Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A"

Transkript

1 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale til prøverne i Matematik A htx102-mat/a Fra torsdag den 26. august til fredag den 27. august 2010

2

3 Side 1 af 15 sider Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til arbejdet med forberedelsesmaterialet til prøverne i matematik A. Oplægget indeholder teori, eksempler og opgaver i et emne i forlængelse af kernestoffet. Forberedelse til den 5-timers skriftlige prøve: Nogle af spørgsmålene ved 5-timersprøven tager udgangspunkt i det materiale, der findes i dette oplæg. De øvrige spørgsmål omhandler emner fra kernestoffet. Forberedelse til den mundtlige prøve: Emnet, behandlet i dette materiale, indgår som supplerende stof. Der vil derfor være spørgsmål ved den mundtlige prøve i dette emne. I forberedelsesperioden er alle hjælpemidler er tilladt, og det er tilladt at modtage vejledning.

4 Side 2 af 15 sider Optimeringsproblemer/-strategier 1. Luftbroen til Berlin Efter afslutningen på 2. verdenskrig lå Tysklands hovedstad Berlin som en ø midt i den russisk besatte zone. Byen blev ved fredsslutningen opdelt i 4 zoner, hvor den vestlige del var besat af England, Frankrig og USA, mens Østberlin var besat af det daværende Sovjetunionen. Russerne ønskede imidlertid magten over hele byen, der udgjorde en vestlig forpost til det kommunistiske Østeuropa, og de indledte derfor en blokade af Berlin d. 24. juni I tiden herefter var byen fuldstændig afskåret fra at modtage forsyninger både med lastvogn og tog. Berlin havde omkring to en halv millioner indbyggere og var totalt isoleret. Men efter få dages blokade indledte amerikanerne det, der siden fik navnet Luftbroen til Berlin. Alt skulle flyves ind: kul, medicin, mad og andre dagligvarer, og hver dag landede fly med tusinder af tons varer. I perioder landede der et fly i Berlins lufthavn hvert 3. minut. Efter 11 måneder gav russerne op og ophævede blokaden, hvorefter luftbroen blev erstattet af transport over land. En C-54 lander i Berlins lufthavn Tempelhof Kilde: At luftbroen blev så stor en succes, skyldes i høj grad den amerikanske matematiker George Dantzig, der i tiden under og efter 2. verdenskrig udviklede en metode til at optimere forskellige problemer. Et eksempel er, hvordan man transporterer flest mulige varer af forskellige typer mellem to byer, når bestemte betingelser skal være opfyldt, f.eks. er det begrænset, hvor mange fly der er plads til i lufthavnen på samme tid. Emnet hedder lineær programmering, og det er siden blevet videreudviklet, så det i dag benyttes i stor stil inden for mange felter så som allokering af ressourcer, produktionsplanlægning, investeringsorganisering, skemalægning og meget andet. Fra undervisningen kender vi simple optimeringsproblemer som find det maksimale rumfang af en cylinder med radius r og højde h, når det samlede overfladeareal skal være 10. Vi skal i dette forberedelsesmateriale se på mere komplicerede typer af problemer, der kan løses ved optimering af en funktion under nogle givne betingelser. De problemer, man støder på i den virkelige verden, kan ofte beskrives af funktioner, hvori der indgår flere variable størrelser. Så inden vi kommer så langt som til at skulle foretage en optimering, vil vi indføre en ny type funktioner, nemlig funktioner, der har mere end en uafhængig variabel. Vi nøjes her med at kigge på funktioner, der har to uafhængige variable, men teorien kan uden videre generaliseres.

5 Side 3 af 15 sider 2. Funktioner af to variable Betragter vi igen cylinderen nævnt i indledningen og vælger, at radius er 3, vil cylinderens rumfang 2 være givet ved funktionen V( h) = π 3 h = 9π h. Er det i stedet højden, der ligger fast, vi kan sige h = 10, vil rumfanget været givet ved V( r) 10 2 = π r. Det er imidlertid mere bekvemt, hvis vi opfatter rumfanget som en funktion af to variable, nemlig den ene variabel, når det passer ind i sammenhængen. Se figur 1. 2 V( r, h) π r h =, hvor vi så kan fastholde Figur 1 Eksempel 1 n R T Trykket i en ideal gas p( V, T) =, hvor n er stofmængden, R er gaskonstanten, T er gassens V absolutte temperatur og V er volumen. Fra fysikundervisningen ved vi, at for fastholdt T fås Boyle- Mariottes lov og for fastholdt V fås Charles lov. Eksempel 2 Modstanden R (målt i Ohm) i en kobberledning (ved 20 o C) afhænger både af ledningens længde l (målt i m) og tværsnitsareal A (målt i mm 2 ), l R( l, A) = 0, A For andre metaller gælder en lignende forskrift, men med en anden værdi for konstanten. Man bemærker, at for fastholdt længde er modstanden omvendt proportional med tværsnitsarealet, og for et fast tværsnitsareal er modstanden ligefrem proportional med ledningens længde (en dobbelt så lang ledning har dobbelt så stor modstand).

6 Side 4 af 15 sider Grafen for en funktion af 2 variable er en flade i rummet. Til ethvert talpar ( x, y) i definitionsmængden hører der en funktionsværdi z = f ( x, y). De tre tal ( x, y, z ) kan repræsenteres ved et punkt i et tre-dimensionalt koordinatsystem. Når de uafhængige variable x og y varieres, danner punkterne ( x, y, z) = ( x, y, f ( x, y)) en flade. Det vil vi se et par eksempler på her. Eksempel 3 Figur 2 viser en del af grafen for funktionen f ( x, y) x y 2 2 =. Figur 2 Opgave 1 De fleste matematiske it-værktøjer kan tegne grafer for funktioner af to variable. Prøv om dit itværktøj kan tegne grafen for funktionen i eksempel 3, og prøv desuden at tegne grafen for 2 2 f ( x, y) = x y 2xy. I forbindelse med funktioner af én variabel møder man ofte opgaven at løse ligningen f ( x) = k, hvor k er en opgivet konstant. Hvis for eksempel 2 f ( x) = x, har ligningen f ( x ) = 4 løsningerne x = ± 2. For funktioner af to variable vil vi på samme måde få brug for at løse ligningen f ( x, y) = k.

7 Side 5 af 15 sider Eksempel 4 For funktionen 2 2 = vil vi løse ligningen f ( x, y ) = 1. f ( x, y) 5 x y Vi finder f ( x, y) = 1 x y x + y = = Den sidste ligning er en ligning for cirklen med centrum i (0,0) og radius 2. For alle punkter ( x, y ) på denne cirkel gælder der altså, at f ( x, y ) = 1. Opgaven kan også løses grafisk. På figur 3 er grafen for f vist som den farvede flade. Desuden er vist planen med ligningen z = 1 (grå). Planen skærer grafen for f i en kurve, der er vist sort. Dette er cirklen vi fandt ovenfor, blot tegnet i det tre-dimensionale koordinatsystem i planen z = 1. Figur 3 Definition Løsningsmængden til ligningen f ( x, y) = k, hvor k er en opgivet konstant, betegnes N( k ) og kaldes en niveaukurve for funktionen f. En niveaukurve kan bestå af flere dele. På figur 4 er vist den grafiske konstruktion af N( 1) for 2 2 funktionen f ( x, y) = x y fra eksempel 3. Ved udregning kan man se, at niveaukurven består af graferne for to forskellige funktioner: x y = 1 y = x + 1 y = ± x + 1

8 Side 6 af 15 sider y 2 1 N( 1) N(1) 2 x N(3) 3 4 Figur 4 Figur 5 Opgave 2 Vis, at for funktionen radius 5. Opgave = fra eksempel 4 er N(0) f ( x, y) 5 x y en cirkel med centrum i (0,0) og I visse tilfælde er niveaukurverne faktisk ikke rigtige kurver. a) Opskriv ligninger for niveaukurverne N(3), N(5) og N(6) for funktionen 2 2 f ( x, y) = 5 x y fra eksempel 4 b) Hvilke punktmængder beskriver de tre niveaukurver? Tegn dem c) Tegn, om muligt, med dit IT-værktøj grafen for f sammen med passende vandrette planer som på figur 3 og 4 d) Giv herefter en helt generel beskrivelse af N(z) for alle z R. Eksempel 5 Vi betragter funktionen 2 f ( x, y) = x + 2x y. For at finde niveaukurverne N( z) betragter vi 2 2 f ( x, y ) = z x + 2x y = z y = x + 2x Bemærk at z betragtes som en konstant i udtrykket. Vi ser, at N( z) er en parabel med grenene opad. Med den velkendte formel finder vi parablens toppunkt til at være ( 1; 1 z). Parablerne forskydes altså i y-aksens negative retning, når z forøges. På figur 5 er vist nogle udvalgte niveaukurver. z

9 Side 7 af 15 sider 3. Lineær programmering Lineær programmering beskæftiger sig med optimering af funktioner, der er lineære i to variable, f ( x, y) = ax + by + c. Vi taler om funktioner i to variable af 1. grad på samme måde, som de lineære funktioner f ( x) = ax + b kan opfattes som funktioner af én variabel af 1. grad. Vi vil først kigge på en konkret situation, der kan beskrives ved hjælp af en lineær funktion i to uafhængige variable. Eksempel 6 Et firma producerer og sælger to typer studenterhuer. Den ene er en konventionel hue, der sælges for 299 kr. mens den anden er økologisk og sælges for 369 kr. Firmaet tjener 35 kr. på den konventionelle hue, mens fortjenesten på den økologiske hue kun er 14 kr. Hvis antallet af solgte konventionelle huer betegnes x, og antallet af solgte økologiske huer er y, kan man udtrykke den samlede fortjeneste som en funktion af 2 variable, der er lineær i x og y, Foto: Laura Schou f ( x, y) = 35x + 14 y Sælger firmaet f.eks konventionelle huer og 500 økologiske huer bliver den samlede fortjeneste f (3.200,500) = kr kr. = kr. Indtegnes grafen for f i et 3-dimensionalt koordinatsystem fås en flade i rummet. Denne er vist farvet på figur 6. Niveaukurverne er rette linjer, niveaulinjer. F.eks. er niveaulinjen N( ) mængden af alle de kombinationer af antal solgte konventionelle og økologiske huer, der giver en samlet fortjeneste på kr. N ( ) : 35x + 14 y = y = 2, 5x Tilsvarende fås for andre værdier af den samlede fortjeneste, f.eks kr. og kr., følgende niveaulinjer N (70.000) : 35x + 14 y = y = 2,5x N ( ) : 35x + 14 y = y = 2, 5x

10 Side 8 af 15 sider De tre linjer er indtegnet på figur 7. Man ser, at de er parallelle linjer, og en fælles normalvektor er n = 35. En pil parallel med normalvektoren n er indtegnet på figur 7. Fortjenesten vokser, når 14 man parallelforskyder niveaulinjerne i pilens retning y N( ) N( ) N(70.000) 0 x Figur 6 Figur 7 Opgave 4 Bevis, at for en lineær funktion f ( x, y) = ax + by + c er niveaukurverne parallelle rette linjer med a normalvektor b. I det følgende vil vi møde uligheder af formen ax + by c y Q(x, y) hvor a, b og c er givne tal, og vi får brug for at bestemme de punkter ( x, y ) i planen, som opfylder uligheden. Først ser vi på linjen ax + by = c, der er skitseret på figur 8 sammen a med vektoren n =, som er en normalvektor b til linjen. PQ P(x 0,y 0 ) n = ( a b ) ax + by = c x Figur 8

11 Side 9 af 15 sider Linjen deler planen i to halvplaner, og på figuren er den halvplan, som normalvektoren n peger ind i tegnet gråtonet. Vi betegner denne halvplan linjen medregnet den positive halvplan. Lad P( x0, y0 ) være et punkt på linjen og Q( x, y ) et punkt i den positive halvplan. Vi kan se, at vinklen mellem n og PQ ligger i intervallet π 2 ; π 2. Dette betyder, at punkterne Q i den positive halvplan lige præcis er de punkter, der opfylder uligheden n i PQ 0. Da x x 0 PQ = kan vi regne y y0 prikproduktet på venstre side af uligheden ud, så vi får a( x x ) + b( y y ) Lægges ax0 + by0 til på begge sider af ulighedstegnet fås ax + by ax0 + by0, og da P ligger på linjen, gælder ax0 + by0 = c, og vi får hermed ax + by c, som er den ulighed, vi er interesseret i. Vi har altså bevist Sætning Punkterne ( x, y), som opfylder uligheden ax + by c, udgør den positive halvplan for linjen ax + by = c. Denne linje kaldes begrænsningslinjen for halvplanen. Opgave 5 Gennemfør alle detaljerne i beviset for sætningen ovenfor. Eksempel 7 En fastfoodkæde vil gerne kunne reklamere med, at den serverer sund mad, og overvejer derfor at servere en salat bestående af gulerødder og hvidkål som en del af alle menuer. Fastfoodkæden ønsker, at salaten lever op til Fødevarestyrelsens anbefalinger med hensyn til indhold af fibre samt vitamin A og C. Skemaet nedenfor viser forskellige oplysninger om de to råvarer. Gulerødder (x) Hvidkål (y) Fiberindhold (g/kg) g Vitamin A (mg/kg) 35 0,5 0,5 mg Vitamin C (mg/kg) mg Pris (kr./kg) 4 3,5 Anbefalet mindsteindhold pr. portion Vi lader nu x betegne hvor mange kg gulerødder og y hvor mange kg hvidkål, der er i en portion salat. Spørgsmålet er, hvordan fastfoodkæden kan sammensætte salaten, altså vælge x og y, så den opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger og samtidig er så billig som muligt.

12 Side 10 af 15 sider For at portionen opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger, skal den indeholde mindst 4 g fiber. Dette kan udtrykkes ved uligheden 30x + 20 y 4 0,2 0,1 y n Uligheden definerer en halvplan, som vi finder ved at tegne begrænsningslinjen 30x + 20 y = 4 og en normalvektor parallel med n = (30; 20). Se figur 9. Vi kræver altså, at salatportionen er sammensat således, at ( x, y ) ligger i det gråtonede område. 0 x 0 0,1 0,2 Figur 9 På samme måde giver kravene til A-vitaminindholdet uligheden 35x + 0,5y 0,5 Linjen, der afgrænser den tilhørende halvplan, er tegnet rød på figur 10. For C-vitaminerne får vi Begrænsninglinjen er tegnet grøn på figur x y 15 Hver af de tre uligheder definerer en halvplan, og de punkter, der opfylder alle ulighederne, er fællesmængden af de tre halvplaner. Dette område er vist gråtonet på figur 10. Området betegnes et polygonområde. Bemærk, at vi desuden kun ser på første kvadrant. Der må nemlig yderligere gælde ulighederne x 0 og y 0, for man kan ikke fremstille en salat med en negativ mængde gulerødder eller en negativ mængde hvidkål. y 0,2 y 0,2 0,1 0,1 N(0,5) N(0,75) N(1,0) P 0 0 0,1 0,2 0,3 x 0 0 0,1 0,2 0,3 x Figur 10 Figur 11

13 Side 11 af 15 sider Opgave 6 Tegn selv de tre halvplaner hørende til kravene til fiber, A- og C-vitamin, og kontroller herved, at polygonområdet på figur 10 er korrekt. Af skemaet kan vi desuden se, at prisen for en portion salat kan udtrykkes ved funktionen f ( x, y) = 4x + 3,5 y. Denne funktion kaldes kriteriefunktionen. Det er denne funktion, vi ønsker antager en optimal værdi, i dette tilfælde et minimum. Opgaven med at finde ud af hvor meget gulerod og hvidkål, der skal bruges til en portion salat, der indeholder nok A- og C-vitamin samt kostfibre, samtidig med, at salaten skal være billigst mulig, er altså reduceret til at finde det punkt ( x, y ) i planen, som både ligger indenfor polygonområdet, og på den lavest mulige niveaulinje for kriteriefunktionen. Vi indtegner derfor niveaulinjer N( z) for kriteriefunktionen for forskellige værdier af z. På denne måde kan man se, i hvilken retning linjen bevæger sig, når z, dvs. prisen, vokser. Figur 11 viser, at niveaulinjerne bevæger sig opad mod højre, når z vokser, og at man kommer ind i polygonområdet ved punktet P, der er skæringen mellem den blå linje 60x y = 15 og den grønne linje 30x + 20y = 4. Da vi skal bestemme den lavest mulige pris, er det derfor det punkt i polygonområdet, hvor niveaulinjen for kriteriefunktionen kommer ind i området, vi er interesseret i. Løses ligningerne finder man P(0,115; 0,027). Det betyder at salaten skal indeholde 115 g gulerod og 27 g hvidkål. Udgiften til en salatportion er (0,115;0,027) 0,56 f =, altså 56 øre pr. portion. Opgave 7 Hen på foråret bliver der problemer med forsyninger af hvidkål, og dette tvinger fastfoodkæden til at vælge en anden ingrediens til salaten. Man vælger at bruge appelsiner, der har et indhold af kostfibre på 23 g/kg, A-vitamin på 0,6mg/kg samt C-vitamin 524 mg/kg. Prisen på appelsiner er 6 kr./kg. a) Opskriv kriteriefunktionen for den nye salatsammensætning b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygonområdet c) Hvilken sammensætning af appelsin og gulerod skal fastfoodkæden vælge for at servere den billigst mulige salat, som opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger?

14 Side 12 af 15 sider Eksempel 8 Vi vil maksimere f ( x, y) = 0,5x + 1,1y under betingelserne 9x + 4 y 20 5x + 4 y 22 3x + 6 y 12 x 0 y 0 Først indtegnes de fem linjer, der afgrænser de halvplaner, der fremkommer fra ulighederne. Herefter bestemmes polygonområdet, som er vist gråtonet på figur 12. y 6 P 4 N(7) 2 N(4) x Figur 12 Endelig indtegnes mindst to forskellige niveaulinjer, så man kan se, hvordan kriteriefunktionen udvikler sig for voksende værdier af z. Da vi skal bestemme den størst mulige værdi, er det derfor det punkt i polygonområdet, hvor niveaulinjen for kriteriefunktionen forlader området, vi er interesseret i. Figur 12 viser, at kriteriefunktionen vokser, når niveaulinjerne rykker opad mod højre, og har derfor maksimum i punktet P, der findes som skæringen mellem linjen 5x + 4 y = 22 og y-aksen. Dette punkt har koordinaterne P(0; 5,5), hvilket betyder, at den maksimale værdi for kriteriefunktionen er f (0; 5,5) = 0, ,1 5,5 = 6, 05.

15 Side 13 af 15 sider Opgave 8 Bestem maksimum og minimum for funktionen f ( x, y) = 3x + 2 y ved inden for polygonområdet givet x 0 y 0 x + y 1 3x + y 6 2x + y 4 Opgave 9 Hansens Havecenter producerer to blandinger af græsfrø, PlænePryd og GardenGreen. En pakke PlænePryd indeholder 600 g rajgræs, 200 g rødsvingel og 200 g engrapgræs. En pakke GardenGreen indeholder 400 g rajgræs, 400 g rødsvingel og 200 g engrapgræs. Firmaet har 240 kg rajgræs, 160 kg rødsvingel og 90 kg engrapgræs på lager. Fortjenesten på en pakke PlænePryd er 20 kr. og 30 kr. på en pakke GardenGreen. a) Opstil først de givne oplysninger i et skema som i eksempel 7. Dette giver et meget bedre overblik b) Opskriv kriteriefunktionen for fortjenesten c) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger og indtegn polygonområdet d) Hvor mange pakker PlænePryd og GardenGreen skal der produceres for at fortjenesten bliver størst mulig?

16 Side 14 af 15 sider 4. Følsomhedsanalyse Vi vender tilbage til eksempel 7, hvor vi bestemte den billigste måde at sammensætte en salat, der opfylder Fødevarestyrelsens anbefalinger. Vi fandt, at hver portion salat skal indeholde 115 g gulerod og 27 g hvidkål. Men hvad nu, hvis priserne på råvarerne ændrer sig. Skal man så ændre sammensætningen af salaten? Følsomhedsanalyse går ud på at afgøre, om ændringer i forudsætningerne fører til en anden optimal løsning. Eksempel 9 y 0,2 Q 0,1 P 0 0 0,1 0,2 0,3 x Figur 13 Vi vil undersøge hvad der sker med den optimale løsning i eksempel 7, hvis prisen på gulerødder stiger. Hvis prisen pr. kg kaldes a bliver kriteriefunktionen nu f ( x, y) = ax + 3,5 y a z I eksempel 7 havde vi a = 4. En niveaulinje N( z) er givet ved ax + 3,5 y = z y = x +, 3,5 3,5 a altså en linje med hældningskoefficient. På figur 13 er vist en niveaukurve for a = 4 (fuldt 3,5 optrukket, sort) og en niveaukurve for a = 9 (stiplet, sort). I hvert tilfælde skal vi forskyde denne niveaulinje indtil den rører polygonområdet for at finde den optimale løsning. For a = 4 sker det i punktet P, som vi fandt ud af i eksempel 7. For a = 9 sker det i punktet Q, der er skæringen mellem den røde og den blå linje. Man kan se, at den optimale løsning skifter fra P til Q for den værdi af a, hvor niveaulinjerne har samme hældning som den blå linje. I dette særlige tilfælde vil alle punkter på den blå linje være optimale løsninger.

17 Side 15 af 15 sider Ligningen for den blå linje er 30x + 20y = 4 (se eksempel 7), og dens hældningskoefficient er derfor 1,5. Den optimale løsning skifter altså til Q hvis a < 1,5 a > 5, 25 3,5 Vi konkluderer, at medmindre prisen for gulerødder stiger fra 4 kr./kg til mere end 5,25 kr./kg er den optimale salatsammensætning stadig givet ved punktet P, altså 115 g gulerod og 27 g hvidkål. Opgave 10 Prisen på gulerødder kan naturligvis også falde. Vis, at hvis prisen kommer under 0,70 kr./kg, flytter den optimale salatsammensætning til et andet punkt R. Bestem dette punkt. Den samlede konklusion af følsomhedsanalysen i eksempel 9 og opgave 10 er altså, at den billigste salatsammensætning er givet ved 115 g gulerod og 27 g hvidkål, så længe kiloprisen for gulerødder ligger i intervallet ]0,70; 5,25[ og kiloprisen for de andre råvarer ikke ændrer sig.

18

19

20 Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

2. Funktioner af to variable

2. Funktioner af to variable . Funktioner af to variable Opgave 1 Grafisk udformning af de to funktioner,, Opgave f (, y) = z = 5 y N(0) = z = 0 0 = 5 y + y = 5 C = ( ; y) = (0;0) r = 5 Dette medfører som vist en cirkel, med centrum

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a Matematik A Højere teknisk eksamen 5 timers skriftlig prøve htx103-mat/a-17122010 redag den 17. december 2010 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2010 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet

MATEMATIK B. Xxxxdag den xx. måned åååå. Kl. 10.00 15.00 GL083-MAB. GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt. Undervisningsministeriet GU HHX DECEMBER 2008 Vejledende opgavesæt MATEMATIK B Xxxxdag den xx. måned åååå Kl. 10.00 15.00 Undervisningsministeriet GL083-MAB 574604_GL083-MAB_12s.indd 1 14/01/09 14:40:30 Matematik B Prøvens varighed

Læs mere

Opgaver til Kapitel 6 MatB

Opgaver til Kapitel 6 MatB Opgave 1 En funktion i to variable er givet ved f (, ) = + 5 + 0 Indtegn niveauliner svarende til N(0), N(200) og N(400) og illustrér ved hjælp af en pil på niveaulinjerne den retning, hvori niveauet bliver

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform b GUX151 - MAA GUX Matematik A-Niveau Fredag den 9. maj 015 Kl. 9.00-14.00 Prøveform b GUX151 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 1stx131-MAT/A-24052013 Fredag den 24. maj 2013 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen htx112-mat/a-30082011 Tirsdag den 30. august 2011 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2011 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK B. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 13.00 GL091-MAB. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 009 MATEMATIK B Onsdag den 13. maj 009 Kl. 9.00 13.00 Undervisningsministeriet GL091-MAB Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C, 8D og

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014

Løsning til opgave 7, 9, 10 og 11C Matematik B Sommer 2014 Vejledning til udvalgte opgave fra Matematik B, sommer 2014 Opgave 7 Størrelsen og udbudsprisen på 100 fritidshuse på Rømø er indsamlet via boligsiden.dk. a) Grafisk præsentation, der beskriver fordelingen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2st111-MAT/A-24052011 Tirsdag den 24. maj 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1

GUX Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 GUX-013 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011

Matematik A. Studentereksamen. Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00. stx113-mat/a-09122011 Matematik A Studentereksamen stx113-mat/a-09122011 Fredag den 9. december 2011 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Funktioner - supplerende eksempler

Funktioner - supplerende eksempler - supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Sammenhæng mellem variable

Sammenhæng mellem variable Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx131-mat/a-705013 Mandag den 7. maj 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen

Grønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Variabelsammenhænge og grafer

Variabelsammenhænge og grafer Variabelsammenhænge og grafer Indhold Variable... 1 Funktion... 1 Grafen for en funktion... 2 Proportionalitet... 4 Ligefrem proportional eller blot proportional... 4 Omvendt proportionalitet... 4 Intervaller...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx10-mat/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematik Aflevering - Æggebæger

Matematik Aflevering - Æggebæger Matematik Aflevering - Æggebæger Lavet af Morten Kvist i samarbejde med Benjamin Afleveret d. 17/3-2006 Afleveret til Kristine Htx 3.2 Side 1 af 6 Opgave 1 Delopgave A Først har jeg de to logaritme funktioner,

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl Mandag den 15. august 2011 kl hhx112-mat/b

Matematik B. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl Mandag den 15. august 2011 kl hhx112-mat/b Matematik B Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx112-mat/b-15082011 Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-13.00 Matematik B Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet

GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A. Onsdag den 13. maj 2009. Kl. 9.00 14.00 GL091-MAA. Undervisningsministeriet GU HHX MAJ 2009 MATEMATIK A Onsdag den 13. maj 2009 Kl. 9.00 14.00 Undervisningsministeriet GL091-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen

Lineær programmering. med Derive. Børge Jørgensen Lineær programmering med Derive Børge Jørgensen 1 Indholdsfortegnelse. Forord ---------------------------------------------------------------------------------- 2 Introduktion til lineær programmering

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Matematik B. Højere handelseksamen

Matematik B. Højere handelseksamen Matematik B Højere handelseksamen hh11-mat/b-70501 Mandag den 7. maj 01 kl. 9.00-1.00 Matematik B Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2011 Institution Herningsholm Gymnasium, hhx i Herning Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) hhx Matematik

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2

Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Lineær og kvadratisk programmering med TI NSpire CAS version 3.2 Indhold 1. Lineær programmering i 2 variable: x og y... 1 Eksempel 1: Elementær grafisk løsning i 2d... 1 Eksempel 1: Grafisk løsning i

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg

Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Grafregnerkravet på hf matematik tilvalg Dette dokument er en sammenskrivning af uddrag af følgende skrifter: Undervisningsvejledning nr. 21 for matematik i HF (september 1995); findes på adressen: http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/vejledninger/undervishf/hfvej21.htm;

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx103-mat/a-101010 Fredag den 10. december 010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Delprøven uden hjælpemidler

Matematik A. Højere handelseksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Delprøven uden hjælpemidler Matematik A Højere handelseksamen Skriftlig prøve (5 timer) Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Fredag den 17. august 2012. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx1-mat/a-170801 Fredag den 17. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b

GUX. Matematik Niveau B. Prøveform b GUX Matematik Niveau B Prøveform b August 014 GUX matematik B august 014 side 0 af 5 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2

Matematik A, vejledende opgave 2, ny ordning. Vejledende løsninger, Peter B. Delprøven uden hjælpemidler. Opgave 1. a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 a) A= 6x 2 +12xdx = 2x 3 + 6x 2 2 0 = 8 0 = 8 0 2 Opgave 2 a) Først differentierer vi løsningen: y = 10x. Dernæst indsættes løsningen y i y og vi får: y = 2 5x2 x =

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx123-mat/a-07122012 Fredag den 7. december 2012 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket:

Når eleverne skal opdage betydningen af koefficienterne i udtrykket: Den rette linje og parablen GeoGebra er tænkt som et dynamisk geometriprogram, som både kan anvendes til euklidisk og analytisk geometri Eksempel Tegn linjen med ligningen: Indtast ligningen i Input-feltet.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 20. december 2010. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx103-mat/a-01010 Mandag den 0. december 010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx111-mat/a-305011 Mandag den 3. maj 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 15. december 2014 kl. 9.00-14.00. hhx143-mat/a-15122014 Matematik A Højere handelseksamen hh143-mat/a-151014 Mandag den 15. december 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Ugesedler til sommerkursus

Ugesedler til sommerkursus Aalborg Universitet - Adgangskursus Ugesedler til sommerkursus Matematik B til A Jens Friis 12 Adgangskursus Strandvejen 12 14 9000 Aalborg tlf. 99 40 97 70 ak.aau.dk sommer Matematik A 1. Lektion : Mandag

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE

MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE MATINTRO FUNKTIONER AF FLERE VARIABLE Tore August Kro Matematisk Institutt Universitetet i Oslo Forår 3 På dansk ved Jacob Stevne Jørgensen, sommer Forord til den danske udgave Kros noter, som introducerer

Læs mere

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler

Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008. Matematik Niveau A. Delprøven uden hjælpemidler Højere Handelseksamen Handelsskolernes enkeltfagsprøve August 2008 HHX082-MAA Matematik Niveau A Delprøven uden hjælpemidler Dette opgavesæt består af 6 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 16. december 2013 kl. 9.00-14.00. hhx133-mat/a-16122013 Matematik A Højere handelseksamen hhx133-mat/a-161013 Mandag den 16. december 013 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014

Netværk for Matematiklærere i Silkeborgområdet Brobygningsopgaver 2014 Brobygningsopgaver Den foreliggende opgavesamling består af opgaver fra folkeskolens afgangsprøver samt opgaver på gymnasieniveau baseret på de samme afgangsprøveopgaver. Det er hensigten med opgavesamlingen,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Campus Vejle HHX Matematik A Ejner Husum

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG

Matematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug. 14 jun.

Studieplan. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Oversigt over gennemførte undervisningsforløb. Termin Aug. 14 jun. Studieplan Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug. 14 jun. 16 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Vid Gymnasier HTX Matematik B Morten Käszner og Niels

Læs mere