F I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
|
|
- Aksel Thøgersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER
2 Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Forudsatte begreber: Elementær geometri, talmængderne N, Z, Q og R, primtal. Inddragelse af supplerende stof: Ræsonnement og bevisførelse inden for udvalgte emner. BEVISER OG INDUKTIVE SLUTNINGER Overalt hvor man bruger matematik, har man brug for at ræsonnere, dvs. begrunde og forklare. Når vi for eksempel i en trekant kender to af vinklerne lad os sige at de er 60 grader og 45 grader, så kan vi finde den tredje vinkel ved at sige: 180 ( ) = 75. Det er et eksempel på et lille ræsonnement, hvor vi har benyttet os af, at vinkelsummen i en trekant er 180 grader. Ofte har ræsonnementer karakter af logiske slutninger af typen: Hvis så. Ovenfor: Hvis de to vinkler er 60 og 45 (og da vi ved vinkelsummen er 180 ) så er den sidste vinkel 75. Læg mærke til, at vi her benyttede os af følgende: En logisk slutning (nemlig Hvis Så) En viden vi havde på forhånd (vinkelsummen i en trekant er 180 grader) Almindeligt hverdagssprog En lille udregning Disse fire ingredienser vil I kunne finde mange gange i det følgende, hvor vi skal arbejde med ræsonnementer af forskellige typer. Den viden vi har i forvejen vil ofte være i form af andre sætninger, som allerede er bevist, og som vi derfor ved har gyldighed. Her var det, at vinkelsummen er 180 grader. (Måske har du på et eller andet tidspunkt set et bevis herfor - det er ikke svært). Når nye sætninger bevises ved at kombinere gamle sætninger gennem ræsonnementer, siger det sig selv, at man er nødt til at starte et sted. Man er nødt til at have nogle sætninger at gå ud fra, som virker umiddelbart troværdige. Sådanne sætninger kaldes axiomer. I geometrien har man sådanne axiomer, som stammer helt tilbage fra det gamle Grækenland. Et af dem formulerer vi i dag sådan: Tag en ret linje i planen og et punkt udenfor linjen, så kan man igennem dette punkt tegne én og kun én linje, som er parallel med den givne. Klart, ikke? Men det kan ikke bevises. Det er et eksempel på et axiom. Ræsonnement og bevis 2
3 Man kunne sige, at vi ovenfor har lavet et bevis for, at den sidste vinkel i trekanten er 75 grader. Men normalt reserverer man ordet bevis til det at begrunde forhold, som gælder i almindelighed, fx bevise en formel. Vi benytter os til hverdag af masser af sådanne formler og regler, hvis gyldighed vi ikke tænker dybere over. Som eksempel kunne vi se nøjere på reglen faktorernes orden er ligegyldig. Den benytter vi, når vi skal gange fx 171 med 14 og ikke tager det så nøje, om vi på lommeregneren indtaster 171 eller 14 først. Men reglen kræver egentlig en begrundelse. Lad os derfor se på det simplere tilfælde: 3 4 = 4 3. Du har for længst lært, at 3 4 betyder 4 tre gange, altså Tilsvarende er 4 3 det samme som Men er det nu så klart, at de to additionsstykker giver samme resultat? For at illustrere de to små additionsstykker, laver vi en figur med 3 rækker med 4 felter i hver og lader den betyde 3 4: Fig. 1 Hvis vi nu drejer figuren 90 grader, så får vi 4 rækker med 3 i hver, som jo illustrerer 4 3: Fig. 2 Da det er samme figur som før, er antallet af felter uændret, altså er 3 4 = 4 3. Samme type ræsonnement kunne vi lave som illustration til = , eller at n m = m n, uanset hvilke naturlige tal vi vælger for n og m. Det er hermed bevist, at reglen gælder for alle naturlige tal. Måske er det første gang, du ser en begrundelse/bevis for reglen, men det har sikkert ikke generet dig! Vi er nemlig vant til at lade os overbevise om regler, bare vi ser tilstrækkeligt mange eksempler på, at de virker. At vinkelsummen i en trekant er 180 grader, har din matematiklærer i folkeskolen måske overbevist dig om ved at lade dig tegne flere forskellige trekanter, måle vinklerne med en vinkelmåler, lægge tallene sammen og til slut konstatere at summen hver gang gav (cirka) 180 grader. Det kalder man en induktiv slutning. Man slutter (dvs. begrunder) fra flere eksempler (flere forskellige trekanter) til en almen regel, altså en regel som altid gælder. For de fleste mennesker er det tilstrækkeligt at være overbevist om, at en formel eller en regel er rigtig; Ræsonnement og bevis 3
4 og her er sådanne induktive slutninger oftest nok. Fagmatematikere er dog ikke tilfredse med det. Måske kan man nemlig tegne en trekant, som er så speciel, at vinkelsummen er noget helt andet end 180 grader! Matematikere ønsker at finde begrundelser, som dækker alle tænkelige tilfælde. Det kalder man et bevis. Et bevis er altså en almen begrundelse, som er udtømmende, og som altså ikke efterlader nogen løse ender. Der er dog mange eksempler på, at man har stået med matematiske regler, som man var overbevist om var sande, men som ingen kunne finde noget bevis for. Det har dog ikke afholdt mennesker fra at benytte dem. De induktive slutninger benyttes hele tiden i fx fysikken. De formler, man benytter her, kan nemlig ikke bevises i matematisk forstand. Men så længe de giver resultater, som stemmer overens med erfaringen, så benytter man dem. Lad os se på et eksempel, en sætning, som vi først begrunder induktivt og bagefter beviser. Summen af tre på hinanden følgende lige tal er delelig med 6 Sætningen siger altså, at når vi tager tre lige tal efter hinanden og lægger dem sammen, så kan resultatet deles med 6. Vi prøver med 4, 6 og 8: = 18, som kan deles med 6 På samme måde prøver vi: = 66 = 6 11, altså delelig med = 306 = 6 51, altså delelig med 6 Der skal sikkert ikke ret mange flere eksempler til, før du er overbevist. (Prøv selv med tre negative tal). Det var den induktive slutning. Men hvis man var rigtig kritisk, så kunne man sige, at der jo ikke er nogen garanti imod en dag at stå med tre sådanne tal, hvis sum ikke er delelig med 6. Så her kommer et bevis: Først minder vi om, at et lige tal altid kan skrives som 2 gange et andet helt tal, fx kan 18 skrives som 2 9, 56 som 2 28, osv. Vi tager nu et vilkårligt (tilfældigt) lige tal, som vi skriver som 2 n, hvor n er et helt tal. De følgende to lige tal hedder så 2 n + 2 og 2 n + 4. Vi lægger de tre tal sammen: 2 n + (2 n + 2) + (2 n + 4) = 6 n + 6 = 6 (n+1) Da summen er 6 gange (n+1), så kan summen deles med 6, hvilket vi skulle bevise. Ræsonnement og bevis 4
5 Beviset adskiller sig fra den induktive slutning på ét afgørende punkt: vi har ikke lagt os fast på hvilke tre tal, der benyttes. Det afhænger nemlig af, hvilket tal man sætter ind på n s plads. n er det, man kalder en variabel. Hvis n er 9, så får vi eksemplet fra før: 2 9 = 18, og ved at lade værdien af n variere kan vi få 2 n til at blive et hvilket som helst lige tal. Vores bevis er derfor generelt (alment), det dækker alle tænkelige situationer. Er du så overbevist gennem ovenstående bevis? Ja, det afhænger sikkert af, om du forstår det. Hvis du fx ikke kan følge den sidste omskrivning: 6 n + 6 = 6 (n+1), så er her en løs ende for dig, og så er du sandsynligvis mere overbevist af de tre tal-eksempler! Opgaver Bevis, at summen af tre på hinanden følgende lige tal er delelig med 3. (Vink: brug beviset for, at summen er delelig med 6, blot med en lille ændring). Opgave 1 Du kender formlerne for omkredsen og for arealet af en cirkel: O = 2πr og A = πr 2, hvor r er radius. Vi tager udgangspunkt i, at formlen for omkredsen allerede kendes, og vi vil bevise formlen for arealet. Det kan gøres ved hjælp af figurbetragtninger. Først skæres cirklen op i et antal lige store lagkagestykker : Opgave 2 Fig. 3 Dernæst lægges lagkagestykkerne op som vist herunder: Fig. 4 Ræsonnement og bevis 5
6 Forestil dig nu, at lagestykkerne er meget smalle, og at du allerede ved, at omkredsen er 2πr. Argumentér ud fra den sidste figur for, at arealet af cirklen er πr 2 Allerede i den græske oldtid kendte man følgende sætning: Opgave 3 Ethvert primtal større end 3 er nabo til et tal i 6-tabellen For at bevise sætningen er det nødvendigt at huske, at hvis et tal kan deles med 2 og med 3, så kan det også deles med 6. (Prøv selv med et par eksempler, hvis du er i tvivl). Og omvendt: hvis et tal kan deles med 6 (altså er med i 6-tabellen), så er det deleligt med både 2 og 3. Nu vælger vi et vilkårligt primtal, som vi kalder p. På figuren herunder er vist både p, p-1 og p +1, altså også p s nabotal: p -1 p p +1 Fig. 5 Prøv at argumentere for, at enten kan p -1 eller også kan p +1 deles med både 2 og med 3 (husk at hvert andet tal er med i 2-tabellen, og hvert tredje tal er med i 3-tabellen). Konkluder til slut, at sætningen gælder. Den engelske matematiker John Conway har udtænkt et lille spil, han kalder Into the Desert. Det minder lidt om spillet Dam. Idéen er, at man har et skakbræt, som må være så stort, man ønsker det, blot ikke uendelig stort. Igennem brættet går en linje, som adskiller ørkenen fra den beboede verden. Fra start må man kun anbringe dam-brikkerne i den beboede verden. Man må til gengæld anbringe så mange man har lyst til, og man må anbringe dem frit i den beboede verden. Brikkerne flytter som i dam ved at springe over en anden brik, som står umiddelbart foran. Pladsen efter brikken skal være tom. Her lander den springende brik, og den man sprang over fjernes: Opgave 4 Før: X X Efter: X Fig. 6 Man må springe lodret og vandret, men ikke skråt. Ræsonnement og bevis 6
7 Opgaven er nu at finde det færreste antal brikker (der placeres uden for ørkenen) for at komme ét skridt (og bagefter to, tre, skridt) ind i ørkenen. Ved at opstille to brikker som herunder, kan man komme ét skridt ind i ørkenen. Det er let at se (brikken til venstre springer blot over den anden): ØRKEN X X Fig. 7 At komme ét skridt ind i ørkenen krævede altså to brikker, da én brik ikke kan hoppe alene. Man kan sige, at vi hermed har bevist, at det kan lade sig gøre med to brikker. At bevise er i denne situation blot at demonstrere, at det kan lade sig gøre, altså at vise hvordan. Prøv selv at bevise, at man kan komme to skridt ind med fire brikker (det er ret let), og at man kan komme tre skridt ind med 8 brikker (det tager lidt længere tid). Nu skulle man tro, at det igen krævede det dobbelte antal brikker at komme fire skridt ind, altså 16 brikker, men sådan forholder det sig overraskende ikke! Her er altså et eksempel på, at en induktiv slutning ikke fungerer. Man kan bevise, at selv med 18 brikker kan man ikke komme fire skridt ind i ørkenen. Prøv at tænke lidt over, at når man skal bevise, at noget ikke kan lade sig gøre, så er det selvfølgelig ikke nok blot at prøve igen og igen med 18 brikker uden held. For måske findes der en opstilling med 18 brikker, vi bare ikke har forsøgt. (Men at forstå Conway s bevis herfor rækker desværre langt ud over, hvad vi kan her). Med tålmodighed kan man finde en løsning med 20 brikker. Prøv selv. Ingen ved, om det kan lade sig gøre med 19 brikker, så hvis du kan finde en sådan løsning, så har du som den første i verden bevist, at det kan lade sig gøre at komme fire skridt ind med 19 brikker! Conway har også bevist, at det ikke kan lade sig gøre at komme fem skridt ind i ørkenen, uanset hvordan Ræsonnement og bevis 7
8 og hvor mange brikker man stiller op (bare ikke uendelig mange)! Beviset bygger på Det gyldne Snit, som du kan finde noget om i et andet projektoplæg. Snydebeviser findes der mange af. Her kommer et bevis for, at en myg vejer det samme som en elefant. I sådanne beviser begår man undervejs en fejl, som er at benytte sig af en ulovlig omformning af en ligning. Opgave 5 Find fejlen. Lad a være elefantens vægt og b myggens. Forskellen imellem deres vægt kalder vi c: a b = c ( a b)( a b) = c( a b) 2 2 a ab ab + b = ac bc a 2 ab ac = ab b bc a( a b c) = b( a b c) a = b 2 og omform nu videre: (gang med (a b) på begge sider) (gang parenteser sammen) (tre led skifter side) (sæt a og b uden for hver sin parentes) (divider med (a b c) på begge sider) Da altså a = b, vejer en elefant det samme som en myg. Regulære polygoner er polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store. Den ligesidede trekant er en regulær polygon, som har tre lige lange sider, og tre vinkler på hver 60 grader. Tilsvarende er kvadratet en regulær polygon. Husk, at vinkelsummen i en n-kant er (n 2) 180, hvor n er antallet af sider. (Kontroller reglen med n = 3 (trekant) og med n = 4 (firkant)). Opgave 6 Fig. 8 Du skal nu lægge ens fliser, der har form som regulære polygoner, og undersøge om de kan dække hele planen, dvs. om de kan lægges uden mellemrum, og om man kan fortsætte uendeligt i alle retninger. Du ved allerede, at det kan lade sig gøre med kvadratet på denne enkle måde: Fig. 9 Ræsonnement og bevis 8
9 Undersøg, om man kan dække hele planen med regulære polygoner, hvis sidetal er 3, 4, 5, 6, 7 og 8. (Det er en god idé at benytte sig af små fliser i pap eller plastic til at eksperimentere med). Prøv at argumentere for, at det ikke er muligt at løse opgaven for visse af tallene fra 3 til 8. Kan du finde en regel, som gør det let at afgøre, om opgaven kan løses, blot du kender sidetallet? Er der nogle af tallene fra 3 til 8, hvor opgaven kan løses på flere forskellige måder? Og hvad vil det i øvrigt sige, at måderne er forskellige? Hvor mange forskellige farver kan man klare sig med, når et landkort skal farvelægges, uanset hvor kompliceret kortet er? Dette spørgsmål har optaget matematikere i mere end 100 år. Og faktisk har man været overbevist om det rigtige antal helt fra starten. Men først i 1976 lykkedes det for to matematikere (W. Haken og K. Appel) at bevise, at det forholdt sig, som man i mange år troede. Vi kalder her dette tal for F. Reglerne for farvelægningen er selvfølgelig, at nabolande ikke må få samme farve. Hvis to lande mødes i et enkelt punkt, så må disse to lande godt have samme farve. På kortet herunder er vist USA s stater. Arizona, New Mexico, Colorado og Utah mødes i samme punkt. Her må man fx godt give Colorado og Arizona samme farve. Opgave 7 Fig. 10 Prøv ved at eksperimentere at nå frem til en induktiv begrundelse for værdien af F. Start med USA-kortet, og lav derpå selv forskellige landkort i et tegneprogram, hvor det jo er let af fylde farver i de lukkede områder (Paint kan fint bruges). Klik for at hente USA-kortet ind i Paint: usa-kort.bmp Prøv derpå at lave et simpelt landkort med færrest muligt antal lande, men hvor det er nødvendigt med F farver. Når du har løst opgaven, så klik her for at hente et svært landkort : svær.bmp Ræsonnement og bevis 9
10 Projekter DE 6 MØNTER I det følgende skal du udforske en lille verden, der består af stabler af danske mønter og nogle opgaver, der knytter sig til at lægge forskellige beløb på bordet ved hjælp af præcis 6 mønter. At udforske betyder her at opstille og bevise forskellige sætninger, der gælder, når du lægger disse beløb op. Du har foran dig en stabel af hver af følgende mønter: Projekt A 25-øre, 1-kr., 2-kr., 5-kr., 10-kr. og 20-kr. NB: I første omgang udelader vi 50-øre! Hvis du skal lægge 6,75 på bordet med præcis 6 mønter, så kan du kun gøre det ved at lægge tre 2-kroner og tre 25-ører. Det kan du sikkert let overbevise dig selv om ved at tænke lidt over det. Prøv nu at bevise, at det kun kan gøres på denne ene måde. Husk, at et bevis ikke behøver være noget med variable a, b, x eller y (det fører heller ikke til noget her). Et bevis er blot en udtømmende begrundelse, altså en begrundelse uden løse ender. Det kan gøres ved at gå systematisk frem ved anvendelse af almindeligt hverdagssprog. Tegninger og figurer fremmer også forståelsen. Den sætning, du skal bevise, er altså Kr. 6,75 kan lægges på netop én måde med 6 mønter Ræsonnement og bevis 10
11 Prøv herefter, om I enten kan bevise eller modbevise sætningen: Kr. 18,25 kan lægges på netop to måder med 6 mønter Fortsæt nu på egen hånd med at udforske denne 6-mønt verden. Du kunne overveje og begrunde mange forskellige forhold, fx: Størstebeløb, mindstebeløb, beløb som ikke kan lægges, og hvad der karakteriserer dem. Hvad er det højeste antal måder, noget beløb kan lægges på? Nogle af forholdene kan du formulere som sætninger og bevise dem, andre er du måske nødt til at begrunde induktivt (gennem eksempler) og derfor lade stå tilbage som hypoteser. I kan afprøve jeres beviser ved at bytte med andre gruppers beviser. Kan I få de andre til at forstå og acceptere, at beviserne er uden løse ender, eller er der indvendinger? Prøv også at overveje, hvad det betyder at tage muligheden for 50-ører med? Lav en rapport over jeres arbejde. QUIZ MED 3 DØRE Projekt B Måske husker du dengang, TV2 brugte de såkaldte Hugo-spil i underholdningsudsendelser: En seer ringede ind og skulle styre trolden Hugo igennem forskellige typer af forhindringer i et computerspil. Hvis det lykkedes at komme helt hjem, så fik man til slut muligheden for at lade Hugo åbne én ud af tre døre. Bag én af dem var den store gevinst, bag de to var der ingenting, men man blev ekspederet ud med et spark bagi. Ræsonnement og bevis 11
12 Hugo-spillet var inspireret af en amerikansk quiz-udsendelse, som var mere ondskabsfuld. Her var quiz-deltageren tilstede i studiet og skulle løse nogle opgaver eller besvare spørgsmål. Hvis hun kom igennem, blev hun i studiet stillet over for tre døre. Bag dem alle tre var et transportmiddel. Bag én af dem var en splinterny bil, mens der bag de to andre stod en gedebuk! I en sådan udsendelse skulle en deltager vælge én af de tre døre. I det øjeblik hun trådte hen til den valgte dør og lagde hånden på dørhåndtaget, sagde studieværten: Vent lige lidt! Han gik nu hen til én af de to andre døre og åbnede den. Bag den stod en gedebuk (han vidste nemlig, hvor der var gedebukke, og hvor der var en bil). Det var ment som en hjælp til quizdeltageren, som endnu ikke havde åbnet sin dør. Spørgsmålet var nu, om det kunne betale sig for deltageren at vælge om og derfor åbne den tredje dør, eller om hun lige så godt kunne holde fast ved sit første valg? Prøv først at diskutere, hvad I umiddelbart tror ville være den bedste strategi: vælge om eller holde fast. Prøv derpå at simulere situationen. Tag fx tre krus og et stykke viskelæder. En i gruppen spiller deltager i quiz en og vender sig om, mens en anden putter viskelæderet under ét af krusene. (Viskelæderet er selvfølgelig bilen). I kan sikkert let udtænke resten af forløbet. Lav en serie eksperimenter, hvor quiz-deltageren hele tiden holder fast ved sit første valg. Lav derpå en serie, hvor vedkommende hele tiden vælger om. Hvad siger resultaterne? Når I nu kender løsningen på problemstillingen, som jo fører til en induktiv begrundelse, så prøv om I kan finde en almen begrundelse for, at det forholder sig som det gør, altså et bevis. Lav en rapport, hvor I både fortæller om jeres indledende overvejelser, beskriver forsøget, konkluderer på resultaterne og forsøger at lave et bevis. Ræsonnement og bevis 12
Elementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens
Læs mereFortløbende summer NMCC Danmark Muldbjergskolen 8.P
Fortløbende summer NMCC 2018 Danmark Muldbjergskolen 8.P 1 Indholdsfortegnelse: S. 3 Vores første observationer S. 4 Ulige antal af fortløbende tal S. 6 Lige antal af fortløbende tal S. 8 Udvikling af
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereFormler & algebra - Fase 2 Omskriv & beregn med variable
Navn: Klasse: Formler algebra - Fase Omskriv beregn med variable Vurdering fra til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring. Jeg kan opstille en linjes ligning, når jeg
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen
Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereÅrsplan matematik 5. klasse. Kapitel 1: Godt i gang
Årsplan matematik 5. klasse Kapitel : Godt i gang I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i 4. klasse. Kapitlet er udformet som en storyline
Læs mereMatematiske kompetencer
Matematiske kompetencer I dette kapitel skal du arbejde med forskellige matematiske kompetencer. I matematik skal du kunne andet og mere end blot at gentage paratviden og regne opgaver i kendte situationer.
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereog til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.
Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mereEksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri
Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,
Læs mereHunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.
4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereEvaluering af matematik undervisning
Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om
Læs mereProjekt 7.4. Rationale tal brøker og decimaltal
ISBN 98806689 Projekter: Kapitel. Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Projekt.4. Rationale tal brøker decimaltal Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen,,
Læs mereFaglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo
C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere
Læs mereMatematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)
Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende
Læs mereKompetencetræning i matematik - også til prøverne. KP 10. januar 2019
Kompetencetræning i matematik - også til prøverne KP 10. januar 2019 Kompetencetræning i matematik - også til prøven Prøverne i matematik bliver i stadig højere grad kompetencebaseret, så det giver god
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mere3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder
3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik
Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereMatematik samlet evaluering for Ahi Internationale Skole
efter 3.klasse. e efter 6.klasse. e Skole efter 9.klasse. e indgå i dialog om spørgsmål og svar, som er karakteristiske i arbejdet med matematik (tankegangskompetence formulere sig skriftligt og mundtligt
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereRettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version
Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning
Læs mereSymbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.
Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med
Læs mere3. klasse 6. klasse 9. klasse
Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning
Læs mereInspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse
Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereUser s guide til cosinus og sinusrelationen
User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE
ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter LØSNINGER Thomas Bolander 25. april 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mere1gma_tændstikopgave.docx
ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering
MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik
Læs mereMatematik - undervisningsplan Årsplan 2015 & 2016 Klassetrin: 9-10.
Form Undervisningen vil veksle mellem individuelt arbejde, gruppearbejde og tavleundervisning. Materialer Undervisningen tager udgangspunkt i følgende grundbøger og digitale lærings- og undervisningsplatforme.
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereGeometri i plan og rum
INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereKun beregnet billetpris. Korrekt regneudtryk, ingen facit.
Opgavenummer 1.1 200 2 46 108 Hun skal have 108 kr. retur. Korrekt regneudtryk, korrekt facit og korrekt konklusion (bidrager positivt til helhedsindtryk). 46 46 92 200 92 108 Hun skal have 108 kr. tilbage.
Læs mereMatematik. Matematiske kompetencer
Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereVisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs merePædagogisk vejledning til. Materialesæt. Sphero. http://via.mitcfu.dk/99872760
Pædagogisk vejledning til Materialesæt Sphero http://via.mitcfu.dk/99872760 Pædagogisk vejledning til materialesættet Sphero Materialesættet kan lånes hos VIA Center for Undervisningsmidler og evt. hos
Læs mereMatematik - undervisningsplan
I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger
Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft
Læs mereMatematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter
Matematikken i kunstig intelligens Opgaver om koordinerende robotter Thomas Bolander 2. juni 2018 Vejledning til opgaver Opgave 1 kan eventuelt springes over, hvis man har mindre tid. De resterende opgaver
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs meregeometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereInfokløft. Beskrivelse. Faglige mål (i dette eksempel) Sproglige mål(i dette eksempel)
Infokløft Beskrivelse Eleverne sidder 2 og 2 med skærm imellem sig De får forskellig information som de skiftes til at diktere til hinanden. Fx en tegning eller ord /begreber. Der er fokus på præcis formulering
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFraktaler Mandelbrots Mængde
Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereJeg er den største. Vagn Lundsgaard Hansen. Annoncering af en konkurrence
Normat 2/1998 71 Jeg er den største Vagn Lundsgaard Hansen Institut for Matematik Danmarks Tekniske Universitet Bygning 303 DK 2800 Lyngby V.L.Hansen@mat.dtu.dk Optimalitetsbetragtninger optræder i næsten
Læs mereFørste del af rapporten består af et diagram, der viser, hvor mange point eleverne på landsplan fik i de enkelte opgaver.
Til matematiklæreren Dette er en rapport omtaler prøven med hjælpemidler maj 2016. Rapporten kan bruges til at evaluere dit arbejde med klassen og få ideer til dit arbejde med kommende klasser i overbygningen.
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereFraktaler. Vejledning. Et snefnug
Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes
Læs mereUndervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5
Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mere