Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed"

Transkript

1 Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt til læreren. På kan du hente en version af materialet, som kan uddeles til eleverne. Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at sætte dem så tilfældigt som muligt Når alle har udfyldt skemaet, skal vi vurdere, hvor gode I har været til at være tilfældige. Opgave 1 Hvis nu du har været god til at være tilfældig, hvilken fordeling af 0 er og 1 er skulle man så forvente? 0 1 Forventet 50% 25 Optalt Regn holdets gennemsnit ud 50% 25 Opgave 2 Men man kan også se på mere end et tal ad gangen. Man kan se på strenge af længden to, og igen udregne den forventede fordeling og sammenligne med den fordeling du faktisk har. 49 par i alt Forventet 25% % % Optalt Regn holdets gennemsnit ud 25% Opgave 3 Lav nu selv skema over forventet og optalt fordeling for strenglængde strenge i alt Forventet Optalt side 1

2 Fra Tilfældighed til Fraktaler Et tilfældigt mønster Du skal til denne øvelse bruge en spids blyant, en almindelig -sidet terning og en lineal. Nedenfor er der tegnet tre hjørnepunkter i en ligesidet trekant. De tre hjørnepunkter har navnene 12, 34 og 5. Du skal nu slå med en terning, terningen afgør, hvor du skal flytte blyanten hen og sætte en prik. Start med at sætte din blyant i hjørnepunktet 12. Slå med terningen. Flyt din blyant hen til midt mellem, der hvor du står og hjørnepunktet, hvori terningeslaget indgår. Fortsæt på denne måde. Hvis de(t) første terningeslag ikke giver anledning til at flytte blyanten, slår du bare igen. Vær omhyggelig og præcis. Du skal fortsætte i 10 minutter, eller indtil du har set et mønster i hvor prikkerne kan ramme. Der er ret store områder, som aldrig kan blive ramt. Eksempel: side 2

3 Fraktaler Afslør nu for eleverne at ovenstående vil ende med at danne Sierpinksis Si. Diskuter hvilke områder, der ikke kan rammes af blyantsprikker. Lad eleverne tegne de to-tre første iterationer (dvs. trin) af Sierpinksis Si ind i ovenstående trekant, og skraver de umulige områder. På den måde kan eleverne se at prikkerne ligger i de mulige områder. Sierpinskis Si dannes ved, at der i hver iteration tegnes fire trekanter i de eksisterende trekanter, og den midterste trekant fjernes. Von Kochs snefnug Von Kochs snefnug er en anden fraktal. Den skal du også tegne. Tegn et linjestykke. 1. iteration 2. iteration Del linjestykket op i tre lige store stykker. Ved det midterste stykke af linjestykket tegnes en ligesidet trekant med det midterste stykke som den ene side. Til sidst visker man bundlinjen af trekanten ud. 1. iteration Fortsæt denne procedure ved alle de linjestykker der opstår. 2. iteration Ved at sætte tre Von Kock fraktaler sammen, dannes det man kalder Von Kocks snefnug. Opgave 4 Snefnugget vokser og vokser, men det bliver ikke uendelig stort. Prøv at tegne en figur udenom snefnugget, som snefnugget aldrig kommer ud over. side 3

4 Pop-up fraktaler Den første pop-up fraktal Man kan klippe eller skære pop-up figurer, der ligner fraktaler. Følg mine klippe- og foldeanvisninger. Du skal klippe mindst 3 iterationer. Hvilken fraktal ligner denne pop-up? Forhåbentlig kan eleverne se at det ligner Sierpinskis Si, hvis ikke bliver det tydeligere ved flere iterationer Fraktaltrappen Skær fraktaltrappen. Tag arket med mine fortrykte skære- og foldelinier. Skær først og fold derefter. Brug fotografierne til at finde ud af, hvordan der skal foldes. Opgave 5 Hvor mange trin har Fraktal Trappen? =15 side 4

5 Opgave Hvor mange trin skulle du skære i næste omgang, hvis du altså skulle fortsætte mønsteret? 2*8=1 Hvor mange trin ville der så være i alt? 15+1=31 eller =31 Opgave 7 Udfyld skemaet: Antal trin, der skæres i denne omgang. Antal trin, der så er alt i alt. 1. omgang omgang omgang omgang omgang 1 31 n'te omgang 2 n 1 2 n 1 Et bevis for 2 n 1. Kun de allerskarpeste kan forstå det: n 1 = 2 n 1 S = n 1 2S = n 2S S = S = 2 n 2 0 = 2 n 1 Lidt om fraktaler Fraktaler er geometriske former, der ikke alene kan beskrives ved traditionelle former som cirkel, kantformet eller lignende. Fraktalformerne genfindes i naturen i fx bregner og blomkål. Ideen er, at man hele tiden kan gå tættere og tættere på og hele tiden blive ved med at se nye krinkelkroge ligegyldigt hvor længe man bliver ved. Det er en fraktal. Mange fraktalformer kan beskrives ved følgende tre ting: de er selvligedannede de er formet ved iteration de har ikke heltallige dimensioner Selvligedannet At to figurer er ligedannede betyder, at den ene kan forstørres (som på en kopimaskine) så den præcis ligner den anden. Fx er disse to figurer ligedannede: side 5

6 Mens disse to figurer ikke er: At en figur er selvligedannet betyder at figuren selv er bygget op af mindre figurer, hvor de mindre figurer er ligedannede med den store figur. Fx er følgende figur selvligedannet, men ikke en fraktal: At en figur er selvligedannet betyder altså ikke nødvendigvis, at den er en fraktal. Formet ved iteration Mange fraktaler er lavet ved en iterativ proces. Iteration betyder at gentage på sig selv. Fraktaler opstår, når hver iteration komplicerer den forrige. Nedenfor ses en fraktal som er lavet ved følgende iteration: Del et linestykke i tre og fjern den midterste del, og fortsæt på denne måde. Fraktalen hedder Cantors støv. Ikke heltallige dimensioner Et punkt siges at have dimension 0, et linjestykke har dimension 1, et stykke papir har 2 dimensioner, en mursten har 3 dimensioner og flere dimensioner findes ikke i den fysiske verden. Mange fraktaler kan have dimensioner der ligger mellem disse, fx 1,27 eller 2,5. En dimension på 1,27 kan forstås på den måde, at det egentlig er et linjestykke (med dimension 1) der bliver krøllet så meget sammen, at den efterhånden får lidt figur bliver lidt tykkere, så den nærmer sig noget 2-dimensionalt. Dimensioner som vi kender dem Opgave 8: Dette kvadrat har kantlængde 1 og størrelse 1. Hvad er det mindste antal af disse kvadrater der skal sættes sammen for at danne et større kvadrat? 4 Opgave 9 Størrelsen af en figur siges at være det antal gentagelser (små figurer) der danner figuren. Hvad er størrelsen af denne figur? 4 side

7 Opgave 10 Hvad er kantlængden på denne figur? 2 Opgave 11 Forstørrelsesfaktor (F) fås ved at dividere den nye kantlængde med den gamle kantlængde. F= ny kantlængde : gammel kantlængde Hvad er forstørrelsesfaktoren F mellem ovenstående kvadrater? F=2:1=2 Opgave 12 Størrelsesforhold (S) fås ved at dividere den nye størrelse med den gamle størrelse. S= ny størrelse : gammel størrelse Hvad er størrelsesforholdet S mellem ovenstående kvadrater? S=4:1=4 Opgave 13 Lav nyt kvadrat med kantlængde 3. Find forstørrelsesfaktor F og størrelsesforholdet S mellem det første kvadrat og dette nye kvadrat. F=3:1=3 S=9:1=9 Opgave 14 Hvilken sammenhæng er der mellem S og F? S = F 2 Opgave 15 En figur har dimensionen d når og kun når: F d =S Hvilken dimension har kvadrater? 2 Opgave 1 Denne kube (terning) har kantlængde 1 og størrelse 1. Hvad er det mindste antal af disse kuber der skal sættes sammen for at danne en større kube? 8 Opgave 17 Find F og S F=2:1=2 S=8:1=8 Opgave 18 Tænk på (eller lav den med terninger) en ny kube med kantlængde 3. Find forstørrelsesfaktor F og størrelsesforholdet S mellem den første kube og denne nye kube. F=3:1=3 S=27:1=27 side 7

8 Opgave 19 Hvilken sammenhæng er der mellem S og F? S = F 3 Opgave 20 Brug definitionen af dimension til et bekræfte at en kube har dimension 3. S = F d Fraktaldimensioner Forstørrelsesfaktoren F skal nu beregnes på følgende måde: Hvor meget skal den nye figur forstørres, så den indeholder en kopi af den gamle figur. Eksempel: Her er 1. iteration og 2. iteration af Von Kocks fraktal. 2. iteration forstørres nu så den indeholder en kopi af 1. iteration: Vi ser, at vi må forstørre med faktor 3. Hver kantlængde i forstørrelsen bliver 3 gange så lang, som den var før. Dvs. F=3 Størrelsesforholdet S findes ved at tælle hvor mange gange den gamle iteration er at finde i den nye iteration. I Von Kock er S=4 Vi skal nu løse ligningen 4 = 3 d for at finde dimensionen d. Dimensionen bliver ikke et helt tal. Man kan bruge sin lommeregner og opløftetasten (som enten er ^ eller y x ) til at finde dimensionen ved at prøve sig frem. Man kan også anvende en logaritmefunktion til at finde dimensionen d. På din lommeregner hedder den funktionstast måske log. For at løse ligningen S = F d skal man bruge logaritmefunktioner d = logs logf. For Von Kock fraktalen er S=4 og F=3, så dimensionen d findes ved: d = log4 = ,22 log3 Opgave 21 Find dimensionen af Sierpinskis Si. Det vil sige find F, S og til sidst d. Prøv først at vurdere dimensionen af Sierpinskis Si. F=2, S=3, d=1,585 side 8

9 Opgave 21 Find dimensionen af Cantors Støv. Prøv først at vurdere dimensionen af Cantors Støv. F=3, S=2, 2 = 3 d, d=0,31 Opgave 23 Mengers Svamp er også en fraktal. Den dannes ved at starte med en kube (en terning). Ved hver iteration deler man kuberne (første gang er der kun en kube) op i 3x3x3=27 mindre, lige store kuber. Man fjerner de midterste kuber på hver flade, og man fjerner også kuben helt inde i midten. Sådan fortsætter man. Find dimensionen af Mengers Svamp. Prøv først at vurdere dimensionen af Mengers svamp. F=3, S=20, 20 = 3 d, d = ,73 Opgave 24 Denne fraktal har ikke et officielt navn, men vi kan jo kalde den Mengers Si. Man starter med et kvadrat. Ved hver iteration deler man kvadraterne (første gang er der kun et kvadrat) i 3x3=9 mindre lige store kvadrater. Så fjerner man det midterste kvadrat på hver side og kvadratet i midten. Og sådan fortsætter man. Find dimensionen af Mengers Si. Prøv først at vurdere dimensionen af Mengers Si. F=3, S=4, 4 = 3 d, d = ,2 Har I set den dimension tidligere? Ja, det er også dimensionen af Von Kochs fraktal. Ved Von Koch starter man med en streg der bliver tykkere, her starter man med en flade, der bliver tyndere. side 9

10 Opgave 25 Mengers Si kan man få frem med tilfældighed, på en måde der ligner den måde man fik Sierpinskis Si frem. Hvordan? Hvor mange punkter skal man starte med? Hvordan skal man bruge terningen? Skal man bruge en anden slags terning måske? Skal man gå halvvejs mellem der hvor man står og det hjørne som terningen viser? Eller hvor langt skal man gå? Start med fire prikker i hvert hjørne af et kvadrat. Brug en 4-sidet terning, eller en -sidet hvor man bare ikke bruger siderne 5 og. Gå to tredjedel af vejen fra der hvor man står og mod det hjørne terningen viser. Opgave 2 Dragekurven er endnu en fraktal. Man starter med et linjestykke. Ved hver iteration erstatter man linjestykkerne (første gang er der kun et linjestykke) med to linjestykker der danner en ret vinkel. Når der kommer flere linjestykker skal den rette vinkel skiftevis placeres til højre og til venstre for det oprindelige linjestykke (som om man går fremad langs den oprindelige kurve og hele tiden erstatter det linjestykke man lige har trådt på med en ret vinkel hhv. til højre og til venstre) Find dimensionen af Dragekurven. Det vil sige find F, S og til sidst d. Vær opmærksom på at F ikke er et helt tal. Prøv først at vurdere dimensionen af Dragekurven. F= 2, S=2, 2 ( 2) d, d = 2 Man kan lave noget der ligner Dragekurven ved at folde en strimmel papir. Man tager en lang strimmel papir fx 1 cm x 30 cm og folder midt på ved at folde højre side ind mod venstre side. Dette gør man så det antal iterationer som man ønsker, og så folder man det ud igen og prøver at få det til at ligge i rette vinkler. Det ligner Dragekurven, men der er en væsentlig forskel, nemlig længden. I den rigtige dragekurve bliver den samlede længde større ved hver iteration, ved papirudgaven har den hele tiden samme længde. Uendelighed En fraktal er den figur der opstår efter uendelig mange iterationer og er dermed noget vi ikke kan tegne eller lave, da vi i den virkelige verden altid må stoppe efter et antal iterationer. Men i den matematiske verden eksisterer uendelighed. Hilberts Hotel er en historie om matematisk uendelighed. Der findes flere slags uendelighed. Hilberts Hotel handler kun om den slags uendelighed, der kaldes tællelig uendelighed. Men det er en helt anden historie. Læs historien om Hilberts Hotel op: Hilberts Hotel er et meget stort hotel, det rummer uendeligt mange værelser. Der arbejder en ung receptionist på hotellet, og han regner med en rolig aften på arbejde, da alle værelser er optaget. Han sætter sig til rette med en god bog og forventer fred og ro natten igennem. Men allerede fem minutter efter dukker der en ældre, forvirret og træt kvinde op ved skranken. Hun spørger, om der er et ledigt værelse. Desværre er alt optaget, svarer den unge mand. Han får dog så ondt af kvinden, at han siger: side 10

11 Lad mig se, hvad jeg kan gøre. Receptionisten kan ikke sende kvinden hen til det sidste værelse for der er jo ikke et sidste værelse, når der er uendeligt mange værelser. Han finder på noget andet. Over højtaleren beder han alle gæster flytte til det værelse, der har et nummer højere end det, man bor i. For eksempel skal den, der bor i værelse nr. 1, flytte til nr. 2, nr. 3 flytter til nr. 37, og nr flytter til nr Værelse nr. 1 bliver dermed ledigt, og kvinden kan flytte ind. Vi har altså et uendeligt stort hotel, som er fyldt op, idet der er uendeligt mange gæster, som bor der. Og alligevel er der plads til en ekstra gæst, hvorefter hotellet stadig er fyldt. Med andre ord kan man sige at + 1 = Receptionisten kunne have fundet plads til flere gæster. Hvis han skulle have plads til 10 gæster mere, skulle alle gæster blot flytte til 10 værelsesnumre fremad. Senere kommer der flere gæster til hotellet. Der kommer en bus fuld af gæster. Og det er en ganske særlig bus. Den har nemlig uendeligt mange passagerer med, og de vil alle have et værelse. Receptionisten kan ikke bruge samme trick som før og bede alle gæster om et flytte til et værelsesnummer uendeligt meget større end deres nuværende. Det nummer findes jo ikke. Han beder derfor alle gæster om at flytte til det værelse, som har et nummer, der er det dobbelte af det værelsesnummer, gæsten kom fra. Så gæsten på værelse nr. 1 flytter til nr. 2, fra nr. 33 flyttes til nr. osv. Nu bliver de uendeligt mange ulige numre ledige, og derind kan de uendeligt mange nye gæster flytte ind. Hotellet er igen fyldt. Med andre ord kan man sige at + =. Uanset om man fordobler eller halverer uendelig, har man stadig uendelig. Receptionisten er stolt af sig selv og drømmer ikke om, at der kan dukke værre opgaver op. Men der er et stort møde om uendelighed i byen. Man har glemt at reservere hotelværelser til deltagerne, så nu holder der uendeligt mange busser uden for Hilberts Hotel med uendeligt mange passagerer i hver. Dét er en vanskelig nød at knække, men receptionisten er dygtig til matematik. Han ved, at der findes uendeligt mange primtal, dvs. tal som kun 1 og tallet selv går op i: For eksempel 2, 3, 5, 7 og 11. Han giver alle busser og sæder i hver bus numre. Først skal han skaffe uendeligt mange ledige værelser. Det er nemt nok. Han beder blot alle gæster om at flytte til det værelse, som har et nummer, der er det dobbelte af det værelsesnummer, de kom fra. Så finder han værelser til de uendeligt mange passagerer i den første bus. Han tager det første primtal, som er større end 2. Det er 3. Passager nr. 1 får værelse nr. 3 1, altså 3. Passager nr. 2 får værelse nr. 3 2, altså 3 3, dvs. 9. Passager nr. 3 får nr. 3 3 (= =27) osv. Det næste primtal er 5. Passagererne i den anden bus skal derfor have følgende værelser: Nr. 1 får 5 1 (5), nr. 2 får 5 2 (25), nr. 3 får 5 3 (125) osv. Passagererne i den tredje bus får følgende værelsesnumre, idet det næste primtal i rækken er 7: Nr. 1 får 7 1, nr. 2 får 7 2 (49), nr. 3 får 7 3 (343) osv. Receptionisten kan på denne måde fordele uendeligt mange passagerer fra hver af de uendeligt mange busser. Alle får et værelse, og der er kun én gæst på hvert værelse. Med andre ord kan man sige at = Opgave 25 Forestil dig, at Hilberts Hotel var fyldt, og der kom to busser med uendeligt mange passagerer. Hvad skal receptionisten gøre for at skaffe plads til alle de ekstra gæster på én gang? Hotellet skal være fyldt, når gæsterne har fået deres værelser. Hvilke værelser skal hotelgæsterne flytte hen i, og hvilke værelser får buspassagererne? Gæsterne skal flytte således, værelse n flytter til værelse 3n. Første bus, sæde n til 3*(n-1)+1, Anden bus, sæde n til 3*(n-1)+2 Opgave 2 I en børnesang synger man: Ti små cyklister kom til en cykelsti, en kørte udenfor, og så var der ni. Forestil dig, at der var uendeligt mange cyklister og ikke kun ti. Hvordan ville de to linjer i sangen så lyde? Uendelig mange små cyklister kom til en cykelsti, en kørte udenfor, og så var der uendelig mange. side 11

12

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om UENDELIGHED. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om UENDELIGHED Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang

Læs mere

- et matematisk symbol

- et matematisk symbol 2 Uendelighed - et matematisk symbol Der kan være uendeligt lang tid til en fødselsdag eller til juleaften. Man kan også synes, at Brian eller Conny er uendeligt dum, eller man kan snakke om, at verdensrummet

Læs mere

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug

Fraktaler. Vejledning. Et snefnug Fraktaler Vejledning Denne note kan benyttes i gymnasieundervisningen i matematik i 1g, eventuelt efter gennemgangen af emnet logaritmer. Min hensigt har været at give en lille introduktion til en anderledes

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Pædagogisk vejledning til. Materialesæt. Pro-Bot. http://via.mitcfu.dk/99872734. VIA Center for Undervisningsmidler

Pædagogisk vejledning til. Materialesæt. Pro-Bot. http://via.mitcfu.dk/99872734. VIA Center for Undervisningsmidler Pædagogisk vejledning til Materialesæt Pro-Bot http://via.mitcfu.dk/99872734 Pædagogisk vejledning til materialesættet Pro-Bot Materialesættet kan lånes hos og evt. hos andre CFU er i Danmark. Se her:

Læs mere

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo

Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere simple mo C A R S T E N C R A M O N PASCALS TREKANT G Y L D E N D A L Faglige mål: Håndtere simple formler og ligninger, herunder kunne oversætte fra symbolholdigt sprog til naturligt sprog og omvendt. Håndtere

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere

Figurer med ligesidede trekanter deltaedere Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den

Læs mere

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg

Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Projekt 10.16: Matematik og demokrati Mandatfordelinger ved sidste kommunalvalg Introduktion: Vi vil nu se på et konkret eksempel på hvordan man i praksis fordeler mandaterne i et repræsentativt demokrati,

Læs mere

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

KÆNGURUEN 2015. International matematikkonkurrence. Del 1. 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. 2015 60 minutter Navn og klasse Del 1 3 point pr. opgave 1. A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang er længst? A A B

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser

Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser 17-09-2010 side 1 Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser Fredag d. 17. september kl. 11.15-12.15 Næsbylund Kro, Odense Mette Hjelmborg 17-09-2010 side 2 Plan Hvad er matematik i stort format?

Læs mere

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster?

Tal og algebra. I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Oplæg I hvilke situationer kan det være motiverende at gengive et talmønster som et geometrisk mønster? Hvordan ser I mulighederne i at stimulere elevernes tænkning og udvikle deres arbejdsmåde, når de

Læs mere

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger.

Løsninger til KÆNGURUEN International matematikkonkurrence. Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave. 2. Erik har 10 ens metalstænger. Løsninger til 2015 60 minutter Del 1 Løsninger 3 point pr. opgave 1. 2 3 15 A 6 B 7 C 8 D 10 E 15 2. Erik har 10 ens metalstænger. Han skruer dem sammen to og to og får fem metalstænger. Hvilken stang

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Matematisk opmærksomhed

Matematisk opmærksomhed Tælle og systematisere tal. Tælle i trin på 5 og 10 Kender i nogle tal? Hvor mange forskellige tal kender I? (forskellen på tal og grundtal) Hvad kan I tælle til? Kender I nogle store tal? Kan I tælle

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed

Mattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Eleverne skal lave tre forskellige typer af svar på opgaven: Almindelige, vanskelige og smarte.

Eleverne skal lave tre forskellige typer af svar på opgaven: Almindelige, vanskelige og smarte. Åben og undersøgende julematematik Jul er jo en herlig tid, og jeg har givet mig selv den opgave at finde på en juleopgave, inden for hver af de seks typer af åbne og undersøgende aktiviteter, som jeg

Læs mere

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version

Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version Rettevejledning, FP9, Prøven med hjælpemidler, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. Den udvidede rettevejledning

Læs mere

Papirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning.

Papirfoldning. en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Papirfoldning en matematisk undersøgelse til brug i din undervisning. Når man folder og klipper figurer kan man blive irriteret over at skulle vende og dreje saksen. Hvor få klip kan man mon nøjes med?

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm

Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm Tegn firkanter med en diagonal på 10 cm Klassetrin: 4. 10. 1 lektion. Kontekst: Ren matematik. Indgangstærskel: Lav. Hjælpemiddel: 1 cm 1 cm ternet papir. GeoGebra. Pr par: Et stykke karton på 1 cm gange

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)

En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...

Læs mere

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU)

Kaos og fraktaler i dynamiske systemer. Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) Kaos og fraktaler i dynamiske systemer Bodil Branner Institut for Matematik Danmarks Teniske Universitet (DTU) UNF Matematik Camp 2010 Oversigt tre simple eksempler på klassiske fraktaler deterministiske

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:

Matematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører: Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

1gma_tændstikopgave.docx

1gma_tændstikopgave.docx ulbh 1gma_tændstikopgave.docx En lille simpel opgave med tændstikker Læg 10 tændstikker op på en række som vist Du skal nu danne 5 krydser med de 10 tændstikker, men du skal overholde 3 regler: 1) når

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Version Kapitel 1, Tal i det uendelige

Version Kapitel 1, Tal i det uendelige 1 KonteXt +8, Lærervejledning/Web version 2 040816 2016 Version 1-040816 Facit til KonteXt +8, Kernebog Kapitel 1, Tal i det uendelige Facitlisten er en del af KonteXt +8; Lærervejledning/Web KonteXt +8,

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi FRAKTALER Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi OVERSIGT Hvad er en fraktal Lidt historie Fraktaler i matematikken Den fraktale dimension Fraktaler i fysikken Fraktaler i biologien Fraktaler som

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2

fx 8 Sandsynligheden for at slå en 4 er med en 6-sidet 1 terning 2 Logik Udsagn Reduktion Ligninger Uligheder Regnehistorier I en trekant er den største vinkel 0 større end den næststørste og denne igen 0 større end den mindste. Find vinklernes gradtal. = og Lig med og

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Matematisk opmærksomhed 1 Længdemål 1

Matematisk opmærksomhed 1 Længdemål 1 Matematisk opmærksomhed 1 Længdemål 1 At vurdere længder og afstande ud fra egen størrelse. At finde frem til en fælles længdeenhed At lære om metersystemet At kende længdemålet 1m At kende længdemålet

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Indhold. Servicesider. Testsider

Indhold. Servicesider. Testsider Indhold Servicesider Isometrisk papir.................................................... kopiside - Prikpapir............................................................. kopiside - Brøkkort.............................................................

Læs mere

Lav etiketter online. Hvorfor? Før du går i gang. Hvordan

Lav etiketter online. Hvorfor? Før du går i gang. Hvordan Hvorfor? Arbejdet med at lave etiketter i Office 365 er blevet meget besværligt. Hvis du har behov for at lave etiketter, vil vi anbefale at bruge programmet, Avery, som findes som en onlineversion på

Læs mere

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden?

Lille Georgs julekalender 07. 1. december. Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? 1. december Hvor mange løbere kan der opstilles på et skakbræt uden at de truer hinanden? Svar: 14 Forklaring: Der kan godt stå 14, f.eks. sådan: Men kunne der stå flere hvis man stillede dem endnu snedigere

Læs mere

Matematisk jul - Naturligvis!

Matematisk jul - Naturligvis! Matematisk jul - Naturligvis! for mellemtrin Opgaverne henter inspiration i materialet Matematik Naturligvis, som kobler matematik til aktiv læring. Sådan bruger du julekalenderen Materialet indeholder

Læs mere

Brug af Word til matematik

Brug af Word til matematik Flex på KVUC, matematik C Brug af Word til matematik Word er et af de gængse tekstbehandlingssystemer der slipper bedst fra det at skrive matematiske formler. Selvfølgelig findes der andre systemer der

Læs mere

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal.

Hunden kan sige et nyt tal (legen kan selvfølgelig udvides til former) hver dag, men kun det tal. 4. oktober 9.00-15.00 Tårnby Faglig læsning Program Præsentation Hunden - en aktivitet til at vågne op på Oplæg om begrebsdannelse Aktiviteter hvor kroppen er medspiller Matematikkens særlige sprog Aktiviteter

Læs mere

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014

Årsplan for matematik i 0.kl. Herborg Friskole 2013/2014 Uge Emne Trinmål for faget Læringsmål for emnet 33 Opstart 34 - Relationer 35 36-38 39-40 41 42 43-48 Tallene 1-10 Geometriske figurer Aktiv Rundt i Danmark Tale om sprog Lægge mærke til naturfaglige fra

Læs mere

Årsplan for matematik i 1.-2. kl.

Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Årsplan for matematik i 1.-2. kl. Lærer Martin Jensen Mål for undervisningen Målet for undervisningen er, at eleverne tilegner sig matematiske kompetencer og arbejdsmetoder jævnfør Fælles Mål. Eleverne

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Opgave 1 -Tages kvadrat

Opgave 1 -Tages kvadrat Opgave 1 -Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

september 2012 Arbejde / Aktivitet: Differentiering/ Variationer: Supplerende akt.: Afslutning:

september 2012 Arbejde / Aktivitet: Differentiering/ Variationer: Supplerende akt.: Afslutning: G-2.57; Byg ens figurer. Faglige mål: Lektionsmål: Arbejdsform: Materialer: Ord, udtryk og symboler: Figurkendskab. Beliggenhed. At SPØRGE og SVARE i, med, om matematik. At omgås SPROG og REDSKABER i matematik.

Læs mere

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4

Spilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4 Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende

Læs mere

Lærervejledning til 7. klasses forløb.

Lærervejledning til 7. klasses forløb. Lærervejledning til 7. klasses forløb. Hele undervisningen i dette forløb er bygget op efter et bestemt mønster. Mønsteret er vigtigt at kende for at arbejdet trækker i samme retning. Derfor har jeg skrevet

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Læs selv om LABYRINTER. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana

Læs selv om LABYRINTER. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om LABYRINTER Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana Læs selv om LABYRINTER Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Mañana 2 Labyrinter Bare for sjov? Pynt, mystik, religion eller bare for

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Målebord. Målebord instrumentbeskrivelse og virkemåde

Målebord. Målebord instrumentbeskrivelse og virkemåde Målebord Målebordet består af en bordplade og et trebenet stativ. Tilbehør : en gaffel med lodsnor, en passer, hvidt papir (A3), en diopterlineal, en libelle (vaterpas) og evt. et kompas. Opstilling af

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Guide til Condes. Indhold:

Guide til Condes. Indhold: Guide til Condes Udarbejdet af Kim Højmark i 2008 Revideret december 2012 / Nicolaj Nielsen Denne vejledning guider dig igennem de mest basale elementer af Condes, så du bliver i stand til at anvende Condes

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Tegning/Todimensionale billeder

Tegning/Todimensionale billeder Tegning/Todimensionale billeder - TEGNETEKNIKKER, REDSKABER OG OPGAVER At tegne er en proces, en måde at skildre på. Hemmeligheden ved en vellykket tegning er en omhyggelig iagttagelse, en forenkling af

Læs mere

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010

Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 HTX I ROSKILDE Afsluttende opgave Kommunikation og IT Klasse 1.4 Michael Jokil 03-05-2010 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Formål... 3 Planlægning... 4 Kommunikationsplan... 4 Kanylemodellen... 4 Teknisk

Læs mere

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel Mattip om realer 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan realberegning af et kvadrat eller rektangel Tegning/konstruktion af kvadrater og rektangler realberegning af et parallelogram

Læs mere

Matematik interne delprøve 09 Tesselering

Matematik interne delprøve 09 Tesselering Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Kursusmappe. HippHopp. Uge 19. Emne: Nørd HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 19 Emne: Nørd side 1. Uge19_n rd.indd 1 06/07/10 12.

Kursusmappe. HippHopp. Uge 19. Emne: Nørd HIPPY. Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 19 Emne: Nørd side 1. Uge19_n rd.indd 1 06/07/10 12. Kursusmappe Uge 19 Emne: Nørd Baseret på førskoleprogrammet HippHopp Uge 19 Emne: Nørd side 1 HIPPY HippHopp Uge19_n rd.indd 1 06/07/10 12.10 Uge 19 l Nørd Det har sneet igen, og alle de H er, der var

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere