Kommentarer til VARIABLE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kommentarer til VARIABLE"

Transkript

1 Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede grudmægde. k opskrive og rege med simple bogstvudtryk. Kpitlet lægger især op til, t elevere k udvikle følgede fglige kompeteer. At kue symbolbehdle. Forståelse f vribelbegrebet står og flder med udviklige f dee kompetee. I forløbet er der fokus på både fkodig, regig med vribeludtryk og oversættelse mellem hverdgssprog og symbolsprog med vrible. Særligt relevte opgver: 26-29, 31, 34, rbejde med mtemtikkes tkegge, strukturer og kedeteg. Vribelbegrebet idtger e meget etrl plerig i mtemtik. Når m rbejder kokret med vrible, k m derfor få eksempler på, hvd der krkteriserer fget, og hvd der derfor er vigtigt t kue. Særligt relevte opgver: 6, 23, modellere. Vrible kommer ikke midst i spil som e etrl del f t kue bruge formler og dre former for bogstvudtryk som mtemtiske modeller. Særligt relevte opgver: Mtemtrix og dette kpitel Begrebet, vribel, er e f de vigtigste og mest elegte opfidelser mtemtikke hr frembrgt. Som værktøj til t forekle beskrivelse f e lg række forhold f mtemtisk rt er det utroligt krftfuldt. Tæk blot på bruge f formler, som hæger tugt på vribelbegrebet. Begrebet er desude oget f det mest etrle i mtemtikke også i de mtemtik, elevere fremover vil møde i udervisige. I rbejdet med både ligiger og fuktioer er det således helt ødvedigt, t eleve forstår vribelbegrebet. Ofte er det utilstrækkelig forståelse f vribelbegrebet, der er det egetlige problem, år elever siglerer t hve vskeligt ved t forstå og rbejde med ligiger og fuktioer. Problemstillige er ekstr tydelig, år der rbejdes med formler, som pr. defiitio ivolverer mere ed e vribel. Når elever hr vskeligt ved t bruge og ikke midst mipulere med formler, fx i forbidelse med modellerig, k det så godt som ltid føres tilbge til e grudlæggede usikkerhed over for vribelbegrebet. I Mtemtrix er vribelbegrebet et t de højt prioriterede områder i de fglige strukturerig. Allerede på begydertriet udfordres elevere til t rbejde med vrible, fx i forbidelse med løsig f simple ligiger. På mellemtriet tydeliggøres bruge f vrible i forbidelse med e mere systemtisk geemgg f ligiger, som er kereområde i Mtemtrix 5. Desude er rbejdet med formler og dermed også med vrible mere og mere i fokus i løbet f mellemtriet, og det kulmierer med et kpitel om formler i Mtemtrix 6. Med dette kpitel gøres vrible til det første kereområde i overbygige, hvilket ikke er oge tilfældighed. Tværtimod er det et bevidst forsøg på t sætte e dgsorde for mtemtikudervisige på dette tri. I Mtemtrix 7 udgør fokuserige på vribelbegrebet e slgs fællesæver for, hvord det fglige stof gribes og præseteres i lle kpitlere. RELATEREDE FORLØB TIL i KLASSE 7 Ligiger Ligigsbegrebet behdles, og elevere rbejder på t kue fide hesigtsmæssige strtegier for løsig f ligiger. 8 Algebr Både fokus på, t bogstver k udtrykke geerelle smmehæge, og på t rege med vrible (repræseteret ved bogstver). Lieære fuktioer Fokus på lieære fuktioer og forskrifte f(x) = x + b og de grfiske betydig f og b. Ligiger Opstillig og løsig f ligiger heruder t kue forholde sig ktivt og kritisk til tre etrle dele f mtemtisk modellerig: Oversættelse, berbejdig og fortolkig. 9 Grfer Repetitio f og smlet geemgg f fuktiosbegrebet. Der rbejdes bldt det med fuktioer ude e kedt regeforskrift t støtte sig til. Vækst Fokus på ekspoetilfuktioer og lieære fuktioer. 46 Mtemtrix 7 Lærervejledig

2 OVERSIGT: Grudbog INTRO SIDE 9 INTROAKTIVITETER SIDE GENNEMGANG SIDE ØVELSER SIDE OPGAVER SIDE OVERSLAGSBEREGNINGER SIDE 20 LIX-TAL SIDE 21 TALRÆKKER SIDE OG REGNEARK SIDE EVALUERING SIDE 26 Som det er poiteret flere gge, er dette kpitel etrlt i forhold til udviklige f eleveres mtemtiske symbolbehdligskompetee. Desude gør vribelbegrebets tætte forbidelse til fuktiosbegrebet og til ethvert rbejde med formler (og dre ligiger) det til et krftfuldt beskrivelsesværktøj, som bldt det k og bør bruges til t udvikle eleveres produktive modellerigskompetee. Adskillige f opgvere og ikke midst opslget, Overslgsberegiger, lægger derfor op til t udfordre dette område. Desude k eleveres tkeggskompetee udvikles, hvis m i rbejdet med vrible lægger op til t forholde sig til, hvd der er særligt for mtemtik som fg. Arbejdsrk Regerk Geometri filer 1. Reduer 2. Regig med vrible 3. Regig med vrible 4. Tlrækker - sum lige tl 5. Tlrækker - sum ulige tl 6. Tlrækker - geemsit lige tl 7. Tlrækker - geemsit ulige tl Tlrækker Vrible i regerk Vrible 1-10 Film: Fglige Film: Geometri Fglig (to stk.) Fglig Fglig (fire stk.) Geometri (to stk.) Mtemtrix 7 Lærervejledig 47 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere

3 K plte betyde flere forskellige tig? Hvord k plter beskrives? Hvd vil det sige, t oget vrierer? Hvd vil det sige, t oget er kostt? _idhold.idd 9 19/06/ Her er = 2 og b = 4 et eksempel på e _ 2 x 2 = 3 b x + 2 = 3 h g A = 12h g 4 = 5 x d 4 = 5 y Giv ogle eksempler. + b = 8 b = 8 _ b b = 8 d b = 8 f trekte til vestre: O = Byg formler for omkredse f rektglere A til D. b Skriv formlere så kort som muligt. Bereg omkredse f rektglere A til D for forskellige værdier f : = 1 m. = 5 m. = 2,5 m. det som regel er tl, m er iteresseret i t berege? l b e 1 + z = 1 z f x 4 = x 3 e 8 = 2 b f 8 = 2 b A 2 C 2 1,5 D 2 3 A = l b B Hvd meer du egetlig, år du siger elev? Jeg tæker på e elev i vores klsse, som vi k vælge til elevrådet _idhold.idd 10 19/06/ _idhold.idd 11 19/06/ eller e tilfældig møt, der tækes på: Møte, du skl komme i e spilleutomt. b Møte, du hr lgt frem hjemme på skrivebordet. Møte, du skylder di ve. d Møte, du mgler i di møtsmlig. e Di lykkemøt, som du hr i e kæde om hlse. tllet, lægger tre til, og får det smme, som hvis m lgde to til det tl, som er e midre ed det tredobbelte f tllet. Kld tllet x E vribel er et symbol for et elemet fr e bestemt grudmægde. Som vet siger, k m sætte flere forskellige værdier id på e vribels plds. Grudmægde til e vribel giver, hvd m k idsætte. Når m rbejder med vrible, skl m ltid gøre sig klrt, hvd grudmægde er. Hvis vrible fx er e elev, skl m ltså defiere grudmægde. Ellers k m ikke vide, om m rbejder med lle elever i Dmrk, lle elever på skole, lle elever i 7. b eller oget helt det. "e" er et symbol for e elev i klsse. Mægde f elever i 7.b. Når vi i mtemtikke vil rbejde med oget, som k hve flere forskellige værdier, bruger vi bogstver som vrible: Formle her hdler om relet f et rektgel. Derfor er x er symbol A, l og b symboler for et eller for positive tl. det tl. Bogstvere er vrible, mes 2 og 3 er kostter. E kostt er et symbol for e værdi, som ikke vrierer. Når bogstver er brugt som symboler for tl-vrible eller tl-kostter, k m rege med dem, ligesom m reger med kedte tl. Jeg bliver forvirret, år du skker om, t værdie er 45. Du siger, du hr 3 rude tig i rygsække det hr jeg også _idhold.idd 12 19/06/ _idhold.idd 13 19/06/ Mi lykkemøt! Jeg hr 45 gmle 10 øre, me jeg ved ikke, hvd såd e er værd, så værdie hr jeg bre kldt. Me det er jo forskelligt: Du hr 3 ppel - sier, og jeg hr 3 æbler. E der k bruges til idkøbsvoge. Nå, så er ltså e vribel, og 45 er e kostt. J, det er fordi, vi bruger rude tig som e vribel. Det er lige meget jeg smler på lle lde. J emlig, mi dreg! Og på filme til højre k du se mere om det. Til gegæld er der ige tvivl om, hvd vi meer med 3 det k ku være e kostt. Hvd er e formel? Hvorfor bruger m bogstver i mtemtik? K komplierede smmehæge skrives meget kort? Vrible 1 Teg skemet f. Idsæt værdie f i hvert udtryk og bereg. 2 Løs ligigere: 7 Tegee her er eksempler på symboler. Hvd er hvert teg symbol for? b e d f Et symbol er et teg, som m hr vlgt betyder oget det, ed det m lige k se. Hvd meer du, år du beder om e møt? 3 Hvilke værdier f og b k løse ligigere her? løsig. 4 Hvd betyder det, år der står bogstver i e ligig? Hvd meer du med? 5 Her er bygget e formel for omkredse O 6 Hvorfor står der bogstver i formler, år 8 Hvd kue pige på tegige ellers hve svret? 9 Her er ogle eksempler, hvor du skl tge stillig til, om det er e bestemt x + 3 = 5 2b + 3 A = l b Hvd meer du med 3? 10 Fid det tl, som opfylder følgede: M trækker e fr det dobbelte f SIDE 9 SIDE SIDE Side 9 INTRO Itrobilledet viser e eg, hvor blomstere står i fuldt flor. Med udggspukt i billedet spørges der, om ordet plte k betyde flere forskellige tig. Hvilke grudmægde refererer plte til? Tl om de forskellige betydiger, som plte k hve. E plte k fx betyde rosebusk, græs, tomtplte og er derfor e vribel. Me i sætige, di plte giver vel ok mge tomter, hr plte e de betydig. Her betyder plte emlig e helt bestemt gestd og er dermed e kostt. Ld elevere komme med deres bud på, hvd det vil sige, t oget vrierer eller er kostt. Det er også oplgt t bruge eksempler fr klsse for t belyse dette forhold. Ld klsses elever de forskellige grudmægder på bggrud f vrible, som de selv vælger. Det k fx være e dreg fr klsse, e med lyst hår fr klsse, e med rig i øret fr klsse, e klog perso fr klsse ( hov, det er uklrt defieret, så det skl præiseres for t kue bruges som vribel ), de ældste i klsse ( hov, det er jo e kostt ) osv. Opgve 21 og 22 følger direkte op på e såd sk. Kommetrer til de skæve spørgsmål Spørgsmål 1: E formel udtrykker e smmehæg mellem størrelser, hvori der midst er to vrible. Se også kommetrere til 33. Spørgsmål 2: Bogstver og dre symboler k bldt det bruges til t skrive vrible på e smrt måde. Hvis grudmægde eksempelvis er tl drege fr klsse, kue symbolet være et D. Hvis der er 12 drege i klsse, k det skrives som D = 12. Spørgsmål 3: De prktiske vedelse i t bruge vrible kommer tydeligt til udtryk i dette spørgsmål, for m mister emt overblikket i iformtiosrige sætiger (se fx 34, 38 og 39). Ved t idføre vrible for fx rel og højde og give smmehægee som symbolsprog bliver udtrykkee meget lettere t overskue ed ved t bruge et turligt sprog. SIDE INTROAKTIVITETER Der lægges op til ktiviteter og overvejelser om begrebet vribel og vedelse herf. 1-6 omhdler bruge f bogstver i mtemtikke. Elevere hr tidligere reget ligede opgver og beyttet vrible. I 7-10 er begrebere symbol og vribel i fokus. Her skl elevere fkode betydige f symboler og opstille bogstvudtryk. 1 er træig i t idsætte tl på bogstvets plds. I koloe 3 er der et uderforstået ggeteg mellem 2 og, og tilsvrede mellem 3 og i koloe 5. I 2 skl elevere være opmærksomme på, t de ubekedte størrelser både udtrykkes med x, y og z. I 3 k elevere udfordres f lærere eller f hide til t fide ogle lidt sværere eksempler: K m bruge egtive tl? Brøker? Hvor mge løsiger er der egetlig til hver opgve? Hvorfor? I 4 k elevere komme med eksempler på vedelse f bogstver i ligiger og fide på ekle regehistorier. Et eksempel: x 2 = 3 Jeg hvde x kr. og gv mi lillebror to kr., og u hr jeg tre kr. tilbge. 5 idledes med et eksempel på opskrivig f bogstvudtryk. På bggrud f eksemplet skl elevere selv opskrive bogstvudtryk og deræst forkorte (reduere) udtrykkee. Smme bogstv lægges smme med smme bogstv. Sidst i opgve idsættes forskellige værdier for de vrible i de reduerede bogstvudtryk. I 6 bruges tegiger f e trekt og et rektgel med tilhørede relformler til t vise, t der i formler er tle om geerliseriger. Prøv t sætte forskellige tl id på de vribles pldser og udersøg, om smmehæge stdig gælder. I 7 rettes elevees opmærksomhed mod, hvd et symbol egetlig er. Det gøres ved, t elevere skl forholde sig til forskellige teg, som de formetligt keder, me som de ok ikke tidligere hr tækt på som symboler. Læs evetuelt de uddybede lærervejledigskommetrer til geemgge. 8 fokuserer på, t betydige f de vrible fhæger f kotekste. Pige kue fx også hve svret: E der går i skole eller E fr vores skole. I 9 bliver begrebet grudmægde ktuelt. Her er møteres værdi uiteresst. Det vigtige er, om møtere er tilfældige eller bestemte. Diskuter også grudmægde i hvert ekelt tilfælde. 10 er et eksempel på, t e kompleks smmehæg k opskrives meget mere overskueligt ved t bruge bogstver og mtemtiske teg. SIDE GENNEMGANG M k tæke på e vribel som e pldsholder for et tl eller for e tig f e bestemt type. Formulerige er dog oget upræis: Hvd er e pldsholder? Hvd er e tig? Og hvd vil e bestemt type sige? Vi bruger derfor e mere mtemtisk og præis defiitio: E vribel er et symbol for et elemet fr e bestemt grudmægde. 48 Mtemtrix 7 Lærervejledig

4 Om t opskrive bogstvudtryk med vrible To gge et tl, plus tre. b To gge et tl, plus tre gge smme tl. Et tl divideret med to. d Fem gge et tl, mius otte gge smme tl. e Fire mius fire gge et tl. f Ni gge et tl, mius i gge smme tl. g Det dobbelte f et tl, plus e. h E plus det dobbelte f et tl. Et tl, gge et det tl plus seks. b Fem gge et tl, mius tre gge et det tl. To gge et tl gge hlvdele f et det tl. d Tre gge et tl gge e tredjedel f et det tl. e Et tl divideret med et det tl, plus ti. f Ni gge et tl, mius hlvdele f et det tl. g Syv gge et tl, plus et det tl divideret med syv. h Fem mius to forskellige tl gget med hide. Om t bestemme grudmægde situtioer: Du skl bestemme prise på e fødselsdgsgve, du vil give. b Du skl bestemme højde f et træ. Du møder e, du keder, x. d Løs ligige x + 3 = 5. e Om e tigs højde, x, ved m, t x + 3 m = 5 m. f Du skl bestemme e persos lder i år. g Et helt tl gget med sig selv. h Temperture på e forårsdg _idhold.idd 15 01/07/ _idhold.idd 14 19/06/ E med krøllet hår fr klsse. b E fr klsse, der ikke hr krøllet hår. Om t rege med vrible b 6A 2 2A + 1A 5A 7b 8b + 4b 2b + 7b + 2b d _ 2 x + 8x 5_ 2 x 3x b 2, ,3 2,8 + 1_ 3 y 4_ 3 y + 3y y b 2b b b 2b d 2b + 4d 10b + 2d 6b 8d 3 ( + 2) b (3 + b) 2 (4 2) d (d 1) 3 e 2 (4 + e) f (1 + 3) f g 4 (2 u) h (v 4) 1 E pige fr klsse. d E dreg fr klsse. e Fid selv på flere vrible. e 3x + x 2x 2 + x f 6g + g 3 3g + 2g g 5g + 5g + 5g 2 5g h z z 4z + 4z + z 4z + 4z + 4z e 6 f 2 1,7 0, y g + 2 3y 10y 11 h h + h 2h + 3 h + h e 10x + 3x 3y + 4x + 5y f 3x + 3x + 2z + 2z 2x + 2z g 4 3A + 4A 2 + 2A + h 9b + 10p + b 9p 2p + 3b = 1 2 = 2 Husk: = 8 6 = 2 Arbejdsrk I w (1 + 4) j (2 + x) 3 k 2 (y 2) l (3 2) z 3(x + 3) = 3 x = 3x GeoGebr Vrible 1-2 GeoGebr Vrible m Arbejdsrk 3 l og fid løsige. Et tl lgt smme med elleve er femte. b Et tl lgt smme med otte er lige så meget som tolv mius i. Fire lgt smme med to gge et tl er lige så meget som tre gge det smme tl. d Hlvdele f et tl er lige så meget som fyrre trukket fr tllet. e Tretusidesekshudredetooghlvfems gge et tl er emilliofemhudredeiogtredivetusidefemhudredefireogtres. f Tre gge det hlve f et tl er midst lige så meget som det smme tl lgt smme med e. 2 + f A = b l b 4x + 2 3y π 2 + h 12 m 2 = højde grudlije 2 d Arelet = 3 m lægde e 24 mm 2 = bredde lægde j O = 2 π r Di lægde ved fødsle og højde på e 7. klsses elev. b Di lærers højde og højde på et højhus. Du skl hete di Mtemtrix-bog og e de bog fr di tske. d De ældste i di klsse skl hve ft i e lærer på skole. 2x 5 b 6 (x + 2) 1_ (4 + 2x) 2 d 3x + 4 e 5 4x f x 5 40 t 80 både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t 1) 400 t 450 både 7 og 8 går op i t 5 går op i (t + 2) g 6 2x 1 h både 2 og 7 går op i t 5 går op i (t 1) d 3 og 5 går ikke op i t. både 6 og 4 går op i (t 1) _idhold.idd 17 19/06/ _idhold.idd 16 19/06/ L tl ledere. Hvd betyder følgede formler? D = P e T > 0 b T < L f D + P > T + L D = 2P g D + P +T + L = 110 d P = D + 10 h (D + P) = 45 Der er e træer flere, ed der er ledere. b Der er 10 drege flere, ed der er piger. Der er 10 gge så mge drege som piger. d Der er e træer for hver 10 drege. e Der er e træer for hver 10 medlemmer. f Der er dobbelt så mge medlemmer, som der er vokse (træere og ledere). i Verde er der V tl meesker. Hvilke f disse udsg er sde og hvilke er flske? D = K e D 10 > V b D < K f D + K > K + D D + K = V g D + V > K + D d D + K = K + D h V D K > Der er færre dskere ed kiesere. b Der er færre kiesere, ed der er meesker i Verde. Der er flere meesker i Verde, ed der er kiesere og dskere. d Forskelle mellem tllet f kiesere og dskere er større ed meesker. e Der er mere ed kiesere. f Der er mere ed meesker i Verde, som ikke er kiesere = 12 4 = 3 2 b b er ltid større ed. b 5 er ltid det smme som v er oget det ed 4 v. d x + 1 er ltid større ed 1. e x + 1 er ltid større ed x. f Om m skriver 10 x eller x 10, spiller ige rolle. g Vrible er ltid oget med hele tl. h I e ligig er der ltid midst é vribel. 2 M gger et tl med e brøk ved t gge tllet 2 = med tællere og beholde ævere. fordi 2 = e e b f f Arelet f et trpez k bereges ved t tge hlvdele f fstde mellem de to prllelle sider i trpezet gget med summe f disse to siders lægde. b Bereg omkredse, år b = 6 m. Skriv formler med vrible til beregig f omkredse og relet f figure. Fid rørets dimeter. b Opskriv e formel med vrible, så du ltid k berege dimetere, hvis du keder omkredse. Fid et rør i klsseloklet eller derhjemme. Mål omkredse og bereg dimetere med di formel. Omkreds: O = π d Dimeter _idhold.idd 18 19/06/ _idhold.idd 19 19/06/ Prise for t bruge et elektrisk pprt k bereges ved hjælp f følgede formel: Å = P T E Skriv med ord, hvd formle udtrykker. b Hvilke bogstver er vrible for dig som forbruger? Hvd koster det t se 4 timers tv om dge i et år, år tv et er på 120 wtt og prise for 1 kwh er 1,40 kr.? Overflderelet f e ksse med etop to kvdrtiske sider k bereges ved t gge højde med bredde 4 gge, og dertil lægge 2 gge bredde gget med sig selv. løsige: Et tl gget med sig selv og derefter lgt smme med det tl, der er tre midre ed tllet, er lige så meget som tllet gget med summe f to og tllet. b Fid selv på et udtryk og ld di sidekmmert skrive det ved hjælp f mtemtiske symboler. Å er prise for et års forbrug. P er pprtets effekt. T er brugstide pr. år. E er elprise. GeoGebr Vrible 5-10 Hvd er mo og hvd er b? Øvelser 11 Forkort ved t bruge tlsymboler og bogstver som vrible: 12 Forkort ved t bruge tlsymboler og bogstver som vrible: 13 Agiv e grudmægde for de vrible i følgede 14 Fid på et symbol for hver f disse vrible: 15 Agiv grudmægde for hver f de vrible i opgve Reduer mest muligt: 17 Reduer mest muligt: d 10b 5 2b + 7 b_ 2 18 Reduer mest muligt: 19 Gg id i pretese. Opgver 20 Opskriv følgede udtryk ved hjælp f tl og bogstver som vrible, 21 Hvd k være vrible, og hvd er kostter i følgede udtryk: 22 Hvd er vrible, og hvd er kostter i disse situtioer: 23 Næv ogle vrible, som ikke hr oget med mtemtik t gøre. 24 Hvd er det dobbelte f: 25 Hvilke tl t opfylder t: g Arelet = højde 4 m i A = h g_ 2 3 (3 9x) 40 t 80 b 40 t I e judoklub er der D tl drege, P tl piger, T tl træere og 27 Opskriv formler, som beskriver følgede smmehæge: 28 I Dmrk er der D tl meesker, i Ki er der K tl meesker og 29 Opskriv formler, som beskriver følgede smmehæge: 30 Rigtigt eller forkert? Begrud svret. 31 Skriv på e kortere måde: 32 Reduer mest muligt: d Forklr med ord og eksempler, hvd e formel er. 34 Skriv sætige ved hjælp f bogstvsymboler og e tilhørede tegig: 35 Teg figure, år = 9 m, b = 6 m, og = 3 m. 36 Et emetrør hr e omkreds på 1,4 m. 37 Hvor meget koster et års tv-forbrug? 38 Skriv sætige ved hjælp f symboler og e tilhørede tegig: 39 Opskriv følgede udtryk ved hjælp f mtemtiske symboler og fid SIDE SIDE SIDE Diskussioe f, hvord de skl forstås, k deles op i to dele. Første del f forståelse hdler om t få repeteret, hvd e mægde er. Ld elevere komme med eksempler på ogle mægder, de keder. Sørg for t der både kommer mtemtiske og ikke-mtemtiske eksempler, fx mægde f elever i klsse og mægde f lle tælletllee (de turlige tl N). De de og vskeligste del f forståelse hdler om, t m k give teg e de betydig ed de, m umiddelbrt k se. Det er pr. defiitio det, m gør med et symbol. Et symbol betyder et billedligt kedeteg for oget. Ved evetuelt tilbge til itroopgve 7 og tl med elevere om, t et dødigehoved sjældet blot er teget for et meeskes krium, me i stedet symboliserer død eller fre på færde. Tilsvrede refererer teget,, sjældet til de lodrette streg med e bue på, som er det m kokret k se. Det betyder oftest et bogstv med e bestemt lyd tilkyttet, og i mtemtikkes verde refererer det ofte til et bestemt slgs tl eller e fysisk størrelse, jf. skke om højde i de midterste tegeserie i geemgge. Det smme gælder bogstvere i de kommeterede mtemtikeksempler på side 12, som k bruges til t forbide eleveres mtemtikerfriger med forståelse f begrebere symbol og vribel. Det modstte f e vribel kldes e kostt. Som ordet tyder, er e kostt et bestemt objekt, som ikke vrierer. Kostter k også være repræseteret ved hjælp f symboler. Det er derfor vigtigt t vide, om et bestemt symbol (fx eller mor ) repræseterer e vribel eller e kostt. I lle situtioer, hvor der vedes symboler, er det oget, m selv vælger. M skl bre huske t gøre tydeligt opmærksom på det, så der ikke opstår forvirrig. Når m reger med vrible, som repræseterer tl eller fysiske størrelser som fx højde, er det vigtigt t slå fst, t m bre reger, ligesom m gør med kedte tl. Brug lidt tid på t tle om de hådskreve eksempler ederst på side 12, som hdler om t reduere bogstvudtryk. Tegeseriere på side 13 fruder skke om grudmægder og viser, t fstlæggelse f grudmægde er fudmetlt for t kue forholde sig til vrible. SIDE ØVELSER Der er tre øvelsesktegorier. Om t opskrive bogstvudtryk med vrible Begge øvelser er træig i t forkorte sætiger ved t vede bogstvudtryk med vrible. I 11 rbejdes der ku med é vribel, mes der i 12 rbejdes med to vrible. Om t bestemme grudmægde Øvelsere er e træig i t fgræse e grudmægde. Grudmægde fhæger f, hvilke smmehæg vrible idgår i. Om t rege med vrible Reduktiosopgvere hr stigede sværhedsgrd. 16 er dditio og subtrktio med hele tl og é vribel. 17 omftter lle fire regigsrter med é vribel. 18 er dditio og subtrktio med hele tl og flere vrible. I 19 lægges der op til øvelser, der vedrører regehierrkiet, som behdles idgåede i 8. kl. SIDE OPGAVER I 20 er opskrivige f udtrykket vigtigst. Tllet k fx kldes for x, eller, hvd elevere syes. I rbejdes der med forskelle på e vribel og e kostt. Opgvere eger sig derfor godt til t repetere, hvd e vribel egetlig er, evetuelt ved t vede tilbge til og repetere dele f geemgge. 23 k bruges til t udfordre eleveres tkeggskompetee, som bldt det hdler om, hvd der kedeteger mtemtik som fg. Diskuter gere dette spørgsmål direkte i forbidelse med opgve, og ld elevere prøve t idetifiere vrible fr ogle f deres dre skolefg ed mtemtik. Det k fx være dgsforme, lyste til lkrids, sovses tykkelse eller hvor meget pizze er bgt. 24 Tl med elevere om de sproglige formulerig, det dobbelte f. Hvord skrives det mtemtisk? Alle udtrykkee skl gges med 2. D udtrykkee består f to led, er det vigtigt t tle med elevere om, t m skl gge begge leddee i hvert udtryk med 2. Læg op til, t elevere foretger kotrol ved t idsætte e værdi for de vrible i udsget både før og efter, t der er foretget beregiger. I 25 skl der gættes mtemtiske gåder. Grudmægde skl idkredses, og til sidst skl tllet, t, fides udfordrer eleveres symbolbehdligskompetee. 26 og 28 udfordrer de del f kompetee, der hdler om t fkode symbolske udtryk. Det hdler ltså om t idetifiere og beskrive de bgvedliggede meig og betydig f symbolske udtryk. I 27 og 29 spørges der til de de side f e såd forståelse. Her drejer det sig om t kue oversætte fr e ikke-symbolsk til e symbolsk måde, og om hvord m k udtrykke e give meig Mtemtrix 7 Lærervejledig 49 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere

5 Opgvere på dee side hdler om t rege sig frem til et kvlifieret gæt på størrelse f oget. I k svre på hvert spørgsmål ved t vælge ogle vrible, som I meer svret fhæger f. bygge e formel, som viser hvord m skl rege med disse vrible. gætte kvlifieret på værdie f hver vribel. foretge beregiger med disse værdier ved t idsætte i formle og berege et irk-svr på spørgsmålet. vurdere irk-svret: Virker det foruftigt i forhold til spørgsmålet, eller skl beregigere foretges på e de måde? morge? Lix står for LæsbrhedsideX og bruges til t fide e teksts sværhedsgrd. De kldes lixtllet og bereges ved hjælp f e formel med flere forskellige vrible. b : Lixtllet = _idhold.idd 20 19/06/ _idhold.idd 21 19/06/ det smlede tl ord i tekste b: det smlede tl sætiger : det smlede tl ord på over 6 bogstver Emil fr Løeberg hed e dreg, der boede i Løeberg. H vr e rigtig lille vildbsse og ikke ær så sød som du. Skøt h så u sød ud, vist gjorde h så. Når h ikke vrælede, ltså. H hvde rude blå øje og et rudt, rødkidet sigt og hvidt uldhår. Det så lt smme meget Dee bog hdler for e stor del om hobittere, og f des sider vil læsere kue fide ud f meget om deres krkter og lidt om deres historie. Edu mere vil m kue få t vide i det udvlg f Vestmrks Røde Bog, som tidligere er udgivet uder title The Hobbit. Det, der fortælles i de, er hetet fr de første kpitler i de Røde Bog, som er smlet f selve Bilbo, de første hobbit, der skulle blive kedt vidt omkrig i verde og som h selv hr kldt Dertil og tilbge ige, fordi de fortlte om hs rejse mod øst og hvor svært du syes det er t læse hvert itt? smmelig lixtllee. LIX-TAL SVÆRHEDS- GRAD meget let let middel svær 60 og over meget svær sødt ud j, m kue godt tro, t Emil vr e rigtig egel. Me det skulle m bre ikke bilde sig id. Fem år vr h og stærk som e lille okse, og h boede på gårde Ktholt i Løeberg i Småld i Sverige. Astrid Lidgre: Emil fr Løeberg hs tilbgevede, e oplevelse, som seere skulle komme til t idvikle lle hobitter i de f tides begiveheder, som vi her skl berette om. Imidlertid er der måske mge, som gere vil hve visse forhådsoplysiger om dette ejedommelige folk, og der er vel også dem, der ikke selv er i besiddelse f de omtlte bog. For såde læsere følger her et pr kortfttede bemærkiger om de vigtigste træk i kudskbe om hobbittere, og deres tidligere historie gefortælles i korte træk. J.R.R. Tolkie: Hobbitte Det er ikke første gg, dee besværlige opgve er blevet stillet. I 1787 blev opgve stillet i Tyskld i e klsse med 10-årige elever. Lærere hvde givet dem opgve som strf, og u håbede h på, t elevere skulle bruge rigtig lg tid på t lægge de tl smme. Me Crl Friedrih Guss kom op til lærere efter midre ed ét miut. Hs besvrelse fyldte ku é lije og vr rigtig! Hs overvejelser vr: Lærere sgde ikke, t jeg skulle lægge smme Jeg må vel godt lve sumve for 101: 1 + = 101 ; = 101 ; = b Hvd er tllet f sumve gget med 101? Udfyld e tbel som dee: Tælle til Atl sumve Sum Fit _idhold.idd 22 19/06/ _idhold.idd 23 19/06/ sidste i række. kldes. Som vokse blev Crl Friedrih Guss professor i mtemtik, og h huskes i dg som e f de største og mest lsidige mtemtikere ogeside. H udersøgte bldt det, hvord tl hg smme i tlrækker lige tl fr 2. b ulige tl fr 1. LIGE TAL Atl i række Udregig Sum LIGE TAL Atl i række Udregig Geemsit 1 2 : (2 + 4) : ( ) : 3 4 ULIGE TAL Atl i række Udregig Sum ULIGE TAL Atl i række Udregig Geemsit 1 1 : (1 + 3) : ( ) : 3 3 Regerk Tlrækker Arbejdsrk 4-7 Overslgsberegiger Lix-tl Tlrækker 56 Hvd er summe f lle de hele tl fr 1 til? 58 Beskriv Guss' metode, så de k bruges uset hvilket tl, der er det 59 Vis Guss' metode som e formel, hvor det tl, der skl dderes til, 52 Skriv med ord, hvd formle udtrykker. CITAT 1 60 Byg formler, der udreger summe f 40 Hvor mge i jeres klsse hr fødselsdg i juleferie? 41 Hvor høje er I tilsmme i jeres klsse? 42 Hvor mge vidruer er der i e klse? 43 Hvor mge blde er der på et træ? 44 Hvor meget luft idåder du på e t? 45 Hvor mge soveværelser luft svrer det til? 46 Hvor meget vd drikker du på et år? 47 Hvor mge brusebde svrer det til? 48 Hvor mge fodbolde k der være i jeres klsseværelse? 49 Hvor mge omdrejiger lver et ykelhjul, før ykle hr kørt e km? CITAT 2 53 Bereg og smmelig lixtllee i de to itter. Psser resulttet med, 57 Hvor mge sumve for 101 fdt Guss? 61 Hvd er geemsittet f de første lige tl fr 2? 62 Hvd er geemsittet f de første ulige tl fr 1? 50 Hvor meget bezi bruges der på t køre elever til jeres skole hver 51 Hvor mge timer bruger du på mtemtik i løbet f hele livet? 54 Fid selv rtikler fr forskellige viser og ugeblde. Bereg og 55 Skriv selv to tekster e meget let og e meget svær SIDE SIDE og smmehæg på. Det smme gælder 31, 34, 38 og 39. I 30 bør der lægges mest vægt på eleveres begrudelser og ræsoemeter. 31 Se kommetrere til M k lde elevere omskrive dre brøkregler, fx: M gger to brøker med hide ved t gge tæller med tæller og æver med æver. M dividerer e brøk med et helt tl ved t gge tllet med ævere. 33. Ld elevere formulere, hvd e formel er, med ege ord, eksempler og tegiger. Brug deres forslg som udggspukt for e diskussio om, hvorfor det er vigtigt med vrible i formler. Tl også om, hvd det er, der k vriere, og hvd det er, der er kostt. Her er ogle eksempler på elevformuleriger: E formel er e smrt måde t skrive huskeregler på. E formel er oget, der k bruges geerelt. E formel ideholder tit et lighedsteg. E formel beskriver ofte dele f virkelighede. E formel er e opskrift på, hvord oget udreges. 34 Se kommetrere til og 39. Se kommetrere til SIDE FAGLIGE OG TEMATISKE OPSLAG OVERSIGT FAGLIGT: Overslgsberegiger FAGLIGT: Lix-tl FAGLIGT: Tlfølger FAGLIGT: Vrible og regerk SIDE 20 FAGLIGT OPSLAG OVERSLAGSBEREGNINGER Dette opslg ligger i forlægelse f et tilsvrede opslg i kpitlet, Virkelighed og mtemtik, i Mtemtrix 6, og følges op f opslg f smme slgs i Mtemtrix 8 og 9. Dermed vil vi gere bidrge til t gøre overslgsberegiger til et vigtigt lmet dede elemet i eleveres mtemtikfglige udviklig. Opgvere på side er såkldte Fermi-problemer. De er opkldt efter de itlieske fysiker Erio Fermi, som brugte dee type opgver i forbidelse med si fysikudervisig. Hvis m søger på ettet efter Fermi problems, får m et væld f ispirtio og kokrete eksempler på opgver, hvorf ogle er gegivet her på side. Kort fortlt drejer det sig om opgver, hvor m skl rege sig frem til et kvlifieret gæt på størrelse f oget, som m umiddelbrt k hve svært ved t forholde sig til. Det gør m jf. visige til elevere øverst på side ved t rege med ogle størrelser, som m selv hr vlgt som de mest etrle, og ved t vurdere rimelighede f det svr, m år frem til. Fermi-problemer udfordrer derfor i høj grd eleveres modellerigskompetee. Vejled elevere geem de svære proes med t hådtere åbe opgver som disse. Gør det tydeligt, t målet ikke er t å frem til ekskte svr, me derimod t øve sig i e måde t kue sige oget foruftigt om spørgsmål, som i første omgg virker umulige t svre på. Opslget ideholder i lt tolv opgver, der fspejler vidt forskellige situtioer. Det er på ige måde fgørede, t lle elevere rbejder med de smme opgver. Efter de fælles geemgg k m slippe elevere fri og lde dem rbejde med de opgver, de selv fider mest tillokkede, med de vejledede kommetr, t de første opgver på side er de emmeste. SIDE 21 FAGLIGT OPSLAG LIX-TAL Meige med dette opslg er t give elevere mulighed for t rbejde med e utetisk udfordrig vurderig f læsesværhedsgrde f forskellige tekster. Til dette formål er der udrbejdet e formel som model f situtioe. Opslget lægger i første omgg op til t forstå formle, jf.r. 52. Hvis m vil udfordre elevere yderligere i dee retig, k det fx ske ved t diskutere, om m syes, formle for lixtllet bør videreudvikles for bedre t kue fge sværhedsgrde i e tekst. Hvord k m fx idskrive tllet f meget lge ord i formle? Og hvd med tllet f fremmedord? Og dele f sjælde bogstver som q, z og x? Opslget giver også mulighed for t bruge formle til t vurdere, hvor svære tekstere er i forskellige lærebøger, jf Et sådt rbejde k med fordel idgå i et tværfgligt smrbejde med fx dsk, hvor dre ktuelle tekster også k udersøges for læsbrhede (oveller, romer m.m.). SIDE FAGLIGT OPSLAG TALRÆKKER Vi hr vlgt t præsetere elevere for Guss og begrebet, tlrækker. E tlrække er e sum f et (edeligt eller uedeligt) tl tl. Hvis der som i dette opslg er smmehæg mellem de ekelte tl i række, fx t hvert led er é større ed det forrige, er det e mtemtisk udfordrig t fide e eller flere smrte måder t udrege summe på. 50 Mtemtrix 7 Lærervejledig

6 Regerk Vrible i regerk I dette kpitel hr du rbejdet med begreber som vribel og kostt. I regerket Vrible i Regerk k du udersøge, hvd disse begreber dækker over, år regerket bruges til beregiger. Et regerk er opdelt i tusidvis f eller. Hver elle hr et v beståede f et bogstv for koloe og et tl for række. Fx hr de elle, der er mrkeret heruder, vet A1. De ktive elle De ktive elles v Formellije I formellije står det, der er idtstet i elle. A1 ideholder e kostt med 3 bogstver s, y og v, som vi opftter som tllet 7. Me regerket keder ikke syv som v for tlværdie 7. A2 ideholder kostte 7. Ved t plere teget til højre i elle viser regerket, t idholdet er et tl, som det k rege med og ikke e tekstkostt som i A1. idholdet f A4 skl være lig med idholdet f A3. Er de ktuelle værdi i elle A4 e kostt eller e vribel? 30 b 15 Når B1 hr værdie 7, så hr B4 værdie 9 B1 B _idhold.idd 24 19/06/ _idhold.idd 25 19/06/ idholdet f A5 skl være produktet f 3 og 7. Er de ktuelle værdi i A5 e kostt eller e vribel? idholdet f A6 skl være produktet f 3 og idholdet f A2. Er de ktuelle værdi i elle A6 e kostt eller e vribel? Fid værdie f A4, hvis du i A1 tster: 7 b kostter. Brug tbelle til t fide de hemmelige formel. Hvd er e vribel? Hvd er e kostt? Hvorfor bruger m vrible? Hvord reger m med vrible? Evluerigsrk _idhold.idd 26 19/06/ Vrible og regerk 65 I A5 står også 21; me i formellije står der u =3*7, som betyder t 66 I A6 står ige 21; me i formellije står der =3*A2, som betyder, t 67 I A4 er idtstet formle =A1+8. Evluerig 68 Hvilke værdi skl du idtste i A1, hvis værdie f A4 skl blive: 63 Er de ktuelle værdi i elle A3 e kostt eller e vribel? 64 I A4 står også 21, me i formellije står der =A3, som betyder, t 69 I B4 er idtstet e hemmelig formel. Heri idgår vrible B1 smt 2 70 Skriv selv e hemmelig formel, og prøv t gætte die klsse-kmmerters formler. 71 Hvord k du let skrive tbeller i et regerk? Kostt Vribel Formel Tl Bogstver Symboludtryk Regerk Pldsholder Elemet Mægde Ligig SIDE SIDE 26 D vribelbegrebet bliver set i et historisk perspektiv, bidrger opslget med t udvikle eleveres kulturhistoriske kompetee. Tl med elevere om, t sumformle, som bygges i 59, er et eksempel på, hvord y mtemtisk vide udvikles. Tl også om, hvord og hvorår dre former for mtemtisk vide er blevet til fx et begreb som ligig eller e formel fr smlige. Evetuelt k der følges op med e kokret udersøgelse f e såd historisk udviklig. Det er vigtigt, t elevere får e tydelig forståelse f tlrækker. Som supplemet til opgvere i boge k elevere udfordre hide ved t fide på tlrækker med e bestemt smmehæg mellem leddee og så lde kmmertere udvikle sumformler. Eleveres rbejde med tlrækker foregår mest på det eksperimeterede pl me med mulighed for t geerlisere og dermed bygge formler ved hjælp f vrible. SIDE FAGLIGT OPSLAG OG REGNEARK Dette opslg er e oplgt fslutig på kpitlet. Her vises, hvord regerk også veder vrible og kostter og på (æste) smme måde, som elevere selv hr gjort ved løsige f de øvrige opgver. SIDE 26 EVALUERING Begrebsforståelse Begrebsforklrig: Elevere skl formulere sig om, hvd de forstår ved e vribel. Spørgsmålet k besvres direkte med defiitioe på side 12 i grudboge. Forståelsesmæssigt er det dog bedre, hvis elevere også bruger deres ege ord, fx: E vribel er oget, der k hve flere forskellige værdier. Smmehægsforståelse: Her k elevere beskrive forbidelse mellem vrible og e række beslægtede begreber. To eksempler: Udsg Vurderig Vrible k hdle om Tl tyder på god forståelse Vrible er i Tl uklrt hvd eleve forstår Vrible er det smme som Tl tyder på dårlig forståelse Udsg Vurderig Vrible fides ltid i e Formel tyder på god forståelse Vrible er lig med e Formel uklrt hvd eleve forstår Vrible er det pæeste i e Formel tyder på dårlig forståelse Fglige kompeteer Dette kpitel lægger især op til, t elevere k udvikle symbolbehdligskompetee, tkeggskompetee og modellerigskompetee. Fglige færdigheder Færdighedsevluerige er rettet mod tre forhold, svrede til kpitlets øvelsesktegorier: At opskrive bogstvudtryk med vrible, t bestemme grudmægde for vrible og t rege med vrible. Mtemtrix 7 Lærervejledig 51 Fitliste: Grudbog Fitliste: Arbejdsbog Fitliste: Kopirk IT Kommetrer Grudtkere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

KULTURARVEN det skal der ske. vegne

KULTURARVEN det skal der ske. vegne KULTURARVEN det skl der ske R E M G DO være et kulturrve e. f g i r v skl be g kommu Kommue borgere o e d å b r fo I Roskilde de g ligt æri idetitet o fælles, sy ber lokl k s e d e rdifuld eskytte d rrv

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0

Variable. 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 Variable 1 a a + 2 3 a 5 2a 3a + 6 a + 5 3a a 2 a 2 a 2 5 7 15 5 21 5 25 0 2 0 6 9 0 9 4 0 1 3 3 3 9 3 1 0 0 2 0 5 6 5 0 0 2,5 1,5 4 7,5 4 0 2 a x = 5 b x = 1 c x = 1 d y = 1 e z = 0 f Ingen løsning. 3

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013

Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013 Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss 777 855 Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi

Pust og sug Design og konstruktion af et apparat til at måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Pust og sug Design og konstruktion f et pprt til t måle udåndingsvolumen Biomedicinsk teknologi Ingeniørens udfordring Elevæfte Menneskekroppen, Åndedrætssystemet 1 Pust og sug Ingeniørens udfordring At

Læs mere

Psyken på overarbejde hva ka du gøre?

Psyken på overarbejde hva ka du gøre? Psyke på overarbejde hva ka du gøre? Idhold Hvorår kommer ma uder psykisk pres? 3 Hvad ka øge det psykiske pres på dit arbejde? 4 Typiske reaktioer 6 Hvorda forløber e krise? 7 Hvad ka du selv gøre? 9

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd

Børn og unge med seksuelt bekymrende og krænkende adfærd Projekt Vest for Storebælt Bør og uge med seksuelt bekymrede og krækede adfærd Hvorår er der grud til bekymrig? Hvorda hevises et bar/e ug til gruppebehadlig? Hvad hadler projektet om? Projekt Vest for

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere