BOSK F2011, 1. del: Induktion
|
|
- Karla Lauritzen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) February 15, 2011
2 Summa summarum Vi får et tip om at følgende kunne finde på at holde for n N: n N. n i = n(n + 1). 2 Vi husker at summation læses meget som for-løkker: n i = n. Men hvordan kan vi vise den lighed?
3 Empiri og eksempler Vi kunne bare gå i gang med n = 0 og så ellers tjekke derudad: n = 0 : 0 i = 0 = 0(0 + 1). 2 n = 1 : 1 i = = 1 = 1(1 + 1). 2 n = 2 : 2 i = = 3 = 2(2 + 1). 2 n = 3 : 3 i = = 6 = 3(3 + 1). 2 Det går jo meget fint, men der er stadig lidt vej til målet.
4 Computer Aided Experimentation Summation i Java for(long n = 0; true; n++) { long sum = 0; for(int i = 0; i <= n; i++) {sum += i;} if(sum == (n * (n+1)) / 2) { System.out.println("n = " + n + " ok. "); } else { System.out.println("n = " + n + " ærgerlig. "); } } Resultat n = 0 ok.... n = ok. (efter 5 min.) Se det gik noget mere tjept. Og vi kom noget længere. Men helt til uendelig nåede vi ikke.
5 Lad n N være vilkårlig... Men vi er jo ikke dummere end som så. Man viser sligt ved at lade n N være vilkårligt og regne: n i = n =? Hvad pokker gør vi? Krydser fingrene, prøver med n + 1 og snyder: ( n ) n + n + 1 = i + n + 1 n(n + 1) = + n n(n + 1) + 2(n + 1) = = 2 (n + 1)(n + 2). 2 Svindel og humbug lyder tilråbene vi bliver holdt for nar! Du bruger jo den lighed du vil vise. Eller gør jeg?
6 Induktion er snyd off-by-one Notation er rar: for n N skriver vi P(n) for sandhedsværdien af n i = n(n + 1). 2 P er altså et prædikat med domæne N for vi ønsker n N. P(n). Vi ved at P(0) er god nok. Og lige før viste vi at P(n + 1) er ok når ellers vi snyder og bruger P(n) i udregningerne. Vi har med andre ord at n N. P(n) P(n + 1). Og det er faktisk nok. Selvom det kun er 1 fra at være snyd.
7 Jørgen Clevin argumentet Her er altså hvad vi ved om P: P(0) : S P(1) :? P(2) :? P(3) :? Første implikation giver os så P(0) : S P(1) : S P(2) :? P(3) :? Den næste giver P(0) : S P(1) : S P(2) : S P(3) :? Og så fremdeles. Der er S er hele vejen derudad, voila!
8 P(0) ( n N. P(n) P(n + 1) ) = ( n N. P(n) ) Et skridt tilbage: Induktionsprincippet Vi ønsker n N. P(n) for prædikat P med domæne N. Vi viser: P(0) holder. P(n + 1) følger ud fra P(n) for vilkårligt n N. Det er ren kogebog. Man kalder gerne punkterne for induktionsstarten hhv. induktionsskridtet. Og når man er i gang med induktionsskridtet kalder man gerne antagelsen P(n) for induktionshypotesen. Der er en oplagt analogi til brugen af rekursion i programmering: Reducer problemet til et mindre af samme type og kald dig selv.
9 Geometriske rækker, basisskridt Vi vil vise følgende, hvor r R og r = 1: n N. n r i = 1 r n+1. 1 r Højresiden kaldes en endelig geometrisk række. Den render man tit ind i, så det er rart at vide hvad summen faktisk er. Induktionskogebogen siger: Induktionsstart, vis for n = 0: 0 r i = r 0 = 1 = 1 r 1 1 r.
10 Geometriske rækker, induktionsskridt Induktionskogebogen siger nu: Induktionsskridt, antag ok for n N vilkårlig, vis for n + 1: n+1 r i = r 0 + r r n + r n+1 ( n ) = r i + r n+1 IH = 1 r n+1 + r n+1 1 r = 1 r n+1 + r n+1 (1 r) 1 r = 1 r n+2. 1 r Hokus pokus bemærk den lille IH over 3. lighedstegn!
11 Søgen efter romkugler Kantinen sælger romkugler i pakker med 3 stk. og pakker med 8 stk. Måske du har lyst til 6 romkugler det er 2 pakker af 3. Eller 11 det er 1 gange 3 og 1 gange 8. Så den er fin. Men 13 romkugler det er straks sværere. I folkesundhedens navn sætter vi os for at undersøge: For hvilke n N kan vi købe n romkugler ved at kombinere pakker med 3 hhv. 8. Med andre ord, for hvilke n N har vi at i, j N. n = 3i + 8j?
12 Java som (rom)kugleramme Java ind for(int n = 0; n <= 30; n++) { for(int i = 0; 3*i <= n; i++) { for(int j = 0; 8*j <= n; j++) { if (n == 3*i + 8*j) {System.out.print( n + " = 3*" + i + " + 8*" + j + ". "); } } } } Java ud 0=3*0+8*0. 3=3*1+8*0. 6=3*2+8*0. 8=3*0+8*1. 9=3*3+8*0. 11=3*1+8*1. 12=3*4+8*0. 14=3*2+8*1. 15=3*5+8*0. 16=3*0+8*2. 17=3*3+8*1. 18=3*6+8*0. 19=3*1+8*2. 20=3*4+8*1. 21=3*7+8*0. 22=3*2+8*2. 23=3*5+8*1. 24=3*0+8*3. 24=3*8+8*0. 25=3*3+8*2. 26=3*6+8*1. 27=3*1+8*3. 27=3*9+8*0. 28=3*4+8*2. 29=3*7+8*1. 30=3*2+8*3. 30=3*10+8*0.
13 Romkugle sætningen På baggrund af vores kørsel gætter vi på at man kan ramme alle naturlige tal større eller lig 14. Med andre ord: Romkugle resultatet n 14. i, j N. n = 3i + 8j. Vi sjusker lidt med domænet for n, men N {0, 1, 2,..., 13} er simpelthen for grimt. Go induktion! Og dog vi kigger ikke på hele N med kun fra og med 14. Derfor må vi starte induktionen ved 14; det går også an samme argument som før. En slags forskudt induktion.
14 Romkugle beviset Induktionsstart: Her skal vi så vise for n = 14 og ikke for n = 0 som vi plejer. Vi har 14 = og så er den i kassen. Induktionsskridt: Lad n N være vilkårligt, dog med n 14. Vi antager at sætningen går for n og skal vise at n + 1 også er ok. Induktionshypotesen giver i, j N med n = 3i + 8j. Hvis j 1 fås n + 1 IH = 3i + 8j + 1 = 3i + 8(j 1) + 9 = 3(i + 3) + 8(j 1). Hvis i 5 skriver vi derimod n + 1 IH = 3i + 8j + 1 = 3(i 5) + 8j + 16 = 3(i 5) + 8(j + 2). Alternativt har vi j = 0 og i 4, men så er n = 3i + 8j 12. Og den går ikke, for vi antog n 14. Færdig bom rom.
15 Fuldstændig induktion Lad os blive i det sukkersøde hjørne: Chokolade-plade-sætningen Køb en (rektangulær) plade chokolade opdelt i n {1, 2, 3,...} små (rektangulære) bidder. Knæk løs indtil alle bidder er helt fri. Så har du knækket netop n 1 gange....men vi får brug for fuldstændig induktion for at vise dette!
16 Jørgen Clevin vender tilbage Vi husker de første trin i forklaringen af induktion: P(0) : P(0) P(1) : P(0) = S, P(1) =?, P(2) =?, P(3) =?, P(0) = S, P(1) = S, P(2) =?, P(3) =?, Nu slutter vi normalt P(2) ud fra P(1). Men hov hvorfor så indskrænkede? Vi ved at både P(0) og P(1) holder for nærværende, så med P(0) P(1) P(2) kan vi slutte P(0) P(1) P(2) : P(0) = S, P(1) = S, P(2) = S, P(3) =?, P(4) =?, Tilsvarende giver P(0) P(1) P(2) P(3) os at P(0) P(1) P(2) P(3) : P(0) = S, P(1) = S, P(2) = S, P(3) = S, P(4) =?,
17 ( n N. ( m < n. P(m)) P(n) ) = n N. P(n) Et skridt tilbage (igen): Fuldstændig induktion Vi ønsker (stadig) n N. P(n) for prædikat P med domæne N. Ved fuldstændig induktion er der kun en ting at vise: n N. ( m < n. P(m)) P(n) Vi kalder stadig det ene punkt induktionsskridtet. For n = 0 skal vi vise ( m < 0. P(m)) P(0) hvilket svarer til at vise P(0) uden hjælp her er induktionsstarten. For at vise P(1) kan vi antage P(0), for at vise P(2) må antage P(0) og P(1) og så videre. Igen som brugen af rekursion i programmering: Man reducerer blot til et mindre problem, ikke nødvendigvis et, der er netop 1 mindre.
18 Chokolade-plade-beviset, del I Tilbage til de søde sager. Først lidt notation. For n N siger vi at P(n) er sand hvis en plade chokolade med n bidder knækkes n 1 gange for at nå usammenhængende bidder. Vi vil vise n 1. P(n) ved (forskudt) fuldstændig induktion, vi hænger på at vise n 1. ( 1 m < n. P(m)) P(n). Vi lader derfor n N med n 1 være vilkårligt. Vi overvejer først tilfældet n = 1. Vores induktionshypotese er her at 1 m < 1. P(m) holder, men den er flad: domænet er tomt. Til gengæld er chokolade pladen allerede fuldstændigt nedbrudt, vi bruger således 0 = 1 1 = n 1 knæk. Tilfældet n = 1 er ok.
19 Chokolade-plade-beviset, del II Vi behandlede tilfældet n = 1 separat. Sådan går det gerne ved fuldstændig induktion: det første eller de første tilfælde håndteres individuelt. Nu til det generelle tilfælde, n 2. Induktionshypotesen giver os 1 m < n. P(m) holder: resultatet holder for alle mindre plader chokolade. Vi tager vores plade og knækker et eller anden sted ligegyldigt hvor. Det kan vi, idet n 2. Så får vi to nye plader med n 1 1 hhv. n 2 1 bidder således at n = n 1 + n 2. Da n 1 < n ved vi at den første plade knækkes med n 1 1 knæk; tilsvarende knækkes den anden med n 2 1 knæk. Samlet set bruger vi 1 + (n 1 1) + (n 2 1) = n 1 + n 2 1 = n 1 knæk. Knæk og bræk og færdig.
BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik
ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater
Læs mereBevisteknikker. Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Matematisk induktion. Matematisk induktion uformel beskrivelse
Bevisteknikker Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereBevisteknikker (relevant både ved design og verifikation)
Bevisteknikker 1 Bevisteknikker (relevant både ved design og verifikation) Bevisførelse ved modstrid (indirekte bevis) Antag, at det givne teorem er falsk Konkluder, at dette vil føre til en modstrid Teorem:
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den kinesiske restklassesætning, december 2006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man
Læs mereHvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det?
Hvad er svært ved beviser for gymnasieelever - og kan vi gøre noget ved det? Fredag den 18. marts 2011 13:00-14:15 Auditorium F, bygn. 1534 Matematiklaboratoriet, bygn. 1536 Hvad er svært ved beviser?
Læs mereHer skal du lære om 1. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler
Oversigt [S] 8.2 Her skal du lære om. Talfølge og talrække 2. Afsnitssum 3. Konvergens 4. Konvergente rækker har små led 5. Regneregler Calculus - 2003 Uge 4. - Uendelig række Definition Givet en talfølge
Læs mereElse Marie Lehman. Kalendergaver til Mor 2014
Else Marie Lehman Kalendergaver til Mor 2014 Sådan bruger du bogen 1. Vælg de 24 gaver, du har allermest lyst til at give og skriv dem ud på en god printer sammen med siden Kære Mor. Du skal forkæles her
Læs mereBOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik
( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.
Læs mereOpgave 1. Hvilket af følgende tal er størst? Opgave 2. Hvilket af følgende tal er mindst? Opgave 3. Hvilket af følgende tal er størst?
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en teoretisk indføring, men der er i stedet fokus på at illustrere nogle centrale
Læs mereUniversity of Southern Denmark Syddansk Universitet. DM502 Forelæsning 2
DM502 Forelæsning 2 Repetition Kompilere og køre Java program javac HelloWorld.java java HeloWorld.java Debugge Java program javac -g HelloWorld.java jswat Det basale Java program public class HelloWorld
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereBilag 2: Interviewguide
Bilag 2: Interviewguide Tema Læsning og læsevanskeligheder Specialundervisning og itrygsæk Selvtillid/selvfølelse Praksisfællesskaber Spørgsmål 1. Hvordan har du det med at læse og skrive? 2. Hvad kan
Læs mereGreenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering
Greenfoot En kort introduktion til Programmering og Objekt-Orientering Greenfoot er et computer-program, som kan benyttes til at skrive andre computer-programmer, i et programmeringssprog kaldet Java.
Læs mereat barnet forstår at: - man selv lærer mest, når man har det godt med andre - man selv kan gøre noget for at være en ven og for at få venner
30 Tema Rut råber og raser og kaster med sand Hun sprutter og taler så grimt som man kan Alle de griner og råber at Rut Er skolens trold og den sureste prut Når alle de leger, går Rut for sig selv For
Læs mereRet smart - men det er jo svært at planlægge hvis du har et firma, hvor kunden henvender sig uden varsel.
Det jeg mener er, at du ofte kan kombinere mersalg med god service, ved at informere ud fra de informationer du har. Det vil oftest medføre at kunden enten takker og køber eller blot takker nej. Men han
Læs mereBiologisk model: Epidemi
C1.2 C.7 Se forklaring i Appendiks A 1, si. 9 Biologisk model: Epidemi af John V. Petersen 1. Biologisk model: Epidemi... si. 1 A. Appendiks A 1. Ligninger si. 1, forklaring... si. 9 A 2. Egenvektorer
Læs mereResultater. Hvad er vigtigt for de ældre, når det kommer til lys?
Hvad er vigtigt for de ældre, når det kommer til lys? Energipære giver et frygteligt lys! Jeg slukker meget for at spare på energi. Jeg tænker meget over lys, fordi det bliver mere besværligt at se med
Læs mereI denne artikel, vil der blive gennemgået de grundlæggende PHP-funktioner, såsom udskrift til skærmen, tid og dato og if-sætningen.
Denne guide er oprindeligt udgivet på Eksperten.dk Grundlæggende PHP I denne artikel, vil der blive gennemgået de grundlæggende PHP-funktioner, såsom udskrift til skærmen, tid og dato og if-sætningen.
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereKærligt talt. Forlaget Go'Bog. 5 trin til indre ro og kærlige relationer gennem bevidst brug af dit sprog. Af Lisbet Hjort
Kærligt talt 5 trin til indre ro og kærlige relationer gennem bevidst brug af dit sprog Af Lisbet Hjort Forlaget Go'Bog Kærligt talt-konceptet Kærligt talt-metoden går ud på at få et liv med indre ro og
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Algebra
Tip til. runde af - Algebra, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Algebra Her præsenteres idéer til hvordan man løser algebraopgaver. Det er ikke en særlig teoretisk indføring, men der er i stedet fokus
Læs mereintroduktion tips og tricks
Tips & tricks 1 tips og tricks Indhold side introduktion Denne vejledning indeholder gode formidlingsråd og er målrettet 7. klassetrin. En Xciter er én som formidler naturvidenskab på en sjov og lærerig
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mere1 of 5 31/10/14 14:38
Psykisk miljø Hvordan føler du dig modtaget af de ansatte på skolen? 1 27 53% 2 11 22% Hvordan føler du dig modtaget af de andre elever? 1 26 51% 3 3 6% Hvordan er sammenholdet på din linje? 2 23 45% 3
Læs mere1. Er du glad for din skole? (0.-3. kl.)
Resultater fra den nationale trivselsundersøgelse Spørgsmål til 0.-3. trin 10 9 8 7 6 1. Er du glad for din skole? 5 1 landet 0-3 0-3 3% 3% 2% 3% 2% 15% Ja, lidt 26% 32% 34% 36% 28% 38% Ja, meget 71% 65%
Læs mereSikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet
Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal
Læs mereVid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst.
Kald 4: Hvad er dit behov lige nu. Nu er det tid til at ligge ønskerne lidt væk. Vid at de arbejder i dig og at du hele tiden kan gå tilbage til dem, når du har lyst. Men i dag skal vi tale om dit behov.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereVær frisk og veludhvilet. Når du skal læse, er det vigtigt at du er frisk og har sovet nok, og at det ikke er blevet for sent på dagen.
LÆSERÅD FOR BØRN Gennemgå de 26 læseråd med dit barn. Efter hvert punkt snakker I om hvordan det kan anvendes i forbindelse med læsning. Lyt til hinanden, og bliv enige før I går videre til næste punkt.
Læs mere30-01-2014, 10:14:53 : Linda Videregående uddannelse 30-01-2014, 10:14:54 Vejleder : Velkommen til evejledning. 30-01-2014, 10:15:31 Vejleder Vibeke:
30-01-2014, 10:14:53 : Linda Videregående uddannelse 30-01-2014, 10:14:54 Vejleder : Velkommen til evejledning. 30-01-2014, 10:15:31 Vejleder Vibeke: er nu klar til at chatte med dig. 30-01-2014, 10:15:37
Læs mereKLOG MED SPROG Vejledning til forældre
KLOG MED SPROG Vejledning til forældre Side 1 Side 2 Introduktion I børnehusene Nivå er vi to sprogpædagoger ansat Lotte og Camilla. Dette hæfte, er en hjælp til, hvordan vi i samarbejde, kan styrke dit
Læs mereInteger.parseInt(args[0]) konverterer tegnstreng (f.eks. "10") til heltal (10). if (udtryk) else
Programmering 1999 Forelæsning 2, fredag 3. september 1999 Betingede ordrer: if-, if Indlejrede betingede ordrer Løkker med begrænset iteration: for Løkker med ubegrænset iteration: while Betingede ordrer,
Læs mereBaggrund. Introduktion. Kan du genkende dig selv her:
Kan du genkende dig selv her: Har du tit stået og manglet noget, der kunne hjælpe dig med at få afklaret, om et givent job er noget for dig? Kunne du godt tænke dig at blive bedre til at analysere dig
Læs mereP (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2.
P (n): rekursiv beregning af f n kræver f n beregninger af f 1. P (n) er sand for alle n 2. Bevis ved stærk induktion. Basisskridt: P (2) er sand og P (3) er sand. Induktionsskridt: Lad k 2 og antag P
Læs merePlejeboligundersøgelse i Aarhus kommune -2015
undersøgelse i Aarhus kommune -2015 Den følgende rapport viser en oversigt over tilknyttede kommentarer fra pårørendeundersøgelsen 2015. 1. Kommentarer til tilfredshed med plejeboligen alt i alt? Stor
Læs mere86 responses. Oversigt. 1 af 10 15-03-2013 12:56
1 af 10 15-03-2013 12:56 86 responses Oversigt 1. a Hvor tilfreds er du med maden, er der grøntsager og salat? 1 - tilfreds 16 19% 2 38 44% 3 23 27% 4 9 10% 5-0 0% tilfreds 1. b. uddyb For varriation Der
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereUdover denne simple tidsplan har jeg også lavet et GANTT-kort for at vise den reelle tid jeg har brugt på hver opgave.
Portfolioudvikling Planlægning Da jeg startede på projektet lavede jeg en tidsplan, til at starte med gav jeg de forskellige opgaver lidt ekstra tid eftersom jeg synes man altid formår at bruge lidt mere
Læs mereMØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE. Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder.
MØDEBOOKING SKAF NYE KUNDER VIA TELEFONEN, SOCIALE MEDIER OG E-MAIL Lær at booke møder pr. telefon. Forstå hvordan sociale medier kan benyttes til at få nye kunder. Booster salget i dit firma 2015 Leon
Læs mereINFORMATION OM ANSØGNING TIL 100 TIMERS BASIS- YOGALÆRERUDDANNELSE
INFORMATION OM ANSØGNING TIL 100 TIMERS BASIS- YOGALÆRERUDDANNELSE Før du ansøger: Yoga kan være mange ting. Der er mange stilarter og endnu flere måder at undervise yoga. Hvis du overvejer at uddanne
Læs mereHar du brug for en ven, der bare er der? I samarbejde med:
I samarbejde med: Har du brug for en ven, der bare er der? Denne folder er til dig som er barn eller ung Mangler du af og til en forstående voksen at snakke med? Synes du, at de voksne tit har for travlt
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereVudu Vampyr SPECIAL-PÆDAGOGISK FORLAG
E K S T R A S I D E R T I L Vudu Vampyr L Æ S L Y D R E T 3 Til læreren Indhold:. ordkort. dominospil 3. miniscrabble 4. opgaver 5. skriv med 6. krydsord 7. rækkefølge Vejledning TRIN 0:. Ordkort Ordkort
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereNoter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts Kombinatorik
Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, Marts 006 Kombinatorik Disse noter er en introduktion til kombinatorik og starter helt fra bunden, så en del af det indledende er sikkert kendt for dig allerede
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereGensidige forhold i et klubhus kræver en indsats Af Robby Vorspan
Gensidige forhold i et klubhus. Det er et emne i et klubhus, som ikke vil forsvinde. På hver eneste konference, hver regional konference, på hvert klubhus trænings forløb, i enhver kollektion af artikler
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereSnørre: Mine knæ er lavet af gele, det har jeg godt fortalt dig, ikke? Snørre: De svupper for hvert trin. Svabersvejsersvup... svup... svup... svup...
Vindeltrappen Snørre: Mine knæ er lavet af gele, det har jeg godt fortalt dig, ikke? Jo. Snørre: De svupper for hvert trin. Svabersvejsersvup... svup... svup... svup... Så længe de svupper, knækker de
Læs mereRegneark for begyndere
Regneark for begyndere Regneark i Open- og LibreOffice Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er et regneark?...4 Grundlæggende opbygning...4 Kast dig ud i det!...5 Du arbejder med: Din første
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereSikkerhedskursus del 4. (opdateret 01.07.2013)
Sikkerhedskursus del 4. (opdateret 01.07.2013) Din computersikkerhed består ikke kun af et antivirusprogram I del 4 skal vi finde en sikkerhedspakke, der passer til dig. Ikke et antivirus, men en samlet
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereMartin Olsen. DM507 Projekt Del I. 19. marts 2012 FOTO: Colourbox
Martin Olsen DM0 Projekt 0 Del I. marts 0 FOTO: Colourbox Indhold Indledning... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Opgave... Kildekode til SimpleInv.java... Kildekode til MergeSort.java...
Læs merewww.megetbedremoeder.dk Manual udgivet af Projekt Arbejdsglæde
www.megetbedremoeder.dk Manual udgivet af Projekt Arbejdsglæde Mødetavle.indd 1 08-09-2011 21:28:44 Indhold Rulles sammen med tryksiden udad Intro Emne Resultat Check-in Tid Start / slut Pause / pauser
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereDILEMMASPIL FOR UNGE SPORTSUDØVERE
Dette er et dilemmaspil, hvor I skal gætte hinandens svar på spørgsmål og dilemmaer om pengespil. Gennem diskussioner og gæt, får de unge fokus på deres egne og kammeraternes spillevaner og holdninger.
Læs mereNyTænkning. Finn Kollerup, Alt4Kreativ A/S. ELT netværksmøde 18. marts 2009, København SIDE 1
NyTænkning Finn Kollerup, Alt4Kreativ A/S ELT netværksmøde 18. marts 2009, København SIDE 1 ELT netværksmøde 18. marts 2009, København SIDE 2 Hvad er Alt4Kreativ A/S? Kreative processer Visuelle strategier
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereDanmarks Tekniske Universitet
Eksamen 005, F0 side af sider Danmarks Tekniske Universitet Skriftlig prøve, den 6. maj 00. Kursusnavn Algoritmik og datastrukturer I Kursus nr. 005. Tilladte hjælpemidler: Alle skriftlige hjælpemidler.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereEvaluering af virtuel undervisning den 30. januar 2008
Virtuel undervisning 1 Side 1 af 7 1v Helsingør Gymnasium Evaluering af virtuel undervisning den 30. januar 2008 Oversigt over spørgsmål 1. Var opgaven i engelsk af passende længde? 2. Var opgaven i engelsk
Læs mere1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims
1 Opsumering fra tidligere Hvis A er kontekstfrit, S er der et p > 0 s Alle s A hvor s p kan splittes op som s = uvxyz så argument 1-3 holder A er ikke kontekstfrit, hvis for ethvert bud på p kan findes
Læs mereFang Prikkerne. Introduktion. Scratch
Scratch 2 Fang Prikkerne All Code Clubs must be registered. Registered clubs appear on the map at codeclubworld.org - if your club is not on the map then visit jumpto.cc/ccwreg to register your club. Introduktion
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereBRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer
BRP 13.9.2006 Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer 1. Opgaverne til i dag dækker det meste af stoffet 2. Resten af stoffet logaritmer binære træer 3. Øvelse ny programmeringsopgave
Læs mereDILEMMASPI L FOR UNGE SPORTSUDØVERE. Jeg b de p g lån. n e. e, jeg. får e af m. r d. in fa m. g spil. ilie, v. r de g bru. ke p på sp. an e.
DILEMMASPI L FOR UNGE SPORTSUDØVERE 5 A. Jeg b ru tjene ger kun de p enge B. Je r., jeg g lån får e ller eller er penge andr af m e. C. Je in fa m g spil ilie, v enne ler fo D. Je r r de peng g bru e,
Læs mereNår dit barn skal lære at læse
Når dit barn skal lære at læse Gode råd til forældre Ishøj Kommune PPR 1 2 Velkommen til skolen Når dit barn begynder i skole, er det allerede godt i gang med at lære at læse og skrive. Det har måske gået
Læs mereLogbog fra Clara Meinckes deltagelse i EM 2014
Logbog fra Clara Meinckes deltagelse i EM 2014 EM Sofia Dag 1: Vi mødtes i lufthavnen 14:45, men fløj først 16:50. Vi mellemlander i München. Vi kiggede lidt butikker, og nu flyver vi videre til Sofia.
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereRYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv
RYGESTOP - 5 ting du kan gøre selv www.karinnilsson.dk Trin 1 Kod din indre GPS Start med at gøre dig klart, hvad du gerne vil opnå. De fleste der kommer til mig ved alt om, hvad de gerne vil være FRI
Læs mereSikkerhedskursus del 10
Sikkerhedskursus del 10 Del 10 er sidste del af mit sikkerhedskursus. Nu må vi se, hvad du har lært. Her er 20 spørgsmål, som du bør kunne besvare med et ja eller nej, hvis du har været igennem hele kurset.
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereKonflikthåndtering mødepakke. 1) Skal Kasper skubbe hånden væk og sige hun skal holde op?
Reparation af mobil Trin 4 1) Skal Kasper skubbe hånden væk og sige hun skal holde op? (Kasper skubber den væk) Hold lige op med det der! Louise: Hold selv op, din idiot. Farvel og tak for ingenting! [Trin
Læs mereÅDAN SKABER DU FORANDRING FOR DIT BARN
LEKTIE-GUIDEN S ÅDAN SKABER DU FORANDRING FOR DIT BARN - når lektiesituationen er kørt af sporet BOOKLET TIL FORÆLDRE Af Susanne Gudmandsen Autoriseret psykolog 1 S iden du har downloadet denne lille booklet,
Læs mereGuide til lektielæsning
Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen
Læs mereVEJLEDNING. Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors
VEJLEDNING Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde Kors Velkommen I denne vejledning kan du se, hvad du skal gøre for at undervise i Sådan kan vi rekruttere mangfoldigt til Ungdommens Røde
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereSelvstudium 1, Diskret matematik
Selvstudium 1, Diskret matematik Matematik på første studieår for de tekniske og naturvidenskabelige uddannelser Aalborg Universitet I dette selfstudium interesserer vi os alene for tidskompleksitet. Kompleksitet
Læs mereST: 28 years old, in a relationship, lives in Aarhus, last semester student at university
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 ST: 28 years old, in a relationship, lives in Aarhus, last semester student at university I: Interviewer ST: Respondent
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 12, 2010 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis and design of algorithms
Læs mereKreativ Forvandling. En lille e-bog hvor du kan lære at Sætte dig mål du når.
af Christina Christiansen En lille e-bog hvor du kan lære at Sætte dig mål du når. af Christina Christiansen 5 Trins guiden til at sætte dig mål du når Er du typen der år for år sætter nytårsfortsætter
Læs mereDM502. Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/
DM502 Peter Schneider-Kamp (petersk@imada.sdu.dk) http://imada.sdu.dk/~petersk/dm502/ 1 DM502 Bog, ugesedler og noter De første øvelser Let for nogen, svært for andre Kom til øvelserne! Lav opgaverne!
Læs mereBilag 6: Transskription af interview med Laura
Bilag 6: Transskription af interview med Laura Interviewet indledes med, at der oplyses om, hvad projektet handler om i grove træk, anonymitet, at Laura til enhver tid kan sige, hvis der er spørgsmål,
Læs mereAlgorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008
Algorithms and Architectures I Rasmus Løvenstein Olsen (RLO), Jimmy Jessen Nielsen (JJE) Mm2: Rekursive algoritmer og rekurrens - October 10, 2008 1 Algorithms and Architectures II 1. Introduction to analysis
Læs mereGør det selv-øvelser udi regneark for begyndere! - en manual fra Skolekonsulenterne.dk
Gør det selv-øvelser udi regneark for begyndere! - en manual fra Skolekonsulenterne.dk Versionsdato: August 2009 Indholdsfortegnelse Generelt om manualer fra Skolekonsulenterne.dk...3 Hvad er et regneark?...4
Læs mere