Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning"

Transkript

1 Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde?

2 . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel itegrtio 8 Itegrtio ved sustitutio. Det estemte itegrl 7 Idskudsregle 8 Prtiel itegrtio 9 Itegrtio ved sustitutio. De geometriske etydig f itegrlet - relestemmelse 5.5 Numerisk itegrtio.6 Omdrejigslegemer 5.7 Olieproduktio 9.8 Kiemtik 5.9 Opgver 5 Fcitliste 56 Kpiteloversigt 59 Avedte symoler Sætiger, defiitioer og formler er mærket med FS: LS: sætige fides i formelsmlige lær selv formle uded - de fides (uderligt ok) ikke i formelsmlige, og du får sikkert rug for de til eksme

3 . Stmfuktioer og det uestemte itegrl Ld os se det i øjee med det smme: Itegrlregig går i høj grd ud på t rejde med stmfuktioer... Vi strter derfor med et kort resumé f, hvd e stmfuktio egetlig er for oget: Defiitio E stmfuktio til fuktioe f er e fuktio F som opfylder F ( ) = f ( ). M ruger ormlt ottioe f ( ) for e stmfuktio til f. E fuktio, som hr e stmfuktio, kldes itegrel. Det lidt mystiske symol kldes et itegrlteg. Det hr form som et lgstrkt S, og ive sjæle kue fristes til t tro, t S'et kom fr det første ogstv i ordet stmfuktio. Dette er dog ikke tilfældet; S'et kommer fr det ltiske ord Summ, som etyder sum. Symolet lev idført f Leiiz omkrig 675. Fuktioe f kldes i øvrigt itegrde. Bemærk, t 'et også hører med til itegrlteget. Det viser sig t være et gske yttigt symol og ikke re, som m umiddelrt ville tro, f ormetl krkter. Der er desværre et lille prolem omkrig stmfuktioer. Vi illustrerer det i det følgede eksempel: Eksempel Idet (si ) = cos, hr vi, t cos = si. Me der gælder også, t (si + ) = cos, så vi hr cos = si +. Fktisk vil ehver fuktio f forme si + k, hvor k er et reelt tl, være e stmfuktio til cos. Det ser ud til, t itegrlet ikke er særligt veldefieret. Og det er det såd set heller ikke - m tler om det uestemte itegrl. Følgede sætig viser, t det dog er rimeligt let t få styr på dette uestemte itegrlet.

4 Sætig Ld f være e fuktio, som er defieret på itervllet I, og ld F og F være to stmfuktioer til f på I. Så fides et reelt tl k, således t F ( ) = F ( ) + k for lle I. Bevis: Vi differetierer fuktioe G givet ved G( ) = F ( ) F ( ) G ( ) = F ( ) F ( ) = f ( ) f ( ) = og får G hr ltså differetilkvotiete, og idet G er defieret på et itervl I, så må G være e kostt fuktio, dvs. der fides et reelt tl k, således t G( ) = k. Me dette etyder, t k = G( ) = F ( ) F ( ) F ( ) = F ( ) + k. Sætig etyder, t m ormlt k tillde sig t skrive cos = si + k Det er dog ikke ltid, t m tger k'et med - f.eks. udeldes k'et ormlt i itegrlteller og formelsmliger. I eviset for sætig eyttes det, t fuktioere lle er defieret på et itervl. Sætige gælder ikke, hvis defiitiosmægde ikke er et itervl. Dette skyldes, t sætige G ( ) = G( ) = kostt ikke gælder, år defiitiosmægde for fuktioe G ikke er et itervl. M skl ltså psse meget på, hvis defiitiosmægde ikke er et itervl. Eksempel Vi hr, t = Dette etyder umiddelrt, t = + k

5 Me her skl m psse på, fordi k fktisk ikke er e kostt! Eksempelvis er egge edeståede fuktioer stmfuktioer til fuktioe : F( ) =, >, < og G( ) = +, > +, < Dette skyldes, t itegrdes defiitiosmægde er R \{ }, som ikke er et itervl, og t vi derfor k ædre 'kostte' k på hver f de to smmehægskompoeter i defiitiosmægde ufhægigt f hide. Vi fslutter dette kpitel med t give et pr eksempler på, hvilke slgs opgver, m k live udst for i foridelse med stmfuktioer og det uestemte itegrl: Regede opgver Opgve: Fid de stmfuktio til fuktioe f e (, ) Løsig: F( ) = e = e + k ( ) =, hvis grf går geem puktet hvor vi ltså lot skl fide k. Opgveformulerige fortæller os, t F( ) =, hvilket ved idsættelse giver = F ( ) = e + k = e + k k = e De søgte stmfuktio er derfor F ( ) = e + e Opgve: Løsig: Fid de stmfuktio til fuktioe g( ) =, hvis grf hr liie med ligige y = + som tget. De søgte stmfuktio eteger vi med G. Vi strter med t fide rørigspuktet til tgete. Idet liie hr hældige, og G ( ) = g( ) etop er tgethældige i, ses, t g( ) = = = M skl u psse lidt på, idet defiitiosmægde for g ikke er et itervl. Vi hr jo, t Dm( g ) = ] ; [ ] ; [ - ltså to disjukte itervller, og de stmfuktio, vi skl fide, hr ku meig i ét itervl. Vi

6 idskræker os derfor til det itervl, som ideholder =, dvs. til itervllet ] ; [. Her gælder d G ( ) = z = l + k, > og det er u e sml sg t fide k. G( ) = + =, idet tgetes rørigspukt (, + ) = (, ) gere skulle ligge på grfe for G. Vi får d, t = G( ) = l + k = + k = k og de søgte stmfuktio liver G( ) = l +, > Opgve: Bevis, t l = l + k. Løsig: Dette er emt ok; vi differetierer re højreside og ser, om vi får itegrde på vestreside: d ( l + k) = d ( l ) d ( ) + d ( k) = d ( ) l + d (l ) + = l + + = l Bemærk, t der ltid gælder, t d f ( ) = f ( ) Dette følger jo f defiitioe f stmfuktioe. Hvis m skl evise e itegrlformel, så er det ltså e god idé t differetiere! Et spørgsmål, vi skl vede tilge til seere, er: Hvilke fuktioer er itegrle? Det er lidt svært t give et fyldestgørede svr på dette spørgsmål, me llerede u k vi fsløre, t fuktioer, som er kotiuerte, også er itegrle. Fktisk er stykkevis kotiuerte fuktioer, dvs. fuktioer, der er skrevet som e gffelforskrift, og hvor de ekelte delfuktioer er kotiuerte, også itegrle fuktioer. Opgver 5

7 . I de lå formelsmlig (Mtemtisk formelsmlig, Mtemtisk liie, Højt iveu) fides der på side e hel række formler for forskellige stmfuktioer, f.eks. si = cos + k Bevis (e delmægde f) disse formler.. Bestem de stmfuktio til f ( ) =, hvis grf går geem (,).. Bestem de stmfuktio G til g( ) =, som opfylder t G()=.. Bestem de stmfuktio til h( ) =, som hr liie med ligige y = + som tget..5 Bestem de stmfuktioer til k( ) =, som hr liie med ligige y = + som tget..6 Bestem de stmfuktio L til fuktioe l( ) = Husk t medtge de rigtige defiitiosmægde!, som opfylder t L( ) =..7 Bestem stmfuktioe M til m( ) = opfyldede M ( ) =..8 Bevis, f.eks. ved t differetiere, t fuktioe F estemt ved, < F( ) =, =, > er e stmfuktio til fuktioe f ( ) =. (Du skl ruge tretrisrkette direkte for t kue differetiere F i puktet = ) 6

8 . Regeregler for det uestemte itegrl I dee sektio vil de forskellige regeregler og tekikker idefor itegrlregige live præseteret. Dels er der ogle simple regler, og dels er der de vigtige metoder prtiel itegrtio og itegrtio ved sustitutio. Sætig (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og ld s og t være reelle tl. D gælder følgede regeregler: ) ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g( ) ) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) c) s f ( ) = s f ( ) d) ( s f ( ) + t g( )) = s f ( ) + t g( ) Bevis: Bevisere for lle fire regler er lle f de smme surdej, så vi øjes med t evise regel ). Strtegie er de, t vi differetierer højreside og ser, om vi får itegrde på vestreside: d ( f ( ) g( ) ) + = d d ( f g ( ) ) + ( ( ) ) = f ( ) + g( ) Dette er jo etop itegrde på vestreside, og dette eviser regle. Vi rugte differetitiosregle ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g ( ) og regel ) k d også etrgtes som e omformulerig f dee regel. Eksempler ) ( + 5 ) = + 5 = = 6 k k. Her eyttes de lidt uderlige ottio =. ) ( + + 9) = k = 7

9 k c) ( ) l + + = k = l + + k Itegrtio f produktfuktioer er ikke helt ekel. Det smme gælder ved differetitio, hvor vi husker, t de oget komplicerede regel gælder: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g'( ) Regle, vi fider, kldes prtiel itegrtio eller delvis itegrtio, fordi itegrtioe ikke umiddelrt føres til ede, me ordes i dele. Sætig (Prtiel itegrtio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og tg edvidere, t g er differetiel. D gælder f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Vi differetierer højreside: d ( ) F( ) g( ) F( ) g ( ) = d ( ) ( ) F g d ( ) ( ) F( ) g ( ) = F ( ) g( ) + F( ) g ( ) F( ) g ( ) = F ( ) g( ) = f ( ) g( ) Idet vi opår itegrde på vestreside, er sætige evist. Når m eytter prtiel itegrtio er det e god idé t skrive lle mellemregigere ud; de itre erfrig viser, t fortegsfejl er meget hyppige. Edvidere skl m lve det rigtige vlg f, hvilke f fktorere i itegrde, m vil differetiere. Edelig er det e god idé t gøre prøve - dette sker ved t differetiere fcittet og se, om m får de opridelige itegrd. 8

10 Advrsel E vigtig tig t emærke, er t m ikke re k itegrere produktvist. Formle f ( ) g( ) = f ( ) g( ) gælder ikke! ( - og det er jo derfor, m er ødt til t ruge de øvlede metode kldet prtiel itegrtio... ) Regede opgver Opgve: Bereg itegrlet e. Løsig: Idet itegrde er et produkt, kue m forestille sig, t m skulle ruge prtiel itegrtio. Vi vælger i første forsøg f ( ) = og g( ) = e Vi får d, t F( ) = og g ( ) = e Prtiel itegrtio giver d e = e e hvilket vi ikke lev meget klogere f - itegrde lev fktisk mere kompliceret ed før. Nå, me vi prøver så med f ( ) = e og g( ) = Dette giver F ( ) = e og g ( ) = og vi får e = e e = e e = e e + k Opgve: Bereg itegrlet e. 9

11 Løsig: Belært f vore dyrt lærte erfriger differetierer vi u : e = e e = e ( e e ) + k = e e + e + k hvor vi rugte resulttet fr de sidste opgve. Opgve: Bereg itegrlet e. Løsig: Dee gg differetierer vi fktore : e = e e = e ( e e + e ) + k = e e + 6e 6e + k Morle: Hvis de ee fktor er e potes f (eller et polyomium), så er det dee fktor, der skl differetieres. Dette er dog e sdhed med modifiktioer, som æste eksempel viser: Opgve: Bestem itegrlet l. Løsig: Det viser sig her t være smrt t differetiere fktore l : = l l = l k = l + Vi slutter f med e lidt uderlig vedelse f prtiel itegrtio: Opgve: Bestem itegrlet l. Løsig: Vi opftter itegrde som et produkt f l og de kostte fuktio. Vi differetierer l og itegrerer -tllet: l = l = l = l + k

12 Det er vist på si plds t påpege her, t m ofte fusker lidt med itegrtioskostte k. F.eks. er udregige cos = si + k forkert! De rigtige udregig er fktisk cos = (si + ) = si + k k Me lligevel skriver m oftest k i stedet for k. Dette skyldes, t k jo er e ukedt kostt, og det er derfor ligegyldigt, om de gges med. Oftest estemmes k slet ikke, eller m estemmer k efter itegrtioe ved idsættelse f ogle tlværdier. E de vigtig itegrtiosmetode er itegrtio ved sustitutio, som viser sig t være itegrtiosvrite f regle for differetitio f smmestte fuktioer: ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) Sætig 5 (Itegrtio ved sustitutio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer, og tg edvidere, t g er differetiel. Så f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Beviset er gske simpelt; vi differetierer højreside og skulle gere få itegrde på vestreside: d ( F ( g ( )) + k ) = F ( g ( )) g ( ) + = f ( g ( )) g ( ) I prksis veder m ikke sætig direkte. I stedet (mis-)ruger m dy -ottioe: Lder vi y være y = f ( ) så k vi opftte dy = f ( ) som e kvotiet - hvd det ltså ikke er. Vi k gge igeem med og får dy = f ( )

13 Aveder vi dee regeregel i foridelse med itegrltegets, k itegrtio ved sustitutio foretges æste utomtisk. Eksempel Vi vil erege cos( ) : Vi sætter y lig de idre fuktio: y = Så er dy = y ( ) = og itegrlet k u omskrives Altertivt kue m skrive cos( ) = cos( ) = cos( y) dy = si( y) + k = si( ) + k cos( ) = cos( ) d( ) = si( ) + k hvor m i det det itegrl opftter itegrtiosvrile som. M ruger trditioelt symolet t i stedet for y i de første metode. Regede opgver Opgve: Bestem itegrlet si( + ). Løsig: Vi sætter t = + og får dt = si( + ) = sit dt = ( cos( t)) + k = cos( + ) + k Opgve: Bestem itegrlet ( + ) 6. Løsig: Vi sætter t = + og får dt = ( + ) = t dt = t + k = ( + ) + k 7 7 Opgve: Bestem itegrlet cos si. Løsig: Vi sætter t = si og får dt = cos

14 Opgve: Bereg cos si = dt k k = + = + t t si. + Løsig: Her sættes t = +, og dt =. Det er ormlt e god idé t forhidre smmeldig f de to itegrtiosvrile og t idefor smme itegrd, me her k det ikke umiddelrt udgås: = + t dt Me husker vi på, t t = + = t, får vi t = dt = dt = + t ( ) t t lt + k = + l + + k Vi hr u e hel msse metoder til t fide uestemte itegrler. Hvilke metode skl m vede for et givet itegrl? Følgede tommelfigerregler gælder ) Hvis itegrde ideholder e smmest fuktio, så prøv først med sustitutio. Sæt t lig idmde f de smmestte fuktio. ) Hvis itegrde er e kvotiet, så prøv ige sustitutio. Sæt t lig ævere i kvotiete. ) Hvis itegrde er e rtiol fuktio (dvs. e polyomiumsrøk), så k m ete lve polyomiers divisio for t simplificere itegrde, eller m k i ekelte tilfælde eytte de såkldte stmrøksmetode - se opgve.5 og.6 edefor. ) Hvis itegrde er et produkt, og der ikke er smmestte fuktioer på færde, så k m prøve prtiel itegrtio. Som de fktor, som liver differetieret, er det edst t vælge l eller. Opgver. Bestem følgede itegrler: ) ( 8 6) ) ( + + 5) c) ( 5 ) d) ( ) e) ( + + ) f) ( + )

15 g) (si + cos ) h) ( + t + ) i) ( + cos + ) cos j) ( e + e ) k) (cos + si + ) l) ( ) m) ( + ) e ) ( e + ) o) ( + ) p) ( + ) q) / / ( + ) r) ( + ). Bestem følgede itegrler. Brug prtiel itegrtio. ) si ) cos c) si d) cos z e) l l f) g) (l ) (Vik: Omskriv til l l ). Bestem følgede itegrler. Brug itegrtio ved sustitutio. ) ( ) 6 ) ( + 5) c) ( 8 ) d) + e) si( ) f) e g) h) cos si ( + ) cos i) si e j) k) ( + + )( ) Bestem følgede uestemte itegrler: ) ) e c) d) si( ) + e) + f) ( + ) e g) ( + ) e h) ( )si( )

16 i) si( 8 ) j) ( + t ) cos(t ) k) l( ) l) l( ) m) ) e o) 5 (l ) p) si( ) q) / r) ( ) l s) t) 8 6 e.5 Vi vil i dee og de følgede opgve skitsere ogle metoder til itegrtio f rtiole fuktioer (polyomiumsrøker). ) Vis, ved rug f polyomiers divisio, t + = ) Brug resulttet fr ) til t estemme det uestemte itegrl + + Husk t give defiitiosmægdere! c) Beyt e tilsvrede metode til t estemme itegrlere og + + De her skitserede metode er turligvis ku vedelig, år tællere i de rtiole fuktio hr højere grd ed ævere..6 ) Bevis, t ) Bestem = Omskrivige i ) f de rtiole fuktio kldes e opsplitig i stmrøker. M k vise, t hvis tællerpolyomiet hr lvere grd ed ævere, og hvis det er muligt t fktorisere æverpolyomiet i førstegrdspolyomier, så k m fide e opsplitig i stmrøker. 5

17 c) Bestem tllee og, således t = og estem itegrlet d) Bestem røddere i polyomiet (der er e doeltrod!) Bestem derefter tllee, og c, således t c = ( + ) og estem itegrlet 6

18 . Det estemte itegrl I modsætig til det uestemte itegrl er det estemte itegrl et tl. Defiitioe er som følger: Defiitio 6 (FS) Ld f være e itegrel fuktio i itervllet I, og ld, I. Det estemte itegrl er tllet defieret ved f ( ) = F( ) F( ) hvor F er e vilkårlig stmfuktio til f. Bemærk, t f ( ) ikke fhæger f, hvilke stmfuktio F() m vælger. Ifølge sætig fviger to såde stmfuktioer emlig ku fr hide med e kostt k. Så vælger vi i stedet stmfuktioe F( ) = F( ) + k, fås f ( ) = F ( ) F ( ) = ( F( ) + k) ( F( ) + k) = F( ) F( ) hvilket viser, t k'et k igoreres. Det er også f smme årsg, t f skl være itegrel i et itervl. Veder vi tilge til eksemplet fr sektio, side, så kue m komme til t lve følgede eregiger: = = = = F( ) F( ) ( ) og = = + + = = G( ) G( ) ( ) ( ) Dette viser, t itegrlet ikke er veldefieret, og fktisk er t etrgte som meigsløst. Ige skyldes dette, t itegrde ikke er defieret på hele itervllet [-;]. Eksempel I prksis foregår udregige f estemte itegrler som følger: hvor symolet [ F ] [ ] = = = 9 = 8 ( ) etyder F( ) F( ). Et pr dre estemte itegrler er 7

19 [ ] 5 5 = l = l l = l = l 5 5 og π [ cos] si = π = π π cos π ( cos( π )) = ( ) ( ( )) = - det k vist godt etle sig t psse på fortegee her! Nedeståede regel ) kldes ofte idskudsregle: Bevis: Sætig 7 (FS) Ld F være e vilkårlig stmfuktio til f på I. Beviset for ) er d c f ( ) = F( c) F( ) = F( c) F( ) + F( ) F( ) = F( c) F( ) + F( ) F( ) = ( F( c) F( )) + ( F( ) F( )) = c og for ) fås Ld f være itegrel i itervllet I, og ld,, c I. Så gælder: ) f ( ) f ( ) f ( ) c f ( ) + f ( ) = + ) f ( ) = f ( ) c f ( ) = F( ) F( ) = ( F( ) F( )) = f ( ) Alle regereglere fr sidste kpitel k ude videre overføres til det estemte itegrl: 8

20 Sætig 8 (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer i itervllet I, ld, I, og ld s og t være reelle tl. Så gælder ) ( f ( ) + g( )) = f ( ) + g( ) ) ( f ( ) g( )) = f ( ) g( ) c) s f ( ) = s f ( ) d) ( s f ( ) + t g( )) = s f ( ) + t g( ) Bevis: Bevisere følger direkte f sætig. Vi øjes derfor ku med t skrive eviset for ) ud i detljer: Ifølge sætig, ), gælder, t ( f ( ) + g( )) = F( ) + G( ) hvor F og G er stmfuktioer til heholdsvis f og g. Dette etyder, t [ ] ( f ( ) + g( )) = F( ) + G( ) = ( F( ) + G( )) ( F( ) + G( )) = ( F( ) F( )) + ( G( ) G( )) = f ( ) + g( ) Sætig 9 (Prtiel itegrtio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer i itervllet I, g differetiel i I og, I. D gælder [ ] f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. Bevis: Fr sætig vides, t 9

21 f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) Bruger vi defiitioe f det estemte itegrl, så fås: f ( ) g( ) = [ F( ) g( ) F( ) g ( ) ] [ F( ) g( ) ] [ F( ) g ( ) ] [ ] = = F( ) g( ) F( ) g ( ) Eksempel 5 e = e e = ( ) ( ) 5 e e e e = 9 e 5 L NM 5 e e O 5 QP L NM e O 5 QP = Edvidere gælder følgede sætig: Sætig (Itegrtio ved sustitutio) (FS) Ld f og g være itegrle fuktioer på itervllet I, g differetiel på I. og, I. Så [ ] [ ] f ( g ( )) g ( ) = F ( g ( )) = F ( t ) g ( ) hvor F er e stmfuktio til f. g( ) Bevis: Fr sætig 5 vides, t Dette etyder, t f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k [ ] f ( g( )) g ( ) = F( g( )) + k = ( F( g( )) + k) ( F( g( )) + k) =

22 F ( g( )) F( g( )) = F ( g( )) = F ( g( )) F( g( )) = F ( t) g( ) g( ) I prksis udføres itegrtio ved sustitutio dog på følgede måde: Eksempel Itegrlet e skl ereges. Vi sætter t = og oserverer: Derfor fås, t dt = t = 9 for = t = for = [ ] 9 t t 9 e = e dt = e = e e 9 Det er ekstremt vigtigt, t m husker t ædre græsere, år m ædrer itegrtiosvrile! Regede opgver e Opgve: Bereg itegrlet. e + Løsig: Vi ruger itegrtio ved sustitutio: t = e +, så e = t dt = e = t = e + = t = Derfor e e t = dt = e + + t e + e + [ ] ( ) dt = t lt = t. e + l( e + ) + l = e + e l Opgve: Bereg itegrlet e cos(l )

23 Løsig: Vi sætter t = l og får dt = = e t = = t = Derfor e cos(l( )) = cost dt = t si = si si = si Opgve: Bereg itegrlet e l Løsig: Opgve: Løsig: Her skl m ruge prtiel itegrtio: e l [ l ] e e = = e le e l = e = e Ld f være givet ved R f ( ) = S T < < / Bereg f ( ). e Vi får ved rug f idskudsregle: f ( ) = f f ( ) + ( ) = + = l 8 + L N M O Q P = l l l = Opgver. Bestem værdie f følgede itegrler: ) ( + + ) ) 8 / c)

24 9 d) ( +) e) e f) 5 g) ( + ) h) i). E fuktio f opfylder 5 f ( ) =, f ( ) =, f ( ) = og f ( ) = 5 Bereg følgede itegrler vh. idskudsregle: 5 7 ) f ( ) ) f ( ) c) f ( ) 7 d) f ( ) e) f ( ) f) f ( ) Bereg følgede itegrler. Brug prtiel itegrtio ) l ) ( + ) π π d) cos π e e) si c) e f) e l. Bereg følgede itegrler vh. itegrtio ved sustitutio. ) ( 5) 7 ) 5/ e l c) ( )si( ) d) 5 e) (( ) 7 ( ) ) f) 9 / (si ) g) π e cos si h).5 Bereg edeståede estemte itegrler. ) e ) e π/ 5 5 π/ e c) l(si )cos d) ( + ) 8 π/ e e) (l ) f) si cos π + si(l ).6 Givet: f ( ) = 5 5 Fid: g( ) 5 og ( f ( ) g( )) =

25 .7 Givet: ( f ( ) g( )) = 6 Fid: f ( ) og g( ) og ( f ( ) + g( )) = 5.8 Givet: ( f ( ) g( )) = Fid: 5 g( ) 5 og ( f ( ) + g( )) = 6.9 Bestem følgede itegrler. (Brug idskudsregle på strtegisk vigtige steder). 6 ) ) c) π π si

26 . De geometriske etydig f itegrlet - relestemmelse Vi vil her præsetere de vigtigste vedelse f itegrlet, emlig til eregig f reler. Hovedsætige er: Sætig (FS) Ld f være e kotiuert, ikke-egtiv fuktio på itervllet I, og ld, I med. D gælder, t f ( ) = relet f (, y ), y f ( ). { } Sætige siger ltså, t f ( ) er lig relet f det skrverede område edefor: Bevis: Beviset for dee sætig er lidt lgt, så vi deler det op i tre skridt: ) Defiitio f relfuktioe A. ) Bevis for, t A ( ) = f ( ). ) Oversættelse f ) til et estemt itegrl. ) For simpelheds skyld veder vi ottioe { } P(, ) = (, y), y f ( ). Arelfuktioe A defieres u ved: 5

27 A( ) = relet f puktmægde P(, ), for Bemærk, t A( ) ku er defieret for. Bemærk edvidere, t A( ) =, idet A() er relet f "strege" (, y) y f ( ). ) Vi skl differetiere relfuktioe A( ), og dette gøres ved t erege græseværdie A lim ( + h ) A ( ) h h ud fr geometriske etrgtiger. Der er tilfælde t etrgte: I: h > og f er voksede for II: h < og f er voksede for III: h > og f er ftgede for IV: h < og f er ftgede for Vi øjes med t kigge på tilfælde I - reste f tilfældee ehdles stort set es. Betrgt edeståede figur: Det skrverede område hr relet A( + h) A( ) og dette område k spærres ide mellem de to ksser, som hr relere f ( + h) h og f ( ) h. Vi hr ltså ulighede f ( ) h A( + h) A( ) f ( + h) h som ved divisio med h giver 6

28 f ( ) A( + h) A( ) h f ( + h) Bemærk, t vi hr tget, t h >, og dette etyder, t ulighedstegee ikke skl vedes. Lder vi u h gå imod fr højre, og husker vi på, t idet f er kotiuert, så er lim f ( + h) = f ( ) h +, så får vi ulighede A h A f ( ) lim ( + ) ( ) f ( ) h + h Smmeholdes dette med det tilsvrede udsg for h <, ses, t A er differetiel i,og t A ( ) = f ( ). ) Fr ) hr vi, t f ( ) = A( ) + k for et eller det reelt tl k. Specielt hr vi, t f ( ) = ( A( ) + k) ( A( ) + k) = A( ) A( ) og idet A( ) = ses, t f ( ) = A( ), hvilket eviser sætige. Eksempel Fuktioe f er givet ved f ( ) =. Arelet A f puktmægde givet ved {(, y ), y } k u fides ved udregig f edeståede itegrl: A = 8 = = = Det følger fktisk f sætig, t ehver kotiuert (ikke-egtiv) fuktio er itegrel. For e såd fuktio k vi jo defiere relfuktioe, og eviset for sætig viser så, 7

29 t dee relfuktio fktisk er e stmfuktio til de opridelige fuktio. Dette rgumet k let udvides til lle kotiuerte fuktioer, og også til stykkevis kotiuerte fuktioer. Nu er sætig ikke særligt vedelig i des uværede form - dels fides der fuktioer, som tger egtive værdier, dels er m ormlt iteresseret i relet mellem to fuktiosgrfer. Dette råder følgede sætig od på: Sætig (FS) Ld f og g være kotiuerte fuktioer på itervllet I, tg t der gælder, t f ( ) g( ) for I, og ld, I. D er relet f puktmægde (, y ), g ( ) y f ( ) { } lig itegrlet ( f ( ) g( )). Bevis: For t kue ruge sætig skl åde f og g være ikke-egtive overlt i itervllet I. Det ehøver de ikke t være, så vi eytter et trick for t gøre dem det: Idet åde f og g er kotiuerte på det lukkede itervl I=[;], så hr de egge e midsteværdi på dette itervl. Vælg et tl k, således t k er større ed umeriskværdie f egge midsteværdier. D vil fuktioere f ( ) + k og g( ) + k egge være ikke-egtive på itervllet I =,, og relet f puktmægde [ ] {(, ), g ( ) + k y f ( ) + k } vil være lig relet f de opridelige puktmægde. Vi hr kort sgt skuet de opridelige figur k opd: Det søgte rel er u differese mellem relere f puktmægdere A = (, ), y f ( ) + k { } 8

30 og - se figure: {(, ), ( ) } B = y g + k Ergo, det opridelige rel er lig ( f ( ) + k) ( g( ) + k) = (( f ( ) + k) ( g( ) + k)) = ( f ( ) g( )) hvilket eviser sætige. Regede opgver Opgve: Grfere for fuktioere f ( ) = og g( ) = fgræser e puktmægde, som hr et rel. Bereg dette rel. Løsig: Vi skyder os t skitsere de to grfer. Det ses, f.eks. ved t løse ligige f ( ) = g( ) 9

31 eller ved flæsig på grfe, t de søgte puktmægde ligger mellem liiere = og =, og m k kotrollere dette ved t se, t f ( ) = = g( ) og f ( ) = = g( ) Edvidere ses, t g( ) f ( ) ; Det søgte rel er ltså lig L N M for [ ] ( g( ) f ( )) = ( ) = O Q P = = Opgve: På figure er vist grfere for fuktioere f ( ) = cos og g( ) = si. Bereg relet f området egræset f kurvere med ligigere y = f ( ), y = g( ), = og = π. 6 Løsig: Det ses f grfe, t f ( ) g( ) for π π og g( ) f ( ) for π Vi k således ikke umiddelrt vede sætig, me må splitte området op i to dele. Arelet k således som π/ π ( f ( ) g( )) + ( g( ) f ( )) = π/ π/ π (cos si ) + (si cos )) = π/ π/ [ si ( cos ) ] [( cos ) si ] π π/ + = π/ π π/ si + cos + cos si = si π + cos π (si + cos ) + ( cosπ si π) ( cos π si π ) =

32 ( ) ( ( )) + ( ( ) ) (( ) ) = + + = Atter e gg k det vist etle sig t holde øje med fortegee! Bemærk, t hvis vi i stedet ude videre eregede itegrlet π ( f ( ) g( )) så ville vi ikke få det rigtige resultt. Værdie f dette itegrl ville emlig være lig det første delrel mius det det delrel. Altertivt kue m erege itegrlet π f ( ) g( ) som ude videre ville give det rigtige rel. Prolemet er re, t m, for t få styr på itegrde, er ødt til t splitte itegrlet op efter forteget for idmde f ( ) g( ) - og gør m dette, så får m etop udregige ovefor! Eksempel Vil m fide relet f puktmægde {(, y ), y }, som er teget ovefor, d skl m opftte puktmægde om området mellem grfere for fuktioere g( ) = og f ( ) =. M skl derfor erege itegrlet z z = = = = A ( ( ) ) Eksempel

33 Vil m fide relet f det skrverede område mellem siuskurve og -kse ovefor, så skl m erege to itegrler - m skl emlig opsplitte området ved de lodrette liie med ligige = π. Beregigere liver: π A = (si ) + ( si ) = π cosπ + cos + cosπ cosπ = π π [ cos ] [ cos] + = π π Geerelt k det etle sig t glemme sætig og opftte lle releregiger som tilfælde f sætig. Situtioe i sætig skl d opfttes som, t m skl fide relet f området fgræset f grfe for f og -kse, som er grfe for ulfuktioe. Opgver. Skitsér følgede puktmægder og ereg deres rel: (, y), y 6 ) { } ) {(, y), y e } c) {(, y), y 6 } d) {(, y), y } e) {(, y), y } f) {(, y), y e / 9 }. Skitsér og estem relere f områdere egræset f de edeståede kurver: ) y = 5, -kse, y-kse og = ) =, =, y = og y = 8 c) =, =, y = e og y = e

34 d) y = + og y = e) y = og y =. Bestem tllet c, således t området egræset f kurvere med ligigere y = og y = opdeles i to lige store områder f de vdrette liie med ligige y = c.. Betrgt fuktioe f med forskrifte f ( ) = e. ) Teg grfe for f. Af grfe for f fremgår det, t lim f ( ) =. Dette k ude evis eyttes i det følgede. Arelet f puktmægde (, y ) t, y f ( ) { } eteges A t. Her eteger t er reelt, positivt tl. ) Bereg et udtryk for A t som fuktio f t. M k evise, t puktmægde (, y ), y f ( ) { } hr et rel. Dette rel eteges som A. c) Bestem værdie f A.

35 .5 Numerisk itegrtio De tidligere udviklede metoder og regeregler for itegrtio er gske udmærkede, me kommer u og d til kort. For eksempel k æves: M kommer u og d ud for t skulle itegrere e fuktio, som det viser sig t være gske vskeligt t edskrive e stmfuktio til. F.eks. skl m idefor sdsylighedsregige erege itegrler f forme π e / me det k m re ikke. Itegrde er gske skikkelig; det er e kotiuert og dermed itegrel fuktio; me m k ikke opskrive e stmfuktio ved rug f de sædvlige fuktioer. M k også komme ud for t skulle itegrere e fuktio, hvor m ku keder ekelte fuktiosværdier, f.eks. fr e tel eller fr eksperimetelle måliger. Hvord k m itegrere e fuktio, år m ikke keder fuktioes forskrift? Edelig k m komme ud for t skulle erege itegrler i mssevis - hver for sig k itegrlere ok være gske simple, me det tger lligevel tid t erege f.eks. e millio f dem. Derfor vil m gere fide metoder, hvormed e lommereger eller e computer k erege itegrler. Det viser sig, t m liver ødt til t rege e tilærmelse (pproimtio) til det øskede itegrl ud. Der fides forskellige metoder til dette, og tilsmme kldes de umerisk itegrtio. Vi vil omtle hele 5 metoder til umerisk itegrtio. De hr lle det tilfælles, t m ersttter de måske ret komplicerede itegrd med e simpel fuktio, som ligger tæt på itegrde. Det er d remd for e.g'er t itegrere de simple fuktio. Det viser sig edvidere, t tolker m itegrlet som et rel, så k pproimtioere emt visuliseres geometrisk. Vi vil pproimere itegrlet f ( ), og vi strter med de såkldte vestresummer. Idee ved åde vestre-, højre- og midtsummer er t ersttte itegrde f med e stykkevis kostt fuktio. I første omgg kue m fide på t ersttte f med de kostte fuktio v givet ved v ( ) = f ( ). Af figure ses, t f ( ) = ( ) f ( ). Dette tl eteges V - de. vestresum. (Bemærk, t f ( ) er et tl!)

36 E lidt edre pproimtio kue opås, hvis vi delte itervllet [ ; ] op i to lige store stykker, [ ; ] og [ ; ], hvor = + er midtpuktet mellem og. Vi tilærmer d f med de stykkevis kostte fuktio v med forskrifte v ( ) = R S T hvor vi hr skrevet f ( ), < f ( ), og i stedet for og. Itegrlet f dee tilærmede fuktio eteges V og er lig V = v ( ) = v ( ) + v ( ) = f ( ) + f ( ) = ( ) f ( ) + ( ) f ( ) = f ( + f = ) ( ) ( f ( ) + f ( )) og ud fr figure es, t V ligger tættere på f ( ) ed V. 5

37 Videre k vi dele [; ] op i tre stykker, ;, ; og ; i i, i =,,, (vis selv dette!) og vi tilærmer så f med de stykkevis kostte fuktio v f ( ), < v ( ) = R S T f ( ), < f ( ),, hvor Vi får d, efter e kort udregig, V = v f f f ( ) = ( ( ) + ( ) + ( )) Hele geerelt defierer vi de 'te vestresum V ved Defiitio (FS) V = ( f ( ) + f ( ) f ( )) Geerelt skulle V gere være e pproimtio til itegrlet liver, jo edre skulle pproimtioe være. f ( ), og jo større Ser m på figure edefor, så ser m, t det ekelte led f ( i ) geometrisk set er relet f de i'te strimmel med højde f ( i ) og redde. 6

38 I stedet for kosekvet t pproimere f i et itervl med fuktiosværdie i vestre edepukt, så kue m ruge fuktiosværdie i højre edepukt. Som figure edefor viser, får vi højresumme Defiitio (FS) H = ( f ( ) + f ( ) f ( )) (Bemærk ædrige - ved højresummer strter m med og eder ved ) Edelig kue m fide på t ruge fuktiosværdie i midtpuktet f itervllet. Dette midtpukt eteges m i og er lig i i mi = i + = + ( i + ), i =,,...,, (vis selv dette!) Vi får d midtsumme Defiitio 5 (FS) M = ( f ( m ) + f ( m ) f ( m )) 7

39 Eksempel Vi vil erege itegrlet vh. de umeriske metoder; me først ereger vi det ekskt: [ ] 697 = l = l l = l,... Vi strter med t sætte = og får V = ( ) = H = ( ) =, 5 M = ( ), , hvilket ikke er overvældede præcist. Vi prøver videre: V = ( + 8 5, ),... H = ( + ) 58,... 5, M = ( + ), , 5, 75 og for sjovs skyld V 5 = ( ,, 6, 8, ),... H 5 = ( ), ,,, 6, 8, M 5 = ( ), ,,, 5, 7, 9 8

40 De procetvise fvigelse f de edste pproimtio, M 5, fr itegrlets ekskte værdi l er, % - ikke e voldsom øjgtighed, år m tæker på det regerejde, der skl gøres. Det ses, t åde, vestre-, højre- og midtsummer ikke er særligt præcise. Vi vil derfor søge t fide metoder, som giver e større øjgtighed med midre regerejde. Ved åde vestre-, højre- og midtsummer pproimerer m itegrde med e stykkevis kostt fuktio. E mere rffieret metode er t vede e stykkevis lieær fuktio. Dette giver ledig til de såkldte trpez-summer. Vi kræver, t grfe for dee stykkevis lieære fuktio t skl estå f liiestykker, som går geem puktere (, f ( )),(, f ( )),...(, f ( )) For t fide e forskrift for t kocetrerer vi os om det i'te itervl i ; i +. t opfylder d, t t ( ) = f ( ) t ( ) = f ( ) i i og i+ i+ Vi k umiddelrt skrive forskrifte for t i dette itervl op: t f ( i ) f ( i ) ( ) = + ( ) + f ( ), ; i+ i i i i i+ Som grfe viser, så giver t e god pproimtio til f. Vi er iteresseret i t fide itegrlet f t, som ltså er pproimtioe til itegrlet for f: i+ t( ) = i 9

41 L NM ( i ) ( i+ i ) f ( ) f ( i ) + f ( i ) i+ i+ i i+ O = QP f ( i+ ) f ( i ) + f ( i ) i + f ( i ) i = i+ i ( i+ i )( f ( i + ) f ( i )) + f ( i )( i + i ) = ( i+ i )( f ( i+ ) + f ( i )) = ( f ( i ) + f ( i + )) i og ved rug f idskudsregle fås t ( ) = t ( ) = t ( ) + t ( ) t ( ) = ( f ( + f + f + f + + ) ( )) ( ( ) ( ))... ( f ( ) + f ( )) = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )) Dette itegrl eteges T - de 'te trpezsum: Defiitio 6 (FS) T = ( f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ))

42 g h g Dee formel er i øvrigt meget lettere t udlede geometrisk: T er emlig summe f relere f de små trpez'er på figure. Hver trpez hr højde h = = i + i og de to grudliier er g = f ( i ) og g = f ( i + ) Bruger vi formle for relet f et trpez, fås, t det i'te trpez hr relet ( f ( + i ) f ( i + )) og dderes disse reler, fås formle i defiitio 6 Der er e simpel smmehæg mellem vestre- og højresummer og trpezsummer: Sætig 7 (FS) T = V + H ( ) Bevis: T = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )) = ( f ( + f + + f + ) ( )... ( )) ( f ( ) f ( ) + f ( )) = V + H = ( V + H) Eksempel Fortsætter vi regeriere fr det sidste eksempel ses, ved rug f sætig 7, t T =, 75, T, og T, De procetvise fvigelse f T 5 fr itegrlets ekskte værdi l er, 6%. Geerelt vil trpez-summe give e væsetligt edre pproimtio ed midt-summe. Alligevel er pproimtioe ikke god ok, så vi går et tri videre og omtler de formel, lle veder i prksis, emlig Simpso's formel.

43 I dee formel pproimerer m itegrde f med et 'stykkevist degrdspolyomium', dvs. med preluer. Vi udelder de guste detljer her, me heviser i stedet til opgve 5.5 edefor. Fktisk er Simpso-summer et udmærket eme t skrive. års opgver om. Defiitio 8 S = ( f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( )) Eksempel Vi fslutter med t erege Simpso-summer for itegrlet fr det sidste eksempel. S 6 = ( + + ) =, 69..., 5 S 5 5 = ( ) =, ,,, 75 Allerede de de Simpso-sum giver e fvigelse fr itegrlets 'sde' værdi på ku, % - dette er væsetligt edre ed de oget mere komplicerede trpezsum T Bevis formle S = ( T + M ) Opgver 5. ) 5 Vis, t 5 =l ) Approimér l5 ved t udrege V, H, M, T og S. c) Bestem de procetvise fgivelser f resulttere i ) fr itegrlets ekskte værdi

44 5. Fuktioe f er voksede og kotiuert. Nedeståede fuktiosværdier oplyses: 5 f ( ),5,5,5 6 ) Bestem de trpezsum, som eytter lle telles oplysiger. ) Gør rede for, t 5 f ( ) 6 5. Ld f være e voksede fuktio. ) Bevis, t V H. ) Gør rede for, t V f ( ) H og V M H c) Bevis, t f ( ) M H V d) Vis, t H V = f ( ) f ( ) og gør rede for, t M f ( ) for

45 5.5 Simpso's formel Formålet med dee opgve er t udlede Simpso's formel. Vi hr e fuktio f på itervllet [,], og vi vil erege f ( ). Strtegie er t pproimere f med et stykkevist degrdspolyomium, kldes s. Vi strter med t fide et udtryk for s på itervllet i, +. ) Gør rede for, t s ( ) = α( mi ) + β( mi ) + γ er et degrdspolyomium. Tllee α, β og γ estemmes seere. Vi kræver, t s flder smme med grfe for f i tre pukter, emlig i i, m i og i+. Vi hr ltså tre etigelser, s skl opfylde: s ( ) = f ( ), s ( m ) = f ( m ) og s ( ) = f ( ) i i i i i i+ i+ ) Bevis, t i+ mi = og m i i = c) Tllee α, β og γ i forskrifte for s skl u fides. Brug de tre etigelser ovefor og vis, t α = β = f ( ) f ( m ) + f ( ) i + i i δ f ( i + ) f ( i ) δ γ = f ( m i ) hvor vi hr vedt forkortelse δ = d) Bevis, t i+ s ( ) = ( f ( f m f i + ) + ( i ) + ( i )) i 6 e) Udled formle i defiitio 8 ved rug f idskudsregle.

46 .6 Omdrejigslegemer Et omdrejigslegeme er et legeme, som er opstået ved t dreje e kurve omkrig -kse. Eksempler på omdrejigslegemer er kugler, cylidre, kegler og proloider. På figure er vist, hvorledes e simpel lieær grf ved rottio om -kse giver et omdrejigslegeme - e såkldt keglestu. y y Vi vil vise e vigtig formel til eregig f rumfget f omdrejigslegemer: Sætig 5 (FS) Ld f være e differetiel fuktio på itervllet [;]. D er volumeet f omdrejigslegemet det ved rottio f puktmægde (, y ), y f ( ) { } lig itegrlet π( f ( )) Bevis: Vi deler itervllet [;] op i stykker og ersttter f med e stykkevis kostt fuktio - i øvrigt de smme fuktio, som vi rugte i midtsumseregigere: y y 5

47 Lver vi omdrejigslegemet hørede til dee stykkevis kostte fuktio, så fås de smlig cylidre, som figure til højre viser. Bruger vi de smme etegelser som i formle for midtsumme, så er volumeet f cylidree til smme lig ( π f ( m + f m + ) π ( )... π f ( m ) ) idet volumeet f e ekelt cylider med rdius r og højde h er π hr, og de i'te cylider hr rdius f ( m i ) og højde. Vi oserverer, t summe er e midtsum for itegrlet π( f ( )), og lder vi u gå imod uedelig, så ærmer de stykkevis kostte fuktios omdrejigslegee sig det opridelige omdrejigslegeme. Smtidigt hermed ærmer midtsumme ovefor sig til itegrlet. Eksempel E proloide er omdrejigslegemet for grfe givet ved y = (eller rettere legemet, som opstår ved t rotere prle med ligige y = om y-kse). Vi fider volumeet f proloide med højde h (dvs. det legeme, som opstår ved t rotere puktmægde o (, y) h, y t Vi får, t h h h V = = = π( ) π π = π h Eksempel E kugle med rdius r k omfttes som omdrejigslegemet fremkommet ved t rotere puktmægde { (, ), } y r r y r omkrig -kse. Vi k u erege volumiet V f dee kugle: r r V = π ( r = π r = r = r ( ) π r π(( r r ) ( r + r )) = πr r r 6

48 hvilket jo er det fr folkeskole velkedte udtryk! Eksempel Vi roterer puktmægde o (, ), y + t omkrig -kse og øsker t erege volumeet f det herved fremkome legeme. Dette legeme, som liger et deformeret rør, k opfttes som differese mellem omdrejigslegemere fremrgt ved t rotere grfe for fuktioere f ( ) = + og g( ) = Volumeet er d differese f volumere f de to omdrejigslegemer: V = V V = f g π( f ( )) π( g( )) = π( + ) π = 5 L M O P L N M O Q P = π( + + ) π = π + + π 5 π π(( ) ( 5 5 ) ( )) = 5 Bemærk, t det er e grov fejl t tro, t volumeet t sklle ovefor er lig π( f ( ) g( )) Forskelle på de to udtryk er idmde; idmde i det korrekte udtryk er f ( ) g( ) mes idmde i det forkerte udtryk er ( f ( ) g( )) = f ( ) + g( ) f ( ) g( ) N Q 7

49 Opgver 6. Bereg volumeere f de omdrejigslegemer, der opstår ved rottio f edeståede puktmægder om -kse: ) (, y), y 6 { } { y y 6 } o y y t ) (, y), y e c) (, ), d) (, ), e) (, y), y { } f) (, y) 9, y e 6. Bereg volumeere f de omdrejigslegemer, der opstår ved rottio f puktmægdere egræset f kurvere edefor, omkrig -kse. ) y = 5, -kse, y-kse og = ) =, =, y = og y = 8 c) =, =, y = e og y = e d) y = + og y = e) y = og y = 6. Betrgt puktmægde M = (, y) 6, y { } Bereg volumeet f følgede tre omdrejigslegemer: ) M roteres om -kse. ) M roteres om y-kse c) M roteres om liie med ligige y =. 6. ) Volumiet f e kegle med højde h og grudflderdius r er πr h. Bevis dette. ) Volumiet f e cylider med højde h og grudflderdius r er πr h. Bevis dette. 8

50 .7 Olieproduktio Vi giver i dee sektio e vedelse f itegrlregig i det 'virkelige' liv. I året 97, hvor oliekrise strtede, rugte hele verde c. millirder tøder råolie. Side degg er olieforruget vokset med c. 9 % pr. år. Verdes oliereserver vr i 97 estimeret til t være c. 65 millirder tøder olie. ) Hvor meget olie er der forrugt fr 97 til i dg (99)? ) Hvorår ville oliereservere i 97 være sluppet op? (Det forudsættes, t m ikke hr fudet ye reserver.) Vi strter med t opstille et fuktiosudtryk f for verdes årlige olieforrug. Lder vi tide t være i år 97, så hr vi åert smmehæge t f ( t) =, 9 (i millirder tøder olie). Det totle forrug fr 97 (t = ) til 99 (t = 9) er d summe f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( 9) Dette er øvlet t rege ud, så vi oserverer, t summe fktisk er e vestresum for itegrlet f ( t) dt, (emærk, t de øvre græse er, idet vi skl hve hele 99 med), og vi øjes d med t rege itegrlet ud: 9 9 t t,, dt = = l 9, Det totle forrug er d 75, millirder tøder olie. (, 9, 9 ) 75, l, 9 For t esvre det sidste spørgsmål eteger vi med F(s) verdes totle olieforrug fr år (97) til år s. Vi fider F(s): L N s F( s) = f ( t) dt = 9 t, M P = s (, l, l, ) O Q s og for t fide, hvorår olie ville slippe op, sætter vi F(s) lig oliereservere i 97, emlig 65. Dee ligig løses: s F( s) = 65 ( 9, ) = s =, l 9, Verdes oliereserver skulle ltså være sluppet op år efter 97, dvs. egg i 988! Det vkte ekymrig degg, og fik smme med de hstigt voksede oliepriser lde som f.eks. Norge og Egld til t itesivere deres olieefterforskig. 9

51 .8 Kiemtik De opridelige vedelse f itegrlregige kom fr kiemtikke, som er studiet f gestdes evægelse. Kiemtikkes grudegreer skulle være velkedte fr fysikudervisige, me vi repeterer dem lligevel kort: E gestds positio til tide t eskrives ved tllet s(t) - de såkldte stedfuktio. Idet s er e fuktio f t, tger vi højde for, t gestde k evæge sig. Gestdes hstighed til tide t eteges med v(t), og vi hr, t v( t) = s ( t) Gestde ccelertio til tide t eteges med (t), og vi hr, t ( t) = v ( t) = s ( t) Itegrlregige kommer id i det øjelik, vi keder e gestds hstighed eller ccelertio, og vi øsker t fide des stedfuktio. Som et eksempel etrgter vi det frie fld: Idet frie fld eteger s(t) gestdes højde over jordoverflde. Det er e eksperimetel kedsgerig, t e gestd i et frit fld udsættes for e kostt eddrettet ccelertio, -g. I Dmrk er g=9,8 m/s. Vi hr ltså, t (t)=-g. Itegrerer vi, fås, t v( t) = ( t) dt = gt + k = gt + v, hvor v = v( ). Itegrerer vi ige, fås s( t) = v( t) dt = ( gt + v ) dt = gt + v t + l = gt + v t + s hvor u s = s( ) er egydelsespositioe. Dee formel skulle gere være velkedt fr fysik! 5

52 .9 Bldede opgver 9. Fid de stmfuktio til fuktioe f med forskrifte f ( ) = hvis grf går geem puktet (,). 9. Bestem følgede uestemte itegrler: ) ( ) ) / / ( ) c) ( ) d) ( + ) 8 e) ( + ) f) ( + ) g) ( 7 ) h) 6 ( 6 8) i) k) 5 (l ) j) cos + si l) t cos si m) cos si ) l( + ) 9. I det følgede eteger f e differetiel fuktio med stmfuktio F. ) Bevis formle: ) Bestem f ( ) = F( ) f ( ) F( ) f ( ) (l ) c) Bevis formle si = si cos + si ved t eytte formle fr ) og 'idiotformle' : si + cos =. d) Udled f c), t si = ( si cos ) + k. e) Hvd er cos? 9. Ld f og g være itegrle fuktioer, ld g være differetiel, og ld F være e stmfuktio til f. Bevis formle 5

53 f ( ) g F( ) = + ( ) g( ) f ( ) g ( ) g( ) 9.5 Bevis formle t = l cos + k (Vik: Omskriv itegrde til si cos og rug sustitutio). 9.6 Bestem følgede uestemte itegrler: ) cos ) si5 c) cos( ) d) e e) l f) l( + ) g) l( ) h) l( ) i) ( e e ) j) l( + ) 9.7 Bestem følgede uestemte itegrler: ) c) ) + d) Bereg ) ) 5π c) si d) ( ) e) ( + 5) f) ( + ) 5 g) ( 7 ) h) ( + ) 9.9 Bereg edeståede itegrler. Beyt idskudsregle et pssede tl gge: π π ) si ) cos π 5

54 c) d) ( cos + si ) 9. Bereg edeståede itegrler: ) ) c) ( + ) 9 π d) e) f) g) h) si j) ( t e ) 8 π i) si / 9. Betrgt puktmægde fgræset f kurvere med ligigere y = si y = og y = π ) Teg puktmægde. ) Bereg relet f puktmægde. π/ π / k) (si cos ) 9. E guldmie producerede i år 9 årligt tos guld. Dee produktio vokser med % årligt. Hvor meget guld er det i lt produceret i periode fr 9 til 99? 9. E ils hstighed måles hvert 5. sekud. Resulttere er i edeståede tel, hvor tide t er givet i sekuder og hstighede v i m/s. t v, 9,5 6,,,6 8, 6,,,8 Hvor lgt kører ile i løet f de sekuder? 9. Approimér itegrlet π/ cos ved t erege trpezsumme T 5. Smmelig med itegrlets ekskte værdi. 9.5 ) Teg grfe for fuktioe f med forskrifte f ( ) = + si ) Approimér itegrlet 5

55 π f ( ) ved t erege T. c) Bereg S for det smme itegrl. 9.6 M k evise, t = + π Bereg e tilærmet værdi til π ved t erege T for itegrlet ovefor. 9.7 Stirlig's formel Stirlig's formel ruges til t pproimere! for store værdier f tllet. Formle siger, t! e år er stor. Vi øjes her med t evise e lidt svgere udgve f formle. ) Skitsér grfe for fuktioe f ( ) = l ) Bereg itegrlere + l og l ekskt. c) Vis ulighede l + l+ l + l l ( + )l( + ) ved t eytte, t fuktioe f er voksede, og ved t erege e højresum for det første itegrl i ) og e vestresum for det det itegrl. d) Omskriv ulighede til + ( + )! + e e 9.8 De såkldte Fresel itegrler optræder idefor geometrisk optik: π π C( ) = cos( ) og S( ) = si( t ) dt Bestem e pproimtio for C( ) og S( ) ved t erege e Simpso-sum med = ) Bevis ved sustitutioe t = si, t 5

56 = rcsi ) Bevis, t c) Bestem -tl). d rcsi = rcsi (Vik: Prtiel itegrtio - differetiér rcsi og itegrer et usyligt d) Bevis på smme måde, t = + rct. e) Bestem rct 9. Fuktioe f er estemt ved f ( ) = e. Bestem de stmfuktio F til f, som opfylder, t F(l ) = 55

57 Fcitliste.: +.:.:.6: L( ) = +, > + >, +.5: + og.7: M ( ) = +, < : ) + k ) k c) e) 5 + k d) k k f) + l + k g) cos + si + k h) t + + k i) 5 + si + t + k j) e + e + k k) si( ) cos( ) + + k l) 6 k l + + e+ m) k ) e + + k e + o) + + k p) + k q) + + k r) / / + + k.: ) cos + si + k ) si + cos + k c) cos + si + cos + k d) si + cos si + k e) l + k f) l + k g) (l ) l + + k.: ) ( ) + k ) ( + 5) + k c) ( 8 ) + k d) ( + ) / + k e) cos( ) + k 5 8 f) e + k g) ( + ) + k h) si + k i) e + k j) l( + + ) + k = l( + ) + k k) ( ) + k.: ) + k ) e e + k / 5/ ( ) ( ) + k d) cos( ) + k c) 5 e) ( + ) / + k f) + e g) ( + ) e ( + ) e + e + k 9 7 h) cos( ) si( ) + k i) 8 cos( 8) + 6 si( 8) + k 9 j) si(t( )) + k k) ( l( ) ) + k 8 + k cos 56

58 m) 7 ( ) / + k ) e + k 6 o) (l ) + k p) cos( ) + k 6 q) ( ) ( ) + k r) + k 6 l s) l( 8 6) + k t) e + k.5: ) + l( + ) + k, > eller < c) 5 + 6l( + ), < eller > + + k, > eller <.6: ) l( ) + l( + ) c) = = l( + ) + l( + ) + k d),, = = c = l( + ) + + l( ) +.: ) 9 ) - c) d) l 5 e) ( e ) f) g) h) 5 i).: ) ) c) - d) -5 e) - f) : ) e + ) e + c) l e 6 d) e) π f) π e.: ) e).5: ) ) 5 c) d) f) 9 g) h) 7 ( e ) ) 5 l + e e c) d) e) e f) l 9.6:.7: 6 og.8: /.9: ) 9 ) c) 8.: ) 5 ) c) e 6 d) e) 6 f) ( e ) 6 e.: ) ) c) + e+ d) 9 e) e

59 t.: ) te e t c) 5.:,789,69,67,69, : ),75 6.: ) 8π ) 6.: ) d) 8π e) d) 6.: ) 7 π( e ) c) 5 π π f) 6 π( e ) π ) e e e π c) π( + ) π e) π 8 π ) 96 9 π c) 5 π 58

60 Det uestemte itegrl f ( ) = F( ) F ( ) = f ( ) Kpiteloversigt ( f ( ) ± g( )) = f ( ) ± g( ) s f ( ) = s f ( ) f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) (prtiel itegrtio) f ( g ( )) g ( ) = F ( g ( )) + k (itegrtio ved sustitutio) Det estemte itegrl f ( ) = [ F( ) ] = F( ) F( ) c f ( ) = f ( ) + f ( ) (idskudsregle) c [ ] f ( ) g( ) = F( ) g( ) F( ) g ( ) (prtiel itegrtio) [ ] g f ( g( )) g ( ) = f ( t) dt = F( t) ( ) (sustitutio) g( ) g( ) g( ) Numerisk itegrtio V f H f M = i = i = ( ), ( ), f ( mi ) T i= i= i= = ( f ( i ) + f ( i+ )) = ( V + H ) i = Arelestemmelse (, y), y f ( ) er f ( ) Arelet f puktmægde { } Arelet f mægde { } (, y), g( ) y f ( ) er ( f ( ) g( )) Volumet f omdrejigslegemet fremkommet ved t rotere grfe for f i itervllet [;] om - kse er π( f ( )). 59

61 Nogle lmidelige itegrler + = + k + forudst = l + k = + k e = e + k e = e + k = + k l l = l + k si = cos + k cos = si + k t = lcos + k ( + t ) = = t + cos k si = ( si cos ) + k cos = ( + si cos ) + k 6

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013 Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss 777 855 Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 4. Exp, pot & log

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 4. Exp, pot & log Mtemtikkes msterier - på et oligtorisk iveu f Keeth Hse. Ep, pot & log Verdes efolkig 0 8 6 0 0 0 0 0 0 50 År 98-0 I 98 vr verdesefolkige,7 mi. og voksede med,8% om året Hvorår vil der være 0 mi. på jorde?

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

KULTURARVEN det skal der ske. vegne

KULTURARVEN det skal der ske. vegne KULTURARVEN det skl der ske R E M G DO være et kulturrve e. f g i r v skl be g kommu Kommue borgere o e d å b r fo I Roskilde de g ligt æri idetitet o fælles, sy ber lokl k s e d e rdifuld eskytte d rrv

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com

ESBILAC. - modermælkserstatning til hvalpe VEJLEDNING. www.kruuse.com ESBILAC - modermælkserstatig til hvalpe VEJLEDNING De bedste start på livet, e yfødt hvalp ka få, er aturligvis at stille si sult med si mors mælk. Modermælk ideholder alt, hvad de små har brug for af

Læs mere

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner

Plantehoteller 1 Resultater og konklusioner Plntehoteller 1 Resultter og konklusioner Hvid mrguerit 1. Umiddelrt efter kølelgring i op til 14 dge vr den ydre kvlitet ikke redueret 2. Mistede holdrhed llerede efter 7 dges kølelgring ved 4ºC og lv

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært?

Hvordan hjælper trøster vi hinanden, når livet er svært? Hvorda hjælper trøster vi hiade, år livet er svært? - at være magtesløs med de magtesløse Dask Myelomatoseforeig Temadag, Hotel Scadic, Aalborg Lørdag de 2. april 2016 kl. 14.00-15.30 Ole Raakjær, præst

Læs mere

Matematisk Formelsamling

Matematisk Formelsamling . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eè Agd Pedese Mtemtis Fomelsmlig fo de eis- Ntuvideselige Bsisuddelse . Udgve 00 Alle ettighede foeholdes Jic Schmidt og eé Agd Pedese FOOD Dee mtemtise

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Implicit differentiation

Implicit differentiation Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel... 3. Prisme i hovedstillingen...3 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere