Differentiation af potensfunktioner

Transkript

1 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte biomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet oefficietere, år m r gget pretesere ud, etop stmmer fr de tilsvrede ræe i Pscls tret: ( b) ( ) b b ( b) b b ( b) 3 b 3b b ( b) 4 b6 b 4b b Begrudelse er meget simpel: Når m udreger ( b), vor espoete er et turligt tl, dvs.,, 3, 4,, sl m gge preteser ud: ( b) ( b) ( b) ( b)... ( b) Det gøres ved på lle mulige måder t vælge et led fr ver f pretesere, dvs. ete et eller et b, og gge dem smme. Vælger vi f ver gg fås bidrget, vælges et b de første gg og derefter et de øvrige gge fås bidrget b osv. D vi ver gg r etop vlg fås i lt bidrg, der til sidst smles som vist i semet ovefor. Du læse mere om Pscls tret i C-boge side 4, pitel 7 fsit : Regig med tl og preteser, smt B-boge side 5, pitel 3, fsit 4.3: Polyomiere i Pscls tret, side 348, pitel 8, fsit.: Pscls tret smt side 39, pitel 9, fsit.4: Tællemetoder og biomiloefficieter. Her oterer vi os blot t bidrget u fremommer é gg. Bidrget b ( ) leddet b vælges fr forsellige preteser. Bidrget b fremommer gge fordi det første b vælges på måder, det det b på måder og d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle 3 3 ( ) ( ) prree med gge, vorfor vi dividerer med. Bidrget b fremommer gge 3 fordi det første b vælges på måder, det det b på måder og det tredje b på - måder, me d ræefølge er ligegyldig r vi tlt lle triplere med 3 gge, vorfor vi dividerer med 3. Der gælder ltså biomilformle: ( ) ( ) ( ) 3 3 ( b) b b b... b 3 Øvelse : ) Udpeg de tilsvrede oefficieter i Pscls tret. fremommer gge fordi L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected]

2 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76. Differetitio f potesfutioe, vor er et turligt tl. gge Når vi sl differetiere potesfutioe p( )... sl vi som sædvligt vede tretrisregle, som vi veder i de.versio. Vi strter ltså med t opsrive setældige. tri: p( ) p( ) ( ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede biomilformle:. tri: p( ) p( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p( ) p( ) ( ) ( ) ( ) Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Der gælder derfor: p( ) p( ) år Kolusio: Altså er potesfutioe p( )... differetibel i og der gælder gge p'( ). Dermed r vi som lovet givet et bevis for sætig 4 i det tilfælde vor espoete er et turligt tl. L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected]

3 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side Differetitio f potesfutioe, vor er et vilårligt tl. Vi vil ie føre et geerelt bevis for sætig 4 er i B-boge, me vi vil sdsyliggøre t sætig 4 også gælder for espoeter, der ie er turlige tl. Først bemærer vi t grfe for potesfutioe er sruet smme på e speciel måde som vi besrev i C-boge sætig 4, pitel 5, fsit 4. om slerig (side 94): Sætig 4: Slerig f potesfutioer Ld y = b være e potesfutio. Så gælder følgede: Hvis de ufægige vribel sleres op med ftore, så bliver de fægige vribel y sleret op med ftore. Hvis de ufægige vribel r værdie og sleres op med tllet får de værdie. De fægige vribel y vil d sleres y op med ftore. Dermed vil de lole ældig sleres op med ftore, idet de lodrette tilvæst y bliver gge så stor, mes de vdrette tilvæst bliver gge så stor. De lole ældig i er derfor gge så stor som de lole ældig i. Der gælder derfor de følgede simple smmeæg mellem tgetældigere p '() og p'( ) : Sætig: Hvis potesfutioe p( ) er differetibel i = vil de også være differetibel i og der gælder: p'( ) p'() Vi mgler ltså u t vise t potesfutioe er differetibel i = og t de lole ældig i etop er. Slerigsrgumeter er så cetrle for potesfutioer t vi lige getger det med brug f tretrisregle og udyttelse f potesregereglere: Når vi sl differetiere potesfutioe p( ) strter vi med t opsrive setældige L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected] 3

4 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76. tri: p( ) p( ) ( ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede potesregereglere. VI stiler u mod t omsrive setældige i så de yttes til setældige i :. tri: p( ) p( ) ( ), med gget med se-. Det er etop som forudsgt f slerigsrgumetet. Me det viser etop t setældige i med tilvæste er de smme som tældige i med tilvæste, vor Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge. Me d tilvæstere og er proportiole er det etop det smme som t lde gå mod : 3. tri: p( ) p( ) ( ) De første ftor fæger ie f, dvs. de er ostt uder græseovergge, mes de de ftor etop er setældige i, som forudst potesfutioe er differetibel i, etop går mod tgetældige. Der gælder derfor: p( ) p( ) p'() år Kolusio: Altså er potesfutioe p( ) differetibel i og der gælder p'( ) p'(). L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected] 4

5 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side Newtos rgumet - de uedelige biomilræe Vi mgler så t rgumetere for t potesfutioe ret ftis er differetibel i med differetilvotiete. Det første stære rgumet for dee påstd stmmer fr Newto og selv om det ie er striget o til t fugere som et bevis i modere forstd er det et uyre cetrlt rgumet. Newtos udggsput vr biomilformle ( ) ( ) ( ) ( b) b b b... b Newto gættede på t formle i vireligede gjldt for lle espoeter med de vigtige forsel t der i så fld bliver tle om e uedelig ræe idet oefficietere ( ) ( ) ( ),,,... 3 Nu ie lægere utomtis bliver ul, år vi fortsætter læge o, d ie lægere beøver være et turligt tl. Newto idførte ltså de uedelige biomilræe: ( ) ( ) ( ) 3 3 ( )... H vidste t formle vr orret år espoete vr et turligt tl og ræe dermed e edelig sum, me vr også i std til t otrollere ræe for specielle værdier såsom = - og = ½, Øvelse : ) Opsriv biomilræe for = - og gør rede for t der etop fremommer e uedelig votietræe på forme b bq bq bq..., vis sum du måse eder f fr C-boge, pi- 3 b q tel, fsit. b) Beyt dette til t rgumetere for t Newtos uedelige biomilræe giver det orrete resultt for = -, år blot ligger mellem - og. Me Newto ue jo ie vide om s formel vr gyldig i lle mulige dre tilfælde. H gjorde d e dyd f ødvedigede og vedte problemstillige om: H brugte i stedet formle for de uedelige biomilræe til t defiere vilårlige poteser. Så læge ligger mellem - og vil de uedelige ræe emlig ue bruges til t udrege potese ( ) med lige så mge decimler m måtte øse det ved blot t tge tilstræeligt mge led med. For dre værdier f må m beytte sedige sleriger til t fide værdie. Det vr Newtos olleg Wllis, der vde idført bruge f de geerelle poteser og det vr Newto, der i prsis viste vord de ue udreges og dermed gv dem substs. Tror vi på Newtos biomilformel vi u vede tretrisregle for t fide ud f om potesfutioe p( ) er differetibel i (Newto selv vedte fluiosmetode i stedet for tretrisregle, me rgumetet er det smme): L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected] 5

6 Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Vi strter ltså med t opsrive setældige. tri: p( ) p() ( ) Dee sl u omsrives pssede, me er vi jo vede biomilræe:. tri: p( ) p() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... 3 Til sidst sl vi lde tilvæste gå mod og rgumetere for vd der ser uder græseovergge: 3. tri: p( ) p() ( ) ( ) ( )... 3 Det første led fæger ie f, dvs. det er ostt uder græseovergge, mes de øvrige led ideolder stigede poteser f, dvs. de går mod. Newto sluttede derfor t lle de uedeligt mge øvrige led forsvdt: p( ) p() år I dg er vi lidt mere forsigtige med de slgs slutiger! E uedelig sum beøver ie gå mod ul bre fordi lle leddee går mod ul. Det er f ere i itegrlregige, vor relet fides som græseværdie for e uedelig sum f små reler, der ver for sig går mod ul. Me der sulle gå et pr årudreder før m for lvor fi styr på såde rgumeter! Kolusio: Altså er potesfutioe p( ) differetibel i og der gælder p'(). Dermed gælder der lt i lt: Potesfutioe p( ) er differetibel i og der gælder p'( ). Dermed r vi også givet et rgumet for sætig 4 i det tilfælde vor espoete er et vilårligt tl. I A- boge veder vi tilbge til sætige og giver et modere simpelt bevis. L&R Uddelse A/S Vogmgergde DK-48 Købev K Tlf: Emil: [email protected] 6