De dynamiske stjerner

Transkript

1 De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til Satuns bane. Den ha en masse på M og en adius på omking 1180 R. Stjenen e med meget god tilnæmelse kuglesymmetisk opbygget. Navnet, de e af aabisk opindelse og betyde Kæmpens skulde, udtales Bet-æl-GØØS. Foto: Hubble Space Telescope. Figu Gastågen Messie 8 i stjenebilledet Skytten. Fodelingen af gas og støv udvise en vis koncentation ind mod et centum. Selv om skyen tydeligt nok ikke e kuglefomet, vil man som en føste tilnæmelse mod en beskivelse af den antage en kuglesymmetisk fodeling. Voes hjemsted i Univeset, Mælkevejsgalaksen, umme et utal af stjene og skye bestående af gas (hydogen, helium ) og støv. Figu 1 og vise eksemple. Stuktuen af sådanne gasmasse e pæget af modspillet mellem en tiltækkende gavitationskaft, som bevike en sammentækning, og et udadettet gastyk, hvis ænding ud gennem gasmassen bidage med en udadettet tykkaft. Beskivelsen af foholdene lettes meget, hvis man kan antage en kuglesymmetisk opbygning. Det betyde, at alle fysiske støelse som densitet ρ, tyk p og tempeatu T kun afhænge af afstanden fa gasmassens centum. Som figu 1 og antyde, e denne antagelse mee elle minde god. Tyngdekaften Gavitationskaften mellem to punktfomede legeme med massene m 1 og m og afstanden e som bekendt givet ved Newtons gavitationslov m m F G (1) 1 gav Holge Nielsen, Støving Gymnasium S:\_Fy\De dynamiske stjene\dynamiske stjene.docx

2 De dynamiske stjene, suppleende note Side af 5 hvo G e den univeselle gavitationskonstant. Men hvodan foholde det sig, hvis legemene ikke e punktfomede? He komme kuglesymmetien til hjælp. Man kan nemlig vise (og det kunne alleede Newton selv!), at nå man befinde sig inde i en gasmasse i afstanden fa centum, så e tyngdekaften på et lille legeme kun bestemt af den del af gasmassen, som befinde sig inden fo afstanden. Den del, som ligge uden fo give ikke noget nettobidag. I centum e tyngdekaften nul. Lad os betagte et lille kassefomet gaselement, som befinde sig i afstanden fa centum, se figu. Så e tyngdekaften på denne givet ved F m kasse gav G () hvo betegne massen af den del af gasen, som ligge inden fo afstanden. Tykkaften Som bekendt definees tykket p ved fomlen at tykkaften simpelt hen givet ved Ftyk p A. p F, hvo F e kaften vinkelet på aealet A. Defo e A Den hydostatiske ligning Vi betagte nu mee detaljeet de kæfte som vike på den lille kasse fa figu. Vi lade den have lodette side og benytte betegnelsene på figu : Kassen ha aealet A og højden Δ. Gastykket ved kassens bund (afstand ) betegnes p og tykket på kassens top (afstand + Δ) betegnes p + Δp. Bemæk, at da tykket aftage udad, så e Δp negativ! Densiteten af gassen på kassens sted kalde vi ρ. Vi ha nu Kassens volumen: Kassens masse: V A kasse mkasse V A Kassen e påviket af te kæfte i lodet etning: Gavitationskaften: A Fgav G Tykkaft på undesiden: p A Fnedefa Tykkaft på ovesiden: Foppefa ( p p) A Idet vi egne udadettede kæfte positive (og indadettede negative), må den esulteende kaft væe A Fes Fnedefa Foppefa Fgav p A ( p p) A G A p A G Ovevej, hvofo vi ikke medtage de fie tykkæfte i vandet etning i beegningen. Holge Nielsen, Støving Gymnasium Astonomi

3 De dynamiske stjene, suppleende note Side af 5 Figu Snit gennem en kuglesymmetisk gasmasse med adius R. Vi betagte et kassefomet gaselement K i afstanden. Tyngdekaften på dette e alene givet ved den del af gasmassen, som befinde sig inden fo afstanden. Massen af denne del betegnes. I centum e m(0) = 0 og fo = R e M(R) = M, massen af hele gasmassen. Figu Kassen K fa figu i fostøelse. Undesiden befinde sig i afstanden fa centet og gastykket e he p. Ovesiden ha afstanden + Δ og tykket e p + Δp. Kassens vandette aeal betegnes A. De te kæfte, som vike på K i lodet etning, e gavitationskaften, F gav, tykkaften mod undesiden, F nedefa, og tykkaften mod ovesiden, F oppefa. Bemæk etningen af disse kæfte. Stjene: Ligevægt I de fleste stjene ha de indstillet sig en ligevægt mellem de kæfte, som vike: Kassen befinde sig i o. Så e F es = 0 og ligningen kan omskives således: m( ) A m( ) p A G 0 p G p G p Vi genkende som en diffeenskvotient. Ved gænseovegangen 0 gå den mod en diffeentialkvotient, så vi få sluttelig d p m( ) p G () d Denne ligning kaldes diffeentialligningen fo hydostatisk ligevægt. (Hydostatik: Læen om væske og gasse i ligevægt). Diffeentialkvotienten af p e skevet både med Newtons notation ( ) og med Leibnitz (d/d). Ligningen spille (sammen med te ande diffeentialligninge) en afgøende olle fo studiet af stjenenes inde og beegningen af modelle fo den inde opbygning. He vil vi nøjes med at anvende den til en vudeing af, hvo stot tykket e i Solens centum. Holge Nielsen, Støving Gymnasium Astonomi

4 De dynamiske stjene, suppleende note Side af 5 Opgave: Skøn ove tykket p c i Solens centum Vi anbinge os midt i Solen ( = ½ R )og anvende ligning () på foholdene he. Det blive nødvendigt at gøe et pa gove tilnæmelse: Diffeentialkvotienten dp/d tilnæmes med diffeenskvotienten Δp/Δ (0 p c )/(R 0). Vi antage, at Solen e homogen, dvs. M. R I afstanden = ½ R e den indenfo liggende kugles umfang 1 8 af hele Solens umfang, så 1 M Vis ved indsættelse, at man nå fem til fomlen 8 p GM c 8 R og beegn en talvædi fo tykket. Gode solmodelle give vædien p c = Pa. Gasskye: Jeans-instabilitet Stjene dannes i stoe intestellae gasskye. Vi stille nu spøgsmålet, hvonå en sådan sky blive ustabil og tække sig sammen? Den esulteende kaft på kassen i figu må så væe indadettet, F es < 0. Af ligningen () følge så, at m( ) A m( ) p AG 0 p G p G () Uligheden kan benyttes til at finde en nede gænse fo, hvo lille en sky kan væe uden at den tække sig sammen. Detil tænke vi os, at vi befinde os midt i skyen ( = ½ R) og foetage tilnæmelse som i ovenstående opgave: p 0 p p R 0 R centum centum Kuglen med adius ½ R ha et umfang, som e 1/8 af hele kuglens unfang, så vi tilnæme m( ) m( R) M Desuden e kuglens samlede masse jo givet ved M R og endelig anvende vi idealgasligningen til at eliminee centaltykket p centum : Holge Nielsen, Støving Gymnasium Astonomi

5 De dynamiske stjene, suppleende note Side 5 af 5 p centum k B T m centum Vi indsætte de foige fie ligninge i uligheden () og få p m( ) p 1 G G R R R centum k T p G R G R m B centum centum k T B centum R G m Vi ha foetaget et gove tilnæmelse, og defo e de ikke meget fogjot ved endvidee at estatte talfaktoen med 1 (Demed opnå vi også oveensstemmelse med esultatet af en mee koekt udledning!). Vi få altså R kb Tcentum G m R Jeans Skyen e altså ustabil ovefo sammentækning, hvis den adius R e støe end den såkaldte Jeans-adius defineet i ammen ovenfo. Holge Nielsen, Støving Gymnasium Astonomi