matematikhistorie og dynamisk geometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matematikhistorie og dynamisk geometri"

Transkript

1 Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse 2: En familie af Pythagoræiske tripler... 7 Øvelse 3: Dine første familier af Pythagoræiske tripler... 7 Øvelse 4: Uendelig mange Pythagoræiske familier... 9 Øvelse 5: En rummelig Pythagoræisk familie Øvelse 6: Pythagoras i vilkårlige retvinklede trekanter Øvelse 7: Beviser for Pythagoras læresætning Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning Algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Euclids bevis for Pythagoras læresætning Øvelse 8: Klip et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Øvelse 9: Inkommensurable størrelser Øvelse 10: Den omvendte Pythagoræiske sætning Øvelse 11: Pythagoras hjælp til tømrerne Det er målet at eleverne som resultat af forløbet skal kunne håndtere formler, kunne oversætter mellem symbolholdig og naturligt sprog, opstille geometriske modeller, redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser, demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske og kulturelle udvikling samt anvende it-værktøjer. Materialet knytter sig til det supplerende stof som et sammenhængende matematik-historisk emne. Det er ambitionen at eleverne som resultat af forløbet skal opnå en viden om Euclids rekonstruktion af matematikken på et geometrisk grundlag samt den aksiomatisk deduktive bevisføring. Som overfagligt mål skal eleverne lære notatteknik idet eleverne løbende med egne ord skal dokumentere deres svar og løsninger til øvelserne i materialet. Eleverne vil arbejde eksperimentelt og lære at lave dynamiske geometriske konstruktioner. Det er ambitionen at eleverne gennem forskellige repræsentationsformer opnår større forståelse for emnet. Materialet giver desuden mulighed for undervisningsdifferentiering og vil kunne anvendes til alle niveauer C-A. Nogle af øvelserne forudsætter udarbejdelse af tns-filer, der skal stilles til rådighed for eleverne.

2 Øvelse 1: Hvem var Pythagoras? Du skal på Internettet finde ud af hvem Pythagoras var. Du skal i din undersøgelse komme ind på følgende: Hvor og hvornår Det Pythagoræiske religiøse broderskab og livsfilosofi Pythagoras læresætning Skriv dine svar her idet du også skal angive hjemmesidens webadresse: Pythagoras læresætning Allerede i folkeskolen stifter vi bekendtskab med Pythagoras læresætning: I en retvinklet trekant er summen af kvadratet på kateterne lig kvadratet på hypotenusen: Den moderne notation kan vi udtrykke Pythagoras læresætning ved ligningen. Denne ligning kender vi allerede fra folkeskolen!? 2

3 Det er dog helt bevidst her at skrive sætningen geometrisk uden brug af bogstaver. Vi skal helt frem til Leonhard Euler ( ) før det blev almindeligt at udtrykke ligninger med bogstaver. Sætningen siger altså at hvis vi har givet en retvinklet trekant vil summen af arealerne på kateterne svare til arealet på hypotenusen. Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel Tallene 3, 4 og 5 udgør sammen et af triplerne, der var særlig interessante for Pythagoræerne idet de som heltal tilfredsstillede Pythagoras læresætning. Det er let at vise at 3,4,5 triplen tilfredsstiller ligningen: idet: Men lad os skrue tiden tilbage til Pythagoras tid og lave en geometrisk konstruktion der beskriver relationen af triplerne 3, 4 og 5 i en retvinklet trekant. Bemærk at dette ikke er en konstruktion som Pythagoræerne ville benytte sig af til at bestemme tripler! Åben en geometriapplikation i TI-Nspire idet du vælger Plangeometrisk Visning. Kontroller under dokumentindstillinger i Filer-menuen at vikler måles i grader. 3

4 Vi vil nu gerne konstruere en kvadrat som er et de fem regulære polygoner. Vælg menupunktet Reg. Polygon i Former-menuen. Klik en gang i tegnefladen for at markere centrum for kvadratet, klik et nyt sted for at markere et hjørne for kvadratet, før musen i negativ omløbsretning (med uret) omkring centrumet for at bestemme typen af polygon og klik når der står { 4 } for at konstruere et enheds -kvadrat: Grib i fat centrum for kvadratet for at ændre størrelse og rotation i tegnefladen. Vælg menupunktet Refleksion fra Transformations menuen, klik to gange på en af kanterne af enhedskvadratet for at spejle det oprindelige enhedskvadrat en gang idet kanten udgør spejlingsaksen: Lav nedenstående konstrution ved hjælp af Refleksion-værktøjet: Konstruér herefter trekant ABC som vist herunder med Trekant-værktøjet og kontrolér at vinkel ACB er ret. Du kan højre-klikke på trekanten for at ændre udseendet af trekanten idet du vælger Attributter. 4

5 Brug piletasterne på computerens tastatur for at farvelægge trekanten og ændre at tykkelsen af trekantens rand: Udmål vinkel CAB med Vinkel-værktøjet. Vælg Rotation-værktøjet, klik på den udmålte vinkel (53.1 ), det første konstruerede kvadrat ved punkt A og til sidst punkt A: Brug herefter Refleksion-værktøjet til at konstruere enhedskvadraterne langs trekantens hypotenuse. Skjul nu de to enhedskvadrater, der nedenfor i midten er markeret med sort ved at højreklikke på kvadraterne og vælge Vis/Skjul: Vores retvinklede trekant ABC er nu omsluttet af enhedkvadrater langs randen. Vi ser at kateten b måler 3 enheder udmålt ved hjælp af antallet af enhedskvadrater langs kateten. Tilsvarende er 4 og 5. 5

6 Vi færdiggør nu vores konstruktion ved at bestemme arealet af kvadraterne på kateterne og hypotenusen idet vi bruger Refleksion-værktøjet til at spejle enhedskvadraterne: Vi ser at arealet af kvadratet på kateten b udgør 9 enhedskvadrater, arealet på kateten a udgør 16 enhedskvadrater og kvadratet på hypotenusen c udgør 25 enhedskvadrater. Vi har nu lavet en konstruktion der (tilsyneladende!) viser en en-til-en korrespondance mellem enhedskvadrater på hypotenusen og enhedskvadraterne på begge kateter. Altså svarer arealet af kvadratet på hypotenusen til summen af arealerne af kvadraterne på kateterne da : 6

7 Besøg og prøv animationen der er vist herunder: Øvelse 2: En familie af Pythagoræiske tripler Vi har ovenfor set at 3, 4, 5 er en Pythagoræisk tripel. Det er let at udvide antallet af Pythagoræiske tripler ved at gange triplerne op med et vilkårligt naturligt tal. Altså vil 2 3,2 4,2 5 6, 8, 10 også være en Pythagoræisk tripel! Vis geometrisk ved hjælp af ligedannethed at 6, 8, 10 er en Pythagoræisk tripel når du ved at 3,4,5 er det? Vis ovenstående med moderne notation (algebraisk) ved hjælp af ligningen? Vink: Gang igennem med 4 i ligningen. Kan du argumenter for at der må er uendeligt mange Pythagoræiske tripler? Skriv dine svar her: Ovenfor så du hvorledes triplen 3, 4, 5 affødte uendelig mange tripler. I overført betydning blev 3,4,5 forældre til 6, 8, 10, 9, 12, 15 osv. Forældrene 3, 4, 5 har ikke selv nogen forældre da de ikke er født af nogen tripler. Vi kalder tallene primiske da der ikke findes noget fælles tal der går op i alle tallene ud over 1. Derimod er 6, 8, 10 et barn af 3,4,5 da 2 går op i alle tallene 2 3,2 4,2 5 6, 8, 10. Øvelse 3: Dine første familier af Pythagoræiske tripler Du skal i denne øvelse arbejde eksperimentelt for at finde andre tripel der som 3, 4, 5 er uforkortlig og som kan være forældre til en ny familie af tripler. Altså skal du finde Pythagoræisk tripler, som ikke har en fælles divisor der går op i de tre tal. Du får lidt hjælp til at finde nogle tripler ved at lave nedenstående konstruktion. Åben en Graf-applikation i TI-Nspire og træk begyndelsespunktet 0,0 for x og y aksen til 7

8 nederste venstre hjørne. Højreklik i grafrummet, vælg Vinduesindstillinger under Zoom og vælg nedenstående indstillinger: Vi kan nu anvende skala markeringerne på x og y aksen til at lave retvinklede trekanter hvor længden af kateterne er hele positive tal. Afsæt punkt A på y-aksen i punkt 0,1, punkt B på x-aksen i punkt 1,0 og punkt C i origo med koordinatsættet 0,0. Konstruer herefter trekant ABC med Trekant-værktøjet. Afmål længden af kateterne og hypotenusen som afstand mellem punkter ved hjælp af Længde-værktøjet. Den konstruerede trekant hører tydeligvis ikke blandt Pythagoras tripler idet hypotenusen er et decimaltal. Træk i hhv. punkt A og B for at konstruere den Pythagoræiske triple 3,4,5 : Det oplyses at der i det angivne x og y akseinterval befinder sig fire familier. Træk i punkterne A og B for at finde de tre nye forældre til Pythagoræiske familier ud over 3,4,5. Angiv dine tre nye forældre tripler her: 8

9 Øvelse 4: Uendelig mange Pythagoræiske familier I denne øvelse skal vi vise at der må være uendelig mange Pythagoræiske familier. Lad os starte med at tage udgangspunktet følgende figur som vi konstruerede tidligere: Figuren illustrerer den Pythagoræiske triple (3, 4, 5). Vi bemærker at længden af den længste katete er nabotal til længden af hypotenusen. Altså at forskellen er lig Vi bemærker desuden at forskellen i antal af enhedskvadrater mellem kvadratet på hypotenusen og kvadratet på kateten med længde 4 er 9 enhedskvadrater, svarende til antallet af de hvide enhedskvadrater i kvadratet på hypotenusen. Men forskellen er netop et kvadrattal da Dette giver den Pythagoræiske triple. Vi fokuserer altså udelukkende på de retvinklede trekanter hvor den ene katete er en enhed kortere end hypotenusen. Disse trekanter kan illustreres ved at betragte kvadraterne på hypotenusen: Hypotenuse: 2 Katete: 1 Hypotenuse: 3 Katete: 2 Hypotenuse: 4 Katete: 3 Hypotenuse: 5 Katete: 4 Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 3 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 5 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 7 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 9 som er et kvadrattal. Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratroden af 3 er et decimaltal: Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratro den af 5 er et decimaltal: Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratrode n af 7 e r et decimaltal: Dette giver os vores kendte Pythagoræiske triple (3, 4, 5) da kvadratrode n af 9 er et helt tal:

10 Argumenter for som ovenfor at næste Pythagoræiske familie må være (5, 12, 13). Tegn skitse figur her: Hypotenuse: 13 Katete: 12 Vi har nu bestemt de to familier med forældrene 3,4,5 og 5, 12, 13. Betragter vi de to forældre ser vi at de første tal der indgår i familierne er de ulige tal 3 og 5. De følgende tal i triplerne er naboer: hhv. 4 og 5 samt 12 og 13. Vi kan ud fra kvadratfigurerne argumentere for at vi kan finde den næste familie ved at tage udgangspunkt i kateten 7 som giver en forskel i antallet af kvadrater på Vi kan ud fra denne bestemme nabotallene og 1 ved at opstille følgende ligning, der løses trinvis: Forklar den trinvise løsning af ligningen til venstre: Forklar ud fra ovenstående at vi har bestemt forældreparret,, : 10

11 Bestem næste forældrepar og argumenter for at der findes uendelig mange Pythagoræiske familier. Skriv dine svar her: Øvelse 5: En rummelig Pythagoræisk familie Tallene (1, 2, 2, 3) udgør det man på engelsk kalder Pythagorean quadruple. Undersøg ved hjælp af Internettet (Wikipedia) hvad begrebet dækker over. Giv en geometrisk forklaring med udgangspunkt i nedenstående 3-dimensionelle illustration (lavet med matematikprogrammet Cabri 3D): Skriv dine svar her: Formulér Pythagoras læresætning i rummet med moderne notation: Skriv dit bud her: 11

12 Kan du bruge analogien fra 2 til 3 dimensioner til at sige noget om Pythagoras læresætning i 4 dimensioner? Hvad med 5 dimensioner og n dimensioner? Skriv dine svar her: Øvelse 6: Pythagoras i vilkårlige retvinklede trekanter Vi har indtil nu kun set på nogle særlige retvinklede trekanter nemlig dem hvor kateterne og hypotenusen er naturlige tal. Vi vil nu lave en geometrisk konstruktion der i vilkårlige retvinklede trekanter illustrerer at arealerne på kateterne svarer til arealet på hypotenusen. Dele af konstruktionen er vist herunder idet øvelsen er at færdiggøre konstruktionen. I en geometriapplikation starter du med at konstruere en linje l med Linje-værktøjet. Konstruer herefter en vinkelret linje n til l i punkt C. Afsæt et vilkårligt punkt A på l og B på n. Konstruer trekant ABC: Trekant ABC repræsenterer nu en vilkårlig retvinklet trekant. Vi vil nu konstruere de kvadrater der ligger på kateterne og hypotenusen. Dette gør vi ved hjælp af Parallelværktøjet for at lave sider, Cirkel-værktøjet der sikrer os at siderne i kvadratet er lige lange og Polygon-værktøjet til at lave kvadratet. Her vises hvorledes vi konstruerer kvadratet på kateten a. Konstruér den parallelle linje til l gennem B ved at vælge Parallel-værktøjet klikke på l og klikke på punkt B hvilket giver linje m. Vælg herefter Cirkel-værktøjet og konstruer cirklen med centrum i B og radius BC ved at klikke på punkt B efterfulgt af punkt C. Konstruer skæringen mellem cirklen og linje m hvilket giver punkt D. Konstruer den parallelle linje til n gennem D hvilket giver linje o. Konstruer skæringen mellem linje o og linje l hvilket giver punkt E: 12

13 Du kan nu ændre udseendet at de hjælpelinjer som vi har anvendt til at konstruere kvadratet BCDE ved at højre-klikke på dem og vælge Attributter. Herunder er hjælpelinjer gjort stiplede. Vælg Polygon-værktøjet og klik på punkterne B, C, D, E og B for at konstruere kvadratet. Vælg Areal-værktøjet for at måle arealet af kvadratet: Mål desuden afstanden mellem punkterne B og C for at bestemme længden af kateten a. Højre-klik et sted i tegnefladen, vælg Tekst og skriv idet du kan bruge tastaturtasten ^ for at opløfte a i anden potens. Højre-klik nu på teksten, vælg Beregn og udpeg målingen af a. Træk i punktet B der skulle gerne være overensstemmelse mellem udmålingen af arealet af kvadratet og udregningen af : Du skal nu selv færdiggøre konstruktionen idet du skal konstruere kvadraterne på katete b og hypotenusen c idet du for brug for at anvende Vinkelret-værktøjet undervejs. Vis ved udregning at summen af arealerne af kvadraterne på kateterne er lig arealet af kvadratet på hypotenusen: 13

14 Øvelse 7: Beviser for Pythagoras læresætning Du skulle nu gerne være overbevist om at Pythagoras læresætning er sand. Men du har lov til at være i tvivl og stille spørgsmål for eksempler er ikke nok idet enhver matematisk påstand forudsætter et bevis før at vi accepterer den for at være gældende. Vi vil i denne øvelse se på forskellige beviser for Pythagoras læresætning. Der er både geometriske og algebraiske beviser idet vi starter med det mest simple bevis. Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning Åben den udleverede fil med det geometriske bevis for Pythagoras. Træk i skyderne t1, t2, t3 og t4. Beskriv med egne ord hvad der sker når man trækker i skyderne og forklar det geometriske bevis for Pythagoras: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: 14

15 Algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Konstruér et kvadrat med Reg.polygon værktøjet i en Geometriapplikation i TI-Nspire. Konstruér herefter et indskrevet kvadrat i det første kvadrat ved at klikke på centrum for det første kvadrat, på randen af det ydre kvadrat i P og i Q. Konstruer herefter de fire retvinklede trekanter med den rette vinkel i hjørnerne af det ydre kvadrat. Navngiv siderne i de fire retvinklede trekanter. Træk i punktet P for at tjekke din konstruktion. Vi har som udgangspunkt givet et ydre kvadrat der har sidelængden. Hvad er definitionen på et kvadrat? Træk i punktet P langs det vandrette linjestykke på kvadratets "top". Bemærk at arealet af det store kvadrat ikke ændres når vi trækker i P. Bestem area let af kvadratet med sidelængden : 1 Bemærk at det store kvadrat er sammensat af fire retvinklede trekanter og et mindre kvadrat. Bestem arealet af det store kvadrat som summen af arealet af de fire retvinklede trekanter og arealet af det lille kvadrat. 2 Sæt A1 = A2 og reducér ligningen: Skriv her: Nu er det algebraiske bevis sådan set færdigt. Men der er et problem! Vi har under udregning af 2 gjort en antagelse som vi ikke har sagt noget om - hvilken? Argumenter for at vores antagelse var korrekt: Skriv her: 15

16 Euclids bevis for Pythagoras læresætning Åben den udleverede fil med Euclids bevis for Pythagoras. Træk først i skyderne k6, k7 og k8. Beskriv med egne ord hvad der sker når man trækker i skyderne. Træk herefter i skyderne k1, k4 og k5 og beskriv hvad der sker: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: 16

17 Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Euclids bevis for Pythagoras læresætning stå som sætning 47 i 1. bog at Elementerne. Undervejs i beviset trækker Euclid på sætninger der er bevist tidligere og bruger aksiomer som bogen indleder med. Undersøg hvem Euclid er og hvad Elementerne består af. Hvorledes er Pythagoras læresætning formuleret? Prøv om du kan finde bestemme hvilke aksiomer og sætninger Euclid benytter sig af i beviset for Pythagoras læresætning. 17

18 Øvelse 8: Klip et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning 1 Åben en Geometri applikation og skriv følgende tekstlinjer i tegnefladen: Du har sikkert bemærket tilfældigheden i rækkefølgen af linjerne. Der er nu din opgave at placere linjerne i den korrekte rækkefølge således at de udgør et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning. Du kan trække i linjerne uafhængigt at hinanden. Figuren til højre fungerer som hjælp til beviset. Øvelse 9: Inkommensurable størrelser Lav en tidslinje hvor du indplacerer følgende berømte oldgræske filosoffer og matematikere: Pythagoras, Sokrates, Platon, Aristoteles, Euclid og Archimedes. Skriv her: Vi skal i denne øvelse vise at 2 er en inkommensurabel størrelse. Da disse inkommensurable størrelser blev opdaget opstod der et behov for at rekonstruere matematikken på et geometrisk grundlag. 1 På hjemmesiden kan du i mappen MATEMATIK > Geometri se en videooptagelse af beviset 18

19 Undersøg via Internettet hvad der ligger i begrebet inkommensurable størrelser. Brug eventuelt søgeordene: Euclids Elementer og inkommensurable størrelser. Måske falder du over en lille anekdote om en uheldig græker, der beviste at 2 ikke er et rationel tal (altså at 2 ikke kan skrives som en brøk). Skriv her og husk at angive webadresse: Vi vil her med et moderne algebraisk modstridsbevis der viser at der findes inkommensurable størrelser (u-sammen-målelige). Vi betragter et kvadrat, specielt siden og diagonalen i kvadratet. Vi antager at der findes et fælles mål, der går op i begge sider. Diagonalen giver vi længden p enheder og siden har længden q enheder. Altså er p og q hele tal. Vi antager at p og q er indbyrdes primiske således at forholdet p/q ikke kan forkortes. Hvis p og q havde en fælles divisor k, kunne vi vælge en enhed der var k gange større altså er antagelsen ikke urimelig. Fra Pythagoras læresætning (I.47) ved vi at 2. Altså er et lige tal og derfor må p også være et lige tal (p kan ikke være ulige da kvadratet på et ulige tal er ulige). Da p og q er indbyrdes primiske, må q være et ulige tal. Da p var et lige tal sætter vi p lig 2. Ved udregning får vi at 2 4. Vi forkorter med 2 og ser at q må være et lige tal: 2. Men q kan umuligt være både lig og ulige hvorfor vores antagelse om at der findes et fælles mål er forkert. Vi har dermed bevist at der findes linjestykker der ikke kan måles med samme enhed. Det er af samme grund at Euclid ikke tillægger sine linjestykker længde (et tal) men arbejder med dem som det er: geometriske størrelser. Senere tiders matematikere omgik det samme problem ved at udvide talbegrebet med de reelle tal. Hvorledes er 2 koblet til ovenstående bevis som inkommensurabel størrelse? Skriv dit svar her: 19

20 Øvelse 10: Den omvendte Pythagoræiske sætning Hvis summen af kvadratet på de korte sider i en trekant er lig kvadratet på den længste side så er trekanten retvinklet. Dermed svarer de korte sider til kateter og den lange side til hypotenusen. Forklar hvad der menes med omvendte : Øvelse 11: Pythagoras hjælp til tømrerne Tag et stykke snor og lav en markering ved 3/12-dele og 7/12-dele af snorens længde. Bind snorens ender sammen således at forholdene bevares. Du er nu i besiddelse af et værktøj der let kan bruges som vinkelmålingsinstrument til at sikre rette vinkler. Hvorfor og hvordan? Skriv dit svar her: 20

matematikhistorie og dynamisk geometri

matematikhistorie og dynamisk geometri Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik

Øvelser til Eksamensopgaver i matematik Øvelser til Eksamensopgaver i matematik med TI-Nspire CAS ver. 2.0 Udarbejdet af: Brian M.V. Olesen Marts 2010 Indholdsfortegnelse TI-Nspire CAS version 2.0...2 Generelle TIPS & TRICKS (T&T)...3 Eksempel

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

GeomeTricks Windows version

GeomeTricks Windows version GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire

Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire Projekt 3.4 Introduktion til geometri med TI-Nspire 1. Introduktion til geometriværktøjerne i TI-Nspire cas... 2 1.2. Åben en geometriapplikation... 2 1.2. Klik-Flyt-Klik... 2 Eksempel: Tegn en cirkel...

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra

Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed

Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal

7 Trekanter. Faglige mål. Trekanter. Linjer i trekanter. Pythagoras. Areal 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Trekanter: kende navne for sider og vinkelspidser i trekanter, kunne konstruere bestemte trekanter ud fra givne betingelser

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.

DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Billeder på matematikken

Billeder på matematikken Billeder på matematikken Oplæg om repræsentationer Aktiviteter: Et rundt forløb Grovmotorik I skal lege med Footzie (den der dims man tager om foden med en snor i med en kugle i enden) og I skal lege Kaffen

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Undervisningsplan for matematik

Undervisningsplan for matematik Undervisningsplan for matematik Formål for faget Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne udvikler kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff

Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie

Læs mere

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE.

Matematikbanken.dk WORDMAT - VEJLEDNING - TILRETTET 6. KLASSE. WordMat er en udvidelse til Microsoft Word, som kan køre både på Windows og Mac. Windows-versionen kræver mindst Office 2007, og mac-versionen kræver mindst Office 2011. Du downloader WordMat her: http://goo.gl/wubvvo

Læs mere

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg

Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere