Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Transkript

1 - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f) = R + og Vm(f) = R ) f e monoton (dvs. f e enten voksende i R + elle aftagende i R + ) 3) Fo alle a, b R + gælde: f(a b) = f(a) + f(b) Det føste, man måske kunne spøge om, e, om de ovehovedet findes en funktion med disse egenskabe. Dette e (sammen med andet basalt stof om logaitmefunktione) bevist i Appendi, som imidletid e på et højt fagligt niveau og defo må vente til senee i de fleste læsees matematiske kaiee. Da Vm(f) = R fo en logaitmefunktion f, findes de specielt et tal c R +, så f(c) =. Og da f e monoton, antages funktionsvædien kun én gang, dvs. de findes kun ét tal med denne egenskab. Vi kan defo tillade os at anføe følgende: Definition... Ved gundtallet fo en logaitmefunktion f fostå vi det tal c R +, som opfylde, at f(c) =. En logaitmefunktion med gundtallet c vil vi betegne således: log c Fo ethvet positivt eelt tal c findes de en logaitmefunktion med c som gundtal. Beviset fo denne påstand bygge på følgende sætning (se øvelse..4): Sætning..3 ) Hvis f e en logaitmefunktion og k e en given konstant (k 0), så e funktionen k f også en logaitmefunktion. ) Hvis f og g e to givne logaitmefunktione, så findes de en konstant k, så g() = k f() fo alle R + Denne sætning e bevist i Appendi. Øvelse..4: Lad log d væe en given logaitmefunktion med gundtal d, og lad c R + \{} væe vilkålig givet. Agumenté fo, at funktionen logd () e en logaitmefunktion med gundtal c. log (c) d

2 - 5 - Vi bemæke altså, at de findes uendeligt mange logaitmefunktione, men at de ligne hinanden idet foskellen på dem e en konstant. Dette vende vi tilbage til senee. I folængelse af definition.. og.. kan vi nu anføe, at de gælde følgende sætning (de måske bude betegnes som en definition, da de blot e tale om en gentagelse af.. og dele af.. med den nye notation anvendt): Sætning..5. Hvis log c e en logaitmefunktion med gundtal c, så gælde de: ) Dm(log c ) = R + og Vm(log c ) = R ) log c e enten voksende i R + elle aftagende i R + 3) Fo alle a, b R + gælde: log c (a b) = log c (a) + log c (b) 4) log c (c) = På baggund af denne sætning kan vi nu bevise følgende: Sætning..6. De gælde følgende egneegle fo en vilkålig logaitmefunktion log c : ) log c () = 0 og log c (c) = ) log c (a b) = log c (a) + log c (b) a 3) logc = logc (a) logc (b) fo alle a, b R + b n log a = n log (a fo alle a R + og alle n Z 4) ( ) ) c n 5) log ( a ) log (a) c n c = fo alle a R + og alle n N 6) log c ( a + b) kan ikke omskives. 7) log c ( a b) kan ikke omskives. Bevis: c Regel e en del af definitionen på en logaitmefunktion og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. Regel : Da = se vi, at: log c () = log c ( ) = log c () + log c (), hvo egel e anvendt. Ved at tække log c () fa på begge side af lighedstegnet fås: log c () = 0. log c (c) = følge diekte af definition.. og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. a a a Regel 3: Da a = b ses ved anvendelse af egel : logc (a) = logc b = logc + logc (b) b b b Ved at tække log c (b) fa på begge side af lighedstegnet fås den ønskede egel. Regel 4: Hvis n e positiv, få vi ved anvendelse af egel, at : log c (a n ) = log c (a a a. a) = log c (a) + log c (a) + log c (a) +. + log c (a) = n log c (a)

3 - 6 - Da a o = se vi af egel, at: log c (a o ) = log c () = 0 = 0 log c (a) n Endelig ha vi, at a = give os følgende: n a n n logc (a ) = logc = logc () logc (a ) = 0 n logc (a) = n logc (a) n a c, hvoefte egel 5 femkomme ved at dividee med n på begge side af lighedstegnet. Regel 5: Da ( ) n n a = n n n a ha vi ifølge egel 4, at: log c (a) = log ( a ) = n log( a ) Reglene 6 og 7 e blot at tage til efteetning, men det gø dem ikke minde betydningsfulde. Som omtalt findes de fo ethvet positivt eelt tal c en logaitmefunktion med c som gundtal. Men de mest almindeligt anvendte logaitmefunktione e log, log 0 og log e, hvo e e et iationalt tal, som med 6 decimales nøjagtighed e givet ved: e =,788. At netop tallet e og demed logaitmefunktionen log e ha sælig betydning, e vanskelig at gøe ede fo på dette tidspunkt, men det kan nævnes, at det netop e denne logaitmefunktions eksistens, de bevises i Appendi. De te omtalte logaitmefunktione kaldes totalslogaitmen, titalslogaitmen og den natulige logaitme. Titalslogaitmen log 0 skives ofte blot som log (hvo 0 altså e undefostået), og den natulige logaitme skives oftest som ln, altså: ln = log e. Eksempel..7. Lad os pøve at undesøge logaitmefunktionen med gundtal lidt næmee. Ifølge sætning..6 ha vi følgende funktionsvædie fo log : log () Disse vædie femkomme på følgende måde (vi give te eksemple): log (8) = log ( 3 ) = 3 log () = 3 = 3 log ( 8 ) = log (8) = 3 = 3 log ( 8 ) = log () log (8) = 0 3 = 3 log e voksende (idet log enten e voksende elle aftagende, og vi ved, at 0 = log () < = log ()) Desuden ved vi, at Dm(log ) = R + og Vm(log ) = R. Kombinees disse infomatione med de fundne vædie i tabellen, se vi, at gafen fo log ha et udseende som vist på figu Fig... log

4 - 7 - Alle voksende logaitmefunktione ha i pincippet samme udseende som log (se figu.. og jf. sætning..3). Gafene fo logaitmefunktionene log og ln (dvs. log 0 og log e ) ses på figu ln log Fig... Som logaitmefunktion betagtet buges de aftagende logaitmefunktione stot set ikke. Men fo i det mindste at se gafen fo en aftagende logaitmefunktion, e de på figu..3 tegnet gafen fo log (dvs. logaitmefunktionen med gundtal 3 ) log Fig...3 I fobindelse med logaitmefunktiones monotoni-egenskabe gælde følgende sætning: Sætning..8. Om en logaitmefunktion log c med gundtal c gælde: c < log c e aftagende i R + c > log c e voksende i R + Bevis: Sætningen følge af, at en logaitmefunktion enten e voksende i R + elle aftagende i R +, at log c () = 0 samt at log c (c) =. Detaljene ovelades til læseen. Bemæk, at indholdet af sætning..8 e fint i oveensstemmelse med udseendet af gafene på figu..,.. og..3.

5 - 8 - I folængelse af sætning..3 vil vi nu anføe følgende sætning: Sætning..9. Fo logaitmefunktionen med gundtal c gælde, at () log c = ln fo alle R + ln c Bevis: Ifølge sætning..3 findes de en konstant k, så () log c = k ln fo alle R +. Dette gælde specielt fo = c, hvomed vi få: hvomed det ønskede e bevist. (c) log c = k ln c. Da log c (c) = give dette os, at k =, ln c Af sætning..9 femgå, at det e nok med én logaitmetast på lommeegneen/gafegneen, nemlig en ln-tast. Heefte kan alle øvige logaitmefunktiones vædie beegnes ud fa fomlen i sætning..9. Vi ha f.eks., at: log () = ln = ln =,4470 ln ln 0,6935 og log 0 () = ln = ln = 0,4349 ln ln0,3059 Vi få demed f.eks., at log (5) =,4470 ln 5 =,4470,60944 =,393 og tilsvaende, at log 0 (5) = log(5) = 0,4349 ln 5 = 0, Imidletid indeholde de fleste matematiske lommeegnee en speciel tast til både ln og log. Øvelse..0. Find ved hjælp af lommeegneen/gafegneen log og ln til hvet af følgende tal: 3,8, 4869, , 0, 0-7 og Øvelse... Find vædien af følgende udtyk, nå a = 8,6 og b = 3,4, dels ved føst at indtaste udtykket diekte i lommeegneen, dels ved at educee mest muligt, og deefte udegne vædien: a) ln 4 b a a + ln b ln(a + b) + ln(b 3 ) b) 3 log(b a ) + log( ) + b log(a 4 b 3 ) log( 3 a ) Opindeligt blev logaitmefunktionen opfundet som et edskab til foenkling af beegninge. Denne foenkling femkom, idet multiplikation estattes af addition, division estattes af subtaktion og oduddagning og potensopløftning estattes af simpel division og multiplikation (jf. sætning..6). Ved hjælp af en tabel kunne man således nemmee ovekomme støe beegninge. Denne beegningsfoenkling, som foegik v.hj.a. titalslogaitmen log, ha efte egnemaskinenes indføelse kun histoisk inteesse, og vi vil ikke komme næmee ind hepå.

6 - 9 - Logaitmiske skalae: Ved hjælp af logaitmefunktione e det muligt at konstuee logaitmiske skalae, og demed også logaitmiske koodinatsysteme, hvo den ene elle begge akse e logaitmiske skalae. Logaitmiske skalae og koodinatsysteme anvendes i en lang ække sammenhænge (som det bl.a. vil femgå af afsnit.5,.7 og kapitel ). Logaitmiske skalaes styke ligge bl.a. i, at de e velegnede som akse i koodinatsysteme, hvo de skal illustees støelse, som kan vaiee ove et meget stot omåde, og i, at sælige type af funktione få et let genkendeligt udseende (ette linie) i logaitmiske koodinatsysteme. Men dette vende vi som omtalt tilbage til. Hvodan definee og konstuee man så en logaitmisk skala? Definition... Lad log c væe en voksende logaitmefunktion. Ved hjælp af denne fastlægges følgende: Ved en logaitmisk skala fostås en tallinie (en skala), hvo de ud fo hve tal t ikke anføes tallet t, men deimod det tal, hvis logaitme e lig med t, dvs. t = log c (): 0 t = log c () Fig...4 alm. skala log. skala Denne definition give anledning til en ække kommentae, bl.a.: At det ovehovedet e muligt at give denne definition skyldes, at Vm(log c ) = R, så uanset vædien af t e det muligt at finde, så t = log c () Da log c e voksende og demed injektiv ha den en omvendt funktion log c - (jf. Appendi ) De gælde demed: t = log c () = log c - (t). Vi se hemed, hvodan konstuktionen af den logaitmiske skala foegå: På en almindelig tallinie skive vi blot log c - (t) i stedet fo t ud fo ethvet tal t. log c - (t) kan findes v.hj.a. lommeegneen/gafegneen (se nedenstående eksempel..8). De findes ingen negative tal på en logaitmisk skala, idet Dm(log c ) = R + = Vm(log c - ). Da to vilkålige logaitmefunktione e popotionale (jf. sætning..3 )), e det i pincippet uden betydning hvilken voksende logaitmefunktion man anvende til at konstuee den logaitmiske skala. Dette svae blot til, at skalaen kopiees op elle ned. Sætning..3. På en logaitmisk skala konstueet v.hj.a. logaitmefunktionen log c gælde, at fo alle hele tal n e tallet c n placeet, hvo n e placeet på den tilsvaende almindelige skala: Fig c -3 c - c - c c c 3 c 4 alm. skala log. skala

7 - 0 - Bevis: Beviset bygge på, at c e gundtal fo log c og demed gælde: log c (c n ) = n log c (c) = n = n, hvo sætning..6 pkt. ) og 4) e anvendt. Øvelse..4. Tegn figue i stil med figu..5 fo funktionene: log, log 5 og log. Kommenté esultatene. Pøv på hve af de te skalae at placee tallene 7 og 9. Sætning..5. ) På en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem tallene 0 og lig med log c (0). Demed gælde specielt, at fo alle hele tal n e den fysiske afstand mellem 0 n og 0 n+ den samme uanset vædien af n. ) Lad væe et positivt tal og lad n væe det mindste hele tal, som opfylde, at 0 n. Da gælde, at på en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem og 0 n lig med den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ Bevis: Den fysisk afstand mellem 0 og e ifølge konstuktionen af den logaitmiske skala givet ved: log c (0) log c () = log c (0) + log c () log c () = log c (0). Den fysiske afstand mellem og 0 n e givet ved: log c (0 n ) log c () = n log c (0) log c () og den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ e givet ved: log c (0 n+ ) log c (0) = (n+) log c (0) (log c (0) + log c ()) = n log c (0) log c () hvomed de to støelse altså e ens. Hemed e sætningen bevist. Eksempel..6. På figu..6 e vist placeingen af 0,,, 0, 00, 000 og af 5,4 og 54 på en logaitmisk skala. 5,4 54 Fig...6 0, log.skala Ifl. sætning..5 e afsnittet fa 0 til 00 inddelt på samme måde som afsnittet fa til 0, som igen e inddelt på samme måde som afsnittet fa 0, til, osv. osv. F.eks. e afstanden fa 5,4 til 0 den samme som fa 54 til 00, som igen e den samme som afstanden mellem 540 og 000. Et sådant afsnit fa til 0 kaldes en dekade. På figu..6 e de således medtaget 4 dekade. På figu..7 ses dekaden fa til 0 i fostøet vesion: Fig Øvelse..7. Tegn en logaitmisk skala uden delepunkte og tal på. Afsæt 5 punkte med lige sto afstand imellem sig fodelt ove skalaen. a) Hvis de stå 000 og 0000 ved de to føste punkte, hvad stå de så ved esten? b) Hvis de stå og 0 ved de to sidste punkte, hvad stå de så ved esten? c) Pøv at inddele et pa af dekadene på de to akse i pkt. a) og b).

8 - - Eksempel..8. I folængelse af definition.. blev det omtalt, at vædiene, de skal afsættes på en almindelig skala fo at lave den om til en logaitmisk skala, dvs. log - c (t) i stedet fo t, kan findes v.hj.a. lomme/gafegneen. På de fleste matematiske lommeegnee findes som tidligee nævnt både log og ln. Og dees omvendte funktione. Hvis vi koncentee os om ln-tasten, så vil den omvendte funktion almindeligvis væe placeet ove denne tast og kunne nås ved hjælp af en nd -tast elle lign. Den omvendte funktion ln - betegnes også e (se afsnit.3). Hvis vi f.eks. vil konstuee en logaitmisk skala v.hj.a. log 5, så skal vi buge vædie af log - 5. Disse kan findes på følgende måde: Ifølge sætning..9 ha vi, at log 5 () = ln. Heaf få ln 5 vi, at t = log 5 () t = ln t ln5 = ln = ln - (t ln5). Da vi desuden ha, at ln 5 t = log 5 () = log - 5 (t) se vi i alt, at log - 5 (t) = ln - (t ln5). Vi kan altså finde vædie fo log - 5 ved at anvende ln- og ln - -tastene på gafegneen. Læseen kan som en øvelse pøve at finde følgende vædie: log 5 - ( 34), log 5 - (3) og log 5 - (00).. Udvidelse af potensbegebet. I dette afsnit vil vi fastlægge betydningen af a fo et vilkåligt positivt eelt tal a og et vilkåligt eelt tal. (Vi vil altså fastlægge, hvad vi f.eks. skal fostå ved Eksempel... Som et indledende eksempel vil vi se på fastlæggelsen af n 5 ). fo R. Vi kende alleede betydningen af fo n Z (mængden af hele tal) og kan defo buge disse q vædie som udgangspunkt. (Egentlig kende vi betydningen af fo q Q (mængden af ationale tal), men dette vil vi i føste omgang se bot fa og så lidt senee vende tilbage hetil). n I et koodinatsystem indtegnes punktene (n, ) fo n Z (se figu.. a)) a) -4 b) Fig log y = log

9 - - Hvis disse punkte fobindes med en blød kuve (som antydet med den stiplede linie på figuen), så kan vi ud fa denne kuve definee, hvad vi skal fostå ved også nå ikke e et helt tal. Vi se,68 f.eks., at må fastlægges til en vædi omking 3,5. En definition som den netop skitseede e imidletid fo løs, idet de givne punkte kan fobindes med en blød kuve på mange måde, og idet aflæsning ikke e pæcist. Dette kan afhjælpes på følgende måde: Som omtalt i afsnit. ha funktionen log en omvendt funktion n log. Ifølge sætning..6 gælde de fo alle n Z, at: log ( ) = n log () = n, hvoaf vi se, at: = log (n) Samtlige de givne punkte (n, n ) ligge altså på gafen fo log n. (se figu... b)). Da log () e defineet fo alle R, idet Dm( log ) = Vm(log ) = R, kan vi altså fo alle R fastsætte, at: = log (). Og da vi alleede ved, at denne fastsættelse stemme oveens n med det kendte potensbegeb, idet vi ved, at: = log (n) fo alle n Z, e de tale om en udvidelse af det almindelige potensbegeb. Inspieet af eksempel.. give vi følgende definition: Definition... Fo ethvet a > 0, a, fastlægges vædien af a ud fa logaitmefunktionen log a med gundtal a på følgende måde: a = log () Fo a = fastlægges, at = fo alle R. a fo R Som omtalt i eksempel.. e de fo a > 0 tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb, idet log a (a n ) = n log a (a) = n fo alle n Z, hvoaf vi se, at: a n = loga (n) fo alle n Z, og idet n =. Men bemæk, at selvom vi godt kan udegne f.eks. ( ) n fo n Z, så findes de ingen udvidelse af dette potensbegeb. Udvidelsen foudsætte altså (som også nævnt), at a e et positivt tal. Fo enhve vædi af a skal vi ifølge definition.. have kendskab til den tilsvaende logaitmefunktion log a og dennes omvendte funktion. Det blive demed lidt besvæligt, hvis vi f.eks. skal fastlægge og udegne vædien af et udtyk som: 3,4 0,3 5 0,6 π 4,, idet dette da e givet ved: log3,4 ( 5) log0,6 ( π) log4, ( 0,3). Som det femgå af den følgende sætning (og se også eksempel..8), kan vi imidletid nøjes med at benytte én bestemt logaitmefunktion, nemlig ln. Sætning..3. Fo alle a > 0 og alle R gælde de: ) a = ln ( ln a) ) a = ln( a lna e 3) ) = ln a

10 - 3 - Bevis: Ad ): Ifølge sætning..9 gælde de følgende omskivninge: a = loga () = log a ( a ) = ln(a ) lna = ln( a ) a = ln - ( lna) ln a Fo a = ha vi, at ln ( ln) = ln (0) = =, hvomed ) e bevist i alle tilfælde. Ad ): Ud fa definition.. se vi, at e = ln - () fo et vilkåligt tal. Dette gælde specielt fo = ln a, hvomed vi ifl. pkt. ) få det ønskede. Ad 3): Da dette indgå som en del af omskivningen i pkt. ), e sætningen hemed bevist. Øvelse..4. Vis, at egel 3) i sætning..3 gælde fo en vilkålig logaitmefunktion log c, dvs. at: log c (a ) = log c (a) fo alle a > 0 og alle R. Eksempel..5. Som også omtalt i eksempel..8, findes de på de fleste matematiske lommeegnee taste til både ln og den omvendte funktion ln -, de også betegnes med e (se afsnit.3). Vi vil nu finde vædien af 3,4 5 0,3 0,6 π 4, ved hjælp heaf. Vi ha: 5 0,3 3,4 0,6 π 4, = ln ( 5 ln3,4) ln ( π ln 0,6) ln ( 0,3 ln 4,) = ln (,736445) ln (,50794) ln ( 0,3457) = 5,4307 0,730 0,7869 =,48463 Det skal bemækes, at de fleste lommeegnee ha en tast med benævnelsen y elle ^, og at f.eks. 5 3,4 da kan udegnes ved diekte at taste: 3,4 y 5 elle 3,4 ^ 5. Øvelse..6. Udegn vædien af følgende: a) 3 3 b), 0 π,7 c) 6,06 0,6 0,5 0,4 7,6 Det udvidede potensbegeb opfylde de samme egneegle som det sædvanlige potensbegeb, idet de gælde følgende sætning: Sætning..7. Fo alle a, b R +, fo alle, s R og alle n N gælde: ) 5) a a b s + s a = a ) a = 6) b a a s a = s = a 3) a (a ) s s = a 4) a b = 7) a = a n 8) a = a n (ab)

11 - 4 - Bevis: Vi bevise egel ) og 8). Bevisene fo de øvige egle foløbe på helt samme måde og ovelades til læseen som en øvelse: Ad ): Ifølge sætning..6 3) og sætning..3 3) ha vi, at: a ln( a s ) = ln( s s a ) ln( a ) = ln(a) s ln(a) = ( s) ln(a) = ln( a ) Da ln e en injektiv funktion få vi heaf, at: a a s s = a, hvomed det ønskede e bevist. Ad 8): Ifølge sætning..6 5) og sætning..3 3) ha vi, at: ln( n a ) = ln( a) ln(a ), og da ln e injektiv få vi heaf, at: n n a = a. Hemed e det ønskede bevist. n = n Ifølge sætning..7 gælde de altså f.eks., at,43,9 3,6 = og,6,47 3,95 ( 5,4 ) = 5,4. Eksempel..8. Som omtalt i indledningen til dette afsnit kendte vi faktisk til a q, hvo q e et ationalt tal (dvs. q e en bøk mellem to hele tal), inden vi foetog den ovenfo gennemføte udvidelse af potensbegebet. m q n m Hvis q =, hvo m Z og n N, så havde vi nemlig, at: a = ( a ). n Vi skal defo nu kontollee, at dette stemme oveens med det nye potensbegeb, så de som oveskiften til afsnittet lyde e tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb. Dette følge imidletid umiddelbat af sætning..7 8) og 3), idet disse egle give os, at: m n m m ( a ) (a n ) = a n = = a. q Vi afslutte afsnit. med at omtale, at sætning..3 og sætning..7 sammen med egnemaskinens ln- og ln - -tast (dvs. ln- og e -tasten) kan benyttes til bl.a. løsning af ligninge: Eksempel..9. Vi vil i dette eksempel løse ligningene: a) 3 = b) = 0 c) log 5 () = 4, Ad a): Da ln e injektiv, ha vi, at: 3 = ln(3 ) = ln ln3 = ln = Løsningen e altså: = Ad b): Da ln ln3 = 0, = (3 ), skal vi løse ligningen: (3 ) 3 6 = 0. Hvis vi sætte 3 = y, så e poblemet educeet til at løse ligningen: y y 6 = 0. Denne andengadsligning ha løsningen: y = y = 3, hvomed vi se, at: (3 ) 3 6 = 0 3 = 3 = 3 ln ln3

12 - 5 - Da 3 = ln ( ln3), og da Vm(ln ) = Dm(ln) = R +, se vi, at 3 > 0 uanset vædien af. Ligningen 3 ln 3 = ha således ingen løsning. Vi se demed (jf. pkt. a)), at løsningen e: =. ln3 Ad c): Da log 5 () = ln se vi, at: ln5 log 5 () = 4, ln = 4, ln = 4, ln5 = ln (4, ln5) ln5 Løsningen findes heefte v.hj.a. egnemaskinen ved føst at udegne: 4, ln5 = 6,75964, hvoefte = ln 6,75964 (6,75964) = e = 86,33 findes ved anvendelse af e -tasten. Øvelse..0. Løs følgende ligninge: a) log 3 () = 7, 3 b) 5 ln = ln(5) c) = 3 4

13 Eksponentialfunktione. På baggund af definition.. e vi nu i stand til at anføe følgende definition: Definition.3.. Ved en eksponentialfunktion fostå vi en omvendt funktion til en logaitmefunktion, dvs. en eksponentialfunktion e en funktion f af typen: f() = a hvo a > 0, a. (a e gundtallet fo den tilsvaende logaitmefunktion). Eksponentialfunktionene e, og 0 e altså de omvendte funktione til hhv. ln, log og log. Eksponentialfunktionen e kaldes den natulige eksponentialfunktion (elle undetiden blot: eksponentialfunktionen). Funktionen (som e konstant lig med ) e ikke en eksponentialfunktion. Ud fa definition.3. og afsnit. kan vi diekte opskive den ække egenskabe, som e indeholdt i følgende sætning: Sætning.3.. Fo en eksponentialfunktion a gælde: ) Dm(a ) = R og Vm(a ) = R + ) a ln a = e 3) ln(a ) = lna 4) + a = a a 5) a = (a ) = ( ) = a a 6) a e voksende, hvis a > a e aftagende, hvis 0 < a < 7) Hvis a > gælde: a fo og a 0 fo Hvis a < gælde: a 0 fo og a fo Fo den natulige eksponentialfunktion gælde specielt: 8) e e voksende 9) e fo og e 0 fo e 0 fo og e fo Bevis: Læseen opfodes til at udfylde detaljene i det følgende: Ad ): Dette følge af definitionen på en omvendt funktion (jf. appendi ), samt af definition.. og definition.3.. Ad ): Følge af sætning..3 ). Ad 3): Følge af sætning..3 3). Ad 4): Følge af sætning..7 ). Ad 5): Følge af sætning..7 3) og 6). Ad 6): Følge af sætning..8, definition.3. og sætning A.. (se appendi A).

14 - 7 - Ad 7): Fo a > læses sætningen: a gå imod uendelig fo gående mod uendelig hhv. a gå mod nul fo gående mod minus uendelig. Og det betyde, at a kan blive lige så sto, som vi måtte ønske det, blot e tilstækkelig sto, hhv. at a kan komme lige så tæt på 0, som vi måtte ønske det (dog uden nogensinde at blive 0), nå blot e tilstækkelig sto negativ. Og tilsvaende fo a <. Beviset følge diekte af ) og 6) i denne sætning. Ad 8): Følge diekte af 6) i denne sætning, idet e >. Ad 9): Følge diekte af 7) og 5) i denne sætning, idet e > og e <. Hemed e sætningen bevist. Bemæk, at egneeglen i 4) i sætning.3. sige, at en eksponentialfunktion af en sum af tal e poduktet af eksponentialfunktionen af de enkelte tal. Dette e den modsatte egel af egneeglen i definition.. (dvs. af egel ) i sætning..6) de sige, at logaitmen af et podukt af tal e summen af logaitmene til de enkelte tal. Bemæk desuden, at enhve eksponentialfunktion gå igennem punktet (0,) og (,a), idet a 0 = og a = a V.hj.a. de i afsnit. omtalte egnemaskinetaste kan vi udegne funktionsvædie fo foskellige eksponentialfunktione og deefte tegne gafene. På figu.3. ses gafene fo eksponentialfunktionene: e, og ( ) : Fig..3. Øvelse.3.3. Ovevej/Gø ede fo, at funktionene på figu.3. e eksemple på opfyldelse af pkt. 6), 7), 8) og 9) i sætning.3.. Øvelse.3.4. Tegn gafene fo funktionene ( 3 ) ) ( og ) 3 ( i samme koodinatsystem. Gø ede fo, at de to gafe e symmetiske omking andenaksen. e Øvelse.3.5. Løs ligningene: a) e = 4 b) e = e c) 4 7 = 9 d) 3,5 = 5 0,8

15 - 8 - Øvelse.3.6. Bestem i hvet af følgende tilfælde tallet a, så de fo alle gælde: 3 0,5 a) a = e b) a = e Da funktionene ln og e begge e voksende funktione, gælde de (ovevej!), at ln() < c 0 < < e c og a < b ln(a) < ln(b) hvo a, b og c e givne tal (a > 0, b > 0). Bemæk, at i den føste ulighed e > 0, idet Dm(ln) = R +. Dette kan buges til at løse ulighede, hvoi de optæde logaitme- elle eksponentialfunktione. Eksempel.3.7. a) Uligheden: log 3 <, 8 ha løsningsmængden ] 0 ; 7,5 [, idet vi ha:,8 ln3 log 3 <,8 ln <, 8 ln <,8 ln3 0 < < e 0 < < 7,5 ln3 b) Uligheden: 0,4 > 7 ha løsningsmængden ] ;,4 [, idet vi ha: 0,4 > 7 ln(0,4 ln7 ) > ln7 ln(0,4) > ln7 < <,4 ln0,4 hvo vi ha anvendt, at ln(0,4) < 0. Øvelse.3.8. Løs ulighedene: a) ln <,9 b) e > 5 c) log () + log() > 0 d) 3 > ln3 Afslutningsvist skal det bemækes, at de også i fobindelse med eksponentialfunktione anvendes foskellig symbolik i litteatuen. Den natulige eksponentialfunktion e skives undetiden: ep(), (hvilket kan væe en typogafisk fodel, hvis man skal angive eksponentialfunktionen af et stot udtyk). I lighed med logaitmefunktione anvendes undetiden udtykket ep a () fo a. Og tallet a kaldes da også gundtallet fo eksponentialfunktionen. Vi ha altså: ep a () = a og ep e () = ep() = e Med denne notation kan eglene ), 3), 4) og 5) i sætning.3. anføes på følgende måde: ep a () = ep( lna) ln(ep a ()) = lna epa ( + ) = epa () epa ( ) ep a ( ) = ep () a

16 Eksponentielle vækstfunktione. Definition.4.. Ved en eksponentiel vækstfunktion fostås en funktion af typen: f() = b a elle f() = b e k hvo a, b og k e konstante. (b > 0, a > 0, a, k 0). I definitionen kæves, at a og k 0, idet funktionen elles e konstant. At b foudsættes positiv og ikke kun foskellig fa nul e i ealiteten ingen indskænkning, fo i paktiske anvendelse e b oftest positiv, og selv om funktionsvædiene skulle væe negative, så betagte vi blot de numeiske funktionsvædie. (Vi se altså f.eks. på gæld i stedet fo på negativ fomue). En eksponentiel vækstfunktion kaldes undetiden også fo en eksponentiel udvikling elle en funktion, de e popotional med en eksponentialfunktion. Hvis man ved, at funktionen e voksende, tale man også om en eksponentielt voksende funktion, og hvis man ved, at den e aftagende, tale man om en eksponentielt aftagende funktion. De gælde, at b a = b e k fo alle, hvis a = e k elle k = lna (ovevej!). En eksponentiel vækstfunktion e altså blot en eksponentialfunktion, de e multipliceet med en konstant, (hvilket e åsagen til et af de altenative navne anføt ovenfo). De to skivemåde b a og b e k anvendes fit efte behov, idet det i nogle sammenhænge e smatest elle sædvane at buge b a, og i ande sammenhænge e det smatest elle sædvane at buge b e k. k 0 e Bemæk, at da a 0 = og =, så e b = f(0). I alt kan vi konkludee, at gafen fo en eksponentiel vækstfunktion ligne gafen fo en eksponentialfunktion, idet alle funktionsvædie på gafen ove en eksponentialfunktion a ganges med en konstant b (dvs. afstanden fa gafpunktet til føsteaksen blive b gange så sto ved den eksponentielle vækstfunktion som ved den tilsvaende eksponentialfunktion). Øvelse.4.. Tegn/Skitse gafene fo funktionene f() = 5 e, g() = 0,3 koodinatsystem. (Jf. figu.3.) og h() = 00 ( ) i hvet sit Da en eksponentiel vækstfunktion e bestemt ved vædien af to konstante (b og a hhv. b og k), kan funktionsfoskiften fo en eksponentiel vækstfunktion fastlægges, blot vi kende to punkte på dens gaf. Et eksempel på dette vises i det følgende:

17 - 0 - Eksempel.4.3. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at f(,) = 8 og f(9) = 5. Vi vil bestemme vædiene af a og b., f(,) = 8 give os, at 8 = b a, og f(9) = 5 give os, at 5 = b a 9. Vi ha således to ligninge med to ubekendte (a og b), og disse ligninge kan løses ved substitutionsmetoden:, 8 Af 8 = b a ses, at: b =,. a Dette indsættes i udtykket: 5 = b a 9, hvomed vi få: , 5 = a = a, a 8 ln(6,5) = 7,8 lna lna = 0,3997 0,3997 a = e Vi se altså, at a =,7. Denne vædi indsættes i udtykket b =, hvomed vi 8 få: b = 5,9988. Vi se demed, at f () = 5,9988,7. Gafen fo f e vist på figu.4.. Det skal bemækes, at udegningen af a også kan foegå ved at sige, at da 8 = b a og 5 = b a 9, b a a 9, 7,8 så få vi, at = = = a = a, hvoefte de kan fotsættes som ovenfo.,, 8 b a a Vi kan imidletid også fotsætte beegningen på følgende måde (jf. egneeglene i sætning..7): 5 8 = 7,8 a, a 5 7,8 7,8 7, 8 8 = (a ) a = 5 8 7,8, a =,7 8 hvoefte b findes ud fa, at b =,. a Endelig skal det bemækes, at selvom odtegnet s t egentlig kun e defineet fo positive hele tal s, så tillade man sig at skive f.eks. 7, 8 7, i stedet fo. Ved anvendelse af lommeegneens 8 8 (gafegneens) funktion e det nemlig muligt at indtaste og få udegnet sådanne støelse Fig..4.

18 - - Situationen i eksempel.4.3 kan genealisees til følgende sætning: Sætning.4.4. Hvis det om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at gafen gå igennem punktene (, y) og (, y ) (dvs. hvis f () = y og f ( ) = y ), så e konstantene a og b givet ved: Bevis: a = y y = y ln y ln y ep og b = y = a a Af foudsætningene følge, at y = b og y = b. Dette give os: y b a a y y = = = a og demed a = y b a a y = y hvo det sidste lighedstegn følge af, at vi som omtalt i eksempel.4.3 ha tilladt os at anvende n odtegnet selv om ikke e et positivt, helt tal. (Vi minde om eglen: s n = s ) Det sidste udtyk fo a komme af følgende omskivning: y y a y ln y ln y = ln( ) = ( ) ln a = lna y a = y a ln y ep Udtykket fo b komme ved simpel division med a i udtykket: y = b. a ln y Øvelse.4.5. t a) En eksponentiel vækstfunktion H(t) = q p gå igennem punktene (., 8) og (5, 53). Bestem foskiften fo H og tegn/skitse gafen fo H. k b) En eksponentielt aftagende funktion g() = b e opfylde, at g( ) = 80 og g(3,6) =. Bestem vædien af konstantene b og k og tegn/skitse gafen fo g. I fobindelse med monotoni gælde de følgende sætning, som følge diekte af sætning.3. 6), definition.4. og det faktum, at k = lna (Ovevej detaljene!): Sætning.4.6. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at: f e voksende, hvis a > f e aftagende, hvis 0 < a < Om en eksponentiel vækstfunktion f() = f e voksende, hvis k > 0 f e aftagende, hvis k < 0 k b e gælde, at

19 - - Øvelse.4.7. a) Skitse gafene fo funktionene: 0,48 f() = 300 e og 0,75 g() = 0 e i samme koodinatsystem. b) Løs ved beegning ligningen: f() = g() c) Find tallene b og c som opfylde, at f() = 300 b og g() = 0 c Relativ funktionstilvækst. Vi vil nu gå ove til at undesøge en inteessant og vigtig egenskab ved eksponentielle vækstfunktione, nemlig dees elative funktionstilvækst. Føst anføes et eksempel, som ikke ha noget med eksponentielle vækstfunktione at gøe, men hvo begebet elativ funktionstilvækst intoducees. Eksempel.4.8. I en planteskole følge man højden af et bestemt æbletæ, som bygge på en sælig podning. I den følgende tabel ses tæets højde målt d.. juli i hvet af de angivne å: Åstal Højde,00 m,30 m,50m,65 m Hvis vi gå fem fa å 000 til å 00, så se vi, at den absolutte tilvækst i højden e,50,00 m, dvs. 0,50 m. Den elative tilvækst af højden findes ved at beegne den absolutte tilvækst i fohold til 0,50 den opindelige vædi, altså: = 0, 5 elle hvis vi ønske den elative tilvækst i pocent: 5 %,00 Tilsvaende e den absolutte tilvækst fa å 00 til 003 givet ved: 0,35 m og den elative tilvækst e 0,5 (elle: 5, %). Hvis vi lade h væe den funktion, de til et givet åstal angive tæets højde, så e de ovenstående elative tilvækste udegnet som:,50,00 h(00) h(000),65,30 h(003) h(00) 0,5 = = og 0,5 = =,00 h(000),30 h(00) De elative tilvækste kan demed siges at væe elative funktionstilvækste fo funktionen h. Som anføt i eksempel.4.8 findes den elative funktionstilvækst fo en funktion f, nå dens uafhængige vaiable ændes fa til, som vædien af bøken: f ( ) f () f ( ) = f () 00 % f () f () hvo det sidste udtyk give tilvæksten i %. Hvis tilvæksten i den uafhængige vaiable kaldes h, og hvis statvædien kaldes, så e den elative funktionstilvækst altså givet ved: f ( + h) f () f () = f ( + h) f () 00 % f ()

20 - 3 - Da tilvæksten i den uafhængige vaiable e en støelse, de almindeligvis ha inteesse, vil vi i det følgende benytte det sidst anføte beegningsudtyk. Vi se (jf. også den nedenstående figu.4.), at hvis tilvæksten h i den uafhængige vaiable e positiv (dvs. hvis vi gå femad på.aksen), så e den elative funktionstilvækst positiv fo en voksende funktion og negativ fo en aftagende funktion. f() f(+h) f() f(+h) +h +h Fig..4. I fobindelse med eksponentielle vækstfunktione og elative funktionstilvækste gælde de nu: Sætning.4.9. Fo en eksponentiel vækstfunktion gælde, at de til en given absolut tilvækst i den uafhængige vaiable svae en bestemt elativ (pocentuel) tilvækst i den afhængige vaiable uanset udgangspunktet fo tilvæksten. Elle mee fomelagtigt udtyk: Lad f() = b a væe en eksponentiel vækstfunktion. f ( + h) f () Fo enhve vædi af tilvæksten h findes en konstant K h, så = K h, f () dvs. den elative funktionstilvækst afhænge ikke af udgangspunktet, men kun af tilvæksten h. De gælde: K h = a h Bevis: Ud fa foudsætningene og sætning.3. ses, at: + h f ( + h) f () b a b a b a a b a = = = a h f () b a b a Heaf ses, at den elative (pocentuelle) funktionstilvækst ikke afhænge af, og at K h = a h h

21 - 4 - Eksempel.4.0. a) Den elative funktionstilvækst fo funktionen f() = 5,6 svaende til den absolutte tilvækst 0,5 h = 0,5 e ifølge sætning.4.9 givet ved:,6 = 0, 649 (elle 6,49 %). Svaende til tilvæksten h =, e den:,6 =, 683 (elle 68,3 %) 0,8, Og svaende til h = 0,8 e den:,6 = 0, 334 (elle 3,34 %) b) Den elative funktionstilvækst fo funktionen g() = ,9 svaende til tilvæksten h =,, e: 0,9 = 0, 88 (elle,88 %). c) Hvis vi skal bestemme den elative funktionstilvækst fo funktionen p() = p(+,8) p() til tilvæksten h =,8, så kan vi enten udegne vædien af udtykket p() 0,4 0,4 3 e svaende, elle vi kan sige: p() = 3 a, hvo a = e = 0, 6703, hvomed esultatet blive: 0,6703 = 0, 53 (elle 5,3 %).,8 Eksponentielle vækstfunktione e i øvigt de eneste funktione, de ha konstant elativ tilvækst. De gælde nemlig følgende sætning, som ikke kan bevises he, men som vil blive bevist i kapitel 3. Læsee, de endnu ikke e bekendt med begebet diffeentiabilitet, kan blot spinge sætningen ove. Sætning.4.. Hvis det om en positiv, ikke-konstant, diffeentiabel funktion f defineet i et inteval I gælde, at fo f ( + h) f () en vilkåligt valgt vædi af tilvæksten h e den elative funktionstilvækst konstant f () (dvs. uafhængig af ), så e f en eksponentiel vækstfunktion. Femskivningsfaktoe. Hvis f() = b a og hvis h e en given absolut tilvækst, så gælde de fo alle, at: + h h h f(+h) = b a = b a a = f () a dvs. f(+h) = a h f() Støelsen a h angive altså, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h. Støelsen a h kaldes vækstfaktoen elle femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten h. Vi se specielt, at: f(+) = a f(), dvs. at tallet a i funktionsfoskiften f() = b a e femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten. a kaldes undetiden blot fo femskivningsfaktoen fo f. Den elative funktionstilvækst svaende til en tilvækst på enhed e ifølge sætning.4.9 givet ved: a = a. Denne støelse betegnes ofte med og kaldes vækstaten (elle entefoden) fo funktionen. Vi ha altså: = a, elle: a = +, og demed, at: f() = b a = b (+) Bemæk, at e positiv fo en eksponentielt voksende funktion og negativ fo en eksponentielt aftagende funktion, idet de gælde: a > > 0 og 0 < a < < < 0. (Jf. sætning.4.6).

22 - 5 - Øvelse.4.. Bestem vækstaten (og den tilsvaende pocentuelle vækst p. enhed) fo hve af de følgende seks eksponentielle vækstfunktione: a) f() = 0,4 b) f() = 0,85,78 c) f() = 3000, d) f() = 4 0,94 e) f() = 58 0,58,3 f) f() = 900 e Hvis vi ha en støelse S, som foandes med en bestemt pocent P p. enhed, så kan denne støelse beskives ved en eksponentiel vækstfunktion S() = b a. Da S(+) = S() + (P % af S()) = S() + P P S() = ( + ) S( ) 00 P se vi, at vækstaten fo funktionen e, og at femskivningsfaktoen a svaende til tilvæksten 00 e a = P +. Da b = S(0) få vi demed i alt, at: 00 P S() = S(0) ( + ) 00 Bemæk, at det afhænge af den konkete situation, om fomlen gælde fo alle -vædie i et inteval I elle f.eks. kun fo alle heltallige -vædie. Og hvis fomlen skal gælde fo alle I, så skal støelsen S() væe defineet fo alle I, ligesom omskivningen skal gælde fo ethvet I (altså uanset udgangspunktet). Disse esultate benyttes meget i divese matematiske modelle, hvoi eksponentielle vækstfunktione indgå, heunde entesegning (se kapitel og 4). Øvelse.4.3. Om en given støelse vides, at den vokse med 6 % p. tidsenhed, og at dens vædi e 3 efte de føste 8 tidsenhede. Bestem en foskift fo en funktion, som kan beskive støelsens udvikling. 00 Halveings- og fodoblingskonstante. Hvis K e en given elativ funktionstilvækst fo en eksponentiel vækstfunktion f() = b a, så e vædien af den tilvækst h, de svae hetil, fastlagt ved: a h = K (jf. sætning.4.9). Heaf se vi, at: ln( + K) h = ln a Øvelse.4.4. Bestem i hvet af følgende tilfælde den absolutte tilvækst af den uafhængige vaiable, de skal til fo at give en eksponentiel vækstfunktion med femskivningsfaktoen a en elativ tilvækst K: a) a = 0,8 og K = 0,30 b) a =,68 og K =, c) a =,3 og K = 7 % d) a = 0,97 og K = 50 %

23 - 6 - Ofte e man inteesseet i at angive den vædi af tilvæksten h, som give en fodobling af funktionsvædiene (nå f e voksende) elle en halveing af funktionsvædiene (nå f e aftagende). Fodobling: En fodobling svae til en foøgelse på 00 %, hvomed K = 00 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = =. Fo denne vædi af h ha vi, at: f(+h) = f(). ln( + ) ln ln a ln a Halveing: En halveing svae til en fomindskelse på 50 %, dvs. en tilvækst på 50 %, hvomed ln( ) ln( K = 50 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = = ). Fo denne vædi ln a ln a af h ha vi: f(+h) = f(). I denne fobindelse give vi dels følgende definition, dels ha vi vist den deefte følgende sætning: Definition.4.5. Den tilvækst T, som give en eksponentielt voksende funktion en fodobling af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 00 %), kaldes fodoblingskonstanten fo funktionen. Den tilvækst T ½, som give en eksponentielt aftagende funktion en halveing af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 50% ), kaldes halveingskonstanten fo funktionen. Ofte e tiden den uafhængige vaiable, og vi tale da om fodoblingstiden elle halveingstiden. f() f() f() f() +T +T ½ Fig..4.3 Sætning.4.6. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a gælde: ln f( + T ) = f() og T = ln a Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a gælde: ln( f(+t ½ ) = f() og T ½ = ) ln a

24 - 7 - Bemæk, at nå f e eksponentielt voksende, så e a > og demed e lna > 0, hvomed T > 0, idet ln > 0. Tilsvaende ses, at nå f e eksponentielt aftagende, så e 0 < a < og demed e lna < 0, hvomed T ½ > 0, idet ln( ) < 0. I fobindelse med halveings- og fodoblingskonstante, samt de to foskellige opskivningsfome fo eksponentielle vækstfunktione gælde de en stibe omskivningsfomle, bl.a. følgende: Sætning.4.7. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a = b e k (dvs. a >, k > 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): T = ln ln a ln log c () = = og k log (a) c a = = Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a = b e k (dvs. 0 < a <, k < 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): Bevis: T = ln( ) ln a ln( ) log ( ) T c = = og a = = k log (a) c Den føste udtyk fo T hhv. T ½ e identisk med udtykket fa sætning.4.6. Det næste udtyk følge af, at k = lna, og det sidste udtyk følge af sætning..9. (Hvofo?). Udtykkene fo a følge af, at femskivningsfaktoen fo funktionen f svaende til en tilvækst på h, e givet ved a h (dvs. støelsen a h angive, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h) Fo en eksponentielt voksende funktion gælde, at h = T give en fodobling af funktionsvædiene, T og demed: a T T =, hvoaf vi se, at: a = =. Fo en eksponentielt aftagende funktion gælde, at h = T ½ give en halveing af funktionsvædie- T T ne, og demed: a =, hvoaf vi se, at: a = = Øvelse.4.8. Bestem fodoblings- elle halveingskonstanten fo hve af de i øvelse.4. omtalte eksponentielle vækstfunktione. Eksempel.4.9. Om en eksponentielt aftagende funktion f vides, at f(3) = 0 samt at halveingskonstanten e lig med 6. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f, samt løse uligheden f(). Da f(3) = 0 få vi demed, at f(3 + 6) = 0, dvs. f(9) = 0. Vi kende demed punkte på gafen fo f og kan deefte anvende metoden fa eksempel.4.3 og sætning.4.4. T T T T

25 - 8 - Vi vil imidletid anvende sætning.4.7, hvoaf vi se, at hvis f() = b a, så e a = ( )6 = 0,8909. Af f(3) = 0 fås heefte: 0 = b 0, og demed: b = 8,8. Foskiften fo f e altså: f() = 8,8 0,8909 Hvis vi vil have foskiften på fomen f() = b e k, så få vi, idet k = lna, at: f() = 8,8 e 0,55 Uligheden f() løses heefte på følgende måde, (hvo vi he fo vaiationens skyld vil anvende foskiften på fomen: f() = b e k ), og hvo vi benytte, at ln og e e voksende funktione: 0,55 f() 8,8 e 0,55 e 0,443 0,55 ln(0,443) 7,4 Løsningsmængden til uligheden f() e således lig med [,4 ; [ 7 Øvelse.4.0. a) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt aftagende funktion f med halveingskonstanten 3,6, idet det vides, at f( 7) = 39,7 b) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt voksende funktion g med fodoblingskonstanten 00, idet det vides, at g(000) = 3. Og løs deefte uligheden: g() < Enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Ved et enkeltlogaitmisk (elle semilogaitmisk) koodinatsystem fostå vi et koodinatsystem, hvo den ene akse e en almindelig tallinie (almindelig skala, ækvidistant inddelt), og hvo den anden akse e en logaitmisk skala. De oftest anvendte enkeltlogaitmiske koodinatsysteme ha andenaksen som logaitmisk skala (man tale undetiden om et lodet-logaitmisk koodinatsystem), men de findes også eksemple på det modsatte (se kapitel ). I det følgende vil vi kun beskæftige os med enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, hvo andenaksen e logaitmisk, og vi vil tillade os at omtale disse kot som enkeltlogaitmiske koodinatsysteme. Enkeltlogaitmiske koodinatsysteme spille en sælig olle i fobindelse med eksponentielle vækstfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning.5.. Følgende to udsagn om en given funktion f e ensbetydende: ) Gafen fo f indtegnet i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem e en (ikke-vandet) et linie. ) f e en eksponentiel vækstfunktion.

26 - 9 - Bevis: Vi skal altså bevise, at hvis udsagnet ) e opfyldt, så gælde ) også og omvendt. Vi state med at antage, at vi ha indtegnet gafen fo f i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem og deved ha fået en et linie som vist på figu.5., dvs. vi antage, at ) e opfyldt. alm. skala log c (f()) Fig..5. log. skala f() (, f()) alm. skala På figuen e de ved siden af.aksen indtegnet en almindelig tallinie med en almindelig skala. (Man skal foestille sig, at den ligge oveni.aksen, men af tegnetekniske åsage e den vist ved siden af). Fo et vilkåligt punkt (, f()) på gafen i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem gælde, at det svae til punktet (, log c (f())) i det almindelige koodinatsystem bestående af.aksen og den almindelige skala ved. aksen. (Jf. definitionen af en logaitmisk skala (Definition..)). log c e altså den logaitmefunktion, som e anvendt til konstuktionen af den logaitmiske skala. Da punkte af fomen (, log c (f())) udgø en ikke-vandet, et linie i et almindeligt koodinatsystem, findes de to tal p, q R (p 0), så log c (f()) = p + q Da Vm(log c ) = R og Dm(log c ) = R + (jf. sætning..5), findes de to positive tal a og b, så log c (a) = p og log c (b) = q. Vi få demed, at: log c (f()) = log c (a) + log c (b) = log c (a ) + log c (b) = log c (b a ) Da en logaitmefunktion e injektiv få vi hemed, at f() = b a, dvs. at f e en eksponentiel vækstfunktion. (Bemæk, at a, idet p 0). Hemed e ) bevist. Antag heefte omvendt, at ) e opfyldt, dvs. at f e af fomen: f() = b a, hvo b > 0, a > 0, a Vi vil nu udegne log c (f()), hvo log c e den logaitmefunktion, de e anvendt til at konstuee den logaitmiske skala i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem: log c (f()) = log c (b a ) = log c (b) + log c (a ) = log c (b) + log c (a). Hvis vi sætte p = log c (a) og q = log c (b) få vi i alt, at: log c (f()) = p + q Som omtalt ovenfo gælde de, at nå vi i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem afsætte punkte (,f()) på gafen fo f, så afsætte vi i vikeligheden p.g.a. konstuktionen af den logaitmiske skala punktene (, log c (f())) i et almindeligt koodinatsystem. Da log c (f()) = p + q se vi demed, at gafen fo f blive en et linie i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem. (Bemæk desuden, at da a, e p 0). Hemed e sætningen bevist.

27 Som omtalt i fobindelse med definition.. kan man selv konstuee en enkeltlogaitmisk skala og demed kan man også selv konstuee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved på et stykke almindeligt papi at tegne et koodinatsystem, hvo andenaksen e en logaitmisk skala. Med en given funktion elle nogle givne koodinatsæt foelagt, kan man også simulee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved at afsætte (. koodinaten, logaitmen til.koodinaten) i et almindeligt koodinatsystem, og man kan he buge en hvilken som helst voksende logaitmefunktion, man ha lyst til elle finde passende til sammenhængen, f.eks. ln. Det e imidletid også muligt at købe og anvende fædigpoduceet enkeltlogaitmisk papi, hvilket e det almindeligste i undevisningssammenhænge. Eksempel.5.. 0,4 Vi vil indtegne gafene fo funktionene f() = 300 e og g() = 750 0,65 i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Da vi ved, at gafen fo såvel f som g give en et linie, skal vi blot beegne to støttepunkte fo hve funktion. Vi finde (kontolle): f(0) = 300 og f(3) = 996, samt g(0) = 750 og g(4) = 490,9. Gafene fo f og g i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem få demed det på figu.5. viste udseende. ln Fodoblingskonstanten T fo f e givet ved: T = =,73. Denne støelse kan imidletid 0,4 med tilnæmelse også aflæses på gafen, idet vi f.eks. benytte funktionsvædiene 300 og 600. Tilvæksten på.aksen ses netop at væe ca.,7. ln( Halveingskonstanten T ½ fo g e givet ved: T ½ = ) =,609, hvilket også kan aflæses på ln(0,65) gafen (om end med minde pæcision), f.eks. ved at benytte funktionsvædiene 4000 og 000. Vi se, at tilvæksten på.aksen blive ca. 0,7 ( 0,9) =,6 (kontollé!) f 000 g Fig..5.

28 - 3 - Øvelse.5.3. Tegn gafene fo følgende funktione i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, idet [ ; ] skal væe med på føsteaksen på tegningene. Aflæs funktionenes halveings- elle fodoblingskonstante. a) f() = 0,5,9 b) g(y) = ,4 y c) h(p) = e, p β d) Ψ(β) = 345 e Eksempel.5.4. I det enkeltlogaitmiske koodinatsystem på figu.5.3 ses en et linie, som ifølge sætning.5. e gafen fo en eksponentielt voksende funktion f. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f. Vi ved, at f e på fomen: f() = b a (elle: f() = b e k ), så ifølge sætning.4.4 skal vi blot kende koodinatene til to punkte på gafen, hvoefte a og b let kan bestemmes. Det deje sig defo om at finde to pæne /tydelige punkte på gafen, aflæse dees koodinatsæt og deefte anvende sætning.4.4. Vi se, at (0, 30) og (3, 60) e pæne punkte på gafen, hvomed vi finde (kontollé), at b = 30 og a =,56, og demed, at funktionsfoskiften e: f() = 30,56 0,3 elle f() = 30 e Fig..5.3 Øvelse.5.5. I den nedenstående tabel ses en ække målte data fo to biologiske støelse H og Q som funktion af tiden t. Indtegn disse punkte i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme og agumenté deefte fo, at såvel H som Q med god tilnæmelse kan beskives ved eksponentielle vækstfunktione. t 3 5, ,5 4 6,5 9 H(t) Q(t) Find på baggund af tegningene en funktionsfoskift fo H(t) og fo Q(t), og aflæs fodoblingskonstant elle halveingskonstant fo funktionene.

29 Potensfunktione. Potentielle vækstfunktione. Potensfunktione: I definition.. og i sætning..3 e udtykket a fastlagt fo a R + og R. Vi defineede heudfa en eksponentialfunktion som en funktion, hvo e den vaiable, medens a holdes fast (Definition.3. og sætning.3.). Vi vil nu se på den omvendte situation, hvo holdes fast, medens a betagtes som vaiabel. Definition.6.. Ved en potensfunktion fostå vi en funktion f af typen: f() =, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal. Vi bemæke, at definitionsmængden fo en potensfunktion e mængden R +, idet a som også omtalt ovenfo kun e defineet, nå a > 0. Funktione af typen: f() = n, hvo n Z (altså f.eks., 5 og -3 ), e også potensfunktione, idet de e af fomen:. Disse funktione e ikke kun defineet i R +, men i hele R (nå n > 0 ) elle i R\{ 0 } (nå n < 0). Nå vi betagte funktione af typen, så må vi defo egentlig skelne imellem, om Z og Z. I paktisk talt alle anvendelse af potensfunktione e de (uanset vædien af ) imidletid tale om positive støelse, og vi vil i det følgende ikke foetage denne skelnen, men kun se på positive vædie af den uafhængige vaiable. Vi minde om, at de fo alle n N gælde: vikeligheden e en potensfunktion (f.eks. e n n =, hvoaf vi se, at enhve odfunktion i 4 0,5 = ) Ifølge sætning..3 ha vi følgende omskivningsfomel: Sætning.6.. Fo alle R + gælde de: = ln e Eksempel.6.3. I potensfunktionene f() = 0,5, g() = 0,7 og h() =,88 e lig med hhv. 0,5, 0,7 og,88 Fo at skitsee gafene fo disse te potensfunktione, kan vi f.eks. udegne følgende støttepunkte: 0, f() 0,7,4,73,4 g(),6 0,6 0,46 0,38 0,3 h() 0,7 3,68 7,89 3,5 0,6

30 Disse tal kan vi enten finde v.hj.a. omskivningen ln = e, elle vi kan indtaste f.eks. 0,5,88 diekte på lommeegneen. Læseen opfodes til at pøve at udegne f(0,), g(0,) og h(0,). På baggund af disse vædie femkomme gafene på figu ,7,88 3 0, Fig..6. I folængelse af sætning.6. og eksempel.6.3 anføes følgende sætning: Sætning.6.4. ) Vædimængden fo en potensfunktion (hvo 0) e lig med R +, dvs. Vm( ) = R + ) Potensfunktionene (hvo 0) e monotone, idet de gælde: e voksende, nå > 0 e aftagende, nå < 0 Bevis: Ad ): Vi anvende omskivningen fa sætning.6.. Nå gennemløbe Dm( ), dvs. R +, så vil ln ln() gennemløbe hele R, og da 0 vil ln demed også gennemløbe hele R, hvomed e, dvs., gennemløbe R + (idet vædimængden fo en eksponentialfunktion e R + ). Ad ): Antag, at > 0, og lad, R + væe vilkåligt valgt, så <. Vi skal så vise, at <. Da funktionene ln og e begge e voksende, og da > 0, gælde de: < ln( ) < ln( ) ln() < ln( ) e ln( ) ln( ) < e < Vi se hemed, at funktionen e voksende, nå > 0. Beviset fo, at e aftagende, nå < 0, foløbe helt tilsvaende, idet dog ulighedstegnes vendes, nå de ganges med det negative tal. Detaljene ovelades til læseen. I kapitel 3 vil sætning.6.4 ) blive bevist igen, denne gang v.hj.a. diffeentialegning.

31 Fo logaitme- og eksponentialfunktione gælde, at de e hinandens omvendte funktione (jf. afsnit.,. og.3). Fo potensfunktione gælde, at den omvendte funktion til en potensfunktion selv e en potensfunktion. Løs føst den følgende øvelse, og læs deefte den følgende sætning og dens bevis. Øvelse.6.5. a) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. b) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. c) Giv et intuitivt geometisk agument fo, at f og g i pkt. a) e hinandens omvendte funktione, og tilsvaende i pkt. b). (Ved. omvendt funktione: se Appendi ). d) Pøv at give et egneteknisk bevis fo, at f og g e hinandens omvendte funktione. Sætning.6.6. Den omvendte funktion til potensfunktionen f() = (hvo 0), e potensfunktionen g() = Bevis: Ifølge sætning.6.4 b) e f monoton, hvomed den ifl. Appendi e injektiv og demed ha en omvendt funktion. Denne vil vi nu finde: y = f() y = y = ( ) = y f (y) og da vi kan navngive den uafhængige vaiable, som vi vil, se vi, at: f () = y = = g(). Potentielle vækstfunktione: Definition.6.7. Ved en potentiel vækstfunktion fostå vi en funktion g af typen: g() = b, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal, og hvo b e en positiv konstant. En potentiel vækstfunktion benævnes også: en funktion, de e popotional med en potensfunktion. Da tallet b e en positiv konstant, gælde sætning.6.4 også fo potentielle vækstfunktione, ligesom det gælde, at den omvendte funktion til potentiel vækstfunktion e en potentiel vækstfunktion (detalje i agumentationen fo disse udsagn ovelades til læseen). Eksempel.6.8. Vi vil tegne gafene fo funktionene: g() = 00 0,8 og h() = 54 0,7 i samme koodinatsystem og deefte ved beegning løse ligningen: g() = h().