Differentialligninger

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Differentialligninger"

Transkript

1 Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul

2 Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1 1b Hvad er en differentialligning?1 Kontrol af läsning til differentialligning a UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 b UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 3 Bruge oplysningen i differentialligning 3a Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet3 3b Eksempel pç brug af oplysningen i differentialligningen3 3c Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 4 3d Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 4 4 Bestemme läsning til differentialligning 4a Bestem låsningerne til en differentialligning 5 4d Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet5 4e Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet 6 5 Opstille differentialligning 5a med besvarelse 6 6 Logistisk differentialligning 6a Vi opstiller en differentialligning 7 6b Vi finder proportionalitetskonstanten7 6c Hvad er en logistisk differentialligning? 7 6d Hvordan Ändres väksthastigheden?7 6e Hvor stor er populationen nçr den vokser hurtigst? 8 6f Vi finder forskrifter for låsningerne til differentialligningen8 6g Vi finder den af låsningerne der passer med populationen 8 6h Hvad sker der med antallet i det lange låb? 8 7 Beviser 7a HjÄlpesÄtning 9 7b SÄtning9 En tidligere version af dette häfte har skiftet adresse til GÇ ind pç for at downloade nyeste version af dette häfte Differentialligninger for A-niveau i st, udgave, Ä 015 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra wwwmat1dk Det må bruges i undervisningen hvis läreren med det samme sender en til som oplyser at det bruges og oplyser hold, niveau, lärer og skole 15/1-015

3 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger En plantes håjde y vokser sçdan at der pç ethvert tidspunkt t gälder at hçjdes väksthastighed = hçjde Dette kan vi skrive med symboler sçdan: y' = y Vi kan ogsç urykke dette ved at sige at i hvert punkt pç grafen er tangenthäldning = y-koordinat Her har vi opstillet en differentialligning Ligningen y y er et eksempel pç en differentialligning De fleste differentialligninger er mere indviklede For funktionen f ( ) 4e gälder at f ( ) 4e f () opfylder betingelsen y' = y for hvert Dette urykker vi ved at sige at f () er en låsning til differentialligningen eller at f () tilfredsstiller differentialligningen Vi ser at funktionen f ( ) e, sç ogsç er en låsning Vi ser at differentialligningen har mange låsninger Symbolet betyder det samme som y Differentialligningen y kan ogsç skrives sçdan: eller sçdan: y y f ( ) f ( ) 1b Hvad er en differentialligning? En ligning er en differentialligning hvis den ubekene er en funktion og funktionens differentialkvotient indgçr En funktion er låsning til en differentialligning hvis funktionen opfylder differentialligningen for hvert i funktionens definitionsmängde Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

4 Kontrol af läsning til differentialligning a UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel 1 UndersÅg om funktionen y y 1 f ( ) er en låsning til differentialligningen Vi indsätter f () = + for y i y' y = 1 : ( + )' ( + ) = 1 1 ( ) 1 Forskriften fortäller at i hvert grafpunkt får man y-koordinat ved at oplçfte -koordinat til anden og lägge -koordinat til resultatet Ligningen kräver for hvert grafpunkt at når y-koordinat gange träkkes fra tangenthäldning skal det give samme tal som når -koordinat i anden gange träkkes fra Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen y y 1 b UndersÅg om funktion er låsning til differentialligning GÅr rede for at funktion er låsning til differentialligning Eksempel UndersÅg om funktionen Vi indsätter y 1 f ( ) ln er en låsning til differentialligningen f ( ) y ln for y i 1 : ( ln ) ( ln ) 1 1 ( ln 1) ln 1 1 ln 1 ( ln 1) 1 ln 1 ln 1 Forskriften fortäller at i hvert grafpunkt får man y-koordinat ved at indsätte -koordinat i forskrift og regne ud Ligningen kräver for hvert grafpunkt at tangenthäldning skal väre det tal man får når man indsätter -koordinat og y-koordinat i hçjre side og regner ud 1 ln 1 ln 1 y Da dette er san, gälder: f er låsning til differentialligningen 1 Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side 015 Karsten Juul

5 3 Bruge oplysningen i differentialligning 3a Bestem ligning for tangent nçr differentialligning er givet En funktion f er låsning til differentialligningen y og grafen for f gçr gennem punktet P (3, 7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P For en låsning til differentialligningen y gälder at i punktet ( 1, y1) (3,7) er tangenthäldningen a 3 7 = ( Vi har indsat 3 og 7 for og y i håjre side af y ) Ligning for tangent i P(3,7) : y y a 1 ) ( 3) 7 ( y y 1 1 Ligningen fortäller at i ethvert grafpunkt får vi tangenthäldningen når vi oplçfter -koordinaten til anden og träkker y-koordinaten fra resultatet 3b Eksempel pç brug af oplysningen i differentialligningen En funktion f er defineret for ethvert tal og er låsning til differentialligningen 1 y 1 GÅr rede for at f har et minimum I ethvert punkt (, y) pç grafen for f er tangenthäldningen Dette tal har samme fortegn som 1, Ligningen fortäller at i ethvert grafpunkt er tangenthäldningen det tal vi får ved at udregne hçjresiden efter at have indsat grafpunktets koordinater 1 y 1 for y 1 er altid positivt da et tal i anden ikke kan väre negativt 1 0 For 1 har låsningen 1 er 1 1, og for 0 er 1 1 TangenthÄldningen er altsç negativ for f er aftagende i intervallet 1 Heraf fålger at f har minimum for og positiv for 1 1 og voksende i intervallet 1 1, sç Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

6 3c Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel 1 Udviklingen i et rs vägt kan beskrives ved differentialligningen 0,08y 16,, 0 t 9 hvor t er tiden mçlt i uger, og y er rets vägt mçlt i gram Bestem väksthastigheden pç det tidspunkt hvor rets vägt er 180 gram Vi indsätter 180 for y i differentialligningen: 0, , 16, 0, ,16 NÇr rets vägt er 180 gram, er väksthastigheden NÅr vi indsätter en konstant for y, så skal vi bevare y i 11, gram pr uge Ligningen fortäller at på ethvert tidspunkt mellem 0 og 9 gälder: NÅr väksthastigheden lägges sammen med 0,08 gange vägten, så får man 16, Ovenfor låste vi en ligning ved at träkke samme tal fra begge sider Hvis vi i stedet vil bruge solve, kan vi taste 3d Bestem väksthastighed ud fra differentialligning Eksempel En plantes håjde er en funktion af tiden der opfylder differentialligningen dh 0,06 0, 93 t h hvor h er håjden mçlt i mm, og t er tidspunktet mçlt i dågn Det oplyses at h ( 1) 3 Bestem väksthastigheden til tidspunktet t 1 Vi indsätter 1 for t og 3 for h i differentialligningen: dh 0,06 0,93 dh 0, Ligningen fortäller at vi får väksthastigheden dh når vi udregner hçjre side efter at have indsat tidspunkt og hçjde på t 's og h's pladser Til tidspunktet t 1 er väksthastigheden 0,073 mm pr dågn Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

7 4 Bestemme läsning til differentialligning 4a Bestem låsningerne til en differentialligning 4b Bestem forskrift for låsningerne til differentialligningen y y 1, 3 Nspire låser ligningen y y 1, 3 mht funktionen y og fçr låsningerne y c e 1, 3 BemÇrkning I stedet for c skriver Nspire c1 eller c eller c3 osv 4c De enkelte läsninger I besvarelsen ovenfor fan vi at låsningerne til y y 1, 3 er y = ce + 1,3 NÇr vi i y c e 1, 3 erstatter c med et bestemt tal, fçr vi Én af låsningerne Hvis vi ved at y ( ) 5, dvs at punktet (, 5) ligger pç grafen, sç kan vi bestemme c Dette kan vi gåre med metoden fra ramme 10, men vi kan ogsç blot sätte og 5 ind for og y i y c e 1, 3 og låse mht c : 5 e 51,3 c 1,3 hvoraf c 0, e LÅsningen hvor y ( ) 5, er altsç y = 0,50e + 1,3 PÇ tilsvarende mçde fçr vi: LÅsningen hvor y ( ) 3, er y = 0,3e + 1,3 4d Bestem en låsning til en differentialligning nçr Én funktionsvärdi (Ét grafpunkt) er givet En funktion h er låsning til differentialligningen dh 0,5( h ) og grafen for h gçr gennem punktet (, 1,6 ) Bestem en forskrift for h dh Nspire bestemmer forskriften for den låsning til 0,5( h ) hvor h( ) 1, 6 h( ),67 1,84 4 og fçr Samme bogstav får h Samme bogstav I stedet kunne vi have startet med at finde alle lçsninger (se 4b) Derefter kunne vi have bestemt den af lçsningerne hvor h()=1,6 (se 4c) Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

8 4e Bestem en låsning til en differentialligning nçr to funktionsvärdier (to grafpunkter) er givet En funktion p er låsning til differentialligningen dp k p Det oplyses at nçr t 0 er p, og at nçr t 1 er p 1, 5 Bestem en forskrift for p Nspire bestemmer en forskrift for den låsning p til p( t) ( k) e t 1 Da p ( 1) 1, 5, er ( k ) e k 1, 5 1 Nspire låser ligningen ( k) e k 1, 5 mht k og fçr k 1, 1 dp Den sågte forskrift er altsç p ( t) ( 1,1) e 1, 1, dvs t p ( t) 0,79 e 1,1 k BEMÑRK: Vi bruger kun det ene af de to oplyste grafpunkter NÅr vi har fundet forskriften, bruger vi det andet punkt til at bestemme k t k p hvor p ( 0), og fçr Brug to forskellige punkter (0, ) og (1, 1,5) 5 Opstille differentialligning 5a PÇ en skärm er et stort kvadrat med arealet 500 Inden i det store kvadrat er et lille kvadrat med siden s Den hastighed hvormed det lille kvadrats side vokser pç tidspunktet t, er proportional med forskellen pç det store kvadrats areal og det lille kvadrats areal Proportionalitetskonstanten er 0,0079 Opstil en differentialligning der har s(t) som låsning Jeg har brugt farver til at pege på det der er det samme Du skal ikke bruge farver til eksamen Til eksamen skal du kun skrive Én af de tre ligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

9 6 Logistisk differentialligning 6a Vi opstiller en differentialligning For en population af r er N(t) Det er oplyst at populationen vokser sçdan at (1) antallet af r pç tidspunktet t uger väksthastigheden er proportional med produktet af antallet og differensen mellem 300 og antallet Ved at skrive (1) med symboler fçr vi fålgende differentialligning: () N' = k N(300 N) Her står: det rçde er proportional med det blå 6b Vi finder proportionalitetskonstanten Det er oplyst at väksthastigheden er 0 pç det tidspunkt hvor antallet er 100 dvs (3) N 0 nçr N 100 Ud fra () og (3) kan vi finde proportionalitetskonstanten k : Antallet N(t) N' = k N (300 N ) 0 = k 100( ) k 0,001 er altsç en låsning til differentialligningen (4) N 0,001 N (300 N) 6c Hvad er en logistisk differentialligning? Differentialligning (4) er af typen y k y ( M y) En differentialligning af denne type kaldes en logistisk differentialligning 6d Hvordan Çndres vçksthastigheden? Af (4) fçr vi: NÇr N 30 er N 8, 1 NÇr N 70 er N 16, 1 NÇr antallet er 70, sç vokser det altsç hurtigere end nçr det er 30 Grunden er at så länge der er god plads, gälder at når der er flere r, vil der komme flere unger Af (4) fçr vi: NÇr N 60 er N 10, 4 Se figur Se figur NÇr antallet er 60, sç vokser det altsç langsommere end nçr det er 70 Grunden er at når der er mange r, er der mindre plads pr r, og så kommer der ikke så mange unger N ' = väksthastigheden N = antallet 300 N = differens mellem 300 og antallet SkÄrmbillede fra TI-Nspire Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

10 6e Hvor stor er populationen nér den vokser hurtigst? Se figur Vi vil finde ud af hvor stort antallet N er nçr väksthastigheden er stårst Vi skal altsç finde ud af hvad N skal väre for at fålgende uryk er stårst: Vi fçr hast( N) 0,001 N (300 N) 0,3 N 0,001 N hast' ( N) 0,3 0, 00N sç hast' ( N) 0 netop nçr N 150 Da hast'( 100) 0, 1 og hast ( 00) 0, 1, er hast voksende i intervallet N 150 og aftagende i intervallet 150 N, sç stårste väksthastighed er hast ( 150), 5 NÅr antallet af r er 150, er väksthastigheden stçrst Den stçrste väksthastighed er,5 For en logistisk funktion y hvor y k y ( M y) er M stårrelsen af y nçr y er stårst 6f Vi finder forskrifter for läsningerne til differentialligningen I formelsamlingen stçr at funktionerne (5) y M 1 ce km t Af (5) fçr vi at funktionerne (6) ' er låsning til y k y ( M y) 300 N( t) er låsning til N 0,001 N (300 N) 0,3t 1 ce 6g Vi finder den af läsningerne der passer med populationen Det er oplyst at til tiden t 0 er antallet N Dette indsätter vi i (6) og fçr 10 1 ce Antallet af r er altsç fastlagt ved (7) N( t) e 0,3t 0,30 dvs SkÄrmbillede fra TI-Nspire sç c 9 1 c 6h Hvad sker der med antallet i det lange läb? Da 0,3t 9e er eksponentielt aftagende, er 9e 0,3t sç af (7) ser vi at N( t) nçr t er stor nçr t er stor Se figur AltsÇ er 300 den Åvre gränse for hvor mange r der er plads til Tallet 300 kaldes bäreevnen SkÄrmbillede fra TI-Nspire For en logistisk funktion y hvor y k y ( M y), er M den Åvre gränse for y Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

11 7 Beviser k k 7a HjÇlpesÇtning: e k e ' Bevis: For k e er den ydre funktion ( e Differentialkvotienten af den ydre er Differentialkvotienten af e k ' ( e e k) k differentieret: k k e k ), og den indre er k ( ) e, og differentialkvotienten af den indre er k er ydre differentieret (taget i indre) gange indre Hermed har vi bevist hjälpesätningen 7b SÇtning LÅsningerne til differentialligningen (1) y k y er funktionerne () y( ) c e k PÅ k's plads i denne forskrift skal stå det tal der står på k's plads i differentialligningen Uanset hvilket tal vi skriver på c's plads, så får vi en lçsning Der er altså uendelig mange lçsninger FÅrste del af beviset: Vi beviser at hvis en funktion er låsning til (1), sç er den af typen () Anden del af beviset: Vi beviser at alle funktioner af typen () er låsninger til (1) 1 del af beviset for sätningen Hvis en funktion y() k Da y e har egenskaben (1) er k k y e y e y k e k k k y y k e k y e k 0 differentieret giver 0, mç c regel for at differentiere produkt e da vi forudsatte (1) y e Vi ganger begge denne lignings sider med y k k k k e väre lig en konstant: og fçr k k 0 c e da e e e e 1 dvs funktionen er af typen () k del af beviset for sätningen En vilkçrlig funktion k k ce k ce k Venstre side af ligningen giver funktionen c e af typen () indsätter vi for y i ligningen y k y k c e har egenskaben (1) k c k e, dvs ligningen passer, sç og fçr Differentialligninger for A-niveau i st, udgave Side Karsten Juul

12 B bevis 9 bäreevne 8 D differentialligning1 L logistisk 7, 8 låsning1,, 5, 6 O opstil1, 6, 7 P population 7, 8 proportionalitetskonstant 6, 7 T tangent3 tilfredsstille 1 V väksthastighed4, 7, 8

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul

Kort om. Andengradspolynomier. 2011 (2012) Karsten Juul Kort om Anengraspolynomier 11 (1) Karsten Juul Dette häfte ineholer pensum i anengraspolynomier for gymnasiet og hf Inhol 1. Definition Anengraspolynomium... 1. Eksempel Hvilke tal er a, b og c lig?...

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient

Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient Opstilling af model ved hjælp af differentialkvotient N 0,35N 0, 76t 2010 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte giver dig mulighed for at arbejde sådan med nogle begreber at der er god mulighed for at der

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul

Deskriptiv statistik. for C-niveau i hf. 2015 Karsten Juul Deskriptiv statistik for C-niveau i hf 75 50 25 2015 Karsten Juul DESKRIPTIV STATISTIK 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1.2 Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.21 Eksempel pä ugrupperede

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul

Nogle emner fra. Deskriptiv Statistik. 2011 Karsten Juul Nogle emner fra Deskriptiv Statistik 75 50 25 2011 Karsten Juul Indhold Hvad er deskriptiv statistik?... 1 UGRUPPEREDE OBSERVATIONER Hyppigheder... 1 Det samlede antal observationer... 1 Middeltallet...

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

Indbydelse til StÄvnenavn-Sted

Indbydelse til StÄvnenavn-Sted Promotor: Tidsplan: Dansk Taekwondo Klub Sidste tilmelding: ArrangÄr: 17. september 010 Gladsaxe Taekwondo Klub Samheon Info mail sendes til de klubber der har tilmeldt deltagere, info Dato: LÅgges ogsç

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul

Mere om. trekantsberegning. D s u. 2012 Karsten Juul Mere om rekansberegning D s A C v B 01 Karsen Jl Dee häfe indeholder ilfåjelser il fålgende häfer: Korfae rekansberegning for gymnasie og hf /11-010 hp://ma1.dk/korfae_rekansberegning_for_gymnasie_og_hf.pdf

Læs mere

Skabelon til funktionsundersøgelser

Skabelon til funktionsundersøgelser Skabelon til funktionsundersøgelser Nedenfor en angivelse af fremgangsmåder ved funktionsundersøgelser. Ofte vil der kun blive spurgt om et udvalg af nævnte spørgsmål. Syntaksen i løsningerne vil være

Læs mere

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO

SRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math

Læs mere

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau

Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Bedømmelseskriterier for skriftlig matematik stx A-niveau Sådan bedømmes opgaverne ved skriftlig studentereksamen i matematik En vejledning for elever Skriftlighedsgruppe 01.04.09 Dette dokument henvender

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

BekÄmp stress med dine egne midler

BekÄmp stress med dine egne midler BekÄmp stress med dine egne midler hvordan du selv klarer stress problemer Skrevet af Klavs Nicholson, specialläge i psykiatri Forlaget Serpico Copyright 2010 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:...

Læs mere

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1

Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Marie Kruses Skole Stx Matematik B til A Mads Hoy Sørensen 3s og 3b Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2007 07-0-6-U Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C LINEÆR SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsamling... side 2 2 Grundlæggende færdigheder... side 3 2a Finde konstanterne a og b i en formel... side 3 2b Indsætte x-værdi og

Læs mere

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.

Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07. Matematik A Terminsprøve Digital prøve med adgang til internettet Torsdag den 21. marts 2013 kl. 09.00-14.00 112362.indd 1 20/03/12 07.54 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b

Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013. M = S 1 + a = a + b a b a = b 1. b 1 a = b 1. a = b 1. b 1 a = b stk. Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 16. december 2013 Opagve 6 Variables a isoleres: M = S 1 + a = a + b b a b a = b 1 ( ) 1 b 1 a = b 1 a = b 1 1 b 1 a = b Hvis b = 1, så gælder ligningen

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Matematik B. Studentereksamen

Matematik B. Studentereksamen Matematik B Studentereksamen 2stx111-MAT/B-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

til emneopgaver eller projekter, som du skal lave. Disse kan du se til sidst i materialet.

til emneopgaver eller projekter, som du skal lave. Disse kan du se til sidst i materialet. Kære selvstuderende i matematik A materiale, der kan udgøre dit eksaminationsgrundlag. rslag til Eksaminationsgrundlaget for matematik C og nationsgrundlaget for selvstu- - s- C-, B- og A-niveau. Du kan

Læs mere

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX

FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX FACITLISTE TIL MATEMA10K C for HHX Denne liste angiver facit til bogens opgaver. Opgaver hvor svaret er redegørende, fortolkende eller vurderende er udeladt. I statistikopgaver hvor der er flere muligheder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Differentialligninger af første orden

Differentialligninger af første orden Differentialligninger af første orden Preben Alsholm Februar 2006 Basale begreber. Eksistens og entydighed. En differentialligning af første orden er en ligning, der sammenknytter differentialkvotienten

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Indbydelse til DM teknik 2011 - Fredericia

Indbydelse til DM teknik 2011 - Fredericia Promotor: Dansk Taekwondo Klub ArrangÄr: 04-11-2011 Fredericia Taekwondo Klub Dato: 26-11-2011 Sted: Strib Fritids- og Aktivitetscenter Ny Billeshavevej 1-3 Strib 5500 Middelfart Regler: DTaF s regler

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Statistisk beskrivelse og test

Statistisk beskrivelse og test Statistisk beskrivelse og test 005 Karsten Juul Kapitel 1. Intervalhyppigheder Afsnit 1.1: Histogram En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 1 ISBN: 978-87-92488-08-4 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 16. august 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh10-mat/a-1608010 Mandag den 16. august 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af

Læs mere

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x =

Svar : d(x) = s(x) <=> x + 12 = 2 6 = 2. x = 4 <=> d(4) = s(4) = 8 dvs. Ligevægtsprisen er 8. Opg 2. <=> x = 4 eller x = 1; <=> x = MAT B GSK august 009 delprøven uden hjælpemidler Opg 1 For en vare er sammenhængen mellem pris og efterspørgsel bestemt ved funktionen d() = + 1 0 1 hvor angiver den efterspurgte mængde og d() angiver

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul

Statistik. Deskriptiv statistik, normalfordeling og test. Karsten Juul Statistik Deskriptiv statistik, normalfordeling og test Karsten Juul Intervalhyppigheder En elevgruppe på et gymnasium har spurgt 100 tilfældigt valgte elever på gymnasiet om hvor lang tid det tager dem

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 14/15 Institution Th. Langs HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hfe Mat A Viktor Kristensen

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hhx132-mat/b-16082013 Fredag den 16. august 2013 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet

Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Differentialligninger Et undervisningsforløb med Derive og modelbygning Højt niveau i matematik i gymnasiet Niels Hjersing Per Hammershøj Jensen Børge Jørgensen Indholdsfortegnelse 1 1. Forord... 3 2.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 Skoleår 2014/2015 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6

Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Logaritmiske koordinatsystemer med TI-Nspire CAS version 3.6 Indholdsfortegnelse: Enkelt logaritmisk koordinatsystem side 1 Eksempel på brug af enkelt logaritmisk koordinatsystem ud fra tabel side 2 Dobbelt

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner

I. Deskriptiv analyse af kroppens proportioner Projektet er delt i to, og man kan vælge kun at gennemføre den ene del. Man kan vælge selv at frembringe data, fx gennem et samarbejde med idræt eller biologi, eller man kan anvende de foreliggende data,

Læs mere

Vejledende besvarelse

Vejledende besvarelse Ib Michelsen Svar: stx B 29. maj 2013 Side 1 1. Udfyld tabellen Vejledende besvarelse Givet funktionen f (x)=4 5 x beregnes f(2) f (2)=4 5 2 =4 25=100 Den udfyldte tabel er derfor: x 0 1 2 f(x) 4 20 100

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik niveau A Knud Søgaard

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Den harmoniske svingning

Den harmoniske svingning Den harmoniske svingning Teori og en anvendelse Preben Møller Henriksen Version. Noterne forudsætter kendskab til sinus og cosinus som funktioner af alle reelle tal, dvs. radiantal. I figuren nedenunder

Læs mere

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal

Vejledende løsninger, Mat A, maj 2015 Peter Bregendal Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) Se graf: Opgave 2 a) f (x)= 25000x + 475000 År hvor værdien er 150000: 25000x + 475000 = 150000 25000x = 325000 x = 13 I år 2025 vil værdien være faldet til 150000

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time.

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006. Typeopgave 2. Matematik Niveau B. Delprøven uden hjælpemidler. Prøvens varighed: 1 time. Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve 2006 05-B-2-U Typeopgave 2 Matematik Niveau B Delprøven uden hjælpemidler Prøvens varighed: 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår

Læs mere

Start i cirklen med nummer 1 - følg derefter pilene:

Start i cirklen med nummer 1 - følg derefter pilene: Bogstaver Bogstavet a Skriv bogstavet a i skrivehusene: Farv den figur som starter med a: Bogstavet b Skriv bogstavet b i skrivehusene: Farv den figur som starter med b: Bogstavet c Skriv bogstavet c i

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2011-2012 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 011-01 18. maj 011: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: 5x 11 19x 17 1117 19x 5x 8 14x x Opgave : T K T K KT T K T K KT KT T Parentesen er udregnet ved hjælp

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Indbydelse til Beg/Talent Cup - Fredericia LÄrdag den 18. september 2010

Indbydelse til Beg/Talent Cup - Fredericia LÄrdag den 18. september 2010 Promotor: Tidsplan: Dansk Taekwondo Klub Sidste tilmelding: ArrangÄr: 27. august 2010 Fredericia Taekwondo Klub Info mail sendes til de klubber der har tilmeldt deltagere, info Dato: LÅgges ogsç pç forbundets

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen

gl. Matematik A Studentereksamen gl. Matematik A Studentereksamen gl-stx132-mat/a-14082013 Onsdag den 14. august 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2015 Institution VUC Vest, Stormgade 47, 6700 Esbjerg Uddannelse HF net-undervisning, HFe Fag og niveau

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Velkommen i Ringsted Taekwondo Klub

Velkommen i Ringsted Taekwondo Klub Velkommen i Ringsted Taekwondo Klub Denne mappe indeholder information om Ringsted Taekwondo Klub. Der er information omkring klubben, pensum til graduering og en oversigt over de Taeguek, der skal läres

Læs mere

VedtÄgt. for. Ejerforeningen Vestervang Afsnit 5 ÅST

VedtÄgt. for. Ejerforeningen Vestervang Afsnit 5 ÅST Ejerlav: Ärhus Markjorder Anmelder: Matr.nr. 117 up Ejerl.nr. 1-36, 101-102, 111-112, 121-122, Lett Advokatfirma 201-203, 211-213, 221-222, 301-302, Bruun s Galleri 311-312, 321-322, 711-716, 721-724,

Læs mere

Brugsanvisning for Alde Comfort 3000

Brugsanvisning for Alde Comfort 3000 Brugsanvisning for Alde Comfort 3000 Denne brugsanvisning er beregnet til kedel type Alde Compakt 3000 92x, 93x og 94x, monteret i campingvogne og campingbiler, og er bygget iflg. CE nr. 048 AP-0013. Installation

Læs mere

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer

Lektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 4. juni 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh121-mat/a-04062012 Mandag den 4. juni 2012 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Eksamensopgaver i matematik

Eksamensopgaver i matematik Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse Indledning...1 Bedømmelse af besvarelse...2 Eksempel 1 Lineære sammenhænge...3 Eksempel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 2. juni 2014 Institution Kolding HF og VUC, Ålegården 2, 6000 Kolding (tovholder) VUC Vest, Stormgade 47,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger basis brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger basis preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, basis ISBN: 978-87-92488-07-7 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Fra spild til penge brug enzymer

Fra spild til penge brug enzymer Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15

Numeriske metoder. Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn. Side 1 af 15 Numeriske metoder Af: Alexander Bergendorff, Frederik Lundby Trebbien Rasmussen og Jonas Degn Side 1 af 15 Indholdsfortegnelse Matematik forklaring... 3 Lineær regression... 3 Numerisk differentiation...

Læs mere

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller

1 Ligninger. 2 Ligninger. 3 Polynomier. 4 Polynomier. 7 Vækstmodeller 1 Ligninger a. Fortæl om algebraisk og grafisk løsning af ligninger ud fra ét eller flere eksempler. b. Gør rede for algebraisk løsning af andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0. 2 Ligninger a. Fortæl om

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 15 Institution 414 Københavns VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Jan Houmann

Læs mere