Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Transkript

1 Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf) Link to publication Citation (APA): Jantzen, T., & Nielsen, M. P. (007). Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale. Geneal ights Copyight and oal ights fo the publications ade accessible in the public potal ae etained by the authos and/o othe copyight ownes and it is a condition of accessing publications that uses ecognise and abide by the legal equieents associated with these ights. Uses ay download and pint one copy of any publication fo the public potal fo the pupose of pivate study o eseach. You ay not futhe distibute the ateial o use it fo any pofit-aking activity o coecial gain You ay feely distibute the URL identifying the publication in the public potal? If you believe that this docuent beaches copyight please contact us poviding details, and we will eove access to the wok iediately and investigate you clai.

2 BYG DTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Thoas Jantzen Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling PHD THESIS Mats 007

3 BYGDTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling Thoas Jantzen Mats 007 Repot no. R-74 ISSN ISBN

4

5 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. afhandling Thoas Jantzen BYGDTU - Depatent of Civil Engineeing Technical Univesity of Denak Mats, 007 BYGDTU i

6 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Copyight, Thoas Jantzen, 007 Depatent of Civil Engineeing Building 8 Technical Univesity of Denak 800 Lyngby Denak ISSN ISBN ii BYGDTU

7 Food Denne appot e udabejdet på BYGDTU so et led i de betingelse, de skal opfyldes fo at opnå Ph.D.-gaden. Rappoten ohandle plasticitetsteoi fo Coulob ateiale. Næee betegnet jodtyk på vægge og støtteue i budtilstand. Pojektet e finansieet af Danaks Tekniske Univesitet og udføt unde vejledning af Pofesso, d. techn. Mogens Pete Nielsen. Desuden ha de til pojektet væet tilknyttet lic. techn. Bent Feddesen, Rabøll og civilingeniø Jens Kae Motensen, Rabøll so edvejledee. Jeg vil gene takke disse pesone fo dees hjælp til pojektet. Jeg vil også gene takke ine edstudeende igenne studiet, Linh Cao Hoang, Las Gean Hagsten, Moten Bo Chistiansen og Jakob Laugesen. Lyngby, Mats 007 Thoas Jantzen BYGDTU iii

8 iv BYGDTU

9 Sybolliste a : Adhæsion A c, A p, A Q, : Abejde b : Tykkelse c : Kohæsion p : Ovefladelast p : Hovedspænding ved oveflade q, q c, q p : Jodtyk, hhv. totalt, kohæsionsbidag, ovefladelastbidag q : Hovedspænding ved væg Q : Jodtykseaktion 0 : Støtteushøjde R : Radius fo Moh s cikel u, u 0, u x, u y, u, u : Flytninge V : Voluen W : Dissipation W v : Dissipation p. voluenenhed W l : Dissipation p. længdeenhed x, y, n, t : Rektangulæe koodinate, : Vinkle, c, p : Moentae : Flytningsvekto, : Vægfiktionsvinkel : Vinkel fo ovefladelast,, : Vinkle, x, y,,, : Noaltøjninge, : Middeltøjning xy, yx,, : Tvætøjninge, xy : Vinkelændinge : Fiktionsvinkel : Fiktionskoefficient, : Polæe koodinate, x, y,,, n, t : Noalspændinge, : Hovedspændinge : Middelspænding, xy, yx,,, nt : Foskydningsspændinge q : Foskydningsspænding på væg : Rotation BYGDTU v

10 vi BYGDTU

11 Resue I denne afhandling udvikles teoie fo jodtyk på støtteuskonstuktione. Teoiene e baseet på plasticitetsteoiens øve- og nedevædiløsninge. So flydebetingelse fo jod benyttes Coulobs flydebetingelse. Én løsning e baseet på en elle flee diskontinuitetslinie i jodens spændingsfelt. Teoien give et bud på beegning af jodtykket på en støtteuskonstuktion ed vilkålig hældning og ed vilkålig adhæsion og fiktion elle u og jod. I tilfældet uden bidag fa jodens egenvægt kan ovefladen og ovefladelasten endvidee have en vilkålig hældning. En anden teoi e baseet på at joden ikke e udnyttet fuldt ud til flydning. Denne løsning kan defo ikke væe en eksakt løsning. Løsningen e dog stadig en nedevædiløsning, og e defo tilladelig. Løsningen e udviklet til at beegne jodtyksbidaget på uen fa jodens egenvægt. Løsningene e saenlignet ed en kendt teoi, de benytte zonebud. Teoien e udviklet af Binch Hansen, og e den est benyttede jodtyksteoi i Danak. En saenligning af teoiene vise, at de e god oveenssteelse fo de noalt foekoende væggeoetie. BYGDTU vii

12 viii BYGDTU

13 Suay In this thesis, soe theoies fo eath pessue calculations on etaining walls ae developed. The theoies ae based on the ultiate load caying capacity, using the uppe and lowe bound solutions of the plastic theoy. Fo the yield condition the theoy suggested by Coulob is used. One solution is developed using a line of discontinuity of the stess field in the soil. The theoy gives a poposal of how to calculate the eath pessue on etaining walls with any angle fo the wall, and any adhesion and fiction between the wall and the soil. Finally, fo the eath pessue without gavity, any angle of the suface and any angle fo the suface load ae consideed. A second solution is based on a stess field which does not lead to fully yielding, The solution can consequently not be the ultiate load. The stess field is though still a lowe bound solution and theefoe adissible. The solution is developed to calculate the eath pessue poduced by gavity of the soil. The solutions ae copaed with a known theoy using zone uptue solutions. The solution is developed by Binch Hansen, and is the ost coonly used theoy in Denak. By copaing the theoies, faily good ageeent within the liits of the coonly used geoety of the walls is found. BYGDTU ix

14 x BYGDTU

15 Indholdsfotegnelse INDLEDNING.... Foål ed afhandlingen... PLASTICITETSTEORI Plasticitetsteoiens gundbegebe...3. Definitione i geoteknikken Nedevædiløsninge Ligevægtsbetingelse Tansfoationsfole Flydebetingelsen Rankine zonen Pandtl zonen Øvevædiløsninge Geoetiske betingelse Flydelov (noalitetsbetingelse) Flydelinie i Coulob ateiale BEMÆRKNINGER OM DEN VIRKELIGE BRUDBETINGELSE EKSAKTE LØSNINGER UDEN HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIEN... 5 BYGDTU xi

16 6 GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c VILKÅRLIG RU STØTTEMUR MED HÆLDENDE JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk fo u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c ANVENDELSE AF FLERE DISKONTINUITETSLINIER Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod JORDTRYKSLØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Nedevædiløsninge Supeposition af jodtyksløsninge...07 xii BYGDTU

17 0.. Ligevægtsbetingelse Flydebetingelsen Rankine zonen Statisk tilladelig hældning fo jodoveflade Pandtl zonen Øvevædiløsninge...8 EKSAKTE LØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...6. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...3 ØVREVÆRDILØSNINGER UNDER HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER SUMMATION AF DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie...56 BYGDTU xiii

18 6 RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie SAMMENLIGNING MELLEM LØSNINGER FOR EKSISTERENDE TEORI OG DISKONTINUITETSLINIETEORIEN NEDREVÆRDILØSNINGER SOM IKKE OPFYLDER FLYDEBETINGELSEN OVERALT Vandet jodoveflade, u væg i fiktionsjod Vandet jodoveflade, glat væg i fiktionsjod KONKLUSION LITTERATURLISTE xiv BYGDTU

19 Indledning. Foål ed afhandlingen Foålet ed den følgende afhandling e at beskive nogle af de kendte løsninge fo jodtyk på vægge o.lign. sat angive nogle nye løsninge. I geoteknikken findes et eget stot antal teoie fo jodtyk. Den føste blev alleede udviklet af Coulob i slutningen af 700-tallet. Løsningene e fo de flestes vedkoende pæget af specielle foudsætninge uden saenhæng ed en geneel teoibygning. De løsninge, de angives i denne afhandling, udvikles udfa den geneelle teoibygning, de kaldes plasticitetsteoien. Hovedvægten lægges på at udvikle nye nedevædiløsninge, se afsnit.3. Den histoiske udvikling af plasticitetsteoiens anvendelse indenfo geoteknikken fegå af W.-F. Chens bog [75,]. Siden ha foskningen i høj gad væet ettet od udvikling af edb-etode. De findes f.eks. aktiv foskning i Austalien oking M.F. Randolph og i Fankig oking J. Salencon. Fo en intoduktion hetil, se [90,] og [03,]. De løsninge so benyttes i dag e baseet på Binch Hansens teoi, se [53,]. Teoien, ed tilhøende gyldighedsinteval, e blevet videe behandlet af Bent Hansen og J.S. Steenfelt. Resultatet heaf kan bl.a. findes i [80,]. Disse løsninge give poblee ed gyldighedsintevallet. Specielt fo en glat støtteu få an at vinklen elle jodovefladen og støtteuen skal væe støe end 90. I denne afhandling udvikles jodtyksteoien ved anvendelse af diskontinuitetslinie. Disse løsninge ha et eget støe gyldighedsinteval - til saenligning kan nævnes, at fønævnte tilfælde ed glat støtteu og vandet jodoveflade ikke give begænsninge ved. gyldigheden. BYGDTU

20 BYGDTU

21 Plasticitetsteoi I bæende konstuktione spille egenvægten fo det enkelte konstuktionseleent ofte en undeodnet olle og egenvægten kan odellees på sipel åde, f.eks. so en kontinuet last i en bjælkes systelinie. Fo jod spille egenvægten en doineende olle. Man skulle defo to, at løsninge fo hvilke egenvægten negligees, kun ha lille inteesse. Dette e iidletid foket, og det skyldes, at de kan udvikles en supepositionslov, hvo løsninge fo vægtløs jod supeponees ed løsninge, hvo jodens egenvægt e edtaget. Supepositionsloven udvikles i kapitel Plasticitetsteoiens gundbegebe Ved plasticitetsteoien fostås he teoien fo pefekt-plastiske ateiale. Et pefektplastisk ateiale e defineet ved sin flydebetingelse, de angive de spændingskobinatione, de kan føe til, at tøjningene kan vokse uden gænse, uden at spændingene ændes. Det vedtages, at den funktion, de beskive flydebetingelsen, antage negative vædie fo spændinge, de ikke kan give flydning, vædien nul fo spændinge de kan give flydning og vædie støe end nul fo spændinge uden fo flydefladen. Mateialet e desuden defineet ved sin flydelov, de angive foholdet elle de plastiske defoatione unde flydning. Nå spændingene svae til punkte inden fo flydefladen, optæde kun elastiske defoatione og specielt fo det stift-plastiske ateiale optæde slet ingen defoatione. I det følgende foudsættes, at flydeloven e givet ved noalitetsbetingelsen (den associeede flydelov). Afbildes flydefladen so funktion af spændingstilstanden, f.eks. kaakteiseet ved spændingskoponentene i et ektangulæt koodinatsyste, so en flade i spændingsuet (evt. en hypeflade) og afbildes de tilhøende plastiske tøjningstilvækste i sae u, udtykke noalitetsbetingelsen, at tøjningsvektoen e en udadettet noal til flydefladen. Plasticitetsteoetisk bæeevnebesteelse ske oftest ved anvendelse af de såkaldte ekstealpincippe. De foulees lettest ved anvendelse af følgende begebe: Ved en statisk tilladelig spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de opfylde de inde ligevægtsbetingelse og de statiske andbetingelse. Ved en sikke spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de svae til spændinge inden fo elle evt. på flydefladen. Ved en geoetisk ulig budfigu fostås en flytningstilstand, de opfylde de geoetiske andbetingelse og so svae til tøjninge, de e geoetisk ulige iht. noalitetsbetingelsen. BYGDTU 3

22 Ved dissipationen svaende til en geoetisk ulig budfigu fostås det inde abejde spændingene udføe iht. noalitetsbetingelsen. Nedevædisætningen udsige, at en last, de svae til en statisk tilladelig sikke spændingstilstand, e inde end elle lig ed bæeevnen. Sætningen kan indlysende nok benyttes til beegning af nedevædie fo bæeevnen. Øvevædisætningen udsige, at en last, de fo en geoetisk ulig budfigu give støe abejde end dissipationen, ikke kan bæes af konstuktionen. Hvis abejdet ydet af den yde last sættes lig ed dissipationen fås abejdsligningen. Fo popotionalbelastning, dvs. alle lastkoponente e popotionale, kan abejdsligningen benyttes til beegning af øvevædie fo bæeevnen. Saenfaldende nede- og øvevædie give en eksakt løsning.. Intoduktion til og definitione i geoteknikken De sættes ofte spøgsålstegn ved gyldigheden af noalitetsbetingelsen fo jod. Dette e foodentlig beettiget. Fo det ateiale vi senee vil definee so et ent fiktionsateiale finde an, at hvis noalitetsbetingelsen gælde e det salede inde abejde ved bud lig ed nul, dvs. de udvikles ingen inde enegi i ateialet; de e ingen inde dissipation. Dette e i odstid ed, at konene i jod å foodes at glide på hinanden unde udvikling af fiktionsvae. Man finde ligeledes fo et fiktionsateiale, at det altid få en voluenudvidelse ved bud hvis noalitetsbetingelsen gælde. Ved ålinge finde an ikke altid en sådan voluenudvidelse. Dette kan skyldes, at de indtæffe lokaliseing, dvs. at buddet ske i sale zone, flydezone, således at voluenudvidelsen e koncenteet i disse zone og defo ikke optæde i pøven so helhed. Konstitutive ligninge, de ikke foudsætte gyldigheden af noalitetsbetingelsen, e unde udvikling. De e i eglen kopliceede og beegninge kan, selv i siple tilfælde, kun udføes vha. edb. En af disse teoie, den såkaldte kitiske tilstands teoi (engelsk: citical state theoy), gå ud fa den antagelse, at en given konængde ved endeligt bud altid ende i en og sae tilstand, den kitiske tilstand, f.eks. kaakteiseet ved poevoluenet, de e en entydig funktion af iddelspændingen. En belastning kan f.eks. kaakteisees ved spændingskoponentenes afvigelse fa iddelspændingen (deviationsspændingene). De å skelnes elle budfosøg hvo poevandet uhindet kan folade pøven, et såkaldt dænet bud og fosøg, hvo poevandet holdes konstant, et såkaldt udænet bud. Spændingene ved et dænet bud åles ved de kæfte, de vike ellekonene, de såkaldte effektive spændinge. Fo et udænet bud åles spændingene ved de totale spændinge, dvs. suen af konspændinge og poevandstykket. Hvis poevoluenet i udgangssituationen e inde end svaende til den kitiske tilstand vil belastningen opnå en aksiusvædi, hvoefte den falde og ende ed at væe otent konstant unde voksende defoatione. Denne konstante last svae til den kitiske tilstand. Botset fa i staten af fosøget vil voluenet vokse indtil 4 BYGDTU

23 kitisk tilstand nås, hvoefte det vil væe otent konstant. De ske oftest lokaliseing. Hvis poevoluenet e støe end svaende til den kitiske tilstand, vil belastningen stige jævnt og voluenet vil i begyndelsen aftage, en pøven vil ende i den sae kitiske tilstand so ved fosøget hvo poevoluenet e inde end svaende til den kitiske tilstand. De ske sjældent lokaliseing. Last-defoationskuven vil altså i begge tilfælde ende ed en vandet gen svaende til næest pefekt plastisk opføsel. Maksial last indtæffe ved tøjninge af støelsesodenen %, ens den kitsike tilstand føst nås ved tøjninge af støelsen 0%. Budbetingelsen ved dænet bud svae til et ent fiktionsateiale. Noalitetsbetingelsen e ikke opfyldt, da defoationene i den kitiske tilstand ske unde voluenkonstans. Fo et udænet fosøg svae den kitiske tilstand til udgangstilstanden. Ved bud kan den totale iddelspænding vaiee ved at poevandstykket vaiee, ens konspændingene ikke vaiee. Budbetingelsen svae defo til, hvad vi senee vil definee so et ent kohæsionsateiale, de ved bud defoees unde voluenkonstans. Noalitetsbetingelsen vil defo væe opfyldt. Ved hjælp af den kitiske tilstands teoi kan an defo udføe fuldstændigt koekte beegninge både hvad angå defoatione ved bud og hvad angå spændingstilstanden ved bud vha. teoie fo pefekt plastiske ateiale, nå de deje sig o udænet bud. Fo dænet bud blive beegningene ikke koekte, dog gælde det, at en øvevædiløsning stadig e en gyldig øvevædi. Nedevædie behøve deiod ikke at væe koekte. En intoduktion til den kitiske tilstands teoi kan ses i [78.3], [9.] og [93.]. Pga. de stoe beegningsvanskelighede de fekoe, nå noalitetsbetingelsen ikke gælde, e det endnu ikke alindeligt at tage hensyn til ovenstående fohold i paksis. De e da også genne åtie opnået et stot efaingsateiale ht. anvendelse af teoie fo det pefekt-plastiske ateiale, ifølge hvilke an kan konkludee, at pobleene ed noalitetsbetingelsens anglende gyldighed ikke spille nogen støe paktisk olle ved beegning af bæevnen. Ved benyttelse af plasticitetsteoi på jodpoblee anvendes so egel Coulob s budbetingelse so flydebetingelsen fo jod. Coulob s budbetingelse sige at foskydningsbæeevnen, i et snit hvo flydning e opnået, vaiee lineæt ed noalspændingen so snittet e belastet ed. Dette udtykkes vha. to konstante, fiktionsvinklen og kohæsionen c. Se næee heo i afsnit.3.3. Geneelt å det antages at jod, pga. lagdelinge, vaieende konstøelse og pakning v. e et anisotopt og inhoogent ateiale. Udvikling af analytiske løsninge, so edtage disse fohold, vil hutigt vise sig at væe sædeles kopliceet selv ved de sipleste ekseple på jodtykspoblee. I paksis siplificees pobleet ved at antage at joden e isotop og hoogen, idet de BYGDTU 5

24 foudsættes anvendelse af konsevative stykepaaete. I denne afhandling behandles således også kun løsninge fo isotope og hoogene ateiale uden lagdeling. Ved beegning af en støtteu siplificees pobleet endvidee ved at antage plan defoationstilstand, dvs at væggen i teoien e uendelig lang, således at tøjningene på tvæs vil væe nul. I Danak ha an tadition fo at koigee fiktionsvinklen fo plane tilfælde, dvs. at de inføes begebene den plane fiktionsvinkel pl og den tiaksiale fiktionsvinkel t. Den tiaksiale fiktionsvinkel e so egel den so findes ved laboatoiefosøg. I Danak egnes den plane fiktionsvinkel 0% støe end den tiaksiale fiktionsvinkel. Da en støtteu kan udføes ed foskellige oveflade, e det nødvendigt at tage hensyn til ovefladens uhed. Denne vil væe defineet ved en vægfiktionsvinkel, so svae til jodens fiktionsvinkel. Vægovefladens foskydningsbæevne i det tilfælde hvo noalspændingen på uen e nul betegnes adhæsionen a. I denne afhandling foudsættes endvidee at foholdet elle tangens til jodens fiktionsvinkel og tangens til vægfiktionsvinklen og foholdet elle jodens kohæsion og adhæsion e ens. Jodtykket på en støtteu afhænge af o jodtykket edvike til elle odvike et bud. I føste tilfælde, hvo joden edvike til bud, vil joden pesse støtteuen til bud og de vil dannes det såkaldte aktive jodtyk. I sidste tilfælde hvo joden odvike et bud, vil støtteuen blive pesset ind i joden, og de vil blive dannet det såkaldte passive jodtyk. Nedenstående figu vise et typisk foløb fo jodtykket so funktion af den elative bevægelse af væggen i fohold til joden. Det ses at de e betydelig foskel på det aktive jodtyk, betegnet E a og det passive jodtyk, E p. Gunden til den stoe foskel elle tykkene ligge i jodens foskydningsbæeevne. Denne vil altid odvike bevægelsen i joden. Dvs. at ved aktivt jodtyk odvike joden den bevægelse ind od uen so buddet febinge, heved fås den indst ulige last på uen, det aktive jodtyk. Ovendt såfet uen pesses ind i joden, vil jodens fodkydningsbæeevne odvike denne bevægelse og esultee i et askialt tyk på uen, det passive jodtyk. 6 BYGDTU

25 Figu.: Eksepel på jodtyk so funktion af den elative bevægelse af støtteu. e og e effektive spændinge, hhv. jodtyk og lodet spænding. K 0, K a og K p e de såkaldte jodtykskoefficiente fo hhv. hviletyk, aktivt tyk og passivt tyk. Figuen e taget fa Bent Hansen, Geoteknik og fundeing, del, [78.], figu 3A. Aktive og passive jodtyk kæve elative bevægelse af uen i fohold til joden. En bevægelse af denne støelse vil an so egel kun tillade i en budtilstand. Ved analyse af anvendelsestilstanden benytte an det såkaldte hviletyk, so e defineet so jodtykket i tilfældet hvo de ikke e nogen elativ bevægelse elle u og jod. Anvendelsestilstand og hviletyk på ue e ikke behandlet i denne afhandling. Analysen e dog sædeles elevant fo konstuktione, so kun tillade så defoatione, f. eks uaeede kældevægge. Da foskellen elle det aktive og passive jodtyk ligge i fotegnet fo foskydningsspændingene, vise det sig i de analytiske løsninge, at foskellen elle de to løsninge kan udtykkes ved fotegnet fo fiktionsvinklen og kohæsionen, de so nævnt beskive foskydningsbæeevnen i joden. Nå nedevædisætningen benyttes ved besteelse af aktivt jodtyk skal an søge indste vædi af jodtykket fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nå øvevædisætningen anvendes til besteelse af aktivt jodtyk skal an søge støste vædi fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nedevædisætningen give uiddelbat ulighed fo besteelse af jodtyksfodelinge. Ved øvevædiløsninge kan jodtyksfodelingen kun bestees i specielle tilfælde. Plasticitetsteoien foudsætte ubegænset flydeevne, en foudsætning de e udæket opfyldt fo ange jodate. BYGDTU 7

26 Bæeevnen bestet vha. plasticitetsteoien svae til den støste last, de kan findes fo en given flydebetingelse. Såfet noalitetsbetingelsen ikke gælde, fås altså en bæeevne, de e inde end evt. lig ed plasticitetsteoiens bæeevne. En gundig gennegang af plasticitetsteoien defineet so ovenfo e beskevet i Mekanik., del [00.]..3 Nedevædiløsninge So nævnt i afsnit. kæve nedevædiløsninge at ligevægtsbetingelsene tilfedsstilles. I det følgende angives disse fo to siple koodinatsystee, ektangulæe koodinate og polæe koodinate..3. Ligevægtsbetingelse De inde ligevægtsbetingelse findes ved at udtykke ligevægten af et infinitesialt eleent. Ligninge opskives he fo vægtløs jod, se [9,]..3.. Rektangulæe koodinate Det infinitesiale eleent e he begænset af et ektangel, so e oienteet efte de to koodinatakse. Støelsen af ektanglet e givet ved sidelængdene dy og dx, so angivet i figu.. Spændingskoponentenes positive etninge svae til koodinataksene i snit ed koodinataksene so udadgående noale. Betegnelsene, so fegå af figuen, e hhv. x, y, xy og yx. Fotegnsegningen indebæe, at tæknoalspændinge egnes positive. Den ænding, f.eks. af x, de x optæde ove afstanden dx, kan skives so dx plus højee odens led. Den x x esulteende spænding blive heved x dx. Tilsvaende betagtninge kan x gøes fo y, xy og yx. 8 BYGDTU

27 dy y x xy x y y dy y dx y yx yx yx dy y x x dx x xy xy dx x Figu.: Ligevægtsbetingelse i ektangulæe koodinate Rotationsligevægt o eleentets idtpunkt: xy yx 0 xydy dx yxdx dy xy dx dy dx yx dy dx dy x y (.) yx xy Da således udtykkes ligevægtsligningene noalt kun ved en af yx støelsene, f.eks. xy. Pojektion langs x-aksen: x xdy x dxdy x xy yx dx yx yx y dy dx 0 Idet (.) benyttes fås: x xy 0 x y (.) Pojektion langs y-aksen: y ydx y dy dx y xy dy xy xy x dx dy 0 BYGDTU 9

28

29 BYGDTU Pojektion på -etning: 0 dd d d d d d d d d Idet (.4) e benyttet fås: 0 (.5) Radiæ pojektion: 0 dd d d d d d d d 0 (.6).3. Tansfoationsfole I en plan spændingstilstand findes altid to på hinanden vinkelette snit, hvo foskydningsspændingene e nul. Disse snit kaldes hovedsnit. Noalspændingene i hovedsnittene kaldes hovedspændinge. I hovedsnittene findes støste og indste noalspænding. Man ha natuligvis ofte bug fo spændingene i ande snit end i snittene høende til et bestet koodinatsyste. Fole, de føe en spændingstilstand fa et koodinatsyste til et andet betegnes tansfoationsfole. Tansfoationsfolene fa et hovedsaksesyste til et vilkåligt x,y-syste lyde sin cos sin sin cos xy y x (.7) He e og 3 hovedspændingene, og e vinklen elle snittet ed og et snit vinkelet på x-aksen, egnet positiv i x,y-planens positive oløbsetning. Punktene ( x, xy ) og ( y, - xy ) ligge på en cikel ed diaeteen e - 3, nå genneløbe intevallet 0 til elle. He foudsættes, at e den støste hovedspænding. Ciklen kaldes Moh s cikel. Tansfoationsfole, de ikke foudsætte, at det ene koodinatsyste e et hovedaksesyste, kan f.eks. findes i Mekanik., del [9.].

30 .3.3 Flydebetingelsen Flydebetingelsen angive, so nævnt i afsnit., de spændingskobinatione, de kan føe til flydning, dvs. at de plastiske tøjninge kan vokse ubegænset uden at spændingene ænde sig. Fo jodate benyttes ofte den siplest tænkelige flydebetingelse, Coulobs flydebetingelse. Efte denne ske flydning, nå foskydningsspændingen i et snit antage en vædi, de e bestet af en paaete, kohæsionen c, plus et led de e popotionalt ed tyknoalspændingen i snittet. Popotionalitetsfaktoen betegnes fiktionskoefficienten. Flydebetingelsen e defo c, idet vi, so nævnt tidligee, egne spændinge positive so tæknoalspændinge. Vinklen defineet ved tan betegnes fiktionsvinklen. Flydebetingelsen kan altså skives c tan (.8) Relationen c tan festille i et,-koodinatsyste to ette linie, de ha hældningen tan, og so afskæe stykkene c af -aksen. Vha. Moh s cikel e det defo let at afgøe, o en spændingstilstand kan give flydning. Hvis den støste Moh s cikel tegnet ove diaeteen - 3, hvo e støste og 3 e indste hovedspænding, netop øe flydebetinglsen kan de ske flydning. Hvis Moh s cikel ligge inden oådet begænset af flydebetingelsen kan de ikke ske flydning. Spændingstilstande svaende til Moh s cikle ed punkte uden fo flydebetingelsen kan ikke foekoe. I et punkt vil de altid væe to snit, i hvilke spændingene tilfedsstille Coulobs flydebetingelse. Snittene danne vinklen 90- ed hinanden og betegnes flyde- elle budsnittene. Coulobs flydebetingelse kan udtykkes på hovedspændingsfo, idet den beskive et isotopt ateiale. Heo henvises til f.eks. Mekanik., del [00.]. Jodate ha noalt inge elle ingen tækstyke. Coulobs flydebetingelse bude defo supplees ed en afskæing svaende til tækstyken ligeso det gøes f.eks. fo beton. Dette vil ikke blive gjot i det følgende. Vi vil i stedet foudsætte, at de kun abejdes ed spændingstilstande, hvo alle hovedspændinge e tyk evt. nul. Mateiale, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kaldes Coulob ateiale. Ved plane defoationstilstande e hovedspændingene i planen og 3 hhv. støste og indste hovedspænding. Den tedje hovedspænding ligge elle disse vædie. Ved plan defoationstilstand skal den støste Moh s cikel altså tegnes ed diaeteen - 3 ( > 3 ). Coulobs flydebetingelse e ikke altid sælig nøjagtig fo jodate. Fo udænet bud kan an so nævnt egne fiktionsvinklen til nul og ed en kohæsion, de svae til poøsiteten. He e Coulobs budbetingelse eget nøjagtig. Fo kohæsionløse ateiale, såkaldte fiktionsateiale, finde an ofte fo så spændinge en ku BYGDTU

31 kuve i et,-koodinatsyste. Hulheden vende od -aksen. Pobleene beøes kot i kapitel 3. En spændingstilstand, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kan natuligvis angives i et etvinklet koodinatsyste, f.eks. et n,t-syste. Vi lade n-aksen væe noal til det ene snit, i hvilket flydebetingelsen e opfyldt. Moh s cikel e vist i figu.4. nt t n = c tan n c cot - n nt cot nt c cot Figu.4: Flydebetingelsen fo Coulob ateiale So det ses e de to løsninge, og, fo henholdsvis positiv og negativ vædi af foskydningsspændingen nt. Fotegnet på foskydningsspændingen indvike dog ikke på støelsene af n og t. Ved at benytte de geoetiske støelse angivet i figu.4 fås følgende saenhænge ielle spændingene: nt c t tan tan c tan nt t c cot t n n tan tan ctan t n n BYGDTU 3

32 Heved fås endelig følgende saenhænge ielle spændingene, hvo n = e den eneste ubekendte. n tan ctan (.9) t c tan nt.3.4 Rankine zonen I Rankine zonen e etningene fo de to snit, hvo flydetingelsen e opfyldt, konstante. De to snit kan defo beskives ved to sæt af paallelle linie, se figu.5. y 90+ x Figu.5: Rankine zonen I figu.5 e x-aksen so vist oienteet langs en af disse ette linie, og y-aksen e vinkelet hepå. Heved give flydebetingelsen følgende saenhæng ielle spændingene i x,ykoodinatsysteet: tan ctan x y (.0) c tan xy 4 BYGDTU

33 Indsættes disse spændinge i ligevægtsligningene (.) og (.3) fås: x xy 0 x y tan tan 0 (.) x y y xy y x 0 tan 0 (.) y x Hvis sidste ligning (.) ultiplicees ed tan og addees til (.) ses, at 0. Af (.) ses, at så e også 0. Dette betyde, at den eneste løsning fo x y Rankine zonen e: k (.3) hvo k e en konstant. k å natuligvis ikke foveksles ed konstanten k høende til Coulobs budbetingelse. Jf. f.eks. (.56). Udfa figu.4 ses, at k c cot. Heved fås at spændingstilstanden fo en Rankine zone kan skives: tan k ctan x y k (.4) c k tan xy I fiktionsløs jod fås løsningen: x k y k (.5) xy c hvo k e en abitæ konstant..3.5 Pandtl zonen Pandtl zonen fekoe ved, at snit langs adie fa et punkt opfylde flydebetingelsene. Ved at indføe et polæt koodinatsyste ed begyndelsespunkt i dette punkt, opfyldes flydebetingelsen altså i snit langs adie. Coulobs flydebetingelse sige, at et tilsvaende snit, de opfylde flydebetingelse, vil ligge BYGDTU 5

34 unde en vinkel på ed de adiæe snit (kun et fotegn benyttes). De dannes heved linie, de følge spiale, hvo snit opfylde flydebetingelsen, se figu.6. Spialen kan vende begge veje, hvilket esultee i besteelse af fotegn fo foskydningsspændingen. Figu.6: Pandtl zonen I et lokalt n,t-syste ed n-aksen i -etningen e spændingstilstanden kaakteiseet ved tan ctan (.6) c tan Ved indsættelse af (.6) i de polæe ligevægtsbetingelse (.5) og (.6) fås: 0 c tan tan 0 (.7) 0 tan ctan tan tan 0 (.8) Multiplicees (.7) ed tan og addees til (.8) fås 0 (.9) 6 BYGDTU

35 e altså konstant langs adiene. Ligning (.7) give heefte c tan 0 (.0) de ha løsningen tan ke c cot (.) hvo k e en konstant. Heved fås at spændingstilstanden fo fiktionsjod i en Pandtl zone e bestet ved: tan c cot ke tan tan ke c cot (.) k tane tan Idet c cot ifølge flydebetingelsen i figu.4, betyde det at k endvidee å væe en positiv konstant. Da de ikke kan findes nogen gænsevædi fo gående od nul, kan løsningen ikke buges fo fiktionsløs jod. Løsningen fo fiktionsløs jod findes ved indsætte ligningene (.6) i ligevægtsbetingelsene, idet fiktionsvinkelen sættes lig ed nul. Af (.6) fås: (.3) c Ligevægtsligningene give: c 0 (.4) f (.5) c hvo f e en abitæ funktion af. 0 f 0 (.6) (.7) Dvs. f e en konstant so benævnes k. Heved blive løsningen fo spændingen : c k (.8) BYGDTU 7

36 Spændingstilstanden i en Pandtl zone fo fiktionløs jod blive heved: c k c k (.9) c hvo k e en abitæ konstant..4 Øvevædiløsninge So nævnt i afsnit. abejdes de ved besteelse af øvevædiløsninge ed geoetisk ulige flytningstilstande. De geoetiske betingelse, de skal tilfedsstilles, afhænge af hvilke vaiable de benyttes, se det følgende. Øvevædie fo popotionalbelastning bestees vha. abejdsligningen, hvo det yde abejde sættes lig ed dissipationen fo det pågældende geoetisk ulige flytningsfelt..4. Geoetiske betingelse Hvis en geoetisk ulig budfigu fastlægges ud fa en valgt flytningstilstand skal følgende geoetiske betingelse væe opfyldt: ) De geoetiske andbetingelse fo flytningsfeltet skal væe opfyldt. ) De tøjninge, de svae til flytningene, skal opfylde noalitetsbetingelsen. Hvis de tages udgangspunkt i tøjningene skal tøjningene vælges således, at de til tøjningene svae en geoetisk ulig flytningstilstand, dvs. tøjningstilstanden skal gøe det uligt at tilfedsstille de geoetiske andbetingelse. Tøjningene kan ikke vælges vilkåligt. Til en foelagt tøjningstilstand svae kun en geoetisk ulig flytningstilstand, hvis de såkaldte kopatibilitetsbetingelse e tilfedsstillet. Følgende betingelse skal således væe opfyldte: ) Kopatibilitetsbetingelsene ) Tøjningene skal tilfedsstille noalitetsbetingelsen. Fo plane defoationstilstande e de kun én kopatibilitetsbetingelse. Ved. kopatibilitetsbetingelse i uet, se Mekanik., del [9.]. I det følgende udtykkes kopatibilitetsbetingelsen i ektangulæe og polæe koodinate. Kopatibilitetsbetingelsen udledes noalt ent ateatisk ved at kæve at en integand skal væe et totalt diffeential, se f.eks. Mekanik., del [9.]. Denne betingelse kan opskives på en ee anskuelig åde so vist i det følgende. 8 BYGDTU

37 .4.. Rektangulæe koodinate Flytningene i ektangulæe koodinate betegnes hhv. u x og u y. I figu.7 e flytningsfeltet illusteet i oegnen af et punkt. Flytningen e u x fo punkt i x- u x aksens etning. Flytningen af punkt i x-aksens e u x dx plus højee odens x led. Tilsvaende fohold gælde ved. flytningen u y. x dx y u x u x dx x dy u y u x u y u y dx x 3 u x u x dy y 4 u y u y dy y Figu.7: Flytningsfelt i ektangulæe koodinate Udfa de i figu.7 viste flytninge fås følgende noal- og tvætøjninge: u x u x u x x dx x (.30) 3 u y u y u y y dy y (.3) u y u y u y xy dx x (.3) 3 u x u x u x yx dy y (.33) hvo e en vilkålig otation af legeet. Vinkelændingen xy kan findes so suen af de to tvætøjninge: BYGDTU 9

38 0 BYGDTU x u y u y u x u y x x y yx xy xy (.34) Kopatibilitetsbetingelsen findes ved at kæve at flytningsbesteelsen skal væe uafhængig af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u x og u y ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u x x x x x x x x x 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx yx x yx x yx x x y yx x (.35) dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u y y y y y y y y y 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx y xy y xy y xy x y y xy (.36) Rotationen eliinees heefte af ligningene (.35) og (.36). Eliineingen ske ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis y og x i de to ligninge: y x y x y x y yx yx x (.37) x x y x y x y y xy xy (.38) Heved fås følgende kopatibilitetsbetingelse: x x y y x y y xy yx x Indføes at vinkelændingen xy e suen af tvætøjningene fås : x y y x y x xy (.39)

39 Betingelsen (.39) e, so den e udledt, en tilstækkelig betingelse fo kopatibilitet. At (.39) også e en nødvendig betingelse fås uiddelbat ved at vise, at nå tøjningene udtykkes ved flytningene e esultatet i (.39) en identitet..4.. Polæe koodinate De geoetiske betingelse i polæe koodinate findes fo et infinitesialt eleent so vist i figu.8. d u u d u u d u d 4 u d 3 u u u u d d Figu.8: Flytningsfelt i polæe koodinate Ved opskivning af tøjningene skal an væe opækso på, at flytningsvektoene ænde etning i det polæe koodinatsyste. De koe defo flee bidag til den salede flytning i en etning. Ved pojektion af flytningene benyttes følgende appoksiation, idet eleentet e infinitesialt: sin( d ) d (.40) cos( d ) Heved fås følgende noal- og tvætøjninge i polæe koodinate: 3 u u u d (.4) u u d u u u d (.4) u u d u u u d (.43) BYGDTU

40 BYGDTU u d u u 3 (.44) So fø e otationen af legeet. Vinkelændingen fås til: u u u u u u (.45) So ved ektangulæe koodinate findes kopatibilitetsbetingelsen ved at kæve at flytningsbesteelsene skal væe uafhængige af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u og u i punkt "4", ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.46) d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.47) Rotationen eliinees af ligningene (.46) og (.47) ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis og i de to ligninge: (.48)

41 BYGDTU 3 (.49) Heved fås den tilstækkelige kopatibilitesbetingelse: (.50) At betingelsen e nødvendig vises so fo ektangulæe koodinate..4. Flydelov (noalitetsbetingelse) Iht. noalitetsbetingelsen, se afsnit., e tøjningsvektoen svaende til de plastiske tøjningstilvækste en udadettet noal til flydefladen. I et,-koodinatsyste, se figu.9, fås følgende fohold: De tøjningsstøelse, de svae til hhv. og, e længdetøjningen og vinkelændingen.,, (,) Figu.9: Noalitetsbetingelsen fo et Coulobateiale Noalitetsbetingelsen e illusteet i figu.9. Længden af en noal e betegnet og vi se, at cos sin (.5)

42 I en spids foudsættes i plasticitetsteoien, at tøjningsvektoen kan ligge vilkåligt i det vinkelu, de dannes af noalens gænsestillinge, nå an næe sig spidsen ad de to ulige veje. Spidsen i Coulobs flydebetingelse vil dog ikke blive behandlet næee, da vi, so nævnt tidligee, foudsætte at alle spændingstilstande svae til tyknoalspændinge. (0,-½) 3 ½ (,½) Figu.0: Moh s cikel fo tøjningene ved flydning. Tøjningstilstanden e illusteet vha. Moh s cikel i figu.0. Det ses at de ikke e noaltøjninge i de snit, i hvilke Coulobs flydebetingelse e opfyldt, flydesnittene elle budsnittene. Udfa figu.0 findes iddeltøjningen og adius R i Moh s cikel til: sin (.5) R (.53) cos Heved kan hovedtøjningene findes: sin 3 (.54) Det ses, at suen af hovedtøjningene e positiv, hvilket betyde, at de e tale o voluenudvidelse (dilatation), undtagen nå =0. Hovedspændingene og hovedtøjingene e saenfaldende således so det altid vil væe tilfældet fo et isotopt ateiale. Hovedspændingene kan f.eks. bestees vha. figu.4. Man finde: (.55) k k c cot 3 4 BYGDTU

43 c tan u

44 Figu. vise en flydelinie elle to oåde. Det nedeste oåde ha ingen flytning, det øveste ha flytningen u. Vha. (.5) ses, at u å danne vinkelen ed flydelinien. Heved blive =u sin og =u cos (=u). Dissipationen p. længdeenhed af flydelinien blive da W l ub c cos (.59) hvo b e tykkelsen på tvæs. 6 BYGDTU

45 3 Beækninge o den vikelige flydebetingelse Denne afhandling tage so nævnt udgangspunkt i det pefekte Coulob ateiale. Jod e dog, so ethvet andet ateiale, langt fa pefekt. Af uiddelbae ipefektione kan nævnes lagdeling, vaieende konstøelse heunde også konfodelingen, vaieende konfo, vaieende poøsitet og vandætning. Alle tænkelige paaete ha en vis indvikning på styken af joden. Skal an tage hensyn til alle disse paaete ved udvikling af en jodtyksteoi, vil an hutigt opdage, at an fo længst e nået til det punkt, hvo selv den sipleste beegning e uulig. Det e defo nødvendigt at have en sipel definition af styken på joden, f.eks. Coulobs flydebetingelse. Nå det e sagt, å an så også acceptee, at denne flydebetingelse i ekstee tilfælde kan væe langt fa sandheden. Coulobs flydebetingelse vil i et -, -koodinatsyste beskive en et linie. Den egentlige flydebetingelse ha ofte et kut foløb. I figu 3. e en typisk flydebetingelse fo sand optegnet. Det beækes at gå od nul fo gående od nul. Sand ha deed en eget lille foskydningsbæeevne fo så tyknoalspændinge, dvs. at den eelle kohæsion e tæt på nul. Benyttes en lineaiseing til besteelse af flydebetingelsen, vil den bedste tilpasningskuve væe en linie so tangee den eelle flydebetingelse fo stoe tyknoalspændinge. Man å heved acceptee, at afvigelsen fa den eelle flydebetingelse fo så noalspændinge blive elativt sto. Begebet den tilsyneladende kohæsion benyttes ofte i fobindelse ed lineaiseingen, idet den fundne kohæsion svaende til Coulobs flydebetingelse ikke beskive den eelle fyldebetingelse. Reel flydebetingelse c Figu 3.: Eksepel på en ku flydebetingelse BYGDTU 7

46 I laboatoiet bestees Coulobs budbetingelse ved at de udføes fosøg so bestee punkte på flydebetingelsen. Disse fosøg udføes enten ved shea box fosøg elle ved tiaksiale fosøg. Ud fa disse fosøgsesulate kan den tilnæede flydeflade bestees. En næee beskivelse af besteelsen af stykepaaetene og c kan f.eks. findes i [78,]. Makfosøg e beskevet i [90,]. Det beækes desuden, at de kan væe foskel på den vædi af fiktionsvinklen, de bestees vha. fosøg ed plan defoationstilstand og tiaksiale fosøg. Den plane vædi kan i paksis ansættes 0% støe end den tiaksiale vædi. I tilfælde af sand ses de i paksis bot fa kohæsionen. I tilfælde af le udføes beegninge i det udænede og dænede tilfælde. Det udænede tilfælde beskive tilfældet, hvo belastningen opbygges hutigee end oveskudsvand kan botdænes. Flydebetingelsen beskives ved den udænede foskydningsstyke c u. Fo dænet le, dvs. i tilfældet hvo ateialet nå at konsolidee, kan flydebetingelsen beskives ved den effektive fiktionsvinkel og den effektive kohæsion c. Heved fås de te pincipielle flydebetingelse so vist i figu 3. til 3.4. Disse beskive jods styke tilnæet vha. Coulobs flydebetingelse. Figu 3.: Flydebetingelse fo sand 8 BYGDTU

47 c u Figu 3.3: Flydebetingelse fo udænet le c Figu 3.4: Flydebetingelse fo dænet le BYGDTU 9

48 30 BYGDTU

49 4 Eksakte løsninge uden hensyntagen til egenvægt I det følgende gennegås kot de kendte eksakte løsninge fo jodtyk på vægge elle støtteue. De skyldes Rankine (857) og Pandtl (90 og 97) og kan f.eks. ses i [53.]. I det følgende angives såvel en spændingstilstand so en flytningstilstand, de opfylde alle betingelse. Fouden de i det foegående indføte betegnelse benyttes: A c : Totale dissipation p. enhedstykkelse. A p : Abejde p. enhedstykkelse fa jævnt fodelt spænding. p oveflade Støtteu, væg Figu 4.: Pincipskitse af støtteu Fo alle løsninge gælde at væggen e lodet og at vinklen elle væg og oveflade e et so vist i figu 4.. Ovefladen e påviket af lasten p (tyknoalspænding). Hvis spændingene i joden skal svae til tykspændinge, å p nødvendigvis væe en positiv tykspænding. I øvevædiløsninge edtages jodtykkets abejde so abejdet fa en yde last Q. Jodtykket bestees ved at diffeentiee Q ht. en lodet koodinat. Abejdet fa Q betegnes A Q. Det søgte jodtyk betegnes q (q p, q c etc.). I en væg ed topplade e flytningene nul på ovefladen i etningen paallel ed ovefladen. Fo jod ed kohæsion antages det, at ovefladelasten e støe end jodens tykstyke. BYGDTU 3

50 4. Støtteue i kohæsionsjod 4.. Glat væg u 0 y x Q Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. De indlægges det i figu 4. viste x,y-koodinatsyste, de e dejet 45 i fohold til væg og jodoveflade. Tøjningstilstanden e en vinkelænding i x,y-systeet. Heved e noalitetsbetingelsen tilfedsstillet. Flytningen e nul langs en linie unde 45 ed væg udgående i afstanden 0 fa skæingspunktet elle væg og den vandette oveflade. Støelsen u 0 e den vandette flytning i koodinatsysteets begyndelsespunkt. De e flytningsdiskontinuitete i vægetningen langs væggen. De give iidletid ikke noget bidag til dissipationen, da væggen e glat. Flytningsfeltet blive heved: u x 0 x u y u 0 0 Tøjningstilstanden blive: u x x 0 x u y y 0 y u u x y u 0 xy y x 0 3 BYGDTU

51

52 Nedevædiløsning. Vi antage, idet k e en konstant, de kun afhænge af ovefladelasten p, at: k x y og at: xy c p c 45 c y x Figu 4.3: Betegnelse fo spændinge fo et punkt på ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.3, give: p c x x, y x y x, y x 0 dvs. p c k 0 de føe til k p c Heved fås spændingene p c x p c y xy c de uiddelbat ses at tilfedsstille ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen. 34 BYGDTU

53 y 45 c q x Figu 4.4: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.4, give: 0 q c x x y x y y Heaf findes q c p c p c elle q p c 0 0 Løsningen e altså den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt. 4.. Ru væg u 0 y 0 Q 0 x Figu 4.5: Betegnelse fo flytninge BYGDTU 35

54

55 Ovefladelastens abejde e: A p p 0 u 0 p0u 0 Abejdet fo kaften Q i afstanden 0 fa ovefladen e: u 0 Q A Q Abejdsligningen få da følgende udseende: A A A p dvs. Q c 4 u 0Q p0u 0 c0u 0 Heaf findes: Q p c Jodtykket q blive dq q p c d0 4 I analogi ed det foanstående tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c p c konstant, dvs. 4 q p c Nedevædiløsning. c c Spændingstilstand i felt e so fo glat væg, dvs.: p c x p c y xy c Ovegangbetingelse ielle felt og (y=0, x=), give defo: x, y 0 p x c x, y p c 0 y xy c BYGDTU 37

56 Vi sætte fosøgsvis i felt :, c k Randbetingelsen fo føe da til betingelsen: 4, c k p c 4 de give k p c c Heved blive:, c p c Med = og =c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet ovealt. Endelig kan jodtykket q bestees ved: q, 0 p c Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Løsningen e defo eksakt Ru væg, topplade Med topplade fostås at de tillades oveføelse af foskydningsspændinge elle jodovefladen og toppladen. Denne foskydningsspænding vil natuligvis bevike, at toppladen vil få en esulteende vandet kaft, so skal optages af konstuktionen fo at sike en global ligevægt. Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.6: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.6. Vi sætte fosøgsvis i hele oådet.: u 0 38 BYGDTU

57

58 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c c p c konstant, dvs. c Jodtykket blive defo: q p c Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, c k Randbetingelse fo : p, c k p k c p Heved blive:, c p Med og c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. Jodtykket q blive: q, 0 p c 40 BYGDTU

59 4. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod 4.. Glat væg 0 Q 0 u 0 y x 4 4 Figu 4.7: Betegnelse fo flytninge 4 Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.7. Flytningene e nul langs en linie fa bunden af væggen unde vinklen ed væggen. En linie genne 4 koodinatsysteets begyndelsespunkt unde vinklen ed væggen otee o 4 dens skæingspunkt ed den otalte linie unde vinklen ed væggen. Heved 4 blive flytningstilstanden: u x 0 u0 x y u y cos cos tan cos 4 4 de svae til tøjningene: u x x 0 x u y u0 y tan y 0 u u x y u0 xy y x 0 BYGDTU 4

60

61 Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, se foel (.0): tan k ctan x y k c k tan xy Heved e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. p xy 4 xy y x Figu 4.8:Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.8, give: p x cos y sin 4 4 Betingelsen kan skives: sin cos 4 4 xy tan k ctan sin k sin c k tan p Løses ligningen ht. k fås: p ctan sin c cos k p sin c cos tan sin sin cos BYGDTU 43

62 q 4 y xy xy x Figu 4.9: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.9, give: q x sin y cos 4 4 sin sin 4 4 xy Betingelsen kan skives: q tan p sin c cos ctan sin p sin c cos sin c p sin c costancos Løses ligningen ht. q fås: sin sin q p c sin cos Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Den e defo eksakt. 44 BYGDTU

63 4.. Ru væg 0 Q 0 u 0 y x 4 Figu 4.0: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.0. I analogi ed flytningstilstanden i afsnit 4.. sættes fosøgsvis i felt : u 0 tan u u e tan e 0 0 Tøjningene i felt blive heved: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. (.5). Heved blive noalitetsbetingelsen tilfedsstilet. Fo og y=0 e u y =u (=x) og u x =u. 4 Følgende flytningstilstand i felt opfylde denne betingelse: u x 0 u y u e tan e x tan 4 e y tan 4 0 tan BYGDTU 45

64

65 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q q p c p c cot c tan sin pe tan Jodtykket blive defo: q konstant, dvs. sine tan sin pe c cot sin Nedevædiløsning. e p konstant, dvs. tan Spændingstilstand i felt egnes uændet so fo glat væg: tan p sin c cos ctan sin c cos p sin c costan x y xy p c Ovegangbetingelse ielle zone og (y=0, x=): x, y 0 tan p sin c cos c ctan x, y 0 p sin c cos x, y 0 c p sin c costan x y xy I felt sættes, jf. foel (.): tan, c cot ke Spændingene og fegå også af foel (.). Ovegangsbetingelsene ielle felt og felt blive nu: 4, c cot ke 4 de give k p tan tan tan p sine e sinc cot hvoved vi finde tan sin c cos tan tan, c cot p sine e sinc cos e BYGDTU 47

66 Det ses at ligevægtsbetingelsene, ovegangsbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, p sine e sin c cot 0 Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt Ru væg, topplade Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.. I analogi ed det foegående afsnit sættes:: u 0 tan u u e tan e 0 0 Heved blive tøjningene: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. foel (.5). Noalitetsbetingelsen e altså tilfedsstilet. 48 BYGDTU

67

68 Randbetingelse: ; p tan, ke c cot p tan k p c cot e Heved blive:, p c cot e tan tan e c cot So ovenfo ses, at ligevægtsbetingelsene, andbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, 0 pe c cot e Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. den e eksakt. 50 BYGDTU

69 5 Diskontinuitetslinien. I det følgende udvikles en ny jodtyksteoi, so benytte sig af spændingsdiskontinuitetslinie. En spændingsdiskontinuitetslinie e, so navnet sige, en linie elle en kuve langs hvilken spændingene ikke e kontinuete. I plasticitetsteoien folanges langs sådan en linie kun, at loven o aktion og eaktion e opfyldt. I figu 5. kæves defo n n og nt nt ens t kan væe foskellig fa. t I nedevædiløsninge skal spændingene natuligvis tilfedsstille ligevægtsbetingelsene på begge side af diskontinuitetslinien. t () () n () nt () nt () () t nt n t () t () nt () nt () nt () n t () diskontinuitetslinie Figu 5.: Spændingsdiskontinuitetslinien I et,-koodinatsyste vil de to spændingstilstande på hve side af diskontinuitetslinien have hve sin Moh s cikel, se figu 5.. Loven o aktion og eaktion kan kun opfyldes, nå de to Moh s cikle skæe hinanden. nt () = nt () t () t () n () = n () Figu 5.: Moh s cikle langs en diskontinuitetslinie Bug af diskontinuitetslinie e et standadvæktøj i plasticitetsteoien og anvendes både ved beegning af øve- og nedevædie. BYGDTU 5

70 Løsninge ed spændingsdiskontinuitete ved beegning af jodtyk e bl.a. blevet benyttet af Sokolovskii [65.], R.T. Shield [5.] og W. F. Chen [75.]. Sokolovskii udviklede løsningen fo det siple tilfælde glat støtteu ed vandet jodoveflade uden hensyntagen til egenvægt. Disse løsninge e selvfølgelig alle nedevædiløsninge. I det følgende behandles en ække jodtykspoblee vha. spændingsdiskontinuitetslinie. Mens anvendelsen af en diskontinuitetslinie e kendt synes den ikke tidligee at have væet anvendt til udvikling af en koplet jodtyksteoi. Det følgende indeholde defo en lang ække nye løsninge. De nye løsninge e saenlignet ed eksisteende teoi i kapitel 7. Vi nøjes ed at behandle poblee ed aktivt jodtyk, idet det tilsvaende passive jodtyk ent foelt kan findes ved at skifte fotegn fo kohæsionen og fiktionsvinklen. 5 BYGDTU

71 6 Glat støtteu ed vandet jodoveflade p Diskontinuitetslinie Figu 6.: Glat støtteu ed vandet oveflade q Lasten e et jævnt fodelt tyk p på en vandet oveflade, de edføe et jodtyk q på støtteuen. I det følgende e løsningene so nævnt egnet igenne svaende til aktivt jodtyk. Dette edføe at p>q. Vinklen elle den vandette oveflade og væggen e. Vinklen elle den vandette oveflade og diskontinuitetslinien e. Støelsene e vist på figu 6.. Fotegnsegning fo spændingene e so tidligee, dvs. tæknoalspændinge egnes positive. Ovefladelast og jodtyk egnes dog positive so tyknoalspændinge. 6. Fiktionsjod Løsningen uden hensynstagen til egenvægt vil bestå af to hoogene spændingsfelte, so e adskilt ved en diskontinuitetslinie. Den optiale nedevædi fo en enkelt diskontinuitetslinie vil fekoe, nå begge spændingsfelte opfylde flydebetingelsen. En sådan løsning e tegnet i figu 6.. Alle spændingstilstande, de ligge inden fo flydebetingelsens skå linie svaende til fiktionsvinklen, e tilladelige. Spændingstilstande hvis Moh s cikle øe de skå linie opfylde flydebetingelsen. BYGDTU 53