Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf Karsten Juul

Transkript

1 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

2 Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab til stoet som de ikke opnçr ved at eterligne udregninger i besvarelser a eksamensopgaver TEORI Hvad er en stamunktion Hver unktion har mange stamunktioner Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til k Ñ (), () + g () og () g () 5 Symbol or stamunktion 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner 5 8 Hvad er en arealunktion? 6 9 Vigtig regel om arealunktioner 6 0 Bestemt integral 7 SÇdan udregner vi bestemte integraler 8 Opgave hvor vi skal ortolke et integral 8 Bestemme integral ud ra arealer 9 Bestemme areal mellem gra og -akse 0 5 Areal mellem to graer 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi ÉVELSER Hvad er en stamunktion Hver unktion har mange stamunktioner Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til k Ñ (), () + g () og () g () 5 Symbol or stamunktion 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner 5 8 Hvad er en arealunktion? 9 9 Vigtig regel om arealunktioner 0 0 Bestemt integral 0 SÇdan udregner vi bestemte integraler 0 Opgave hvor vi skal ortolke et integral Bestemme integral ud ra arealer Bestemme areal mellem gra og -akse 5 Areal mellem to graer 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi 6 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h Ü 0 Karsten Juul Dette håte kan downloades ra wwwmatdk HÅtet mç benyttes i undervisningen hvis låreren med det samme sender en til kj@matdk som oplyser at dette håte benyttes (skriv ilnavn), og oplyser om hold, niveau, lårer og skole

3 Hvad er en stamunktion? Deinition g() er en stamunktion til () hvis g() dierentieret giver () dvs hvis g( ) ( ) Eksempel ordi er stamunktion til Hver unktion har mange stamunktioner Eksempel 5 8 c er stamunktion til uanset hvilket tal vi skriver i stedet or k I koordinatsystemet har vi tegnet graerne or nogle a stamunktionerne til (,5),75,75 ( 0,5) SÄtning I et -interval hvor unktionerne h() og () er deineret, gålder Hvis h() er en a stamunktionerne til (), sç er unktionerne h( ) k samtlige stamunktioner til () Dette kan vi ogsç ormulere sçdan: Hvis vi kender graen or en stamunktion h() til (), sç kender vi ogsç graerne or de andre stamunktioner til () Det er nemlig de graer vi kan Ç ved at rykke h()-graen op eller ned Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

4 Stamunktioner til nogle grundlåggende unktioner Stamunktion til konstant Regel: k har stamunktionen Eksempler: 6 har stamunktionerne 6 c har stamunktionerne c har stamunktionerne c k da k k k Stamunktion til potensunktion Regel: a har stamunktionen da a a ( a) a a a a a Eksempler: har stamunktionerne c,5 0,5 har stamunktionerne c dvs c 0,5 har stamunktionerne c da 0, 5 Advarsel: Regel kan IKKE bruges pç eksponentialunktioner: a har IKKE stamunktionen har IKKE stamunktionen a Stamunktion til Regel: Advarsel: har stamunktionerne ln( ) c i intervallet 0 har stamunktionerne ln( ) c i intervallet 0 har IKKE stamunktionen ln( ) da ln( ) c da Stamunktion til e Regel: e har stamunktionerne e c Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

5 Stamunktion til kñ(), () + g() og () g() Stamunktion til konstant gange udtryk Hvis: () har stamunktionen F() sç: k () har stamunktionen k F() Eksempler: har stamunktionerne c dvs c e har stamunktionerne e c har stamunktionerne c dvs 6 c Vi beholder konstant gange og erstatter - udtrykket med dets stamunktion Stamunktion til udtryk plus udtryk og til udtryk minus udtryk Hvis: () har stamunktionen F() g() har stamunktionen G() sç: ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) ( ) g( ) har stamunktionen F( ) G( ) Eksempler: 6 har stamunktionerne 6 e c har stamunktionerne ln( ) c e og i intervallet 0 PÇ begge sider a + og erstatter vi udtrykket med dets stamunktion Advarsel Man kan IKKE integrere et udtryk ved at integrere hver del a udtrykket (bortset ra visse specielle tilålde som eks regel ) Eksempler: har IKKE stamunktionen e e e har IKKE stamunktionen 5 e har IKKE stamunktionen e 5 e Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

6 5 Symbol or stamunktion Symbolet ( ) d betyder: stamunktionerne til () og låses: det ubestemte integral a () NÇr vi inder ud a hvad ( ) d er lig sç siger vi at vi integrerer () () kaldes integranden Eksempel: ( ) d c Her har vi integreret er integranden Vi har sat parentes om integranden ordi den bestçr a mere end àt led 6 SÇdan inder vi stamunktioner pç TI-Nspire For at inde stamunktion pç Nspire vålger vi pç skabelon-paletten Älgende integralskabelon: Nspire skriver kun àn a stamunktionerne: Vi mç selv tiläje c Hvis vi taster skriver Nspire resultatet For at inde stamunktion til skal vi eter integraltegnet angive at 0 : ( ), 0 Husk at trykke pç häjrepilen inden du taster den lodrette streg! Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

7 7 SÇdan inder vi en bestemt a en unktions stamunktioner Opgave (Vi kender et punkt pç stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( ) Det er oplyst at graen or F gçr gennem punktet (, 6) I nogle opgaver er denne oplysning ormuleret sçdan: F ( ) 6 Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant c sç F( ) c Da graen or F gçr gennem punktet (, 6), mç ( ) sç c F( ) ( ) c, dvs, 6 R NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat Opgave (Vi kender en linje der er tangent til stamunktionens gra) F er en stamunktion til ( ) Det er oplyst at Linjen med ligningen y 5 er tangent til graen or F Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til ( ), indes en konstant c sç F( ) c FÄrst udregner vi et punkt der ligger pç graen or F, nemlig det punkt ( 0, y 0 ) hvori tangenten rärer graen A tangentens ligningen y 5 ser vi at tangenthåldningen er : F ( 0 ) 0 0 Da og, ) Çr vi 0 y 5 y0 ( ) 5 y0 6 ( 0 y 0 ligger pç linjen med ligningen NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten or dierentialkvotienten og regner ud, sç Çr vi grapunktets tangenthåldning At en linjes ligning er y a b betyder at or et punkt pç linjen kan vi udregne y-koordinaten ved at gange -koordinaten med a og lågge b til resultatet Nu kender vi et punkt pç graen or F SÇ kan vi bruge metoden ra opgave Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul

8 8 Hvad er en arealunktion? () A( 0 ) 0 8 Hvad er en arealunktion? Den viste gra er pç en skårm NÇr vi tråkker 0 - prikken mod häjre, bliver det grç omrçde stärre A( 0 ) er arealet a det grç omrçde A() kaldes arealunktionen or 8 Eksempel PÇ billedet ser vi at A( 9) 6 og A ( ) 5 9 Vigtig regel om arealunktioner 9 SÄtning NÇr A() er arealunktionen or en ikke-negativ unktion (), a b sç gålder at A() er en stamunktion til () dvs A( ) ( ) Betyder at graen ligger på eller over -aksen Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul

9 0 Bestemt integral 0 Deinition a bestemt integral Hvis () har stamunktionen F() i intervallet a b sç deinerer man at b a ( ) d F( b) F( a) Symbolet til venstre or lighedstegnet låser man sçdan: Integralet ra a til b a () () kaldes integranden 0 BemÄrk: I deinitionen a bestemt integral er det IKKE kråvet at ( ) 0 Det bestemte integral er et tal Det ubestemte integral er unktioner 0 SÄtning om bestemt integral og areal Hvis ( ) 0 or a b og M er omrçdet mellem -graen og -aksen i intervallet a b sç gålder M Bevis b a ( ) d arealet a M A() er arealunktionen or () F() er en stamunktion til () Da A() og F() (* ) A( ) F( ) c Nu Çs areal a M A(b) er stamunktion til samme unktion, indes en konstant c sç A( b) A( a) Da A ( a) 0 F b) k F( a k ( ) IÄlge (*) F( b) F( a) Hermed er såtning 0 bevist b a IÄlge deinitionen pç arealunktion ( ) d IÄlge deinitionen pç bestemt integral Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul

10 SÇdan udregner vi bestemte integraler Udregne bestemt integral uden hjälpemidler NÇr vi udregner bestemte integraler uden hjålpemidler, er det praktisk at bruge symbolet F ) b a ( som betyder F( b) F( a) Fordelen er at vi kan skrive stamunktionen inden vi indsåtter grånserne a og b or Eksempel pç brug a denne skrivemçde: ( 6 5) d 5 5 ( ) 5 ( ) 05 Udregne bestemt integral på TI-Nspire For at udregne et bestemt integral pç Nspire vålger vi pç skabelon-paletten Älgende integralskabelon: Eksempel: Hvis vi taster skriver Nspire Opgave hvor vi skal ortolke et integral I en opgave er Vi har udregnet at ( ) 0 ( ) d Vi skal give en geometrisk ortolkning a dette tal Svar pç dette spärgsmçl: ( ) d er areal mellem -gra og -akse i intervallet 0 dvs 7 er arealet a det grç omrçde 6 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 8 0 Karsten Juul

11 Bestemme integral ud ra arealer Opgave PÇ iguren ses graen or en unktion der har nulpunkterne 6, og Sammen med -aksen agrånser graen en punktmångde M der har arealet 7 Sammen med -aksen og y-aksen agrånser graen i kvadrant en punktmångde M som har arealet 6 Bestem 0 6 ( ) d M 6 M Besvarelse 06 ( ) d er areal mellem -gra og -akse i intervallet 6 0 Dette areal Çr vi ved at lågge arealerne a M og M 7 6 Dvs 9 sammen: 0 6 ( ) d 9 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 9 0 Karsten Juul

12 Bestemme areal mellem gra og -akse Opgave En unktion har orskriten ( ) Graen or, -aksen og linjen med ligningen punktmångde M der har et areal agrånser i anden kvadrant en Bestem arealet a M Besvarelse FÄrst tegner vi en skitse der viser M M er det grç omrçde pç skitsen Ud ra skitsen ser vi at vi har brug or at kende -koordinaten til det venstre a graens skåringspunkter med -aksen Da ligningen 0 har läsningerne og 0, er Ärstekoordinat til det venstre a graens skåringspunkter med Ärsteaksen Arealet a M er lig ( ) d Vi taster dette integral og Çr det udregnet Vi Çr 0 sç Vi skal skrive hvordan vi har undet läsningerne En anden mulighed er at vi udregner integralet pç den mçde som er vist i arealet a M er 0 I opgaver hvor vi skal bestemme arealer, stçr der ote ordet kvadrant Koordinatakserne deler planen op i ire kvadranter Figuren viser hvad de ire kvadranter hedder kvadrant kvadrant kvadrant kvadrant Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 0 Karsten Juul

13 5 Areal mellem to graer I nogle opgaver skal et areal udregnes ved at udregne to arealer og tråkke det ene ra det andet I koordinatsystemerne har vi tegnet graerne or unktionerne ( ) og g( ) Vi vil udregne arealet a det grç omrçde V pç venstre igur g g g V M H Vi läser ligningen og Çr, sç graernes skåringspunkt har -koordinat Det grç omrçde M pç midterste igur har arealet Det grç omrçde H pç häjre igur har arealet ( ) d 0 0 d 0 Hvis vi jerner H ra M, Çr vi V, sç arealet a V er BemÅrkning: Vi kunne have udregnet arealet a M uden at bruge integralregning da M er begrånset a rette linjer Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

14 6 Bestem k sç arealet a M er lig en given vårdi Figuren viser graen or ( ) og linjen med ligningen k Vi vil bestemme et positivt tal k sç det grç areal er Vi läser ligningen k 0 ( ) d mht k or k 0 k,0800 og Çr Figuren viser graen or ( ) k hvor 0 k Vi vil bestemme k sç det grç areal er 7 Vi läser ligningen ( k ) d mht k or 0 k k 7 og Çr Figuren viser graerne or ( ) 5 og g( ) k hvor k Vi vil bestemme k sç det grç areal er PÇ iguren ser vi at vi har brug or at kende de to viste skåringspunkter mellem -aksen og graerne: Vi läser 0 og Çr Vi läser k 0 og Çr k PÇ iguren ser vi at vi Çr det grç areal nçr vi tråkker arealet mellem -gra og -akse i intervallet 0 ra arealet mellem g-gra og -akse i intervallet 0 k Deror läser vi ligningen 0 k mht k or k ( k) d 5 k 0 og Çr ( ) d For at inde grånser or integralerne läste vi ligningerne ( ) 0 og g ( ) 0 I mange opgaver skal du ikke läse disse ligninger I stedet skal du mçske läse ( ) g( ) Eller mçske remgçr integralets grånser a tekst og igur g Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

15 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel (b) g () og () g (0) og (0) (c) Da l 's håldningskoeicient er, er g ( ) (d) Da P 's y-koordinat er ( ), er (e) NÇr gålder altsç g ( ) ( ) For hvilke a tallene mellem og, 5 ser det ud til at denne ligning gålder? Svar: Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Skriv to unktioner hvis dierentialkvotient er Svar: og (b) Skriv to unktioner hvis dierentialkvotient er Svar: og Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel (b) At F() er stamunktion til () betyder at () er stamunktion til ordi (c) 5 er stamunktion til ordi Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel GÅt en stamunktion til hver a Älgende unktioner, og kontrollàr dit gåt ved at dierentiere: ( ), g( ) og n h( ) Du skal IKKE dierentiere LÅs spärgsmçlet grundigt Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel PÇ iguren har vi tegnet to a stamunktionerne til en unktion Bestem Älgende ire tal: () m () = () m( ) n() = () m( ) n() = () m( 5) n(5) = (b) Tegn graerne or to andre stamunktioner til m n Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

16 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til er c (b) Stamunktionerne til er (c) Stamunktionerne til er (d) Stamunktionerne til 5 er (e) Stamunktionerne til, 5 er ( ) Stamunktionerne til er (g) Stamunktionerne til e er (h) I intervallet 0 har stamunktionerne Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel I intervallet 0 har stamunktionerne 5 ln( ) c (b) Stamunktionerne til e er (c) Stamunktionerne til 9 er 9 (d) Stamunktionerne til er (e) Stamunktionerne til 65 er Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til e (b) Stamunktionerne til er er (c) Stamunktionerne til 5 er Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Stamunktionerne til 6 5e er (b) Stamunktionerne til er Çvelse 5 Uden regneteknisk hjålpemiddel d c (b) ( ) d Çvelse 6 Brug dit regnetekniske hjålpemiddel: ( 5) d (b) : 5 d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

17 Çvelse 7 Figuren viser lommeregnerens skårm SkÅrmen viser graen or unktionen ( ) ln( ) c hvor c har Çet tildelt en bestemt talvårdi ln(5) c (b) (AlÅs svar pç igur) c Çvelse 7 Figuren viser lommeregnerens skårm ( ) (b) Graen or g( ) 6 6 gçr gennem punktet P Çvelse 7 PÇ lommeregneren (eller computeren) skal du rembringe et koordinatsysten hvor -aksen gçr ra til, og y-aksen gçr ra til 6 (b) FÇ tegnet graen or unktionen h( ) 6 c nçr c (c) AsÅt punktet (, ) i koordinatsystemet (d) PrÄv dig rem med orskellige vårdier a c indtil du kan se pç skårmen at graen gçr gennem punktet (, ) c (e) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet Tallet c ra spärgsmçl (d) kan vi regne os rem til ved at läse ligningen mht LÄsning: c ( ) Graen or unktionen q( ) 6 k skårer -aksen i punktet (, 0) Brug metoden ra (e), til at bestemme k Du skal selvälgelig ikke bruge pråcis samme ligning som i (e) Çvelse 7 Uden regneteknisk hjålpemiddel En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 0 Çvelse 75 Uden regneteknisk hjålpemiddel En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra gçr gennem punktet (, 9) Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul

18 Çvelse 76 Opgave F er en stamunktion til ( ) Graen or F gçr gennem punktet (, 0) Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til F( ) () c, indes en konstant c sç Da graen or F gçr gennem punktet (, 0), mç c Vi läser denne ligning mht c og Çr c, sç NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat F( ), R Çvelse 77 Opgave F er en stamunktion til ( ) Graen or F gçr gennem punktet (, ) Find F Besvarelse Da F er en stamunktion til F( ) () c, indes en konstant c sç Da graen or F gçr gennem punktet (, ), mç c Vi läser denne ligning mht c og Çr c, sç NÇr vi indsåtter et grapunkts -koordinat i orskriten og regner ud, sç Çr vi grapunktets y-koordinat F( ), R Çvelse 78 En unktion er bestemt ved ( ), 0 Bestem den stamunktion F til som opylder F ( ) 0 Çvelse 79 En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion til hvis gra gçr gennem punktet P (, 0) Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul

19 Çvelse 70 Figuren viser lommeregnerens skårm SkÅrmen viser linjen m : y og graen or unktionen ( ),5 FÇ tegnet det viste udsnit a koordinatsystemet og de to graer pç din graskårm (b) Hvis det sidste -tal i orskriten or erstattes a et stärre tal, vil graen sç rykkes til venstre, rykkes til häjre, rykkes op eller rykkes ned? Svar: (c) PrÄv at lytte graen or ved at erstatte med orskellige tal indtil du opnçr at linjen m er tangent til -graen Du kan selvälgelig ikke våre sikker pç at dit svar er helt näjagtigt (d) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet De Älgende spärgsmçl gçr ud pç at du skal regne dig rem til hvad c er or et tal hvis m er tangent til graen or unktionen ( ), 5 c (d) () (d) NÇr c, 5 er antallet a Ållespunkter or m og -gra lig (d) NÇr m er tangent til -gra, er antal Ållespunkter mellem m og -gra lig (d) Vis pç iguren hvordan -graen ligger nçr m er tangent, og markàr räringspunktet (d5) HÅldningskoeicienten or m er (d6) PÇ orhçnd ved vi at hvis vi indsåtter räringspunktets -koordinat or i, 5 udregner udtrykket, sç Çr vi og (d7) For at inde räringspunktets -koordinat läser vi ligningen mht og Çr (d8) Da räringspunktet ligger pç linjen med ligningen, er dets y-koordinat (d9) Vi bruger räringspunktets koordinater og -orskriten til at skrive ligningen c (d0) Vi läser denne ligning og Çr Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) Stamunktionerne til er unktionerne c F( ) c Bestem den stamunktion til hvis gra har Ärsteaksen som tangent Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) 8 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul

20 Çvelse 7 PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet linjen m: y og graen or unktionen g ) 6 c ( nçr c 6 og nçr c 9 Skitsàr resultatet til häjre (b) PrÄv dig rem med orskellige vårdier a c indtil du opnçr at linjen m er tangent til g-graen m er tangent nçr c (c) En sådvanlig opgave gçr aldrig ud pç at du skal präve dig rem Det er underorstçet at den gçr ud pç at du skal vise hvordan du regner dig rem til resultatet De Älgende spärgsmçl gçr ud pç at du skal regne dig rem til hvad c er or et tal hvis m er tangent til graen or unktionen g( ) 6 c (c) g () (c) NÇr c 6 er antallet a Ållespunkter or m og g-gra lig (c) NÇr m er tangent til g-gra, er antal Ållespunkter mellem m og g-gra lig (c) Vis pç iguren hvordan g-graen ligger nçr m er tangent, og markàr räringspunktet (c5) HÅldningskoeicienten or m er (c6) PÇ orhçnd ved vi at hvis vi indsåtter räringspunktets -koordinat or i 6 udregner udtrykket, sç Çr vi og (c7) For at inde räringspunktets -koordinat läser vi ligningen mht og Çr (d8) Da vi nu kender räringspunktets -koordinat og ved at det ligger pç linjen med ligningen, kan vi udregne at dets y-koordinat er (d9) Vi bruger räringspunktets koordinater og g-orskriten til at skrive ligningen c (c0) Vi läser denne ligning og Çr c Çvelse 7 En unktion er bestemt ved ( ) Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent Çvelse 75 En unktion er bestemt ved ( ) 6 Bestem den stamunktion F til hvis gra har linjen med ligningen y (b) Bestem den stamunktion G til hvis gra har linjen med ligningen y som tangent som tangent Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 8 0 Karsten Juul

21 Çvelse 8 A er arealunktionen or unktionen g A() A() A(7) g Çvelse 8 A er arealunktionen or unktionen h 0 5 A() A() A () 0 5 A' () GÅt -udtryk ud ra tabel h() AlÅs pç igur h() som er lig orskriten or AlÅs pç igur h Çvelse 8 Figuren nedenor viser graen or unktionen Linjen l bevåger sig mod häjre t sekunder eter start vil l våre t enheder ra y-aksen PÇ tidspunktet 5, t skårer l -graen i punktet (b) Se pç arealet mellem -gra og -akse A(t) er den del a dette areal som ligger mellem y-akse og l A(5) (c) I tidsrummet ra t 7 til t 7, bliver arealet enheder stärre (d) I dette tidsrum er våksthastighed or arealet A(t) altsç enheder pr sekund A (7) (e) I tidsrummet ra t til t, 0 bliver arealet enheder stärre I dette tidsrum er våksthastighed or arealet A(t) altsç enheder pr sekund A () ( ) A () (g) (7) Er A ( 7) (7)? Svar: (h) Er A ( ) ()? Svar: (i) Er A ( ) ()? Svar: (j) For hvilke tal t mellem 0 og 0 er A ( t) ( t)? Svar: l Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 9 0 Karsten Juul

22 Çvelse 9 ( ), 5 A() er arealunktionen or A () Çvelse 9 g( ) 8, ân a Älgende unktioner er arealunktionen or Hvilken? p( ) 8 ln( ) 8 q( ) r( ) ln( ) Çvelse 9 Hvis A er arealunktion or ( ) ( ), 0, vil A () Çvelse 0 0 F() F er en stamunktion til ( ) d F( ) F( ) 0 (b) ( ) d Çvelse,0,5,0,5,0 F() 6, 7,8 9,0 9,9 0,,5,0 F F( ) F( ) ( ),5,5 (b) F() (c) (d) Çvelse Her skal stç en stamunktion til ( d ) (b) ( ) d (c) 0 ( e ) d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 0 Karsten Juul

23 Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel ( ) d (b) 0 6e d (c) 0 ( ) d Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel 0 ( e ) d (b) d (c) 0 ( 6 ) d Çvelse 5 Uden regneteknisk hjålpemiddel 0 e d (b) 0 ( ) d Çvelse 6 Brug dit regnetekniske hjålpemiddel til at udregne Älgende to tal: 0, 9 0 () 8,5, d () d Çvelse 7 e () ln( ) d Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet 0 d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet ) ( d, og giv en geometrisk ortolkning a resultatet Çvelse Uden regneteknisk hjålpemiddel Bestem integralet 0 ( ) d og giv en geometrisk tolkning a resultatet Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

24 Çvelse Figuren viser graen or en unktion der har nulpunkterne og 7 Sammen med akserne agrånser graen to omrçder hvis arealer er hhv og () ( ) d ( ) d 7 () Çvelse Graregnervinduet til häjre viser graen or en unktion og en linje l der skårer graen i punkterne (, ) og (, ) Graen or agrånser sammen med linjen l den skraverede punktmångde der har arealet 6 ( ) d Çvelse Figur til häjre viser graen or en unktion hvis nulpunkter er 6 og Graen agrånser sammen med Ärsteaksen en punktmångde der har arealet 6 () Andenaksen deler denne punktmångde i to punktmångder M og M Der gålder at 0 0 ( ) d M M () 06 ( ) d Çvelse Figuren til häjre viser graen or en unktion der har nulpunktet Desuden ses to punktmångder M og M, hvor M har arealet 0 og agrånses a graen, Ärsteaksen og linjen med ligningen, og M har arealet og agrånses a graen, Ärsteaksen og linjen med ligningen 6 6 ( ) d () M 6 M () 6 ( ) d Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

25 Çvelse Figuren til häjre viser graen or unktionen () ( ) Graen skårer Ärsteaksen i punkterne P (, 0), Q(, 0) og R (, 0) I Ärste og anden kvadrant agrånser graen or unktionen sammen med Ärsteaksen en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a M () Çvelse En unktion er givet ved () 7 ( ) En punktmångde M begrånses a graen, Ärsteaksen, andenaksen og linjen med ligningen (se iguren til häjre) Bestem arealet a M M () Çvelse Funktionen () er bestemt ved ( ) PÇ iguren til häjre ser vi graen or () Graen skårer Ärsteaksen i punkterne P (, 0), Q(, 0) og R (, 0) Sammen med Ärsteaksen agrånser graen i Ärste og anden kvadrant en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a denne punktmångde Çvelse Figuren til häjre viser graen or unktionen 5 ( ) Graen og Ärsteaksen agrånser en punktmångde M som har et areal Bestem arealet a M () () Çvelse 5 Graen or unktionen ( ) agrånser sammen med Ärsteaksen i Ärste kvadrant en punktmångde M som har et areal PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet graen or Skitsàr graen til häjre og skravàr M (b) Bestem arealet a M Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

26 Çvelse 6 Graen or ( ) agrånser sammen med Ärsteaksen og andenaksen i anden kvadrant en punktmångde M der har et areal Skitsàr graen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 7 Graen or unktionen ( ) 9 agrånser sammen med Ärsteaksen en punktmångde M der har et areal Bestem arealet a M Çvelse 5 Graen or unktion ( ) 7 agrånser sammen med linjerne med ligningerne, og y en punktmångde M som har et areal (se igur til häjre) Bestem arealet a M () M y () Çvelse 5 () Figuren til häjre viser graen or unktionen ( ) og linjen l med ligningen y Graen og linjen skårer hinanden i punktet (, 8) Graen og linjen agrånser sammen med andenaksen en punktmångde der har et areal Bestem arealet a denne punktmångde l () Çvelse 5 Graen or ( ) agrånser sammen med linjen m med ligningen y en punktmångde M som har et areal PÇ din graskårm skal du (i et passende udsnit a koordinatsystemet) Ç tegnet graen or og linjen m Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul

27 Çvelse 5 Graen or ( ) agrånser sammen med linjen med ligningen y en punktmångde M som har et areal Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 55 En unktion () er bestemt ved ( ) En ret linje l skårer graen or () i punkterne S (, 9) og S (, ) Graen or () agrånser sammen med linjen l en punktmångde M som har et areal Skitsàr graen og linjen til häjre, og skravàr M (b) Bestem arealet a M Çvelse 56 Graen or unktionen ( ) agrånser sammen med linjen med ligningen y et omrçde der har et areal Bestem arealet Çvelse 57 Graen or unktionen med orskriten ( ) e agrånser sammen med linjerne med ligninger y, 0 og et omrçde der har et areal Bestem dette areal Çvelse 58 Graen or unktionen med orskriten ( ) agrånser sammen med linjerne med ligninger y og et omrçde der har et areal Bestem arealet Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 5 0 Karsten Juul

28 Çvelse 6 De to igurer viser begge graen or unktionen 5 ( ) I Ärste kvadrant ligger en punktmångde M som har et areal M agrånses a graen or, koordinatsystemets akser og linjen med ligningen k, hvor k 0 I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du tegne linjen med ligningen k nçr k (b) I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångde M nçr k (c) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångde M nçr k, 5 (d) Bestem arealet a M nçr k, 56 (e) Bestem k sç arealet a M er,07 ( ) Vi kan bestemme k sç arealet a M er ved at läse Älgende ligning: ( ) Bestem k sç arealet a M er Çvelse 6 En unktion er givet ved ( ) hvor k 0 k Vi ser pç omrçdet mellem -graen og -aksen M er den del a dette omrçde som ligger mellem linjerne med ligningerne og I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere omrçdet M nçr k 5 (Tegn Ärst gra og linjer) (b) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere punktmångden M nçr k 0, (c) Bestem arealet a M nçr k 0, (d) Vi kan bestemme k sç arealet a M er, ved at läse Älgende ligning (e) Bestem k sç arealet a M er, Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 6 0 Karsten Juul

29 Çvelse 6 En unktion er givet ved ( ) k hvor k 0 I Ärste og anden kvadrant agrånser graen or og -aksen en punktmångde M der har et areal Ligningen k 0 har läsningerne og (b) Graen or skårer -aksen i to punkter Disses -koordinater er og (c) I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du skravere M nçr k (d) Bestem arealet a M nçr k (e) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du skravere M nçr k ( ) Vi kan bestemme k sç arealet a M er 5 ved at läse ligningen (g) Bestem k sç arealet a M er 5 Çvelse 6 To unktioner og g er givet ved ( ) og g ( ) k, hvor k 0 5 Linjen l har ligningen Graerne or og g agrånser sammen l en punktmångde M der har et areal I det Äverste a de to koordinatsystemer skal du tegne graerne or og g nçr k 0, 5 Desuden skal du tegne linjen l og skravere M (b) I det nederste a de to koordinatsystemer skal du tegne og skravere M nçr k 0, 5 (c) Bestem arealet a M nçr k 0, 5 (d) Bestem k sç arealet a M er, 5 Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 7 0 Karsten Juul

30 Stikordsregister A areal mellem gra og -akse 0 areal mellem to graer arealunktion 6, 7 B bestemt integral7 bestemt integral pç Nspire8 bestemt integral uden hjålpemidler 8 I integral, 7 integral og areal7 integral pç Nspire, 8 integral, arealer givet9 integral, ortolke8 integrand, 7 integrere K kvadrant0 S stamunktion, 7 stamunktion pç Nspire stamunktion til ()+g() stamunktion til () g() stamunktion til k () stamunktion til àn delt med stamunktion til e stamunktion til konstant stamunktion til potensunktion stamunktion, grapunkt givet5 stamunktion, symbol or stamunktion, tangent givet5 U ubestemt integral, 7 ubestemt integral pç Nspire