Integralregning. 2. del Karsten Juul

Transkript

1 Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul

2 Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion ved sustitution" 6 Formlen or uestemt integrtion ved sustitution 6 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution 6 Endnu et eksempel på integrtion ved sustitution 7 Bestemt integrl 7 Sætning om ekstrem or kontinuerte unktioner 7 Udvidet deinition estemt integrl 77 Indskudssætningen or integrler6 79 Regneregler or estemt integrl 7 7 Formlen or estemt integrtion ved sustitution8 7 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution9 8 Integrl og rel 8 Smmenhæng mellem rel og stmunktion 8 Formlen or rel mellem grer 8 Eksempel på rug ormlen or rel mellem grer6 88 Arel mellem gr og kse når gr ligger under kse7 89 Smmenhængen mellem reler og integrl8 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 9 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 8 Eksempel på eregning rel ved opdeling 8 Eksempel med ortolkning integrl 9 Rumng omdrejningslegeme 9 Formlen or rumng omdrejningslegeme + eksempel 9 Bestemme rumng ring 9 Advrsel vedr rumng ring6 Integrlregning del udgve 6 6 Krsten Juul Dette hæte kn downlodes r wwwmtdk Hætet må enyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som dels oplyser t dette hæte enyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 6 Uestemt integrl 6 Sætning om eksistens stmunktioner (6 Sætning Enhver kontinuert unktion hr en stmunktion 6 Oplæg til "regneregler or integrl" Her lægger vi smmen ør vi tger stmunktion: ( x x = 6x = x + + k Her tger vi stmunktion ør vi lægger smmen: x + x = x + x + k = x + k Husk t det uestemte integrl estår lle unktioner denne type k er ltså lle tl Når to konstnter lægges smmen, ås en konstnt, så det er nok t skrive én konstnt At de to rækkeølger giver smme resultt kn skrives sådn: ( x x = x + + x 6 Øvelse Skriv ølgende påstnd som en ligning med integrltegn: At gnge e x med og tge stmunktion til resulttet giver det smme som t tge stmunktion til e x og gnge resulttet med 6 Øvelse Ld p og q være kontinuerte unktioner Skriv ølgende påstnd som en ligning med integrltegn: Hvis vi lægger p ( og q( smmen og tger stmunktion til resulttet, så år vi det smme som hvis vi tger stmunktion til p ( og q( hver or sig og lægger resultterne smmen Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

4 6 Regneregler or uestemt integrl (6 Sætning (ormlen or uestemt integrl sum Hvis og g er kontinuerte, så gælder: ( g( = ( + ( + g( (6c Sætning (ormlen or uestemt integrl dierens Hvis og g er kontinuerte, så gælder: ( g( = ( ( g( (6d Sætning (ormlen or uestemt integrl konstnt gnge unktion Hvis er kontinuert og k er konstnt, så gælder: = k k ( ( Advrsel: Hvis mn i (6 ersttter de to plusser med gngetegn, så ås en ormel der ikke gælder 66 Øvelse Antg t en stmunktionerne til ( er en kendt unktion qiq(x Bestem ølgende integrler: ( ( + ( ( ( ( ( ( 67 Øvelse Er lig x x x x? Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

5 68 Foreredelse til "integrtion ved sustitution" Nogle typer spørgsmål du år rug or t stille og esvre når du skl estemme visse integrler: Spørgsmål : Når ( t = e og t g ( = x, hvd er så ( g( g (? g( Svr på : ( g( g ( = e g ( = e 6x x Spørgsmål : Bestem (t og ( x = g så 6x e ( g( g ( Svr på : ( t = e og t g ( = x Kontrol svr: ( g( g( g ( = e g ( = e 6x = 6xe x x Spørgsmål : Bestem (t og ( Svr på : ( t = og g ( = x + t x g så = ( g( g ( x + 69 Øvelse Bestem ( g( g ( i hvert ølgende tilælde: ( t ( t = e og g ( = x + ( ( t = t og g ( = x + 6 Øvelse Bestem or hvert ølgende udtryk (t og ( ( x e ( e ( ( x x g så udtrykket er lig ( g( g ( x + ( + 8x x + x, x > Integrlregning Side 6 Krsten Juul

6 6 Formlen or uestemt integrtion ved sustitution (6e Sætning (Formlen or uestemt integrtion ved sustitution I et intervl hvor og integrnden er kontinuerte, kn mn oretge ølgende omskrivning hvor F er en stmunktion til : ( ( g g ( = F( g( * Bemærkning ( + k v Venstre side ligningen (* etyder stmunktionerne til integrnden ( g( g ( h Dierentieres F ( g(, ås integrnden, så ( g( F er en stmunktion til integrnden h Der står + k, så højresiden er lle stmunktionerne Formlen or uestemt integrtion ved sustitution er ltså lot en omormulering reglen or t dierentiere en smmenst unktion 6 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution 6 x e x = ( g ( g ( hvor = ( g x k t ( t = e, F ( + hvor F =, dvs x + = e k g ( = x, g ( = 6x F( t = e t x e = 6 x x x e D ( x = 6x 6 = ersttter vi x med 6 x D, er det nye udtryk lig det oprindelige g ( hvor = ( g( = F ( g( + k t ( t = e, hvor F =, dvs x + = e k g ( = x, g ( = 6x F( t = e t Integrlregning Side 6 Krsten Juul

7 6 Øvelse Uden hjælpemidler Bestem ølgende integrler: + ( x( x ( x( x 8 + ( x + x 6 Endnu et eksempel på integrtion ved sustitution e x x = e x tiløjer vi D =, er D ( = det nye udtryk lig det oprindelige g ( hvor = ( g( hvor F =, dvs = F ( g( + k x = e + k t ( t = e, g ( = x, g ( = F( t = e t 6 Øvelse Uden hjælpemidler Bestem ølgende integrler: ( x ( ( x, x x > ( e 66 Øvelse Bestem x x + 67 Øvelse Bestem til unktionen punktet P, ( 7 ( =, x >, den stmunktion hvis gr går gennem x 6 Integrlregning Side 6 Krsten Juul

8 7 Bestemt integrl 7 Øvelse Ld etegne unktionen estemt ved ( =, < x x D < og =, er en unktionsværdi or ( Er en unktionsværdi or? ( Er en unktionsværdi or? (c Bestem en unktionsværdi der er større end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t ingen unktionsværdierne hr denne egensk (d Bestem en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t ingen unktionsværdierne hr denne egensk (e Skitsér en gr or en eller nden unktion g ( = L, x som ikke hr en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t det ikke kn lde sig gøre ( Skitsér en smmenhængende gr or en eller nden unktion h ( = L, x som ikke hr en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t det ikke kn lde sig gøre 7 Sætning om ekstrem or kontinuerte unktioner (7 Sætning: Hvis en unktion er kontinuert i et intervl typen [ p ; q], så hr åde et minimum og et mksimum i [ p ; q] Bemærkning At hr mksimum i, etyder ikke t er mksimum At hr mksimum i, etyder t ( er mksimum Hvis ( =, er det ltså tllet der er mksimum At hr et mksimum i [ ; ], etyder ikke t mksimum er et tl der tilhører [ ; ] At hr et mksimum i [ ; ], etyder t der indes et tl t i [ ; ] så (t er mksimum Integrlregning Side 6 Krsten Juul

9 7 Udvidet deinition estemt integrl (7 Deinition ( estemt integrl Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld og være tl i dette intervl Ld F være en stmunktion til Tllet F( F( kldes det estemte integrl r til, og etegnes med symolet ( Bemærkning: Hvis < er ovenstående lot den tidligere deinition Det nye estår i t vi nu også deinerer integrlet når den nedre grænse er større end den øvre eller lig den øvre, dvs > eller = Eksempler [ x ] = = x = e x [ e ] = e e = x = (7c Sætning Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld og være tl i dette intervl Der gælder Bevis or (7c ( = og ( = ( D er kontinuert, hr en stmunktion F Ved t ruge deinitionen (7 estemt integrl ås ( = F( F( = ( F( F( = ( = F( F( = ( Hermed er de to ormler evist Integrlregning Side 6 Krsten Juul

10 7 Øvelse Ld være kontinuert i R, og ld F være en stmunktion til Udtryk hvert ølgende tre tl ved hjælp F : ( 9 ( ( ( ( ( + ( Udtryk hvert ølgende tre tl ved hjælp integrltegnet: ( F( 6 F( ( F( F( (6 F ( + F( 7 Øvelse Om to unktioner og g gælder t g ( = ( Figuren viser gren or g ( Bestem ( ( Bestem det positive tl or hvilket ( = 76 Øvelse Tellen viser nogle unktionsværdier or unktionerne y, y og y Det oplyses t y er en stmunktion til y, og t y er en stmunktion til y Bestem y ( x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

11 77 Indskudssætningen or integrler (7d Sætning (Indskudssætningen or integrler Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld, og c være tl i dette intervl Der gælder Bevis or (7d = ( + c ( ( D er kontinuert, hr en stmunktion F c ( + ( c c = F( c F( + F( F( c Iølge deinitionen på estemt integrl = F( F( = ( Iølge deinitionen på estemt integrl Hermed er sætningen evist 78 Øvelse ( Det oplyses t ( = 7 og ( = Bestem ( ( Det oplyses t ( = og ( = 8 Bestem ( Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul

12 79 Regneregler or estemt integrl (7e Sætning (ormlen or estemt integrl sum Hvis og g er kontinuerte i et intervl, og og er tl i dette intervl, er ( * ( ( + g( = ( + g( Bevis or (7e D ( og g ( er kontinuerte, hr de stmunktioner F ( og G ( D gælder t så ( F ( + G( = F ( + G ( = ( + g( F ( + G( er en stmunktion til ( + g( ( ( + g( [ F( + G( = ] Her ås t venstresiden i (* er lig Dette kn omskrives til ( F ( G( ( F( + G( + F( F( + G( G( som iølge deinitionen på estemt integrl er lig højresiden i (* (7 Sætning (ormlen or estemt integrl dierens Hvis og g er kontinuerte i et intervl, og og er tl i dette intervl, er ( g( = ( ( g( (7g Sætning (ormlen or estemt integrl konstnt gnge unktion Hvis er kontinuert i et intervl, og og er tl i dette intervl, og k er konstnt, er = k k ( ( Advrsel: Hvis mn i (7e ersttter de to plusser med gngetegn, så ås en ormel der ikke gælder Integrlregning Side 7 6 Krsten Juul

13 7 Øvelse ( Find ejlen i ølgende udregning: ( g( = [ F( G( ] = F( G( F( G( ( Bevis sætning (7g 7 Øvelse 7 ( Det oplyses t ( = Bestem 7 ( ( Det oplyses t ( ( + = 9 Bestem ( (c Det oplyses t ( ( = x Bestem ( 7 Formlen or estemt integrtion ved sustitution (7h Sætning (Formlen or estemt integrtion ved sustitution Hvis integrnderne er kontinuerte i integrtionsintervllerne, gælder g( (* ( g( g ( = ( t dt Bevis or (7h: g( D er kontinuert, hr en stmunktion F A deinitionen på estemt integrl ås t højresiden i (* er lig D ( g( g( [ F( t ] F( g( F( g( = g( F er stmunktion til integrnden på (* 's venstreside, er venstresiden lig [ F( g( ] F( g( F( g( Altså er de to sider (* ens = Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

14 7 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution x 6x e ( g ( hvor = ( g t ( t = e, g ( = x, g ( = 6x = g( g( ( t dt = t e dt = [ e ] t d t e er stmunktion til t e = e e = e 7 ( x 7 = ( x 7 = ( g ( g ( x hvor x tiløjer vi D D ( = også er tiløjet, og =, er det nye udtryk lig det oprindelige ( t = t, g ( = x, g ( = g(7 ( t g( = = t dt t dt = [ ] = ( = Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

15 7 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler: ( ( x x ( x 6 e ( x+ e 7 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler ( x + ( x ( x 76 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler x ( x + ( ( x + x ( x e x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

16 8 Integrl og rel 8 Øvelse ( Tegn gren or unktionen ( = x +, x ( Skrvér det område M der grænses -gren, ørsteksen og de lodrette linjer gennem punkterne (, og (, (c I intervllet [ ; ] hr minimum i et tl x, og mksimum i et tl x Skriv uden egrundelse tllene x og x (d Bestem ( x og ( x (e Tegn det rektngel med vndret grundlinje som er indeholdt i M og hr højde ( x og grundlinje ( Tegn det rektngel med vndret grundlinje som indeholder M og hr højde ( x og grundlinje (g Når x er et tl mellem og, så hr i intervllet [ ; x] minimum i et tl x Hvilket tl er x tæt ved når x er tæt ved? ( 8 Øvelse ( ( x C D( ( x ( x A B x x Billedet viser en interktiv igur hvor gren or en kontinuert unktion er tegnet med hvid streg Punkterne A, B og C ligger på gren Når x trækkes hen mod x, så lytter x og x sig så de hele tiden ligger mellem x og x Når x ændres, ændres D ( også, men sådn t D ( hele tiden ligger mellem x og x ( Hvilket tl er ( x tæt ved når x er tæt ved x? ( Hvilket tl er ( x tæt ved når x er tæt ved x? (c Hvilket tl er D ( tæt ved når x er tæt ved x? x ( x ( ( Integrlregning Side 6 Krsten Juul

17 8 Smmenhæng mellem rel og stmunktion Ld ( være kontinuert og i et intervl [ ; ], og ld A ( være den tilhørende relunktion Når x er et tl i [ ; ], så er A ( x, som ekendt, relet det område der grænses -gren, ørstekse og de lodrette linjer gennem punkterne (, og ( x, (se igur 8 Vi vil nu evise t der, som tidligere omtlt, gælder ølgende: (8 Sætning: A x = ( ( x ( ( A( x x ( M x x ( Figur 8 Figur 8c Bevis or (8 Iølge deinitionen på dierentilkvotient er (8 ensetydende med A( A( x ( lim = ( x x x x x Vi indører etegnelserne x, x og x : Ld x være et tl i [ ; ] som er x I intervllet med endepunkter x og x, endepunkterne medregnet, indes et tl x så ( x er minimum or i intervllet, og et tl x så ( x er mksimum or i intervllet, d en unktion der er kontinuert i et intervl typen [ p; q], åde hr et minimum og et mksimum i dette intervl (Hvis situtionen er som på igur 8c, så er x = x og x = x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

18 Som en hjælp til t evise ( vil vi evise t ølgende gælder: A( A( x ( ( x ( x x x Til rug i eviset heror indører vi etegnelsen M or det område der grænses -gren, ørsteksen og de lodrette linjer gennem punkterne ( x, og (x, Området M er vist på igur 8c Først eviser vi t ( gælder når x > x : så A( A( x er relet M d A ( er relet mellem gr og ørstekse r lodret linje gennem (, til lodret linje gennem (x, og A ( x er relet mellem gr og ørstekse r lodret linje gennem (, til lodret linje gennem ( x, x ( x er relet et rektngel der er indeholdt i M ( x Tllene ( x og x x er hhv højde og grundlinje i rektnglet ( x x ( x er relet et rektngel der indeholder M Tllene ( x og x x er hhv højde og grundlinje i rektnglet ( x ( x x A( A( x ( x ( x x D x x er et positivt tl, vil ulighederne stdig gælde eter t hver side er divideret med x x Hermed er ( evist når x > x Nu eviser vi t ( også gælder når x < x : så A( x A( er relet M ( x x ( x ( x x ( x er relet et rektngel der er indeholdt i M er relet et rektngel der indeholder M ( x ( x A( x A( ( x ( x x D x x er et positivt tl, vil ulighederne stdig gælde eter t hver side er divideret med x x : A( x A( ( x ( x x x Når vi orlænger røken med ås (, som hermed også er evist når x < x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

19 Til sidst ruger vi ( til t evise (: For x x ås: x x og x x d x og x ligger i intervllet med endepunkter x og x x ( og x ( ( x d x A( A( x ( ( x x x ( x x x og x og ( er kontinuert d ( er opyldt og x ( og x ( ( x ( x Hermed er (8 evist d ( er ( udtrykt med ndre symoler Bemærkning Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl [ ; ], og ld M være området mellem -gren og ørsteksen r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, I rmmerne og så vi t mn ud r (8 kn slutte: (8d Sætning Hvis ( or x i [ ; ], så er ( = rel( M Integrlregning Side 6 Krsten Juul

20 8 Formlen or rel mellem grer Ld og g være unktioner der er kontinuerete i et intervl [ ; ], og ld M være området mellem -gren og g-gren r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, Se igur 8 Ved hjælp (8d vil vi nu evise ølgende sætning: (8e Sætning (Formlen or rel mellem grer Hvis ( g( or x i [ ; ], så er ( ( g( = rel( M ( ( M ( + k M ( g( ( g ( + k ( Figur 8 Figur 8g Bevis or (8e g ( hr et minimum i [ ; ] d en unktion der er kontinuert i et intervl typen [ p ; q], hr et minimum Altså indes et tl k så grerne or ( + k og g ( + k ligger over ørsteksen Se igur 8g Iølge (8d gælder ( ( ( x + k er relet mellem ørsteksen og gren or ( + k ( ( g ( + k er relet mellem ørsteksen og gren or g ( + k Nu ås: rel( M = rel( M + = ( + k ( g( k ( iølge ( og ( + = (( ( + k ( g( k = ( ( g( Hermed er sætning (8e evist iølge ormlen or integrl dierens Integrlregning Side 6 Krsten Juul

21 8 Eksempel på rug ormlen or rel mellem grer Det er oplyst t grerne or unktionerne ( = x og g( x grænser et område der hr et rel = ( ( For t estemme dette rel tegner vi ørst grerne or og g ( Ved t løse ligningen ( = g( inder vi t ørstekoordinterne til grernes skæringspunkter er og ( D g( ( or x i [ ; ], er det søgte rel lig ( ( g ( g ( ( Ved t estemme dette integrl ås t relet er 8 86 Øvelse Grerne or unktionerne ( = x + x + og g ( = x grænser et område der hr et rel Bestem dette rel 87 Øvelse Betrgt de to unktioner 8 ( = x og g ( = x Grerne or unktionerne grænser smmen med ørsteksen en punktmængde der hr et rel Bestem dette rel Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul

22 88 Arel mellem gr og kse når gr ligger under kse Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl [ ; ], ld M være området mellem -gren og ørsteksen r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, Ved hjælp (8e kn vi nu evise ølgende: (8h Sætning Hvis ( or x i [ ; ], så er ( = rel(m Bevis or (8h Området M kn også eskrives som området mellem -gren og gren or unktionen g ( = r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, D g( ( ølger (8e t rel( M = ( g ( ( iølge sætning (8e = ( ( = Hermed er sætningen evist ( iølge sætning (7g med k = Integrlregning Side 7 6 Krsten Juul

23 89 Smmenhængen mellem reler og integrl Eksemplet i denne rmme tydeliggør den smmenhæng der er mellem reler og integrl ( 7 8 ( Figuren viser gren or en unktion A rel r til er I integrl r til er A rel r til 7 er I integrl r til 7 er A rel r 7 til 8 er I integrl r 7 til 8 er A rel r til 8 er I integrl r til 8 er 6 De reler der omtles, er reler mellem -gr og ørstekse De integrler der omtles, er integrler unktionen Begrundelse or I : D ( or x, er integrl = rel Begrundelse or I : D ( or x 7, er integrl = rel Begrundelse or I : D ( or 7 x 8, er integrl = rel Begrundelse or I : A indskudsreglen ås: integrl r til 8 = ( + + ( = Bemærkning: Sproget i denne rmme eterligner en mundtlig orklring hvor der peges på en igur I en skritlig esvrelse en opgve er det mere prktisk t ruge integrltegn Se hvordn i de næste rmmer Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

24 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( M 9 M ( Figuren viser gren or en unktion som hr nulpunkterne, og 9 Det oplyses t rel( M 86 = og rel( 8 M = Vi vil estemme integrlet r til 9 D ( or x i [ ; ], ås 86 ( = rel( M = D ( or x i [ ; 9], ås 9 = rel( M = 8 ( Ved t ruge indskudssætningen ås ( = ( + ( = 86 + ( 8 = Advrsel Sig ikke "rel" når du mener "integrl" I eksemplet ovenor gælder mens dvs relet r til 9 er lig 8 integrlet r til 9 er rel integrlet r til 9 er 8 Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

25 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( x = 8 M ( Figuren viser gren or en unktion hvis nulpunkter er 8 og Smmen med ørsteksen grænser gren en punktmængde M der hr et rel Det er oplyst t relet M er 7 og t Vi vil estemme integrlet r 8 til 9 ( = D ( or x i [ 8; ], ås 8 7 ( = rel( M = Ved t ruge indskudssætningen ås 8 8 ( = 8 ( = ( + ( = 8 Øvelse Figuren viser gren or en unktion som hr nulpunkterne 8, 6 og I tredje kvdrnt grænser gren og ørsteksen en punktmængde M der hr relet I nden kvdrnt grænser gren og ørsteksen en punktmængde N der hr relet 7 Bestem hvert integrlerne 6 8 ( og 8 ( M N ( ( Integrlregning Side 6 Krsten Juul

26 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( x = M M ( På iguren ses gren or en unktion der hr nulpunktet Desuden ses to punktmængder M og M Det er oplyst t relet M er, og t Vi vil estemme relet M D ( or x i [ ; ], ås ( = rel( M = D ( or x i [ ; ], gælder t ( = rel( M Iølge indskudssætningen er dvs Altså er = ( + ( ( ( rel( + M = rel( M = så relet M er ( = Integrlregning Side 6 Krsten Juul

27 8 Eksempel på eregning rel ved opdeling ( ( Figuren viser gren or unktionen skrverede område ( = x x 6 Vi vil eregne relet det Ld M etegne det skrverede område over ørsteksen, og ld M etegne det skrverede område under ørsteksen Ved t løse ligningen ( = inder vi t ørstekoordinterne til grens skæringspunkter med ørsteksen er og D ( or x i [ ; ], gælder t ( = rel( M ( D ( or x i [ ; ], gælder t ( ( = rel( M Ved eregning inder vi t ( ( = 6 ( 7 9 ( = A ( og ( ås t rel( = 6 M, og ( og ( ås t rel( = 7 9 M, så relet det skrverede område er 7 = Integrlregning Side 6 Krsten Juul

28 8 Eksempel med ortolkning integrl Betrgt unktionen ( = x Vi vil eregne ( ( og give en geometrisk ortolkning resulttet ( x = [ x x] = ( ( = Vi tegner gren Den geometriske ortolkning er: ( Skrveret rel under kse er enhed større end skrveret rel over Integrlet er nemlig lig relet S over ksen minus relet S under ksen: S = S 86 Øvelse Betrgt unktionen ( = x 6x Beregn det estemte integrl ( og ortolk resulttet ved hjælp en skitse Integrlregning Side 6 Krsten Juul

29 9 Rumng omdrejningslegeme 9 Formlen or rumng omdrejningslegeme + eksempel Når punktmængden M på igur 9 drejes 6 om ørsteksen, ås omdrejningslegemet på igur 9c (9 Sætning (Formlen or rumng omdrejningslegeme Rumnget V omdrejningslegemet kn eregnes ved hjælp ormlen ( V = ( ( π ( M ( ( Figur 9 Figur 9c Antg t igur 9 viser gren or unktionen ( = x, x Så hr omdrejningslegemet rumnget V ( x = 8 π x = = π [ ] = 8 π ( π 8 = π x 9 Øvelse Gren or unktionen ( = x grænser smmen med koordintkserne i jerde kvdrnt en punktmængde M Bestem rumnget det omdrejningslegeme der remkommer når M drejes 6 om ørsteksen Integrlregning Side 6 Krsten Juul

30 9 Bestemme rumng ring Den skrverede punktmængde M på igur 9d er grænset grerne or unktionerne 9 ( = x x + og g ( = og linjerne med ligningerne x = og x = Når M drejes 6 om ørsteksen, remkommer det ringormede omdrejningslegeme på igur 9e Vi vil eregne ringens rumng V ring ( ( ( ( g g g ( ( ( ( Figur 9d Figur 9e Figur 9 Figur 9g Når den skrverede punktmængde på igur 9 drejes om ørsteksen, ås en skive med rumng V skive Herr skl trækkes hullets rumng V hul Hullet ås når den skrverede punktmængde på igur 9g drejes om ørsteksen A sætning (9 ås V skive ( ( = 7 π = π V hul π ( g( = 9 π = Altså er ringens rumng V ring = Vskive Vhul = 997 π Bemærkning Hullets rumng kunne også være eregnet ved t ruge ormlen or rumng cylinder Integrlregning Side 6 Krsten Juul

31 9 Advrsel vedr rumng ring Ld og g være unktionerne r rmme 9 Figur 9h viser gren or unktionen ( g( Vi etrgter omdrejningslegemet der ås ved t dreje den skrverede punktmængde 6 om ørsteksen For t eregne dets rumng, indsætter vi unktionen ( g( or ( i ormlen i sætning (9: V ( ( g( = 7 π = π ( ( g( ( Vi ser t rumnget er meget mindre end ringens rumng Mn kn ltså ikke estemme ringens rumng ved t indsætte ( g( i ormel (9 Figur 9h 9 Øvelse Grerne or unktionerne ( = x og g ( = x grænser smmen med ørsteksen en punktmængde M Bestem rumnget det omdrejningslegeme der remkommer når M drejes 6 om ørsteksen Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul