Integralregning. 2. del Karsten Juul

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul"

Transkript

1 Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul

2 Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion ved sustitution" 6 Formlen or uestemt integrtion ved sustitution 6 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution 6 Endnu et eksempel på integrtion ved sustitution 7 Bestemt integrl 7 Sætning om ekstrem or kontinuerte unktioner 7 Udvidet deinition estemt integrl 77 Indskudssætningen or integrler6 79 Regneregler or estemt integrl 7 7 Formlen or estemt integrtion ved sustitution8 7 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution9 8 Integrl og rel 8 Smmenhæng mellem rel og stmunktion 8 Formlen or rel mellem grer 8 Eksempel på rug ormlen or rel mellem grer6 88 Arel mellem gr og kse når gr ligger under kse7 89 Smmenhængen mellem reler og integrl8 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 9 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet 8 Eksempel på eregning rel ved opdeling 8 Eksempel med ortolkning integrl 9 Rumng omdrejningslegeme 9 Formlen or rumng omdrejningslegeme + eksempel 9 Bestemme rumng ring 9 Advrsel vedr rumng ring6 Integrlregning del udgve 6 6 Krsten Juul Dette hæte kn downlodes r wwwmtdk Hætet må enyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til som dels oplyser t dette hæte enyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole

3 6 Uestemt integrl 6 Sætning om eksistens stmunktioner (6 Sætning Enhver kontinuert unktion hr en stmunktion 6 Oplæg til "regneregler or integrl" Her lægger vi smmen ør vi tger stmunktion: ( x x = 6x = x + + k Her tger vi stmunktion ør vi lægger smmen: x + x = x + x + k = x + k Husk t det uestemte integrl estår lle unktioner denne type k er ltså lle tl Når to konstnter lægges smmen, ås en konstnt, så det er nok t skrive én konstnt At de to rækkeølger giver smme resultt kn skrives sådn: ( x x = x + + x 6 Øvelse Skriv ølgende påstnd som en ligning med integrltegn: At gnge e x med og tge stmunktion til resulttet giver det smme som t tge stmunktion til e x og gnge resulttet med 6 Øvelse Ld p og q være kontinuerte unktioner Skriv ølgende påstnd som en ligning med integrltegn: Hvis vi lægger p ( og q( smmen og tger stmunktion til resulttet, så år vi det smme som hvis vi tger stmunktion til p ( og q( hver or sig og lægger resultterne smmen Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

4 6 Regneregler or uestemt integrl (6 Sætning (ormlen or uestemt integrl sum Hvis og g er kontinuerte, så gælder: ( g( = ( + ( + g( (6c Sætning (ormlen or uestemt integrl dierens Hvis og g er kontinuerte, så gælder: ( g( = ( ( g( (6d Sætning (ormlen or uestemt integrl konstnt gnge unktion Hvis er kontinuert og k er konstnt, så gælder: = k k ( ( Advrsel: Hvis mn i (6 ersttter de to plusser med gngetegn, så ås en ormel der ikke gælder 66 Øvelse Antg t en stmunktionerne til ( er en kendt unktion qiq(x Bestem ølgende integrler: ( ( + ( ( ( ( ( ( 67 Øvelse Er lig x x x x? Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

5 68 Foreredelse til "integrtion ved sustitution" Nogle typer spørgsmål du år rug or t stille og esvre når du skl estemme visse integrler: Spørgsmål : Når ( t = e og t g ( = x, hvd er så ( g( g (? g( Svr på : ( g( g ( = e g ( = e 6x x Spørgsmål : Bestem (t og ( x = g så 6x e ( g( g ( Svr på : ( t = e og t g ( = x Kontrol svr: ( g( g( g ( = e g ( = e 6x = 6xe x x Spørgsmål : Bestem (t og ( Svr på : ( t = og g ( = x + t x g så = ( g( g ( x + 69 Øvelse Bestem ( g( g ( i hvert ølgende tilælde: ( t ( t = e og g ( = x + ( ( t = t og g ( = x + 6 Øvelse Bestem or hvert ølgende udtryk (t og ( ( x e ( e ( ( x x g så udtrykket er lig ( g( g ( x + ( + 8x x + x, x > Integrlregning Side 6 Krsten Juul

6 6 Formlen or uestemt integrtion ved sustitution (6e Sætning (Formlen or uestemt integrtion ved sustitution I et intervl hvor og integrnden er kontinuerte, kn mn oretge ølgende omskrivning hvor F er en stmunktion til : ( ( g g ( = F( g( * Bemærkning ( + k v Venstre side ligningen (* etyder stmunktionerne til integrnden ( g( g ( h Dierentieres F ( g(, ås integrnden, så ( g( F er en stmunktion til integrnden h Der står + k, så højresiden er lle stmunktionerne Formlen or uestemt integrtion ved sustitution er ltså lot en omormulering reglen or t dierentiere en smmenst unktion 6 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution 6 x e x = ( g ( g ( hvor = ( g x k t ( t = e, F ( + hvor F =, dvs x + = e k g ( = x, g ( = 6x F( t = e t x e = 6 x x x e D ( x = 6x 6 = ersttter vi x med 6 x D, er det nye udtryk lig det oprindelige g ( hvor = ( g( = F ( g( + k t ( t = e, hvor F =, dvs x + = e k g ( = x, g ( = 6x F( t = e t Integrlregning Side 6 Krsten Juul

7 6 Øvelse Uden hjælpemidler Bestem ølgende integrler: + ( x( x ( x( x 8 + ( x + x 6 Endnu et eksempel på integrtion ved sustitution e x x = e x tiløjer vi D =, er D ( = det nye udtryk lig det oprindelige g ( hvor = ( g( hvor F =, dvs = F ( g( + k x = e + k t ( t = e, g ( = x, g ( = F( t = e t 6 Øvelse Uden hjælpemidler Bestem ølgende integrler: ( x ( ( x, x x > ( e 66 Øvelse Bestem x x + 67 Øvelse Bestem til unktionen punktet P, ( 7 ( =, x >, den stmunktion hvis gr går gennem x 6 Integrlregning Side 6 Krsten Juul

8 7 Bestemt integrl 7 Øvelse Ld etegne unktionen estemt ved ( =, < x x D < og =, er en unktionsværdi or ( Er en unktionsværdi or? ( Er en unktionsværdi or? (c Bestem en unktionsværdi der er større end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t ingen unktionsværdierne hr denne egensk (d Bestem en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t ingen unktionsværdierne hr denne egensk (e Skitsér en gr or en eller nden unktion g ( = L, x som ikke hr en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t det ikke kn lde sig gøre ( Skitsér en smmenhængende gr or en eller nden unktion h ( = L, x som ikke hr en unktionsværdi der er mindre end eller lig enhver de ndre unktionsværdier, eller sig t det ikke kn lde sig gøre 7 Sætning om ekstrem or kontinuerte unktioner (7 Sætning: Hvis en unktion er kontinuert i et intervl typen [ p ; q], så hr åde et minimum og et mksimum i [ p ; q] Bemærkning At hr mksimum i, etyder ikke t er mksimum At hr mksimum i, etyder t ( er mksimum Hvis ( =, er det ltså tllet der er mksimum At hr et mksimum i [ ; ], etyder ikke t mksimum er et tl der tilhører [ ; ] At hr et mksimum i [ ; ], etyder t der indes et tl t i [ ; ] så (t er mksimum Integrlregning Side 6 Krsten Juul

9 7 Udvidet deinition estemt integrl (7 Deinition ( estemt integrl Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld og være tl i dette intervl Ld F være en stmunktion til Tllet F( F( kldes det estemte integrl r til, og etegnes med symolet ( Bemærkning: Hvis < er ovenstående lot den tidligere deinition Det nye estår i t vi nu også deinerer integrlet når den nedre grænse er større end den øvre eller lig den øvre, dvs > eller = Eksempler [ x ] = = x = e x [ e ] = e e = x = (7c Sætning Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld og være tl i dette intervl Der gælder Bevis or (7c ( = og ( = ( D er kontinuert, hr en stmunktion F Ved t ruge deinitionen (7 estemt integrl ås ( = F( F( = ( F( F( = ( = F( F( = ( Hermed er de to ormler evist Integrlregning Side 6 Krsten Juul

10 7 Øvelse Ld være kontinuert i R, og ld F være en stmunktion til Udtryk hvert ølgende tre tl ved hjælp F : ( 9 ( ( ( ( ( + ( Udtryk hvert ølgende tre tl ved hjælp integrltegnet: ( F( 6 F( ( F( F( (6 F ( + F( 7 Øvelse Om to unktioner og g gælder t g ( = ( Figuren viser gren or g ( Bestem ( ( Bestem det positive tl or hvilket ( = 76 Øvelse Tellen viser nogle unktionsværdier or unktionerne y, y og y Det oplyses t y er en stmunktion til y, og t y er en stmunktion til y Bestem y ( x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

11 77 Indskudssætningen or integrler (7d Sætning (Indskudssætningen or integrler Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl, og ld, og c være tl i dette intervl Der gælder Bevis or (7d = ( + c ( ( D er kontinuert, hr en stmunktion F c ( + ( c c = F( c F( + F( F( c Iølge deinitionen på estemt integrl = F( F( = ( Iølge deinitionen på estemt integrl Hermed er sætningen evist 78 Øvelse ( Det oplyses t ( = 7 og ( = Bestem ( ( Det oplyses t ( = og ( = 8 Bestem ( Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul

12 79 Regneregler or estemt integrl (7e Sætning (ormlen or estemt integrl sum Hvis og g er kontinuerte i et intervl, og og er tl i dette intervl, er ( * ( ( + g( = ( + g( Bevis or (7e D ( og g ( er kontinuerte, hr de stmunktioner F ( og G ( D gælder t så ( F ( + G( = F ( + G ( = ( + g( F ( + G( er en stmunktion til ( + g( ( ( + g( [ F( + G( = ] Her ås t venstresiden i (* er lig Dette kn omskrives til ( F ( G( ( F( + G( + F( F( + G( G( som iølge deinitionen på estemt integrl er lig højresiden i (* (7 Sætning (ormlen or estemt integrl dierens Hvis og g er kontinuerte i et intervl, og og er tl i dette intervl, er ( g( = ( ( g( (7g Sætning (ormlen or estemt integrl konstnt gnge unktion Hvis er kontinuert i et intervl, og og er tl i dette intervl, og k er konstnt, er = k k ( ( Advrsel: Hvis mn i (7e ersttter de to plusser med gngetegn, så ås en ormel der ikke gælder Integrlregning Side 7 6 Krsten Juul

13 7 Øvelse ( Find ejlen i ølgende udregning: ( g( = [ F( G( ] = F( G( F( G( ( Bevis sætning (7g 7 Øvelse 7 ( Det oplyses t ( = Bestem 7 ( ( Det oplyses t ( ( + = 9 Bestem ( (c Det oplyses t ( ( = x Bestem ( 7 Formlen or estemt integrtion ved sustitution (7h Sætning (Formlen or estemt integrtion ved sustitution Hvis integrnderne er kontinuerte i integrtionsintervllerne, gælder g( (* ( g( g ( = ( t dt Bevis or (7h: g( D er kontinuert, hr en stmunktion F A deinitionen på estemt integrl ås t højresiden i (* er lig D ( g( g( [ F( t ] F( g( F( g( = g( F er stmunktion til integrnden på (* 's venstreside, er venstresiden lig [ F( g( ] F( g( F( g( Altså er de to sider (* ens = Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

14 7 Bestemme integrl ved rug ormlen or sustitution x 6x e ( g ( hvor = ( g t ( t = e, g ( = x, g ( = 6x = g( g( ( t dt = t e dt = [ e ] t d t e er stmunktion til t e = e e = e 7 ( x 7 = ( x 7 = ( g ( g ( x hvor x tiløjer vi D D ( = også er tiløjet, og =, er det nye udtryk lig det oprindelige ( t = t, g ( = x, g ( = g(7 ( t g( = = t dt t dt = [ ] = ( = Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

15 7 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler: ( ( x x ( x 6 e ( x+ e 7 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler ( x + ( x ( x 76 Øvelse (Uden hjælpemidler Bestem hvert ølgende integrler x ( x + ( ( x + x ( x e x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

16 8 Integrl og rel 8 Øvelse ( Tegn gren or unktionen ( = x +, x ( Skrvér det område M der grænses -gren, ørsteksen og de lodrette linjer gennem punkterne (, og (, (c I intervllet [ ; ] hr minimum i et tl x, og mksimum i et tl x Skriv uden egrundelse tllene x og x (d Bestem ( x og ( x (e Tegn det rektngel med vndret grundlinje som er indeholdt i M og hr højde ( x og grundlinje ( Tegn det rektngel med vndret grundlinje som indeholder M og hr højde ( x og grundlinje (g Når x er et tl mellem og, så hr i intervllet [ ; x] minimum i et tl x Hvilket tl er x tæt ved når x er tæt ved? ( 8 Øvelse ( ( x C D( ( x ( x A B x x Billedet viser en interktiv igur hvor gren or en kontinuert unktion er tegnet med hvid streg Punkterne A, B og C ligger på gren Når x trækkes hen mod x, så lytter x og x sig så de hele tiden ligger mellem x og x Når x ændres, ændres D ( også, men sådn t D ( hele tiden ligger mellem x og x ( Hvilket tl er ( x tæt ved når x er tæt ved x? ( Hvilket tl er ( x tæt ved når x er tæt ved x? (c Hvilket tl er D ( tæt ved når x er tæt ved x? x ( x ( ( Integrlregning Side 6 Krsten Juul

17 8 Smmenhæng mellem rel og stmunktion Ld ( være kontinuert og i et intervl [ ; ], og ld A ( være den tilhørende relunktion Når x er et tl i [ ; ], så er A ( x, som ekendt, relet det område der grænses -gren, ørstekse og de lodrette linjer gennem punkterne (, og ( x, (se igur 8 Vi vil nu evise t der, som tidligere omtlt, gælder ølgende: (8 Sætning: A x = ( ( x ( ( A( x x ( M x x ( Figur 8 Figur 8c Bevis or (8 Iølge deinitionen på dierentilkvotient er (8 ensetydende med A( A( x ( lim = ( x x x x x Vi indører etegnelserne x, x og x : Ld x være et tl i [ ; ] som er x I intervllet med endepunkter x og x, endepunkterne medregnet, indes et tl x så ( x er minimum or i intervllet, og et tl x så ( x er mksimum or i intervllet, d en unktion der er kontinuert i et intervl typen [ p; q], åde hr et minimum og et mksimum i dette intervl (Hvis situtionen er som på igur 8c, så er x = x og x = x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

18 Som en hjælp til t evise ( vil vi evise t ølgende gælder: A( A( x ( ( x ( x x x Til rug i eviset heror indører vi etegnelsen M or det område der grænses -gren, ørsteksen og de lodrette linjer gennem punkterne ( x, og (x, Området M er vist på igur 8c Først eviser vi t ( gælder når x > x : så A( A( x er relet M d A ( er relet mellem gr og ørstekse r lodret linje gennem (, til lodret linje gennem (x, og A ( x er relet mellem gr og ørstekse r lodret linje gennem (, til lodret linje gennem ( x, x ( x er relet et rektngel der er indeholdt i M ( x Tllene ( x og x x er hhv højde og grundlinje i rektnglet ( x x ( x er relet et rektngel der indeholder M Tllene ( x og x x er hhv højde og grundlinje i rektnglet ( x ( x x A( A( x ( x ( x x D x x er et positivt tl, vil ulighederne stdig gælde eter t hver side er divideret med x x Hermed er ( evist når x > x Nu eviser vi t ( også gælder når x < x : så A( x A( er relet M ( x x ( x ( x x ( x er relet et rektngel der er indeholdt i M er relet et rektngel der indeholder M ( x ( x A( x A( ( x ( x x D x x er et positivt tl, vil ulighederne stdig gælde eter t hver side er divideret med x x : A( x A( ( x ( x x x Når vi orlænger røken med ås (, som hermed også er evist når x < x Integrlregning Side 6 Krsten Juul

19 Til sidst ruger vi ( til t evise (: For x x ås: x x og x x d x og x ligger i intervllet med endepunkter x og x x ( og x ( ( x d x A( A( x ( ( x x x ( x x x og x og ( er kontinuert d ( er opyldt og x ( og x ( ( x ( x Hermed er (8 evist d ( er ( udtrykt med ndre symoler Bemærkning Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl [ ; ], og ld M være området mellem -gren og ørsteksen r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, I rmmerne og så vi t mn ud r (8 kn slutte: (8d Sætning Hvis ( or x i [ ; ], så er ( = rel( M Integrlregning Side 6 Krsten Juul

20 8 Formlen or rel mellem grer Ld og g være unktioner der er kontinuerete i et intervl [ ; ], og ld M være området mellem -gren og g-gren r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, Se igur 8 Ved hjælp (8d vil vi nu evise ølgende sætning: (8e Sætning (Formlen or rel mellem grer Hvis ( g( or x i [ ; ], så er ( ( g( = rel( M ( ( M ( + k M ( g( ( g ( + k ( Figur 8 Figur 8g Bevis or (8e g ( hr et minimum i [ ; ] d en unktion der er kontinuert i et intervl typen [ p ; q], hr et minimum Altså indes et tl k så grerne or ( + k og g ( + k ligger over ørsteksen Se igur 8g Iølge (8d gælder ( ( ( x + k er relet mellem ørsteksen og gren or ( + k ( ( g ( + k er relet mellem ørsteksen og gren or g ( + k Nu ås: rel( M = rel( M + = ( + k ( g( k ( iølge ( og ( + = (( ( + k ( g( k = ( ( g( Hermed er sætning (8e evist iølge ormlen or integrl dierens Integrlregning Side 6 Krsten Juul

21 8 Eksempel på rug ormlen or rel mellem grer Det er oplyst t grerne or unktionerne ( = x og g( x grænser et område der hr et rel = ( ( For t estemme dette rel tegner vi ørst grerne or og g ( Ved t løse ligningen ( = g( inder vi t ørstekoordinterne til grernes skæringspunkter er og ( D g( ( or x i [ ; ], er det søgte rel lig ( ( g ( g ( ( Ved t estemme dette integrl ås t relet er 8 86 Øvelse Grerne or unktionerne ( = x + x + og g ( = x grænser et område der hr et rel Bestem dette rel 87 Øvelse Betrgt de to unktioner 8 ( = x og g ( = x Grerne or unktionerne grænser smmen med ørsteksen en punktmængde der hr et rel Bestem dette rel Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul

22 88 Arel mellem gr og kse når gr ligger under kse Ld være en unktion der er kontinuert i et intervl [ ; ], ld M være området mellem -gren og ørsteksen r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, Ved hjælp (8e kn vi nu evise ølgende: (8h Sætning Hvis ( or x i [ ; ], så er ( = rel(m Bevis or (8h Området M kn også eskrives som området mellem -gren og gren or unktionen g ( = r den lodrette linje gennem (, til den lodrette linje gennem (, D g( ( ølger (8e t rel( M = ( g ( ( iølge sætning (8e = ( ( = Hermed er sætningen evist ( iølge sætning (7g med k = Integrlregning Side 7 6 Krsten Juul

23 89 Smmenhængen mellem reler og integrl Eksemplet i denne rmme tydeliggør den smmenhæng der er mellem reler og integrl ( 7 8 ( Figuren viser gren or en unktion A rel r til er I integrl r til er A rel r til 7 er I integrl r til 7 er A rel r 7 til 8 er I integrl r 7 til 8 er A rel r til 8 er I integrl r til 8 er 6 De reler der omtles, er reler mellem -gr og ørstekse De integrler der omtles, er integrler unktionen Begrundelse or I : D ( or x, er integrl = rel Begrundelse or I : D ( or x 7, er integrl = rel Begrundelse or I : D ( or 7 x 8, er integrl = rel Begrundelse or I : A indskudsreglen ås: integrl r til 8 = ( + + ( = Bemærkning: Sproget i denne rmme eterligner en mundtlig orklring hvor der peges på en igur I en skritlig esvrelse en opgve er det mere prktisk t ruge integrltegn Se hvordn i de næste rmmer Integrlregning Side 8 6 Krsten Juul

24 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( M 9 M ( Figuren viser gren or en unktion som hr nulpunkterne, og 9 Det oplyses t rel( M 86 = og rel( 8 M = Vi vil estemme integrlet r til 9 D ( or x i [ ; ], ås 86 ( = rel( M = D ( or x i [ ; 9], ås 9 = rel( M = 8 ( Ved t ruge indskudssætningen ås ( = ( + ( = 86 + ( 8 = Advrsel Sig ikke "rel" når du mener "integrl" I eksemplet ovenor gælder mens dvs relet r til 9 er lig 8 integrlet r til 9 er rel integrlet r til 9 er 8 Integrlregning Side 9 6 Krsten Juul

25 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( x = 8 M ( Figuren viser gren or en unktion hvis nulpunkter er 8 og Smmen med ørsteksen grænser gren en punktmængde M der hr et rel Det er oplyst t relet M er 7 og t Vi vil estemme integrlet r 8 til 9 ( = D ( or x i [ 8; ], ås 8 7 ( = rel( M = Ved t ruge indskudssætningen ås 8 8 ( = 8 ( = ( + ( = 8 Øvelse Figuren viser gren or en unktion som hr nulpunkterne 8, 6 og I tredje kvdrnt grænser gren og ørsteksen en punktmængde M der hr relet I nden kvdrnt grænser gren og ørsteksen en punktmængde N der hr relet 7 Bestem hvert integrlerne 6 8 ( og 8 ( M N ( ( Integrlregning Side 6 Krsten Juul

26 8 eksempel hvor integrl og/eller rel er givet ( x = M M ( På iguren ses gren or en unktion der hr nulpunktet Desuden ses to punktmængder M og M Det er oplyst t relet M er, og t Vi vil estemme relet M D ( or x i [ ; ], ås ( = rel( M = D ( or x i [ ; ], gælder t ( = rel( M Iølge indskudssætningen er dvs Altså er = ( + ( ( ( rel( + M = rel( M = så relet M er ( = Integrlregning Side 6 Krsten Juul

27 8 Eksempel på eregning rel ved opdeling ( ( Figuren viser gren or unktionen skrverede område ( = x x 6 Vi vil eregne relet det Ld M etegne det skrverede område over ørsteksen, og ld M etegne det skrverede område under ørsteksen Ved t løse ligningen ( = inder vi t ørstekoordinterne til grens skæringspunkter med ørsteksen er og D ( or x i [ ; ], gælder t ( = rel( M ( D ( or x i [ ; ], gælder t ( ( = rel( M Ved eregning inder vi t ( ( = 6 ( 7 9 ( = A ( og ( ås t rel( = 6 M, og ( og ( ås t rel( = 7 9 M, så relet det skrverede område er 7 = Integrlregning Side 6 Krsten Juul

28 8 Eksempel med ortolkning integrl Betrgt unktionen ( = x Vi vil eregne ( ( og give en geometrisk ortolkning resulttet ( x = [ x x] = ( ( = Vi tegner gren Den geometriske ortolkning er: ( Skrveret rel under kse er enhed større end skrveret rel over Integrlet er nemlig lig relet S over ksen minus relet S under ksen: S = S 86 Øvelse Betrgt unktionen ( = x 6x Beregn det estemte integrl ( og ortolk resulttet ved hjælp en skitse Integrlregning Side 6 Krsten Juul

29 9 Rumng omdrejningslegeme 9 Formlen or rumng omdrejningslegeme + eksempel Når punktmængden M på igur 9 drejes 6 om ørsteksen, ås omdrejningslegemet på igur 9c (9 Sætning (Formlen or rumng omdrejningslegeme Rumnget V omdrejningslegemet kn eregnes ved hjælp ormlen ( V = ( ( π ( M ( ( Figur 9 Figur 9c Antg t igur 9 viser gren or unktionen ( = x, x Så hr omdrejningslegemet rumnget V ( x = 8 π x = = π [ ] = 8 π ( π 8 = π x 9 Øvelse Gren or unktionen ( = x grænser smmen med koordintkserne i jerde kvdrnt en punktmængde M Bestem rumnget det omdrejningslegeme der remkommer når M drejes 6 om ørsteksen Integrlregning Side 6 Krsten Juul

30 9 Bestemme rumng ring Den skrverede punktmængde M på igur 9d er grænset grerne or unktionerne 9 ( = x x + og g ( = og linjerne med ligningerne x = og x = Når M drejes 6 om ørsteksen, remkommer det ringormede omdrejningslegeme på igur 9e Vi vil eregne ringens rumng V ring ( ( ( ( g g g ( ( ( ( Figur 9d Figur 9e Figur 9 Figur 9g Når den skrverede punktmængde på igur 9 drejes om ørsteksen, ås en skive med rumng V skive Herr skl trækkes hullets rumng V hul Hullet ås når den skrverede punktmængde på igur 9g drejes om ørsteksen A sætning (9 ås V skive ( ( = 7 π = π V hul π ( g( = 9 π = Altså er ringens rumng V ring = Vskive Vhul = 997 π Bemærkning Hullets rumng kunne også være eregnet ved t ruge ormlen or rumng cylinder Integrlregning Side 6 Krsten Juul

31 9 Advrsel vedr rumng ring Ld og g være unktionerne r rmme 9 Figur 9h viser gren or unktionen ( g( Vi etrgter omdrejningslegemet der ås ved t dreje den skrverede punktmængde 6 om ørsteksen For t eregne dets rumng, indsætter vi unktionen ( g( or ( i ormlen i sætning (9: V ( ( g( = 7 π = π ( ( g( ( Vi ser t rumnget er meget mindre end ringens rumng Mn kn ltså ikke estemme ringens rumng ved t indsætte ( g( i ormel (9 Figur 9h 9 Øvelse Grerne or unktionerne ( = x og g ( = x grænser smmen med ørsteksen en punktmængde M Bestem rumnget det omdrejningslegeme der remkommer når M drejes 6 om ørsteksen Integrlregning Side 6 6 Krsten Juul

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion

Projekt 4.12 Definition og differentiation af sammensat funktion og omvendt funktion ISBN 978-87-766-498- Projekter: Kapitel 4. Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Projekt 4. Deinition og dierentiation a sammensat unktion og omvendt unktion Materialerne

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning:

Pythagoras sætning. I denne note skal vi give tre forskellige beviser for Pythagoras sætning: Pythgors sætning I denne note skl i gie tre forskellige eiser for Pythgors sætning: Pythgors sætning I en retinklet treknt, hor den rette inkel etegnes med, gælder: + = eis 1 Ld os tegne et stort kdrt

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2

Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2 Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

gudmandsen.net Integraler

gudmandsen.net Integraler gudmandsen.net 2000-203 Jako SvH Gudmandsen Kopiering fra denne pulikation må kun finde sted i overensstemmelse aftale mellem Copy-Dan og Undervisningsministeriet. Integraler Indholdsfortegnelse Integraler...

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Matematik & Statistik

Matematik & Statistik Matematik & Statistik Simon Kaiser August 6 FORORD... - 4 - KAPITEL 1: SIMPLE REGNEREGLER OG LIGNINGER... - 5-1. ELEMENTÆRE REGNEREGLER...- 5-1.1 Parentesregning... - 5-1. Brøkregneregler... - 5-1..1 Generelle

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule

DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND. Cross Boule DANSK ARBEJDER IDRÆTSFORBUND Cross Boule 1 Forord Cross Boule når som helst og hvor som helst Dnsk Arejder Idrætsforund er glde for t kunne præsentere Cross Boule - et oldspil, hvor lle kn være med. Spillet

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER

RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER RS-216 RS-224 RS-232 ERHVERVS TYVERI ALARMER Brugervejledning RS-216 - AIA kl. 1 RS-224 - AIA kl. 2 RS-232 - AIA kl. 3 Indholdsortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE...2 1. INTRODUKTION...3 1. System oversigt:...3

Læs mere

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker

Ekstraktion af spektre og chromatogrammer vha. kemometriske teknikker Ekstrktion f spektre og chromtogrmmer vh kemometriske teknikker Nogle kemometriske teknikker til seprtion f spektre og chromtogrmmer er undersøgt mhp utomtisering f dtehndlingen f NMR-chromtogrmmer Teknikkerne

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk

Tlf.: 96 17 02 02 info@artof.dk www.artof.dk Vielsesringe Designer og guldsmed Jn Jørgensen Siden 1995 hr Jn Jørgensen hft egen virksomhed, hvor nturen i det rske og åne Nordjyllnd hr givet inspirtion til det meste f designet. Smykker i de ædleste

Læs mere

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole

Brug og anerkendelse af dansksprogede dokumenter ved forvaltningsmyndigheder og domstole Jørgen Kühl Brug og nerkendelse f dnsksprogede dokumenter ved forvltningsmyndigheder og domstole Bggrund Det dnske mindretl i Sydslesvig er et nerkendt ntionlt mindretl i Forundsrepulikken Tysklnd og Slesvig-Holsten.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

og betydningen af saglige argumenter. Prismodtageren i 2013 er journalist Martin Krasnik.

og betydningen af saglige argumenter. Prismodtageren i 2013 er journalist Martin Krasnik. ktlog 2013/14 Columus er et fondsejet forlg, der er stiftet f Foreningen f lærere i smfundsfg (FALS) for t levere de fgligt edste øger til de lveste priser. Smfundsfg hr i fire årtier været vores hovedfg,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Brandsikring af ventilationskanaler

Brandsikring af ventilationskanaler Brndsikring f ventiltionsknler Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 November 2 010 Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 3. udgve, 2009 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Runde knler

Læs mere

netsikker nu! Alder ingen hindring

netsikker nu! Alder ingen hindring netsikker nu! O k t o e r 2 0 0 7 Alder ingen hindring Flere og flere seniorer tger internettet til sig. De hr nemlig opdget, t internettet yder på et utl f muligheder. Derfor sætter denne udgve f netsikker

Læs mere

Funktioner af to og tre variable

Funktioner af to og tre variable MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Kort indøring i Funktioner a to og tre variable. udgave 00 FORORD Dette notat giver en kort indøring i, hvorledes man ved anvendelse a passende regnemidler og benttelse a partielle

Læs mere

Elementær Matematik. Rumgeometri

Elementær Matematik. Rumgeometri Elementær Mtemtik Rumgeometri Ole Witt-Hnsen Køge Gmnsium 8 Inhol. Koorintsstem i rummet.... Vektorer i rummet.... Sklrproukt.... Prmeterfremstilling for en linie i rummet...5. Krsproukt f to vektorer...6.

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER

CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER CONLIT BRANDSIKRING AF VENTILATIONSKANALER Monteringsvejledning for brndisolering iht. DS428, 4. udgve, 2011 - og lukninger med Conlit Brndskotplde, EI60 [BS60] Klsse EI 30/E 60 A2-s1, d0 1 2013 Runde

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Digital Tinglysning. Vejledning til Endelig bodeling. Udgivet 10. februar 2010 version 1.0

Digital Tinglysning. Vejledning til Endelig bodeling. Udgivet 10. februar 2010 version 1.0 Digital Tinglysning Vejledning til Endelig odeling Udgivet 0. feruar 200 version.0 Vejledning Endelig odeling v.0, 0. feruar 200 Inden du starter Inden du går i gang med at ekspedere din anmeldelse, kan

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS

ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS ICF - DEN DANSKE VEJLEDNING OG EKSEMPLER FRA PRAKSIS INTERNATIONAL KLASSIFIKATION AF FUNKTIONSEVNE, FUNKTIONSEVNENEDSÆTTELSE OG HELBREDSTILSTAND Udrbejdet f MrselisborgCentret, 2005 En spørgeskemundersøgelse

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf. 2008 Karsten Juul Bogstavregning En indledning for stx og hf 2008 Karsten Juul Dette hæfte træner elever i den mest grundlæggende bogstavregning (som omtrent springes over i lærebøger for stx og hf). Når elever har lært

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

SPAM 7. netsikker nu!

SPAM 7. netsikker nu! netsikker nu! Mj 2006 Test dig selv Hvor sikker er du på nettet? Tg testen på gsiden og se, hvor højt du sorer, når du går i krig med spim, spm og psswords. 16 Bliv online med dine ørn Hvorfor styrer kvinder

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Digital Tinglysning. Ikke opdateret. Vejledning til Ejerpantebrev. Udgivet 1. september 2010 version 1.2

Digital Tinglysning. Ikke opdateret. Vejledning til Ejerpantebrev. Udgivet 1. september 2010 version 1.2 Digital Tinglysning Vejledning til Ejerpanterev Udgivet. septemer 200 version.2 Inden du starter Inden du går i gang med at ekspedere din anmeldelse, kan du enytte følgende tjekliste for at sikre, at du

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Introduktion til Calc Open Office med øvelser

Introduktion til Calc Open Office med øvelser Side 1 af 8 Introduktion til Calc Open Office med øvelser Introduktion til Calc Open Office... 2 Indtastning i celler... 2 Formler... 3 Decimaler... 4 Skrifttype... 5 Skrifteffekter... 6 Justering... 6

Læs mere

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012

gratis magasin Opskrifter på lækker og hurtig mad Friske frosne grøntsager & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 minus 18 grtis mgsin o Opskrifter på lækker og hurtig md Friske frosne grøntsger & frugt hele året rundt n u m m e r 01 / 2 012 En frisk verden på frost 2 Let middgsmden med frosne grøntsger Md med mnge

Læs mere

Digital Tinglysning. Ikke opdateret. Vejledning til Endeligt Skøde. Udgivet 1. september 2010 version 1.3

Digital Tinglysning. Ikke opdateret. Vejledning til Endeligt Skøde. Udgivet 1. september 2010 version 1.3 Digital Tinglysning Vejledning til Endeligt Skøde Udgivet. septemer 200 version.3 Inden du starter (/2) Inden du går i gang med at ekspedere din anmeldelse, kan du enytte følgende tjekliste for at sikre,

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4

SLRTV Beretning 2004. Dagsorden..side 2. Forslag til forretningsorden...side 3. Politisk beretning...side 4 Indhold Dgsorden..side 2 Forslg til forretningsorden...side 3 Politisk eretning...side 4 - Lex Osen og dens konsekvenser...side 4 - De ikke-kommercielle medier konference..side 10 - Forstærket smrejde...side

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17

Forfatterhåndbog. 72214_forfatterhaand_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Forftterhåndbog 72214_forftterhnd_3k.indd 1 20-06-2008 08:15:17 Er mnuskriptet klr til indlevering? Alle niveuer i teksten er mrkeret klrt med smme skriftstørrelse og skrifttype for hvert niveu. Evt. tl-

Læs mere