der sker, når man sender monokromatisk lys, altså lys med én bestemt bølgelængde,
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereDen harmoniske svingning
Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEn harmonisk bølge tilbagekastes i modfase fra en fast afslutning.
Page 1 of 5 Kapitel 3: Resonans Øvelse: En spiralfjeder holdes udspændt. Sendes en bugt på fjeder hen langs spiral-fjederen (blå linie på figur 3.1), så vil den når den rammer hånden som holder fjederen,
Læs mereEn f- dag om matematik i toner og instrumenter
En f- dag om matematik i toner og instrumenter Læringsmål med relation til naturfagene og matematik Eleverne har viden om absolut- og relativ vækst, og kan bruge denne viden til at undersøge og producerer
Læs mereHarmoniske Svingninger
Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere1. Vibrationer og bølger
V 1. Vibrationer og bølger Vi ser overalt bevægelser, der gentager sig: Sætter vi en gynge i gang, vil den fortsætte med at svinge på (næsten) samme måde, sætter vi en karrusel i gang vil den fortsætte
Læs mereSvingninger og bølger
Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Svingninger og bølger Pendulet svinger SIDE 2 1051 Formål At bestemme sammenhængen mellem pendulets længde og dets svingningstid. Materialer
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereØvelsesvejledning FH Stående bølge. Individuel rapport
Teori Stående bølge Individuel rapport Betragt en snøre udspændt mellem en vibrator og et fast punkt. Vibratorens svingninger får en bølge til at forplante sig hen gennem snøren. Så snart bølgerne når
Læs mereDopplereffekt. Rødforskydning. Erik Vestergaard
Dopplereffekt Rødforskydning Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard 2012 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Dopplereffekt Fænomenet Dopplereffekt, som vi skal
Læs mereElevforsøg i 10. klasse Lyd
Fysik/kemi Viborg private Realskole Elevforsøg i 10. klasse Lyd Lydbølger og interferens SIDE 2 1062 At påvise fænomenet interferens At demonstrere interferens med to højttalere Teori Interferens: Det
Læs mereHvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?
Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Måling af lydens hastighed... 4 Resonans... 5 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 6 Stående tværbølger på en snor....
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereØvelsesvejledning RG Stående bølge. Individuel rapport. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser.
Stående bølge Individuel rapport Forsøgsformål At finde resonanser (stående bølger) for fiskesnøre. At undersøge bølgens hastighed ved forskellige resonanser. At se hvordan hastigheden afhænger af belastningen
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereResonans 'modes' på en streng
Resonans 'modes' på en streng Indhold Elektrodynamik Lab 2 Rapport Fysik 6, EL Bo Frederiksen (bo@fys.ku.dk) Stanislav V. Landa (stas@fys.ku.dk) John Niclasen (niclasen@fys.ku.dk) 1. Formål 2. Teori 3.
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereØvelser 10. KlasseCenter Vesthimmerland Kaj Mikkelsen
Indhold Længdebølger og tværbølger... 2 Forsøg med frembringelse af lyd... 3 Resonans... 4 Ørets følsomhed over for lydfrekvenser.... 5 Stående tværbølger på en snor.... 6 Stående lydbølger i resonansrør.
Læs merePolarisering. Et kompendie om lysets usynlige egenskaber
Polarisering Et kompendie om lysets usynlige egenskaber Hvad er polarisering? En bølge kan beskrives på mange måder. Den har en bølgelængde, en frekvens, en hastighed, en amplitude og en bevægelsesretning.
Læs mereOpgaver i solens indstråling
Opgaver i solens indstråling I nedenstående opgaver skal vi kigge på nogle aspekter af Solens indstråling på Jorden. Solarkonstanten I 0 = 1373 W m angiver effekten af solindstrålingen på en flade med
Læs mereIndhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...
Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...
Læs mereDigitale periodiske signaler
KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereLøsninger til øvelser i kapitel 1
Øvelse 1.1 Øvelse 1. Øvelse 1.3 Afspil animationerne og forklar med dine egne ord, hvad du ser. a) Afspil lydfilerne og forklar med dine egne ord, hvad du hører. Frekvenserne fordobles for hver oktav.
Læs mereSpektrumrepræsentation
Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede
Læs mereRen versus ligesvævende stemning
Ren versus ligesvævende 1. Toner, frekvenser, overtoner og intervaller En oktav består af 12 halvtoner. Til hver tone er knyttet en frekvens. Kammertonen A4 defineres f.eks. til at have frekvensen 440
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereKaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse
Kaotisk kuglebevægelse En dynamisk analyse Ole Witt-Hansen 08 Kaotisk kuglebevægelse Kaotisk bevægelse Kaotiske bevægelser opstår, når bevægelsesligningerne ikke er lineære. Interessen for kaotiske bevægelser
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereOpgaver i fysik lyd og lys bølger
Opgaver i fysik lyd og lys bølger Indhold B1 Lyd og lys på Månen og Mars... 2 B2 Fart af bølgepuls... 2 B3 Lydens fart i luftarter... 3 B4 Ekkolod... 3 B5 Hurtige biler og fly... 4 B6 Hvalers kommunikation...
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereLyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip
Lyd, højtalerprincip og harmoniske. Højtaler princip Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger
Læs mereDen menneskelige cochlea
Den menneskelige cochlea Af Leise Borg Leise Borg er netop blevet cand.scient. Artiklen bygger på hendes speciale i biofysik Introduktion Hørelsen er en vigtig sans for mennesket, både for at sikre overlevelse,
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVores logaritmiske sanser
1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2009 Institution Herningsholm Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B og A (1.år)
Læs merewwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber
wwwdk Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber Indhold Digital lydredigering på computeren grundlæggende begreber... 1 Indhold... 2 Lyd er trykforandringer i luftens molekyler... 3 Frekvens,
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereWavelet Analyse. Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet
Wavelet Analyse Arne Jensen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 Introduktion Numb3rs episoden on pengeforfalskning brugte wavelet analyse. Wavelet analyse er en relativt ny opdagelse, som
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereBrydningsindeks af luft
Brydningsindeks af luft Øvelsesvejledning til brug i Nanoteket Udarbejdet i Nanoteket, Institut for Fysik, DTU Rettelser sendes til Ole.Trinhammer@fysik.dtu.dk 14. marts 2012 1 Introduktion Alle kender
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereBillund Bygger Musik: Lærervejledning
Billund Bygger Musik: Lærervejledning Science of Sound og Music Velkommen til Billund Builds Music! Vi er så glade og taknemmelige for, at så mange skoler og lærere i Billund er villige til at arbejde
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereInterferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden
Interferens mellem cirkelbølger fra to kilder i fase Betingelse for konstruktiv interferens: PB PA = m λ hvor m er et helt tal og λ er bølgelængden På figuren er inegnet retninger (de røde linjer) med
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juni 2018 Institution VID gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Uddannelsestid
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns
Læs mereMatematikprojekt. Svingninger. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 17 September 2010
Matematikprojekt om Svingninger Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 17 September 2010 Del I Radianer Når man arbejder med vinkelstørrelser, kan man beskrive afstanden
Læs mereEnkelt og dobbeltspalte
Enkelt og dobbeltsalte Jan Scholtyßek 4.09.008 Indhold 1 Indledning 1 Formål 3 Teori 3.1 Enkeltsalte.................................. 3. Dobbeltsalte................................. 3 4 Fremgangsmåde
Læs mereMichael Jokil 11-05-2012
HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT
STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve
Læs mereMATEMATISK MODELLERING I FYSIKSAMMENHÆNGE TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER ET MODELLERINGSFORLØB, HVOR MAPLE OG CAPSTONE INDDRAGES
MATEMATISK MODELLERING I FYSIKSAMMENHÆNGE TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER ET MODELLERINGSFORLØB, HVOR MAPLE OG CAPSTONE INDDRAGES Christina Cæsarsen, Fjerritslev Gymnasium KU, den 15. november 2017 ET MODELLERINGSFORLØB,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereDifferentiation af Trigonometriske Funktioner
Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereElektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen
Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereKræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.
Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den
Læs mereFourieranalyse i sammenhæng med lydbølger
Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger Mathias Kærlev Fourieranalyse af en periodisk funktion Vejledere: Poul Hedegaard, Kristian Svendsen Abstract For this paper, the usage of real-valued Fourier series
Læs mereAnalyse af måledata II
Analyse af måledata II Usikkerhedsberegning og grafisk repræsentation af måleusikkerhed Af Michael Brix Pedersen, Birkerød Gymnasium Forfatteren gennemgår grundlæggende begreber om måleusikkerhed på fysiske
Læs mereVektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013
Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereDIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå?
DIFFERENTIALREGNING Hvorfor er himlen blå? Differentialregning - Rayleigh spredning - oki.wpd INDLEDNING Hvem har ikke betragtet den flotte blå himmel på en klar dag og beundret den? Men hvorfor er himlen
Læs mere