Tillæg til Diplom - Bachelorprojekt
|
|
- Kristian Bendtsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Tillæg til Diplom - Bachelorprojekt Institut for Materialer & Produktion - 7. semester Skrevet af: Lars Undén Jensen
2
3 Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Institut for Materialer & Produktion Fibigerstræde 16, 9220 Aalborg Øst Tlf Titel: Tillæg til Diplom - Bachelorprojekt Projektperiode: 20. februar marts 2018 Skrevet af: Lars Undén Jensen Vejleder: Mikael Larsen Bivejleder: Lars Rosgaard Jensen Synopsis Dette tillæg laves som et supplement til Diplom - Bachelorprojekt, hvorfra det forventes læserne har kendskab til det foregående projekt. Derfor vil opstillingen ikke gennemgås detaljeret, men kun i et omfang der giver forståelse af funktionen. Dette tillæg omhandler en ny kinematisk analyse af konstruktionen med efterfølgende bestemmelse af den dynamiske belastning af bjælken. Endvidere laves der en faststofmekanisk analyse af et enkelt snit i bjælken med tilhørende styrkeberegning og evaluering af snittet. Sideantal: 37 Afsluttet: < Rapportens indhold er til fri afbenyttelse, så længe forfatteren krediteres >
4 Indholdsfortegnelse Kapitel 1 Introduktion til analyse 1 Kapitel 2 Kinematisk og dynamisk analyse Antal frihedsgrader Kinematisk beskrivelse Bestemmelse af position Bestemmelse af hastighed Bestemmelse af acceleration Resultat Position Hastighed Acceleration Kapitel 3 Dynamiske Laster Resultat Kapitel 4 Faststofmekanisk analyse Definering af egenlasten Snitkræfter i bjælken Snitkræfter xy - plan Resultat af snitkræfter Beregning af snit ved rotationspunktet Ordens areal inertimoment Beregning af punkt A Beregning af punkt B Spændingskoncentration Sikkerhedsmargin Sikkerhed imod flydning Sikkerhed imod brud Resultat Kapitel 5 Konklusion 37 Litteratur 39 Appendiks A Appendiks Appendiks B Anbefaling Appendiks C Kinematisk udregning Appendiks D Fastofmekanisk analyse A41 A43 A45 A58 iv
5 Indholdsfortegnelse Aalborg Universitet Appendiks E Kinematisk resultat A59 Appendiks F Samletegning A61 v
6
7 Introduktion til analyse 1 For at kunne beregne de dynamiske kræfter på bjælken laves en kinematisk analyse. Gennem analysen bestemmes position, hastighed og acceleration for massemidtpunktet i hvert af systemets legemer. Ved efterfølgende anvendelse af Newtons II og III love på disse variabler, kan de dynamiske kræfter bestemmes. Excideren påvirker vingen, så den får en kantvis (vandret) bevægelse, se figur 1.1. Opstillingen medfører, at når vingen bevæges langs x-aksen, bevæger den sig i en cirkelbue rundt om y-aksen, altså xz planet, som også er angivet på figuren. Endvidere har designet af en vindmøllevinge det formål at generere et løft. Det medfører at vingens bevægelse langs x- aksen også medfører et løft i y-aksens retning. Disse to bevægelser er små for det område, hvor slædesystemet er tilkoblet. Derfor vælges det at se bort fra disse to bevægelser, og derved kun se bevægelsen i x-aksens retning. Figur 1.1: Oversigt over testopstillingen af vindmøllevinge i kantvis udmattelsestest. Slædesystemet er tilkoblet kanten af vingen ved hjælp af et åg, som er fastspændt på tværs af vingen. Excideren er fastgjort til vingen ved hjælp af et hemmeligt design, som derfor ikke kan beskrives. Kraften fra excideren beskrives som påtrykt kanten af vingen med skiftende retning, som det er angivet på tegningen. 1
8 Slædesystem 1. Introduktion til analyse Som beskrevet i rapporten Diplom - Bachelorprojekt er der to slæder på systemet, se figur 1.2. Der regnes på slæderne som en samlet enhed. Dette kan gøres, idet slædernes montering på bjælken er symmetrisk. Ved at samle slæderne til en ækvivalent slæde på samme side af bjælken som vingen, fås en sammenlignelighed mellem systemet over og under pivoteringspunktet, se figur 1.2. Der er dog en mindre forskel på bjælkens længde over og under pivoteringspunktet. En samletegning kan desuden ses i appendiks F. Figur 1.2: Oversigt af de dele som indgår i den kinematiske analyse. Når der regnes med en ækvivalent slæde på højre side af bjælken, opnåes en næsten symmetrisk opstilling omkring pivoteringspunktet. 2
9 Kinematisk og dynamisk analyse Antal frihedsgrader Før den kinematiske analyse laves, kontrolles designet for antallet af frihedsgrader. Dette gøres for at sikre at designet kan realiseres. Da bjælken betragtes som værende tilnærmelsesvis symmetrisk, beregnes der kun for den øverste del. Til dette anvendes Grublers formel, til definering af antallet af frihedsgrader. m 3 pn 1q 2f h 3 p4 1q (2.1) n f h Antallet af links Antallet af punkter med lav kontaktflade Antallet af punkter med høj kontaktflade Et punkt med lav kontaktflade er en ideel samling, som binder to legemer sammen, eksempelvis et charnierled. En højkontaktflade er et bevægeligt legeme, som skal holde kontakt med en overflade på et stationært objekt, eks. en cam follower. Som det ses fra resultatet i ligning (2.1) er det kun nødvendigt med én drivende kraft, hvilket i dette tilfælde vil være vingens påvirkning af systemet. På samme måde kan systemet under pivoteringspunktet defineres. Her vil den drivende kraft komme fra systemet over pivoteringspunktet. På baggrund af formel (2.1) er det muligt at formulere de kinematiske ligninger. 2.2 Kinematisk beskrivelse Slædesystemet består af flere legemer, som er forbundet med hinanden som vist på figur 2.1. Hvert legeme har sit individuelle, lokale koordinatsystem, som er indtegnet på figuren. For at beskrive systemets bevægelse i det globale koordinatsystem, betragtes en koordinat transformation af de lokale koordinater til globale koordinater. Til dette anvendes Newton - Euler ligningen, se formel (2.2). Det vælges at lægge origo for det globale koordinatsystem i pivoteringspunktet på bjælken, se figur 2.1. Pivoteringspunktet er det eneste punkt, som ikke udsættes for en translatorisk bevægelse. Endvidere vil en matematisk formulering af dette punkt som origo sikre, at punktet vil blive fastholdt. 3
10 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse r p i r i ` A S 1 i p (2.2) r p i r i Globale koordinater af et punkt. Globale koordinater for lokale origo i Si 1p Lokale koordinater, se ligning (2.4) A Rotationsmatrix, se ligning (2.5) De globale koordinater for lokale origo i, som lægges i tyngdepunktet for legeme i. x i r y i (2.3) Lokalvektor som legeme i fra lokale origo til endepunkt i det lokale koordinatsystem. Det vil sige imellem tyngdepunktet til den ene ende af legemet i dette projekt. S 1 S ξ S η (2.4) Rotationsmatrix roterer legemernes lokale vektorer til globale vektorer. «ff cos φi sin φ i A sin φ i cos φ i (2.5) De lokale koordinatsystemer indsættes i hvert legemes tyngdepunkt. Det vælges at placere origo i pivoteringspunktet for bjælken, da dette punkt ikke har en translatorisk bevægelse, se figur 2.1. Samtlige Φ i måles fra x - aksen og modurs retning. 4
11 2.2. Kinematisk beskrivelse Aalborg Universitet Figur 2.1: Oversigt over de lokale koordinatere samt led. Samtlige Φ i måles fra x - aksen og modurs retning Da bjælken ikke er prismatisk, er det nødvendigt at beregne tyngdepunktet. Det vælges at adskille bjælken ved pivoteringspunket. Derved findes tyngdepunktet for både den del af bjælken som er over og den del, som er under pivoteringspunktet. De lokale koordinatsystemer defineres som følger: S S 1 1 A L k,1 0 L k,2 0 5
12 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse S2 1 A S2 1 B S 1 3 B Tyngdepunkt L k,3 2 0 L k, For at bestemme bjælkens øverste tyngdepunkt, anvendes følgende formel: R 1 Q nÿ q i r i i 1 (2.6) Q q i r i Samlede egenlast Sektionsvis egenlast Sektionsvis tyngdepunkts afstand Hertil opdeles den øverste del af bjælken i fire sektioner: sektion 6+5, sektion 4+5 og sektion 3. Sektion 3 opdeles yderligere i to dele. Bestemmelse af egenlasterne kan ses i afsnit 4.1, og sektionerne på oversigtsfigur 4.1. Sektion Da denne sektion er prismatisk, kan det antages at det lokale tyngdepunkt ligger i center af røret. Herved kan afstanden fra pivoteringspunktet til sektion findes: r 6`5 L 6 2 ` L 3 ` L 4 2, 25m q 6`5 A b ρ g pl 6 ` L 5 q 8601N Sektion Denne sektion er også prismatisk, derved kan antagelserne fra før genanvendes. r 4`5 L 4 ` L 5 2 ` L 3 1, 50m q 4`5 A 1 ρ g pl 4 ` L 5 q 6890N 6
13 2.2. Kinematisk beskrivelse Aalborg Universitet Sektion 3 del 1 Sektion 3 er ikke prismatisk, derfor vælges det at opdele denne sektion i to dele. En prismatisk og en ikke-prismatisk sektion. Del 1 beskriver den prismatiske del. Herved anvendes antagelserne fra før: r 3,1 L 3 2 0, 50m q 3,1 A 1 ρ g L N Sektion 3 del 2 Denne del beskriver den ikke-prismatiske del. Formen for q er som en retvinklet trekant. Det vil sige at tyngdepunktet ligger en tredjedel fra endepunktet. r 3,2 L 3 3 0, 33m På samme vis anvendes trekantsberegning til beregning af egenvægten. q 3,2 1 2 pa 2 A 1 q ρ g L N Herved kan det ækvivalente tyngdepunkt findes: L k,1 1 q 6`5 ` q 4`5 ` q 3,1 ` q 3,2 pq 6`5 r 6`5 ` q 4`5 r 4`5 ` q 3,1 r 3,1 ` q 3,2 r 3,2 q 1, 41m Den resterende længde fra tyngdepunktet til toppen af bjælken, findes ved at regne differencen mellem bjælkens højde over pivoteringspuktet (3 meter). L k,2 3 L k,1 1, 59m Det antages at stødstangen er prismatisk og derfor vil tyngdepunktet være placeret i center af stangen. Længden blev defineret i Diplom - Bachelorprojektet til 0,50 meter. Derved fåes L k,3 0, 25m. Den samme metode er anvendt til at beregne systemet under pivoteringspunktet. Dette vil ikke blive gennemgået igen, her vil resultaterne kun blive listet og indsat i de lokale koordinatsystemer. S S 1 4 C 1, ,
14 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse S5 1 C 0, 34 0 S5 1 D 0, 34 0 S6 1 D Bestemmelse af position Med de lokale koordinater samt længder af legemerne defineret, kan de kinematiske ligninger formuleres. Det vælges at opstille dem for den øverste del af bjælken, altså over pivoteringspunktet, se figur 2.1. Da vindmøllevingen driver slædesystemet, skal denne defineres som en drivende ligning. Det antages at vingen kun har en bevægelse langs x - aksen. Det vides at vingen har en bevægelse i y - aksen også, denne bevægelse skyldes at vingens bevægelse genererer løft. Dette medføre at vingen vil have bevægelse i y - aksen. Da slædesystemet anvendes relativ tæt på vingens rod, vil bevægelsen i y - aksen være minimal. Det vælges derfor at se bort fra vingens bevægelse i y - aksen.til at definere vingens bevægelse i x - aksen anvendes den harmoniske bølgeligning, se ligning (2.7). Da vingen har fået legeme nr. 3, se figur 2.1, og derved sættes den harmoniske bølgeligning til x 3. x 3 ptq A sin ω t (2.7) Her er: A Vingens amplitude på x - aksen 0,25 m ω Vinkelhastighed 2 π f, f=0,7 Hz Betingelse Punkt Formel Rotations led 0 ` r1 ` A 1 S1 1 0 r 0 0 Rotations led A ` r1 ` A 1 S1 1 A ` r 2 ` A 2 S2 1 A 0 Rotations led B ` r2 ` A 1 S2 1 B ` r 3 ` A 3 S3 1 B 0 Translations led B φ 3 0 y Aktuering x 3 ptq 0.5 A s sin ω t 0 Da udformningen af systemet har en tilnærmelsesvis symmetri omkring pivoteringspunktet, anvendes samme procedure som ved øverste del. Til den drivende ligning for systemet under pivoteringspunktet, anvendes rotationen fra φ 1. Herved kan følgende ligning formuleres: φ 4 φ 1 ` π Betingelse Punkt Formel Rotations led 0 ` r4 ` A 4 S4 1 0 r 0 0 Rotations led C ` r4 ` A 4 S4 1 C ` r 5 ` A 5 S5 1 C 0 Rotations led D ` r5 ` A 5 S5 1 D ` r 6 ` A 6 S6 1 D 0 Translation led D φ 6 0 y 6 3, 2 0 Aktuering φ 4 pφ 1 ` πq 0 8
15 2.2. Kinematisk beskrivelse Aalborg Universitet Der er nu defineret 18 ligninger med 18 variabler p r i «x i y i ff, φ i q. Ligningerne samles i en vektor Φ og sættes til nul. Φ 0 (2.8) Herfra kan systemet af ligninger løses ved brug af en "solver". Resultatet kan ses i sektion
16 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse Bestemmelse af hastighed Med positionen til tiden [t] defineret, findes hastigheden for systemet i de samme punkter. Dette gøres ved at differentiere de allerede eksisterende ligninger i forhold til tiden [t]. Hertil anvendes Jacobian [D]. Den drivende ligning differentieres og defineres 9α. I 9α kunne der også indgå andre ydre påvirkninger som eksempelvis friktion, men i denne analyse indgår kun inputtet fra den drivende ligning D Φ q BΦ Bq 9α BΦ Bt (2.9) Her vises den kompakte form af hastighedsligningen. D 9q 9α Ñ 9q D 1 9α (2.10) Resultatet for hastigheds ligningerne vises herunder. Betingelse Punkt Formel Rotations led 0 r9 1 ` B 1 S1 1 0 φ9 1 r9 0 0 Rotations led A r9 1 ` B 1 S1 1 A φ9 1 r9 2 ` B 2 S2 1 A φ9 2 0 Rotations led B r9 2 ` B 2 S2 1 B φ9 2 r9 3 ` B 3 S3 1 B φ9 3 0 Translations led B φ9 3 0 y9 3 0 Aktuering - A ω cos pω tq 0 Rotations led C r9 4 ` B 4 S4 1 0 φ9 4 r9 0 0 Rotations led D r9 4 ` B 4 S4 1 D φ9 4 r9 5 ` B 2 S5 1 D φ9 5 0 Rotations led E r9 5 ` B 5 S5 1 E φ9 5 r9 6 ` B 6 S6 1 E φ9 6 0 Translation led E φ9 6 0 y9 6 0 Binde led φ9 4 φ Som før ved bestemmelse af position i sektion er der 18 ligninger med 18 variabler px9 i, y9 1, φ 9 i q. φ i til den samme tid indgår i hastighedsligningerne, idet der anvendes en rotationsmatrix B, som er rotationsmatrixen A efter den er differentieret. ff B i BA i «sin φi cos φ i BΦ i cos φ i sin φ i 10
17 2.2. Kinematisk beskrivelse Aalborg Universitet Bestemmelse af acceleration For at bestemme de dynamiske kræfter i systemet er det også nødvendigt at finde accelerationerne for systemet. Dette gøres med samme metode som ved beregning af hastigheden. Altså hastifheden differentieres med hensyn til tiden [t]. Herved fåes: 9D dφ dt (2.11) D:q ` 9D :α 9q :α Ñ :q D 1 9D 9q (2.12) Resultatet af differentieringen kan ses herunder. Betingelse Punkt Formel R - led 0 :r 1 ` B 1 S1 1 0 :φ 1 A 1 S1 1 0 φ9 2 1 :r 0 0 R - led A :r 1 ` B 1 S1 1 A :φ 1 A 1 S1 1 A φ9 2 1 :r 2 ` B 2 S2 1 A :φ 2 A 2 S2 1 A φ R - led B :r 2 ` B 2 S2 1 B :φ 2 A 1 S2 1 B φ9 2 2 :r 3 ` B 3 S3 1 B :φ 3 A 3 S3 1 B φ T - led B :φ 3 0 :y 3 0 Aktuering :x 3 ` A ω 2 sin ω t 0 R - led C :r 4 ` B 4 S4 1 0 :φ 4 A 4 S4 1 0 φ9 2 4 r9 0 0 R - led D :r 4 ` B 4 S4 1 D :φ 4 A 4 S4 1 D φ9 2 4 :r 5 ` B 2 S5 1 D :φ 5 A 5 S5 1 D φ R - led E :r 5 ` B 5 S5 1 E :φ 5 A 5 S5 1 E φ9 2 5 :r 6 ` B 6 S6 1 E :φ 6 A 6 S6 1 E φ T - led E :φ 6 0 :y 6 0 Binde led φ4 : :φ 1 0 Som før ved beregning af position og hastighed for systemet er der 18 ligninger og 18 variabler p :x i, :y i, φ : i q. Da både φ i og φ 9 i indgår, er det nødvendigt at beregne det samlede ligningssystem til samme tid. Den fulde udregning kan ses i Appendiks C 11
18 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse 2.3 Resultat Position Resultaterne kan ses i plot 2.2, og appendiks E.1. Da de kinematiske ligninger angiver positionen for tyngdepunktet for legemet, er der på plot 2.2 beregnet position for legemernes samlinger. Dette kan gøres, idet vinklen på legemerne samt deres længder kendes. Positionerne for samlingerne anvendes kun til illustration af 2.1. På figur 2.2 er den nederste stødstang, legeme nr. 5, roteret 180 i forhold til figur 2.1. Årsagen til dette er, at resultatet kan give flere løsninger. Det antages ikke at have indflydelse på de efterfølgende kraftberegninger, idet slæden beregnes som et ækvivalent system. Figur 2.2: Visning af resultat af den kinematiske analyse. Positionen angives for "hvile"position samt maksimal positiv- og negativ amplitude i x retning 12
19 2.3. Resultat Aalborg Universitet Hastighed Resultatet vises for den maksimale hastighed til tiden t = 1,428 sek. De resterende resultater kan ses i appendiks E.2. x9 1 0, 517 y9 19 4, φ 1 0, 366 x9 2 1, 100 y9 29 4, φ 2 1, x9 3 1, 100 y9 39 0, 000 φ 3 0, 000 9q x9 4 0, 481 y9 49 1, φ 4 0, 366 :x 5 1, 800 y9 59 1, φ 5 4, 10cdot10 2 x9 6 1, 180 y9 69 0, 000 0, 000 φ 6 (2.13) 13
20 Slædesystem 2. Kinematisk og dynamisk analyse Acceleration Herunder vises resultat for q i ved den maksimale acceleration til tiden 1,071 sek. Årsagen til at 9q og :q angives i forskellig tider, skyldes at ved differentiering sker der en faseforskydning for hver differentiation.for de resterende resultater for acceleration, se appendiks E.3. :q :x 1 :y 1: φ 1 :x 2 :y 2: φ 2 :x 3 :y 3: φ 3 :x 4 :y 4: φ 4 :x 5 :y 5: φ 5 :x 6 :y 6: φ 6 2, 270 0, 181 1, 612 4, 835 0, 192 0, 765 4, 840 0, 000 0, 000 2, 110 0, 164 1, 612 5, 130 0, 200 0, 586 5, 130 0, 000 0, 000 (2.14) 14
21 Dynamiske Laster 3 På baggrund af den kinematiske analyse, kan de dynamiske kræfter findes. Dette gøres ved at anvende Newtons anden lov. Hertil adderes det førliggende legemes kræfter g j på det aktuelle legeme. Det vælges at se bort fra ydre påvirkninger som friktion, vindmodstand med mere.» fi M i :q i ` g j g i Ñ» fi» m i 0 0 ffi :x i 0 m i 0 ffi ffi fl :y i: fl ` 0 0 J i Φ i fpxq j fpyq j n j fi ffi fl» fpxq i fpyq i n i fi ffi fl (3.1) Her er J i m i Ri 2 det lokale, polære inertimoment. R i er afstanden fra tyngdepunktet til det sted, hvor kraften påføres. Afstanden kan ses i sektion da den er sammenfaldende med den lokale vektor S 1. Herved kan der opsættes et system af ligninger til at bestemme kræfterne på alle legemerne, som hverisær betragtes som et frit legeme, se figur 3.1. Ved at anvende Newtons tredje lov kan de dynamiske kræfter på hvert legeme fordeles imellem legemerne, og derved kan de interne kræfter defineres herunder. Da det er vingen, som er den drivende kraft i slædesystemet, begyndes med den. Til massen af legeme nr. 3 anvendes den ønskede masse defineret i kravspecifikationerne fundet i Diplom bachelorprojektet. Massens størrelse er m= kg. Det vælges at se bort fra den polære inertimoment, idet det multipliceres med nul. M 3 :q 3 g 3 Ñ» fi 20, » 0 0 ffi 0 20, ffi fl , fi ffi fl» 96, fi ffi fl Ved beregningen for legeme nr. to, hvilket er stødstangen mellem slædesystemet og vingen, tages der nogle antagelser. Da det ikke har været muligt at veje stødstang samt lejeår, vælges det at lave et estimat for massen. Der tages ikke forbehold for stødstangens styrke eller dens evne til at modstå belastningen påtrykt denne. Det vælges at stødstangen er hul og har en diameter på 25 cm med en tykkelse på 5 cm. ˆ0, 25 m 2 A g ρ l 2 2 0, 20 π 9, , 50 68, 9kg 2 Hertil skal der to lejeår som anslåes til 25 kg, så den endelige masse for m 2 119kg. 15
22 Slædesystem 3. Dynamiske Laster Figur 3.1: Her ses en skitse af de interne dynamiske kræfter på systemet. Herved fåes M 2 :q 2 g 3 g 2 Ñ» fi» fi ffi 4, ffi ffi fl 0, 192 fl ` 0 0 7, 43 0, 765» 96, fi ffi fl» 97, , 8 5, 68 fi ffi fl For legeme nr. 1 beregnes den samlede egenvægt for q 1 som blev fundet til beregning af den kinematiske analyse i sektion 2.2 M 1 :q 1 g 2 g 1 Ñ» fi» fi ffi 2, ffi ffi fl 0, 181 fl ` , 612» 97, , 8 5, 68 fi ffi fl» fi ffi fl For legeme nr. 4 findes egenvægten, som ved beregning af legeme nr.1. Da bjælken er fast kan momentet overføres fra legeme nr. 1 til legeme nr M 4 :q 4 g 1 g 4 Ñ» fi» fi ffi 2, ffi ffi fl 0, 164 fl ` , 612» fi ffi fl» 96, , 1 16, fi ffi fl
23 3.1. Resultat Aalborg Universitet M 5 :q 5 g 4 g 5 Ñ» fi» fi ffi 5, ffi ffi fl 0, 200 fl ` , 0 0, 586» 96, , 1 0 fi ffi fl» 95, , 8 10, 6 fi ffi fl Da den samlede masse på slæden ikke kendes, kan den findes på baggrund af de indbyrdes lokale belastninger, som påtrykkes legeme nr. 6. Herved isoleres for M 6 matrixet. M 6 pg 6 ` g 5 q :q 6 1 Ñ 3.1 Resultat» fi 0, 0 ffi 0, 0 0, 0» fl ` 95, , 8 10, 6 fi» ffi fl 5, fi ffi fl» fi 18, ffi 0 0 0ffi fl På bagrund af de dynamiske lastberegninger, beregninger er følgende laster på bjælken: F 2,x F ind,x N F 2,y F ind,y 460, 1N F 4,x F s,x N F 4,y F s,y 47, 1N (3.2) Endvidere er den ækvivalente masse for begge slæder fundet. Dette indebære slædens egenvægt, samt hjulenes vægt mv. Som tidligere nævnt, er der ikke medregnet friktionskræfter. Hvis friktionskraften påføres vil dette medføre at massen m 6 vil blive reduceret. m kg (3.3) 17
24
25 Faststofmekanisk analyse 4 Med de dynamiske belastninger på bjælken defineret, laves der en faststofmekanisk analyse for at kontroller bjælkenssvne til at modstå den dynamiskebelastning. Bjælken har en længde på 6,2 m, som roterer omkring et punkt 3,2 m fra bunden. På grund af bjælkens størrelse vælges det at medregne bjælkens egenvægt. Da bjælken ikke er prismatisk igennem hele dens længde, opdeles den i seks sektioner, hvor to af sektionerne har en varieret størrelse, se figur 4.1. En forstørret udgave kan ses i appendiks D.1. Figur 4.1: Fritlegeme diagram af bjælken 19
26 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse 4.1 Definering af egenlasten For at finde egenlasten af bjælken er det nødvendigt at opdele bjælken i sektionsvise egenlaster. Hertil anvendes følgende variabler: ρ «7800 kg massefylden for stål, 3 g «9, 852 m s 2. Arealerne samt længderne er taget fra det oprindelige projekt og gengives i tabel 4.1. Endvidere ses sektionerne på figur 4.1. Tabel 4.1: Areal og længder for bjælken, fra diplom og bachelorprojektet. A 1 90, m 2 L 1 1,5m L 4 0,5m A m 2 L 2 1,7m L 5 0,5m A or 74, m 2 L 3 1,0m L 2 1,0m Herefter kan egenvægten beregnes for hver sektion. A i y i q i Det sektionsvise tværsnitsareal Den sektionsvise afstand langs bjælken Den sektionsvise egenlast q 1 A 1 ρ g y i 6, 89 y i kn m (4.1) q 4 A 1 ρ g y i 6, 89 y i kn m (4.2) q 5 pa 1 ` A or q ρ g y i 12, 6 y i kn m (4.3) q 6 A or ρ g y i 5, 73 y i kn m (4.4) Da bjælken ikke er prismatisk i sektion q 2 og q 3, er det nødvendig at finde en beskrivelse af q i værdien til en bestemt afstand y i. Der tages derfor udgangspunkt i linjesligning ry i ax ` bs som omskrives til y i a q i ` b. Da værdierne for egenlasten ved start af sektion 2 pq 1 ; y 1 q p6, 89kN; 1, 5q og slutningen af sektionen pa 2 ρ g; y 1 ` y 2 q p9, 95kN; 3, 2mq kan hældningskoefficient finde: a py 1 ` y 2 q y 1 X 2 x 1 0, Herefter findes b konstanten. 20 b y 1 a x 1 3, 83
27 4.1. Definering af egenlasten Aalborg Universitet Da det ønskes at finde værdien for q i til en given afstand y i omskrives ligningen. Endvidere vælges det at dele med y i så udtrykket q i kan multipliceres direkte ved udregning af snitkræfterne. q 2 y b a 1801 y i ` ` 6890 y i På samme måde findes egenlasten for sektion 3. q y i ` ` 9953 y i Frit-legeme-diagram for xy - planet Da bjælken er simpel understøttet, er det nødvendigt at lave en antagelse. Pivoteringspunktet hvorom bjælken rotere, kan ikke optage et moment, se figur 4.1. Da egenlasten skal bestemmes for hele bjælken, indsættes sektionsfulde længder y i L i. Da den dynamiske last er fundet ved den maksimale acceleration, er det nødvendigt at foretage de statiske beregninger i samme vinkel, som de dynamiske laster er fundet ved. Det vælges at lave snitkræfterne stykvis for hver sektion af bjælken, se figur 4.1. De dynamiske påvirkninger er fundet til tiden t 1, 071 sek., hvor bjælken er vippet er i sin fulde amplitude. Derfor vælges det at omregne de dynamiske påvirkninger til bjælkens orientering. Først defineres en tilpasset vinkel, så bjælken orienteres i forhold til y - aksen i stedet for x - aksen, som udregnet ved de kinematiske beregninger. De nye kræfter og vinkler er markeret med en [ ] efter variablen. Φ 1 1 Φ 1 π 2 (4.5) Φ 1 2 Φ 1 ` π 2 (4.6) Õ` 1 ř F x 0 : R x F ind,x F s,x q 1 cos Φ 1 2 L 1 q 2 cos Φ 1 2 L 2 q 3 cos Φ 1 1 L 3... q 4 cos Φ 1 1 L 4 q 5 cos Φ 1 1 L 5 q 6 cos Φ 1 1 L 6 0 R x F ind,x ` F s,x ` q 1 cos Φ 1 2 L 1 ` q 2 cos Φ 1 2 L 2 ` q 3 cos Φ 1 1 L 3... `q 4 cos Φ 1 1 L 4 ` q 5 cos Φ 1 1 L 5 ` q 6 cos Φ 1 1 L 6 203kN (4.7) Ô` 1 ř F y 0 : R y F ind,y F s,y q 1 cos Φ 1 2 L 1 q 2 cos Φ 1 2 L 2 q 3 cos Φ 1 1 L 3... q 4 cos Φ 1 1 L 4 q 5 cos Φ 1 1 L 5 q 6 cos Φ 1 1 L 6 0 R y F ind,y ` F s,y ` q 1 cos Φ 1 2 L 1 ` q 2 cos Φ 1 2 L 2 ` q 3 cos Φ 1 1 L 3... `q 4 cos Φ 1 1 L 4 ` q 5 cos Φ 1 1 L 5 ` q 6 cos Φ 1 1 L 6 46, 9kN (4.8) ` 1 ř M z 0 21
28 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse 4.2 Snitkræfter i bjælken Til at finde de indre belastninger i bjælken findes snitkræfterne langs bjælkens længde. For at simplificere beregningerne, vælges det at lave kraftkompensanterne om, så de passer med bjælkens lokale retning. Herved roteres de dynamiske kræfter på bjælken for over pivoteringspunketet på bjælken. F ind,x 1 F ind,x cos Φ 1 1 ` F ind,y sin Φ 1 1 (4.9) F ind,y 1 F ind,y cos Φ 1 1 ` F ind,x sin Φ 1 1 (4.10) Og for under pivoterings punktet på bjælken. F s,x 1 F s,x cos Φ 1 2 ` F s,y sin Φ 1 2 (4.11) F s,y 1 F s,y cos Φ 1 2 F s,x sin Φ 1 2 (4.12) Snitkræfter xy - plan Snit 1: 0 ď y ă L 1 Figur 4.2: Snit 1 22 Õ` 1 ř F x 0 : V 1 F s,x 1 q 1 sin Φ 1 2 y1 0 ó (4.13) V 1 F s,x ` q 1 sin Φ 1 2 y1
29 4.2. Snitkræfter i bjælken Aalborg Universitet Ô` 1 ř F y 0 : N 1 ` F 1 s,y q 1 cos Φ 1 2 y 0 ó (4.14) N 1 q 1 cos Φ 1 2 y F s,y 1 ` 1 ř M 0 : M 1 F s,x 1 y 1 q 1 sin Φ 1 y ó M 1 F s,x 1 y 1 ` q 1 sin Φ 1 y (4.15) Snit 2: L 1 ď y ă L 2 Figur 4.3: Snit 2 Õ` 1 ř F x 0 : V 2 V 1 q 2 sin Φ 1 2 y1 0 ó V 2 V 1 ` q 2 sin Φ 1 2 y1 (4.16) Ô` 1 ř F y 0 : N 2 N 1 q 2 cos Φ 1 2 y1 0 ó N 2 q 2 y ` N 1 ` q 2 cos Φ 1 2 y1 (4.17) ` 1 ř M 0 : M 2 M 1 V 1 y 1 q 2 sin Φ 1 y ó M 2 M 1 V 1 y q 2 sin Φ 1 y (4.18) 23
30 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse Det vælges at regne modsatte side af bjælken på samme måde som ved den nederste del af bjælken. Snit 6: L 6 ě y ą L 5 Figur 4.4: Snit 6 Õ` 1 ř F x 0 : V 6 ` F ind,x 1 q 6 sin Φ 1 1 y1 0 ó V 6 F ind,x 1 q 6 sin Φ 1 1 y1 0 (4.19) Ô` 1 ř F y 0 : N 6 F ind,y 1 q 6 cos Φ 1 1 y1 0 ó (4.20) N 6 F ind,y 1 q 6 cos Φ 1 1 y1 ` 1 ř M 0 : M 6 ` F ind,y 1 y 1 q 6 sin Φ 1 y ó M 6 F ind,y 1 y 1 q 6 sin Φ 1 y (4.21) Snit 5: L 5 ě y ą L 4 24
31 4.2. Snitkræfter i bjælken Aalborg Universitet Figur 4.5: Snit 5 Õ` 1 ř F x 0 : V 5 ` V 6 q 5 sin Φ 1 1 y1 0 ó V 5 V 6 q 5 sin Φ 1 1 y1 (4.22) Ô` 1 ř F y 0 : N 5 ` N 6 q 5 cos Φ 1 1 y1 0 ó N 5 N 6 q 5 cos Φ 1 1 y1 0 (4.23) ` 1 ř M 0 : M 5 ` M 6 q 5 sin Φ 1 y ó M 5 M 6 q 5 sin Φ 1 y (4.24) Snit 4: L 4 ě y ą L 3 Figur 4.6: Snit 4 Õ` 1 ř F x 0 : V 4 ` V 5 q 4 sin Φ 1 1 y1 0 ó V 4 V 5 q 5 sin Φ 1 1 y1 (4.25) 25
32 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse Ô` 1 ř F y 0 : N 4 ` N 5 q 4 cos Φ 1 1 y1 0 ó N 4 N 5 q 4 cos Φ 1 1 y1 0 (4.26) ` 1 ř M 0 : M 4 ` M 5 q 4 sin Φ 1 y ó M 4 M 5 q 4 sin Φ 1 y (4.27) Snit 3: L 3 ě y ą L 2 Figur 4.7: Snit 3 Õ` 1 ř F x 0 : V 3 ` V 4 q 3 sin Φ 1 1 y1 0 ó V 3 V 4 q 3 sin Φ 1 1 y1 (4.28) Ô` 1 ř F y 0 : N 3 ` N 4 q 3 cos Φ 1 1 y1 0 ó N 3 N 4 q 3 cos Φ 1 1 y1 0 (4.29) ` 1 ř M 0 : M 3 ` M 4 q 3 sin Φ 1 y ó M 3 M 4 q 3 sin Φ 1 y (4.30) 26
33 4.2. Snitkræfter i bjælken Aalborg Universitet Resultat af snitkræfter Resultatet af snitkræfterne ses herunder: Figur 4.8: Snitkræfterne for bjælken. Figur 4.9: Bøjningsmoment Figur 4.10: Tværkraft Figur 4.11: Normalkraft 27
34 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse 4.3 Beregning af snit ved rotationspunktet Det ønskes, at der laves en enkelt snitberegning iht. de givne anbefalinger, se appendiks B. Der vælges det at lave dette snit ved rotationspunktet, på baggrund af de fundne snitkræfter. Til at beregne spænding fra bøjningsmomentet anvendes formel 4.31 σ M x I (4.31) Den samlede spænding fås ved at addere normalspændingen fra træk. Herved fås følgende formel: σ N A ` M x I (4.32) Endvidere kan forskydningsspændingen findes med følgende formel: τ V Q I b (4.33) Normal- og forskydningsspændinger samles til en ækvivalent spænding ved hjælp af Von Mises: σ 1 c 1 pσ x σ y q 2 ` pσ y σ z q 2 ` pσ z σ x q 2 ` 6 `τ xy 2 2 ` τyz 2 ` τzx 2 (4.34) Da der kun anvendes planspændinger kan Von Mises reduceres. σ 1 a σ 2 x ` 3 τ 2 zx (4.35) Først bestemmes de geometriafhængige variabler: tværsnit [A], 1. ordens arealmoment [Q] og 2. ordens inertimoment [I]. Det vælges at beregne den ækvivalente spænding i to punkter i tværsnittet, se figur
35 4.3. Beregning af snit ved rotationspunktet Aalborg Universitet Figur 4.12: Skitse over de to punkter x= 475mm og x=500mm Tværsnitsareal Tværsnittet bestemmes på følgende måde, se figur Figur 4.13: Tværsnit af bjælken ved rotationspunktet A h b ph 2 tq pb 2 tq mm 2 29
36 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse Det vælges at fratrække nav- og bolthullerne fra tværsnittet da tværsnitsarealet anvendes sammen med normalkraften, som har samme værdi over hele tværsnitsarealet. A net 4 d bolt t ` 2 d nav t 18, mm 2 A snit A A net mm 2 1. Ordens areal inertimoment Det vælges at beregne snittet på to forskellige punkter, x 475mm og x 500mm, se figur Da bjælken er symmetrisk omkring z - aksen, antages det at tyngdepunktet ligger i midten af højden h. Figur 4.14: Tværsnit af bjælken ved rotationspunktet Den generelle formel for 1. ordens areal inertimoment er: Q ÿ x A (4.36) Her er: 30
37 Ordens areal inertimoment Aalborg Universitet x A Afstanden fra tyngdepunktet til det ønskede målepunkt Tværsnittet over eller under det valgte punkt. Punkt A, x=500mm Da der ikke er et tværsnitareal over punkt A vil første ordens areal inertimoment give nul. Q A 0, Punkt B, x=475mm Q B x B a 1 ˆh 2 t ˆ t ˆ1, b 2 0, 050 ˆ0, 050 0, 400 4, m Da 1. ordens areal inertimoment er defineret, findes 2. ordens areal inertimoment Ordens areal inertimoment Til at bestemme 2. ordens areal inertimoment, vælges det at lave samme antagelse som ved 1. ordens areal inertimoment. Da bjælken er symmetrisk omkring z - aksen, antages det, at bjælkens ligevægtspunkt er i center af bjælkesnittet h, se figur Den generelle formel for 2. ordens areal inertimoment. I I 0 ` Ad 2 (4.37) Her anvendes for I b h3 for et rektangulært profil omkring z - aksen. Endvidere er A tværsnitareal og d afstanden fra ligevægtspunktet til centrum af arealet. 31
38 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse Figur 4.15: Skitse af 2. Ordens areal inertimoments andele. De to 2. ordens inertimoment beregnes og trækkes fra hinanden. I b h3 ` b h 0 2 I pb 2 tq ph 2 tq3 ` pb 1 tq ph 1 tq 0 2 I zz 1 12 b h pb 2 tq ph 2 tq3 15, m Beregning af punkt A Da alle de geometrisk afhængige variabler nu er defineret, kan den ækvivalente spænding findes i snittet. σ A N 2 A ` M2p0, 500q 6, 14MP a I zz τ xz V 2 Q A I zz b 0 32 σ 1 A a σ 2 x ` 3 τ 2 zx 6, 14MP a
39 4.6. Beregning af punkt B Aalborg Universitet 4.6 Beregning af punkt B σ B N 2 A ` M2p0, 475q 5, 20MP a I zz τ xz V 2 Q B I zz b 0, 84MP a σ 1 B a σ 2 x ` 3 τ 2 zx 5, 62MP a 4.7 Spændingskoncentration Idet der i det valgte snit både er nav- og bolthuller, vil dette give tillæg for spændingskoncentrationer benævnt rkts. Denne spændingskoncentration multipliceres til en ækvivalent spænding. I bogen Machine Design gives et estimat på geometriske stresskoncentrationer. [Norton, 2014] Der tages udgangspunkt i boltnavet, hvilket har en diameter på d 145mm. Højden i det valgte tværsnit er h 1000mm. Figur 4.16: Spændingskoncentration [Kt] [Norton, 2014] Da d 0, 36 er tættere på 0,145, vælges det at anvende koefficienterne for denne. h Herved fåes følgende udtryk. K t A e rbpd { wqs 2, e r p 145 { 1000qs 2, 66 Herved kan spændingskoncentrationen ved punkt A og B, nu beregnes. σ 1 A,K t K t σ 1 A 2, 66 6, 14 16, 3MP a 33
40 Slædesystem 4. Faststofmekanisk analyse σ 1 B,K t K t σ 1 B 2, 66 5, 62 14, 6MP a 4.8 Sikkerhedsmargin Da de ækvivalente spændinger er regnet for tværsnittet ved rotationspuktet, i tre positioner, kontrollers dette mod kravspecifikationen fra Diplom Bachelor rapporten. Heri blev det dikteret, at der ønskedes en sikkerhedsfaktor mod flydning N f ě 2, 00 og en sikkerhedsfaktor imod udmattelse N ud ě 2, 00. Her var ønsket, at der skulle opnås en levetid på ą cycler Sikkerhed imod flydning Der kontrolleres sikkerhed imod flydning ved statisk belastning ă 1000 cycler. Derfor vælges punkt A, idet der her er fundet den største belastning. Tykkelsen på de valgte pladematerialer til bjælken medfører, at flydespændingen reduceres fra 355 MPa til 335 MPa. [Bent Bonnerup, 2015] N f ď σ f σ 1 A , 3 20, Sikkerhed imod brud Sikkerhed imod brud kontrolleres ved en belastning på cycler, da der her opleves den laveste brudgrænse. Brudgrænsen under udmattelse bestemmes af den valgte svejsekategori. I Diplom bachelorprojektet blev der valgt en svejsekategori σ C 100. Da bjælken skal kontrolleres ved ą cycler, hvilket er knæpunktet for denne kategori, skal σ C omregnes. Dette gøres ved brug af følgende formel. 1 ˆ σ L σc , 9MP a (4.38) Herfra kan sikkerheden imod brud findes. Da der for udmattelse anvendes spændingsvidder, er disse beregnet på samme metode. Her er beregningerne foretaget til tiden t = 1,785 sek.. Det har resulteret i en ny ækvivalente spænding. σ 1 A,2 16, 1MP a Disse to ækvivalente spændings amplituder lægges sammen til en vidde. N ud,a ď σ L σ 1 A ` σ1 A,2 54, 9 1, 69 16, 3 ` 16, 1 34
41 4.9. Resultat Aalborg Universitet 4.9 Resultat På baggrund af den faststofmekaniske analyse er følgende resultater opnået: Tabel 4.2: Resultat af fastofmekanisk analyse σ 1 A,K t 16,1 MPa N f,a 20,6 N ud,a 1,69 Her er den største fundne spændingsvidde fundet i punkt A, repræsenteret sammen med udmattelsesgrænsen og sikkerhedsmarginen N ud. Figur 4.17: Wöhler diagram. 35
42
43 Konklusion 5 I dette tillæg har der været lagt vægt på at følge vejlederens anbefalinger, se appendiks B. Dette her medført ændringer i blandt andet den anvendte metode til kinematisk og dynamisk analyse. Herved har den kinematiske analyse taget udgangspunkt i Newtons - Eulers ligning til beskrivelse af slædesystemets bevægelse. Dette har medført en beskrivelse af alle legemernes tyngdepunktposition samt orientering til tiden [t]. Dette er gjort over en hel periode, hvorved der er opnået en mere detaljeret beskrivelse af slædesystemets kinematik. Det kan ses på figur 2.2 at den ækvivalente slæde vender 180 forskudt, i forhold til 2.1. Dette skyldes, at der ved løsning af de kinematiske ligninger, kan opstå flere løsninger til samme ligningssystem. Det vurderes ikke, at dette er et problem for den videre beregning af de kinematiske ligninger og de dynamiske belastninger, da det er en ækvivalent masse og da accelerationerne endvidere ikke ændres af heraf. Endvidere kan det ses på resultaterne, at disse ikke starter til tiden t 0 men til tiden t 0, 375. Det har ikke været muligt at opnå en løsning til tiden t 0. Det blev derfor valgt at forskyde begyndelses tidspunktet for resultaterne. De dynamiske laster blev defineret ud fra den kinematiske analyse og Newtons anden lov. Herved er der opnået en beskrivelse af de enkelte legemers dynamiske belastning. Endvidere er den ækvivalente masse for slæden blevet bestemt, til en væsentlig større masse end først antaget i Diplom - Bachelorprojektet. Den nye belastning vurderes til at være mere rigtig i forhold til den førhen fundne masse. I den faststofmekaniske analyse kunne det konstateres, at bøjningsmomentet var den dominerende last i snitplottene. Herudfra blev det valgt at lægge et snit i bjælken, hvor der var den største bøjningsbelastning. Det ville være hensigtsmæssigt at beregne belastningen i snittet i to punkter; i center [x 0 mm] af snittet hvor forskydningsspændingerne er størst og i toppen [x 500 mm] af snittet hvor bøjningsspændingerne er størst. Da det ikke er muligt at beregne i center af profilet, idet der ikke er materiale, vælges det at fokusere i toppen af profilet, da det her at bjælken er mest belastet. Det vurderes, at forskydningsspændingerne er tilstrækkelige små, i forhold til bøjningsmomentet, og giver ikke anledning til styrkemæssig tvivl. Som det kan ses i tabel 4.2 overholder σ 1 A,K t ikke længere kravet om en sikkerhedsfaktor på N ud ě 2. Det skyldes en ændring i de påførte laster på bjælken, qua anvendelse af en anden metode til at regne spændingskoncentrationen. Hvilke har medført en større ækvivalentspænding. Det kan diskuteres hvorvidt denne spændingskoncentration har en indflydelse på de to valgte punkter, idet afstanden til disse er større end 3 d nav. Derfor anses den valgte metode for at være meget konservativ. 37
44
45 Litteratur Bent Bonnerup, Bjarne Chr. Jensen, Carsten Munk Plum Bent Bonnerup, Bjarne Chr. Jensen. Machine Design. PRAXIS, Nyt Teknisk Forlag, 2. edition, Norton, Robert L. Norton. Machine Design. Worcester Polytechnic Institute, 5. edition,
46
47 A41 Appendiks A
48
49 A43 Anbefaling B
50 Studienævn for Industri og Global Forretningsudvikling Department of Materials and Production Fibigerstraede Aalborg East Denmark Contact person: R. Mikael Larsen Phone: Date: Case No.: Paste the file number Anbefaling for re-eksamen for Lars Undén Jensen Lars Undén Jensen bestod ikke i sit første forsøg den 18. januar 2018 i det afsluttende bachelorprojekt. Der manglede tilfredsstillende kommunikation af modellerne der blev analyseret samt de antagelser der blev anvendt i analyserne. Beregningen af de dynamiske laster i systemet var mangelfuld. Den faststofmekaniske analyse var desuden ikke tilfredsstillende. Det anbefales at Lars Undén Jensen afleverer en begrænset tillægsrapport. Rapporten skal indeholde følgende dele og analyser: Introduktion til den gennemførte analyse med relevante tegninger og illustrationer. En kinematisk og dynamisk analyse af hele systemet, hvorved de dynamiske laster for den store roterende bjælke bestemmes. En faststofmekanisk analyse og tilhørende styrkeevaluering af et enkelt snit i bjælken udsat for de maksimale dynamiske laster. En samletegning af hele slædesystemet. Re-eksaminationen vil fokusere på den afleverede revision. Med venlig hilsen R. Mikael Larsen
51 Kinematisk udregning C A45
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63 Fastofmekanisk analyse D A57
64 D.1 Fritlegeme diagram A58 Figur D.1: Fritlegeme diagram af bjælken
65 Kinematisk resultat E E.1 Position Tabel E.1: Resultat af kinematisk anlyse for position. t x 1 y 1 φ 1 x 2 y 2 φ 2 x 3 y 3 φ 3 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 t x 4 y 4 φ 4 x 5 y 5 φ 5 x 6 y 6 φ 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 E.2 Hastighed Tabel E.2: Resultatter for hastighed. t x9 1 y9 1 φ9 1 x9 2 y9 2 φ9 w x9 3 y9 3 φ9 3 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 t x9 4 y9 4 φ9 4 x9 5 y9 5 φ9 5 x9 6 y9 6 φ9 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 A59
66 E.3 Acceleration Tabel E.3: Resultat for acceleratin t :x 1 :y 1 φ1 : :x 2 :y 2 φ2 : :x 3 :y 3 φ3 : 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 t :x 4 :y 4 φ4 : :x 5 :y 5 φ5 : :x 6 :y 6 φ6 : 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00000 A60
67 Samletegning F A61
68 F F 670 Bjælke Overrør E 1500 E Tværstytte Pylon D Slæde Bundramme 6500 D 3300 Pylon støtte 810 C C B B UNLESS OTHERWISE SPECIFIED: DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS SURFACE FINISH: TOLERANCES: LINEAR: ANGULAR: FINISH: DEBURR AND BREAK SHARP EDGES DO NOT SCALE DRAWING REVISION DRAWN CHK'D NAME SIGNATURE DATE TITLE: Samletegning A APPV'D MFG Q.A MATERIAL: DWG NO. A4 A 4 WEIGHT: 3 SCALE:1:100 SHEET 1 OF 2 2 1
69 F F E E D D 6500 C C 980 B B UNLESS OTHERWISE SPECIFIED: DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS SURFACE FINISH: TOLERANCES: LINEAR: ANGULAR: FINISH: DEBURR AND BREAK SHARP EDGES DO NOT SCALE DRAWING REVISION NAME SIGNATURE DATE TITLE: DRAWN CHK'D A APPV'D MFG Q.A MATERIAL: Samlet tegning DWG NO. A4 A 4 WEIGHT: 3 SCALE:1:100 SHEET 2 OF 2 2 1
70
Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter
Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul
Læs mereProgram lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.
Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger
Læs mereStatik og styrkelære
Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger
Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning
Læs mereDen Naturvidenskabelige Bacheloreksamen Københavns Universitet. Fysik september 2006
Den Naturvidenskabelige acheloreksamen Københavns Universitet Fysik 1-14. september 006 Første skriftlige evaluering 006 Opgavesættet består af 4 opgaver med i alt 9 spørgsmål. Skriv tydeligt navn og fødselsdato
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereEftervisning af bygningens stabilitet
Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.
Læs mereTOP. Torque Operated Parking. Produktrapport Maj 2014 BSc04 ID-4
TOP Torque Operated Parking Produktrapport Maj 204 BSc04 ID-4 Abstract This product report contains information and presentation of a project compiled on the 4th semester of Industrial Design, the chosen
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 Skriftlig prøve, torsdag den 8 maj, 009, kl 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr 100 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt "Vægtning": Besvarelsen
Læs mereTheory Danish (Denmark)
Q1-1 To mekanikopgaver (10 points) Læs venligst den generelle vejledning i en anden konvolut inden du går i gang. Del A. Den skjulte metalskive (3.5 points) Vi betragter et sammensat legeme bestående af
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs mereKipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne
Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne april 05, LC Den viste halbygning er opbygget af en række stålrammer med en koorogeret stålplade som tegdækning. Stålpladen fungerer som stiv skive i tagkonstruktionen.
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereDeformation af stålbjælker
Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker
Læs mereAppendiks 7 ( ) Kontrolkasse Friktionskoefficient µ Friktionsflader korrektionsfaktoren for hul udformning k s
Kontrol beregning af M12 bolt Der benyttes M10 bolt med rullet gevind. Materiale for tilspændte plade er DX51D, bolten forspændes efter DS/EN 1993-1 - 8 + AC 2007, 2. udgave. Samlingen regnes som en friktionssamlinger
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mere( ) Appendiks 4. Beregning af boltsamlingen mellem trafo og trafo beslag
Beregning af boltsamlingen mellem trafo og trafo beslag Der benyttes M10 bolt med rullet gevind. Materiale for tilspændte plade er DX51D, bolten forspændes efter DS/EN 1993-1 - 8 + AC 2007, 2. udgave.
Læs mere1 Løsningsforslag til årsprøve 2009
1 Løsningsforslag til årsprøve 009 Opgave 1 Figur 1 viser en tegning af en person der står på en skrænt og smider en sten ud over vandet. Vandet har overflade i t-aksen. Stenen følger grafen for funktionen
Læs mereCentralt belastede søjler med konstant tværsnit
Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereFaldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v
Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereDimensionering af samling
Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th.
Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th. Dato: 19. juli 2017 Sags nr.: 17-0678 Byggepladsens adresse: Ole Jørgensens Gade 14 st. th. 2200 København
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereAthena DIMENSION Tværsnit 2
Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereAalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske
18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion
Læs mereDet Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet
Det Teknisk Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet Titel: Virkelighedens teori eller teoriens virkelighed? Tema: Analyse og design af bærende konstruktioner Synopsis: Projektperiode: B7 2. september
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereMatematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari
Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereSag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15
STATISKE BEREGNINGER R RENOVERING AF SVALEGANG Maglegårds Allé 65 - Buddinge Sag nr.: Matrikel nr.: Udført af: 12-0600 2d Buddinge Jesper Sørensen : JSO Kontrolleret af: Finn Nielsen : FNI Renovering 2013-02-15
Læs mereMurskive. En stabiliserende muret væg har dimensionerne: H: 2,8 m. L: 3,5 m. t: 108 mm. og er påvirket af en vandret og lodret last på.
Murskive En stabiliserende muret væg har dimensionerne: H: 2,8 m L: 3,5 m t: 108 mm og er påvirket af en vandret og lodret last på P v: 22 kn P L: 0 kn Figur 1. Illustration af stabiliserende skive 1 Bemærk,
Læs mereGUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 31. maj Kl Prøveform a GUX181 - MAA
GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 31. maj 018 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX181 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 11 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereA2.05/A2.06 Stabiliserende vægge
A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Tirsdag d. 27. maj 2014 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Tirsdag d. 27. maj 2014 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereIntroduktion til programmet CoRotate
Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som
Læs mereSchöck Isokorb type KS
Schöck Isokorb type 20 1VV 1 Schöck Isokorb type Indhold Side Tilslutningsskitser 13-135 Dimensioner 136-137 Bæreevnetabel 138 Bemærkninger 139 Beregningseksempel/bemærkninger 10 Konstruktionsovervejelser:
Læs mere11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt.
Statik og bygningskonstruktion Program lektion 6 8.30-9.15 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt 9.15 9.30 Pause 9.30 10.15. 10.15 10.45 Pause 10.45 12.00 Opgaveregning Kursusholder Poul Henning
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereLøsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6
Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Vejledende eksamensopgaver 16. januar 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereNewtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen
Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...
Læs mereVEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA
VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA TL-Engineering oktober 2009 Indholdsfortegnelse 1. Generelt... 3 2. Grundlag... 3 2.1. Standarder... 3 3. Vindlast... 3 4. Flytbar mast... 4 5. Fodplade...
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereEksamen i fysik 2016
Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereHarmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall
Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres
Læs mereNOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST
pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereSTÅLSØJLER Mads Bech Olesen
STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet
Læs mere3/4/2003. Tektonik Program lektion Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt Ligevægtsbetingelser.
Tektonik Program lektion 3 8.15-9.00 Understøtninger og reaktioner. Kræfter og ligevægt. 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Bestemmelse af stangkræfter Løsskæring af knuder. Rittersnit 10.00 10.30 Pause 10.30
Læs merePlacering af trykmåler til bølgemåling. Wave Dragon, Nissum Bredning
Placering af trykmåler til bølgemåling Wave Dragon, Nissum Bredning z x y Morten Kramer & Jens Peter Kofoed August, 2004 DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING AALBORG UNIVERSITY SOHNGAARDSHOLMSVEJ 57 DK-9000
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fredag den 30. maj 2008 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 Matematik A Prøvens varighed er 5
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, torsdag den 24. maj, 2007, kl. 9:00-13:00 Kursus navn: Fysik 1 Kursus nr. 10022 Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler er tilladt. "Vægtning":
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereRedegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13
Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Lysbrovej 13 Dato: 22. Januar 2015 Byggepladsens adresse: Lysbrovej 13 Matr. nr. 6af AB Clausen A/S STATISK DUMENTATION Adresse: Lysbrovej
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen
Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereAalborg Universitet. Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik. Fredag d. 2. juni 2017 kl
Aalborg Universitet Skriftlig eksamen i Grundlæggende Mekanik og Termodynamik Fredag d. 2. juni 2017 kl. 9 00-13 00 Ved bedømmelsen vil der blive lagt vægt på argumentationen (som bør være kort og præcis),
Læs mereFYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim
FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...
Læs mereRækkeudvikling - Inertialsystem. John V Petersen
Rækkeudvikling - Inertialsystem John V Petersen Rækkeudvikling inertialsystem 2017 John V Petersen art-science-soul Vi vil undersøge om inertiens lov, med tilnærmelse, gælder i et koordinatsytem med centrum
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereBetonkonstruktioner Lektion 4
Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse
Læs mereP R O D U K T R A P P O R T BSc02 F2014 B354
P R O D U K T R A P P O R T BSc02 F2014 B354 Margo har fået sit navn fra det latinske sprog og betyder kant. Dette afspejles tydeligt i lampens karrakteristika. This report is made by group B354 from Architecture
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereMatematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.
HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereBesvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 2014
Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 3. Juni 204 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereMatematik A 5 timers skriftlig prøve
Højere Teknisk Eksamen august 2009 HTX092-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 28. august 2009 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 9 sider Matematik A 2009 Prøvens varighed
Læs mereTUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER
pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast
Læs mereImplicit givne og inverse funktioner
Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.
Læs mereBeregningsopgave 2 om bærende konstruktioner
OPGAVEEKSEMPEL Beregningsopgave 2 om bærende konstruktioner Indledning: Familien Jensen har netop købt nyt hus. Huset skal moderniseres, og familien ønsker i den forbindelse at ændre på nogle af de bærende
Læs mereBEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT
Indledning BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mereForspændt bjælke. A.1 Anvendelsesgrænsetilstanden. Bilag A. 14. april 2004 Gr.A-104 A. Forspændt bjælke
Bilag A Forspændt bjælke I dette afsnit vil bjælken placeret under facadevæggen (modullinie D) blive dimensioneret, se gur A.1. Figur A.1 Placering af bjælkei kælder. Bjælken dimensioneres ud fra, at den
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 13 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":
Læs mereDimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9
Dokument: SASAK-RAP-DE-AKS-FI-0003-01 Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 SASAK Projekt 1 - Designregler Lars Tofte Johansen FORCE Instituttet, september 2001 Dimensionering
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereLavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f
Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse
Læs mereK.I.I Forudsætning for kvasistatisk respons
Kontrol af forudsætning for kvasistatisk vindlast K.I Kontrol af forudsætning for kvasistatisk vindlast I det følgende er det eftervist, at forudsætningen, om at regne med kvasistatisk vindlast på bygningen,
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mere