Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve"

Transkript

1 Højere Teksk Eksme ugust 009 HTX09-MAA Mtemtk A Forberedelsesmterle tl 5 tmers skrftlg prøve Udervsgsmsteret Fr osdg de 6. ugust tl torsdg de 7. ugust 009

2

3 Sde f 6 sder Forberedelsesmterle tl 5-tmers skrftlg prøve Der er fst 0 tmer på dge tl rbejdet med forberedelsesmterlet tl de 5-tmers skrftlge prøve. Nogle f spørgsmålee ved 5-tmers prøve tger udggspukt det mterle, der fdes dette oplæg. De øvrge spørgsmål omhdler emer fr udervsge. Oplægget deholder teor, eksempler og opgver tlkytg tl et eme fr udervsge. Resulttere f rbejdet med dette forberedelsesmterle bør medtges tl de skrftlge prøve. Alle hjælpemdler er tlldt, og det er tlldt t modtge vejledg.

4 Sde f 6 sder Itegrtosprcpper. Idledg Udformg f de kostruktoer, der dgår vores omgvelser, hr e stor dflydelse på vores hverdg. I e del f de tekske beregger, der lgger tl grud for udformge f dsse kostruktoer, dgår ofte tegrlregg. I dette forberedelsesmterle skl v beskæftge os med eksempler på, hvord m ved hjælp f tegrlregg k bestemme reler, tygdepukter og overfldereler f omdrejgslegemer.. Arel I dette fst ser v på flder fgræset f grfer for fuktoer. E forudsætg er, t fuktoere er kotuerte. Itegrlregge er udspruget f teresse for t kue berege reler f vlkårlge flder. Arelberegg er e del f kerestoffet mtemtk på ht, me for fuldstædghedes skyld geemgås prcppet bg bereggere kort her. V vl bestemme relet f området mellem grfere for to fuktoer. Fgur vser grfere for de b ; og f( ) > g ( ). to fuktoer f og g, hvor [ ] Fgur

5 Sde 3 f 6 sder Fgur vser et gråtoet område, der er fgræset f grfere for fuktoere f og g, smt ljere = og = b. Fgur Fgur 3 V strter med t bestemme e tlærmelse tl det øskede rel. V ddeler tervllet [ b ; ] lge store stykker således t = b. ( ( ) ( )) og højde f ( ) g( ) I hvert deltervl [ ] ; vælges et tl og v bereger A = f g. Et eksempel er vst på fgur 3, og m ser t A er relet f rektglet med bredde lle rektgleres reler smme, ( ( ) ( )) A = f g = =. E tlærmelse tl det øskede rel fås ved t lægge Dee sum kldes e mddelsum for fuktoe f g b ;. Jo flere deltervller der beyttes, desto bedre tlærmer mddelsumme det øskede rel. V ved fr tegrlregge, t mddelsumme hr e græseværd, år går mod ul eller går mod uedelg, og dee græseværd er det bestemte tegrl. V hr hermed på tervllet [ ] Sætg Arelet der er fgræset f grfere for fuktoere f og g, hvor f ( ) g( ) [ b ; ] smt ljere = og = bk bestemmes ved 0 = b ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) A= lm f g = f g d > for ()

6 Sde 4 f 6 sder Eksempel Fgure vser grfere for to fuktoer f og g. Fuktoere f og g hr regeforskrftere f g [ ] ( ) = + + og ( ) = +, 0;3 Arelet A mellem grfere for de to fuktoer er hehold tl () ( ( ) ( )) 3. Tygdepukt 3 0 A = f g d = 9 Skær e crkel ud f et krftgt stykke pp. Læg crkelskve på e rud blyt på et bord. Hvs m bre lægger skve på e tlfældg måde ove på blyte, vl de lmdelghed vppe tl de ee sde. Hvs m dermod plcerer skve præcs således, t blyte følger e dmeter for crkle, og derfor lgger lge uder crkles cetrum, vl skve være blce. E lje geem et plt legeme med dee egeskb kldes e tygdepuktskse. Crkelskve hr uedelg mge tygdepuktskser emlg lle dmetre og de skærer hde ét pukt, emlg crkles cetrum. Dette pukt kldes crkles tygdepukt. Tygdepuktet hr også e særlg betydg for crkelskves blce. Rejser v blyte op og forsøger t blcere crkelskve på blytes spds, vl det ku kue lde sg gøre, hvs spdse er lge uder crkles tygdepukt. M k getge ekspermetet med ppskver f dre former. Uset forme vl det gælde, t skve hr uedelg mge tygdepuktskser, hvor de lge kkurt k holde blce over de rude blyt, der lgger på bordet. Og lle tygdepuktskser vl gå geem ét pukt, skves tygdepukt. I dette fst vl v udlede formler tl t bestemme tygdepukter. Det grudlæggede fysske prcp v skl beytte, er vægtstgsregle: Hvs to puktformede msser m og m brges på e vppe fstdee d og d fr omdrejgspuktet, vl vppe være blce etop hvs m = () d md Fgur 4

7 Sde 5 f 6 sder Idlægges e -kse lgs vppe som vst fgur 4, og beteges tygdepuktets posto med T, gælder der d = T, d = T (3) Idsættes dette (), k tygdepuktets posto bestemmes. M fder m + m T = (4) m + m Opgve Geemfør detljer lle udregger, der leder fr () tl (4). Vægtstgsprcppet k geerlseres tl et system f flere puktmsser, der er brgt ple. På fgur 5 er vst et eksempel med tre msser. Hvs m tæker sg, t mssere er forbudet med meget lette stve stæger, k m opftte dette som e pl fgur, der hr et tygdepukt. I dledge tl dette fst så v, t tygdepuktet er skærge f fgures tygdepuktskser. V hr derfor blot brug for tygdepuktskser for t bestemme tygdepuktet, og vælger t fde ksere, der er prllelle med hhv. - og y-kse. Fr fysske prcpper, der er de smme som lgger bg de smple vægtstgsregel (), k m vse, t lje med lgge = T er e tygdepuktskse, hvs m + m T = m + m + m3 Dee lje er prllel med y-kse. Tlsvrede vl e lje prllel med -kse med lgg y = y T være e tygdepuktskse, hvs y T = m + m + + m 3 3 m y + m y + m3 y3 m 3 De to tygdepuktskser skærer hde (, y T T ), som derfor er mssesystemets smlede tygdepukt. Fgur 5

8 Sde 6 f 6 sder Opgve ) Bestem tygdepuktet for systemet f tre msser m = 00, m = 00, m 3 = 500 som er brgt puktere (,y ) = (,0), (,y ) = (0,3), ( 3,y 3 ) = (,). Målee er cm, og mssere måles g. b) Idteg puktmssere og tygdepuktet et koordtsystem, og overvej om dt resultt er rmelgt. c) Hvor lgger tygdepuktet, hvs mssere er gvet kg stedet for g ltså 000 gge større? For et system med puktmsser m, m,, m, der er plceret puktere, y ),(, y ),, (, y ), er tygdepuktets koordter helt geerelt bestemt som: ( Sætg Tygdepuktet ( T, y T) f et system f msser T = = m plceret pukter (, y ) m my = = = (5) og yt = (6) m m er V vl u beytte tkegge fr sætge ovefor tl t bestemme tygdepuktet for e geerel flde. V opdeler derfor flde elemeter. V k stedet for hele flde betrgte det system f puktmsser, der fås ved t brge msse f hvert elemet et vlkårlgt dre pukt (, y) f elemetet. Hvs flde er fremstllet f et mterle med mssetæthed (SI-ehed: kg/m ), vl det te elemet hve msse m = ρ A, hvor A er elemetets rel. Stutoe er vst på fgur 6. V beteger tygdepuktet for systemet f puktmsser med ( ~, ~ T yt ). Sætter v d lgg (5) fder v m ρ A ρ A A S y = = = = = A m ρ A ρ A A = = = = T = = = = Fgur 6

9 Sde 7 f 6 sder Her hr v dført relmometet om y-kse for puktmssere S = A y = og v beteger fldes smlede rel med A. Hvs flde blver ddelt flere og flere elemeter, som blver mdre og mdre, k v håbe på, t S ~ y kovergerer mod e bestemt værd, som v klder fldes relmomet om y-kse, S y. For flde k v så fde tygdepuktets -koordt som S = y T A (7) Efter smme procedure k v fde y-koordte tl fldes tygdepukt. V fder først relmometet om -kse for puktmssere S = A y = og fder græseværde f dee, år størrelse f elemetere går mod ul. Beteges dee græseværd S, er y-koordte tl fldes tygdepukt gvet ved S y = T A (8) Fgur 7 Det k lyde meget dvklet med dsse græseværder. Ide v gver os kst med t rege på dem, vl v beytte formlere (7) og (8) tl t fde relmometere for e meget smpel flde, emlg et rektgel. På grud f rektglets symmetr er det klrt, t sderes mdtormler er tygdepuktskser, og tygdepuktet er derfor deres skærgspukt. Se fgur 7. Når tygdepuktet er kedt, k v fde relmometere som S = A og S = A y (9) y T T M k vse, t hvs e flde F opdeles to dele T og G, der kke overlpper, k det smlede relmomet for F fdes som summe f de to deles relmometer, dette kldes ddtosprcppet. Skrevet symboler: S ( F) = S ( T ) S ( G) y y + y

10 Sde 8 f 6 sder og tlsvrede for S S ( F) = S ( T) + S ( G ) Opgve 3 Vs, t ddtosprcppet gælder for systemer f puktmsser. Nu er v klr tl t fde tygdepuktet for e flde, der er fgræset f grfere for to kotuerte fuktoer f og g, hvor f( ) > g ( ) og ljere = og = b. Se fgur 8. V opdeler tervllet [ b ; ] lge lge b deltervller f lægde =. Mdtpuktet det te deltervl beteges. V tlærmer flde med rektgler, hvor et eksempel er vst på fgur 8. Det te rektgel hr bredde og højde f ( ) g( ). Dets rel er Fgur 8 A = ( f ( ) g( )) og tygdepuktet er rektglets mdtpukt med koordter f( ) + g( ) T, = og y T, = Ifølge (9) er de to relmometer f rektglet Sy, = A T, = ( f ( ) g( )) S = A y = ( f ( ) g( )), T, f( ) + g( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( = f g f + g )) = ( f ( ) g( ) ) Nu beytter v ddtosprcppet tl t fde de smlede relmometer for lle rektgler, der tlsmme tlærmer flde.

11 Sde 9 f 6 sder, ( ( ) ( y )) = = S = f g (0) S = f g, ( ( ) ( ) ) = = () Summe (0) er e mddelsum for fuktoe ( ( ) ( )) f g. Når 0 ærmer rektglere sg de rgtge flde, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Tlsvrede for (). Herf fås () og (3): Beteges fldes rel A fås edelg tygdepuktets koordter b S y = ( f ( ) g( )) d () S = ( ( ) ( ) ) b f g d (3) Sætg 3 y T T b S ( f ( ) g( )) d y = = b A ( f ( ) g( )) d b ( ( ) ( ) ) b S f g d = = A ( f ( ) g ( )) d (4) (5) Eksempel V ser ge på flde fr eksempel og vl u bestemme tygdepuktets koordter. V hr fr eksempel t A = 9 f ( ) = og ( ), 0;3 + + g = + Først bestemmes relmometet om hhv. y- og -kse b S = f ( ) g( ) d = 5,75 y ( ) ( ( ) ( ) ) S = = 9 b f g d Herefter k tygdepuktets koordter bestemmes S y T = =, 75 A S yt = = A, y er vst på fgure. Plcerge f ( ) T T

12 Sde 0 f 6 sder Opgve 4 Fgure vser e del f de prbel, der hr rødder 0 og og toppukt (, y) postve tl. hvor og y er ) Vs, t lgge for prble er 4y y = + 4 De vste del f prble og -kse fgræser et område. b) Bestem koordtere tl tygdepuktet for området, udtrykt ved og y. y Opgve 5 På fgure er vst dele f grfere for fuktoere f ( ) = + 4 og 4 3 g ( ) = +. 4 Grfere og -kse fgræser et område, som er vst gråtoet. ) Bereg T, -koordte tl områdets tygdepukt. E plde udformes som det gråtoede område, og opstlles svrede tl t -kse er vdret og y- kse er lodret, det vl sge t plde opstlles lodret. Hvs tygdepuktet lgger udefor pldes uderstøtg vælter de. b) Vælter plde? Nu vælges e de udformg f plde, hvor fuktoe g ædres tl g ( ) = + 3. c) Vælter de ye plde?

13 Sde f 6 sder 4. Overflderel f omdrejgslegemer E overflde f et omdrejgslegeme er e overflde, der fremkommer ved drejg f e grf for e fukto eller e kurve om e kse. V vl udelukkede se på de tlfælde, hvor koordtksere er omdrejgsksere. Omdrejg om -kse Fgur 9 vser et omdrejgslegeme, der er fremkommet 0 ved, t grfe for fuktoe for f drejes 360 om -kse. V forudsætter t grfe for f er glt, det vl sge t ( ) f er kotuert. f er dfferetbel og ( ) Desude forudsættes t f er kke-egtv for [ b] ;. V strter med t bestemme e tlærmelse for det øskede rel A. Her opftter v hele omdrejgslegemet som et tl keglestubbe, der hver hr højde. V b ; op udertervller, hver deler derfor tervllet [ ] b med e lægde på, hvor =. Derefter vl v ud fr dee tlærmelse bestemme relet f hele overflde. Fgur 9 Fgur 0 vser et f dsse udertervller smt ljestykket P P. Det k ved hjælp f mddelværdsætge vses (se Apped A), t der det te udertervl ] ; [ fdes e værd så lægde L f ljestykket P P k bestemmes som L = P P = + f (6) hvor =. ( ) Fgur 0 Lægde f ljestykket, vst på fgure, k ltså bestemmes ved hjælp f dfferetlkvotete for fuktoe f. 0 Keglestubbe, der fremkommer ved t ljestykket P P drejes 360 om -kse, er vst på fgur. Fr udervsge ved v, t overflderelet for e keglestub er A= π rl, hvor L er de skrå R+ r sdehøjde og mddelrdus rm =. Her er R og r hhv. de store og de llle rdus keglestubbe. På fgur hr keglestubbe e skrå sdehøjde på L og mddelrdus er r = ( f ( ) + f ( ) ) m

14 Sde f 6 sder Overflderelet f de på fgur vste keglestub er A = πrl = π ( f ( ) + f ( ) ) L Fr (6) hvde v, t ( ) L = P P = + f hvor ;. Dette dsættes, og v får følgede udtryk for relet er e værd det te udertervl ] [ ( ( ) ( )) ( ) A = π f + f + f Fgur Når Derved fås blver meget llle, vl det gælde t f ( ) f ( ) og f ( ) f ( ), d f er kotuert. og e tlærmelse tl det smlede overflderel fås ved t lægge lle delrelere smme ( ) ( ) A π f + f ( ) ( ) A π f + f = = Summe ovefor er e mddelsum for fuktoe ( ) ( ) π f + f. Når 0 ærmer mddelsumme sg det øskede overflderel, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Der gælder derfor Sætg 4 V k bestemme relet f overflde, der fremkommer år grfe for de kke-egtve 0 fukto y= f ( ), b drejes 360 om -kse, som ( ) ( ) b A = π f + f d (7)

15 Sde 3 f 6 sder Eksempel 3 Fgure vser grfe for e fukto f, med regeforskrfte Overflde f omdrejgsfgure er vst edefor. Overflderelet bestemmes fr udtrykket M fder ( ) b A = π f ( ) + f d Arelet f omdrejgslegemet blver d Opgve 6 f( ) = + +, 0;3 f ( ) = + 3 ( ) ( ) A = π f + f d = 60,83 0 Blledet vser e skål. Fgure vser et st mdt geem skåle. Alle mål er cetmeter. Ved t dreje grfe for f om -kse fremkommer t omdrejgslegeme. Bemærk t fgure er drejet 90 0 forhold tl blledet Bestem overflderelet f omdrejgslegemet. Fuktoe f hr regeforskrfte f ( ) = + 5, [ 0;5] Opgve 7 Vs formel (6) ved hjælp f mddelværdsætge Apped A.

16 Sde 4 f 6 sder Omdrejg om y-kse Fgur vser et omdrejgslegeme, der er 0 fremkommet ved, t grfe for f drejes 360 om y-kse. For t bestemme overflderelet f dette lege- b ; som før uder- me ddeles tervllet [ ] tervller, hver med e lægde på. Overflderelet f keglestubbe k bestemmes som ved drejg om -kse. Se fgur, der vser omdrejgslegemet og fgur 3, som vser et tlærmet delelemet med form som e keglestub. Som ved drejg om -kse tlærmer v grfe for f med et ljestykke, der hr lægde L bestemt på smme måde som tdlgere. Fgur V strter med t bestemme e tlærmelse for det øskede rel A. Mddelrdus keglestubbe er r = ( + ) Overflderelet f de vste keglestub er A = πrl = π ( + ) L Fr (6) hvde v, t ( ) L = P P = + f Fgur 3 hvor Når v gør er e -værd det te udertervl ] [ ;. meget llle, vl og, d f er kotuert. Derved fås ( ) ( ) A = πrl = π + L π + f V k u tlærme det smlede rel f omdrejgslegemet ved ( ) π = = A + f

17 Sde 5 f 6 sder Summe ovefor er e mddelsum for fuktoe ( ) π + f. Når 0, ærmer mddelsumme sg det øskede overflderel, og mddelsumme hr e græseværd, som er det bestemte tegrl. Der gælder derfor Sætg 5 V k bestemme relet f overflde, der fremkommer år grfe for de gltte kkeegtve fukto y= f ( ), b drejes 360 om y-kse, 0 ved ( ) b A = π + f d (8) Eksempel 4 V ser på de smme fukto som eksempel 3. = + + f( ), 0;3 V vl u bestemme overflde f omdrejgslegemet fremkommet ved e drejg om y-kse. Formle for overflderelet er Det øskede rel er d ( ) b A = π + f d 3 ( ) A = π + f d = 34,0 0

18 Sde 6 f 6 sder Apped A Mddelværdsætge Sætg Ld der være gvet e fukto f, som er kotuert [ b ; ] og dfferetbel ] b [ Der fdes d mdst et pukt c, c ] b ; [ således t ;. ( c) f = ( ) f ( ) f b b Fgur 4 vser de geometrske betydg f mddelværdsætge, emlg t der ltd fdes e værd mellem og b. hvor hældge f grfes tget er lg med hældge tl det rette ljestykke, der forbder puktere A og B på grfe for fuktoe. I forberedelsesmterlet beytter v mddelværdsætge med A= P og B = P smt med =, og b= c = Fgur 4

19

20 Opgve er produceret med vedelse f kvltetsstyrgssystemet ISO 900 og mljøledelsessystemet ISO 400

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval.

Fordelingen af gentagne observationer (målinger) kan beskrives ved hjælp af et histogram, der viser antallet af målinger i et givet interval. H:\excerc\geodstat.doc, sdste ædrg: ov. 5, 3.. 3. Geodætsk statstk og mdste kvadraters metode. 3.. Statstske grudbegreber. 3.. Fordelger. Fordelge af getage observatoer (målger ka beskrves ved hælp af

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dks Tekske Uvestet Sde f Skftlg pøve, e dg de??. decebe,, kl. 9:-3: Kusus v: ysk Kusus. Tlle hjælpedle: Ige hjælpedle. "Vægtg": esvelse bedøes so e helhed. Alle sv skl begudes ed de det e gvet. Sættet

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2005 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 005 Emet for dee forelæsg er de multple regressosmodel (Wooldrdge kap 3.-3.3+appedx E.-E.) Defto og motvato Fortolkg af parametree de multple

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

2. Sandsynlighedsregning

2. Sandsynlighedsregning 2. Sandsynlghedsregnng 2.1. Krav tl sandsynlgheder (Sandsynlghedens aksomer) Hvs A og B er hændelser, er en sandsynlghed, hvs: 1. 0 ( A) 1 n 2. ( A ) 1 1 3. ( A B) ( A) + ( B), hvs A og B ngen udfald har

Læs mere

Elektromagnetisk induktion

Elektromagnetisk induktion Elektromagnetsme 11 Sde 1 af 9 Elektromotorsk kraft: Elektromagnetsk ndukton Den elektromotorske kraft en lukket kreds er defneret som det elektromagnetske arbede pr. ladnng på en prøveladnng q, der føres

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmks ekske Uvestet Sde f sde Skftlg pøve, osdg de 5. mj, Kusus v ysk Kusus. Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": Besvelse edømmes som e helhed. Alle sv skl egudes med mde det e gvet. Alle

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks

1 Indeksberegninger. 1.1 Indeksberegningers formål og brug. 1.2 Typer af indeks 7 Ideksberegger. Ideksbereggers formål og brug Damarks Sasks deks bruges l a gve e ekel og brugbar mål for udvklge værder, rser eller mægder over d. Hvs ma har e alrække over aal fødsler sde 9 ka ma dae

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Bent Willum Hansen APPENDIKS. Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser

Bent Willum Hansen APPENDIKS. Introduktion til teoretisk statistik og nogle af dens anvendelser Bet Wllum Hase APPENDIKS Itrodukto tl teoretsk statstk og ogle af des avedelser FORORD Dette appedks er det samme som dgår læreboge Itrodukto tl teoretsk statstk og ogle af des avedelser, dog suppleret

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul Kydspodut En ntoduton 5 Ksten Juul Bugsnvsnng Du sl se de fuldt optune mme fo t fnde defntone og sætnnge De e st punteet mme om esemple og evse Indhold Rmme Sde Defnton f ydspodut Esempel på ug f defntonen

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

TEORETISKE MÅL FOR EMNET:

TEORETISKE MÅL FOR EMNET: TEORETISKE MÅL FOR EMNET: Kende begreberne ampltude, frekvens og bølgelængde samt vde, hvad begreberne betyder Kende (og kende forskel på) tværbølger og længdebølger Kende lysets fart Kende lysets bølgeegenskaber

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvattatve metoder Iferes de leære regressosmodel 9. marts 007 Opsamlg vedr. feres e leær regressosmodel uder Gauss-Markov atagelser (W.4-5) Eksempel med flere restrktoer (F-test) Lagrage

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde

Fra små sjove opgaver til åbne opgaver med stor dybde Fra små sjove opgaver tl åbne opgaver med stor dybde Vladmr Georgev 1 Introdukton Den største overraskelse for gruppen af opgavestllere ved "Galle" holdkonkurrenen 009 var en problemstllng, der tl at begynde

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere