Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber."

Transkript

1 - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f) = R + og Vm(f) = R ) f e monoton (dvs. f e enten voksende i R + elle aftagende i R + ) 3) Fo alle a, b R + gælde: f(a b) = f(a) + f(b) Det føste, man måske kunne spøge om, e, om de ovehovedet findes en funktion med disse egenskabe. Dette e (sammen med andet basalt stof om logaitmefunktione) bevist i Appendi, som imidletid e på et højt fagligt niveau og defo må vente til senee i de fleste læsees matematiske kaiee. Da Vm(f) = R fo en logaitmefunktion f, findes de specielt et tal c R +, så f(c) =. Og da f e monoton, antages funktionsvædien kun én gang, dvs. de findes kun ét tal med denne egenskab. Vi kan defo tillade os at anføe følgende: Definition... Ved gundtallet fo en logaitmefunktion f fostå vi det tal c R +, som opfylde, at f(c) =. En logaitmefunktion med gundtallet c vil vi betegne således: log c Fo ethvet positivt eelt tal c findes de en logaitmefunktion med c som gundtal. Beviset fo denne påstand bygge på følgende sætning (se øvelse..4): Sætning..3 ) Hvis f e en logaitmefunktion og k e en given konstant (k 0), så e funktionen k f også en logaitmefunktion. ) Hvis f og g e to givne logaitmefunktione, så findes de en konstant k, så g() = k f() fo alle R + Denne sætning e bevist i Appendi. Øvelse..4: Lad log d væe en given logaitmefunktion med gundtal d, og lad c R + \{} væe vilkålig givet. Agumenté fo, at funktionen logd () e en logaitmefunktion med gundtal c. log (c) d

2 - 5 - Vi bemæke altså, at de findes uendeligt mange logaitmefunktione, men at de ligne hinanden idet foskellen på dem e en konstant. Dette vende vi tilbage til senee. I folængelse af definition.. og.. kan vi nu anføe, at de gælde følgende sætning (de måske bude betegnes som en definition, da de blot e tale om en gentagelse af.. og dele af.. med den nye notation anvendt): Sætning..5. Hvis log c e en logaitmefunktion med gundtal c, så gælde de: ) Dm(log c ) = R + og Vm(log c ) = R ) log c e enten voksende i R + elle aftagende i R + 3) Fo alle a, b R + gælde: log c (a b) = log c (a) + log c (b) 4) log c (c) = På baggund af denne sætning kan vi nu bevise følgende: Sætning..6. De gælde følgende egneegle fo en vilkålig logaitmefunktion log c : ) log c () = 0 og log c (c) = ) log c (a b) = log c (a) + log c (b) a 3) logc = logc (a) logc (b) fo alle a, b R + b n log a = n log (a fo alle a R + og alle n Z 4) ( ) ) c n 5) log ( a ) log (a) c n c = fo alle a R + og alle n N 6) log c ( a + b) kan ikke omskives. 7) log c ( a b) kan ikke omskives. Bevis: c Regel e en del af definitionen på en logaitmefunktion og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. Regel : Da = se vi, at: log c () = log c ( ) = log c () + log c (), hvo egel e anvendt. Ved at tække log c () fa på begge side af lighedstegnet fås: log c () = 0. log c (c) = følge diekte af definition.. og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. a a a Regel 3: Da a = b ses ved anvendelse af egel : logc (a) = logc b = logc + logc (b) b b b Ved at tække log c (b) fa på begge side af lighedstegnet fås den ønskede egel. Regel 4: Hvis n e positiv, få vi ved anvendelse af egel, at : log c (a n ) = log c (a a a. a) = log c (a) + log c (a) + log c (a) +. + log c (a) = n log c (a)

3 - 6 - Da a o = se vi af egel, at: log c (a o ) = log c () = 0 = 0 log c (a) n Endelig ha vi, at a = give os følgende: n a n n logc (a ) = logc = logc () logc (a ) = 0 n logc (a) = n logc (a) n a c, hvoefte egel 5 femkomme ved at dividee med n på begge side af lighedstegnet. Regel 5: Da ( ) n n a = n n n a ha vi ifølge egel 4, at: log c (a) = log ( a ) = n log( a ) Reglene 6 og 7 e blot at tage til efteetning, men det gø dem ikke minde betydningsfulde. Som omtalt findes de fo ethvet positivt eelt tal c en logaitmefunktion med c som gundtal. Men de mest almindeligt anvendte logaitmefunktione e log, log 0 og log e, hvo e e et iationalt tal, som med 6 decimales nøjagtighed e givet ved: e =,788. At netop tallet e og demed logaitmefunktionen log e ha sælig betydning, e vanskelig at gøe ede fo på dette tidspunkt, men det kan nævnes, at det netop e denne logaitmefunktions eksistens, de bevises i Appendi. De te omtalte logaitmefunktione kaldes totalslogaitmen, titalslogaitmen og den natulige logaitme. Titalslogaitmen log 0 skives ofte blot som log (hvo 0 altså e undefostået), og den natulige logaitme skives oftest som ln, altså: ln = log e. Eksempel..7. Lad os pøve at undesøge logaitmefunktionen med gundtal lidt næmee. Ifølge sætning..6 ha vi følgende funktionsvædie fo log : log () Disse vædie femkomme på følgende måde (vi give te eksemple): log (8) = log ( 3 ) = 3 log () = 3 = 3 log ( 8 ) = log (8) = 3 = 3 log ( 8 ) = log () log (8) = 0 3 = 3 log e voksende (idet log enten e voksende elle aftagende, og vi ved, at 0 = log () < = log ()) Desuden ved vi, at Dm(log ) = R + og Vm(log ) = R. Kombinees disse infomatione med de fundne vædie i tabellen, se vi, at gafen fo log ha et udseende som vist på figu Fig... log

4 - 7 - Alle voksende logaitmefunktione ha i pincippet samme udseende som log (se figu.. og jf. sætning..3). Gafene fo logaitmefunktionene log og ln (dvs. log 0 og log e ) ses på figu ln log Fig... Som logaitmefunktion betagtet buges de aftagende logaitmefunktione stot set ikke. Men fo i det mindste at se gafen fo en aftagende logaitmefunktion, e de på figu..3 tegnet gafen fo log (dvs. logaitmefunktionen med gundtal 3 ) log Fig...3 I fobindelse med logaitmefunktiones monotoni-egenskabe gælde følgende sætning: Sætning..8. Om en logaitmefunktion log c med gundtal c gælde: c < log c e aftagende i R + c > log c e voksende i R + Bevis: Sætningen følge af, at en logaitmefunktion enten e voksende i R + elle aftagende i R +, at log c () = 0 samt at log c (c) =. Detaljene ovelades til læseen. Bemæk, at indholdet af sætning..8 e fint i oveensstemmelse med udseendet af gafene på figu..,.. og..3.

5 - 8 - I folængelse af sætning..3 vil vi nu anføe følgende sætning: Sætning..9. Fo logaitmefunktionen med gundtal c gælde, at () log c = ln fo alle R + ln c Bevis: Ifølge sætning..3 findes de en konstant k, så () log c = k ln fo alle R +. Dette gælde specielt fo = c, hvomed vi få: hvomed det ønskede e bevist. (c) log c = k ln c. Da log c (c) = give dette os, at k =, ln c Af sætning..9 femgå, at det e nok med én logaitmetast på lommeegneen/gafegneen, nemlig en ln-tast. Heefte kan alle øvige logaitmefunktiones vædie beegnes ud fa fomlen i sætning..9. Vi ha f.eks., at: log () = ln = ln =,4470 ln ln 0,6935 og log 0 () = ln = ln = 0,4349 ln ln0,3059 Vi få demed f.eks., at log (5) =,4470 ln 5 =,4470,60944 =,393 og tilsvaende, at log 0 (5) = log(5) = 0,4349 ln 5 = 0, Imidletid indeholde de fleste matematiske lommeegnee en speciel tast til både ln og log. Øvelse..0. Find ved hjælp af lommeegneen/gafegneen log og ln til hvet af følgende tal: 3,8, 4869, , 0, 0-7 og Øvelse... Find vædien af følgende udtyk, nå a = 8,6 og b = 3,4, dels ved føst at indtaste udtykket diekte i lommeegneen, dels ved at educee mest muligt, og deefte udegne vædien: a) ln 4 b a a + ln b ln(a + b) + ln(b 3 ) b) 3 log(b a ) + log( ) + b log(a 4 b 3 ) log( 3 a ) Opindeligt blev logaitmefunktionen opfundet som et edskab til foenkling af beegninge. Denne foenkling femkom, idet multiplikation estattes af addition, division estattes af subtaktion og oduddagning og potensopløftning estattes af simpel division og multiplikation (jf. sætning..6). Ved hjælp af en tabel kunne man således nemmee ovekomme støe beegninge. Denne beegningsfoenkling, som foegik v.hj.a. titalslogaitmen log, ha efte egnemaskinenes indføelse kun histoisk inteesse, og vi vil ikke komme næmee ind hepå.

6 - 9 - Logaitmiske skalae: Ved hjælp af logaitmefunktione e det muligt at konstuee logaitmiske skalae, og demed også logaitmiske koodinatsysteme, hvo den ene elle begge akse e logaitmiske skalae. Logaitmiske skalae og koodinatsysteme anvendes i en lang ække sammenhænge (som det bl.a. vil femgå af afsnit.5,.7 og kapitel ). Logaitmiske skalaes styke ligge bl.a. i, at de e velegnede som akse i koodinatsysteme, hvo de skal illustees støelse, som kan vaiee ove et meget stot omåde, og i, at sælige type af funktione få et let genkendeligt udseende (ette linie) i logaitmiske koodinatsysteme. Men dette vende vi som omtalt tilbage til. Hvodan definee og konstuee man så en logaitmisk skala? Definition... Lad log c væe en voksende logaitmefunktion. Ved hjælp af denne fastlægges følgende: Ved en logaitmisk skala fostås en tallinie (en skala), hvo de ud fo hve tal t ikke anføes tallet t, men deimod det tal, hvis logaitme e lig med t, dvs. t = log c (): 0 t = log c () Fig...4 alm. skala log. skala Denne definition give anledning til en ække kommentae, bl.a.: At det ovehovedet e muligt at give denne definition skyldes, at Vm(log c ) = R, så uanset vædien af t e det muligt at finde, så t = log c () Da log c e voksende og demed injektiv ha den en omvendt funktion log c - (jf. Appendi ) De gælde demed: t = log c () = log c - (t). Vi se hemed, hvodan konstuktionen af den logaitmiske skala foegå: På en almindelig tallinie skive vi blot log c - (t) i stedet fo t ud fo ethvet tal t. log c - (t) kan findes v.hj.a. lommeegneen/gafegneen (se nedenstående eksempel..8). De findes ingen negative tal på en logaitmisk skala, idet Dm(log c ) = R + = Vm(log c - ). Da to vilkålige logaitmefunktione e popotionale (jf. sætning..3 )), e det i pincippet uden betydning hvilken voksende logaitmefunktion man anvende til at konstuee den logaitmiske skala. Dette svae blot til, at skalaen kopiees op elle ned. Sætning..3. På en logaitmisk skala konstueet v.hj.a. logaitmefunktionen log c gælde, at fo alle hele tal n e tallet c n placeet, hvo n e placeet på den tilsvaende almindelige skala: Fig c -3 c - c - c c c 3 c 4 alm. skala log. skala

7 - 0 - Bevis: Beviset bygge på, at c e gundtal fo log c og demed gælde: log c (c n ) = n log c (c) = n = n, hvo sætning..6 pkt. ) og 4) e anvendt. Øvelse..4. Tegn figue i stil med figu..5 fo funktionene: log, log 5 og log. Kommenté esultatene. Pøv på hve af de te skalae at placee tallene 7 og 9. Sætning..5. ) På en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem tallene 0 og lig med log c (0). Demed gælde specielt, at fo alle hele tal n e den fysiske afstand mellem 0 n og 0 n+ den samme uanset vædien af n. ) Lad væe et positivt tal og lad n væe det mindste hele tal, som opfylde, at 0 n. Da gælde, at på en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem og 0 n lig med den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ Bevis: Den fysisk afstand mellem 0 og e ifølge konstuktionen af den logaitmiske skala givet ved: log c (0) log c () = log c (0) + log c () log c () = log c (0). Den fysiske afstand mellem og 0 n e givet ved: log c (0 n ) log c () = n log c (0) log c () og den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ e givet ved: log c (0 n+ ) log c (0) = (n+) log c (0) (log c (0) + log c ()) = n log c (0) log c () hvomed de to støelse altså e ens. Hemed e sætningen bevist. Eksempel..6. På figu..6 e vist placeingen af 0,,, 0, 00, 000 og af 5,4 og 54 på en logaitmisk skala. 5,4 54 Fig...6 0, log.skala Ifl. sætning..5 e afsnittet fa 0 til 00 inddelt på samme måde som afsnittet fa til 0, som igen e inddelt på samme måde som afsnittet fa 0, til, osv. osv. F.eks. e afstanden fa 5,4 til 0 den samme som fa 54 til 00, som igen e den samme som afstanden mellem 540 og 000. Et sådant afsnit fa til 0 kaldes en dekade. På figu..6 e de således medtaget 4 dekade. På figu..7 ses dekaden fa til 0 i fostøet vesion: Fig Øvelse..7. Tegn en logaitmisk skala uden delepunkte og tal på. Afsæt 5 punkte med lige sto afstand imellem sig fodelt ove skalaen. a) Hvis de stå 000 og 0000 ved de to føste punkte, hvad stå de så ved esten? b) Hvis de stå og 0 ved de to sidste punkte, hvad stå de så ved esten? c) Pøv at inddele et pa af dekadene på de to akse i pkt. a) og b).

8 - - Eksempel..8. I folængelse af definition.. blev det omtalt, at vædiene, de skal afsættes på en almindelig skala fo at lave den om til en logaitmisk skala, dvs. log - c (t) i stedet fo t, kan findes v.hj.a. lomme/gafegneen. På de fleste matematiske lommeegnee findes som tidligee nævnt både log og ln. Og dees omvendte funktione. Hvis vi koncentee os om ln-tasten, så vil den omvendte funktion almindeligvis væe placeet ove denne tast og kunne nås ved hjælp af en nd -tast elle lign. Den omvendte funktion ln - betegnes også e (se afsnit.3). Hvis vi f.eks. vil konstuee en logaitmisk skala v.hj.a. log 5, så skal vi buge vædie af log - 5. Disse kan findes på følgende måde: Ifølge sætning..9 ha vi, at log 5 () = ln. Heaf få ln 5 vi, at t = log 5 () t = ln t ln5 = ln = ln - (t ln5). Da vi desuden ha, at ln 5 t = log 5 () = log - 5 (t) se vi i alt, at log - 5 (t) = ln - (t ln5). Vi kan altså finde vædie fo log - 5 ved at anvende ln- og ln - -tastene på gafegneen. Læseen kan som en øvelse pøve at finde følgende vædie: log 5 - ( 34), log 5 - (3) og log 5 - (00).. Udvidelse af potensbegebet. I dette afsnit vil vi fastlægge betydningen af a fo et vilkåligt positivt eelt tal a og et vilkåligt eelt tal. (Vi vil altså fastlægge, hvad vi f.eks. skal fostå ved Eksempel... Som et indledende eksempel vil vi se på fastlæggelsen af n 5 ). fo R. Vi kende alleede betydningen af fo n Z (mængden af hele tal) og kan defo buge disse q vædie som udgangspunkt. (Egentlig kende vi betydningen af fo q Q (mængden af ationale tal), men dette vil vi i føste omgang se bot fa og så lidt senee vende tilbage hetil). n I et koodinatsystem indtegnes punktene (n, ) fo n Z (se figu.. a)) a) -4 b) Fig log y = log

9 - - Hvis disse punkte fobindes med en blød kuve (som antydet med den stiplede linie på figuen), så kan vi ud fa denne kuve definee, hvad vi skal fostå ved også nå ikke e et helt tal. Vi se,68 f.eks., at må fastlægges til en vædi omking 3,5. En definition som den netop skitseede e imidletid fo løs, idet de givne punkte kan fobindes med en blød kuve på mange måde, og idet aflæsning ikke e pæcist. Dette kan afhjælpes på følgende måde: Som omtalt i afsnit. ha funktionen log en omvendt funktion n log. Ifølge sætning..6 gælde de fo alle n Z, at: log ( ) = n log () = n, hvoaf vi se, at: = log (n) Samtlige de givne punkte (n, n ) ligge altså på gafen fo log n. (se figu... b)). Da log () e defineet fo alle R, idet Dm( log ) = Vm(log ) = R, kan vi altså fo alle R fastsætte, at: = log (). Og da vi alleede ved, at denne fastsættelse stemme oveens n med det kendte potensbegeb, idet vi ved, at: = log (n) fo alle n Z, e de tale om en udvidelse af det almindelige potensbegeb. Inspieet af eksempel.. give vi følgende definition: Definition... Fo ethvet a > 0, a, fastlægges vædien af a ud fa logaitmefunktionen log a med gundtal a på følgende måde: a = log () Fo a = fastlægges, at = fo alle R. a fo R Som omtalt i eksempel.. e de fo a > 0 tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb, idet log a (a n ) = n log a (a) = n fo alle n Z, hvoaf vi se, at: a n = loga (n) fo alle n Z, og idet n =. Men bemæk, at selvom vi godt kan udegne f.eks. ( ) n fo n Z, så findes de ingen udvidelse af dette potensbegeb. Udvidelsen foudsætte altså (som også nævnt), at a e et positivt tal. Fo enhve vædi af a skal vi ifølge definition.. have kendskab til den tilsvaende logaitmefunktion log a og dennes omvendte funktion. Det blive demed lidt besvæligt, hvis vi f.eks. skal fastlægge og udegne vædien af et udtyk som: 3,4 0,3 5 0,6 π 4,, idet dette da e givet ved: log3,4 ( 5) log0,6 ( π) log4, ( 0,3). Som det femgå af den følgende sætning (og se også eksempel..8), kan vi imidletid nøjes med at benytte én bestemt logaitmefunktion, nemlig ln. Sætning..3. Fo alle a > 0 og alle R gælde de: ) a = ln ( ln a) ) a = ln( a lna e 3) ) = ln a

10 - 3 - Bevis: Ad ): Ifølge sætning..9 gælde de følgende omskivninge: a = loga () = log a ( a ) = ln(a ) lna = ln( a ) a = ln - ( lna) ln a Fo a = ha vi, at ln ( ln) = ln (0) = =, hvomed ) e bevist i alle tilfælde. Ad ): Ud fa definition.. se vi, at e = ln - () fo et vilkåligt tal. Dette gælde specielt fo = ln a, hvomed vi ifl. pkt. ) få det ønskede. Ad 3): Da dette indgå som en del af omskivningen i pkt. ), e sætningen hemed bevist. Øvelse..4. Vis, at egel 3) i sætning..3 gælde fo en vilkålig logaitmefunktion log c, dvs. at: log c (a ) = log c (a) fo alle a > 0 og alle R. Eksempel..5. Som også omtalt i eksempel..8, findes de på de fleste matematiske lommeegnee taste til både ln og den omvendte funktion ln -, de også betegnes med e (se afsnit.3). Vi vil nu finde vædien af 3,4 5 0,3 0,6 π 4, ved hjælp heaf. Vi ha: 5 0,3 3,4 0,6 π 4, = ln ( 5 ln3,4) ln ( π ln 0,6) ln ( 0,3 ln 4,) = ln (,736445) ln (,50794) ln ( 0,3457) = 5,4307 0,730 0,7869 =,48463 Det skal bemækes, at de fleste lommeegnee ha en tast med benævnelsen y elle ^, og at f.eks. 5 3,4 da kan udegnes ved diekte at taste: 3,4 y 5 elle 3,4 ^ 5. Øvelse..6. Udegn vædien af følgende: a) 3 3 b), 0 π,7 c) 6,06 0,6 0,5 0,4 7,6 Det udvidede potensbegeb opfylde de samme egneegle som det sædvanlige potensbegeb, idet de gælde følgende sætning: Sætning..7. Fo alle a, b R +, fo alle, s R og alle n N gælde: ) 5) a a b s + s a = a ) a = 6) b a a s a = s = a 3) a (a ) s s = a 4) a b = 7) a = a n 8) a = a n (ab)

11 - 4 - Bevis: Vi bevise egel ) og 8). Bevisene fo de øvige egle foløbe på helt samme måde og ovelades til læseen som en øvelse: Ad ): Ifølge sætning..6 3) og sætning..3 3) ha vi, at: a ln( a s ) = ln( s s a ) ln( a ) = ln(a) s ln(a) = ( s) ln(a) = ln( a ) Da ln e en injektiv funktion få vi heaf, at: a a s s = a, hvomed det ønskede e bevist. Ad 8): Ifølge sætning..6 5) og sætning..3 3) ha vi, at: ln( n a ) = ln( a) ln(a ), og da ln e injektiv få vi heaf, at: n n a = a. Hemed e det ønskede bevist. n = n Ifølge sætning..7 gælde de altså f.eks., at,43,9 3,6 = og,6,47 3,95 ( 5,4 ) = 5,4. Eksempel..8. Som omtalt i indledningen til dette afsnit kendte vi faktisk til a q, hvo q e et ationalt tal (dvs. q e en bøk mellem to hele tal), inden vi foetog den ovenfo gennemføte udvidelse af potensbegebet. m q n m Hvis q =, hvo m Z og n N, så havde vi nemlig, at: a = ( a ). n Vi skal defo nu kontollee, at dette stemme oveens med det nye potensbegeb, så de som oveskiften til afsnittet lyde e tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb. Dette følge imidletid umiddelbat af sætning..7 8) og 3), idet disse egle give os, at: m n m m ( a ) (a n ) = a n = = a. q Vi afslutte afsnit. med at omtale, at sætning..3 og sætning..7 sammen med egnemaskinens ln- og ln - -tast (dvs. ln- og e -tasten) kan benyttes til bl.a. løsning af ligninge: Eksempel..9. Vi vil i dette eksempel løse ligningene: a) 3 = b) = 0 c) log 5 () = 4, Ad a): Da ln e injektiv, ha vi, at: 3 = ln(3 ) = ln ln3 = ln = Løsningen e altså: = Ad b): Da ln ln3 = 0, = (3 ), skal vi løse ligningen: (3 ) 3 6 = 0. Hvis vi sætte 3 = y, så e poblemet educeet til at løse ligningen: y y 6 = 0. Denne andengadsligning ha løsningen: y = y = 3, hvomed vi se, at: (3 ) 3 6 = 0 3 = 3 = 3 ln ln3

12 - 5 - Da 3 = ln ( ln3), og da Vm(ln ) = Dm(ln) = R +, se vi, at 3 > 0 uanset vædien af. Ligningen 3 ln 3 = ha således ingen løsning. Vi se demed (jf. pkt. a)), at løsningen e: =. ln3 Ad c): Da log 5 () = ln se vi, at: ln5 log 5 () = 4, ln = 4, ln = 4, ln5 = ln (4, ln5) ln5 Løsningen findes heefte v.hj.a. egnemaskinen ved føst at udegne: 4, ln5 = 6,75964, hvoefte = ln 6,75964 (6,75964) = e = 86,33 findes ved anvendelse af e -tasten. Øvelse..0. Løs følgende ligninge: a) log 3 () = 7, 3 b) 5 ln = ln(5) c) = 3 4

13 Eksponentialfunktione. På baggund af definition.. e vi nu i stand til at anføe følgende definition: Definition.3.. Ved en eksponentialfunktion fostå vi en omvendt funktion til en logaitmefunktion, dvs. en eksponentialfunktion e en funktion f af typen: f() = a hvo a > 0, a. (a e gundtallet fo den tilsvaende logaitmefunktion). Eksponentialfunktionene e, og 0 e altså de omvendte funktione til hhv. ln, log og log. Eksponentialfunktionen e kaldes den natulige eksponentialfunktion (elle undetiden blot: eksponentialfunktionen). Funktionen (som e konstant lig med ) e ikke en eksponentialfunktion. Ud fa definition.3. og afsnit. kan vi diekte opskive den ække egenskabe, som e indeholdt i følgende sætning: Sætning.3.. Fo en eksponentialfunktion a gælde: ) Dm(a ) = R og Vm(a ) = R + ) a ln a = e 3) ln(a ) = lna 4) + a = a a 5) a = (a ) = ( ) = a a 6) a e voksende, hvis a > a e aftagende, hvis 0 < a < 7) Hvis a > gælde: a fo og a 0 fo Hvis a < gælde: a 0 fo og a fo Fo den natulige eksponentialfunktion gælde specielt: 8) e e voksende 9) e fo og e 0 fo e 0 fo og e fo Bevis: Læseen opfodes til at udfylde detaljene i det følgende: Ad ): Dette følge af definitionen på en omvendt funktion (jf. appendi ), samt af definition.. og definition.3.. Ad ): Følge af sætning..3 ). Ad 3): Følge af sætning..3 3). Ad 4): Følge af sætning..7 ). Ad 5): Følge af sætning..7 3) og 6). Ad 6): Følge af sætning..8, definition.3. og sætning A.. (se appendi A).

14 - 7 - Ad 7): Fo a > læses sætningen: a gå imod uendelig fo gående mod uendelig hhv. a gå mod nul fo gående mod minus uendelig. Og det betyde, at a kan blive lige så sto, som vi måtte ønske det, blot e tilstækkelig sto, hhv. at a kan komme lige så tæt på 0, som vi måtte ønske det (dog uden nogensinde at blive 0), nå blot e tilstækkelig sto negativ. Og tilsvaende fo a <. Beviset følge diekte af ) og 6) i denne sætning. Ad 8): Følge diekte af 6) i denne sætning, idet e >. Ad 9): Følge diekte af 7) og 5) i denne sætning, idet e > og e <. Hemed e sætningen bevist. Bemæk, at egneeglen i 4) i sætning.3. sige, at en eksponentialfunktion af en sum af tal e poduktet af eksponentialfunktionen af de enkelte tal. Dette e den modsatte egel af egneeglen i definition.. (dvs. af egel ) i sætning..6) de sige, at logaitmen af et podukt af tal e summen af logaitmene til de enkelte tal. Bemæk desuden, at enhve eksponentialfunktion gå igennem punktet (0,) og (,a), idet a 0 = og a = a V.hj.a. de i afsnit. omtalte egnemaskinetaste kan vi udegne funktionsvædie fo foskellige eksponentialfunktione og deefte tegne gafene. På figu.3. ses gafene fo eksponentialfunktionene: e, og ( ) : Fig..3. Øvelse.3.3. Ovevej/Gø ede fo, at funktionene på figu.3. e eksemple på opfyldelse af pkt. 6), 7), 8) og 9) i sætning.3.. Øvelse.3.4. Tegn gafene fo funktionene ( 3 ) ) ( og ) 3 ( i samme koodinatsystem. Gø ede fo, at de to gafe e symmetiske omking andenaksen. e Øvelse.3.5. Løs ligningene: a) e = 4 b) e = e c) 4 7 = 9 d) 3,5 = 5 0,8

15 - 8 - Øvelse.3.6. Bestem i hvet af følgende tilfælde tallet a, så de fo alle gælde: 3 0,5 a) a = e b) a = e Da funktionene ln og e begge e voksende funktione, gælde de (ovevej!), at ln() < c 0 < < e c og a < b ln(a) < ln(b) hvo a, b og c e givne tal (a > 0, b > 0). Bemæk, at i den føste ulighed e > 0, idet Dm(ln) = R +. Dette kan buges til at løse ulighede, hvoi de optæde logaitme- elle eksponentialfunktione. Eksempel.3.7. a) Uligheden: log 3 <, 8 ha løsningsmængden ] 0 ; 7,5 [, idet vi ha:,8 ln3 log 3 <,8 ln <, 8 ln <,8 ln3 0 < < e 0 < < 7,5 ln3 b) Uligheden: 0,4 > 7 ha løsningsmængden ] ;,4 [, idet vi ha: 0,4 > 7 ln(0,4 ln7 ) > ln7 ln(0,4) > ln7 < <,4 ln0,4 hvo vi ha anvendt, at ln(0,4) < 0. Øvelse.3.8. Løs ulighedene: a) ln <,9 b) e > 5 c) log () + log() > 0 d) 3 > ln3 Afslutningsvist skal det bemækes, at de også i fobindelse med eksponentialfunktione anvendes foskellig symbolik i litteatuen. Den natulige eksponentialfunktion e skives undetiden: ep(), (hvilket kan væe en typogafisk fodel, hvis man skal angive eksponentialfunktionen af et stot udtyk). I lighed med logaitmefunktione anvendes undetiden udtykket ep a () fo a. Og tallet a kaldes da også gundtallet fo eksponentialfunktionen. Vi ha altså: ep a () = a og ep e () = ep() = e Med denne notation kan eglene ), 3), 4) og 5) i sætning.3. anføes på følgende måde: ep a () = ep( lna) ln(ep a ()) = lna epa ( + ) = epa () epa ( ) ep a ( ) = ep () a

16 Eksponentielle vækstfunktione. Definition.4.. Ved en eksponentiel vækstfunktion fostås en funktion af typen: f() = b a elle f() = b e k hvo a, b og k e konstante. (b > 0, a > 0, a, k 0). I definitionen kæves, at a og k 0, idet funktionen elles e konstant. At b foudsættes positiv og ikke kun foskellig fa nul e i ealiteten ingen indskænkning, fo i paktiske anvendelse e b oftest positiv, og selv om funktionsvædiene skulle væe negative, så betagte vi blot de numeiske funktionsvædie. (Vi se altså f.eks. på gæld i stedet fo på negativ fomue). En eksponentiel vækstfunktion kaldes undetiden også fo en eksponentiel udvikling elle en funktion, de e popotional med en eksponentialfunktion. Hvis man ved, at funktionen e voksende, tale man også om en eksponentielt voksende funktion, og hvis man ved, at den e aftagende, tale man om en eksponentielt aftagende funktion. De gælde, at b a = b e k fo alle, hvis a = e k elle k = lna (ovevej!). En eksponentiel vækstfunktion e altså blot en eksponentialfunktion, de e multipliceet med en konstant, (hvilket e åsagen til et af de altenative navne anføt ovenfo). De to skivemåde b a og b e k anvendes fit efte behov, idet det i nogle sammenhænge e smatest elle sædvane at buge b a, og i ande sammenhænge e det smatest elle sædvane at buge b e k. k 0 e Bemæk, at da a 0 = og =, så e b = f(0). I alt kan vi konkludee, at gafen fo en eksponentiel vækstfunktion ligne gafen fo en eksponentialfunktion, idet alle funktionsvædie på gafen ove en eksponentialfunktion a ganges med en konstant b (dvs. afstanden fa gafpunktet til føsteaksen blive b gange så sto ved den eksponentielle vækstfunktion som ved den tilsvaende eksponentialfunktion). Øvelse.4.. Tegn/Skitse gafene fo funktionene f() = 5 e, g() = 0,3 koodinatsystem. (Jf. figu.3.) og h() = 00 ( ) i hvet sit Da en eksponentiel vækstfunktion e bestemt ved vædien af to konstante (b og a hhv. b og k), kan funktionsfoskiften fo en eksponentiel vækstfunktion fastlægges, blot vi kende to punkte på dens gaf. Et eksempel på dette vises i det følgende:

17 - 0 - Eksempel.4.3. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at f(,) = 8 og f(9) = 5. Vi vil bestemme vædiene af a og b., f(,) = 8 give os, at 8 = b a, og f(9) = 5 give os, at 5 = b a 9. Vi ha således to ligninge med to ubekendte (a og b), og disse ligninge kan løses ved substitutionsmetoden:, 8 Af 8 = b a ses, at: b =,. a Dette indsættes i udtykket: 5 = b a 9, hvomed vi få: , 5 = a = a, a 8 ln(6,5) = 7,8 lna lna = 0,3997 0,3997 a = e Vi se altså, at a =,7. Denne vædi indsættes i udtykket b =, hvomed vi 8 få: b = 5,9988. Vi se demed, at f () = 5,9988,7. Gafen fo f e vist på figu.4.. Det skal bemækes, at udegningen af a også kan foegå ved at sige, at da 8 = b a og 5 = b a 9, b a a 9, 7,8 så få vi, at = = = a = a, hvoefte de kan fotsættes som ovenfo.,, 8 b a a Vi kan imidletid også fotsætte beegningen på følgende måde (jf. egneeglene i sætning..7): 5 8 = 7,8 a, a 5 7,8 7,8 7, 8 8 = (a ) a = 5 8 7,8, a =,7 8 hvoefte b findes ud fa, at b =,. a Endelig skal det bemækes, at selvom odtegnet s t egentlig kun e defineet fo positive hele tal s, så tillade man sig at skive f.eks. 7, 8 7, i stedet fo. Ved anvendelse af lommeegneens 8 8 (gafegneens) funktion e det nemlig muligt at indtaste og få udegnet sådanne støelse Fig..4.

18 - - Situationen i eksempel.4.3 kan genealisees til følgende sætning: Sætning.4.4. Hvis det om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at gafen gå igennem punktene (, y) og (, y ) (dvs. hvis f () = y og f ( ) = y ), så e konstantene a og b givet ved: Bevis: a = y y = y ln y ln y ep og b = y = a a Af foudsætningene følge, at y = b og y = b. Dette give os: y b a a y y = = = a og demed a = y b a a y = y hvo det sidste lighedstegn følge af, at vi som omtalt i eksempel.4.3 ha tilladt os at anvende n odtegnet selv om ikke e et positivt, helt tal. (Vi minde om eglen: s n = s ) Det sidste udtyk fo a komme af følgende omskivning: y y a y ln y ln y = ln( ) = ( ) ln a = lna y a = y a ln y ep Udtykket fo b komme ved simpel division med a i udtykket: y = b. a ln y Øvelse.4.5. t a) En eksponentiel vækstfunktion H(t) = q p gå igennem punktene (., 8) og (5, 53). Bestem foskiften fo H og tegn/skitse gafen fo H. k b) En eksponentielt aftagende funktion g() = b e opfylde, at g( ) = 80 og g(3,6) =. Bestem vædien af konstantene b og k og tegn/skitse gafen fo g. I fobindelse med monotoni gælde de følgende sætning, som følge diekte af sætning.3. 6), definition.4. og det faktum, at k = lna (Ovevej detaljene!): Sætning.4.6. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at: f e voksende, hvis a > f e aftagende, hvis 0 < a < Om en eksponentiel vækstfunktion f() = f e voksende, hvis k > 0 f e aftagende, hvis k < 0 k b e gælde, at

19 - - Øvelse.4.7. a) Skitse gafene fo funktionene: 0,48 f() = 300 e og 0,75 g() = 0 e i samme koodinatsystem. b) Løs ved beegning ligningen: f() = g() c) Find tallene b og c som opfylde, at f() = 300 b og g() = 0 c Relativ funktionstilvækst. Vi vil nu gå ove til at undesøge en inteessant og vigtig egenskab ved eksponentielle vækstfunktione, nemlig dees elative funktionstilvækst. Føst anføes et eksempel, som ikke ha noget med eksponentielle vækstfunktione at gøe, men hvo begebet elativ funktionstilvækst intoducees. Eksempel.4.8. I en planteskole følge man højden af et bestemt æbletæ, som bygge på en sælig podning. I den følgende tabel ses tæets højde målt d.. juli i hvet af de angivne å: Åstal Højde,00 m,30 m,50m,65 m Hvis vi gå fem fa å 000 til å 00, så se vi, at den absolutte tilvækst i højden e,50,00 m, dvs. 0,50 m. Den elative tilvækst af højden findes ved at beegne den absolutte tilvækst i fohold til 0,50 den opindelige vædi, altså: = 0, 5 elle hvis vi ønske den elative tilvækst i pocent: 5 %,00 Tilsvaende e den absolutte tilvækst fa å 00 til 003 givet ved: 0,35 m og den elative tilvækst e 0,5 (elle: 5, %). Hvis vi lade h væe den funktion, de til et givet åstal angive tæets højde, så e de ovenstående elative tilvækste udegnet som:,50,00 h(00) h(000),65,30 h(003) h(00) 0,5 = = og 0,5 = =,00 h(000),30 h(00) De elative tilvækste kan demed siges at væe elative funktionstilvækste fo funktionen h. Som anføt i eksempel.4.8 findes den elative funktionstilvækst fo en funktion f, nå dens uafhængige vaiable ændes fa til, som vædien af bøken: f ( ) f () f ( ) = f () 00 % f () f () hvo det sidste udtyk give tilvæksten i %. Hvis tilvæksten i den uafhængige vaiable kaldes h, og hvis statvædien kaldes, så e den elative funktionstilvækst altså givet ved: f ( + h) f () f () = f ( + h) f () 00 % f ()

20 - 3 - Da tilvæksten i den uafhængige vaiable e en støelse, de almindeligvis ha inteesse, vil vi i det følgende benytte det sidst anføte beegningsudtyk. Vi se (jf. også den nedenstående figu.4.), at hvis tilvæksten h i den uafhængige vaiable e positiv (dvs. hvis vi gå femad på.aksen), så e den elative funktionstilvækst positiv fo en voksende funktion og negativ fo en aftagende funktion. f() f(+h) f() f(+h) +h +h Fig..4. I fobindelse med eksponentielle vækstfunktione og elative funktionstilvækste gælde de nu: Sætning.4.9. Fo en eksponentiel vækstfunktion gælde, at de til en given absolut tilvækst i den uafhængige vaiable svae en bestemt elativ (pocentuel) tilvækst i den afhængige vaiable uanset udgangspunktet fo tilvæksten. Elle mee fomelagtigt udtyk: Lad f() = b a væe en eksponentiel vækstfunktion. f ( + h) f () Fo enhve vædi af tilvæksten h findes en konstant K h, så = K h, f () dvs. den elative funktionstilvækst afhænge ikke af udgangspunktet, men kun af tilvæksten h. De gælde: K h = a h Bevis: Ud fa foudsætningene og sætning.3. ses, at: + h f ( + h) f () b a b a b a a b a = = = a h f () b a b a Heaf ses, at den elative (pocentuelle) funktionstilvækst ikke afhænge af, og at K h = a h h

21 - 4 - Eksempel.4.0. a) Den elative funktionstilvækst fo funktionen f() = 5,6 svaende til den absolutte tilvækst 0,5 h = 0,5 e ifølge sætning.4.9 givet ved:,6 = 0, 649 (elle 6,49 %). Svaende til tilvæksten h =, e den:,6 =, 683 (elle 68,3 %) 0,8, Og svaende til h = 0,8 e den:,6 = 0, 334 (elle 3,34 %) b) Den elative funktionstilvækst fo funktionen g() = ,9 svaende til tilvæksten h =,, e: 0,9 = 0, 88 (elle,88 %). c) Hvis vi skal bestemme den elative funktionstilvækst fo funktionen p() = p(+,8) p() til tilvæksten h =,8, så kan vi enten udegne vædien af udtykket p() 0,4 0,4 3 e svaende, elle vi kan sige: p() = 3 a, hvo a = e = 0, 6703, hvomed esultatet blive: 0,6703 = 0, 53 (elle 5,3 %).,8 Eksponentielle vækstfunktione e i øvigt de eneste funktione, de ha konstant elativ tilvækst. De gælde nemlig følgende sætning, som ikke kan bevises he, men som vil blive bevist i kapitel 3. Læsee, de endnu ikke e bekendt med begebet diffeentiabilitet, kan blot spinge sætningen ove. Sætning.4.. Hvis det om en positiv, ikke-konstant, diffeentiabel funktion f defineet i et inteval I gælde, at fo f ( + h) f () en vilkåligt valgt vædi af tilvæksten h e den elative funktionstilvækst konstant f () (dvs. uafhængig af ), så e f en eksponentiel vækstfunktion. Femskivningsfaktoe. Hvis f() = b a og hvis h e en given absolut tilvækst, så gælde de fo alle, at: + h h h f(+h) = b a = b a a = f () a dvs. f(+h) = a h f() Støelsen a h angive altså, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h. Støelsen a h kaldes vækstfaktoen elle femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten h. Vi se specielt, at: f(+) = a f(), dvs. at tallet a i funktionsfoskiften f() = b a e femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten. a kaldes undetiden blot fo femskivningsfaktoen fo f. Den elative funktionstilvækst svaende til en tilvækst på enhed e ifølge sætning.4.9 givet ved: a = a. Denne støelse betegnes ofte med og kaldes vækstaten (elle entefoden) fo funktionen. Vi ha altså: = a, elle: a = +, og demed, at: f() = b a = b (+) Bemæk, at e positiv fo en eksponentielt voksende funktion og negativ fo en eksponentielt aftagende funktion, idet de gælde: a > > 0 og 0 < a < < < 0. (Jf. sætning.4.6).

22 - 5 - Øvelse.4.. Bestem vækstaten (og den tilsvaende pocentuelle vækst p. enhed) fo hve af de følgende seks eksponentielle vækstfunktione: a) f() = 0,4 b) f() = 0,85,78 c) f() = 3000, d) f() = 4 0,94 e) f() = 58 0,58,3 f) f() = 900 e Hvis vi ha en støelse S, som foandes med en bestemt pocent P p. enhed, så kan denne støelse beskives ved en eksponentiel vækstfunktion S() = b a. Da S(+) = S() + (P % af S()) = S() + P P S() = ( + ) S( ) 00 P se vi, at vækstaten fo funktionen e, og at femskivningsfaktoen a svaende til tilvæksten 00 e a = P +. Da b = S(0) få vi demed i alt, at: 00 P S() = S(0) ( + ) 00 Bemæk, at det afhænge af den konkete situation, om fomlen gælde fo alle -vædie i et inteval I elle f.eks. kun fo alle heltallige -vædie. Og hvis fomlen skal gælde fo alle I, så skal støelsen S() væe defineet fo alle I, ligesom omskivningen skal gælde fo ethvet I (altså uanset udgangspunktet). Disse esultate benyttes meget i divese matematiske modelle, hvoi eksponentielle vækstfunktione indgå, heunde entesegning (se kapitel og 4). Øvelse.4.3. Om en given støelse vides, at den vokse med 6 % p. tidsenhed, og at dens vædi e 3 efte de føste 8 tidsenhede. Bestem en foskift fo en funktion, som kan beskive støelsens udvikling. 00 Halveings- og fodoblingskonstante. Hvis K e en given elativ funktionstilvækst fo en eksponentiel vækstfunktion f() = b a, så e vædien af den tilvækst h, de svae hetil, fastlagt ved: a h = K (jf. sætning.4.9). Heaf se vi, at: ln( + K) h = ln a Øvelse.4.4. Bestem i hvet af følgende tilfælde den absolutte tilvækst af den uafhængige vaiable, de skal til fo at give en eksponentiel vækstfunktion med femskivningsfaktoen a en elativ tilvækst K: a) a = 0,8 og K = 0,30 b) a =,68 og K =, c) a =,3 og K = 7 % d) a = 0,97 og K = 50 %

23 - 6 - Ofte e man inteesseet i at angive den vædi af tilvæksten h, som give en fodobling af funktionsvædiene (nå f e voksende) elle en halveing af funktionsvædiene (nå f e aftagende). Fodobling: En fodobling svae til en foøgelse på 00 %, hvomed K = 00 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = =. Fo denne vædi af h ha vi, at: f(+h) = f(). ln( + ) ln ln a ln a Halveing: En halveing svae til en fomindskelse på 50 %, dvs. en tilvækst på 50 %, hvomed ln( ) ln( K = 50 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = = ). Fo denne vædi ln a ln a af h ha vi: f(+h) = f(). I denne fobindelse give vi dels følgende definition, dels ha vi vist den deefte følgende sætning: Definition.4.5. Den tilvækst T, som give en eksponentielt voksende funktion en fodobling af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 00 %), kaldes fodoblingskonstanten fo funktionen. Den tilvækst T ½, som give en eksponentielt aftagende funktion en halveing af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 50% ), kaldes halveingskonstanten fo funktionen. Ofte e tiden den uafhængige vaiable, og vi tale da om fodoblingstiden elle halveingstiden. f() f() f() f() +T +T ½ Fig..4.3 Sætning.4.6. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a gælde: ln f( + T ) = f() og T = ln a Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a gælde: ln( f(+t ½ ) = f() og T ½ = ) ln a

24 - 7 - Bemæk, at nå f e eksponentielt voksende, så e a > og demed e lna > 0, hvomed T > 0, idet ln > 0. Tilsvaende ses, at nå f e eksponentielt aftagende, så e 0 < a < og demed e lna < 0, hvomed T ½ > 0, idet ln( ) < 0. I fobindelse med halveings- og fodoblingskonstante, samt de to foskellige opskivningsfome fo eksponentielle vækstfunktione gælde de en stibe omskivningsfomle, bl.a. følgende: Sætning.4.7. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a = b e k (dvs. a >, k > 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): T = ln ln a ln log c () = = og k log (a) c a = = Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a = b e k (dvs. 0 < a <, k < 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): Bevis: T = ln( ) ln a ln( ) log ( ) T c = = og a = = k log (a) c Den føste udtyk fo T hhv. T ½ e identisk med udtykket fa sætning.4.6. Det næste udtyk følge af, at k = lna, og det sidste udtyk følge af sætning..9. (Hvofo?). Udtykkene fo a følge af, at femskivningsfaktoen fo funktionen f svaende til en tilvækst på h, e givet ved a h (dvs. støelsen a h angive, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h) Fo en eksponentielt voksende funktion gælde, at h = T give en fodobling af funktionsvædiene, T og demed: a T T =, hvoaf vi se, at: a = =. Fo en eksponentielt aftagende funktion gælde, at h = T ½ give en halveing af funktionsvædie- T T ne, og demed: a =, hvoaf vi se, at: a = = Øvelse.4.8. Bestem fodoblings- elle halveingskonstanten fo hve af de i øvelse.4. omtalte eksponentielle vækstfunktione. Eksempel.4.9. Om en eksponentielt aftagende funktion f vides, at f(3) = 0 samt at halveingskonstanten e lig med 6. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f, samt løse uligheden f(). Da f(3) = 0 få vi demed, at f(3 + 6) = 0, dvs. f(9) = 0. Vi kende demed punkte på gafen fo f og kan deefte anvende metoden fa eksempel.4.3 og sætning.4.4. T T T T

25 - 8 - Vi vil imidletid anvende sætning.4.7, hvoaf vi se, at hvis f() = b a, så e a = ( )6 = 0,8909. Af f(3) = 0 fås heefte: 0 = b 0, og demed: b = 8,8. Foskiften fo f e altså: f() = 8,8 0,8909 Hvis vi vil have foskiften på fomen f() = b e k, så få vi, idet k = lna, at: f() = 8,8 e 0,55 Uligheden f() løses heefte på følgende måde, (hvo vi he fo vaiationens skyld vil anvende foskiften på fomen: f() = b e k ), og hvo vi benytte, at ln og e e voksende funktione: 0,55 f() 8,8 e 0,55 e 0,443 0,55 ln(0,443) 7,4 Løsningsmængden til uligheden f() e således lig med [,4 ; [ 7 Øvelse.4.0. a) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt aftagende funktion f med halveingskonstanten 3,6, idet det vides, at f( 7) = 39,7 b) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt voksende funktion g med fodoblingskonstanten 00, idet det vides, at g(000) = 3. Og løs deefte uligheden: g() < Enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Ved et enkeltlogaitmisk (elle semilogaitmisk) koodinatsystem fostå vi et koodinatsystem, hvo den ene akse e en almindelig tallinie (almindelig skala, ækvidistant inddelt), og hvo den anden akse e en logaitmisk skala. De oftest anvendte enkeltlogaitmiske koodinatsysteme ha andenaksen som logaitmisk skala (man tale undetiden om et lodet-logaitmisk koodinatsystem), men de findes også eksemple på det modsatte (se kapitel ). I det følgende vil vi kun beskæftige os med enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, hvo andenaksen e logaitmisk, og vi vil tillade os at omtale disse kot som enkeltlogaitmiske koodinatsysteme. Enkeltlogaitmiske koodinatsysteme spille en sælig olle i fobindelse med eksponentielle vækstfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning.5.. Følgende to udsagn om en given funktion f e ensbetydende: ) Gafen fo f indtegnet i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem e en (ikke-vandet) et linie. ) f e en eksponentiel vækstfunktion.

26 - 9 - Bevis: Vi skal altså bevise, at hvis udsagnet ) e opfyldt, så gælde ) også og omvendt. Vi state med at antage, at vi ha indtegnet gafen fo f i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem og deved ha fået en et linie som vist på figu.5., dvs. vi antage, at ) e opfyldt. alm. skala log c (f()) Fig..5. log. skala f() (, f()) alm. skala På figuen e de ved siden af.aksen indtegnet en almindelig tallinie med en almindelig skala. (Man skal foestille sig, at den ligge oveni.aksen, men af tegnetekniske åsage e den vist ved siden af). Fo et vilkåligt punkt (, f()) på gafen i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem gælde, at det svae til punktet (, log c (f())) i det almindelige koodinatsystem bestående af.aksen og den almindelige skala ved. aksen. (Jf. definitionen af en logaitmisk skala (Definition..)). log c e altså den logaitmefunktion, som e anvendt til konstuktionen af den logaitmiske skala. Da punkte af fomen (, log c (f())) udgø en ikke-vandet, et linie i et almindeligt koodinatsystem, findes de to tal p, q R (p 0), så log c (f()) = p + q Da Vm(log c ) = R og Dm(log c ) = R + (jf. sætning..5), findes de to positive tal a og b, så log c (a) = p og log c (b) = q. Vi få demed, at: log c (f()) = log c (a) + log c (b) = log c (a ) + log c (b) = log c (b a ) Da en logaitmefunktion e injektiv få vi hemed, at f() = b a, dvs. at f e en eksponentiel vækstfunktion. (Bemæk, at a, idet p 0). Hemed e ) bevist. Antag heefte omvendt, at ) e opfyldt, dvs. at f e af fomen: f() = b a, hvo b > 0, a > 0, a Vi vil nu udegne log c (f()), hvo log c e den logaitmefunktion, de e anvendt til at konstuee den logaitmiske skala i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem: log c (f()) = log c (b a ) = log c (b) + log c (a ) = log c (b) + log c (a). Hvis vi sætte p = log c (a) og q = log c (b) få vi i alt, at: log c (f()) = p + q Som omtalt ovenfo gælde de, at nå vi i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem afsætte punkte (,f()) på gafen fo f, så afsætte vi i vikeligheden p.g.a. konstuktionen af den logaitmiske skala punktene (, log c (f())) i et almindeligt koodinatsystem. Da log c (f()) = p + q se vi demed, at gafen fo f blive en et linie i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem. (Bemæk desuden, at da a, e p 0). Hemed e sætningen bevist.

27 Som omtalt i fobindelse med definition.. kan man selv konstuee en enkeltlogaitmisk skala og demed kan man også selv konstuee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved på et stykke almindeligt papi at tegne et koodinatsystem, hvo andenaksen e en logaitmisk skala. Med en given funktion elle nogle givne koodinatsæt foelagt, kan man også simulee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved at afsætte (. koodinaten, logaitmen til.koodinaten) i et almindeligt koodinatsystem, og man kan he buge en hvilken som helst voksende logaitmefunktion, man ha lyst til elle finde passende til sammenhængen, f.eks. ln. Det e imidletid også muligt at købe og anvende fædigpoduceet enkeltlogaitmisk papi, hvilket e det almindeligste i undevisningssammenhænge. Eksempel.5.. 0,4 Vi vil indtegne gafene fo funktionene f() = 300 e og g() = 750 0,65 i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Da vi ved, at gafen fo såvel f som g give en et linie, skal vi blot beegne to støttepunkte fo hve funktion. Vi finde (kontolle): f(0) = 300 og f(3) = 996, samt g(0) = 750 og g(4) = 490,9. Gafene fo f og g i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem få demed det på figu.5. viste udseende. ln Fodoblingskonstanten T fo f e givet ved: T = =,73. Denne støelse kan imidletid 0,4 med tilnæmelse også aflæses på gafen, idet vi f.eks. benytte funktionsvædiene 300 og 600. Tilvæksten på.aksen ses netop at væe ca.,7. ln( Halveingskonstanten T ½ fo g e givet ved: T ½ = ) =,609, hvilket også kan aflæses på ln(0,65) gafen (om end med minde pæcision), f.eks. ved at benytte funktionsvædiene 4000 og 000. Vi se, at tilvæksten på.aksen blive ca. 0,7 ( 0,9) =,6 (kontollé!) f 000 g Fig..5.

28 - 3 - Øvelse.5.3. Tegn gafene fo følgende funktione i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, idet [ ; ] skal væe med på føsteaksen på tegningene. Aflæs funktionenes halveings- elle fodoblingskonstante. a) f() = 0,5,9 b) g(y) = ,4 y c) h(p) = e, p β d) Ψ(β) = 345 e Eksempel.5.4. I det enkeltlogaitmiske koodinatsystem på figu.5.3 ses en et linie, som ifølge sætning.5. e gafen fo en eksponentielt voksende funktion f. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f. Vi ved, at f e på fomen: f() = b a (elle: f() = b e k ), så ifølge sætning.4.4 skal vi blot kende koodinatene til to punkte på gafen, hvoefte a og b let kan bestemmes. Det deje sig defo om at finde to pæne /tydelige punkte på gafen, aflæse dees koodinatsæt og deefte anvende sætning.4.4. Vi se, at (0, 30) og (3, 60) e pæne punkte på gafen, hvomed vi finde (kontollé), at b = 30 og a =,56, og demed, at funktionsfoskiften e: f() = 30,56 0,3 elle f() = 30 e Fig..5.3 Øvelse.5.5. I den nedenstående tabel ses en ække målte data fo to biologiske støelse H og Q som funktion af tiden t. Indtegn disse punkte i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme og agumenté deefte fo, at såvel H som Q med god tilnæmelse kan beskives ved eksponentielle vækstfunktione. t 3 5, ,5 4 6,5 9 H(t) Q(t) Find på baggund af tegningene en funktionsfoskift fo H(t) og fo Q(t), og aflæs fodoblingskonstant elle halveingskonstant fo funktionene.

29 Potensfunktione. Potentielle vækstfunktione. Potensfunktione: I definition.. og i sætning..3 e udtykket a fastlagt fo a R + og R. Vi defineede heudfa en eksponentialfunktion som en funktion, hvo e den vaiable, medens a holdes fast (Definition.3. og sætning.3.). Vi vil nu se på den omvendte situation, hvo holdes fast, medens a betagtes som vaiabel. Definition.6.. Ved en potensfunktion fostå vi en funktion f af typen: f() =, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal. Vi bemæke, at definitionsmængden fo en potensfunktion e mængden R +, idet a som også omtalt ovenfo kun e defineet, nå a > 0. Funktione af typen: f() = n, hvo n Z (altså f.eks., 5 og -3 ), e også potensfunktione, idet de e af fomen:. Disse funktione e ikke kun defineet i R +, men i hele R (nå n > 0 ) elle i R\{ 0 } (nå n < 0). Nå vi betagte funktione af typen, så må vi defo egentlig skelne imellem, om Z og Z. I paktisk talt alle anvendelse af potensfunktione e de (uanset vædien af ) imidletid tale om positive støelse, og vi vil i det følgende ikke foetage denne skelnen, men kun se på positive vædie af den uafhængige vaiable. Vi minde om, at de fo alle n N gælde: vikeligheden e en potensfunktion (f.eks. e n n =, hvoaf vi se, at enhve odfunktion i 4 0,5 = ) Ifølge sætning..3 ha vi følgende omskivningsfomel: Sætning.6.. Fo alle R + gælde de: = ln e Eksempel.6.3. I potensfunktionene f() = 0,5, g() = 0,7 og h() =,88 e lig med hhv. 0,5, 0,7 og,88 Fo at skitsee gafene fo disse te potensfunktione, kan vi f.eks. udegne følgende støttepunkte: 0, f() 0,7,4,73,4 g(),6 0,6 0,46 0,38 0,3 h() 0,7 3,68 7,89 3,5 0,6

30 Disse tal kan vi enten finde v.hj.a. omskivningen ln = e, elle vi kan indtaste f.eks. 0,5,88 diekte på lommeegneen. Læseen opfodes til at pøve at udegne f(0,), g(0,) og h(0,). På baggund af disse vædie femkomme gafene på figu ,7,88 3 0, Fig..6. I folængelse af sætning.6. og eksempel.6.3 anføes følgende sætning: Sætning.6.4. ) Vædimængden fo en potensfunktion (hvo 0) e lig med R +, dvs. Vm( ) = R + ) Potensfunktionene (hvo 0) e monotone, idet de gælde: e voksende, nå > 0 e aftagende, nå < 0 Bevis: Ad ): Vi anvende omskivningen fa sætning.6.. Nå gennemløbe Dm( ), dvs. R +, så vil ln ln() gennemløbe hele R, og da 0 vil ln demed også gennemløbe hele R, hvomed e, dvs., gennemløbe R + (idet vædimængden fo en eksponentialfunktion e R + ). Ad ): Antag, at > 0, og lad, R + væe vilkåligt valgt, så <. Vi skal så vise, at <. Da funktionene ln og e begge e voksende, og da > 0, gælde de: < ln( ) < ln( ) ln() < ln( ) e ln( ) ln( ) < e < Vi se hemed, at funktionen e voksende, nå > 0. Beviset fo, at e aftagende, nå < 0, foløbe helt tilsvaende, idet dog ulighedstegnes vendes, nå de ganges med det negative tal. Detaljene ovelades til læseen. I kapitel 3 vil sætning.6.4 ) blive bevist igen, denne gang v.hj.a. diffeentialegning.

31 Fo logaitme- og eksponentialfunktione gælde, at de e hinandens omvendte funktione (jf. afsnit.,. og.3). Fo potensfunktione gælde, at den omvendte funktion til en potensfunktion selv e en potensfunktion. Løs føst den følgende øvelse, og læs deefte den følgende sætning og dens bevis. Øvelse.6.5. a) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. b) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. c) Giv et intuitivt geometisk agument fo, at f og g i pkt. a) e hinandens omvendte funktione, og tilsvaende i pkt. b). (Ved. omvendt funktione: se Appendi ). d) Pøv at give et egneteknisk bevis fo, at f og g e hinandens omvendte funktione. Sætning.6.6. Den omvendte funktion til potensfunktionen f() = (hvo 0), e potensfunktionen g() = Bevis: Ifølge sætning.6.4 b) e f monoton, hvomed den ifl. Appendi e injektiv og demed ha en omvendt funktion. Denne vil vi nu finde: y = f() y = y = ( ) = y f (y) og da vi kan navngive den uafhængige vaiable, som vi vil, se vi, at: f () = y = = g(). Potentielle vækstfunktione: Definition.6.7. Ved en potentiel vækstfunktion fostå vi en funktion g af typen: g() = b, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal, og hvo b e en positiv konstant. En potentiel vækstfunktion benævnes også: en funktion, de e popotional med en potensfunktion. Da tallet b e en positiv konstant, gælde sætning.6.4 også fo potentielle vækstfunktione, ligesom det gælde, at den omvendte funktion til potentiel vækstfunktion e en potentiel vækstfunktion (detalje i agumentationen fo disse udsagn ovelades til læseen). Eksempel.6.8. Vi vil tegne gafene fo funktionene: g() = 00 0,8 og h() = 54 0,7 i samme koodinatsystem og deefte ved beegning løse ligningen: g() = h().

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Privatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger

3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )

Kvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( ) Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere

Appendiks B: Korrosion og restlevetid for trådbindere Appendiks B: Koosion og esleveid fo ådbindee I de følgende omales koosionspocessene fo ådbindee og hvodan man beegne esleveiden fo en koodee ådbinde. Tådbindee ha i idens løb væe udfø af: messing (en legeing

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG

LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG LOKALPLAN 14-027 CENTER- OG BOLIGOMRÅDE VED JØRGEN STEINS VEJ, VESTBJERG AALBORG KOMMUNE TEKNISK FORVALTNING JUNI 2001 Vejledning En lokalplan fastlægge bestemmelse fo, hvodan aeale, nye bygninge, beplantning,

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )

( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( ) Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

9 Eksponential- og logaritmefunktioner

9 Eksponential- og logaritmefunktioner 9 Eksponential- og logaritmefunktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 2 2. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014

Roskilde Kommune Teknik og Miljø Rådhusbuen 1 4000 Roskilde Jyllinge, den 28. juli 2014 Roskilde Kommune Teknik og Milø Rådhusbuen 000 Roskilde Jyllinge, den. uli 0 Kommenteing fa de 0 gundefoeninge nod fo v i Jyllinge Nodmak til Gontmiappoten Skitsepoekt fo lokale løsninge til siking af

Læs mere

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING

PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING - E N M E T O D E, D E R V I R K E R I P R A K S I S HVAD ER PÆDAGOGISK KVALITETSEVALUERING? Pædagogisk Kvalitetsevalueing gø det attaktivt fo ledelse og pesonale at gå pædagogikken

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007

AKTUEL ANALYSE. Nye tider på boligmarkedet 24. januar 2007 AKTUEL ANALYSE Nye tie på boligmakeet 24. janua 2007 De høje pisstigningstakte på boligmakeet e løjet af, og meget tale fo en fotsat afæmpning i en kommene ti. Sien boligmakeet vente i 1993, e pisene vokset

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Differentialligninger. Ib Michelsen

Differentialligninger. Ib Michelsen Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3

Læs mere

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.

Appendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal. - 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden

Læs mere

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.

, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K. Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis

Etiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked

Notat. 18. oktober 2011. Social & Arbejdsmarked Notat Fovaltning: Social & Abejdsmaked Dato: J.n.: B.n.: 18. oktobe Udf diget af: mbf Vedłende: Fłtidspension Notatet sendes/sendt til: Abejdsmakedsudvalget Fłtidspension De ha i de seneste v et en tendens

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger

Variansanalyse (ANOVA) Repetition, ANOVA Tjek af model antagelser Konfidensintervaller for middelværdierne Tukey s test for parvise sammenligninger Vaansanalyse (ANOVA) Repetton, ANOVA Tjek af model antagelse Konfdensntevalle fo mddelvædene Tukey s test fo pavse sammenlgnnge ANOVA - defnton ANOVA (ANalyss Of VAance), også kaldet vaansanalyse e en

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.

Lokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt. VORDINGBORG KOMMUNE CHR RICHARDTSVEJ N KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-16.2 Boligomåde vest fo Solbakkevej, Vodingbog By Vodingbog septembe 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om

Læs mere

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012

Funktionsfamilier. Frank Villa. 19. august 2012 Funktionsfamilier Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere

Læs mere

Sabatiers princip (elevvejledning)

Sabatiers princip (elevvejledning) Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord

Helikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt

Læs mere

Lektion 6 Logaritmefunktioner

Lektion 6 Logaritmefunktioner Lektion 6 Logaritmefunktioner Den naturlige logaritmefunktion Andre logaritmefunktioner log() Regneregler Integration ln() =, ln(e) = ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a r ) = r ln(a) d = ln + C En berømt grænseværdi

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

GrundlÄggende variabelsammenhänge

GrundlÄggende variabelsammenhänge GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering

CoCo-obligationer i matematisk modelperspektivering CoCo-obligatione i matematisk modelpespektiveing CoCo bonds in a mathematical modeling pespective af JENS PRIERGAARD NIELSEN ######-#### THESIS fo the degee of MSc in Business Administation and Management

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

At score mål på hjørnespark

At score mål på hjørnespark At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse,

Læs mere

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B

Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B 1 Kontinuerte og differentiable modeller benyttet i SRP med matematik A og biologi A eller B Bent Selchau Indledningsvis vil vi betragte to typer populationsudviklinger, som altid bliver gennemgået i matematikundervisningen

Læs mere

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1

6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere