Kanoniske transformationer (i)

Transkript

1 Kanonske transformatoner () 9.1 Værden af transformatoner: Polære koordnater: (x, y, z) =(r cos φ sn θ,rsn φ sn θ,rcos θ) T = 1 2 m ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = 1 2 m ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ φ 2. Hvs V = V (r, θ) φ er en cyklsk koordnat og p φ = mr 2 sn 2 θ φ er bevaret. Den deelle transformaton må være én, hvor alle koordnater blver cyklske. Opgave 1.10: Punkttransformaton: q = q (Q 1,Q 2,...,Q n,t) ( =1,...,n) q = q Q Q j + q q og j t Q = q. For Lagrangefunktonen L = L(q, q,t)fås j Q j d ³ L L = d ³ L q + L q ³ L q + L q dt Q j Q j dt q Q j q Q j q Q j q Q j = d ³ L q ³ L q + L q = q d ³ L + L q ³ L q + L q dt q Q j q Q j q Q j Q j dt q q Q j q Q j q Q j h d ³ L = L q = 0. dt q q Q j Lagrangelgnngerne er formnvarante mht. en transformaton konfguratonsrummet. I Hamltonformulerngen er der 2n uafhængge koordnater q og p, og den tlsvarende generelle transformaton faserummet er: Q = Q (q, p,t), P = P (q, p,t), og omvendt q = q (Q, P,t), p = p (Q, P,t) H 7 K = K(Q, P,t), Q = K, P P = K. Krav: Q Q og P er kanonske varable, men kke nødvendgvs at K(Q, P,t)=H q(q, P,t), p(q, P,t),t. Øvelse: Vs at bevægelseslgnngerne for de transformerede varable, tlfældet n = 1, H q = q(q, P ), p = p(q, P ) er Q = J H DP, P = J Q, D hvor J D er Jacob-determnanten J D = (q, p) (Q, P ).

2 Q = K, P eller Kanonske transformatoner () 9.2 P = K, δ Q Z t2 t 1 p q H(q, p,t) dt =0 δ λ p q H = P Q K + df dt, bemærk δ Z t2 t 1 Z t2 t 1 P Q K(Q, P,t) dt =0 df h dt dt = δ t2 F (q, p, Q, P,t) =0 t 1 Udvdet kanonsk transformaton: (λ 6= 1) ³ Q Q = µq, P = νp K = K(Q, P,t)=µνH µ, P,t ν = µνh(q, p,t) det λ = µν µν p q H = P Q K Kanonsk transformaton: (λ =1) p q H = P Q K + df dt p dq P dq +(K H)dt = df Udtrykket vser at q, Q og t er de uafhængge varable F,ogF = F (q, Q,t) kaldes for frembrngerfunktonen eller generatoren for den kanonske transformaton. F = F 1 = F 1 (q, Q,t) df = df 1 = F 1 dq q + F 1 dq Q + F 1 t dt, som ndsat gver ³ p F ³ 1 dq q + P F ³ 1 dq Q + K H F 1 dt =0, eller t p = F 1 (1), P q = F 1 (2), K = H + F 1 (3) Q t De tre lgnnger fastlægger transformatonen: (2) er en relaton mellem P og (q, Q,t)som bestemmer q = q (Q, P,t). Indsættes dette (1) fås p = p q(q, P,t), Q,t.Lgnng(3) gver sluttelg K = K(Q, P,t), når de to resultater ndsættes denne lgnng.

3 Kanonske transformatoner () 9.3 Kanonsk transformaton: p dq P dq +(K H)dt df =0 Genererende funkton F 2 (q, P,t) kombneret med Legendre transformaton: F = F 2 (q, P,t) Q P, df 2 = F 2 dq q + F 2 dp P + F 2 t dt p dq P dq +(K H)dt df 2 + Q dp + P dq =0 eller ³ p F ³ 2 dq q + Q F ³ 2 dp P + K H F 2 dt =0 ogdermed t p = F 2, Q q = F 2, K = H + F 2 P t () F = F 1 (q, Q,t) p = F 1, P q = F 1, K = H + F 1 Q t () F = F 2 (q, P,t) Q P p = F 2, Q q = F 2, K = H + F 2 P t () F = F 3 (p, Q,t)+q p q = F 3, P p = F 3, K = H + F 3 Q t (v) F = F 4 (p, P,t)+q p Q P q = F 4, Q p = F 4, K = H + F 4 P t + forskellge kombnatoner af () (v) for forskellge frhedsgrader: F. eks. () og (v) F = F 5 (q 1,p 2,P 1,P 2,t) Q 1 P 1 + q 2 p 2 Q 2 P 2 p 1 = F 5, Q q 1 = F 5, q 1 P 2 = F 5, Q 2 p 2 = F 5, K = H + F 5 2 P 2 t

4 Eksempler på kanonske transformatoner 9.4 (): F 2 = q P p = F 2 q = P, Q = F 2 P = q (denttet) (): F 1 = q Q p = F 1 q = Q, P = F 1 Q = q (q,p ) 7 ( P,Q ) ṗ = H q 7 Q = H ( P ), q = H p (ombytnng) 7 P = H Q (): F 2 = f j (q,t)p j Q = F 2 = f P (q,t), p = F 2 = f j P q Den første lgnng bestemmer q = q (Q,t). Den anden lgnng kan vendes om ved udregnngen: p q Q = q f j P k Q k = Q j q P q Q j = Q j P k Q j = P k. (f j Q j ). k Denne kanonske transformaton er dentsk med punkttransformatonen af Lagrangefunktonen: L = L(q, q,t), hvor q = q (Q,t)og q = q Q Q j + q j t.detsdsteudtrykbetyder: P k = L Q = L q k q Q + L q q q k q Q = p k Q = p, som ovenfor. k Q k Benyttes stedet F 2 = f j (q,t)p j + g(q,t)erq = f (q,t) som før, men den kanonske bevægelsesmængde P k ændres og bestemmes nu af lgnngen: p = f j P + g q Denne transformaton svarer tl punkttransformatonen af L, hvorq = q (Q,t) kombneres med at Lagrangefunktonen L erstattes af L 0 = L dg dt. [Øvelse].

5 Den harmonske oscllator () 9.5 Hamlton for den éndmensonale harmonske oscllator: H = T + V = p2 2m kq2 eller H = 2m 1 p 2 + m 2 ω 2 q 2, ω 2 = k m Fnd en kanonsk transformaton, (q, p) 7 (Q, P ), hvor Q er en cyklsk koordnat: p = f(p )cosq, q = f(p ) mω sn Q K = H = f 2 (P ) cos 2 Q +sn 2 Q = f 2 (P ) 2m 2m Benyt F 1 = 1 2 mωq2 cot Q p = F 1 q = mωq cot Q (1), P = F 1 Q = mωq2 2sn 2 Q (2). r 2P (2) q = mω sn Q, hvorefter (1) p = 2Pmω cos Q eller f(p )= 2Pmω [trykfejl lgnng (9.39b)]. Resultat: Transformatonen q = K = H = f 2 (P ) 2m H = T + V = E P = E ω. r 2P mω sn Q, p = 2Pmω cos Q er kanonsk og = ωp, som er cyklsk Q P er bevægelseskonstant. Hamltons bevægelseslgnng for Q er Q = H = ω Q = Q(t) =ωt + α P r 2E Slutresultat: q = mω sn(ωt + α), p = 2mE cos(ωt + α) 2

6 Den harmonske oscllator () 9.6 Q = ωt + α, P = E r ω 2E q = sn(ωt + α) mω2 p = 2mE cos(ωt + α) Faserumsvolumen: ZZ Z A(E 0 )= dpdq = E<E 0 pdq = πab = 2πE 0 ω Indsættes det kvantemekanske resultat E = ~ω fås det kvas-klassske resultat, at faserumsvolumnet pr. kvantetlstand er A =2π~ = h (pr. frhedsgrad). Indføres normalserede varable ( kaos ): r mω q 0 2 = q, p 0 = p 2 2m blver det tlsvarende bane (q 0,p 0 )-faserummet en crkel med arealet: A 0 = π E

7 Den symplektske metode () 9.7 Begrænset kanonsk transformaton (ngen eksplct t-afhængghed): Q = Q (q, p), P = P (q, p); q = q (Q, P), p = p (Q, P); K = H + F t = H Q = Q q j + Q ṗ j = Q H Q H Q = H P = H P + H P Betragtes stedet P fås analogt Symplektsk notaton, J µ Hamltons bevægelseslgnnger q = H p, ) Q = P, Q = P P = P, = Q Q, η = q, η +n = p ( =1, 2,...,n) ṗ = H omformes tl η = J H q η Nye kanonske koordnater: ζ = ζ(η) ζ = M η, M j = ζ η j ζ = M J H η = M Jf M H ζ, H = H ζ j H ³ fm = M η ζ j η j = ζ j j Kanonsk transformaton ζ = J H ζ M J f M = J (1) Matrcer der opfylder (1) kaldes symplektske. Denne drekte metode forudsætter at de nye koordnater eksplct defneres ud fra de gamle ζ = ζ(η). M J = J f M 1 JM J 2 = J 2 f M 1 J JM = f M 1 J f M JM = J H ζ j

8 Den symplektske metode () 9.8 Tdsafhængg kanonske transformaton: ζ = ζ(η,t), M = ζ M JM f = J η V vl vse at den symplektske lgnng er gyldg for en nfntesmal (tdsafhængg) kanonsk transformaton, Q = q + δq, P = p + δp eller ζ = η + δη En nfntesmal kanonsk transformaton kan genereres ved at benytte Q = F 2 P = P + ² G q δp = ² G q F 2 = F 2 (q, P,t)=q j P j + ²G(q, P,t) p = F 2 q = q + ² G = q P + ² G + O(² 2 ) δq p = ² G eller δη = ²J G p η M = ζ η = 1+ δη η = 1+² J 2 G η η, Benyttes g A B = e B e A, e J = J f M = 1 ² 2 G η η J M Jf M = ³ 2 G η η j fås µ 1+² J 2 G η η = 2 G η η j = ³ 2 G η η j µ J 1 ² 2 G η η J = J + O(² 2 ) Den symplektske lgnng gælder for en vlkårlg nfntesmal kanonsk transformaton, også hvs transformatonen(g) afhænger eksplct af t. Den symplektske lgnng gælder derfor ved hvert skrdt af følgende sekvens af kanonske transformatoner: η 7 ζ(t 0 ) 7 ζ(t 0 + δt) 7 ζ(t 0 +2δt) 7 7 ζ(t 0 + t). Antager v at seren er konvergent har v dermed at den symplektske lgnng er gyldg også når den kanonske transformaton afhænger eksplct af t.

9 Possonparentes 9.9 Possonparentesen for to funktoner u(q, p, t)ogv(q, p, t)defneres: [u, v] q,p = X µ u v u v eller [u, v] q p p q η = g u η J v η Smple resultater (trykfejl lærebogen: lgnngen før (9.71) og (9.71)): [q j,q k ] q,p =0, [p j,p k ] q,p =0, [q j,p k ] q,p = [p j,q k ] q,p = δ jk eller [η, η] η = J Transformaton af varable (q, p) 7 (Q, P) ellerζ = ζ(η,t), hvor M = ζ η : [ζ, ζ] η = ζ η J g ζ η = M J f M = J kanonsk transformaton (M er symplektsk). [ζ, ζ] η =[ζ, ζ] ζ = J v = v ζ j = v ³ fm M η ζ j η ζ j = j j er uafhængg af en kanonsk transformaton. v ζ j v η = f M v ζ, [u, v] η = g u η J v η = f u ζ M Jf M v ζ = f u ζ J v ζ [u, v] ζ f g u η = M f u ζ = u f ζ M Alle possonparenteser er kanonsk nvarante (nvarante overfor kanonske transformatoner), hvlket også gælder(pr. defnton) for Hamltons bevægelseslgnnger. Bemærk, at v kke fremover behøver at specfcere, hvlke koordnater der benyttes ved udregnngen af Possonparenteserne: [u, v] η =[u, v] ζ =[u, v]. Klasssk mekank 7 Kvantemekank: Possonparentes 7 Kommutator mellem to operatorer (Drac), [u, v] Klasssk 7 1 ~ [û, ˆv] Kvantemekansk ([ˆx, ˆp x ]=~)

10 Possonparentes algebra: 9.10 [u, u] =0 [u, v] = [v, u] (antsymmetr) [au + bv, w] = a[u, w]+b[v, w], aog b er konstanter (lneartet). [uv,w] =u[v,w]+[u, w]v (produktregel) [u, [v, w]] + [v, [w,u]]+[w, [u, v]] = 0 (Jacobs denttet) Den sdste sætnng bevses lærebogen. Dette bevs samt de næste 2 sder er kursorsk læsnng [sde (nederst)]. Det dfferentelle volumenelement faserummet er kanonsk nvarant: dη = dq 1 dq 2...dq n dp 1 dp 2...dp n, dζ = dq 1 dq 2...dQ n dp 1 dp 2...dP n Sammenhænget mellem de to volumenelementer er gvet ved absolutværden af Jacobdetermnanten: dζ = JD dη = (Q 1,...,Q n,p 1,...,P n ) (q 1,...,q n,p 1,...,p n ) dη = ζ η dη = M dη = dη, f det M J M = J M 2 J = J Den symplektske betngelse medfører eksstensen af en genererende funkton F for transformatonen: De to metoder er ækvvalente [bevset på sde (nederst) er kursorsk læsnng].

11 Possonparenteser Hamltonteoren () 9.11 Vlkårlg funkton u = u(q, p,t) du dt = u q q + u ṗ p + u t = u H u H + u = [u, H]+ u q p p q t t Hamltonlgnngerne kan omskrves enten ved at benytte (1) u = u(q )=q eller u = u(p )=p lgnngen ovenfor, hvlke tlfælde u t =0 (2) defntonen, lgnng (9.67), af en Possonparentes: [q,h]= q H q H = δ q j 0( ṗ j )= q j [p,h]= p H p H =0 q j δ j ( ṗ j )=ṗ I symplektsk notaton, η =[η,h] og dermed også η = J H η =[η,h] Benyttes u = H fås umddelbart det kendte resultat: dh dt =[H, H]+ H t = H t Er u en bevægelseskonstant, u =0,fås [H, u] = u og dermed t [H, u] =0,hvsu kke afhænger eksplct af t (kvantemekank: Operatoren, svarende tl en bevægelseskonstant, kommuterer med Hamltonen). Jacobs denttet, [u, [v,w]]+[v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0, kan nogle tlfælde benyttes tl at dentfcere nye bevægelseskonstanter: Indsættes w = H og er u og v bevægelseskonstanter [H, [u, v]] = 0, eller at [u, v] er en ny bevægelseskonstant.

12 Possonparenteser Hamltonteoren () 9.12 Infntesmal kanonsk transformaton: F 2 = q P + ²G(q, P,t) η 7 ζ = η + δη (9.63) δη = ²J G η δu = u(η + δη) u(η) = g u η δη = ²g u η J G η ²[u, G] Benyttes G = P = p + O(²) δη j = ²[η j,g]=²[η j,p ]=² δ j dvs. δq = ² og δη j6= =0 eller δu = ²[u, p ]=δq [u, p ] δu = u =[u, p δq q ] Ved (uendelg mange) succesve anvendelser af generatoren svarende tl G genereres en (aktv) forskydnng af systemet faserummet, fra (0) tl (1), hvor q (0) 7 q (1) mens alle andre koordnater er uændret. En Taylor-rækkeudvklng gver, q = q (1) q (0), u(1) = u(0) + du(0) q dq + 1 d 2 u(0) ( q 2 dq 2 ) 2 + = u(0) + [u, p ] 0 q + 1 [[u, p 2 ],p ] 0 ( q ) [[[u, p 3! ],p ],p ] 0 ( q ) 3 + Eksempelvs: () (q,p )=(x, p x ) p x = mẋ genererer en forskydnng af m stykket x(1) x(0) x aksens retnng. () (q,p )=(φ,p φ )=(φ,l z ) L z = P (r p ) ẑ genererer en rotaton af et mange-partkel system vnklen φ(1) φ(0) omkrng z-aksen. Benyttes u = H og er p en bevægelseskonstant, [H, p ]=0, H(1) = H(0): Hvs Hamltonfunktonen er nvarant overfor en nfntesmal kanonsk transformaton, så er dens generator en bevægelseskonstant. Tdsudvklng: For u = u(q, p) ogdermed du =[u, H] fås analogt: dt u(t) =u(0) + [u, H] 0 t + 1 [[u, H],H] 2 0t [[[u, H],H],H] 3! 0t 3 + H er generatoren for en nfntesmal tdsforskydnng af systemet. (t, H) kan opfattes som kanonske varable. F.eks. hvs t er en cyklsk koordnat så er Ḣ = 0.

13 Louvlles teorem 9.13 Ensemble: En udgave af et makroskopsk (n =10 23 partkler) system med et bestemt valg af 2n begyndelsesbetngelser (der er overensstemmelse med gvne begrænsnnger). D = D(q, p,t): sandsynlghedstætheden af ensembler faserummet. Statstsk mdlng: hb(t) = R BDdΩ, hvordω er det dfferentelle volumen faserummet og R DdΩ =1. Det enkelte ensemble kan afbldes som et punkt faserummet, E (t). Antallet af ensembler, E 1,E 2,..., faserummet er konstant kontnutetslgnng: D(x)v x (x)δt x =1 A x+ δx D(x + δx)v x (x + δx)δt Idet2n-dmensonale faserum: D nx (D t + q ) + (Dṗ ) q p δdaδx = D(x)Av x (x)δt D(x + δx)av x (x + δx)δt δd = D(x + δx)v x(x + δx) D(x)v x (x) δt x δx eller flere dmensoner D(x,t) + X D(x,t)ẋ (x,t) =0 t x δd er den tdslge ændrng af D på stedetx. = D t + X D D ³ q q + ṗ q + D + ṗ =0 p q p q = H ṗ, = H q + ṗ =0, q q p p p q q p dd dt = D t + X ³ D q q + D ṗ p = D +[D, H] =0 t I lgevægt er hb(t) = konstant og derfor D t =0 dvs. (Louvlles teorem) [D, H] =0 D kan kun afhænge af bevægelseskonstanter (T + V, P, ogl).