Trigonometri. Matematik A niveau

Transkript

1 Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge

2 Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den projierede på y-ksen Sinus 1 Cosinus Tngens Husk t Sin og Cos er funktioner Sin() og Cos() Eksempel på rug f osinus Sinus og tngens 20 o i tger lige et pr f de grundlæggende først her ruger vi direkte = os(20) og får med det smme resulttet lidt mere vnskeligt i den næste 4 20 o smmenhængen er som før 4 = sin(20) nu skl vi lot isolere til = 4 sin(20) og vi hr nu resulttet

3 den sidste simple type er der hvor vi skl finde vinklen ud fr længder 0,5 grundformlen er igen 0,5= os() såskl vi isolere 0,5 =os() og nu til det speielle nemlig t ruge den modstte funktion også kldt den omvendte funktion os 1 ( 0,5 )= og vi hr svret Ld os tge et pr opgver

4 rition f de opgver i lvede sidst men prøv lige t går dem igennem 1 Find ud fr længden og vinklen o 2 Find ud fr længden og vinklen o 3 Find ud fr vinklen 20 og længden 4 4 Hint: kig på de to forgående og prøv t isolere 4 Find ud fr vinklen og længden o Hint: kig på de to først og prøv t isolere 4.1 Find ud fr længden og vinklen o 30 o 4.2 Find ud fr længden og vinklen o 4.3 Find ud fr vinklen 20 og længden 4 20 o 4 Hint: kig på de to forgående og prøv t isolere

5 4.4 Find ud fr vinklen 25 og længden o Hint: kig på de to først og prøv t isolere 5 Find længden ud fr de viste vinkler og længden 20 h 20 Hint: del op i 2, prøv t finde h først som før derefter skift til den nden retvinklede treknt, find så de to dele f. 50 o 30 o 6 En femknt hr rdius 5 find kntlængden k 5 k Hint: prøv t finde den retvinklede treknt!! 7 Den er ikke så nem som den ser ud til!! Find ud fr længden og vinklen 20 Hint: prøv først t skrive op hvordn du ville finde hvis du kendte skriv så ned hvordn du vil finde ud fr det kendte, sæt så disse smmen. 20 o 8 EC Dette er en f de lidt mere vnskelige, hold hovedet koldt!!! Hint: du skl skrive op hvordn mn finder (smmenhæng): h ud fr h ud fr den ene del f længden 20 ud fr den nden del f længden 20 ud fr h 50 o o 9 Find vinkel opgve? 0,5 Find vinklen? 6,5

6 11 Find lle vinkler og længder 6,5 Hint: find med pythgors først den sidste længde 12 Find ud fr de viste oplysninger vinklen h 20 Hint: først find h, så den højre del f grundlinien nu kn du finde den venstre del f grundlinien, rug nu pythgors til t finde den sidste længde i den venstre o 14 Find o Hint: rug tngens 15Find 48 o 5 Hint: rug tngens 16 Find 6 56 o 17 Find højden h h 50 o o Hint: del grundlinien op i to og rug tngens

7 18 Opgven går i sin enkelthed ud på t finde den fede linies vinkel med vndret Indre rdius er 5 Ydre rdius er

8

9 Cosinus og Sinus reltionerne Øvelse B h A C Skriv formlen op for h udtrykt ved C og Skriv formlen op for h udtrykt ved A og sæt nu h=h og omskriv således t og A står på den ene side f = og og C på den nden. Hvd får i nu?? og hvordn ville denne smmenhæng se ud hvis mn indførte og B Cosinusreltionen ygger på smme treknt som den foregående øvelse dog med indførslen f x B h A x -x C Hvilket etyder t mn kn skriver t x = os(a) Phytgors siger om smme venstre treknt t x 2 +h 2 = 2 Phytgors siger om højre treknt t h 2 +(-x) 2 = 2 Mn kn sige t der her er 2 uønskede vrle nemlig x og h men d der er tre ligninger kn mn fjerne dem ved t først isolere h 2 i ligning 2 og indsætte i ligning 3, herefter kn ligning 1 også indsættes Prøv lige selv!! den er lidt svær

10 h 2 isoleres i x 2 +h 2 = 2 h 2 = 2 x 2 og indsættes 2 x 2 +( x) 2 = 2 prntes hæves 2 x x 2 2x= 2 som kn forkortes til x= 2 så indsættes x = os( A) os(a)= 2 eller skrevet påen nden måde os(a)= Som er den såkldte osinus reltion der fås flere udgver f denne lt efter hvilken vinkel mn vil finde eller retere hvd mn hr kldt vinkler og længder (se formelsmling) Ld os se på et pr opgver i dette smt generelt trigonometri

11 Ld os lige kigge på sinus og osinus reltionerne smt osinus og sinus som sådn, her er uddrg f formelsmlingen. tn() sin() os() = os() = sin() = tn() Yderligere kn mn udlede f disse. = os( ) = sin( ) = tn( ) Phytgors sætning kun for retvinklede treknter 2 = 2 + 2

12 Ikke retvinklede treknter Sinusreltionen : sin A = sin B = sin C B Cosinus reltionen: A C os A = os B = os C = A=os B=os C=os

13 i hr ikke snkket så meget rel men dem der kn nå det kigger på spørgsmål også (hint find højden)

14 EC

15 Omvendt osinus og sinus eller sin -1 og os -1 Som mn kn se på denne tegning hr mn for en Sinus værdi to vinkler nemlig og 180- På smme måde gælder det for Cosinus her er det lot t en osinus værdi hr to inkler her og 360- Tegn selv en figur der viser Cosinus smmenhængen Den såkldte grundreltion er seret på Pythgors sætning og smmen mellem sinus og osinus. Hvis mn ser på treknten her så er det klrt t denne kn sættes ind i enhedsirklen og dermed kommer Pythgors til t lyde 1 Sin () 1 2 = sin 2 () + Cos 2 () Som er grundreltionen Cos ()

16 Cirklens ligning Cirklen ligning er som grundreltionen seret på Pythgors, for ifølge Pythgors kn der om et hvert punkt på en irkel, med entrum i (0,0) r 2 = x 2 + y 2 Hvis mn igen forskyder irklen væk fr t hve entrum i (0,0) til t hve entrum i f.eks (x 0,y 0 ) så liver irklens ligning. r 2 = (x-x 0 ) 2 + (y-y 0 ) 2 Afstnde r x y