Løsningsformel til Tredjegradsligningen

Transkript

1 Løsgsformel tl Tredjegrdslgge Ole Wtt-Hse 8 966

2 Løsgsformel for tredjegrdslgge olyomer f tredje grd Formålet er t forsøge t fde røddere et tredjegrdsolyomm:. Hor koeffcetere er reelle tl og er forskellg fr, mes godt k ære komleks. V ed t et tredjegrdsolyomm med reelle koeffceter ltd hr é reel rod, hlket skyldes, t det er e kotert fkto, som både tger oste og egte ærder og derfor også må tge ærde Et tredjegrdsolyomm k he é, to eller tre reelle rødder, me følge lgebres fdmetlsætg, hr det ltd eto tre komlekse rødder. V skl søge t ostlle e geerel formel tl bestemmelse f de rødder. Først l foretge e omskrg, så fjerer degrdsleddet, det sætter = Hs ælger, forsder.grdsleddet, og får et tredjegrdsolyomm f forme.. Q Hor og k dreges f.. Hs Q hr røddere,,, k Q skres: Q og dermed: For t bestemme røddere et lkårlgt tredjegrdsolyomm, k derfor dskræke os tl t betrgte olyomer f forme:. Hor tger t og begge er forskellge fr l, d løsgsbestemmelse ellers er trel. Idet sætter = +, får :.5

3 Løsgsformel for tredjegrdslgge N k for ethert ælge og, således t:, det dsse lgger blot betyder, t og er rødder degrdslgge: x x. For som m hsker fr gymset? I de ordede og redcerede degrdslgg er rødderes sm lg med koeffcete tl x med modst forteg og rødderes rodkt er lg med lgges sdste led. For dette lg f og, fder :.6 Og betgelse for t = + er rod, er derfor. To tl, som ofylder betgelsere: og er esbetydede med t de ofylder betgelse:.7 og 7 Ifølge sætge om rødderes sm og rodkt e degrdslgg, betyder det så, t og er rødder degrdslgge..8 x x x 7 7 Hs <, skl de to løsger erstttes f: 7.9 x 7 V l dog fortsætte med t skre løsgere som om, me med oeståede 7 betydg f løsgere, hs <. 7 V fortsætter, d med t ddrge de tredje rod, som om det hdler om reelle tl.. 7 og dermed fder e eetelt komleks løsg: = For t bestemme de ørge komlekse rødder, mder om løsge f de bome lgg:

4 Løsgsformel for tredjegrdslgge. Hor cos x s x og cos s. cos x s x cos s Hs retgsklere for er:,,,... Ger dette mddelbrt: og x,,, og x,,,..., Så de fldstædge løsg er. cos s,,,..., For lgge, hor er et reelt tl fder derfor:.5, cos s, cos s eller, Det ses, t,, så sætter α = og α = De tre rødder de bome tredjegrdslgg er d, det :.6,, Veder tlbge tl lgge: x, som er esbetydede med de to bome 7 lgger:.7 og 7 7 Hs begge højresder er reelle, fder m følge oeståede løsgere: 7 7 7

5 Løsgsformel for tredjegrdslgge Umddelbrt ke m tro, t der er 6 løsger tl lgge = +, me erdrer om, t der også skl gælde:. At det gælder for ses f: E dregg ser, t de eeste tre løsger, der ofylder kret er:., og hor Hlket følger f, t og. Løsgere tl lgge: Er således get ed: D eher tredjegrdslgg: k omskres tl lgge ed sbstttoe med, hr hermed st, t eher tredjegrdslgg hr løsgere som get oefor. Bemærk, t hr edt kdrtrodsteget å e måde, som hs det drejede sg om kdrtrode f oste tl, me det behøer kke t ære tlfældet, og det l se å.

6 Løsgsformel for tredjegrdslgge 5 De tre tlfælde: 7 : Der må gælde < : Som og k derfor ede de reelle ærd f d følge de oeståede løsgsformel ekeltrode:, og fder., smt dobbeltrode: >. 7 Tllee er d reelle, og k derfor ede de reelle kbkrødder, som og 7. V fder d de ee reelle rod og de to kojgeret komlekse rødder:. <. 7 Der må gælde t <. For og gælder: 7. Det ses, t de to rødder er komleks kojgerede, og t de derfor hr smme modls : får derefter løsgere tl og, det bemærker, t. 7 Sætter : cos s, hor cos Er de brgbre løsger tl lggere:

7 Løsgsformel for tredjegrdslgge Lg med: cos s.6 cos s cos s Og fder dette tlfælde de reelle rødder:.7 cos, cos, cos Bestemmelse løsgere et kokret eksemel, f.eks. 5 6, som ses t he de reelle rødder {-,, } er sjældet mlgt lytsk, mest å grd f fktore For t dtrykke cos ed For lgge: 5 6 fder m ørgt: cos skl m emlg løse e.grdslgg cos. cos cos Der syes derfor k e ej tl løsgere, emlg t bestemme røddere ed merske regger. Hesg: Børge Jesse. Forelæsger oer komlekse tl. Mt Hådskree oter. 56 7