Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Analytisk modellering af 2D Halbach permanente magneter"

Transkript

1 Analytsk modellerng af 2D Halbach permanente magneter Kaspar K. Nelsen DTU Energ Konverterng og -Lagrng Danmarks Teknske Unverstet Frederksborgvej , Rosklde, Danmark 17. marts Introdukton Permanente magneter spller en stadg større rolle det moderne energ-landskab. Udvklngen af stærke permanente magnet-materaler har været ganske markant over de seneste 30 år. Materalet FeNdB jern-neodynum-bor) har den hdtl bedste ydeevne forhold tl størrelsen på det magnetfelt, som det kan skabe. Det er dette materale man bruger f.eks. vndmøller, el-bler og andre anvendelser hvor en højt ydende konverterng mellem mekansk arbejde og strøm er påkrævet med et relatvt llle volumen tl rådghed. I denne opgave skal v udvkle teoren for såkaldt Halbach magneter [1] to dmensoner og baserede på FeNdB permanent magnetsk materale. Først ndleder v dog med en opgave, der handler om at beregne magnetfeltet nærheden af en uendelg lang lge leder hvor der løber en konstant strøm, I. Teoren for elektromagnetsme er uhyre velbeskrevet og de fre Maxwell lgnnger udgør den centrale selv-konsstente teor. Udlednngen, eller rettere tlblvelsen af dem, er kke emnet her; det lærer du måske om senere dt stude på DTU. Men v kan bruge den af Maxwell lgnngerne, som beskrver sammenhængen mellem en strømtæthed, J, og den magnetske fluxtæthed, B: RotB) = µ 0 J + µ 0 ϵ 0 E t. 1) Dette er den fjerde Maxwell lgnng sn endelge form. Udover den magnetske fluxtæthed og strømtætheden, så ndgår det elektrske felt, E, også. Endelg er der to naturkonstanter og dsse hedder henholdvs vacuum permeablteten µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 ) og vacuum permttvteten ϵ 0 = C 2 /Nm 2 )). 1 1 Dette hører kke tl opgaverne, men prøv evt. at udregne 1 µ0 ϵ 0. Hvlken anden naturkonstant gver det? 1

2 y r θ x z Fgur 1: Defnton af koordnatsystemet med kartesske koordnater x, y, z) og cylndrsker koordnater r, θ, z). Det er her vgtgt at skelne mellem skalarer, som står kursv f.eks. tden t) og vektorfelter, som står med normal og fed skrft som f.eks. strømtætheden J). Da v antager, at strømmen den uendelge leder er konstant, så må tdslge varatoner forsvnde. Dermed kan v helt skkert sge, at E t = 0. 2 V kan nu bruge en af udgaverne af analysens fundamentalsætnng, nemlg Stokes sætnng. Denne sger generelt, at overfladentegralet over rotatonen af et vektorfelt er lg med lnentegralet af vektorfeltet langs fladens kant. Matematsk kan det formuleres på følgende måde for et gvet vektorfelt V: RotV)) n F dµ = V e F dµ. 2) F r Se sætnng 27.3 enoterne. Da lederen er lge kan v defnere vores koordnatsystem så en af akserne er langs med lederen vælg f.eks. z-aksen). Opgave 1 Hvad er strømtætheden, J, ndenfor en crkel med radus s og centrum på den uendelge leder? Hnt: Enheden for strømtæthed er A/m 2. Da lederen er uendelg lang kan v sge noget om fluxtæthedens vektorkomponenter. Sammenhængen mellem B og J lgn. 1 dkterer, at B og J må være 2 Selvom strømmen varerede som f.eks. en vekselstrøm, altså med 50 Hz, så vlle dette led stadg være meget tæt på nul; der er tale om en relatvstsk effekt som får stor) betydnng, når der er tale om meget hurtge svngnnger. F 2

3 ortogonale når der kke er en tdslg ændrng det elektrske felt, E t = 0).3 Da strømtætheden kun har én komponent, nemlg z-retnngen, altså J = 0, 0, J z ), så kan B altså kun have komponenter hhv. r og θ retnngerne cylndrske koordnater). Se Fgur 1 for en defnton af koordnaterne. V kan også udlede, at r komponenten af B må være nul. Men først skal v udlede rotatonen cylndrske koordnater. Man kan vse, at rotatonen af et vektorfelt, V = V 1, V 2, V 3 ) et retvnklet tre-dmensonelt koordnatsystem er gvet ved følgende udtryk: h 1 1 î h 2 ĵ h 3ˆk RotV) = det h 1 h 2 h u 1 u 2 u 3. 3) 3 h 1 V 1 h 2 V 2 h 3 V 3 Her angver î, ĵ og ˆk de ortonormale enhedsvektorer det gvne koordnatsystem. Koordnaterne systemet er angvet ved u 1, u 2 og u 3. Skalarerne h er gvet ved: h 1 = r u 1 4) h 2 = r u 2 5) h 3 = r u 3, 6) hvor r = x, y, z) er vektoren tl punktet x, y, z. Sammenhængen mellem kartesske og cylndrske koordnater kan aflæses udfra Fgur 1. Den er gvet ved: Opgave 2 x = r cos θ 7) y = r sn θ 8) z = z. 9) Fnd h 1, h 2 og h 3 ved brug af ovenstående udtryk. Hnt: u 1 = r, u 2 = θ og u 3 = z. Opgave 3 Brug udtrykkene for h 1, h 2 og h 3 samt lgnng 3 tl at fnde rotatonen af et vektorfelt tre dmensoner) cylndrske koordnater. Hnt: Enhedsvektorerne er î = ˆr, ĵ = ˆθ og ˆk = ẑ. Da v nu har rotatonen af et generelt vektorfelt cylndrske koordnater, kan v bruge dette tl at slutte noget om vektorfeltet ˆB fra den uendelge leder. 3 Det gælder øvrgt generelt, at E og B er ortogonale det udtaler en af de andre Maxwell lgnnger sg om; den kaldes nduktonslgnngen: RotE) = B ). Så B og J er generelt t ortogonale. 3

4 Der må gælde, at B r z = 0 sden lederen er uendelg lang og, at der dermed kke kan være varaton af B langs lederen. Tlbage er der B r θ. Denne må også være nul p.g.a. symmetr feltet må nødvendgvs være det samme uanset om man drejer lederen om dens akse! Dette betyder altså, at B r er en konstant. Da v må forvente, at B forsvnder når r kan v dermed konkludere, at B r = 0. Tlbage er der altså kun B θ som kke er lg med nul. V kan nu udnytte Stokes sætnng tl at fnde B θ. Opgave 4 Brug Stokes sætnng lgn. 2) hvor V = 0, B θ, 0) sammen med den fjerde Maxwell lgnng 1) tl at fnde B θ r) omkrng en uendelg lang leder med konstant strøm, I. Hnt: Begynd med at betragte en kurve f.eks. en crkel med radus s centreret på lederen) der omkranser lederen. Opgave 5 Plot vektorfeltet B omkrng en uendelg leder for fastholdt z). 2 En Halbach magnet En Halbach magnet er grundlæggende en rng af magnetsk materale med et hul mdten og luft uden om se tegnng på Fg. 2). Den lokale magnetserng Halbach en varerer med de polære koordnater r og θ med følgende udtryk: B rem = Brem,r B rem,θ ) = B rem cospθ) snpθ) ). 10) Her betegner den to-dmensonelle vektor B rem den såkaldte remanens, dvs. magnetens egen magnetske fluxtæthed eller permanente magnetserng, om man vl. B rem betegner størrelsen længden) på denne vektor. Endelg er p en heltallg parameter hvor p 0) som kan være enten postv eller negatv. Denne parameter er helt central for en Halbach magnet. Opgave 6 I første opgave skal vektor-feltet angvet lgn. 10 vsualseres. Brug Maples feldplot og sørg for, at den radelle komponent det polære koordnatsystem går fra f.eks. 1 tl 2, altså så der er et hul mdten. Hvlken betydnng har parameteren p? 2.1 Magnetfeltet udenfor det magnetske materale Under antagelse af, at Halbach en er en uendelg lang cylnder, kan v fortsætte med at arbejde med den to dmensoner. Det er nu nteressant at undersøge 4

5 a) b) Fgur 2: a) En smpel Hallbach magnet det grå område er magnetsk, resten er luft). Bemærk, at parameteren p afgører, om magnetfeltet fra Halbach en er nde tomrummet mdten eller udenfor. b) Bllede af en rgtg Halbach magnet rent faktsk to som er koaksale). Den ydre magnet er desgnet, så magnetfeltet peger nd mod den ndre magnet, mens denne er desgnet så dens felt peger udaf. Dette mulggør avancerede magnetfelt-profler tomrummet mellem de to magneter. hvordan magnetfeltet udenfor selve det magnetske materale, altså hvor der er en magnetsk remanens B rem, opfører sg. V er dermed nteresserede vektorfeltet B, som normalt kaldes den magnetske fluxtæthed eller ndukton. I ndlednngen blev den fjerde Maxwell lgnng ntroduceret lgn. 1). Strømtætheden, J, kaldes ofte den totale strømtæthed. Det skyldes, at den egentlg er en kombnaton af den fre strømtæthed J f ) og den bundne strømtæthed J b ). Den fre strøm er det v normalt kalder elektrsk strøm det er den, der svarer tl I fra den ndledende opgave. I resten af denne projekt-opgave antager v, at der kke er relatvstske effekter E t = 0) samt, at der kke løber nogen fr strøm. V kan dermed reducere lgn. 1 tl følgende: RotB) = µ 0 J b. 11) Men hvad betyder bundne strømme? Jo, den bundne strøm er et udtryk for såkaldt spn og generelt mpulsmoment de ladede partkler det materale, som man har med at gøre. V kan derfor allerede slutte, at J b = 0 luft eller vakuum). Men magnetske materaler er der rent faktsk en bunden strøm, som kke er nul, og denne stammer prmært fra elektroner og deres spn. Den bundne strøm er tæt forbundet tl begrebet magnetserng, altså hvor magnetsk et materale er. Når man regner på elektromagnetske problemer er det ofte en stor fordel at bruge det såkaldte magnetske vektorpotentale, A. Dette defneres på følgende 5

6 måde: B = RotA). 12) Man kan ydermere vse, at når der kke er fre strømme, så er RotB) = RotB rem ) 13) Da dvergensen af B altd er nul den 2. af Maxwells lgnnger), kan v altd vælge A således, at DvA) = 0. For at vse dette, skal v først bevse følgende: hvor f er en skalar funkton defneret på R. Opgave 7 Rot f) = 0, 14) Vs, at Rot f) = 0 hvor f R. Hnt: Udnyt at hvor, j = 1, 2, 3. Opgave 8 2 f x x j = 2 f x j x I denne opgave skal v vse, at v altd kan vælge A så dvergensen er 0 eftersom DvB) pr fundamentale naturlove altd er 0). Defnér A = A 0 + f, hvor DvA) 0 0 og f er en skalar funkton defneret på R. Hvad er rotatonen af A da? Efter svaret på Opg. 8 kan v altså slutte, at v kan vælge A eller A 0 frt forhold tl lgn. 12. I det efterfølgende udnytter v denne valgfrhed og vælger A således, at DvA) = 0. Opgave 9 For at komme vdere med lgn. 12 skal v udføre ldt mere vektorregnng. Fnd rotatonen af B fra lgn V har nu en såkaldt 2. ordens partel dfferentalgnng 2 A = RotB rem ) 15) hvor de uafhængge parametre er de polære koordnater, r og θ og v ønsker at fnde komponenterne af vektorfeltet A. I det følgende skal v bruge rotatonen polære koordnater. Denne er gvet ved: RotC) = ˆr [ 1 C z r θ C θ z ] + ˆθ [ Cr z C z r ] + ẑ 1 [ rcθ ) C ] r, 16) r r θ hvor C er et vektorfelt og de tre komponenter hhv. r, θ og z retnngerne er angvet med subscrpt). Enhedsvektorerne er angvet med enˆ. 6

7 Opgave 10 Brug lgn. 10 og 15 tl at vse, at den eneste af A s komponenter, der kke er nul generelt, er A z. V har nu endelg lgnngen 2 A z r, θ) = RotB rem ). 17) Løsnngen tl lgn. 17 er noget udover pensum man skal bruge Fourer transformatoner bl.a. - dem der har lyst, må meget gerne kgge på det!!). Resultatet er, at den generelle løsnng tl lgn. 17 er gvet ved: A z r, θ) = n=1 Cn r n + D n r n) r snnθ) + B rem snpθ), p 1. 18) Det er vgtgt at understrege, at C n og D n er konstanter for hver værd af n. Da summen lgn. 18 er uendelg kan det vrke uoverskuelgt at få noget fornuftgt ud. Men, ved at defnere et konkret problem med de rette randbetngelser, er det rent faktsk mulgt at reducere udtrykket. Inden v går vdere med løsnngen tl lgn. 18, skal v kgge på hvad en uendelg sum er. Symbolet er sum-tegnet. Det betyder, at det som står ndenfor sum-tegnet vrkelgheden er en sum. Der er så tlknyttet en eller flere) ndeks-varable. I lgn. 18 er dette ndeks kaldet n. Nedenunder sum-tegnet skrver man hvorfra ndekset starter her n = 1) og hvor det slutter her n =, altså uendelg). Det kan godt være ldt underlgt at tale om uendelge summer, for hvordan kan man regne sådan en ud? Den generelle Taylor-række er faktsk en uendelg sum. Den skrves på følgende måde: fa) = n= n=0 f n) a) x a) n, 19) n! hvor notatonen f n) betyder den nte afledte, altså f n) = dn f dx. Som eksempel n betragter v exponentalfunktonen, e x, Taylor-udvklet omkrng punktet a = 0. Da dex dx = ex får v altså Taylor-udvklen af eksponentalfunktonen: e x = n= n=0 e 0 n! xn = 1 + x + x2 2 + x3 n= = n=0 I Maple er der en funkton, sum, som netop kan udføre summer. Opgave 11 Brug Maple tl at udregne summen lgn. 20 hvor n = Sæt nu x = 5 og beregn den absolutte forskel på e x og summen gvet lgn. 20. Hvad skal n mndst være for at forskellen fejlen ) blver mndre end 10 10? Hnt: Brug funktonen evalf. x n n! 20) 7

8 III II I Rc R Ro Re Fgur 3: Tegnng af beregnngsdomænet. Halbach magneten er placeret det grå område mellem r = R og r = R o. Svaret på opgaven sger os, at nok er summen uendelg, men man kan sagtens nøjes med relatvt få led for at få en værd, som kommer ganske tæt på det eksakte resultat. Ldt løst sagt, så kan man sge, at summen konvergerer. Dette vl ganske enkelt sge, at resultatet af summen går mod en fast værd som ndeks tællevarablen n) øges. Der fndes naturlgvs også uendelge summer, som kke er konvergente. Dsse sges at dvergere, altså de ender kke på en fast værd når n. 2.2 Løsnng af den partelle dfferentalgnng V følger tegnngen på Fg. 3 og defnerer altså en regon, som lgger på ntervallet R r R o hvor der er permanent magnetsk materale, som følger udtrykket lgn. 10. For R c r R og R o r R e er der luft eller rettere, vakuum) og der er derfor ngen remanens, dvs. at den relatve permeabltet, µ r, er lg med en. I domænerne hvor 0 r R c samt R e r antages, at µ r =. Det hjælper nu at defnere magnetfeltet H på følgende måde hvor v reelt antager, at materalet er lneært og homogent): B = µ 0 µ r H + B rem. 21) I elektromagnetsme kan man udlede helt generelle randbetngelser for B rem og H. I ndeværende stuaton kan dsse skrves som følgende: Br I = Br II r = R 22) Br II = Br III r = R o 23) Hθ I = 0 r = R c 24) 8

9 Hθ I = Hθ II r = R 25) Hθ II = Hθ III r = R o 26) Hθ III = 0 r = R e 27) Dsse randbetngelser skal v nu anvende tl at vse, at konstanterne C n og D n forsvnder for n p. Romertallene I, II ogiii refererer tl de tre domæner. Opgave 12 Fnd vektorkomponenterne af B og H, dvs. B r, B θ, H r samt H θ. H r kan dog udelades; den skal kke bruges det følgende. Hnt 1: V kender z-komponenten af vektorfeltet A og sammen med først lgn. 12 og dernæst lgnngerne 18 og 21 kan man fnde komponenterne. Hnt 2: Fnd først komponenterne A z r og A z θ. V har nu fre udtryk, et for hver af de kke-forsvndende komponenter af B og H. I hver af dem ndgår en sum fra n = 1 tl n =. Dsse kan omskrves så ledene hvor n = p føres udenfor summen. For r-komponenten af B resulterer dette følgende: B r = n cosnθ) C n r n 1 + D n r n 1) Opgave 13 n p + p cospθ) C p r p 1 + D p r p 1) + pb rem cospθ). 28) Opskrv de resterende vektorfelts-komponenter samme stl som lgn. 28. Betragter v randbetngelsen lgn. 22 og lgn. 28 får v følgende udtryk: = Br I r = R ) = Br II r = R ) n cosnθ) CnR I n 1 n p n p + DnR I n 1 ) + p cospθ) C pr I p 1 ) + DpR I p 1 n cosnθ) Cn II R n 1 + Dn II R n 1 ) ) + p cospθ) C p II R p 1 + Dp II R p 1 + pb rem cospθ). 29) Bemærk, at der kun er en remanens domæne II, altså nde det magnetske materale. Leddene, som står de to summer, skal gå ud med hnanden led for led, hvlket fører tl CnR I n 1 Cn I = Cn II + DnR I n 1 = C II + R 2n n R n 1 + D II n R n 1 D II n D I n). 30) 9

10 På tlsvarende vs kan man bruge randbetngelsen for B r mellem domæne II og III dette fører tl: Cn III = Cn II + Ro 2n D II n Dn III ). 31) Opgave 14 Brug vektorfelts-komponenterne fra Opgave 13 sammen med randbetngelserne for H θ tl at opstlle to andre udtryk for Cn I og Cn III. Hnt: Bemærk, at µ r 1 domæne II og, at µ r = 1 domæne I og III. Opgave 15 Brug randbetngelserne for H θ ved hhv. r = R c og r = R e tl at opstlle yderlgere to udtryk hvor Cn I Dn I ndgår det ene mens ndgår det andet). C III n Opgave 16 D III n Brug nu Maple tl at løse de seks lgnnger med seks ubekendte. Det er nu blevet vst, at alle konstanterne C n og D n forsvnder når n p. I det følgende skal v fnde C p og D p for alle tre domæner). V kan nu vælge at stryge subscrptet p, hvlket gør lvet ldt enklere. For randbetngelsen for B r ved r = R får v følgende: p cospθ) C I R p 1 C I R p 1 Opgave 17 + D I R p 1 ) + D I R p 1 = p cospθ) C II R p 1 D II R p 1 C II R p 1 + D II R p 1 + B ) rem = B rem Fnd de resterende fem lgnnger ved brug af randbetngelser for hhv. B r og H θ på randene r = R c, r = R, r = R o, samt r = R e. V har nu seks lgnnger med seks ubekendte C I, C II, C III, D I, D II, D III ). Dette kan skrves på matrxform som R p 1 R p 1... C I B rem p 1 µ r R p 1 R p 1... C II Brem C III p 1 B rem D I = p D II B 33) rem p D III 0 32) 10

11 Opgave 18 Fnd de seks konstanter. Her er det en stor fordel at bruge Maple. Brug f.eks. matrx-nverson eller løs lgnngerne drekte ved hjælp af solve. Løsnngen fra Maple kan være rmelg uoverskuelg. Det er derfor vgtgt at tjekke den. Man kan postulerer v) opskrve de seks konstanter på følgende måde: Opgave 19 a R2p e Re 2p D II = + R 2p o C I = R 1 p o R 1 p µ r a 1 µ r a+1 R 2p o µ rb 1 µ r b+1 R 2p D II ) R 2p + R 2p c 1 µ rb 1 µ r b + 1 B rem 34) 35) D I = C I Rc 2p 36) C II = D II µ ra 1 µ r a + 1 R 2p o B rem R1 p o 37) C III D II = Ro 2p + Re 2p 1 µ ) ra 1 38) µ r a + 1 D III = C III Re 2p 39) Ro 2p, b R2p Rc 2p R 2p + R 2p c Vs, at løsnngen fundet ved hjælp af Maple er dentsk med lgn En enkelt Halbach cylnder luft 40) For at regne på en enkelt Halbach cylnder luft / vakuum) skal v modfcere randbetngelserne magnethullet r = R c ) og udenom magneten når r ). I de ovenstående udregnnger udnyttede v randbetngelser, hvor permeablteten var uendelg og måtte bruge en ndre og en ydre skal med hhv. radus R c og R e ). Hvs v lader den centrale uendelgt permeable cylnders radus gå mod nul og den ydres ndre radus mod uendelg, så får v effektvt en Halbach luft/vakuum. Opgave 20 For p > 1 vs, at lm R e = 1 41) og lm b = 1. 42) R c 0 11

12 Opgave 21 For p < 0 fnd lm Re a samt lm Rc 0 b. Nu hvor v har a og b for en enkelt Halbach magnet luft, så kan v rent faktsk beregne magnetfeltet. Hvs v begrænser os tl permanente magneter med en beskeden relatv permeabltet, µ r 1, så kan v smplfcere de seks konstanter fra lgnngerne yderlgere. Denne antagelse er god forhold tl de bedste permanente magneter, nemlg dem som er baseret på jern Fe), neodynum Nd) og bor B). For sådanne magneter er µ r = Opgave 22 Fnd konstanten D II grænsen hvor µ r 1 og a = 1 samt b = 1 altså for p > 1). Det ses nu let, at D I = D III = C III = 0. Men de to resterende konstanter er kke generelt nul. Opgave 23 Fnd konstanterne C I og C II hvor µ r 1 og p > 1. I stuatonen hvor p < 0 blver konstanterne ldt anderledes end for p > 1. Men fremgangsmetoden for at fnde dem er den samme. Opgave 24 Fnd C I, C II, C III, D I, D II samt D III for p < 0 og dermed a = 1 og b = 1. Med de seks konstanter fundet for hhv. p < 0 og p > 1 grænsen hvor µ r 1 kan v nu opskrve magnetfeltskomponenterne for de to stuatoner. For p > 1 får v: Br I = B remp 1 Bθ I = B remp 1 Br II = B remp r 1 B II θ = B rem R R o R R 0 ) p 1 ) r R o R ) p 1 ) r ) p 1 ) R 0 ) p 1 cospθ) 43) R ) p 1 snpθ) 44) cospθ) 45) ) ) p 1 r 1 p snpθ) 46) 12

13 R o,1 R,2 R o,2 R,1 Fgur 4: Tegnng af to koncentrske Halbach magneter hvor deres ndre og ydre rader er angvet). For at opnå et magnetfelt tomrummet mellem de to magneter, skal den ndre magnet have p 0 og den ydre p 1. For p < 0 blver felt-komponenterne: Br III = B ) ) p+1 Ro ) p+1 remp R 1 cospθ) 47) R o r Bθ III = B ) ) p+1 Ro ) p+1 remp R 1 snpθ) 48) R o r Br II = B ) ) p+1 remp R 1 cospθ) 49) r Bθ II = B ) ) p+1 rem R 1 p snpθ) 50) r Opgave 25 Vs grafsk hvordan normen B = B 2 r + B 2 θ ser ud. Antag, at B rem = 1.4 T. Prøv med forskellge værder for R og R o. Husk, at p < 0 eller p > 1 og, at p er et heltal. Hnt: Prøv contour funktonen Maple cylndrske koordnater 2.4 Magnetske kræfter mellem to Halbachs Med udtryk for B r samt B θ kan v nu gå vdere med en meget brugt stuaton, nemlg den hvor man har to koncentrske Halbach magneter, altså to permanent magnetske cylndre, hvor den ene lgger nde den anden og de har samme z- akse. Se Fgur 4; den ndre Halbach har ndre radus R,1 og ydre radus R o,1, 13

14 mens den ydre magnet har ndre radus R,2 og ydre radus R o,2. Der gælder naturlgvs følgende: R,1 < R o,1 < R,2 < R o,2. Idet v har udledt magnetfeltkomponenterne grænsen hvor µ r 1 kan v uden vdere lægge løsnngerne fra to koncentrske magneter sammen havde µ r 1, så vlle de to magneters respektve magnetfelter nfluere på hnanden. Det vlle dermed være nødvendgt at gå tlbage tl udgangspunktet og løsnngen vlle være noget mere komplceret. For stærke permanente magneter, af typen FeNdB som tdlgere omtalt, så er µ r = 1.05, hvlket er ganske tæt på en. Det betyder to tng: 1) vores antagelse om µ r = 1 er ret god og 2) den ndbyrdes påvrknng af to stærke permanente magneter er kke særlgt stor. Dette er dog kun en fornuftg antagelse ndtl et vst punkt; hvs man placerer en permanent magnet et stort nok magnetfelt, så kan man godt ødelægge den! 4 I grænsen hvor µ r 1 kan v altså trygt lægge løsnngen fra to ndvduelle men dog koncentrske) Halbachs sammen. 5 V har altså det resulterende magnetfelt luftrummet mellem de to koncentrske magneter: B r = B III r,1 + B I r,2, B θ = B III θ,1 + B I θ,2. 51) Kraften fra et magnetfelt kan fndes ved følgende ntegraler: F x = r 2π 1 B 2 µ x By) 2 ) ) cosθ) + B x B y snθ) dθ 52) F y = r 2π 1 B 2 µ 0 2 y Bx) 2 ) ) snθ) + B x B y cosθ) dθ 53) 0 Dsse to komponenter af den magnetske kraft er gvet x og y koordnater en gvet afstand r fra den centrale akse og mellem de to Halbach magneter, altså R o,1 < r < R,2 ). B x og B y betyder x og y komponenterne af B Opgave 26 Fnd vektorfeltskomponenterne B x og B y som funkton af B r og B θ og udtryk F x og F y som funktoner af B r og B θ. Hnt: Enhedsvektorernes sammenhæng er ˆx = cosθ)ˆr snθ)ˆθ og ŷ = snθ)ˆr+cosθ)ˆθ V kan nu beregne kraften mellem de to koncentrske Halbach magneter gvet ved lgnngerne 52-53). Opgave 27 Hvlken en af de to komponenter af kraften, F x og F y, er nul? Husk, at p 1 < 0 og p 2 > 1. 4 At ødelægge den betyder blot at man ændrer den permanente magnets magnetserngsretnng. Dette kan gøres tlbage gen ved bl.a. at varme magneten op. 5 Bemærk, at det er en helt fundamental antagelse ndenfor elektromagnetsme, at magnetfelter kan lægges sammen. Man sger mere præcst, at magnetfelter superpostonerer. Det samme gælder øvrgt også for elektrske felter og tyndgefelter. 14

15 V kan nu overveje hvordan kræfterne mellem de to Halbach magneter vl opføre sg hvs magneterne er roterede forhold tl hnanden. Dette kan v undersøge ved at ndføre en fase-forskydnng af den ene magnet. V kan altså trække en vnkel fra den ene magnets orenterng. V kalder denne vnkel for θ 0 og ndfører den for den ndre magnet. Opgave 28 Indfør vnklen θ 0 vektorfelts-komponenterne for den ndre magnet, dvs. lgnng Hvs man sætter θ 0 = π/2, hvlken af de to kræfter blver da nul? Opgave 29 Det er nu mulgt at beregne de to kraftkomponenter som funkton af θ 0. Vælg selv værder for p 1, p 2, R,1,, R o,1, R,2 samt R o,2. Brug B rem = 1.4 T. Husk også at vsualsere den eller de magnetkonfguratoner, som I vælger. Plot gerne B f.eks. som konturer eller hvad I måtte synes). Dette er en ret åben opgave kun fantasen sætter grænserne! Kan to Halbachs kraft-kompensere hnanden? altså, kan F x + F y = 0) og gvet fald, er sådanne punkter θ 0 stable eller ustable lgevægtspunkter? Det er også mulgt at beregne kraftmomentet mellem de to koncentrske magneter. Dette er gvet ved for dette specelle 2-dmensonelle tlfælde): Som altså er pr meter z-retnngen. Opgave 30 N = 1 2π r 2 B r B θ dθ. 54) µ 0 0 Beregn kraftmomentet mellem to Halbachs. Hvordan ser det ud som funkton af θ 0? Hnt: Kraftmomentet er kun forskellg fra nul når p 1 = p 2. Referencer Ltteratur [1] K. Halbach, Desgn of permanent multpole magnets wth orented rare earth cobalt materal, Nucl. Instrum Methods

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005

Støbning af plade. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Støbnng af plade Køreplan 01005 Matematk 1 - FORÅR 2005 1 Ldt hstorsk baggrund Det første menneske beboede Jorden for over 100.000 år sden. Arkæologske studer vser, at det allerede havde opdaget fænomenet

Læs mere

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen

Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødning. Angelo Andersen Landbrugets efterspørgsel efter Kunstgødnng Angelo Andersen.. Problemformulerng I forbndelse med ønsket om at reducere kvælstof udlednngen fra landbruget kan det være nyttgt at undersøge hvordan landbruget

Læs mere

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION

Forberedelse INSTALLATION INFORMATION Forberedelse 1 Pergo lamnatgulvmateraler leveres med vejlednnger form af llustratoner. Nedenstående tekst gver forklarnger på llustratonerne og er nddelt tre områder: Klargørngs-, monterngs- og rengørngsvejlednnger.

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

Elementær kredsløbsteknik OPGAVESAMLING. af Torben Elm Larsen

Elementær kredsløbsteknik OPGAVESAMLING. af Torben Elm Larsen Elementær kredsløbsteknk OPGAVESAMLING af Torben Elm Larsen Elementær kredsløbsteknk Opgavesamlng 1. udgave,. oplag 001 Ingenøren bøger, Ingenøren A/S 1996 Forlagsredakton: Søren Flenng DTP: Torben Elm

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Beregning af strukturel arbejdsstyrke

Beregning af strukturel arbejdsstyrke VERION: d. 2.1.215 ofe Andersen og Jesper Lnaa Beregnng af strukturel arbedsstyrke Der er betydelg forskel Fnansmnsterets (FM) og Det Økonomske Råds (DØR) vurderng af det aktuelle output gap. Den væsentlgste

Læs mere

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse

Prøveeksamen Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Økonometr Prøveeksamen Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Kommenteret vejledende besvarelse Resultaterne denne besvarelse er fremkommet ved brug af eksamensnummer 7. Dne

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann

Gulvvarmeanlæg en introduktion. af Peter Weitzmann Gulvvarmeanlæg en ntrodukton af Peter Wetzmann Sde 1 Indholdsfortegnelse 1 Forord... 3 2 Introdukton tl gulvvarme... 4 2.1 Hstorsk gennemgang...4 2.2 Fyssk beskrvelse...4 3 Typer... 6 3.1 Tung gulvvarme...6

Læs mere

Bilag 6: Økonometriske

Bilag 6: Økonometriske Marts 2015 Blag 6: Økonometrske analyser af energselskabernes omkostnnger tl energsparendsatsen Energstyrelsen Indholdsfortegnelse 1. Paneldataanalyse 3 Specfkaton af anvendte panel regressonsmodeller

Læs mere

Figur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk.

Figur 3: Illustration af hvordan en børsteløs DC-motor kan betragtes rent magnetisk. Opstlnng af oel for en børsteløs D-otor Danel R. Peersen & Jesper. Larsen 4. aprl 2003 I ette arbejsbla vl er blve opstllet en oel af en børsteløs D otor (LDM). Moellen er opstllet e et forål at kunne

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduktion Online Rapport Din skridt-for-skridt guide til den nye Online Rapport (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introdukton Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn skrdt-for-skrdt gude tl den nye Onlne Rapport (OLR) Vgtg nformaton tl alle krker og organsatoner Ikke flere paprlster Sangrapporten går nu onlne

Læs mere

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389..

Betjeningsvejledning. Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Betjenngsvejlednng Rumtemperaturregulator med ur 0389.. Indholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet... 3 Grundlæggende betjenng af rumtemperaturregulatoren... 3 Vsnnger og knapper detaljer... 3 Om denne

Læs mere

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti

Indholdsfortegnelse Instrumentopsætning Betjening Tekniske specificationer Indstillinger Meddelseskoder Vedligeholdelse Garanti Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introdukton - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Oversgt - - - - - - - - - - -

Læs mere

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)?

Økonometri 1. Lineær sandsynlighedsmodel. Hvad nu hvis den afhængige variabel er en kvalitativ variabel (med to kategorier)? Dagens program Økonometr Heteroskedastctet 6. oktober 004 Hovedemnet for denne forelæsnng er heteroskedastctet (kap. 8.-8.3) Lneære sandsynlghedsmodel (kap 7.5) Konsekvenser af heteroskedastctet Hvordan

Læs mere

Kunsten at leve livet

Kunsten at leve livet Kunsten at leve lvet UNGE - ADFÆRD - RUSMIDLER 3. maj 2011 Hvad er msbrug? Alment om den emotonelle udvklng Hvem blver msbruger? Om dagnoser Om personlghedsforstyrrelser Mljøterap, herunder: - baggrund

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Notat om porteføljemodeller

Notat om porteføljemodeller Notat om porteføljemodeller Svend Jakobsen 1 Insttut for fnanserng Handelshøjskolen Århus 15. februar 2004 1 mndre modfkatoner af Mkkel Svenstrup 1 INDLEDNING 1 1 Indlednng Dette notat ndeholder en opsummerng

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder

Indtjening, konkurrencesituation og produktudvikling i danske virksomheder Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Oblgatorsk opgave 2 Indtjenng, konkurrencestuaton og produktudvklng danske vrksomheder Opgavens prmære formål er at lgne formen på tag-hjem delen af eksamensopgaven. Der

Læs mere

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00

Fagblok 4b: Regnskab og finansiering 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 til 31.01 2004 kl. 14.00 Fagblok 4b: Regnskab og fnanserng 2. del Hjemmeopgave - 28.01 2005 kl. 14.00 tl 31.01 2004 kl. 14.00 Dette opgavesæt ndeholder følgende: Opgave 1 (vægt 50%) p. 2-4 Opgave 2 (vægt 25%) samt opgave 3 (vægt

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij

HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskij HVIS FOLK OMKRING DIG IKKE VIL LYTTE, SÅ KNÆL FOR DEM OG BED OM TILGIVELSE, THI SKYLDEN ER DIN. Fjordor Dostojevskj Den store russske forfatter tænkte naturlgvs kke på markedsførng, da han skrev dsse lner.

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser

HASHI HASH? Vidste du at. pillugu suna. nalunngiliuk? Hvad ved du om. Hvad ved du om hash? Mental sundhed. Love og konsekvenser Najoqqutarsat / Klder: Henrk Rndom Rusmdlernes Bolog, udgvet af Sundhedsstyrelsen 2000. www.netstof.dk www.stofnfo.sst.dk www.sundhedsstyrelsen.dk www.sundhed.dk www.peqqk.gl Denne brochure gver dg oplysnnger

Læs mere

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh

Mary Rays. Træn lydighed, agility og tricks med klikkertræning. Mary Ray. Atelier. Andrea McHugh Mary Rays Mary Rays Mary Ray Andrea McHugh Træn lydghed, aglty og trcks med klkkertrænng Ateler An Hachette Lvre UK Company Frst publshed n Great Brtan n 2009 by Hamlyn, a dvson of Octopus Publshng Group

Læs mere

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan.

Kulturel spørgeguide. Psykiatrisk Center København. Dansk bearbejdelse ved Marianne Østerskov. Januar 2011 2. udgave. Kulturel spørgeguide Jan. Vdenscenter for Transkulturel Psykatr har ekssteret sden 2002 og skal fremme psykatrsk udrednng, dagnostk, behandlng, pleje og opfølgnng af patenter, der har en anden etnsk baggrund end dansk. Kulturel

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2012. Og den gennemsntlge startløn er fortsat på den pæne sde af 31.500

Læs mere

porsche design mobile navigation ß9611

porsche design mobile navigation ß9611 porsche desgn moble navgaton ß9611 [ DK ] Indholdsfortegnelse 1 Indlednng ---------------------------------------------------------------------------------------------- 07 1.1 Om denne manual -------------------------------------------------------------------------------------------

Læs mere

ipod/iphone/ipad Speaker

ipod/iphone/ipad Speaker Pod/Phone/Pad Speaker ASB8I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 16 FR 30 ES 44 DE 58 EL 73 DA 87 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol

Udvikling af en metode til effektvurdering af Miljøstyrelsens Kemikalieinspektions tilsyn og kontrol Udvklng af en metode tl effektvurderng af Mljøstyrelsens Kemkalenspektons tlsyn og kontrol Orenterng fra Mljøstyrelsen Nr. 10 2010 Indhold 1 FORORD 5 2 EXECUTIVE SUMMARY 7 3 INDLEDNING 11 3.1 AFGRÆNSNING

Læs mere

Bølgeudbredelse ved jordskælv

Bølgeudbredelse ved jordskælv rojekt: Jordskæl Bølgeudbredelse ed jordskæl IAG 2005 Bølgeudbredelse ed jordskæl V skal dette projekt studere bølgeudbredelse ed jordskæl. Her kommer så ldt teor om bølger. Bølger Man tegner næsten altd

Læs mere

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning

ipod/iphone speaker User manual Gebruiksaanwijzing Manuel de l utilisateur Manual de instrucciones Gebrauchsanleitung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvisning Pod/Phone speaker ALD1915H ASB4I User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 13 FR 25 ES 37 DE 49 EL 62 DA 75 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal

Læs mere

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36. Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf+ R. (.) U R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,

Læs mere

installationsperioden ankom til Flådestation Korsør

installationsperioden ankom til Flådestation Korsør Nr. 1, 2006 Sden sdst den sdste nyhedsbrev har ABSALON lgget ved såvel Flådestaton Korsør som Flådestaton Frederkshavn, for at få nstalleret mere mltært udstyr om bord. Installatonerne blev afsluttet den

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

Stadig ligeløn blandt dimittender

Stadig ligeløn blandt dimittender Stadg lgeløn blandt dmttender Kvnder og mænd får stadg stort set lge meget løn deres første job, vser DJs dmttendstatstk for oktober 2013. Og den gennemsntlge startløn er nu på den pæne sde af 32.000 kr.

Læs mere

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet

Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser inden for FTFområdet BEU - 14.9.2009 - Dagsordenspunkt: 3 09-0855 - JEFR - Blag: 3 Samarbejdet mellem jobcentre og a-kasser nden for FTFområdet Det ndstlles: At BEU tlslutter sg, at KL/FTF-aftalen søges poltsk forankret gennem

Læs mere

er ikke kun for voksne

er ikke kun for voksne junor Coacng Coacng er kke kun for voksne Fre ungdomsryttere fra Sanrum Rklub aft mulged for at møs med en coac. Koort været at booste troen egne evner Tekst og foto: Tet R asmussen D e fleste nesker forbnr

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvanttatve metoder 2 Instrumentvarabel estmaton 14. maj 2007 KM2: F25 1 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen F25: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 y = cy ( c 0) Plan for resten af gennemgangen Kvanttatve metoder Instrumentvarabel estmaton 4. maj 007 F5: Instrumentvarabel (IV) estmaton: Introdukton tl endogentet og nstrumentvarabler En regressor,

Læs mere

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn

Brugerhåndbog. Del IX. Formodel til beregning af udlandsskøn Brugerhåndbog Del IX Formodel tl beregnng af udlandsskøn September 1999 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 3 Formodel tl beregnng af udlandsskøn 1. Indlednng FUSK er en Formodel tl beregnng af UdlandsSKøn.

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger

Læs mere

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat.

Nøglebegreber: Objektivfunktion, vægtning af residualer, optimeringsalgoritmer, parameterusikkerhed og korrelation, vurdering af kalibreringsresultat. Håndbog grundvandsmodellerng, Sonnenborg & Henrksen (eds 5/8 GEUS Kaptel 14 IVERS MODELLERIG Torben Obel Sonnenborg Geologsk Insttut, Københavns Unverstet Anker Laer Høberg Hydrologsk Afdelng, GEUS øglebegreber:

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Tage Rasmussen, Kresten Bundgaard, Maranne Dderksen, Bjarne Vogt, Vggo Kofod Fraværende: Ingen Dagsorden for mødet

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke

Fastlæggelse af strukturel arbejdsstyrke d. 23.5.2013 Fastlæggelse af strukturel arbedsstyrke Dokumentatonsnotat tl Dansk Økonom, Forår 2013 For at kunne vurdere økonomens langsgtede vækstpotentale og underlggende saldoudvklng og for at kunne

Læs mere

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller

Statikstik II 3. Lektion. Multipel Logistisk regression Generelle Lineære Modeller Statkstk II 3. Lekton Multpel Logstsk regresson Generelle Lneære Modeller Defntoner: Repetton Sandsynlghed for at Ja tl at være en god læser gvet at man er en dreng skrves: P( God læser Ja Køn Dreng) Sandsynlghed

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíii"n. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx.

KENDETEGN FOTKEEVENTYRETS. i faøíiin. riwalisøring. Içannibalismz. a9ergãrg ffe barn til volçsøn. for ryllølsø. åøt bernløse ægtepãx. FOTKEEVENTYRETS KENDETEGN Når du læser et folkeeventyr, er der nogle kendetegn sonì dubør være ekstra opmærksom på. Der er nogle helt faste mønstre og handlnger, som gør, at du kan genkende et folkeeventyr.

Læs mere

CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1

CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1 PURE CYCLING CYKELMANUAL MOUNTAINBIKE 1 13 14 15 2 16 3 4 c a I II 17 18 5 6 7 8 9 10 11 12 e d f b III IV 19 20 21 22 23 24 25 26! Dn cykel og denne betjenngsvejlednng svarer tl skkerhedskravene den europæske

Læs mere

CYKELMANUAL SPEEDMAX CF

CYKELMANUAL SPEEDMAX CF PURE CYCLING CYKELMANUAL SPEEDMAX CF 1 13 14 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 e d c a b 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Dette er en supplerende vejlednng tl Canyon Speedmax CF. Se altd også efter dn

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

PURE CYCLING. Vigtigt! Monteringsvejledning side 12. Læs side 7-11 inden du kører på cyklen første gang.

PURE CYCLING. Vigtigt! Monteringsvejledning side 12. Læs side 7-11 inden du kører på cyklen første gang. PURE CYCLING Cykelmanual Landevejscykel 1 13 14 2 3 4 5 c a 15 16 17 6 7 8 9 10 11 12 e d b 18 19 20 21 22 23 24 25 Vgtgt! Monterngsvejlednng sde 12. Læs sde 7-11 nden du kører på cyklen første gang.!

Læs mere

Portable Radio/ Cassette/ (MP3)CD-player with USB-port APRTC41U

Portable Radio/ Cassette/ (MP3)CD-player with USB-port APRTC41U Portable Rado/ Cassette/ (MP3)CD-player wth USB-port APRTC41U User manual Gebruksaanwjzng Manuel de l utlsateur Manual de nstruccones Gebrauchsanletung Οδηγίες χρήσεως Brugsanvsnng GB 2 NL 15 FR 27 ES

Læs mere

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9

Økonometri 1 Efterår 2006 Ugeseddel 9 Økonometr 1 Efterår 006 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Opsamlng på Ugeseddel 8 Gruppearbejde SAS øvelser Ugeseddel 9 består at undersøge, om der er heteroskedastctet vores model for væksten og så fald,

Læs mere

Ligeløn-stilling blandt dimittender

Ligeløn-stilling blandt dimittender Lgeløn-stllng blandt dmttender For fjerde år træk vser DJs dmttendstatstk, at der prakss stort set er lønmæssg lgestllng blandt nyuddannede. Lge mange mænd og kvnder får næsten det samme løn. Startløn

Læs mere

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi

Elektromagnetisme 12 Side 1 af 6 Magnetisk energi. Magnetisk energi lektronetsme Sde af 6 Betragt et kredsløb med erstatnngsresstans R og erstatnngs- L nduktans L. Som udtryk (.) er U emf + R. (.) U (emf) R Det arbejde, som batteret skal præstere løbet af tdsrummet strømmen,

Læs mere

Skruekompressorer SM-serien Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,30 til 1,50m3/min, Tryk 8 11 15 bar. www.kaeser.com

Skruekompressorer SM-serien Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,30 til 1,50m3/min, Tryk 8 11 15 bar. www.kaeser.com Skruekompressorer SM-seren Med den verdenskendte SIGMA PROFIL Ydelse 0,0 tl,0m/mn, Tryk www.kaeser.com Hvad forventer forbrugerne af et trykluftsystem? De forventer maksmal drftsskkerhed og ydeevne. Dette

Læs mere

Insttut for samfundsudvklng og planlægnng Fbgerstræde 11 9220 Aalborg Øst Ttel: Relatv Fasepostonerng Med bllge håndholdte GPS-modtagere Projektperode: Februar 2006 Jul 2006 Semester: 10. Projektgruppe:

Læs mere

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte

½ års evaluering af projekt Praktisk Pædagogisk Funktionsstøtte ½ års evaluerng projekt Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte Der forelgger her en evaluerng beskrvelse projektstllngen Praktsk Pædagsk Funktonsstøtte efter et halvt års vrke. Tl forskel fra 3 måneders evaluerngen

Læs mere

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1

Økonometri 1. Heteroskedasticitet 27. oktober Økonometri 1: F12 1 Økonometr 1 Heteroskedastctet 27. oktober 2006 Økonometr 1: F12 1 Dagens program: Heteroskedastctet (Wooldrdge kap. 8.3-4) Sdste gang: I dag: Konsekvenser af heteroskedastctet for OLS Korrekton af varansen

Læs mere

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger

Udviklingen i de kommunale udligningsordninger Udvklngen de kommunale udlgnngsordnnger af Svend Lundtorp AKF Forlaget Jun 2004 Forord Dette Memo er skrevet de sdste måneder af 2003, altså før strukturkommssonens betænknng og før Indenrgsmnsterets

Læs mere

CYKELMANUAL LANDEVEJSCYKEL

CYKELMANUAL LANDEVEJSCYKEL PURE CYCLING CYKELMANUAL LANDEVEJSCYKEL 1 13 14 2 3 4 5 c a 15 16 17 6 7 8 9 10 11 12 e d b 18 19 20 21 22 23 24 25 Vgtgt! Monterngsvejlednng sde 12. Læs sde 7-11 nden du kører på cyklen første gang.!

Læs mere

Loewe Connect ID. Et spørgsmål om personlighed.

Loewe Connect ID. Et spørgsmål om personlighed. Loewe Connect ID. Et spørgsmål om personlghed. Kjaerulff 1 Development A/S C.F. Tetgens Boulevard 19 5220 Odense SØ Danmark Tlf. 66 13 54 80 www.loewe.dk Loewe Opta GmbH Industrestraße 11 96317 Kronach

Læs mere

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9

Kvantitative metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Kvanttatve metoder 2 Forår 2007 Ugeseddel 9 Program for øvelserne: Introdukton af problemstllng og datasæt Gruppearbejde SAS øvelser Paneldata for tlbagetræknngsalder Ugesedlen analyserer et datasæt med

Læs mere

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998

MfA. V Udstyr. Trafikspejle. Vejregler for trafikspejles egenskaber og anvendelse. Vejdirektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 > MfA V Udstyr Trafkspejle Vejregler for trafkspejles egenskaber og anvendelse Vejdrektoratet -Vejregeludvalget Oktober 1998 Vejreglernes struktur I henhold tl 6, stk. 1 lov om offentlge veje (Trafkmnsterets

Læs mere

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00

Betjeningsvejledning. Trådløs motoraktuator 1187 00 Betjenngsvejlednng Trådløs motoraktuator 1187 00 Indholdsfortegnelse Om denne vejlednng... 2 Enhedsoversgt... 3 Monterng... 3 Afmonterng... 3 Spændngsforsynng... 4 Ilægnng af batter... 4 Tlstand ved faldende

Læs mere

X310 The original laser distance meter

X310 The original laser distance meter TM Leca DISTO touch TMD810 Leca DISTO X10 The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter The orgnal laser dstance meter Indholdsfortegnelse Instrumentopsætnng - - - - - - - - - - - - - -

Læs mere

IWMMh ;... DEI. Juli 1972 STJERNE. 121. Årgang. Nummer 7. ' an

IWMMh ;... DEI. Juli 1972 STJERNE. 121. Årgang. Nummer 7. ' an ;..... ' an IWMMh f,, N DEI STJERNE Jul 1972 121. Årgang Nummer 7 I det fængsel dag de langt Guds stedet stedet krg Nummer Det nsprerende budskab AF ÆLDSTE WILLIAM H. BENNETT, assstent tl De Tolvs Råd

Læs mere

Er det rigtigt at forskellen imellem den jyske og fynske måde at danse på er som følger:

Er det rigtigt at forskellen imellem den jyske og fynske måde at danse på er som følger: RHEINLÆNDER-POLKA. På Læsø kaldes dansen en jysk-fynsk. I Jylland bruger man udtrykket "en fynbo". Her på Fyn sger v en rhenlænder-polka - hvad mon dansen hedder rhen-landet? Dansen går march-tempo. På

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Trsdag den 10. januar 2012 kl. 19.00 Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Bjarne Vogt, Vggo Kofod Fraværende

Læs mere

Acciaierie Valbruna SpA 1. Letbearbejdelig kvalitet Maxival 4. Højhastigheds automatstål Maxival 188HS 4

Acciaierie Valbruna SpA 1. Letbearbejdelig kvalitet Maxival 4. Højhastigheds automatstål Maxival 188HS 4 4Accaere Valbruna SpA Accaere Valbruna SpA 1 Produktprogram 2-3 Letbearbejdelg kvaltet Maxval 4 Højhastgheds automatstål Maxval 188HS 4 Ferrtsk stål med let bearbejdnng MAGIVAL 5 Specaludvklet stål tl

Læs mere

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning!

Viden giver vækst. Højtuddannede til midt- og vestjyske virksomheder. Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretning! Vden gver vækst Højtuddannede tl mdt- og vestjyske vrksomheder Har du overvejet at ansætte en højtuddannet? - Det er en god forretnng! Vrksomheder og højtuddannede har brug for hnanden Vækst forudsætter

Læs mere

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet.

BLÅ MEMOSERIE. Memo nr. 208 - Marts 2003. Optimal adgangsregulering til de videregående uddannelser og elevers valg af fag i gymnasiet. BLÅ MEMOSERIE Memo nr. 208 - Marts 2003 Optmal adgangsregulerng tl de vderegående uddannelser og elevers valg af fag gymnaset Karsten Albæk Økonomsk Insttut Købenavns Unverstet Studestræde 6, 1455 Købenavn

Læs mere

God fornøjelse. NLP Huset 2010

God fornøjelse. NLP Huset 2010 20 ÅR 20 PORTRÆTTER INDHOLD Forord Velkommen tl NLP Huset Peter Grønnng - Fandme farlgt Karen Jensen I dag ser jeg hele mennesker Lsbeth Holm og Søren Stags Hvad nu hvs? Hvad er Enneagrammet? Chrstel Seerø

Læs mere

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej

Forbedret Fremkommelighed i Aarhus Syd. Agenda. 1. Vurdering af forsøg Lukning af Sandmosevej Trafkgruppen Agenda 1. Vurderng af forsøg Luknng af Sandmosevej 2. Vurderng af foreslået forsøg Luknng af Sandmosevej og Brunbakkevej 3. Forslag tl forbedret fremkommelghed for hele Aarhus Syd 4. Kortsgtet

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang

HR92. 2. Kort beskrivelse. 1. Leveringens omfang 2. Kort beskrvelse HR92 Trådløs elektronsk radatortermostat. Leverngens omfang I radatortermostatens emballage er der: 2 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.baccertfceret. Honeywell HR92 er en trådløs elektronsk

Læs mere

STJERNE DEIV. budskab. Det. inspirerende INDHOLDSFORTEGNELSE AF SIDSTE DAGES HELLIGE

STJERNE DEIV. budskab. Det. inspirerende INDHOLDSFORTEGNELSE AF SIDSTE DAGES HELLIGE lt ø- 4 det Independence, gang Krkens at søgen hmmelen en Det nsprerende budskab AF ÆLDSTE RICHARD L. EVANS af De Tolvs Råd Der er frstelser overalt. Mulghederne for at øve det onde eller for at gøre godt

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

Når klimakteriet tager magten Fokus

Når klimakteriet tager magten Fokus Når klmakteret tager magten Fokus For Bente Skytthe var det en lang og opsldende proces at komme gennem klmakteret, der blandt andet bød på hjertebanken, hedeture og voldsomme blødnnger. Overgangsalder

Læs mere

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland

DCI Nordsjælland Helsingrsgade SiR 3400 Hillerød tnordijaelland@dgi.dk Telefon 79 4047 00 Fax 79 4047 01 www.dgi.dk/nordsjaelland REDENSBORG KOMMUNE Ansøgnng om tlskud fra samarbejdspuljen Brug venlgst blokbstaver eller udfyld skemaet p dn pc. 1. Ansøgers forenng eller tlsvarende: DGl Nordsjælland 2. Ansøgers postadresse, emal telefonnummer:

Læs mere