matematikhistorie og dynamisk geometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "matematikhistorie og dynamisk geometri"

Transkript

1 Pythagoras matematikhistorie og dynamisk geometri med TI-Nspire Indholdsfortegnelse Øvelse 1: Hvem var Pythagoras?... 2 Pythagoras læresætning... 2 Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel... 3 Øvelse 2: En familie af Pythagoræiske tripler... 7 Øvelse 3: Dine første familier af Pythagoræiske tripler... 7 Øvelse 4: Uendelig mange Pythagoræiske familier... 9 Øvelse 5: En rummelig Pythagoræisk familie Øvelse 6: Pythagoras i vilkårlige retvinklede trekanter Øvelse 7: Beviser for Pythagoras læresætning Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning Algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Euclids bevis for Pythagoras læresætning Øvelse 8: Klip et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Øvelse 9: Inkommensurable størrelser Øvelse 10: Den omvendte Pythagoræiske sætning Øvelse 11: Pythagoras hjælp til tømrerne Det er målet at eleverne som resultat af forløbet skal kunne håndtere formler, kunne oversætter mellem symbolholdig og naturligt sprog, opstille geometriske modeller, redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser, demonstrere viden om matematikkens udvikling i samspil med den historiske og kulturelle udvikling samt anvende it-værktøjer. Materialet knytter sig til det supplerende stof som et sammenhængende matematik-historisk emne. Det er ambitionen at eleverne som resultat af forløbet skal opnå en viden om Euclids rekonstruktion af matematikken på et geometrisk grundlag samt den aksiomatisk deduktive bevisføring. Som overfagligt mål skal eleverne lære notatteknik idet eleverne løbende med egne ord skal dokumentere deres svar og løsninger til øvelserne i materialet. Eleverne vil arbejde eksperimentelt og lære at lave dynamiske geometriske konstruktioner. Det er ambitionen at eleverne gennem forskellige repræsentationsformer opnår større forståelse for emnet. Materialet giver desuden mulighed for undervisningsdifferentiering og vil kunne anvendes til alle niveauer C-A. Nogle af øvelserne forudsætter udarbejdelse af tns-filer, der skal stilles til rådighed for eleverne.

2 Øvelse 1: Hvem var Pythagoras? Du skal på Internettet finde ud af hvem Pythagoras var. Du skal i din undersøgelse komme ind på følgende: Hvor og hvornår Det Pythagoræiske religiøse broderskab og livsfilosofi Pythagoras læresætning Skriv dine svar her idet du også skal angive hjemmesidens webadresse: Pythagoras læresætning Allerede i folkeskolen stifter vi bekendtskab med Pythagoras læresætning: I en retvinklet trekant er summen af kvadratet på kateterne lig kvadratet på hypotenusen: Den moderne notation kan vi udtrykke Pythagoras læresætning ved ligningen. Denne ligning kender vi allerede fra folkeskolen!? 2

3 Det er dog helt bevidst her at skrive sætningen geometrisk uden brug af bogstaver. Vi skal helt frem til Leonhard Euler ( ) før det blev almindeligt at udtrykke ligninger med bogstaver. Sætningen siger altså at hvis vi har givet en retvinklet trekant vil summen af arealerne på kateterne svare til arealet på hypotenusen. Geometrisk konstruktion af Pythagoræisk tripel Tallene 3, 4 og 5 udgør sammen et af triplerne, der var særlig interessante for Pythagoræerne idet de som heltal tilfredsstillede Pythagoras læresætning. Det er let at vise at 3,4,5 triplen tilfredsstiller ligningen: idet: Men lad os skrue tiden tilbage til Pythagoras tid og lave en geometrisk konstruktion der beskriver relationen af triplerne 3, 4 og 5 i en retvinklet trekant. Bemærk at dette ikke er en konstruktion som Pythagoræerne ville benytte sig af til at bestemme tripler! Åben en geometriapplikation i TI-Nspire idet du vælger Plangeometrisk Visning. Kontroller under dokumentindstillinger i Filer-menuen at vikler måles i grader. 3

4 Vi vil nu gerne konstruere en kvadrat som er et de fem regulære polygoner. Vælg menupunktet Reg. Polygon i Former-menuen. Klik en gang i tegnefladen for at markere centrum for kvadratet, klik et nyt sted for at markere et hjørne for kvadratet, før musen i negativ omløbsretning (med uret) omkring centrumet for at bestemme typen af polygon og klik når der står { 4 } for at konstruere et enheds -kvadrat: Grib i fat centrum for kvadratet for at ændre størrelse og rotation i tegnefladen. Vælg menupunktet Refleksion fra Transformations menuen, klik to gange på en af kanterne af enhedskvadratet for at spejle det oprindelige enhedskvadrat en gang idet kanten udgør spejlingsaksen: Lav nedenstående konstrution ved hjælp af Refleksion-værktøjet: Konstruér herefter trekant ABC som vist herunder med Trekant-værktøjet og kontrolér at vinkel ACB er ret. Du kan højre-klikke på trekanten for at ændre udseendet af trekanten idet du vælger Attributter. 4

5 Brug piletasterne på computerens tastatur for at farvelægge trekanten og ændre at tykkelsen af trekantens rand: Udmål vinkel CAB med Vinkel-værktøjet. Vælg Rotation-værktøjet, klik på den udmålte vinkel (53.1 ), det første konstruerede kvadrat ved punkt A og til sidst punkt A: Brug herefter Refleksion-værktøjet til at konstruere enhedskvadraterne langs trekantens hypotenuse. Skjul nu de to enhedskvadrater, der nedenfor i midten er markeret med sort ved at højreklikke på kvadraterne og vælge Vis/Skjul: Vores retvinklede trekant ABC er nu omsluttet af enhedkvadrater langs randen. Vi ser at kateten b måler 3 enheder udmålt ved hjælp af antallet af enhedskvadrater langs kateten. Tilsvarende er 4 og 5. 5

6 Vi færdiggør nu vores konstruktion ved at bestemme arealet af kvadraterne på kateterne og hypotenusen idet vi bruger Refleksion-værktøjet til at spejle enhedskvadraterne: Vi ser at arealet af kvadratet på kateten b udgør 9 enhedskvadrater, arealet på kateten a udgør 16 enhedskvadrater og kvadratet på hypotenusen c udgør 25 enhedskvadrater. Vi har nu lavet en konstruktion der (tilsyneladende!) viser en en-til-en korrespondance mellem enhedskvadrater på hypotenusen og enhedskvadraterne på begge kateter. Altså svarer arealet af kvadratet på hypotenusen til summen af arealerne af kvadraterne på kateterne da : 6

7 Besøg og prøv animationen der er vist herunder: Øvelse 2: En familie af Pythagoræiske tripler Vi har ovenfor set at 3, 4, 5 er en Pythagoræisk tripel. Det er let at udvide antallet af Pythagoræiske tripler ved at gange triplerne op med et vilkårligt naturligt tal. Altså vil 2 3,2 4,2 5 6, 8, 10 også være en Pythagoræisk tripel! Vis geometrisk ved hjælp af ligedannethed at 6, 8, 10 er en Pythagoræisk tripel når du ved at 3,4,5 er det? Vis ovenstående med moderne notation (algebraisk) ved hjælp af ligningen? Vink: Gang igennem med 4 i ligningen. Kan du argumenter for at der må er uendeligt mange Pythagoræiske tripler? Skriv dine svar her: Ovenfor så du hvorledes triplen 3, 4, 5 affødte uendelig mange tripler. I overført betydning blev 3,4,5 forældre til 6, 8, 10, 9, 12, 15 osv. Forældrene 3, 4, 5 har ikke selv nogen forældre da de ikke er født af nogen tripler. Vi kalder tallene primiske da der ikke findes noget fælles tal der går op i alle tallene ud over 1. Derimod er 6, 8, 10 et barn af 3,4,5 da 2 går op i alle tallene 2 3,2 4,2 5 6, 8, 10. Øvelse 3: Dine første familier af Pythagoræiske tripler Du skal i denne øvelse arbejde eksperimentelt for at finde andre tripel der som 3, 4, 5 er uforkortlig og som kan være forældre til en ny familie af tripler. Altså skal du finde Pythagoræisk tripler, som ikke har en fælles divisor der går op i de tre tal. Du får lidt hjælp til at finde nogle tripler ved at lave nedenstående konstruktion. Åben en Graf-applikation i TI-Nspire og træk begyndelsespunktet 0,0 for x og y aksen til 7

8 nederste venstre hjørne. Højreklik i grafrummet, vælg Vinduesindstillinger under Zoom og vælg nedenstående indstillinger: Vi kan nu anvende skala markeringerne på x og y aksen til at lave retvinklede trekanter hvor længden af kateterne er hele positive tal. Afsæt punkt A på y-aksen i punkt 0,1, punkt B på x-aksen i punkt 1,0 og punkt C i origo med koordinatsættet 0,0. Konstruer herefter trekant ABC med Trekant-værktøjet. Afmål længden af kateterne og hypotenusen som afstand mellem punkter ved hjælp af Længde-værktøjet. Den konstruerede trekant hører tydeligvis ikke blandt Pythagoras tripler idet hypotenusen er et decimaltal. Træk i hhv. punkt A og B for at konstruere den Pythagoræiske triple 3,4,5 : Det oplyses at der i det angivne x og y akseinterval befinder sig fire familier. Træk i punkterne A og B for at finde de tre nye forældre til Pythagoræiske familier ud over 3,4,5. Angiv dine tre nye forældre tripler her: 8

9 Øvelse 4: Uendelig mange Pythagoræiske familier I denne øvelse skal vi vise at der må være uendelig mange Pythagoræiske familier. Lad os starte med at tage udgangspunktet følgende figur som vi konstruerede tidligere: Figuren illustrerer den Pythagoræiske triple (3, 4, 5). Vi bemærker at længden af den længste katete er nabotal til længden af hypotenusen. Altså at forskellen er lig Vi bemærker desuden at forskellen i antal af enhedskvadrater mellem kvadratet på hypotenusen og kvadratet på kateten med længde 4 er 9 enhedskvadrater, svarende til antallet af de hvide enhedskvadrater i kvadratet på hypotenusen. Men forskellen er netop et kvadrattal da Dette giver den Pythagoræiske triple. Vi fokuserer altså udelukkende på de retvinklede trekanter hvor den ene katete er en enhed kortere end hypotenusen. Disse trekanter kan illustreres ved at betragte kvadraterne på hypotenusen: Hypotenuse: 2 Katete: 1 Hypotenuse: 3 Katete: 2 Hypotenuse: 4 Katete: 3 Hypotenuse: 5 Katete: 4 Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 3 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 5 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 7 som ikke er et kvadrattal. Forskellen i antallet af enhedskvadrater er 9 som er et kvadrattal. Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratroden af 3 er et decimaltal: Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratro den af 5 er et decimaltal: Altså giver dette ikke en Pythagoræisk triple da kvadratrode n af 7 e r et decimaltal: Dette giver os vores kendte Pythagoræiske triple (3, 4, 5) da kvadratrode n af 9 er et helt tal:

10 Argumenter for som ovenfor at næste Pythagoræiske familie må være (5, 12, 13). Tegn skitse figur her: Hypotenuse: 13 Katete: 12 Vi har nu bestemt de to familier med forældrene 3,4,5 og 5, 12, 13. Betragter vi de to forældre ser vi at de første tal der indgår i familierne er de ulige tal 3 og 5. De følgende tal i triplerne er naboer: hhv. 4 og 5 samt 12 og 13. Vi kan ud fra kvadratfigurerne argumentere for at vi kan finde den næste familie ved at tage udgangspunkt i kateten 7 som giver en forskel i antallet af kvadrater på Vi kan ud fra denne bestemme nabotallene og 1 ved at opstille følgende ligning, der løses trinvis: Forklar den trinvise løsning af ligningen til venstre: Forklar ud fra ovenstående at vi har bestemt forældreparret,, : 10

11 Bestem næste forældrepar og argumenter for at der findes uendelig mange Pythagoræiske familier. Skriv dine svar her: Øvelse 5: En rummelig Pythagoræisk familie Tallene (1, 2, 2, 3) udgør det man på engelsk kalder Pythagorean quadruple. Undersøg ved hjælp af Internettet (Wikipedia) hvad begrebet dækker over. Giv en geometrisk forklaring med udgangspunkt i nedenstående 3-dimensionelle illustration (lavet med matematikprogrammet Cabri 3D): Skriv dine svar her: Formulér Pythagoras læresætning i rummet med moderne notation: Skriv dit bud her: 11

12 Kan du bruge analogien fra 2 til 3 dimensioner til at sige noget om Pythagoras læresætning i 4 dimensioner? Hvad med 5 dimensioner og n dimensioner? Skriv dine svar her: Øvelse 6: Pythagoras i vilkårlige retvinklede trekanter Vi har indtil nu kun set på nogle særlige retvinklede trekanter nemlig dem hvor kateterne og hypotenusen er naturlige tal. Vi vil nu lave en geometrisk konstruktion der i vilkårlige retvinklede trekanter illustrerer at arealerne på kateterne svarer til arealet på hypotenusen. Dele af konstruktionen er vist herunder idet øvelsen er at færdiggøre konstruktionen. I en geometriapplikation starter du med at konstruere en linje l med Linje-værktøjet. Konstruer herefter en vinkelret linje n til l i punkt C. Afsæt et vilkårligt punkt A på l og B på n. Konstruer trekant ABC: Trekant ABC repræsenterer nu en vilkårlig retvinklet trekant. Vi vil nu konstruere de kvadrater der ligger på kateterne og hypotenusen. Dette gør vi ved hjælp af Parallelværktøjet for at lave sider, Cirkel-værktøjet der sikrer os at siderne i kvadratet er lige lange og Polygon-værktøjet til at lave kvadratet. Her vises hvorledes vi konstruerer kvadratet på kateten a. Konstruér den parallelle linje til l gennem B ved at vælge Parallel-værktøjet klikke på l og klikke på punkt B hvilket giver linje m. Vælg herefter Cirkel-værktøjet og konstruer cirklen med centrum i B og radius BC ved at klikke på punkt B efterfulgt af punkt C. Konstruer skæringen mellem cirklen og linje m hvilket giver punkt D. Konstruer den parallelle linje til n gennem D hvilket giver linje o. Konstruer skæringen mellem linje o og linje l hvilket giver punkt E: 12

13 Du kan nu ændre udseendet at de hjælpelinjer som vi har anvendt til at konstruere kvadratet BCDE ved at højre-klikke på dem og vælge Attributter. Herunder er hjælpelinjer gjort stiplede. Vælg Polygon-værktøjet og klik på punkterne B, C, D, E og B for at konstruere kvadratet. Vælg Areal-værktøjet for at måle arealet af kvadratet: Mål desuden afstanden mellem punkterne B og C for at bestemme længden af kateten a. Højre-klik et sted i tegnefladen, vælg Tekst og skriv idet du kan bruge tastaturtasten ^ for at opløfte a i anden potens. Højre-klik nu på teksten, vælg Beregn og udpeg målingen af a. Træk i punktet B der skulle gerne være overensstemmelse mellem udmålingen af arealet af kvadratet og udregningen af : Du skal nu selv færdiggøre konstruktionen idet du skal konstruere kvadraterne på katete b og hypotenusen c idet du for brug for at anvende Vinkelret-værktøjet undervejs. Vis ved udregning at summen af arealerne af kvadraterne på kateterne er lig arealet af kvadratet på hypotenusen: 13

14 Øvelse 7: Beviser for Pythagoras læresætning Du skulle nu gerne være overbevist om at Pythagoras læresætning er sand. Men du har lov til at være i tvivl og stille spørgsmål for eksempler er ikke nok idet enhver matematisk påstand forudsætter et bevis før at vi accepterer den for at være gældende. Vi vil i denne øvelse se på forskellige beviser for Pythagoras læresætning. Der er både geometriske og algebraiske beviser idet vi starter med det mest simple bevis. Geometrisk bevis for Pythagoras læresætning Åben den udleverede fil med det geometriske bevis for Pythagoras. Træk i skyderne t1, t2, t3 og t4. Beskriv med egne ord hvad der sker når man trækker i skyderne og forklar det geometriske bevis for Pythagoras: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: 14

15 Algebraisk bevis for Pythagoras læresætning Konstruér et kvadrat med Reg.polygon værktøjet i en Geometriapplikation i TI-Nspire. Konstruér herefter et indskrevet kvadrat i det første kvadrat ved at klikke på centrum for det første kvadrat, på randen af det ydre kvadrat i P og i Q. Konstruer herefter de fire retvinklede trekanter med den rette vinkel i hjørnerne af det ydre kvadrat. Navngiv siderne i de fire retvinklede trekanter. Træk i punktet P for at tjekke din konstruktion. Vi har som udgangspunkt givet et ydre kvadrat der har sidelængden. Hvad er definitionen på et kvadrat? Træk i punktet P langs det vandrette linjestykke på kvadratets "top". Bemærk at arealet af det store kvadrat ikke ændres når vi trækker i P. Bestem area let af kvadratet med sidelængden : 1 Bemærk at det store kvadrat er sammensat af fire retvinklede trekanter og et mindre kvadrat. Bestem arealet af det store kvadrat som summen af arealet af de fire retvinklede trekanter og arealet af det lille kvadrat. 2 Sæt A1 = A2 og reducér ligningen: Skriv her: Nu er det algebraiske bevis sådan set færdigt. Men der er et problem! Vi har under udregning af 2 gjort en antagelse som vi ikke har sagt noget om - hvilken? Argumenter for at vores antagelse var korrekt: Skriv her: 15

16 Euclids bevis for Pythagoras læresætning Åben den udleverede fil med Euclids bevis for Pythagoras. Træk først i skyderne k6, k7 og k8. Beskriv med egne ord hvad der sker når man trækker i skyderne. Træk herefter i skyderne k1, k4 og k5 og beskriv hvad der sker: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: 16

17 Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Forklar med dine egne ord: Euclids bevis for Pythagoras læresætning stå som sætning 47 i 1. bog at Elementerne. Undervejs i beviset trækker Euclid på sætninger der er bevist tidligere og bruger aksiomer som bogen indleder med. Undersøg hvem Euclid er og hvad Elementerne består af. Hvorledes er Pythagoras læresætning formuleret? Prøv om du kan finde bestemme hvilke aksiomer og sætninger Euclid benytter sig af i beviset for Pythagoras læresætning. 17

18 Øvelse 8: Klip et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning 1 Åben en Geometri applikation og skriv følgende tekstlinjer i tegnefladen: Du har sikkert bemærket tilfældigheden i rækkefølgen af linjerne. Der er nu din opgave at placere linjerne i den korrekte rækkefølge således at de udgør et algebraisk bevis for Pythagoras læresætning. Du kan trække i linjerne uafhængigt at hinanden. Figuren til højre fungerer som hjælp til beviset. Øvelse 9: Inkommensurable størrelser Lav en tidslinje hvor du indplacerer følgende berømte oldgræske filosoffer og matematikere: Pythagoras, Sokrates, Platon, Aristoteles, Euclid og Archimedes. Skriv her: Vi skal i denne øvelse vise at 2 er en inkommensurabel størrelse. Da disse inkommensurable størrelser blev opdaget opstod der et behov for at rekonstruere matematikken på et geometrisk grundlag. 1 På hjemmesiden kan du i mappen MATEMATIK > Geometri se en videooptagelse af beviset 18

19 Undersøg via Internettet hvad der ligger i begrebet inkommensurable størrelser. Brug eventuelt søgeordene: Euclids Elementer og inkommensurable størrelser. Måske falder du over en lille anekdote om en uheldig græker, der beviste at 2 ikke er et rationel tal (altså at 2 ikke kan skrives som en brøk). Skriv her og husk at angive webadresse: Vi vil her med et moderne algebraisk modstridsbevis der viser at der findes inkommensurable størrelser (u-sammen-målelige). Vi betragter et kvadrat, specielt siden og diagonalen i kvadratet. Vi antager at der findes et fælles mål, der går op i begge sider. Diagonalen giver vi længden p enheder og siden har længden q enheder. Altså er p og q hele tal. Vi antager at p og q er indbyrdes primiske således at forholdet p/q ikke kan forkortes. Hvis p og q havde en fælles divisor k, kunne vi vælge en enhed der var k gange større altså er antagelsen ikke urimelig. Fra Pythagoras læresætning (I.47) ved vi at 2. Altså er et lige tal og derfor må p også være et lige tal (p kan ikke være ulige da kvadratet på et ulige tal er ulige). Da p og q er indbyrdes primiske, må q være et ulige tal. Da p var et lige tal sætter vi p lig 2. Ved udregning får vi at 2 4. Vi forkorter med 2 og ser at q må være et lige tal: 2. Men q kan umuligt være både lig og ulige hvorfor vores antagelse om at der findes et fælles mål er forkert. Vi har dermed bevist at der findes linjestykker der ikke kan måles med samme enhed. Det er af samme grund at Euclid ikke tillægger sine linjestykker længde (et tal) men arbejder med dem som det er: geometriske størrelser. Senere tiders matematikere omgik det samme problem ved at udvide talbegrebet med de reelle tal. Hvorledes er 2 koblet til ovenstående bevis som inkommensurabel størrelse? Skriv dit svar her: 19

20 Øvelse 10: Den omvendte Pythagoræiske sætning Hvis summen af kvadratet på de korte sider i en trekant er lig kvadratet på den længste side så er trekanten retvinklet. Dermed svarer de korte sider til kateter og den lange side til hypotenusen. Forklar hvad der menes med omvendte : Øvelse 11: Pythagoras hjælp til tømrerne Tag et stykke snor og lav en markering ved 3/12-dele og 7/12-dele af snorens længde. Bind snorens ender sammen således at forholdene bevares. Du er nu i besiddelse af et værktøj der let kan bruges som vinkelmålingsinstrument til at sikre rette vinkler. Hvorfor og hvordan? Skriv dit svar her: 20

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende

GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart. det grundlæggende GeoGebra 3.0.0.0 Quickstart det grundlæggende Grete Ridder Ebbesen frit efter GeoGebra Quickstart af Markus Hohenwarter Virum, 28. februar 2009 Introduktion GeoGebra er et gratis og meget brugervenligt

Læs mere

Animationer med TI-Nspire CAS

Animationer med TI-Nspire CAS Animationer med TI-Nspire CAS Geometrinoter til TI-Nspire CAS version 2.0 Brian Olesen & Bjørn Felsager Midtsjællands Gymnasieskoler Marts 2010 Indholdsfortegnelse: Indledning side 1 Eksempel 1: Pythagoras

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter

Emne Tema Materiale r - - - - - aktiviteter Fag: Matematik Hold: 24 Lærer: TON Undervisningsmål Læringsmål 9 klasse 32-34 Introforløb: række tests, som viser eleverne faglighed og læringsstil. Faglige aktiviteter Emne Tema Materiale r IT-inddragelse

Læs mere

Introduktion til GeoGebra

Introduktion til GeoGebra Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse

Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse. Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Inspirationsforløb i faget matematik i 7.- 9. klasse Trekanter et inspirationsforløb om geometri i 8. klasse Indhold Indledning 2 Undervisningsforløbet 3 Mål for forløbet 3 Relationsmodellen 3 Planlægningsfasen

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

Eleverne skal lære at:

Eleverne skal lære at: PK: Årsplan 8.Ga. M, matematik Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 32 uge 50 Tal og algebra Eleverne skal arbejde med at: kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge

Læs mere

Interaktiv Whiteboard og geometri

Interaktiv Whiteboard og geometri Interaktiv Whiteboard og geometri Nærværende dokumentation af et undervisningsforløb til undervisning i geometri er blevet til som et resultat af initiativet Spredningsprojektet. Spredningsprojektet er

Læs mere

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende

Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 og løbende Årsplan 8. klasse matematik 2013-2014 33 løbende 33-34 løbende Løbende Problemregning ( faglig læsning) Mundtlig matematik (forberede oplæg til 6. klasse) - flere forskellige trinmål Ben, formelsamlingen,

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard

Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning Matematik 1-2-3 på Smartboard Lærervejledning til Matematik 1-2-3 på Smartboard Materialet består af 33 færdige undervisningsforløb til brug i matematikundervisningen i overbygningen. Undervisningsforløbene

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Årsplan for 7. klasse, matematik

Årsplan for 7. klasse, matematik Årsplan for 7. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over grundbogen, også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik

Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå

Læs mere

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer.

Hint: Man kan alternativt benytte genvejstasterne ctrl+6/cmd+6 for at sprede applikationerne og ctrl+4/cmd+4 for at samle applikationer. [OPGAVER I NSPIRE] 1 Opgave 1) Opgaver og sider - dokumentstyring Start et nyt Nspire dokument. Følg herefter nedenstående trin. a) Opret to opgaver i dokumentet, hvor første opgave består to sider, og

Læs mere

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15

LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 LÆRINGSMÅL PÅ NIF MATEMATIK 2014-15 Mål for undervisningen i Matematik på NIF Følgende er baseret på de grønlandske læringsmål, tilføjelser fra de danske læringsmål står med rød skrift. Læringsmål Yngstetrin

Læs mere

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik:

TW 2011/12. Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag. Formål for faget matematik: TW 2011/12 Fag: Matematik Klasse: 9. Mandag, Tirsdag, fredag Formål for faget matematik: Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at

Læs mere

Matematik. Matematiske kompetencer

Matematik. Matematiske kompetencer Matematiske kompetencer formulere sig skriftligt og mundtligt om matematiske påstande og spørgsmål og have blik for hvilke typer af svar, der kan forventes (tankegangskompetence) løse matematiske problemer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12

Fælles Mål 2009. Matematik. Faghæfte 12 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Fælles Mål 2009 Matematik Faghæfte 12 Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 14 2009 Indhold Formål for faget

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

Årsplan for 5. klasse, matematik

Årsplan for 5. klasse, matematik Årsplan for 5. klasse, matematik I matematik bruger vi bogsystemet Sigma som grundmateriale. I systemet er der, ud over også kopiark og tests tilknyttet de enkelte kapitler. Systemet er udarbejdet så det

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Årsplan for matematik 2012-13

Årsplan for matematik 2012-13 Årsplan for matematik 2012-13 Uge Tema/emne Metode/mål 32 Matematiske arbejdsmåder(metode) 33 Intro 34 Tal + talforståelse 35 Brøker-procent 36 Potens+kvadrat-og kubikrod 37 Emneuge 38 Ligninger-uligheder

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion)

Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Velkommen til TI-Nspire CAS 2.0 (Lærerversion) Når du åbner for TI-Nspire CAS i en standardopsætning ser brugerfladen således ud (hvis ikke, så vælg Dialogboks > Indlæs standardområdet): I midterpanelet

Læs mere

OM BEVISER. Poul Printz

OM BEVISER. Poul Printz OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen:

Matematik. Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for undervisningen: Matematik Årgang: Lærer: 9. årgang Jonas Albrekt Karmann (JK) Mål for : Formålet med er, at udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer

Årsplan matematik 4.klasse - skoleår 11/12- Ida Skov Andersen Med ret til ændringer og justeringer Basis: Klassen består af 22 elever og der er afsat 4 ugentlige timer. Grundbog: Vi vil arbejde ud fra Matematrix 4, arbejds- og grundbog, kopisider, Rema, ekstraopgaver og ugentlige afleveringsopgaver

Læs mere

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer

Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende

Læs mere

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015

Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Års- og aktivitetsplan i matematik hold 4 2014/2015 Der arbejdes hen mod slutmålene i matematik efter 10. klassetrin. www.uvm.dk => Fælles Mål 2009 => Faghæfter alfabetisk => Matematik => Slutmål for faget

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Projekt 4.6 Didaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekter: Kapitel. rojekt.6 Eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer rojekt.6 idaktisk oplæg til et eksperimenterende forløb med fokus på modellering og repræsentationsformer

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5

Undervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5 Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5

SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5 SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012

Geogebra. Dynamisk matematik. Version: August 2012 Geogebra Dynamisk matematik Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er Geogebra?...4 Denne manual...4 Hent og installer programmet...4 Geogebra gennemgang og praktiske eksempler...4 Menuerne...5

Læs mere

Fag- og indholdsplan 9. kl.:

Fag- og indholdsplan 9. kl.: Fag- og indholdsplan 9. kl.: Indholdsområder: Tal og algebra: Tal - regneregler og formler Størrelser måling, beregning og sammenligning. Matematiske udtryk Algebra - teoretiske sammenhænge absolut og

Læs mere

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter

Faglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer Regneregler og Algebra. Læringsmål Faglige aktiviteter Fag: Matematik Hold: 26 Lærer: Harriet Tipsmark Undervisningsmål 9/10 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter 33-35 Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig gode matematiske færdigheder og at

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan

Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014. Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Birgit Mortensen. Begynderkonference d. 26/2 2014 Sproglig bevidsthed i matematik - hvorfor og hvordan Sproglig bevidsthed i matematik undervisningen Sum er noget bierne gør, når de flyver i haven Negativ

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse for MATEMATIK C, 1. 2. semester 2013-2014 Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)

Matematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse) Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende

Læs mere

Mathcad Survival Guide

Mathcad Survival Guide Mathcad Survival Guide Mathcad er en blanding mellem et tekstbehandlingsprogram (Word), et regneark (Ecel) og en grafisk CAS-lommeregner. Programmet er velegnet til matematikopgaver, fysikrapporter og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015, skoleåret 14/15 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC hf enkeltfag

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent

Nye Fælles Mål og årsplanen. Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Nye Fælles Mål og årsplanen Thomas Kaas, Lektor og Kirsten Søs Spahn, pæd. konsulent Interview Find en makker, som du ikke kender i forvejen Stil spørgsmål, så du kan fortælle os andre om vedkommende ift.:

Læs mere

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven):

Kære matematiklærer. Når vi er færdige med dette forløb skal du (eleven): Kære matematiklærer Formålet med denne materialekasse er, at eleverne med konkrete materialer og it får mulighed for at gøre sig erfaringer, der kan føre til, at de erkender de sammenhænge, der gør sig

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Emne Tema Materialer

Emne Tema Materialer 32 36 Uge 35 Fag: Matematik Hold: 20 Lærer: Trine Koustrup Undervisningsmål 9. klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer Målsætningen med undervisningen er at eleverne udvikler deres kunnen,opnår

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015

Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Årsplan matematik 7.klasse 2014/2015 Emne Indhold Mål Tal og størrelser Arbejde med brøktal som repræsentationsform på omverdenssituationer. Fx i undersøgelser. Arbejde med forskellige typer af diagrammer.

Læs mere

Matematik - undervisningsplan

Matematik - undervisningsplan I 4. klasse starter man på andet forløb i matematik, der skal lede frem mod at eleverne kan opfylde fagets trinmål efter 6. klasse. Det er dermed det som undervisningen tilrettelægges ud fra og målsættes

Læs mere

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj- juni, 14-15 Horsens HF & VUC HF 2- årigt Matematik

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, august 2013, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Photofiltre nr. 85 Lave grafikbillede hvor vi bruger plugins side 1

Photofiltre nr. 85 Lave grafikbillede hvor vi bruger plugins side 1 Lave grafikbillede hvor vi bruger plugins side 1 Vi skal nu sammensætte et grafikbillede hvor vi bruger 2 plugins som kan hentes på min hjemmeside www.pensionistedb.dk under Photofiltre. Denne hedder Image

Læs mere

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3.

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget Fælles Mål II MATEMATIK Formål for faget Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. FORKLARINGER TIL LOGIK & TAL KORT 121 2 ud af 3 deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt 48 børn med på skovturen. 2 ud af 3 børn må være piger, da der er

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen.

Tavleundervisning og samarbejde 2 og 2. Eleverne arbejder selvstændigt med opgaver. Løbende opsamling ved tavlen. Fag: Matematik Hold: 21 Lærer: ASH 33-34 35-36 lære at læse og forstå en lønseddel samt vide hvordan deres skat bliver beregnet. Se i øvrigt fælles mål Arbejde med regnehieraki og regneregler. 36-38 Elevere

Læs mere

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3.

tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. Den tråd i matematik Hørsholm Skole har lavet den røde tråd for undervisningen i matematik fra 1.-9. klasse 1. klasse 2. klasse 3. klasse 4. klasse 5. klasse 6. klasse 7. klasse 8. klasse 9. klasse 1.klasse

Læs mere