En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde

Transkript

1 En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde Aktiv eller Passiv Investering? Thomas Peter Clausen 1

2 Abstrakt 1 Det danske marked for aktivt forvaltede fonde, er de senere år blevet intenst analyseret, med henblik på at vurdere forvalterens evner ("Skills"), og om investor får værdi ved aktiv-, frem for passiv forvaltning. 2 Oftest er det dog kun aktieuniverserne der bliver testet. En af årsagerne til at obligationsmarkedet ikke får samme opmærksomhed, som de øvrige aktivklasser, er at det kan virke empirisk uoverskueligt, med mange forskellige fonde, skiftende benchmarks, og ikke mindst "Survivorship Bias". 3 Saxo Bank har i oktober 2015 dog lavet en analyse, der viser at 98% af de aktivt forvaltede obligationsfonde på dansk grund performer. 4 I denne artikel implementerer vi en enkel metode til at teste det danske obligationsunivers, hvor vi kommer uden om problemerne. Vi tester udelukkende eliten, blandt de aktivt forvaltede danske obligationsfonde. Ud fra Morningstar's kriterier, tester vi konkret gruppen af 4 og 5 stjernede fonde i kategorierne, "Korte Danske Obligationer", "Øvrige Danske Obligationer" og "Lange Danske Obligationer". Vi kalibrerer til de statistiske tests, to stokastiske Geometric Brownian modeller (GBM I og GBM II) til at teste historisk henholdsvis fremtidig performancedynamik. Vi opstiller en nulhypose, om at eliten ikke kan skabe "Gross-Fee" CAPM Alpha, og kan med gruppeaggregrede p-værdier mellem 30%-75%, ikke afvise nulhyposen. Med afsæt i Morningstars relative karakterdeling, ekstrapolerer vi resulatet til at gælde hele det danske aktivt forvaltede obligationsunivers. Vi viser, at der har været CAPM ligevægt i det danske obligationsmarked de seneste 10 år. Fondene er derfor historisk blevet performancemålt statistisk, hvor Alpha er testet under en spuriøs nulhypotese, som ikke har efterlevet ex-ante og ex-post betingelsen for et "Zero-Sum Game" på forventet performance på 0. Konkret argumenterer vi for, at det høje kreditoverlay i fondene generelt, er en betarisiko, og dermed de-facto også en risiko der skal kompenseres for i afkastkravet på benchmark. Vi finder således, at der ikke er statistisk belæg for, at eliten blandt de aktivt forvaltede fonde i Danmark kan skabe slå deres benchmark, når den systematiske risiko inddrages. Hverken før eller efter omkostninger. Artiklens konklusion om manglende "Gross-Fee" Alpha 1 Artiklens forfatter er ekstern lektor i finansiering på CBS og Niels Brock. Artiklens forfatter har været ansvarlig for performance, som CIO, i en lang årrække fra , hos BNP Paribas, Fortis Investments, ABN AMRO og Alfred Berg. Fondene, som forfatteren har været ansvarlig for, er ikke direkte omfattet af analysen. Fondene er nu adminstreret af Absalon Invest A/S, og forvaltet af Formuepleje A/S

3 skabelse er nyt på danske obligationer, og specielt, da det er de top-performende fonde, der er udvalgt. Vi finder, at "Gross-Fee" performance kan replikeres med et møntkast, qua en p-værdi på næsten 50%. "Net-Fee" performance befinder sig i den dårligste kvartil for den aggrerede gruppe. Konkret betyder dette, at investorerne i gennemsnit, de sidste 10 år, årligt har betalt 80bp., alene, for at få fingrene i markedsafkastet. Nykredit Invest fondene, skiller sig særdeles markant ud fra resten af fondene, og har med "Nykredit Korte Obligationer", Danmarks eneste fond, der kan statistisk fremvise ren Alpha. Vi finder også, at fondene fremadrettet, kan levere stærk, og OAS robust performance. Men som vi viser, kan dette tilskrives spuriøsitet i porteføljernes sammenligninger med benchmark. 5 5 "Spurious" er et matematisk-statistisk begreb, der dækker over, at 2 eller flere variable, tilsyneladende kan sammenlignes, men at det, hvis man dykker ned i det, skyldes forkerte kausaliteter. Ofte anvendes udtrykket også i forbindelse med negativ merafkast i Sharpe ratios, da negativ merafkast belønner højere risiko, da Sharpe Ratioen er relativt højere ved højere risiko. Det samme gælder for Information Ratioen. 3

4 Introduktion De aktive fonde er stadig, trods de seneste års innovation inden for passiv forvaltning stadig klart dominerende. Ifølge en Morningstar redegørelse fra 2014, er retail markedsandelen i passive produkter generelt i Danmark kun 2%, hvilket i international sammenligning er meget lavt. 6 De aktive obligationsfonde er generelt store aktører på det danske obligationsmarked. Investeringsforeningerne er storinvestorer i danske obligationer Måler man på traditionelle danske realkreditobligationer, er markedsandelen så høj som 25 pct. Inden for kommuneobligationer, skibskredit og indeksobligationer er andelen endnu højere. Mere end 40 procent af de danske indeksobligationer er ejet af investorerne i de danske investeringsforeninger. 7 Tabel 1: Investeringsforeningernes andel af danske obligationer Små forventede afkast og store omkostninger "Aktiv-passiv" diskussionen foregår typisk mellem de kommercielle interessenter fra branchen selv, og ikke-kommercielle interessenter fra akademiaen. 8 Opmærksomheden er dog som oftest i andre aktivklasser end højt ratede danske obligationer. Det kan synes paradoksalt, da et de-fact 0%-rentemiljø, betyder at de aktive fondes omkostninger alene kan generere negative forventede afkast. De korte renter er "frosset" i ECB- og Nationalbankpolitikken og er meget tæt på 0%. Den 10 årige statsrente ligger på omkring 1%, og den 30 årige realkreditrente på 3% %20Aktivt%20forvaltede%20aktiefonde%20v3.pdfd%C3%B8dssejler/?ctxref=ext,

5 Pris (index=100) Pris (index=100) En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Grafen nedenfor viser forventet forskel i nettoafkast mellem en aktiv og en passiv investering i fonde med højt ratede danske obligationer. Vi sammenligner to fonde, en aktiv og en passiv, med hver ca. 75% realkreditobligationer, og 25% statsobligationer i porteføljen. Det forventede afkast er eksklusiv omkostninger 2,5% p.a. på begge fonde. Den årlige omkostningsforskel (fee) 9 på de to typer porteføljevalg er på 0,5% p.a. 10 Som det ses, stiger det løbende merafkast med tiden eksponentielt i den passive fond. De aktive forvaltere skal derfor, for at nå break-even, hente den eksponentielt udviklende omkostningsforskel. 11 Tabel 2: Nettoafkast mellem aktiv og passiv fond over tid. (2,5% afkast og 0,5% fee forskel Prisudvikling på aktiv fond mod passiv portefølje 120,00% 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% Afkastudvikling på aktiv fond mod passiv portefølje 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% ,00% ,00% Prisudvikling (Index=100 start) uden omkostninger Forskel i Afkast Prisudvikling (index=100) med omkostninger Afkastudvikling (Index=100 start) uden omkostninger Linear (Prisudvikling (Index=100 start) uden omkostninger) Afkastudvikling (index=100) med omkostninger De aktive fondes afkast og performance under luppen De danske aktivt forvaltede obligationsfonde er berømte for deres performance og har gennem årene fået mange priser. 12 Men hvordan er den performance skabt? Er den blot skabt med markedsrisiko, altså det vi kalder systematisk risiko, som man naturligt skal have en beta præmie for. Eller er den skabt med forvalternes evne til at udnytte markedsinefficiens (mis-prisninger i markedet), usystematisk risiko, Alpha. Det er Alpha'en investor i fondene vil betale for, ellers 9 Bemærk, det er omkostningsforskel, hvorfor der er taget højde for omkostningen i alternativet til den aktive fond, nemlig omkostningen i en indeksfond. 10 Vi viser i artiklen, at netop denne sammmensætning er gennemsnitsbeskrivende for de danske fonde. Omkostningningsprocenten er ligeledes repræsentativ. Da det er en lang horisont, vil omkostningen bedst kunne approximeres ved "Total Expenditure Expense", som er den indre omkostning i fonden, eg. forvaltersalær, advokat, revision, etc. ÅOP indeholder udover TER, også emissions- og indløsnings fee, men med tiden udvandes naturligvis betydningen af disse tillæg. 11 Forskellen er eksponentiel i tiden, t, NettoAfkast t = e ln 1 afkas t aktiv +afkas t passiv +afkas t fee t 1, hvor afkastene er konstante og annualiserede

6 kunne investor selv replikere risikoen væsentligt billigere ved at købe passivt forvaltede indeksfonde (eg. ETF'er), eller måske endda via en egenhandlet portefølje med få "outright" obligationer i AAA universet. 13 Der har ikke været nogen explicit analyse af de danske obligationsfondes strategiske overlay i danske realkreditobligationer, hverken akademisk eller i branchen. Men det er centralt fordi ex-post performance bliver målt mod fondenes benchmark, som typisk er 100% danske statsobligationer. Det gør, at performancemålingen bliver som at sammenligne æbler med pærer, hvis det viser sig, at det store overlay i danske realkreditobligationer, er en betaeksponering. I det tilfælde er det ikke tiltrækkeligt, at korrigere for tracking error eller standardafvigelse efterfølgende. Under aftagelse er, at det er betarisiko, der styrer performance, så er de statistiske tests ikke for Alpha, men for Beta. Vi vil undersøge, om de danske fonde i mange år har været evalueret, under forkerte risikomål, hvor spuriøsitet har sendt forkerte performancesignaler. Er det tilfældet skal expost afkastkravet hæves i henhold til den eventuelle betarisiko. Dvs. benchmark skal korrigeres. Vi derfor undersøge om tendensen, til høj realkredit andel, er for at udnytte den matematiskstatistiske "motor", der ligger i betamismatchet. I substansen svarer det til, at have en aktieportefølje mod en kontantplacering, som benchmark. Her vil tiden også med et passivt overlay, generere eksponentielt bedre og bedre risikojusterede nøgletal. Alene fordi det forventede moment, ex-ante mer-carry, er positiv. Vi kalder dette, at "ride den statistiske kurve". 14 Opbygning Artiklen beskriver først metode og data for analysen. Vi gennemgår de udvalgte fondens historiske resulater, og diskuterer den historiske sammensætning af porteføljen mod benchmark. Fokus er på performance, kreditoverlay og omkostninger. Vi tester for historisk Alpha mellem danske realkreditobligationer og danske statsobligationer, og udleder at der ikke er belæg for Alpha, hvorfor merafkastet i realkreditoverlayet kan tilskrives systematisk risiko. Det er derfor nødvendigt at rekalibrere fondenes historiske track record til en proxy for samme systematiske risiko. Rekalibreringen kan dog ikke foregå ex-post med korrektion via standard IR eller Sharpe Ratio. Det kræver ændring i afkastkravet på benchmark. 13 Normalt i "Moderne Porteføljeteori" vil man købe mange enkeltaktiver for at reducere den idiokratiske risiko, men denne risiko er ikke oplagt i danske AAA stats- eller realkreditobligationer. Så det kunne være en fordel, at replikere en given varighed (markedsrisiko), i få obligationer (med ønsket korrelation), med færre faste handelsomkostninger til følge. 14 Vi vil vise, at det er under NIID forudsætningen. Altså normalfordelte stokastiske udfald, som er uafhængige, og har konstant varians (og dermed standardsafvigelse). 6

7 Vi opstiller efterfølgende en nulhyposen om, at fondene ikke kan generere positiv gross-fee performance ud over det, som den systematiske risiko statistisk signalerer. Vi opbygger en simplifiseret modelporteportefølje og et simpliciseret benchmark, som begge er gennemsnitligt repræsentativ for gruppen af fondene, under hensyntagen til den systematiske risiko. De relative modelporteføljenøgletal for forventet merafkast (mercarry) og tracking error, er de to momenter vi anvender i de statistiske horisontbetragtninger. Udgangsporteføl Det statistiske grundlag for historisk performance, ekstrapolereres fra en Geometric Browninan Motion model, GBM I, som vi viser kan beskrive en indekseret stokastisk performance dynamik. Givet modelporteføljens momenter parametriserer vi denne Geometric Brownian Motion model, og tester nulhypotesen under horisontfordelingerne af performance. I vurderingen af fremtidig performance og robusthed overfor OAS ændringer, implementeres GBM II modellen, som rekalibreres i driften, på baggrund af historisk performance. Modelresultater findes både ved Monte Carlo kørsler og simulering med de analytiske løsninger for horisontmomenterne i GBM setuppet. Modellen viser stærke statisk performance gross-fee ved forskellige realkreditoverlays. Kun ved lav realkreditandel, kan GBM I modellen ikke slå sit "benchmark" net-fee. Fondenes performance sammenholdes med modellens resultater. Aggregeret er der ikkesignifikant, men positiv relativ gross-fee performance mod modellens performance, på 3 årsog 5 års horisont. Efter omkostninger, er resulatat dog væsentligt anderledes. Her er det gennemsnitlige tab 80bp. i forhold til til modellen. De statistiske resultater dækker dog stor spredning i feltet, hvor Nykredit Invest med deres korte obligationsfond, har Danmarks eneste fond der kan generere klassisk CAPM Alpha, med p-værdi under 5%. Sidst viser vi med GBM II simulationer, at fondenes fremtidige performance mod deres egne benchmark, er særdeles robust overfor ændringer i OAS-swap spændet. Næsten uafhængigt af realkreditandelen. 7

8 Data og metode Vi trækker afkastdata og benchmarkdata fra Morningstar, samt investeringsforeningernes egne hjemmesider. Yderligere, trækker vi fra Morningstar, oplysninger om ratingen på de danske, aktivt forvaltede obligationsfonde. Ratingen ser således ud; Tabel 3: Morningstar Rating, den Kategori Antal * ** *** **** ***** No rating DKK Korte DKK Øvrige DKK Lange Total antal Gennemsnit* - 6,1% 34,7% 26,5% 18,4% 14,3% - Kumuleret* - 6,1% 40,8% 67,3% 85,7% 100,0% - * Uden "No Rating" Vi vælger at fokusere på 12 af de absolut bedste fonde herhjemme ud fra Morningstars rating kriterier 15, hvorfor vi vælger de 4 (****) og 5 (*****) stjernede fonde inden for kategorierne, "Danske Obligationer Korte", "Danske Obligationer Øvrige" og "Danske Obligationer Lange". Dog med en lille "unbiased" frasortering af nogle enkelte specialfonde. 16 I tabellen ses, at ud af samlet 49 ratede fonde, har 16 fonde 4 eller 5 stjerner. Dette svarer til den øverste tredjedel, som er Morningstars statistiske kalibrerering. Vi udvælger denne gruppe tester performance, på horisonterne, 3 år, 5 år og 10 år, som også er horisonterne Morningstar anvender i deres vægtede ratingtildeling. Den samlede, og dermed aggregerede, konklusion, bygger på det simple gennemnit af de 3 horisonters statistiske resultater.. Muligheder og begrænsninger ved metodevalg Ved at anvende et begrænset fondsunivers med de stærkeste fonde, opnår vi række fordele, udover en kraftig reduktion i det empiriske arbejde med at indsamle konsistente data. Ved at udvælge "unbiased" de absolut bedste fonde, og teste dem, giver det nemlig også mulighed for ekstrapolere resultatet til de øvrige fonde. Principielt er stikprøvens størrelse underordnet i denne ekstrapolation, da hver er de 12 fonde har forventet moment højere end hver af de andre i fondsuniverset. Ekstrapolationen er mulig, hvis det empiriske resultat bliver at der ikke er belæg for statistisk signifikant (betakorrigeret) performance i de bedste fonde. I dette tilfælde vil vi ekstrapolativt kunne udlede, at de øvrige fonde heller ikke kan performe arfundrating_methodology.pdf 16 Fonde der har særlige skattemæssige- eller investorprofiler. 8

9 Bliver resulatet omvendt, at vi kan afvise statistisk underperformance, kan vi naturligvis ikke udlede, at det samme gælder for resten af fondene. Altså, med andre ord, hvis resultatet bliver, at de udvalgte fonde kan performe, kan vi ikke sige noget om de øvriges fondes performance. Det eneste vi ved, det er, at de relativt er dårlige end flagskibsfondene i følge Morningstars kriterier. En anden fordel ved ikke at dykke ned i hele universet og teste for gennemsnitlig performance er, at vi kommer uden om, den såkaldte "Survivorship Bias", som essentielt er et fænomen, der dækker over, at investeringsforeningerne har en tilbøjelighed til at lukke dårligt performende fonde, alene fordi de er dårligt performende. Det vil med andre ord betyde at de opnåede "momenter" ved, at teste alle fonde i universet vil være biased opad. "Survivorship Bias" opstår når der flyttes eksisterende AuM fra en dårlig fond over i en ny, eller en anden eksisterende fond, med nogenlunde samme investeringsprofil. Det er nemlig den eksisterende fonds performance, der bliver stående. Den lukkede fonds performancehistorik forsvinder offentligt irrevokabelt. Nedenstående tabel illusterer mekanismen. Investeringsforeningen har 5 fonde, og vælger at lukke "Mellemlange Obligationer", pga. * ratingen, og flytte AuM'en over i "Korte Obligationer" med ***** rating. Herved hæves den gennemsnitlige rating med en karakter (1 stjerne) Tabel 4: "Survivorship Bias" - illustration. Særligt små fonde hos små investeringsforeninger er eksponeret for dette, bla. fordi det er adminstrativt lettere, men også fordi den samlede rating på en investeringsforenings fondsparaply, let kan manipuleres med denne mekanisme, da fondene vægter det samme i den aggregerede rating tildeling. Særligt, hvis flere fonde kører efter samme investeringsstil. Her kan "Survivorship Bias" generere markante skift i rating. 9

10 Afkast- og performanceberegninger på fondene Vi anvender to typer beregningsteknikker for performance. Den ene når vi beregner på tværs af tid, altså mellem to tidspunkter, start og slut, og den anden, når vi beregner på tværs af fondene. Beregning af performance på tværs af tid Antag i det følgende at P t repræsenterer en indekseret performance til tidspunkt t, og at afkast port t, afkast benc t, afkast fee t, repræsenterer det geometrisk annualiserede "afkast" for porteføljen, benchmark og omkostningerne (fee). Empirisk såvels om teoretisk i modellerne i analysen, beregnes gross-fee performance, Perf_grossfee t, mellem tidspunkt 0 og t, da som: Perf_grossfee t = P t P 0 P 0 = 1 + afkast_port t 1 + afkast_fee t 1 + afkast_benc t t 1 Er perioden mellem t=0 og t opdelt af t underperioder med t periodeafkast i, således at, i = 1,2,, t kan horisontperformance også beregnes som: Perf_grossfee t = P t P 0 P 0 = t i=1 1+afkast _port i 1+afkast _fee i t i=1 1+afkast _benc i 1 Anvendes den naturlige logaritme fås: Perf_grossfee t = P t P 0 P 0 = EXP 1 t t LN 1+afkast _port i 1+afkast _fee i 1+afkast _benc i i=1-1, hvor, i = 1,2,, t I beskrivelsen antages, at starttidpunktet er t=0, da vi skal bruge det til simulering. Formlerne beskriver dog performance mellem arbitræt valgte tidspunkter, kun forudsat er starttidspunktet er mindre end t, og selvfølgelig større end eller lig med 0. Kalder vi starttidspunktet i beregningen for s, gælder altså at 0 s < t : 10

11 Perf_grossfee t,s = P t P s P s = EXP 1 t s t i=s+1 LN 1 + afkast_port i 1 + afkast_fee i 1 + afkast_benc i Beregning af performance på tværs af fonde Når vi beregner horisontafkast- og performance på de enkelte fonde, sker det med udgangspunkt i formlerne ovenfor. Når vi beregner på tværs af fonde, beregner vi afkast og performance, som det simple gennemsnit af de enkelte fondes geometriske afkast eller performance. Nedenfor er vist, hvordan den gennemsnitlige performance, for m fonde beregnes til tidspunkt t. i = 1,2,, t er perioderne, der akkumuleres over, mens j = 1,2,, m er fondene, der beregnes på tværs af. I analysen er m = 12. Vi kalder denne performance for δ t ; δ t = 1 m m j =1 t i=1 1 + afkast_port ij 1 + afkast_fee ij t i=1 1 + afkast_benc ij 1 I bedømmelsen af den statistiske performance anvender vi p-værdierne, som kritiske mål for tilfældighed eller ej. Her tager vi også hensyn til at performance under nulhypotesen alt andet lige er lettere på længere horisonter, i det tilfælde at det forventede førstemoment på porteføljen er større end på benchmark. Vi vil senere vise det velkendte fænomen at Sharpe ratioen eller IR rationen, er faldende over tid i en passiv portefølje, under netop antagelsen om positivt førstemoment. Derfor sandsynlighedsvægter vi de 3 horisonter for hver enkelt fond, ud fra en lineariseret model, som "fanger", denne indbyggede mekanisme i IR, og dermed sandsynligheden for (under) performance. Dette gælder dog, som sagt kun når vi ikke beta-korrigerer. Dvs. det simple p-værdi gennemsnit bliver brugt på den beta-korrigerede performance. På en given horisont t, beregnes den aggregerede p-værdi for alle fonde, Υ t, som simpelt gennemsnit af de individuelle p-værdier φ tj ; Υ t = 1 m m j =1 φ tj = 1 m m j =1 1 Z(IR tj ), Z~N(0,1) 11

12 På tværs af k horisonter, vægtes der ikke-simpelt med δ k. 17 Υ k,t = 1 m m n j =1 k=1 δ k φ kj = 1 m m n j =1 k=1 δ k 1 Z(IR kj ), k = 1,2,3, Z~N(0,1) Fondenes stamdata og historik Tabel 6 opsummerer de 12 udvalgte fondes stamdata, samt det, som er essentielt for analysen, nemlig den store kreditandel i forhold til benchmark. Altså, måske en proxy for betarisikoen i de danske porteføljer, da investor alt andet lige kræver CAPM præmie for at investere i papirer, der ikke har den danske stat som udsteder. Flere af de danske realkreditobligationer har i lighed med den danske stat en AAA rating, men det betyder ikke, at der ikke skal være en præmie. Tabel 6: Fondenes rating og realkreditandel Navn Morningstar Kategori Rating Fondskode ÅOP Kredit andel * Statsbenchmark** Kredit Overlay Dato LPI Obligationer Europa Mellemlange ***** DK ,45% 83% 40% 23% Maj Invest Danske Obligationer Mellemlange ***** DK ,35% 93% 100% 93% Danske Invest Dannebrog Mellemlange Mellemlange **** DK ,58% 85% 75% 60% Jyske Invest Lange Obligationer Mellemlange **** DK ,58% 85% 100% 85% Nordea Invest Mellemlange Obligationer Mellemlange **** DK ,61% 98% 100% 98% Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer Lange **** DK ,63% 97% 100% 97% Nykredit Invest Lange obligationer Lange ***** DK ,60% 60% 100% 60% Danske Invest Danske Lange Obligationer Lange **** DK ,63% 93% 75% 68% Nykredit Invest Korte Obligationer Korte ***** DK ,36% 85% 100% 85% Danske Invest Fonde Obligationer Korte **** DK ,72% 88% 75% 63% Nordea Invest Korte Obligationer Korte **** DK ,43% 99% 100% 99% Sparinvest Korte Obligationer Korte **** DK ,30% 88% 100% 88% Gennemsnit 0,52% 88% 89% 77% * Nuværende ÅOP Det ses, at med undtagelse af LPI (Lægernes PensionsInvestering) og Danske Invests fonde, har alle et benchmark med 100% danske stater. Danske invest offentliggør ikke detajler i deres benchmark, hvorfor vi har estimeret et benchmark med 75% stater og 25% realer. Den gennemsnitlige overvægt af kreditobligationer, primært danske realer, men også virksomhedsobligationer, er ca. 75%. Det er naturligvis et øjebliksbillede, men tendensen har været sådan i mange år i det danske investeringsmarked. Obligationsporteføljer bliver bygget op omkring benchmark med en meget høj strategisk og passiv (real)kreditandel I appendix har vi vist beregningen af vægtene. 18 En senere analyse må underbygge mere solidt antagelsen om det store kreditoverlay. Det er et relativt stort arbejde at trække beholdningslister på alle fonde, på eksempelvis månedsbasis i 10 år. 12

13 Desuden ses det, at omkostningerne, målt ved ÅOP 19, i gennemsnit er på ca. 0,5%-point. ÅOP anvendes fordi det er en offentlig tilgængelig størrelse, og at den i øvrigt ligger meget tæt på "Total Expenditure Rate", som er den forvalteren kæmper imod. TER er nemlig den "indre" omkostning, der geometrisk udvander fondenes AuM over tid, mens ÅOP også er en "ydre"omkostning, der udover at indeholde TER, indeholder et 7 årig lineært tilskrevet indløsning- og emissionsbidrag. Da ÅOP adskiller sig fra TER med faste omkostninger 2 gange (ind og ud af fonden), betyder det selvfølgelig også at; ÅOP TER for t TER'en er således umiddelbart relevant for forvalterne, mens ÅOP er relevant for investor. På de lange horisonter er interessen sammenfaldende. Omkostningerne er faldet over årene, og vi vil derfor i modelanalysen arbejde med en omkostning på 0,77%-point, som gennemsnitlig 10 årig annualiseret ÅOP. 20 Nedenstående tabeller opsummerer fondenes performance annualiseret, både med (Perf Net), og uden (Perf Gross) omkostninger Altså en kvalitativ ÅOP parallelforskydning på tværs af fondene. Alle fonde bliver således stadig målt imod deres individuelle ÅOP. 13

14 Tabel 7 : Fondenes historik p.a. Navn 3Y 5Y 10Y Port Bench Perf Gross* Perf Net Port Bench Perf Gross* Perf Net Port Bench Perf Gross* Perf Net LPI Obligationer Europa 2,6% 1,7% 1,6% 0,9% 3,8% 3,1% 1,4% 0,7% 3,9% 4,8% -0,2% -0,9% Maj Invest Danske Obligationer 3,6% 1,8% 2,3% 1,7% 4,0% 2,9% 1,7% 1,1% Danske Invest Dannebrog Mellemlange 2,2% 1,7% 1,3% 0,5% 3,0% 3,1% 0,8% -0,1% 3,5% 4,8% -0,4% -1,3% Jyske Invest Lange Obligationer 2,2% 1,8% 1,2% 0,4% 3,2% 3,4% 0,7% -0,1% Nordea Invest Mellemlange Obligationer 3,0% 1,6% 2,2% 1,4% 3,7% 2,9% 1,7% 0,8% 5,7% 4,8% 1,7% 0,8% Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer 3,7% 2,5% 2,1% 1,2% 4,6% 4,0% 1,5% 0,6% Nykredit Invest Lange obligationer 3,7% 2,2% 2,3% 1,4% 4,9% 3,7% 2,1% 1,2% Danske Invest Danske Lange Obligationer 3,1% 2,4% 1,6% 0,7% 4,1% 3,8% 1,2% 0,3% 4,5% 4,1% 1,2% 0,3% Nykredit Invest Korte Obligationer 1,8% 0,1% 2,2% 1,6% 2,8% 0,8% 2,5% 1,9% Danske Invest Fonde Obligationer 1,5% 0,4% 2,1% 1,1% 2,2% 1,1% 2,0% 1,0% 3,0% 2,7% 1,3% 0,3% Nordea Invest Korte Obligationer 1,7% 0,5% 1,9% 1,2% Sparinvest Korte Obligationer 1,2% 0,5% 1,2% 0,6% 2,0% 1,5% 1,1% 0,5% 3,0% 2,7% 0,8% 0,2% Aritmetisk Gennemsnit 2,5% 1,4% 1,8% 1,1% 3,5% 2,7% 1,5% 0,7% 3,9% 4,0% 0,7% -0,1% * ÅOP=0,77% korrektion For de fonde, som ikke har offentlig tilgængelig information om benchmark, har vi anvendt gennemsnittet af de andre fondes benchmark i samme kategori. Tabel 8: Fondenes historik på horisonter. Navn 3Y 5Y 10Y Port Bench Perf Gross* Perf Net Port Bench Perf Gross* Perf Net Port Bench Perf Gross* Perf Net LPI Obligationer Europa 8,1% 5,3% 5,0% 2,6% 20,4% 16,2% 7,7% 3,6% 46,7% 60,4% -1,2% -8,5% Maj Invest Danske Obligationer 11,0% 5,5% 7,7% 5,2% 21,7% 15,5% 9,5% 5,4% Danske Invest Dannebrog Mellemlange 6,8% 5,3% 3,8% 1,5% 15,9% 16,2% 3,6% -0,3% 41,3% 60,4% -4,9% -11,9% Jyske Invest Lange Obligationer 6,7% 5,6% 3,4% 1,1% 17,2% 18,0% 3,2% -0,7% Nordea Invest Mellemlange Obligationer 9,2% 4,8% 6,6% 4,2% 19,8% 15,2% 8,1% 4,0% 74,1% 60,4% 17,2% 8,5% Nordea Invest Portefølje Lange Obligationer 11,5% 7,8% 5,9% 3,5% 25,1% 21,5% 6,9% 2,9% Nykredit Invest Lange obligationer 11,4% 6,8% 6,7% 4,3% 27,1% 19,7% 10,3% 6,1% Danske Invest Danske Lange Obligationer 9,7% 7,3% 4,6% 2,2% 22,5% 20,6% 5,5% 1,5% 55,0% 49,9% 11,7% 3,4% Nykredit Invest Korte Obligationer 5,4% 0,4% 7,4% 5,0% 14,6% 4,3% 14,2% 9,9% Danske Invest Fonde Obligationer 4,6% 1,2% 5,8% 3,4% 11,3% 5,9% 9,3% 5,2% 34,8% 31,0% 11,1% 2,9% Nordea Invest Korte Obligationer 5,2% 1,6% 5,9% 3,5% Sparinvest Korte Obligationer 3,6% 1,6% 4,3% 2,0% 10,2% 7,5% 6,5% 2,5% 34,3% 31,0% 10,6% 2,5% Aritmetisk Gennemsnit 7,8% 4,4% 5,6% 3,2% 18,7% 14,6% 7,7% 3,7% 47,7% 48,9% 7,4% -0,5% 14

15 Tabel 9: Aggregeret fondshistorik Summary Statistics (horisont) 3Y 5Y 10Y Afkast Portefølje 7,8% 18,7% 47,7% Afkast benchmark 4,4% 14,6% 48,9% Performance Gross (ÅOP=0,77% snit) 5,6% 7,7% 7,4% Performance Net 3,2% 3,7% -0,5% Summary Statistics p.a. 3Y 5Y 10Y Afkast Portefølje 2,5% 3,5% 3,9% Afkast benchmark 1,4% 2,7% 4,0% Performance Gross (ÅOP=0,77% snit) 1,8% 1,5% 0,7% Performance Net 1,1% 0,7% -0,1% Gennemsnittet af den geometriske performance er positiv, både med og uden omkostninger, bortset fra på den 10 årige horisont. Performance er solid, men som tidligere anført er det ikke nogen overraskelse, da fondene netop er udvalgt udfra deres solide performance, de sidste op til 10 år. Statistisk test af Alpha Der anvendes som anført næsten 100% statsbenchmark på tværs af fondene, mens porteføljerne ligger med strategiske realkreditoverlay fra 20% og op til næsten 100%. For nogle fonde er det kun konstantsaldoen og de registrerede førtidsindfrielser af de konverterbare realkreditobligationer, der ikke er kredit. Sidstnævnte udtrukne realer er de-facto pengemarkedspapirer (nulkuponobligationer) og har dermed Macaulay varighed svarende til næste termin, hvor kurs 100 (call optionens strike i de konverterbare realer) afregningen foregår. Traditionelt vurderes forvalterens evne til at "slå markedet" ved at korrigere performance mod benchmark, korrigeret for standardafvigelsen mellem afkast på porteføljen og benchmark. Har benchmark 0 i standardafvigelse (i tekstbøgerne den helt korte risikofrie statsrente eller kontanter på anfordring med statsindskydergaranti), er standardvigelsen imellem dem, defacto, standardafvigelsen på porteføljen. I dette specialtilfælde, er den risikokorrigerede performance den berømte Sharpe Ratio. Alternativt, hvis benchmark har standardafvigelse forskellig fra 0, kaldes korrektionen for Information Ratioen (IR). I det tilfælde kalder vi standardafvigelsen for tracking error (TE). IR er som statistisk mål, de-facto også Sharpe Ratioen. Givet Gaussiske antagelser om afkastdynamikken, kan disse ratios, da de i statistisk sammenhæng er standardiserede størrelser, naturligvis anvendes til at estimere om fonden, 15

16 har performet statistisk signifikant. Testen er essensielt om der er forskel på afkastet på portefølje og afkast på benchmark. 21 Tabel 10: Eksempel på statistisk anvendelse. Horisont Performance, P Tracking Error IR Prob(P<0) p-værdi 3Y 1,0% 2,0% 0,50 30,9% 30,9% 5Y 3,0% 3,0% 1,00 15,9% 15,9% 10Y 5,0% 2,0% 2,50 0,62% 0,62% På den 10 årige horisont er der ikke bare performance, men også statistisk performance. Med en p-værdi på 0,62% er der således statistisk signifikans for outperformance med signifikansniveau på 5%. 22 Altså p-værdien er mindre end 5%. Sandsynligheden for underperformance samt p-værdi er sammenfaldende, da testen er i forhold til en forventet populationsværdi på nulperformance. p værdi 10 = 1 z IR 10 = z Perf 10 TE 10 = 1 z 0,05 0,02 = 0,62% I en markedsefficient verden, ligevægt, giver metoden dog kun mening, hvis benchmark exante eller ex-post korrigeres for betarisiko. Ellers kan der i halen af normalfordelingen ligge ren betaperformance. Statistisk signikans ved lave p-niveauer øger naturligvis sandsynligheden for, at der er forvalter "skills" involveret. Men igen, det kan ikke udelukkes det betaeksponeringen der har drevet den statistiske signifikans. Betakorrigerende performancemål Denne problemstilling adresserer performancemålet Jensen's Alpha for, ved lineært at faktorisere betarisikoen (dog kun med 1 faktor, nemlig benchmark). Udvider vi med flere systematiske faktorer, er det den klassiske Arbitrage Pricing Theory model (APT). Er R t porteføljens afkast mellem peride t og periode t-1, bliver ex-post Alpha performance beregnet som konstanten, α, i en linær regression med m betavariable, X, og tilhørende faktorloadings, β (beta risk) 23 ; m R t = α + i β i X it + ε t, ε t ~ N 0, σ 2, i = 1,2,, m 21 Estimatorerne for IR og Sharpe Ratios ændres væsentligt med ikke-normalfordelte antagelser om afkastet sidet test, med nulhypose, at der ikke er performance. 23 Estimeres med simpel lineær regression (OLS). 16

17 Er alpha, som konstantled, statistisk signifikant, konkluderes det, at forvalteren har leveret Alpha, der må tilskrives dygtighed og/eller held. Metodens kredibilitet, er dog afhængig af valget af betafaktorer (benchmarks). Det er oplagt blot at justere benchmarket historisk med højere realkreditandel, ogdermed højere carry. Altså, opstille et pseudo eller skyggebenchmark, og re-kalibrere fondenes performance i forhold til dette. I forlængelse af denne metode, anvender vi en stokastisk model for performance, under hensyntagen til systematisk risiko. Metoden har den fordel, at vi kan simulere over tid fondenes performance fair, i forhold til statistiske tilfældigheder. Konkret, som vi vil vise senere, kan der anvendes en klassisk Geometric Brownian Model parametriseret med fair momenter for mer-carry og tracking error. Lidt basics om carry på dansk realkredit Risikofyldte aktivklassers præmie til statsobligationer kendes også som Z-spændet. Z- spændet måler en carry på det risiko aktiv i forhold til nulkuponrentekurven for statsobligationer. I Danmark er der ikke mange nulkuponobligationer, og dem der er, er i den helt korte ende af statskurven. Her findes Skatkammerbeviser, og selvfølgelig også den korteste kuponobligation (med een betaling tilbage). Den korteste statkuponobligation i Danmark pt. Stat 4% /11/15. Den handler også de-facto som nulkuponobligation. Derfor må der "boot-strappes" i det omfang, det er muligt, og så i øvrigt ekstrapolere med en ex-ante defineret funktionsform for nulkuponrenterne, eg. Nelson Siegel modellen. For de konverterbare realkreditobligationernes vedkommende, kan Z-spændet dekomponeres i en OAS-præmie og i en konverteringspræmie (Call præmie). OAS-præmien kan fortolkes som realkreditobligationes konverteringsfrie spænd til nulkuponstatsrentekurven. Altså en risikopræmie, indeholdende risici fra de sædvanlige kanaler som eg. kredit og likviditet. OAS spændet indeholder altså ikke konverteringspræmien. Det ligger i den måde OAS er beregnet på. OAS-spændet beregnes generelt, dvs. også på de inkonverterbare realkreditobligationer 24, ved at antage, at markedsprisen (dirty prisen) på realkreditobligationen, er den teoretisk rigtige, hvorefter spændet ved "trial-and-error", kan estimeres ved at sætte nutidsværdien af de fremtidige cashflow, diskonteret med de relevante nulkuponrenter + et konstant spænd, lig med markedsprisen. 24 Det er markedsstandard er kalde de inkonverterbares spænd til statskurven for OAS, selv om der selvfølgelig ikke er nogen option i de konverterbare obligationer. I de konverterbare, er Z-spændet lig OAS, da konverteringspræmien (call præmien) er 0. 17

18 Altså, principielt samme teknik som ved beregning af effekive renter, blot med den forskel at markedsprisen kalibreres til de diskonterede cashflow med nulkuponkurven + konstant spænd (præmien over den "risikofrie" statsrente). Det er således umiddelbart en triviel øvelse. Eller det er det, hvis cashflowet er kendt. Det er det på de inkonverterbare, men på de konverterbare er cashflowet ukendt, da låntager har en konverteringsret. Den teoretiske pris på den konverterbare realkreditobligation, er dermed prisen på det inkonverterbare cashflow, fratrukket prisen på konverteringsretten. Konverteringsretten, er en Call Option med strike på kurs=100. Havde man kunne antage rationelle låntagere, kunne man umiddelbart prisfastsætte call optionen (og dermed realkreditobligationen) trivielt med lukkede løsninger for optioner. Men låntager er ikke rationelle, dvs. de indfrier forskelligt ud fra heterogent vægtede kriterier. Derfor anvendes der en realkreditmodel, som dels simulerer renten ud i fremtiden 25, og dels beregner sandsynlighed for konvertering med afsæt i denne rente, samt mange andre kriterier, som omkostninger, lånets størrelse, og om det er erhverv/privat. Simulationen af renten foregår i en rentestrukturmodel og simulation af udtræk, foregår i en prepayment model. Med disse sandsynligheder, som er fundet i en normalfordelt gevinstkravsmodel 26, kan man simulere det "ukendte" cashflow, og dermed beregne værdien af call optionen og realkreditobligationen. Ved at beregne OAS kan man sammenligne præmien med andre præmier i markedet. OAS har dog også modelrisiko i sig. Derfor er det ofte sådan, at når forventet mer-afkast eller mer-carry, om man vil, skal beregnes på konverterbare, da bruges istedet det forventede kuponafkast på realkreditobligationen. Altså kupon over dirty pris. Når mer-carry mod varighedsækvivalente statsobligationer skal estimeres, bruges i sammenligningen, den effektive rente på statsobligationen, som proxy for forventet statscarry. Ved typisk at bygge porteføljerne i fondene med stor overlayrisiko i realkreditobligationer, eksponeres afkast og performance kraftigt til dynamikken i Z-spændet. Nogle forvaltere arbejder primært med call præmien, andre med OAS præmien. Når man arbejder med call præmien, er det med udgangspunkt i break-even beregnninger på korte horisonter over udtrækninger, til en enkelt eller to terminer frem i tiden. Der opstilles et afkastkrav og så beregnes der en break-even udtrækning. Det er typisk kun ved korte horisonter, da analysen som oftest kun indebærer holdninger til udtrækket. 25 Forfatter anvender no-arbitrage BDT modellen, som kalibreres til obligationsrenter og "at the money" cap vol. Modellen løses simpelt, ikke som baglæns rekursion, men som forlæns rekursion. 26 Med ex-ante holdninger til, hvor meget låntager i gennemsnit skal "spare" i nutidsværdi ved at omlægge, kan man lave en normalfordelingsmodel, som styrer konverteringssandsynligheden. Det kræver også en exante bestemt standardafvigelse. 18

19 Slutkurs og startkurs antages i udgangspunktet at være ens, da meget konverteringstruede realkreditobligationer har lav varighed. Afkastkravet er derfor også tæt på pengemarkedesrenten. Dekomponering af mer-carry på realer mod stater. Kvalitativt vurderer vi at mer-carryen kan dekomponeres i det følgende faktorer, og med den opgivne Alpha/Beta kategorisering. Tabel 11: Kvalitativ dekomponering af mer-carry i realer mod stater. 27 Mer-Carry Alpha Beta Kredit X Likviditet X Indlåsning X Konvertering X Konveksitet X Udstedelse X Vi postulerer kvalitativt, at præmien, målt på det løbende afkast, primært skal tilskrives systematiske faktorer, hvorved præmien approximativt er en betafaktor. Derfor skal denne naturligvis, jævnfør Moderne Portefølje Teori, CAPM, korrigeres i sammenligninger af porteføljens afkast mod benchmark. Med andre ord afkastkravet i benchmark er systematisk underestimeret i de danske obligationsfonde, i forhold til de strategiske profiler med med realkreditoverlay. 27 Der kan også argumenteres for en regulatorisk præmie. Særligt siden 2008, hvor mange nye tiltag, som LCR og NSFR, påvirker prisdannelsen. Det er dog ikke umiddelbart klart, hvordan præmien skal dekomponeres i Alpha og Beta. 19

20 Vi kan underbygge postulatet kvantitativt ved at trække tidsserier 5-10 år tilbage. Tabel 12: Statistiske nøgletal for realer og stater. 28 Daglige logafkast fra Summary statistics Standardafv* Korrelation Mer-Carry** BETA (CAPM) *1 Afrundet. Stat std = 1,80%, real std =3,07%, korrelation=0,74 Real CM5 indeks 3,00% 1 0,75 Stat CM5 indeks 2,00% 0,75 1 1,75% 1,26 ** Gennemsnit mellem real-stat. Kuponrente på syntetisk kurs årig konverterbar real fra Kombination af 3,4,5,6% obligation. Effektiv rente på syntetisk 5årig stat Tabel 13: Test for Alpha og Beta med CAPM 29 Daglige logafkast fra Faktor Koefficient Standard Error t Stat P-value Alpha 0% 0,00% 2,08 3,79% Beta (H0: Beta=0) 126% 2,97% 42,57 0,00% Beta (H0: Beta=1) 100% 2,97% 8,86 0,00% R^2 Adj. 74% n dage Daglige logafkast fra Faktor Koefficient Standard Error t Stat P-value Alpha 0% 0,00% 0,00 0,00% Beta (H0: Beta=0) 71% 1,03% 0,01 1,03% Beta (H0: Beta=1) 100% 2,97% -9,93 0,00% R^2 Adj. 82% n dage Analysen for Alpha og Beta, er beregnet ud fra den tidligere viste regression, hvor Alpha og Beta estimeres lineært i en CAPM model, med statsindeksafkastet, som den eneste exogene variabel. 28 Beta er beregnet korrekt, mens de øvrige nøgletal for simplicitetens skyld i artiklen er afrundet. Så lille forskel i Beta på 1,125 (afrundet) og beta 1,26 eksakt. 29 En senere analyse må dykke ned i Hedge fondenes performance, og vurdere Alpha i realkredit nøjere. De danske hedgefonde benytter sig i høj grad af, long-short dansk realkredit mod danske statsobligationer. Men, hvis ikke andre af realkredittens betafaktorer (se i artikel for dekomponering) er hedget i disse fonde, er resultatet nok det samme som i denne artikel. Hedge fonde kalder ofte deres betafølsomme "Alpha" afkast for alternativ beta. 20

21 CarryReal t = α + βcarrystat t + ε t, ε t ~ N 0, σ 2, Estimeret bliver CAPM således, CarryReal t = 0 + 1,26CarryStat t, hvor α^, er Alpha i CAPM (Jensen's Alpha). Interessant er det, at Alpha i begge datasæt er beregnet til 0, og opfylder statistiske betingelser for, at vi kan ikke kan afvise 0. Derved har prisdannelsen mellem stats- og realkreditobligationer, historisk været i CAPM ligevægt. Risikoen kan forklare lineært afkastet. Ergo, må det også betyde at den relative afkastudvikling, mer-carryen, mellem realer og stater kan forklares ud fra den systematiske risiko beta alene. Efter vores vurdering, er der således både kvantitativt og kvalitativt, ex-ante og ex-post belæg for at konstatere, at der er 1:1 systematisk risiko i præmien, hvorfor det giver mening at stokastisk modellere forventede nøgletal, med mer-carry'en som drift. 21

22 Indlåsningseffekt som Alpha kilde Ifølge testen for alpha i en CAPM model, er denne kvalitative Alpha indlåsningseffekt, ikke tilstrækkelig til at hæve testens Alpha signal over 0. Ikke desto mindre er den interessant, i dens egenskab af, i følge vores vurdering, at være den mest oplagte Alpha kilde mellem statsog realkreditobligationer. Indlåsningsfaktoren er et fænomen, der kan tilskrives realkreditobligationens "delivery option", hvor låntager til hver tid kan indfri (ved termin på fastforrentede) obligationsgælden til markedskurs, ved at opkøbe obligationen i markedet. Teoretisk vil den rationelle låntager på fastforrentede konverterbare realkreditobligationer, derfor købe den nominelle restgæld tilbage til MAX (Markedskurs, 100). Indlåsningseffekten gælder derfor under kurs 100 på konverterbare realkreditobligationer, mens den gælder til markedskurs på inkonverterbare realkreditobligationer, hvor indfrielsen af kontantlånet pr. definition skal ske til markedspris, uagtet prisen. Indlåsningseffekten fik for alvor opmærksomhed under den store finansielle innovationsbølge i , hvor de danske realkreditinstitutter, lancerede mange nye produkter, der sigtede mod at beskytte låntager mod rentestigninger. Vi var på det tidspunkt under FED's kommunikative statement om "Low interest rates for a considerable period". Det er standard i dagens de-facto 0% rentemiljø, men dengang var det usædvanligt og det trak renterne, og rentekurvehældningen langt ned. De såkaldte FlexGarantiobligationer (Floating-to-Fixed, FF), med "knock in" option, var obligationer med en variabel rente bundet op på CIBOR, og et renteloft, hvor den variable obligation, hvis den blev "knocked in", blev permanent fastlåst på den givne kupon (FF'er havde konverteringsret på kurs=100). Udstedelsen var stor i nogle serier, men små i andre serier, såsom i BRF og Nordeas serier i 6% - FF'eren. Cashflowprofilen sammen med markedsudviklingen medførte, at kursen driftede langt over kurs 100, uden "knock-in". Da låntagere ville indfri gælden, kunne det således ikke ske til kurs 100, da konverteringsretten først ville træde i kraft ved "knock in". Likviditeten i serierne var lille, forstået som en kombination af lav udstedelsesmængde og høj koncentration af investorer, og derfor blev kursen skubbet langt over et "fair" teoretisk niveau, hvor låntagere kun kunne indfri ved at betale teoretisk unfair pris. Der var tale om 4-6 kurspoint's misprisfastsættelse og dermed DKK 40,000-60,000 pr. lånt million. Dette var også tilfældet på mange af de såkaldte Cap-Floatere, hvor låntagers variable CIBOR + spænd betaling blev cappet på forskellige niveauer, men hvor den variable betaling igen trådte i kraft ved rentefald, altså en midlertidig fastlåsning. Mange af CF'erne havde/har konverteringsret på kurs

23 Prisdannelsen, som følge af indlåsningseffekter, vurderer vi er en klassik Alpha kilde, forstået som en ukorreleret faktor, som følge af markedsinefficiens. 23

24 Analysens statistiske udgangspunkt - nulhypotesen De statistiske tests af fondenes afkast mod benchmark, opfylder ikke betingelserne for at kunne udføre dem fair. 30 Kravet er nemlig, at under antagelse af ingen gennemsnitlig Alpha, der skal afkastet på den aktivt forvaltede fond, give afkastet på den passive fond, før omkostninger. 31 Det forventede moment, for gennemsnitsafkast, skal derfor være ens imellem porteføljen og benchmark. Dette gælder ikke for tracking error'en som qua den aktive dynamik er positiv. Under nulhypotesen (H0) postulerer vi: Danske obligationsfonde har ikke, statistisk signifikant (p-værdi <5%) kunnet skabe højere gross-fee performance, end en beta-rekalibreret stokastisk model, som inkluderer det gennemsnitlige realkreditoverlay. 32 Altså, eliten blandt de danske obligationsfonde, kan ikke statistisk outperforme, en model der tager højde for mismatchet i betarisiko og afkastkrav. Benævnes Alpha, som α t, kan nulhyposen skrives som en 1-sidet hypotesetest, hvor; H 0 : α t 0 H a : α t > 0 Da betaelementet er filtreret ud, er det den rene Alpha vi tester for. Hvis vi antager at alle afkast-, performance- og omkostningstal er geometrisk beregnet til tiden, t, så findes α t som; α t = 1 + Performance Fonde,t 1 + ÅOP t 1 + Performance Model,t 1 eller i logaritmer; α t = e γ t +θ t β t 1, hvor 30 Dette gælder heller ikke i Morningstar Vi korrigerer senere i ÅOP'en, alternativomkostningen i den passive forvaltning, for at teste Alpha mod et omkostningsretvisende indeks. 24

25 γ t = ln 1 + Performance Fonde,t θ t = ln 1 + ÅOP t β t = ln 1 + Performance Model,t Vi kan også skrive performance, indekseret dekomponeret, i Alpha og Beta således; e γ t = e α t +β t θ t = e alpha t +beta t ÅOP t På afkastform kan vi skrive Alpha som; α t = 1 + Afkast Fonde,t 1 + ÅOP t 1 + Bencmark Fonde,t 1 + Performance Model,t 1, eller i logaritmer; α t = e v t +θ t β t μ t 1, vor, v t = ln 1 + Afkast Fonde,t θ t = ln 1 + ÅOP t β t = ln 1 + Performance Model,t μ t = ln 1 + Bencmark Fonde,t Dekomponeret i Alpha og Beta bliver det; e v t = e α t+β t +μ t θ t = e alp a t +beta t ÅOP t 25

26 Analysens "ex-ante" fair" afkastkrav til benchmark Et fair afkastkrav på fondenes egne benchmark, bliver således ex-post og ex-ante korrigeret opad med 1 + Performance Model,t. hvor α t eksklusiv omkostninger (net-fee), er hvor ÅOP t =0. Da ÅOP'en ikke tager højde for investors alternativomkostninger, skal disse alternativomkostninger, trækkes ud. Med andre ord, en statistisk insignifikant Alpha, behøver ikke nødvendigvis, set med investorøjne, at være insignikant, da der også er omkostninger ved at anvende alternativ passiv investering i indeksfonde, eller for den sags skyld, i en replikeret outright portefølje, uden om fondsuniverset. Indeksfondes omkostninger på obligationer idag, er væsentligt lavere end ÅOP'en, måske 25bp. til 60bp. afhængig af aktivfond og indeksfond. 33 Vi sætter en 10 årig historisk indeksomkostning til 0,15% p.a. 34. I nedenstående illustration viser vi, hvordan det forventede eller realiserede afkast på porteføljen kan måles under to forskellige H0'er, hvor forskellen er korrektionen for betarisikoen. Vi antager linær sammenhæng mellem aritmetisk afkast og standardafvigelse, som antaget i Moderne Porteføljeteori (MPT). Altså, CML linjen, eller simpelthen Sharpe Ratioen Senere analyse må vurdere specielt for det danske marked, hvad der har været af indeksmuligheder på fondsniveau de sidste mange år. Analysen må også vise beta'en mellem eg. tyske og danske risikoækvivalente fonde. Ligeledes, må der tages højde for skattemæssige hensyn i eg. tyske ETF'er. 26

27 -15% Norm tæthed -15% -13% -12% -10% -8% -7% -5% -4% -2% 0% 1% 3% 4% 6% 8% 9% 11% 12% 14% 16% 17% 19% 20% 22% -15% -13% -11% -9% -7% -5% -3% -1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15% 17% 19% 21% Norm tæthed Kumulativ Norm tæthed En Statistisk Analyse Af Aktive Danske Obligationsfonde 2015 Tabel 13: Simulering af to benchmarks med lineært skalerbare momenter Simulering under 2 H0'er Forskellig forventet afkast (a) og standardafvigelse (b) 1,2 1 Kumulativ sandsynlighed under H0 Antaget MPT efficient rand ,8 0,6 0,4 0,2 0 H0 : a=0,02, b=0,03 Afkast (log) H0:a=0,04, b=0,06 H0 : a=0,02, b=0,03 Afkast (log) H0:a=0,04, b=0,06 Det der er interessant er, at sandsynligheden for at skabe merafkast mod benchmark er den samme, under de to afkastmål, og dermed risikomål. Det er ikke overraskende, da det ellers ville betyde, at der kunne skabes højere ex-ante risikojusteret afkast mod benchmark, ved at øge risikoen. Eller vice versa. Så umiddelbart under Sharpe målet, er ex-ante eller ex-post korrektionen fair, da den er linæer i afkastkravet til tidspunkt t=t0. Det ligger i den Moderne Portefølje Teori's DNA, at kun korrelationen kan ændre det risikojusterede resultat. For fondene, eller forvalterne, er dog alligevel to centrale svagheder i risikomålet. Den ene er, at måles forvalteren på den absolutte afkastperformance mod benchmark, har han carry'en med sig. Carry forstået som beta-carry, altså markedsrisiko-genereret carry. Grafen nedenfor illustrerer, at uden betakorrektionen, testes der for beta, mens der testet for alpha, når afkastkravet er implementeret. Tracking erroren er ex-post den samme. Tabel 14: Ex-post simulering af to benchmarks med forskellig drift og samme volatilitet Simulering under 2 H0'er Forskellig forventet afkast (a) Rejection - Beta (5%) Rejection - Alpha (5%) H0 : a=0,04, b=0,03 H0:a=0, b=0,03 35 Første og andet moment, gennemsnit og standardafvigelse. 27