Kort om Potenssammenhænge

Transkript

1 Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul

2 Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning og grf for potenssmmenhænge Dobbeltlogritmisk koordintsystem Potensligning Sådn vokser potenssmmenhænge Udregn og b i y = b ud fr to punkter på grfen Potensregression Proportionle vrible Omvendt proportionle vrible Når vrible fr virkeligheden er omvendt proportionle Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" 2011 Krsten Juul Dette hæfte kn downlodes fr Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til [email protected] som dels oplyser t dette hæfte benyttes, dels oplyser om hold, lærer og skole.

3 Øvelse 1.1 På lommeregner eller computer (med mtemtikprogrm) kn vi tste en potens ved hjælp f eller potensskbelon. 2 2,1 0,5 1 3,1 = 2 = 9 = 4 = ^ Øvelse 1.2 Hver f følgende smmenhænge kn vi få ved t sætte tl ind for og b i ligningen Angiv i hvert tilfælde hvd der skl indsættes for og b. 3 (1) y = 4 (2) = 4 0,4 y 3 (3) y = (4) y = 3. y = b. Øvelse 1.3 1,5 2 1,5 4,8 3 Vi kn udregne rumfnget f en ksse ved t bruge reglen rumfng = længde bredde højde For kssen til højre er () rumfng = = For kssen til venstre er (b) rumfng = = 4 Vi hr nogle ksser hvor grundflden er et kvdrt. Højden er 4 gnge siden i grundflden. (c) Når siden i grundflden er 2, er rumfng = = (d) Når siden i grundflden er 5, er rumfng = = (e) Når siden i grundflden er, er rumfng = = (f ) Udfyld tbellen: En bestemt type orm vokser sådn t når tykkelsen er 1, er rumfnget 4. Hvis denne orm bevrer sin fcon når den vokser, så vil der gælde: når tykkelsen er, så er rumfnget 4 3, men det viser sig t ormen efterhånden får en mere flng fcon. Mn hr målt følgende længder og rumfng (med en pssende enhed): længde rumfng (g) Prøv dig frem med ndre eksponenter end 3, og find en eksponent som psser med de målte tl (tllene er frundet til hele tl). Eksponenten skl være. (h) Når = tykkelse og y = rumfng, er y = b hvor = og b =. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

4 Øvelse 1.4 Vi hr 600 kr. til t købe bær. () Hvis prisen pr. kg er 24 kr., så kn vi købe (b) Hvis prisen pr. kg er 30 kr., så kn vi købe (c) Hvis prisen pr. kg er kr., så kn vi købe (d) Udfyld tbellen: kg. kg. kg , (e) Udfyld tbellen: , (f ) Når = kg-pris og y = ntl kg vi kn købe, er y = b hvor = og b =. Øvelse 1.5 Et rektngel på en skærm hr den egenskb t når vi ændrer dets størrelse, så vedbliver bredden t være 4 gnge højden. Rektnglet kn ltså deles op i 4 kvdrter hvis side er højden i rektnglet. () Når rektnglets relet er 4, så er højden. (b) Når rektnglets relet er 16, så er højden. (c) Når rektnglets relet er 36, så er højden. (d) Når = 4, så er 0,5 =. (e) Når = 16, så er 0,5 =. (f) Når = 36, så er 0,5 =. 0,5 (g) Der gælder y = 0.5 hvor = rektnglets og y = rektnglets. (h) y = b hvor = og b =. Øvelse 1.6 () Smmenhængen (b) Smmenhængen (c) Smmenhængen (d) Smmenhængen (e) Smmenhængen 0,5 0,5 2 0,5 y = 15 er voksende d eksponenten 2 er positiv. 0,2 y = 3 er d. y = er d ,11 y = er d. 8 y = 0,1 er d. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

5 Øvelse 2.1 () Udfyld tbellen: ,16 (b) Tegn grfen for smmenhængen y = i begge koordintsystemerne nedenfor. 5 1,16 Øvelse 2.2 Grfen viser smmenhængen mellem to vrible og y. Der er tle om en potenssmmenhæng. I et sædvnligt koordintsystem ville grfen være en krum kurve. () Når = 1, er y =. (b) Når = 2, er y =. (c) Når ændres fr 1 til 2, så vil y blive enheder større. (d) Når ændres fr 2 til 3, så vil y blive enheder større. (e) Når ændres fr 3 til 4, så vil y blive enheder større. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

6 Øvelse = () Løs ligningen 4 36 for > 0 ved hjælp f formel 3.2 i teorihæftet. 3 = (b) Løs ligningen 5 40 for > 0 ved t omskrive ligningen. 0,71 (c) Løs ligningen 12 = 95 for > 0 ved hjælp f elektronisk ligningsløser. Øvelse 3.2 For nogle dyr gælder y = 0,24 2,8 hvor y er vægten, målt i grm, og er længden, målt i cm. () Hvd er vægten f et dyr hvis længde er 3 cm? (b) Hvd er længden f et dyr hvis vægt er 0,5 g? Øvelse 3.3 Antllet f dyr i en indhegning fhænger f dyrenes længde. Der gælder 2,3 y = 5800 hvor y er ntl dyr i indhegningen, og er dyrenes længde, målt i cm. () Hvor mnge dyr er der i indhegningen, hvis dyrenes længde er 6 cm? (b) Hvd er dyrenes længde når der er 19 dyr i indhegningen? Øvelse 3.4 Smmenhængen mellem tykkelse og længde for visse stængler kn beskrives ved ligningen y = 13 0,72 hvor y er længden i cm, og er tykkelsen i mm. Hvor tyk er en 100 cm lng stængel? Øvelse 3.5 Prisen for nogle figurer er fstlgt ved y = 20 3,5 hvor y er prisen i kr. og er højden i cm. En gul figur er 3 cm høj, en rød figur er 5 cm høj, og en blå figur er 7 cm høj. () Hvor mnge kroner er den røde dyrere end den gule? (b) Hvor mnge kroner er den blå dyrere end den røde? (c) Hvor mnge procent er den røde dyrere end den gule? (d) Hvor mnge procent er den blå dyrere end den røde? Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

7 Øvelse 4.1 Et dyr vokser sådn t 2,4 y = 5,8 hvor y er vægten i grm, og er længden i cm. () Brug metode 1 fr rmme 4 i teorihæftet til t udregne hvor mnge procent vægten bliver større når længden bliver 50 % større. (b) Brug metode 2 fr rmme 4 i teorihæftet til t udregne hvor mnge procent vægten bliver større når længden bliver 50 % større. Øvelse 4.2 For en cylinder hvor højden er lig dimeteren, gælder y = 3 4 π hvor y er rumfnget og er dimeteren. () Hvd sker der med rumfnget f sådn en cylinder når vi fordobler dimeteren? (b) Hvor mnge procent større bliver rumfnget når vi gør dimeteren 20 % større? Øvelse 4.3 Hvis vi sætter en vres pris op, så sælger vi mindre f den. For en bestemt vre gælder 2,11 y = , hvor y er det beløb vi sælger for på én dg, og er prisen pr. pkke. (Enheden for og y er kr.). () Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 20 % op? (b) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen 40 % op? (c) Hvor mnge procent flder det beløb vi sælger for på én dg, hvis vi sætter prisen op fr 10 kr. til 20 kr.? Øvelse 4.4 Om nogle ksser gælder t højden er 2 gnge bredden, og længden er 3 gnge bredden. () Hvis bredden er 5, hvd er så kssens overflde? (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem overflden y og bredden. (c) Hvd sker der med overflden når bredden fordobles? Øvelse 4.5 For en bestemt bolig kn vi udregne det årlige vrmetb gennem loftet ved hjælp f ligningen y = ,75 hvor y er vrmetbet i kwh og er tykkelsen i cm f isoleringen. Nu er tykkelsen 10 cm. Hvor mnge procent vil vrmetbet nedsættes hvis tykkelsen øges med 85 %? Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

8 Øvelse 5.1 Punkterne (, y) = (2, 4) og (, y) = (6, 108) ligger på grfen for smmenhængen y = b. () Udregn tllene og b ved t sætte ind i formler for og b (metode 1 fr rmme 5 i teorihæftet). (b) Udregn tllene og b ved t løse ligningssystem med elektronisk ligningsløser (metode 2 fr rmme 5 i teorihæftet). (c) Udregn tllene og b ved t løse ligningssystem uden elektronisk ligningsløser (metode 3 fr rmme 5 i teorihæftet). (d) Udregn tllene og b ved potensregression (metode 4 fr rmme 5 i teorihæftet). Øvelse 5.2 For en lyskilde gælder t (1) y = b hvor y er lysstyrken (målt i W/m 2 ) og er fstnden til lyskilden (målt i cm). Vi måler t 4 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,075 W/m 2 10 cm fr lyskilden er lysstyrken 0,012 W/m 2. () Hvilke f disse fire målte tl er -værdier, og hvilke er y-værdier? (b) Disse målte tl viser t grfen for smmenhængen (1) går gennem punkterne (, ) og (, ). (c) Udregn tllene og b i (1). Øvelse 5.3 Et bløddyr vokser sådn t y = b hvor y er overflden (målt i mm 2 ) og er tykkelsen (målt i mm). Overflden er 54 mm 2 når tykkelsen er 2,1 mm. Overflden er 890 mm 2 når tykkelsen er 7,1 mm. () Udregn tllene og b. (b) Hvd er tykkelsen når overflden er 200 mm 2? (c) Hvd er overflden når tykkelsen er 10 mm? (d) Hvor mnge procent større bliver overflden større når tykkelsen bliver dobbelt så stor? Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

9 Øvelse 6.1 En bestemt fisk vokser sådn t der med god tilnærmelse gælder y = b hvor er længden i cm, og y er vægten i grm. Mn hr målt følgende: Længde i cm 11,2 12,7 14,4 17,5 20,8 Vægt i grm 16,3 23,2 32,9 56,5 91,3 () Bestem og b så ligningen psser bedst muligt med de målte tl. (b) Brug ligningen til t udregne hvor mnge procent tungere fisken bliver når den bliver 20 % længere. Øvelse 6.2 Mn regner med t der under bestemte forhold gælder t y = b hvor er ntl enheder kosttilskud pr. dyr og y er ntl dyr der dør. Mn hr målt følgende: Antl enheder kosttilskud Antl dyr der dør () Bestem og b så ligningen psser bedst muligt med de målte tl. (b) Brug ligningen til t udregne hvor mnge procent ntllet f døde dyr flder når mængden f kosttilskud firedobles. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

10 Øvelse 7.1 I koordintsystemet er tegnet nogle hvide og grå stolper. er højden f en hvid stolpe y er højden f en grå stolpe. er IKKE tllene på den vndrette kse. () I 2002 er = og y = (b) Dette betyder t i år er prisen på A lig og prisen på B lig (c) Vi udregner hvd vi i 2002 skl gnge A's pris med for t få B's pris: : =. (d) 20 ( fcit fr (c) ) =. (e) I 2002 er y = (f) I 2003 er y = (g) I 2004 er y = (h) I 2005 er y = ( i ) I 2006 er y = Her skl stå det tl vi skl gnge med for t få y. ( j) Læs definitionen øverst i rmme 7 i teorihæftet om potenssmmenhænge, og fgør om prisen på B er proportionl med prisen på A. (k) Smmenhængen mellem y og kn beskrives med ligningen y =. Øvelse 7.2 () I 2002 er = (b) I 2002 er y = (c) I 2002 er y = (d) I 2003 er y = (e) I 2004 er y = (f) I 2005 er y = (g) I 2006 er y = ( h) Læs definitionen øverst i rmme 7 i teorihæftet om potenssmmenhænge, og fgør om prisen på D er proportionl med prisen på C. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

11 Øvelse 7.3 En vre fås i pkker f forskellig størrelse. Figuren viser priserne. 1 kg 2 kg 5 kg 12 kg 30 kr. 60 kr. 150 kr. 360 kr. () Undersøg om prisen er proportionl med mængden. (b) Skriv en ligning der viser smmenhængen mellem pris og mængde. Husk t ligningen ikke giver nogen mening hvis du glemmer t skrive nogle ord om hvd y og står for. Øvelse 7.4 Se besvrelsen i rmme 7 i teorihæftet om potenssmmenhænge. Her kn du se hvordn vi kn udregne svrene i denne øvelse. De vrible og y er proportionle y Vis hvordn mn kn udregne de mnglende tl i tbellen. Øvelse 7.5 Om to proportionle vrible og y er oplyst t når er 12, så er y lig 719,40. () Hvd er y når er 19? (b) Hvd er når y er 1858,48? Øvelse 7.6 Figuren viser en stor og en lille firknt Hvis kn være enhver f siderne i den lille firknt, og y betegner den tilsvrende side i den store firknt, så er og y proportionle. Gør rede for dette, og skriv en ligning der viser smmenhængen mellem og y. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

12 Øvelse 8.1 Vi hr 24 mønter til t købe te for. y = ntl enheder vi kn købe. () Hvis prisen pr. enhed er 2 mønter, er y = =. Skriv hvd der skl stå over og under brøkstregen. (b) Hvis prisen pr. enhed er 3 mønter, er y = =. (c) Hvis prisen pr. enhed er 8 mønter, er y = =. (d) Hvis prisen pr. enhed er mønter, er y =. Øvelse 8.2 Vi kn ændre et rektngel, men relet bliver ved med t være 8. = rektnglets bredde y = rektnglets højde () Når = 4, er y = =. (b) Når = 2, er y = =. (c) Når = 1, er y = =. (d) Når = 0, 5, er y = =. Øvelse 8.3 Se besvrelsen i rmme 8 i teorihæftet om potenssmmenhænge. Her kn du se hvordn vi kn udregne svrene i denne øvelse. To vrible og y er omvendt proportionle. Når = 30 er y = 20. (1) Hvd er y når = 48? (2) Hvd er når y = 50? Øvelse 8.4 De vrible og y er omvendt proportionle y 45 Find ud f hvd der skl stå på de tomme pldser. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

13 Øvelse 8.5 En bestemt type flise fås i følgende fire udgver: 576 mm mm mm mm 2 48 mm 36 mm 32 mm 24 mm Vi ser på følgende to vrible: = bredde (i mm) y = højde (i mm) () For lle fliserne gælder t y = og y = Brøkstreg (b) Hvis vi vælger en mindre bredde, så får vi en højde y. (c) Udfyld tbellen: y Øvelse 8.6 () Hvilke f følgende smmenhænge hr smme y-tbel? 1 1 (1) y = 20 (2) y = (3) y = 0, 05 (4) y = (b) I hvilke f disse smmenhænge gælder: y er omvendt proportionl med, og i hvilke f smmenhængene gælder: y er proportionl med? (5) 20 y =. Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul

14 Øvelse 9.1 Når vi kører fr A til B, er rejsetiden omvendt proportionl med frten. Rejsetiden er 6,8 timer når frten er 50 km pr. time. Vi klder rejsetiden for Vi klder frten for (vælg et bogstv). (vælg et bogstv). D er omvendt proportionl med er der et tl k så der gælder (*) = (På højre side f = står en brøk) D = 6, 8 når = 50 må = (Vi hr indst i ligningen (*) ) Vi løser denne ligning mht. k og får k =. Dette tl indsætter vi i (*) og får følgende ligning (** ) = Dette er ligningen der viser smmenhængen mellem rejsetid og frt. Vi vil finde rejsetiden når frten er 40 km pr. time. Vi indsætter i (**) : = Herf får vi = Konklusion: Øvelse 9.2 Om et bestemt rbejde gælder t vrigheden er omvendt proportionl med ntllet f rbejdere. Vrigheden er 15 dge når der er 8 rbejdere. Hvd er vrigheden når der er 10 rbejdere? Øvelser til hæftet "Kort om potenssmmenhænge" Krsten Juul