Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale"

Transkript

1 Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf) Link to publication Citation (APA): Jantzen, T., & Nielsen, M. P. (007). Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale. Geneal ights Copyight and oal ights fo the publications ade accessible in the public potal ae etained by the authos and/o othe copyight ownes and it is a condition of accessing publications that uses ecognise and abide by the legal equieents associated with these ights. Uses ay download and pint one copy of any publication fo the public potal fo the pupose of pivate study o eseach. You ay not futhe distibute the ateial o use it fo any pofit-aking activity o coecial gain You ay feely distibute the URL identifying the publication in the public potal? If you believe that this docuent beaches copyight please contact us poviding details, and we will eove access to the wok iediately and investigate you clai.

2 BYG DTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Thoas Jantzen Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling PHD THESIS Mats 007

3 BYGDTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling Thoas Jantzen Mats 007 Repot no. R-74 ISSN ISBN

4

5 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. afhandling Thoas Jantzen BYGDTU - Depatent of Civil Engineeing Technical Univesity of Denak Mats, 007 BYGDTU i

6 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Copyight, Thoas Jantzen, 007 Depatent of Civil Engineeing Building 8 Technical Univesity of Denak 800 Lyngby Denak ISSN ISBN ii BYGDTU

7 Food Denne appot e udabejdet på BYGDTU so et led i de betingelse, de skal opfyldes fo at opnå Ph.D.-gaden. Rappoten ohandle plasticitetsteoi fo Coulob ateiale. Næee betegnet jodtyk på vægge og støtteue i budtilstand. Pojektet e finansieet af Danaks Tekniske Univesitet og udføt unde vejledning af Pofesso, d. techn. Mogens Pete Nielsen. Desuden ha de til pojektet væet tilknyttet lic. techn. Bent Feddesen, Rabøll og civilingeniø Jens Kae Motensen, Rabøll so edvejledee. Jeg vil gene takke disse pesone fo dees hjælp til pojektet. Jeg vil også gene takke ine edstudeende igenne studiet, Linh Cao Hoang, Las Gean Hagsten, Moten Bo Chistiansen og Jakob Laugesen. Lyngby, Mats 007 Thoas Jantzen BYGDTU iii

8 iv BYGDTU

9 Sybolliste a : Adhæsion A c, A p, A Q, : Abejde b : Tykkelse c : Kohæsion p : Ovefladelast p : Hovedspænding ved oveflade q, q c, q p : Jodtyk, hhv. totalt, kohæsionsbidag, ovefladelastbidag q : Hovedspænding ved væg Q : Jodtykseaktion 0 : Støtteushøjde R : Radius fo Moh s cikel u, u 0, u x, u y, u, u : Flytninge V : Voluen W : Dissipation W v : Dissipation p. voluenenhed W l : Dissipation p. længdeenhed x, y, n, t : Rektangulæe koodinate, : Vinkle, c, p : Moentae : Flytningsvekto, : Vægfiktionsvinkel : Vinkel fo ovefladelast,, : Vinkle, x, y,,, : Noaltøjninge, : Middeltøjning xy, yx,, : Tvætøjninge, xy : Vinkelændinge : Fiktionsvinkel : Fiktionskoefficient, : Polæe koodinate, x, y,,, n, t : Noalspændinge, : Hovedspændinge : Middelspænding, xy, yx,,, nt : Foskydningsspændinge q : Foskydningsspænding på væg : Rotation BYGDTU v

10 vi BYGDTU

11 Resue I denne afhandling udvikles teoie fo jodtyk på støtteuskonstuktione. Teoiene e baseet på plasticitetsteoiens øve- og nedevædiløsninge. So flydebetingelse fo jod benyttes Coulobs flydebetingelse. Én løsning e baseet på en elle flee diskontinuitetslinie i jodens spændingsfelt. Teoien give et bud på beegning af jodtykket på en støtteuskonstuktion ed vilkålig hældning og ed vilkålig adhæsion og fiktion elle u og jod. I tilfældet uden bidag fa jodens egenvægt kan ovefladen og ovefladelasten endvidee have en vilkålig hældning. En anden teoi e baseet på at joden ikke e udnyttet fuldt ud til flydning. Denne løsning kan defo ikke væe en eksakt løsning. Løsningen e dog stadig en nedevædiløsning, og e defo tilladelig. Løsningen e udviklet til at beegne jodtyksbidaget på uen fa jodens egenvægt. Løsningene e saenlignet ed en kendt teoi, de benytte zonebud. Teoien e udviklet af Binch Hansen, og e den est benyttede jodtyksteoi i Danak. En saenligning af teoiene vise, at de e god oveenssteelse fo de noalt foekoende væggeoetie. BYGDTU vii

12 viii BYGDTU

13 Suay In this thesis, soe theoies fo eath pessue calculations on etaining walls ae developed. The theoies ae based on the ultiate load caying capacity, using the uppe and lowe bound solutions of the plastic theoy. Fo the yield condition the theoy suggested by Coulob is used. One solution is developed using a line of discontinuity of the stess field in the soil. The theoy gives a poposal of how to calculate the eath pessue on etaining walls with any angle fo the wall, and any adhesion and fiction between the wall and the soil. Finally, fo the eath pessue without gavity, any angle of the suface and any angle fo the suface load ae consideed. A second solution is based on a stess field which does not lead to fully yielding, The solution can consequently not be the ultiate load. The stess field is though still a lowe bound solution and theefoe adissible. The solution is developed to calculate the eath pessue poduced by gavity of the soil. The solutions ae copaed with a known theoy using zone uptue solutions. The solution is developed by Binch Hansen, and is the ost coonly used theoy in Denak. By copaing the theoies, faily good ageeent within the liits of the coonly used geoety of the walls is found. BYGDTU ix

14 x BYGDTU

15 Indholdsfotegnelse INDLEDNING.... Foål ed afhandlingen... PLASTICITETSTEORI Plasticitetsteoiens gundbegebe...3. Definitione i geoteknikken Nedevædiløsninge Ligevægtsbetingelse Tansfoationsfole Flydebetingelsen Rankine zonen Pandtl zonen Øvevædiløsninge Geoetiske betingelse Flydelov (noalitetsbetingelse) Flydelinie i Coulob ateiale BEMÆRKNINGER OM DEN VIRKELIGE BRUDBETINGELSE EKSAKTE LØSNINGER UDEN HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIEN... 5 BYGDTU xi

16 6 GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c VILKÅRLIG RU STØTTEMUR MED HÆLDENDE JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk fo u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c ANVENDELSE AF FLERE DISKONTINUITETSLINIER Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod JORDTRYKSLØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Nedevædiløsninge Supeposition af jodtyksløsninge...07 xii BYGDTU

17 0.. Ligevægtsbetingelse Flydebetingelsen Rankine zonen Statisk tilladelig hældning fo jodoveflade Pandtl zonen Øvevædiløsninge...8 EKSAKTE LØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...6. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...3 ØVREVÆRDILØSNINGER UNDER HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER SUMMATION AF DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie...56 BYGDTU xiii

18 6 RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie SAMMENLIGNING MELLEM LØSNINGER FOR EKSISTERENDE TEORI OG DISKONTINUITETSLINIETEORIEN NEDREVÆRDILØSNINGER SOM IKKE OPFYLDER FLYDEBETINGELSEN OVERALT Vandet jodoveflade, u væg i fiktionsjod Vandet jodoveflade, glat væg i fiktionsjod KONKLUSION LITTERATURLISTE xiv BYGDTU

19 Indledning. Foål ed afhandlingen Foålet ed den følgende afhandling e at beskive nogle af de kendte løsninge fo jodtyk på vægge o.lign. sat angive nogle nye løsninge. I geoteknikken findes et eget stot antal teoie fo jodtyk. Den føste blev alleede udviklet af Coulob i slutningen af 700-tallet. Løsningene e fo de flestes vedkoende pæget af specielle foudsætninge uden saenhæng ed en geneel teoibygning. De løsninge, de angives i denne afhandling, udvikles udfa den geneelle teoibygning, de kaldes plasticitetsteoien. Hovedvægten lægges på at udvikle nye nedevædiløsninge, se afsnit.3. Den histoiske udvikling af plasticitetsteoiens anvendelse indenfo geoteknikken fegå af W.-F. Chens bog [75,]. Siden ha foskningen i høj gad væet ettet od udvikling af edb-etode. De findes f.eks. aktiv foskning i Austalien oking M.F. Randolph og i Fankig oking J. Salencon. Fo en intoduktion hetil, se [90,] og [03,]. De løsninge so benyttes i dag e baseet på Binch Hansens teoi, se [53,]. Teoien, ed tilhøende gyldighedsinteval, e blevet videe behandlet af Bent Hansen og J.S. Steenfelt. Resultatet heaf kan bl.a. findes i [80,]. Disse løsninge give poblee ed gyldighedsintevallet. Specielt fo en glat støtteu få an at vinklen elle jodovefladen og støtteuen skal væe støe end 90. I denne afhandling udvikles jodtyksteoien ved anvendelse af diskontinuitetslinie. Disse løsninge ha et eget støe gyldighedsinteval - til saenligning kan nævnes, at fønævnte tilfælde ed glat støtteu og vandet jodoveflade ikke give begænsninge ved. gyldigheden. BYGDTU

20 BYGDTU

21 Plasticitetsteoi I bæende konstuktione spille egenvægten fo det enkelte konstuktionseleent ofte en undeodnet olle og egenvægten kan odellees på sipel åde, f.eks. so en kontinuet last i en bjælkes systelinie. Fo jod spille egenvægten en doineende olle. Man skulle defo to, at løsninge fo hvilke egenvægten negligees, kun ha lille inteesse. Dette e iidletid foket, og det skyldes, at de kan udvikles en supepositionslov, hvo løsninge fo vægtløs jod supeponees ed løsninge, hvo jodens egenvægt e edtaget. Supepositionsloven udvikles i kapitel Plasticitetsteoiens gundbegebe Ved plasticitetsteoien fostås he teoien fo pefekt-plastiske ateiale. Et pefektplastisk ateiale e defineet ved sin flydebetingelse, de angive de spændingskobinatione, de kan føe til, at tøjningene kan vokse uden gænse, uden at spændingene ændes. Det vedtages, at den funktion, de beskive flydebetingelsen, antage negative vædie fo spændinge, de ikke kan give flydning, vædien nul fo spændinge de kan give flydning og vædie støe end nul fo spændinge uden fo flydefladen. Mateialet e desuden defineet ved sin flydelov, de angive foholdet elle de plastiske defoatione unde flydning. Nå spændingene svae til punkte inden fo flydefladen, optæde kun elastiske defoatione og specielt fo det stift-plastiske ateiale optæde slet ingen defoatione. I det følgende foudsættes, at flydeloven e givet ved noalitetsbetingelsen (den associeede flydelov). Afbildes flydefladen so funktion af spændingstilstanden, f.eks. kaakteiseet ved spændingskoponentene i et ektangulæt koodinatsyste, so en flade i spændingsuet (evt. en hypeflade) og afbildes de tilhøende plastiske tøjningstilvækste i sae u, udtykke noalitetsbetingelsen, at tøjningsvektoen e en udadettet noal til flydefladen. Plasticitetsteoetisk bæeevnebesteelse ske oftest ved anvendelse af de såkaldte ekstealpincippe. De foulees lettest ved anvendelse af følgende begebe: Ved en statisk tilladelig spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de opfylde de inde ligevægtsbetingelse og de statiske andbetingelse. Ved en sikke spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de svae til spændinge inden fo elle evt. på flydefladen. Ved en geoetisk ulig budfigu fostås en flytningstilstand, de opfylde de geoetiske andbetingelse og so svae til tøjninge, de e geoetisk ulige iht. noalitetsbetingelsen. BYGDTU 3

22 Ved dissipationen svaende til en geoetisk ulig budfigu fostås det inde abejde spændingene udføe iht. noalitetsbetingelsen. Nedevædisætningen udsige, at en last, de svae til en statisk tilladelig sikke spændingstilstand, e inde end elle lig ed bæeevnen. Sætningen kan indlysende nok benyttes til beegning af nedevædie fo bæeevnen. Øvevædisætningen udsige, at en last, de fo en geoetisk ulig budfigu give støe abejde end dissipationen, ikke kan bæes af konstuktionen. Hvis abejdet ydet af den yde last sættes lig ed dissipationen fås abejdsligningen. Fo popotionalbelastning, dvs. alle lastkoponente e popotionale, kan abejdsligningen benyttes til beegning af øvevædie fo bæeevnen. Saenfaldende nede- og øvevædie give en eksakt løsning.. Intoduktion til og definitione i geoteknikken De sættes ofte spøgsålstegn ved gyldigheden af noalitetsbetingelsen fo jod. Dette e foodentlig beettiget. Fo det ateiale vi senee vil definee so et ent fiktionsateiale finde an, at hvis noalitetsbetingelsen gælde e det salede inde abejde ved bud lig ed nul, dvs. de udvikles ingen inde enegi i ateialet; de e ingen inde dissipation. Dette e i odstid ed, at konene i jod å foodes at glide på hinanden unde udvikling af fiktionsvae. Man finde ligeledes fo et fiktionsateiale, at det altid få en voluenudvidelse ved bud hvis noalitetsbetingelsen gælde. Ved ålinge finde an ikke altid en sådan voluenudvidelse. Dette kan skyldes, at de indtæffe lokaliseing, dvs. at buddet ske i sale zone, flydezone, således at voluenudvidelsen e koncenteet i disse zone og defo ikke optæde i pøven so helhed. Konstitutive ligninge, de ikke foudsætte gyldigheden af noalitetsbetingelsen, e unde udvikling. De e i eglen kopliceede og beegninge kan, selv i siple tilfælde, kun udføes vha. edb. En af disse teoie, den såkaldte kitiske tilstands teoi (engelsk: citical state theoy), gå ud fa den antagelse, at en given konængde ved endeligt bud altid ende i en og sae tilstand, den kitiske tilstand, f.eks. kaakteiseet ved poevoluenet, de e en entydig funktion af iddelspændingen. En belastning kan f.eks. kaakteisees ved spændingskoponentenes afvigelse fa iddelspændingen (deviationsspændingene). De å skelnes elle budfosøg hvo poevandet uhindet kan folade pøven, et såkaldt dænet bud og fosøg, hvo poevandet holdes konstant, et såkaldt udænet bud. Spændingene ved et dænet bud åles ved de kæfte, de vike ellekonene, de såkaldte effektive spændinge. Fo et udænet bud åles spændingene ved de totale spændinge, dvs. suen af konspændinge og poevandstykket. Hvis poevoluenet i udgangssituationen e inde end svaende til den kitiske tilstand vil belastningen opnå en aksiusvædi, hvoefte den falde og ende ed at væe otent konstant unde voksende defoatione. Denne konstante last svae til den kitiske tilstand. Botset fa i staten af fosøget vil voluenet vokse indtil 4 BYGDTU

23 kitisk tilstand nås, hvoefte det vil væe otent konstant. De ske oftest lokaliseing. Hvis poevoluenet e støe end svaende til den kitiske tilstand, vil belastningen stige jævnt og voluenet vil i begyndelsen aftage, en pøven vil ende i den sae kitiske tilstand so ved fosøget hvo poevoluenet e inde end svaende til den kitiske tilstand. De ske sjældent lokaliseing. Last-defoationskuven vil altså i begge tilfælde ende ed en vandet gen svaende til næest pefekt plastisk opføsel. Maksial last indtæffe ved tøjninge af støelsesodenen %, ens den kitsike tilstand føst nås ved tøjninge af støelsen 0%. Budbetingelsen ved dænet bud svae til et ent fiktionsateiale. Noalitetsbetingelsen e ikke opfyldt, da defoationene i den kitiske tilstand ske unde voluenkonstans. Fo et udænet fosøg svae den kitiske tilstand til udgangstilstanden. Ved bud kan den totale iddelspænding vaiee ved at poevandstykket vaiee, ens konspændingene ikke vaiee. Budbetingelsen svae defo til, hvad vi senee vil definee so et ent kohæsionsateiale, de ved bud defoees unde voluenkonstans. Noalitetsbetingelsen vil defo væe opfyldt. Ved hjælp af den kitiske tilstands teoi kan an defo udføe fuldstændigt koekte beegninge både hvad angå defoatione ved bud og hvad angå spændingstilstanden ved bud vha. teoie fo pefekt plastiske ateiale, nå de deje sig o udænet bud. Fo dænet bud blive beegningene ikke koekte, dog gælde det, at en øvevædiløsning stadig e en gyldig øvevædi. Nedevædie behøve deiod ikke at væe koekte. En intoduktion til den kitiske tilstands teoi kan ses i [78.3], [9.] og [93.]. Pga. de stoe beegningsvanskelighede de fekoe, nå noalitetsbetingelsen ikke gælde, e det endnu ikke alindeligt at tage hensyn til ovenstående fohold i paksis. De e da også genne åtie opnået et stot efaingsateiale ht. anvendelse af teoie fo det pefekt-plastiske ateiale, ifølge hvilke an kan konkludee, at pobleene ed noalitetsbetingelsens anglende gyldighed ikke spille nogen støe paktisk olle ved beegning af bæevnen. Ved benyttelse af plasticitetsteoi på jodpoblee anvendes so egel Coulob s budbetingelse so flydebetingelsen fo jod. Coulob s budbetingelse sige at foskydningsbæeevnen, i et snit hvo flydning e opnået, vaiee lineæt ed noalspændingen so snittet e belastet ed. Dette udtykkes vha. to konstante, fiktionsvinklen og kohæsionen c. Se næee heo i afsnit.3.3. Geneelt å det antages at jod, pga. lagdelinge, vaieende konstøelse og pakning v. e et anisotopt og inhoogent ateiale. Udvikling af analytiske løsninge, so edtage disse fohold, vil hutigt vise sig at væe sædeles kopliceet selv ved de sipleste ekseple på jodtykspoblee. I paksis siplificees pobleet ved at antage at joden e isotop og hoogen, idet de BYGDTU 5

24 foudsættes anvendelse af konsevative stykepaaete. I denne afhandling behandles således også kun løsninge fo isotope og hoogene ateiale uden lagdeling. Ved beegning af en støtteu siplificees pobleet endvidee ved at antage plan defoationstilstand, dvs at væggen i teoien e uendelig lang, således at tøjningene på tvæs vil væe nul. I Danak ha an tadition fo at koigee fiktionsvinklen fo plane tilfælde, dvs. at de inføes begebene den plane fiktionsvinkel pl og den tiaksiale fiktionsvinkel t. Den tiaksiale fiktionsvinkel e so egel den so findes ved laboatoiefosøg. I Danak egnes den plane fiktionsvinkel 0% støe end den tiaksiale fiktionsvinkel. Da en støtteu kan udføes ed foskellige oveflade, e det nødvendigt at tage hensyn til ovefladens uhed. Denne vil væe defineet ved en vægfiktionsvinkel, so svae til jodens fiktionsvinkel. Vægovefladens foskydningsbæevne i det tilfælde hvo noalspændingen på uen e nul betegnes adhæsionen a. I denne afhandling foudsættes endvidee at foholdet elle tangens til jodens fiktionsvinkel og tangens til vægfiktionsvinklen og foholdet elle jodens kohæsion og adhæsion e ens. Jodtykket på en støtteu afhænge af o jodtykket edvike til elle odvike et bud. I føste tilfælde, hvo joden edvike til bud, vil joden pesse støtteuen til bud og de vil dannes det såkaldte aktive jodtyk. I sidste tilfælde hvo joden odvike et bud, vil støtteuen blive pesset ind i joden, og de vil blive dannet det såkaldte passive jodtyk. Nedenstående figu vise et typisk foløb fo jodtykket so funktion af den elative bevægelse af væggen i fohold til joden. Det ses at de e betydelig foskel på det aktive jodtyk, betegnet E a og det passive jodtyk, E p. Gunden til den stoe foskel elle tykkene ligge i jodens foskydningsbæeevne. Denne vil altid odvike bevægelsen i joden. Dvs. at ved aktivt jodtyk odvike joden den bevægelse ind od uen so buddet febinge, heved fås den indst ulige last på uen, det aktive jodtyk. Ovendt såfet uen pesses ind i joden, vil jodens fodkydningsbæeevne odvike denne bevægelse og esultee i et askialt tyk på uen, det passive jodtyk. 6 BYGDTU

25 Figu.: Eksepel på jodtyk so funktion af den elative bevægelse af støtteu. e og e effektive spændinge, hhv. jodtyk og lodet spænding. K 0, K a og K p e de såkaldte jodtykskoefficiente fo hhv. hviletyk, aktivt tyk og passivt tyk. Figuen e taget fa Bent Hansen, Geoteknik og fundeing, del, [78.], figu 3A. Aktive og passive jodtyk kæve elative bevægelse af uen i fohold til joden. En bevægelse af denne støelse vil an so egel kun tillade i en budtilstand. Ved analyse af anvendelsestilstanden benytte an det såkaldte hviletyk, so e defineet so jodtykket i tilfældet hvo de ikke e nogen elativ bevægelse elle u og jod. Anvendelsestilstand og hviletyk på ue e ikke behandlet i denne afhandling. Analysen e dog sædeles elevant fo konstuktione, so kun tillade så defoatione, f. eks uaeede kældevægge. Da foskellen elle det aktive og passive jodtyk ligge i fotegnet fo foskydningsspændingene, vise det sig i de analytiske løsninge, at foskellen elle de to løsninge kan udtykkes ved fotegnet fo fiktionsvinklen og kohæsionen, de so nævnt beskive foskydningsbæeevnen i joden. Nå nedevædisætningen benyttes ved besteelse af aktivt jodtyk skal an søge indste vædi af jodtykket fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nå øvevædisætningen anvendes til besteelse af aktivt jodtyk skal an søge støste vædi fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nedevædisætningen give uiddelbat ulighed fo besteelse af jodtyksfodelinge. Ved øvevædiløsninge kan jodtyksfodelingen kun bestees i specielle tilfælde. Plasticitetsteoien foudsætte ubegænset flydeevne, en foudsætning de e udæket opfyldt fo ange jodate. BYGDTU 7

26 Bæeevnen bestet vha. plasticitetsteoien svae til den støste last, de kan findes fo en given flydebetingelse. Såfet noalitetsbetingelsen ikke gælde, fås altså en bæeevne, de e inde end evt. lig ed plasticitetsteoiens bæeevne. En gundig gennegang af plasticitetsteoien defineet so ovenfo e beskevet i Mekanik., del [00.]..3 Nedevædiløsninge So nævnt i afsnit. kæve nedevædiløsninge at ligevægtsbetingelsene tilfedsstilles. I det følgende angives disse fo to siple koodinatsystee, ektangulæe koodinate og polæe koodinate..3. Ligevægtsbetingelse De inde ligevægtsbetingelse findes ved at udtykke ligevægten af et infinitesialt eleent. Ligninge opskives he fo vægtløs jod, se [9,]..3.. Rektangulæe koodinate Det infinitesiale eleent e he begænset af et ektangel, so e oienteet efte de to koodinatakse. Støelsen af ektanglet e givet ved sidelængdene dy og dx, so angivet i figu.. Spændingskoponentenes positive etninge svae til koodinataksene i snit ed koodinataksene so udadgående noale. Betegnelsene, so fegå af figuen, e hhv. x, y, xy og yx. Fotegnsegningen indebæe, at tæknoalspændinge egnes positive. Den ænding, f.eks. af x, de x optæde ove afstanden dx, kan skives so dx plus højee odens led. Den x x esulteende spænding blive heved x dx. Tilsvaende betagtninge kan x gøes fo y, xy og yx. 8 BYGDTU

27 dy y x xy x y y dy y dx y yx yx yx dy y x x dx x xy xy dx x Figu.: Ligevægtsbetingelse i ektangulæe koodinate Rotationsligevægt o eleentets idtpunkt: xy yx 0 xydy dx yxdx dy xy dx dy dx yx dy dx dy x y (.) yx xy Da således udtykkes ligevægtsligningene noalt kun ved en af yx støelsene, f.eks. xy. Pojektion langs x-aksen: x xdy x dxdy x xy yx dx yx yx y dy dx 0 Idet (.) benyttes fås: x xy 0 x y (.) Pojektion langs y-aksen: y ydx y dy dx y xy dy xy xy x dx dy 0 BYGDTU 9

28

29 BYGDTU Pojektion på -etning: 0 dd d d d d d d d d Idet (.4) e benyttet fås: 0 (.5) Radiæ pojektion: 0 dd d d d d d d d 0 (.6).3. Tansfoationsfole I en plan spændingstilstand findes altid to på hinanden vinkelette snit, hvo foskydningsspændingene e nul. Disse snit kaldes hovedsnit. Noalspændingene i hovedsnittene kaldes hovedspændinge. I hovedsnittene findes støste og indste noalspænding. Man ha natuligvis ofte bug fo spændingene i ande snit end i snittene høende til et bestet koodinatsyste. Fole, de føe en spændingstilstand fa et koodinatsyste til et andet betegnes tansfoationsfole. Tansfoationsfolene fa et hovedsaksesyste til et vilkåligt x,y-syste lyde sin cos sin sin cos xy y x (.7) He e og 3 hovedspændingene, og e vinklen elle snittet ed og et snit vinkelet på x-aksen, egnet positiv i x,y-planens positive oløbsetning. Punktene ( x, xy ) og ( y, - xy ) ligge på en cikel ed diaeteen e - 3, nå genneløbe intevallet 0 til elle. He foudsættes, at e den støste hovedspænding. Ciklen kaldes Moh s cikel. Tansfoationsfole, de ikke foudsætte, at det ene koodinatsyste e et hovedaksesyste, kan f.eks. findes i Mekanik., del [9.].

30 .3.3 Flydebetingelsen Flydebetingelsen angive, so nævnt i afsnit., de spændingskobinatione, de kan føe til flydning, dvs. at de plastiske tøjninge kan vokse ubegænset uden at spændingene ænde sig. Fo jodate benyttes ofte den siplest tænkelige flydebetingelse, Coulobs flydebetingelse. Efte denne ske flydning, nå foskydningsspændingen i et snit antage en vædi, de e bestet af en paaete, kohæsionen c, plus et led de e popotionalt ed tyknoalspændingen i snittet. Popotionalitetsfaktoen betegnes fiktionskoefficienten. Flydebetingelsen e defo c, idet vi, so nævnt tidligee, egne spændinge positive so tæknoalspændinge. Vinklen defineet ved tan betegnes fiktionsvinklen. Flydebetingelsen kan altså skives c tan (.8) Relationen c tan festille i et,-koodinatsyste to ette linie, de ha hældningen tan, og so afskæe stykkene c af -aksen. Vha. Moh s cikel e det defo let at afgøe, o en spændingstilstand kan give flydning. Hvis den støste Moh s cikel tegnet ove diaeteen - 3, hvo e støste og 3 e indste hovedspænding, netop øe flydebetinglsen kan de ske flydning. Hvis Moh s cikel ligge inden oådet begænset af flydebetingelsen kan de ikke ske flydning. Spændingstilstande svaende til Moh s cikle ed punkte uden fo flydebetingelsen kan ikke foekoe. I et punkt vil de altid væe to snit, i hvilke spændingene tilfedsstille Coulobs flydebetingelse. Snittene danne vinklen 90- ed hinanden og betegnes flyde- elle budsnittene. Coulobs flydebetingelse kan udtykkes på hovedspændingsfo, idet den beskive et isotopt ateiale. Heo henvises til f.eks. Mekanik., del [00.]. Jodate ha noalt inge elle ingen tækstyke. Coulobs flydebetingelse bude defo supplees ed en afskæing svaende til tækstyken ligeso det gøes f.eks. fo beton. Dette vil ikke blive gjot i det følgende. Vi vil i stedet foudsætte, at de kun abejdes ed spændingstilstande, hvo alle hovedspændinge e tyk evt. nul. Mateiale, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kaldes Coulob ateiale. Ved plane defoationstilstande e hovedspændingene i planen og 3 hhv. støste og indste hovedspænding. Den tedje hovedspænding ligge elle disse vædie. Ved plan defoationstilstand skal den støste Moh s cikel altså tegnes ed diaeteen - 3 ( > 3 ). Coulobs flydebetingelse e ikke altid sælig nøjagtig fo jodate. Fo udænet bud kan an so nævnt egne fiktionsvinklen til nul og ed en kohæsion, de svae til poøsiteten. He e Coulobs budbetingelse eget nøjagtig. Fo kohæsionløse ateiale, såkaldte fiktionsateiale, finde an ofte fo så spændinge en ku BYGDTU

31 kuve i et,-koodinatsyste. Hulheden vende od -aksen. Pobleene beøes kot i kapitel 3. En spændingstilstand, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kan natuligvis angives i et etvinklet koodinatsyste, f.eks. et n,t-syste. Vi lade n-aksen væe noal til det ene snit, i hvilket flydebetingelsen e opfyldt. Moh s cikel e vist i figu.4. nt t n = c tan n c cot - n nt cot nt c cot Figu.4: Flydebetingelsen fo Coulob ateiale So det ses e de to løsninge, og, fo henholdsvis positiv og negativ vædi af foskydningsspændingen nt. Fotegnet på foskydningsspændingen indvike dog ikke på støelsene af n og t. Ved at benytte de geoetiske støelse angivet i figu.4 fås følgende saenhænge ielle spændingene: nt c t tan tan c tan nt t c cot t n n tan tan ctan t n n BYGDTU 3

32 Heved fås endelig følgende saenhænge ielle spændingene, hvo n = e den eneste ubekendte. n tan ctan (.9) t c tan nt.3.4 Rankine zonen I Rankine zonen e etningene fo de to snit, hvo flydetingelsen e opfyldt, konstante. De to snit kan defo beskives ved to sæt af paallelle linie, se figu.5. y 90+ x Figu.5: Rankine zonen I figu.5 e x-aksen so vist oienteet langs en af disse ette linie, og y-aksen e vinkelet hepå. Heved give flydebetingelsen følgende saenhæng ielle spændingene i x,ykoodinatsysteet: tan ctan x y (.0) c tan xy 4 BYGDTU

33 Indsættes disse spændinge i ligevægtsligningene (.) og (.3) fås: x xy 0 x y tan tan 0 (.) x y y xy y x 0 tan 0 (.) y x Hvis sidste ligning (.) ultiplicees ed tan og addees til (.) ses, at 0. Af (.) ses, at så e også 0. Dette betyde, at den eneste løsning fo x y Rankine zonen e: k (.3) hvo k e en konstant. k å natuligvis ikke foveksles ed konstanten k høende til Coulobs budbetingelse. Jf. f.eks. (.56). Udfa figu.4 ses, at k c cot. Heved fås at spændingstilstanden fo en Rankine zone kan skives: tan k ctan x y k (.4) c k tan xy I fiktionsløs jod fås løsningen: x k y k (.5) xy c hvo k e en abitæ konstant..3.5 Pandtl zonen Pandtl zonen fekoe ved, at snit langs adie fa et punkt opfylde flydebetingelsene. Ved at indføe et polæt koodinatsyste ed begyndelsespunkt i dette punkt, opfyldes flydebetingelsen altså i snit langs adie. Coulobs flydebetingelse sige, at et tilsvaende snit, de opfylde flydebetingelse, vil ligge BYGDTU 5

34 unde en vinkel på ed de adiæe snit (kun et fotegn benyttes). De dannes heved linie, de følge spiale, hvo snit opfylde flydebetingelsen, se figu.6. Spialen kan vende begge veje, hvilket esultee i besteelse af fotegn fo foskydningsspændingen. Figu.6: Pandtl zonen I et lokalt n,t-syste ed n-aksen i -etningen e spændingstilstanden kaakteiseet ved tan ctan (.6) c tan Ved indsættelse af (.6) i de polæe ligevægtsbetingelse (.5) og (.6) fås: 0 c tan tan 0 (.7) 0 tan ctan tan tan 0 (.8) Multiplicees (.7) ed tan og addees til (.8) fås 0 (.9) 6 BYGDTU

35 e altså konstant langs adiene. Ligning (.7) give heefte c tan 0 (.0) de ha løsningen tan ke c cot (.) hvo k e en konstant. Heved fås at spændingstilstanden fo fiktionsjod i en Pandtl zone e bestet ved: tan c cot ke tan tan ke c cot (.) k tane tan Idet c cot ifølge flydebetingelsen i figu.4, betyde det at k endvidee å væe en positiv konstant. Da de ikke kan findes nogen gænsevædi fo gående od nul, kan løsningen ikke buges fo fiktionsløs jod. Løsningen fo fiktionsløs jod findes ved indsætte ligningene (.6) i ligevægtsbetingelsene, idet fiktionsvinkelen sættes lig ed nul. Af (.6) fås: (.3) c Ligevægtsligningene give: c 0 (.4) f (.5) c hvo f e en abitæ funktion af. 0 f 0 (.6) (.7) Dvs. f e en konstant so benævnes k. Heved blive løsningen fo spændingen : c k (.8) BYGDTU 7

36 Spændingstilstanden i en Pandtl zone fo fiktionløs jod blive heved: c k c k (.9) c hvo k e en abitæ konstant..4 Øvevædiløsninge So nævnt i afsnit. abejdes de ved besteelse af øvevædiløsninge ed geoetisk ulige flytningstilstande. De geoetiske betingelse, de skal tilfedsstilles, afhænge af hvilke vaiable de benyttes, se det følgende. Øvevædie fo popotionalbelastning bestees vha. abejdsligningen, hvo det yde abejde sættes lig ed dissipationen fo det pågældende geoetisk ulige flytningsfelt..4. Geoetiske betingelse Hvis en geoetisk ulig budfigu fastlægges ud fa en valgt flytningstilstand skal følgende geoetiske betingelse væe opfyldt: ) De geoetiske andbetingelse fo flytningsfeltet skal væe opfyldt. ) De tøjninge, de svae til flytningene, skal opfylde noalitetsbetingelsen. Hvis de tages udgangspunkt i tøjningene skal tøjningene vælges således, at de til tøjningene svae en geoetisk ulig flytningstilstand, dvs. tøjningstilstanden skal gøe det uligt at tilfedsstille de geoetiske andbetingelse. Tøjningene kan ikke vælges vilkåligt. Til en foelagt tøjningstilstand svae kun en geoetisk ulig flytningstilstand, hvis de såkaldte kopatibilitetsbetingelse e tilfedsstillet. Følgende betingelse skal således væe opfyldte: ) Kopatibilitetsbetingelsene ) Tøjningene skal tilfedsstille noalitetsbetingelsen. Fo plane defoationstilstande e de kun én kopatibilitetsbetingelse. Ved. kopatibilitetsbetingelse i uet, se Mekanik., del [9.]. I det følgende udtykkes kopatibilitetsbetingelsen i ektangulæe og polæe koodinate. Kopatibilitetsbetingelsen udledes noalt ent ateatisk ved at kæve at en integand skal væe et totalt diffeential, se f.eks. Mekanik., del [9.]. Denne betingelse kan opskives på en ee anskuelig åde so vist i det følgende. 8 BYGDTU

37 .4.. Rektangulæe koodinate Flytningene i ektangulæe koodinate betegnes hhv. u x og u y. I figu.7 e flytningsfeltet illusteet i oegnen af et punkt. Flytningen e u x fo punkt i x- u x aksens etning. Flytningen af punkt i x-aksens e u x dx plus højee odens x led. Tilsvaende fohold gælde ved. flytningen u y. x dx y u x u x dx x dy u y u x u y u y dx x 3 u x u x dy y 4 u y u y dy y Figu.7: Flytningsfelt i ektangulæe koodinate Udfa de i figu.7 viste flytninge fås følgende noal- og tvætøjninge: u x u x u x x dx x (.30) 3 u y u y u y y dy y (.3) u y u y u y xy dx x (.3) 3 u x u x u x yx dy y (.33) hvo e en vilkålig otation af legeet. Vinkelændingen xy kan findes so suen af de to tvætøjninge: BYGDTU 9

38 0 BYGDTU x u y u y u x u y x x y yx xy xy (.34) Kopatibilitetsbetingelsen findes ved at kæve at flytningsbesteelsen skal væe uafhængig af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u x og u y ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u x x x x x x x x x 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx yx x yx x yx x x y yx x (.35) dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u y y y y y y y y y 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx y xy y xy y xy x y y xy (.36) Rotationen eliinees heefte af ligningene (.35) og (.36). Eliineingen ske ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis y og x i de to ligninge: y x y x y x y yx yx x (.37) x x y x y x y y xy xy (.38) Heved fås følgende kopatibilitetsbetingelse: x x y y x y y xy yx x Indføes at vinkelændingen xy e suen af tvætøjningene fås : x y y x y x xy (.39)

39 Betingelsen (.39) e, so den e udledt, en tilstækkelig betingelse fo kopatibilitet. At (.39) også e en nødvendig betingelse fås uiddelbat ved at vise, at nå tøjningene udtykkes ved flytningene e esultatet i (.39) en identitet..4.. Polæe koodinate De geoetiske betingelse i polæe koodinate findes fo et infinitesialt eleent so vist i figu.8. d u u d u u d u d 4 u d 3 u u u u d d Figu.8: Flytningsfelt i polæe koodinate Ved opskivning af tøjningene skal an væe opækso på, at flytningsvektoene ænde etning i det polæe koodinatsyste. De koe defo flee bidag til den salede flytning i en etning. Ved pojektion af flytningene benyttes følgende appoksiation, idet eleentet e infinitesialt: sin( d ) d (.40) cos( d ) Heved fås følgende noal- og tvætøjninge i polæe koodinate: 3 u u u d (.4) u u d u u u d (.4) u u d u u u d (.43) BYGDTU

40 BYGDTU u d u u 3 (.44) So fø e otationen af legeet. Vinkelændingen fås til: u u u u u u (.45) So ved ektangulæe koodinate findes kopatibilitetsbetingelsen ved at kæve at flytningsbesteelsene skal væe uafhængige af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u og u i punkt "4", ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.46) d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.47) Rotationen eliinees af ligningene (.46) og (.47) ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis og i de to ligninge: (.48)

41 BYGDTU 3 (.49) Heved fås den tilstækkelige kopatibilitesbetingelse: (.50) At betingelsen e nødvendig vises so fo ektangulæe koodinate..4. Flydelov (noalitetsbetingelse) Iht. noalitetsbetingelsen, se afsnit., e tøjningsvektoen svaende til de plastiske tøjningstilvækste en udadettet noal til flydefladen. I et,-koodinatsyste, se figu.9, fås følgende fohold: De tøjningsstøelse, de svae til hhv. og, e længdetøjningen og vinkelændingen.,, (,) Figu.9: Noalitetsbetingelsen fo et Coulobateiale Noalitetsbetingelsen e illusteet i figu.9. Længden af en noal e betegnet og vi se, at cos sin (.5)

42 I en spids foudsættes i plasticitetsteoien, at tøjningsvektoen kan ligge vilkåligt i det vinkelu, de dannes af noalens gænsestillinge, nå an næe sig spidsen ad de to ulige veje. Spidsen i Coulobs flydebetingelse vil dog ikke blive behandlet næee, da vi, so nævnt tidligee, foudsætte at alle spændingstilstande svae til tyknoalspændinge. (0,-½) 3 ½ (,½) Figu.0: Moh s cikel fo tøjningene ved flydning. Tøjningstilstanden e illusteet vha. Moh s cikel i figu.0. Det ses at de ikke e noaltøjninge i de snit, i hvilke Coulobs flydebetingelse e opfyldt, flydesnittene elle budsnittene. Udfa figu.0 findes iddeltøjningen og adius R i Moh s cikel til: sin (.5) R (.53) cos Heved kan hovedtøjningene findes: sin 3 (.54) Det ses, at suen af hovedtøjningene e positiv, hvilket betyde, at de e tale o voluenudvidelse (dilatation), undtagen nå =0. Hovedspændingene og hovedtøjingene e saenfaldende således so det altid vil væe tilfældet fo et isotopt ateiale. Hovedspændingene kan f.eks. bestees vha. figu.4. Man finde: (.55) k k c cot 3 4 BYGDTU

43 c tan u

44 Figu. vise en flydelinie elle to oåde. Det nedeste oåde ha ingen flytning, det øveste ha flytningen u. Vha. (.5) ses, at u å danne vinkelen ed flydelinien. Heved blive =u sin og =u cos (=u). Dissipationen p. længdeenhed af flydelinien blive da W l ub c cos (.59) hvo b e tykkelsen på tvæs. 6 BYGDTU

45 3 Beækninge o den vikelige flydebetingelse Denne afhandling tage so nævnt udgangspunkt i det pefekte Coulob ateiale. Jod e dog, so ethvet andet ateiale, langt fa pefekt. Af uiddelbae ipefektione kan nævnes lagdeling, vaieende konstøelse heunde også konfodelingen, vaieende konfo, vaieende poøsitet og vandætning. Alle tænkelige paaete ha en vis indvikning på styken af joden. Skal an tage hensyn til alle disse paaete ved udvikling af en jodtyksteoi, vil an hutigt opdage, at an fo længst e nået til det punkt, hvo selv den sipleste beegning e uulig. Det e defo nødvendigt at have en sipel definition af styken på joden, f.eks. Coulobs flydebetingelse. Nå det e sagt, å an så også acceptee, at denne flydebetingelse i ekstee tilfælde kan væe langt fa sandheden. Coulobs flydebetingelse vil i et -, -koodinatsyste beskive en et linie. Den egentlige flydebetingelse ha ofte et kut foløb. I figu 3. e en typisk flydebetingelse fo sand optegnet. Det beækes at gå od nul fo gående od nul. Sand ha deed en eget lille foskydningsbæeevne fo så tyknoalspændinge, dvs. at den eelle kohæsion e tæt på nul. Benyttes en lineaiseing til besteelse af flydebetingelsen, vil den bedste tilpasningskuve væe en linie so tangee den eelle flydebetingelse fo stoe tyknoalspændinge. Man å heved acceptee, at afvigelsen fa den eelle flydebetingelse fo så noalspændinge blive elativt sto. Begebet den tilsyneladende kohæsion benyttes ofte i fobindelse ed lineaiseingen, idet den fundne kohæsion svaende til Coulobs flydebetingelse ikke beskive den eelle fyldebetingelse. Reel flydebetingelse c Figu 3.: Eksepel på en ku flydebetingelse BYGDTU 7

46 I laboatoiet bestees Coulobs budbetingelse ved at de udføes fosøg so bestee punkte på flydebetingelsen. Disse fosøg udføes enten ved shea box fosøg elle ved tiaksiale fosøg. Ud fa disse fosøgsesulate kan den tilnæede flydeflade bestees. En næee beskivelse af besteelsen af stykepaaetene og c kan f.eks. findes i [78,]. Makfosøg e beskevet i [90,]. Det beækes desuden, at de kan væe foskel på den vædi af fiktionsvinklen, de bestees vha. fosøg ed plan defoationstilstand og tiaksiale fosøg. Den plane vædi kan i paksis ansættes 0% støe end den tiaksiale vædi. I tilfælde af sand ses de i paksis bot fa kohæsionen. I tilfælde af le udføes beegninge i det udænede og dænede tilfælde. Det udænede tilfælde beskive tilfældet, hvo belastningen opbygges hutigee end oveskudsvand kan botdænes. Flydebetingelsen beskives ved den udænede foskydningsstyke c u. Fo dænet le, dvs. i tilfældet hvo ateialet nå at konsolidee, kan flydebetingelsen beskives ved den effektive fiktionsvinkel og den effektive kohæsion c. Heved fås de te pincipielle flydebetingelse so vist i figu 3. til 3.4. Disse beskive jods styke tilnæet vha. Coulobs flydebetingelse. Figu 3.: Flydebetingelse fo sand 8 BYGDTU

47 c u Figu 3.3: Flydebetingelse fo udænet le c Figu 3.4: Flydebetingelse fo dænet le BYGDTU 9

48 30 BYGDTU

49 4 Eksakte løsninge uden hensyntagen til egenvægt I det følgende gennegås kot de kendte eksakte løsninge fo jodtyk på vægge elle støtteue. De skyldes Rankine (857) og Pandtl (90 og 97) og kan f.eks. ses i [53.]. I det følgende angives såvel en spændingstilstand so en flytningstilstand, de opfylde alle betingelse. Fouden de i det foegående indføte betegnelse benyttes: A c : Totale dissipation p. enhedstykkelse. A p : Abejde p. enhedstykkelse fa jævnt fodelt spænding. p oveflade Støtteu, væg Figu 4.: Pincipskitse af støtteu Fo alle løsninge gælde at væggen e lodet og at vinklen elle væg og oveflade e et so vist i figu 4.. Ovefladen e påviket af lasten p (tyknoalspænding). Hvis spændingene i joden skal svae til tykspændinge, å p nødvendigvis væe en positiv tykspænding. I øvevædiløsninge edtages jodtykkets abejde so abejdet fa en yde last Q. Jodtykket bestees ved at diffeentiee Q ht. en lodet koodinat. Abejdet fa Q betegnes A Q. Det søgte jodtyk betegnes q (q p, q c etc.). I en væg ed topplade e flytningene nul på ovefladen i etningen paallel ed ovefladen. Fo jod ed kohæsion antages det, at ovefladelasten e støe end jodens tykstyke. BYGDTU 3

50 4. Støtteue i kohæsionsjod 4.. Glat væg u 0 y x Q Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. De indlægges det i figu 4. viste x,y-koodinatsyste, de e dejet 45 i fohold til væg og jodoveflade. Tøjningstilstanden e en vinkelænding i x,y-systeet. Heved e noalitetsbetingelsen tilfedsstillet. Flytningen e nul langs en linie unde 45 ed væg udgående i afstanden 0 fa skæingspunktet elle væg og den vandette oveflade. Støelsen u 0 e den vandette flytning i koodinatsysteets begyndelsespunkt. De e flytningsdiskontinuitete i vægetningen langs væggen. De give iidletid ikke noget bidag til dissipationen, da væggen e glat. Flytningsfeltet blive heved: u x 0 x u y u 0 0 Tøjningstilstanden blive: u x x 0 x u y y 0 y u u x y u 0 xy y x 0 3 BYGDTU

51

52 Nedevædiløsning. Vi antage, idet k e en konstant, de kun afhænge af ovefladelasten p, at: k x y og at: xy c p c 45 c y x Figu 4.3: Betegnelse fo spændinge fo et punkt på ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.3, give: p c x x, y x y x, y x 0 dvs. p c k 0 de føe til k p c Heved fås spændingene p c x p c y xy c de uiddelbat ses at tilfedsstille ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen. 34 BYGDTU

53 y 45 c q x Figu 4.4: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.4, give: 0 q c x x y x y y Heaf findes q c p c p c elle q p c 0 0 Løsningen e altså den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt. 4.. Ru væg u 0 y 0 Q 0 x Figu 4.5: Betegnelse fo flytninge BYGDTU 35

54

55 Ovefladelastens abejde e: A p p 0 u 0 p0u 0 Abejdet fo kaften Q i afstanden 0 fa ovefladen e: u 0 Q A Q Abejdsligningen få da følgende udseende: A A A p dvs. Q c 4 u 0Q p0u 0 c0u 0 Heaf findes: Q p c Jodtykket q blive dq q p c d0 4 I analogi ed det foanstående tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c p c konstant, dvs. 4 q p c Nedevædiløsning. c c Spændingstilstand i felt e so fo glat væg, dvs.: p c x p c y xy c Ovegangbetingelse ielle felt og (y=0, x=), give defo: x, y 0 p x c x, y p c 0 y xy c BYGDTU 37

56 Vi sætte fosøgsvis i felt :, c k Randbetingelsen fo føe da til betingelsen: 4, c k p c 4 de give k p c c Heved blive:, c p c Med = og =c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet ovealt. Endelig kan jodtykket q bestees ved: q, 0 p c Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Løsningen e defo eksakt Ru væg, topplade Med topplade fostås at de tillades oveføelse af foskydningsspændinge elle jodovefladen og toppladen. Denne foskydningsspænding vil natuligvis bevike, at toppladen vil få en esulteende vandet kaft, so skal optages af konstuktionen fo at sike en global ligevægt. Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.6: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.6. Vi sætte fosøgsvis i hele oådet.: u 0 38 BYGDTU

57

58 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c c p c konstant, dvs. c Jodtykket blive defo: q p c Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, c k Randbetingelse fo : p, c k p k c p Heved blive:, c p Med og c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. Jodtykket q blive: q, 0 p c 40 BYGDTU

59 4. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod 4.. Glat væg 0 Q 0 u 0 y x 4 4 Figu 4.7: Betegnelse fo flytninge 4 Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.7. Flytningene e nul langs en linie fa bunden af væggen unde vinklen ed væggen. En linie genne 4 koodinatsysteets begyndelsespunkt unde vinklen ed væggen otee o 4 dens skæingspunkt ed den otalte linie unde vinklen ed væggen. Heved 4 blive flytningstilstanden: u x 0 u0 x y u y cos cos tan cos 4 4 de svae til tøjningene: u x x 0 x u y u0 y tan y 0 u u x y u0 xy y x 0 BYGDTU 4

60

61 Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, se foel (.0): tan k ctan x y k c k tan xy Heved e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. p xy 4 xy y x Figu 4.8:Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.8, give: p x cos y sin 4 4 Betingelsen kan skives: sin cos 4 4 xy tan k ctan sin k sin c k tan p Løses ligningen ht. k fås: p ctan sin c cos k p sin c cos tan sin sin cos BYGDTU 43

62 q 4 y xy xy x Figu 4.9: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.9, give: q x sin y cos 4 4 sin sin 4 4 xy Betingelsen kan skives: q tan p sin c cos ctan sin p sin c cos sin c p sin c costancos Løses ligningen ht. q fås: sin sin q p c sin cos Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Den e defo eksakt. 44 BYGDTU

63 4.. Ru væg 0 Q 0 u 0 y x 4 Figu 4.0: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.0. I analogi ed flytningstilstanden i afsnit 4.. sættes fosøgsvis i felt : u 0 tan u u e tan e 0 0 Tøjningene i felt blive heved: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. (.5). Heved blive noalitetsbetingelsen tilfedsstilet. Fo og y=0 e u y =u (=x) og u x =u. 4 Følgende flytningstilstand i felt opfylde denne betingelse: u x 0 u y u e tan e x tan 4 e y tan 4 0 tan BYGDTU 45

64

65 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q q p c p c cot c tan sin pe tan Jodtykket blive defo: q konstant, dvs. sine tan sin pe c cot sin Nedevædiløsning. e p konstant, dvs. tan Spændingstilstand i felt egnes uændet so fo glat væg: tan p sin c cos ctan sin c cos p sin c costan x y xy p c Ovegangbetingelse ielle zone og (y=0, x=): x, y 0 tan p sin c cos c ctan x, y 0 p sin c cos x, y 0 c p sin c costan x y xy I felt sættes, jf. foel (.): tan, c cot ke Spændingene og fegå også af foel (.). Ovegangsbetingelsene ielle felt og felt blive nu: 4, c cot ke 4 de give k p tan tan tan p sine e sinc cot hvoved vi finde tan sin c cos tan tan, c cot p sine e sinc cos e BYGDTU 47

66 Det ses at ligevægtsbetingelsene, ovegangsbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, p sine e sin c cot 0 Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt Ru væg, topplade Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.. I analogi ed det foegående afsnit sættes:: u 0 tan u u e tan e 0 0 Heved blive tøjningene: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. foel (.5). Noalitetsbetingelsen e altså tilfedsstilet. 48 BYGDTU

67

68 Randbetingelse: ; p tan, ke c cot p tan k p c cot e Heved blive:, p c cot e tan tan e c cot So ovenfo ses, at ligevægtsbetingelsene, andbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, 0 pe c cot e Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. den e eksakt. 50 BYGDTU

69 5 Diskontinuitetslinien. I det følgende udvikles en ny jodtyksteoi, so benytte sig af spændingsdiskontinuitetslinie. En spændingsdiskontinuitetslinie e, so navnet sige, en linie elle en kuve langs hvilken spændingene ikke e kontinuete. I plasticitetsteoien folanges langs sådan en linie kun, at loven o aktion og eaktion e opfyldt. I figu 5. kæves defo n n og nt nt ens t kan væe foskellig fa. t I nedevædiløsninge skal spændingene natuligvis tilfedsstille ligevægtsbetingelsene på begge side af diskontinuitetslinien. t () () n () nt () nt () () t nt n t () t () nt () nt () nt () n t () diskontinuitetslinie Figu 5.: Spændingsdiskontinuitetslinien I et,-koodinatsyste vil de to spændingstilstande på hve side af diskontinuitetslinien have hve sin Moh s cikel, se figu 5.. Loven o aktion og eaktion kan kun opfyldes, nå de to Moh s cikle skæe hinanden. nt () = nt () t () t () n () = n () Figu 5.: Moh s cikle langs en diskontinuitetslinie Bug af diskontinuitetslinie e et standadvæktøj i plasticitetsteoien og anvendes både ved beegning af øve- og nedevædie. BYGDTU 5

70 Løsninge ed spændingsdiskontinuitete ved beegning af jodtyk e bl.a. blevet benyttet af Sokolovskii [65.], R.T. Shield [5.] og W. F. Chen [75.]. Sokolovskii udviklede løsningen fo det siple tilfælde glat støtteu ed vandet jodoveflade uden hensyntagen til egenvægt. Disse løsninge e selvfølgelig alle nedevædiløsninge. I det følgende behandles en ække jodtykspoblee vha. spændingsdiskontinuitetslinie. Mens anvendelsen af en diskontinuitetslinie e kendt synes den ikke tidligee at have væet anvendt til udvikling af en koplet jodtyksteoi. Det følgende indeholde defo en lang ække nye løsninge. De nye løsninge e saenlignet ed eksisteende teoi i kapitel 7. Vi nøjes ed at behandle poblee ed aktivt jodtyk, idet det tilsvaende passive jodtyk ent foelt kan findes ved at skifte fotegn fo kohæsionen og fiktionsvinklen. 5 BYGDTU

71 6 Glat støtteu ed vandet jodoveflade p Diskontinuitetslinie Figu 6.: Glat støtteu ed vandet oveflade q Lasten e et jævnt fodelt tyk p på en vandet oveflade, de edføe et jodtyk q på støtteuen. I det følgende e løsningene so nævnt egnet igenne svaende til aktivt jodtyk. Dette edføe at p>q. Vinklen elle den vandette oveflade og væggen e. Vinklen elle den vandette oveflade og diskontinuitetslinien e. Støelsene e vist på figu 6.. Fotegnsegning fo spændingene e so tidligee, dvs. tæknoalspændinge egnes positive. Ovefladelast og jodtyk egnes dog positive so tyknoalspændinge. 6. Fiktionsjod Løsningen uden hensynstagen til egenvægt vil bestå af to hoogene spændingsfelte, so e adskilt ved en diskontinuitetslinie. Den optiale nedevædi fo en enkelt diskontinuitetslinie vil fekoe, nå begge spændingsfelte opfylde flydebetingelsen. En sådan løsning e tegnet i figu 6.. Alle spændingstilstande, de ligge inden fo flydebetingelsens skå linie svaende til fiktionsvinklen, e tilladelige. Spændingstilstande hvis Moh s cikle øe de skå linie opfylde flydebetingelsen. BYGDTU 53

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Bilag J - Beregning af forventet uheldstæthed på det tosporede vejnet i åbent land Andersen, Camilla Sloth

Bilag J - Beregning af forventet uheldstæthed på det tosporede vejnet i åbent land Andersen, Camilla Sloth Aalborg Universitet Bilag J - Beregning af forventet uheldstæthed på det tosporede vejnet i åbent land Andersen, Camilla Sloth Publication date: 2014 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Uforudsete forsinkelser i vej- og banetrafikken - Værdisætning

Uforudsete forsinkelser i vej- og banetrafikken - Værdisætning Downloaded from orbit.dtu.dk on: Dec 17, 2015 - Værdisætning Hjorth, Katrine Publication date: 2012 Link to publication Citation (APA): Hjorth, K. (2012). - Værdisætning [Lyd og/eller billed produktion

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Danskernes Rejser. Christensen, Linda. Publication date: 2011. Link to publication

Danskernes Rejser. Christensen, Linda. Publication date: 2011. Link to publication Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 07, 2016 Danskernes Rejser Christensen, Linda Publication date: 2011 Link to publication Citation (APA): Christensen, L. (2011). Danskernes Rejser Technical University

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Syddansk Universitet. Notat om Diabetes i Danmark Juel, Knud. Publication date: 2007. Document Version Også kaldet Forlagets PDF. Link to publication

Syddansk Universitet. Notat om Diabetes i Danmark Juel, Knud. Publication date: 2007. Document Version Også kaldet Forlagets PDF. Link to publication Syddansk Universitet Notat om Diabetes i Danmark Juel, Knud Publication date: 27 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication Citation for pulished version (APA): Juel, K., (27). Notat

Læs mere

Aalborg Universitet. Borgerinddragelse i Danmark Lyhne, Ivar; Nielsen, Helle; Aaen, Sara Bjørn. Publication date: 2015

Aalborg Universitet. Borgerinddragelse i Danmark Lyhne, Ivar; Nielsen, Helle; Aaen, Sara Bjørn. Publication date: 2015 Aalborg Universitet Borgerinddragelse i Danmark Lyhne, Ivar; Nielsen, Helle; Aaen, Sara Bjørn Publication date: 2015 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Fritidslivet i bevægelse

Fritidslivet i bevægelse Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 02, 2016 Fritidslivet i bevægelse Nielsen, Thomas Alexander Sick Published in: Byplan Publication date: 2011 Link to publication Citation (APA): Nielsen, T. A. S. (2011).

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Mere end struktur - moderne anvendelse af højopløselig airborne geofysik i hydrologiske modeller

Mere end struktur - moderne anvendelse af højopløselig airborne geofysik i hydrologiske modeller Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 18, 2017 Mere end struktur - moderne anvendelse af højopløselig airborne geofysik i hydrologiske modeller Vilhelmsen, Troels; Marker, Pernille Aabye; Foged, Nikolaj;

Læs mere

Shared space - mellem vision og realitet. - Lyngby Idrætsby som case

Shared space - mellem vision og realitet. - Lyngby Idrætsby som case Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 27, 2017 Shared space - mellem vision og realitet. - Lyngby Idrætsby som case Brinkø, Rikke Publication date: 2015 Document Version Peer-review version Link to publication

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

University Colleges. Sådan kan du hjælpe dit barn med lektierne! Kristensen, Kitte Søndergaard. Publication date: 2011

University Colleges. Sådan kan du hjælpe dit barn med lektierne! Kristensen, Kitte Søndergaard. Publication date: 2011 University Colleges Sådan kan du hjælpe dit barn med lektierne! Kristensen, Kitte Søndergaard Publication date: 2011 Document Version Tidlig version også kaldet pre-print Link to publication Citation for

Læs mere

De naturlige bestande af ørreder i danske ørredvandløb målt i forhold til ørredindekset DFFVø

De naturlige bestande af ørreder i danske ørredvandløb målt i forhold til ørredindekset DFFVø Downloaded from orbit.dtu.dk on: Sep 04, 2016 De naturlige bestande af ørreder i danske ørredvandløb målt i forhold til ørredindekset DFFVø Nielsen, Jan; Koed, Anders; Baktoft, Henrik Publication date:

Læs mere

Citation for published version (APA): Byrge, C., & Hansen, S. (2011). Værktøjskasse til kreativitet [2D/3D (Fysisk produkt)].

Citation for published version (APA): Byrge, C., & Hansen, S. (2011). Værktøjskasse til kreativitet [2D/3D (Fysisk produkt)]. Aalborg Universitet Værktøjskasse til kreativitet Sørensen, Christian Malmkjær Byrge; Hansen, Søren Publication date: 2011 Document Version Indsendt manuskript Link to publication from Aalborg University

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Fisk en sjælden gæst blandt børn og unge

Fisk en sjælden gæst blandt børn og unge Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 8, 6 Fisk en sjælden gæst blandt børn og unge Fagt, Sisse Publication date: 8 Document Version Forlagets endelige version (ofte forlagets pdf) Link to publication Citation

Læs mere

Grøn Open Access i Praksis

Grøn Open Access i Praksis Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 03, 2017 Grøn Open Access i Praksis Sand, Ane Ahrenkiel Publication date: 2016 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication Citation (APA): Sand,

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Aalborg Universitet. NOTAT - Projekt Cykeljakken Lahrmann, Harry Spaabæk; Madsen, Jens Christian Overgaard. Publication date: 2014

Aalborg Universitet. NOTAT - Projekt Cykeljakken Lahrmann, Harry Spaabæk; Madsen, Jens Christian Overgaard. Publication date: 2014 Aalborg Universitet NOTAT - Projekt Cykeljakken Lahrmann, Harry Spaabæk; Madsen, Jens Christian Overgaard Publication date: 2014 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Aalborg Universitet. Undersøgelse af miljøvurderingspraksis i Danmark Lyhne, Ivar; Cashmore, Matthew Asa. Publication date: 2013

Aalborg Universitet. Undersøgelse af miljøvurderingspraksis i Danmark Lyhne, Ivar; Cashmore, Matthew Asa. Publication date: 2013 Aalborg Universitet Undersøgelse af miljøvurderingspraksis i Danmark Lyhne, Ivar; Cashmore, Matthew Asa Publication date: 2013 Document Version Peer-review version Link to publication from Aalborg University

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Umiddelbare kommentarer til Erhvervsministerens redegørelse vedr. CIBOR 27/9-2012 Krull, Lars

Umiddelbare kommentarer til Erhvervsministerens redegørelse vedr. CIBOR 27/9-2012 Krull, Lars Aalborg Universitet Umiddelbare kommentarer til Erhvervsministerens redegørelse vedr. CIBOR 27/9-2012 Krull, Lars Publication date: 2012 Document Version Pre-print (ofte en tidlig version) Link to publication

Læs mere

Aalborg Universitet. Økonomisk ulighed og selvværd Hansen, Claus Dalsgaard. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Økonomisk ulighed og selvværd Hansen, Claus Dalsgaard. Publication date: 2011 Aalborg Universitet Økonomisk ulighed og selvværd Hansen, Claus Dalsgaard Publication date: 2011 Document Version Tidlig version også kaldet pre-print Link to publication from Aalborg University Citation

Læs mere

Struktur for samkøring af Family Tables og Top Down Design under brug af Wildfire 5.0/Creo 1.0

Struktur for samkøring af Family Tables og Top Down Design under brug af Wildfire 5.0/Creo 1.0 Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 10, 2017 Struktur for samkøring af Family Tables og Top Down Design under brug af Wildfire 5.0/Creo 1.0 Christensen, Georg Kronborg Publication date: 2012 Document

Læs mere

FFIII - Nye trends: Baggrund for udvikling af beslutningsværktøjer

FFIII - Nye trends: Baggrund for udvikling af beslutningsværktøjer Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 05, 2017 FFIII - Nye trends: Baggrund for udvikling af beslutningsværktøjer Hansen, Tina Beck; Møller, Cleide Oliveira de Almeida Publication date: 2016 Document Version

Læs mere

Citation for published version (APA): Rathkjen, A. (1972). Rapport 7204: Forsøg med træbjælker med I-tværsnit. Aalborg.

Citation for published version (APA): Rathkjen, A. (1972). Rapport 7204: Forsøg med træbjælker med I-tværsnit. Aalborg. Aalborg Universitet Rapport 7204 Rathkjen, Arne Publication date: 1972 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation for published version (APA): Rathkjen,

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Citation for pulished version (APA): Terp, L. B. (2009). Didaktiske redskaber i idrætsundervisningen: et inspirationsmateriale til teori og praksis.

Citation for pulished version (APA): Terp, L. B. (2009). Didaktiske redskaber i idrætsundervisningen: et inspirationsmateriale til teori og praksis. University Colleges Didaktiske redskaber i idrætsundervisningen Terp, Lene Bjerning Publication date: 2009 Document Version Tidlig version også kaldet pre-print Link to publication Citation for pulished

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Ormebekæmpelse i vandværksfiltre

Ormebekæmpelse i vandværksfiltre Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 03, 2016 Ormebekæmpelse i vandværksfiltre Christensen, Sarah Christine Boesgaard; Boe-Hansen, Rasmus; Albrechtsen, Hans-Jørgen Publication date: 2015 Document Version

Læs mere

Citation (APA): Bechmann, A. (2015). Produktionsvurdering [Lyd og/eller billed produktion (digital)].

Citation (APA): Bechmann, A. (2015). Produktionsvurdering [Lyd og/eller billed produktion (digital)]. Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 08, 2017 Produktionsvurdering Bechmann, Andreas Publication date: 2015 Document Version Peer-review version Link to publication Citation (APA): Bechmann, A. (2015).

Læs mere

Aalborg Universitet. Empty nesters madpræferencer på feriehusferie Baungaard, Gitte; Knudsen, Kirstine ; Kristensen, Anja. Publication date: 2011

Aalborg Universitet. Empty nesters madpræferencer på feriehusferie Baungaard, Gitte; Knudsen, Kirstine ; Kristensen, Anja. Publication date: 2011 Aalborg Universitet Empty nesters madpræferencer på feriehusferie Baungaard, Gitte; Knudsen, Kirstine ; Kristensen, Anja Publication date: 2011 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication

Læs mere

Aalborg Universitet. Feriehusferie nej tak! Bubenzer, Franziska; Jørgensen, Matias. Publication date: 2011. Document Version Også kaldet Forlagets PDF

Aalborg Universitet. Feriehusferie nej tak! Bubenzer, Franziska; Jørgensen, Matias. Publication date: 2011. Document Version Også kaldet Forlagets PDF Aalborg Universitet Feriehusferie nej tak! Bubenzer, Franziska; Jørgensen, Matias Publication date: 2011 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University Citation

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Sammenhæng mellem aktivitet af metanoksiderende bakterier, opformeret fra sandfiltre på danske vandværker, og nedbrydningen af pesticidet bentazon

Sammenhæng mellem aktivitet af metanoksiderende bakterier, opformeret fra sandfiltre på danske vandværker, og nedbrydningen af pesticidet bentazon Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 16, 2017 Sammenhæng mellem aktivitet af metanoksiderende bakterier, opformeret fra sandfiltre på danske vandværker, og nedbrydningen af pesticidet bentazon Hedegaard,

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Citation for published version (APA): Krull, L., (2012). Umiddelbare kommentarer til Tønder Banks konkurs 2/ , 13 s., nov. 02, 2012.

Citation for published version (APA): Krull, L., (2012). Umiddelbare kommentarer til Tønder Banks konkurs 2/ , 13 s., nov. 02, 2012. Aalborg Universitet Umiddelbare kommentarer til Tønder Banks konkurs 2/11-2012 Krull, Lars Publication date: 2012 Document Version Indsendt manuskript Link to publication from Aalborg University Citation

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Aktiv lytning - som kompetence hos ph.d.-vejledere

Aktiv lytning - som kompetence hos ph.d.-vejledere Downloaded from orbit.dtu.dk on: Oct 09, 2016 Aktiv lytning - som kompetence hos ph.d.-vejledere Godskesen, Mirjam Irene; Wichmann-Hansen, Gitte Publication date: 2012 Document Version Også kaldet Forlagets

Læs mere

Overlevelse af sygdomsfremkaldende bakterier ved slangeudlægning og nedfældning af gylle?

Overlevelse af sygdomsfremkaldende bakterier ved slangeudlægning og nedfældning af gylle? Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 05, 2017 Overlevelse af sygdomsfremkaldende bakterier ved slangeudlægning og nedfældning af gylle? Jensen, Annette Nygaard Publication date: 2014 Link to publication

Læs mere

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)

Psykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI) Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved

Læs mere

Aalborg Universitet. Web-statistik - og hvad så? Løvschall, Kasper. Published in: Biblioteksårbog Publication date: 2004

Aalborg Universitet. Web-statistik - og hvad så? Løvschall, Kasper. Published in: Biblioteksårbog Publication date: 2004 Aalborg Universitet Web-statistik - og hvad så? Løvschall, Kasper Published in: Biblioteksårbog 2003 Publication date: 2004 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link to publication from Aalborg University

Læs mere

Projekteringsværktøj for husstandsmøller: Online WAsP Et nyt initiativ fra DTU og EMD

Projekteringsværktøj for husstandsmøller: Online WAsP Et nyt initiativ fra DTU og EMD Downloaded from orbit.dtu.dk on: Mar 12, 2017 Projekteringsværktøj for husstandsmøller: Online WAsP Et nyt initiativ fra DTU og EMD Bechmann, Andreas Publication date: 2015 Document Version Accepteret

Læs mere

Misspecifikationer i modal-split modeller

Misspecifikationer i modal-split modeller Misspecifikaione i odal-spli odelle Rich J.H. Danaks Miløundesøgelse Afdelingen fo syseanalyse P.O. Box 358, DK-4000 Roskilde, Danak Tlf. +45 46301206 / Fax +45 46301212 / eail: h@du.dk Absak Økonoeiske

Læs mere

Aalborg Universitet. Banker i Danmark pr. 22/3-2012 Krull, Lars. Publication date: 2012. Document Version Pre-print (ofte en tidlig version)

Aalborg Universitet. Banker i Danmark pr. 22/3-2012 Krull, Lars. Publication date: 2012. Document Version Pre-print (ofte en tidlig version) Aalborg Universitet Banker i Danmark pr. 22/3-2012 Krull, Lars Publication date: 2012 Document Version Pre-print (ofte en tidlig version) Link to publication from Aalborg University Citation for published

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Kronik: Havet skyller ind over Danmark - hvad gør vi?

Kronik: Havet skyller ind over Danmark - hvad gør vi? Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jun 29, 2017 Kronik: Havet skyller ind over Danmark - hvad gør vi? Mark, Ole; Arnbjerg-Nielsen, Karsten Publication date: 2017 Document Version Forlagets udgivne version

Læs mere

Forskning og udvikling i almindelighed og drivkraften i særdeleshed Bindslev, Henrik

Forskning og udvikling i almindelighed og drivkraften i særdeleshed Bindslev, Henrik Syddansk Universitet Forskning og udvikling i almindelighed og drivkraften i særdeleshed Bindslev, Henrik Publication date: 2009 Document version Final published version Citation for pulished version (APA):

Læs mere

Relativ forekomst af fiskesamfund i en dansk fjord speciel fokus på sortmundet kutling (Neogobius melanostomus)

Relativ forekomst af fiskesamfund i en dansk fjord speciel fokus på sortmundet kutling (Neogobius melanostomus) Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 08, 2016 Relativ forekomst af fiskesamfund i en dansk fjord speciel fokus på sortmundet kutling (Neogobius melanostomus) Christoffersen, Mads Publication date: 2015

Læs mere

VI SEJREDE! Vi kom, vi så,

VI SEJREDE! Vi kom, vi så, Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Overvågning af influenza A virus i svin i 2014

Overvågning af influenza A virus i svin i 2014 Downloaded from orbit.dtu.dk on: Feb 17, 2017 Overvågning af influenza A virus i svin i 2014 Krog, Jesper Schak; Hjulsager, Charlotte Kristiane; Larsen, Lars Erik Publication date: 2015 Document Version

Læs mere

Der er anvendt en akkrediteret analysemetode (FA411.1) til måling af phthalaterne i plast.

Der er anvendt en akkrediteret analysemetode (FA411.1) til måling af phthalaterne i plast. Downloaded from orbit.dtu.dk on: Jan 31, 2016 Phthalater i fødevarekontaktmaterialer, 2010 Petersen, Jens Højslev; Greve, Krestine Publication date: 2011 Document Version Også kaldet Forlagets PDF Link

Læs mere

Nettoafgiftsfaktoren. Fosgerau, Mogens; Pilegaard, Ninette. Publication date: 2015

Nettoafgiftsfaktoren. Fosgerau, Mogens; Pilegaard, Ninette. Publication date: 2015 Downloaded from orbit.dtu.dk on: Nov 13, 2015 Nettoafgiftsfaktoren Fosgerau, Mogens; Pilegaard, Ninette Publication date: 2015 Document Version Publisher final version (usually the publisher pdf) Link

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere