Elementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet

Transkript

1 Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen

2 Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning f en pel. Toppunktsfomlen Fktoiseing f.gdspolynomiet Andengdspolynomiets fotegn. Andengdsulighede...7

3 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet. Den lineæe funktion Vi h fø eskæftiget os med den geneelle liniæe funktion f = +, Hvo og e vilkålige eelle tl. R Den lineæe funktion e defineet fo lle eelle tl. Funktionen e voksende fo >, ftgende fo < og konstnt lig med, fo =. Gfen e en et linie, som skæe. ksen i, og som fo skæe. ksen i.. Stykkevis lineæe funktione Hvis en funktion e smmenst f flee liniestykke, kldes en stykkevis lineæ funktion. Liniestykkene ehøve ikke nødvendigvis t hænge smmen, i hvilket tilfælde mn klde funktionen diskontinuet i disse punkte. Kontinuet etyde, t gfen hænge smmen og ikke lve sping. En lineæ funktion e i eglen givet ved en gffelfoskift Eksempel f 5 fo fo fo Det ses umiddelt ved indsætning, t gfen hænge smmen. Gfen fo f e vist nedenfo, smmen med linien y =.

4 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet Ved udegning ses, t gfen skæe. ksen i og t den skæe. ksen i punktene: + = = - og = = 5 og 6 Vi vil nu undesøge, hvo gfen skæe linien y = f 5 9 Det e nødvendigt, t medtge definitionsintevllene fo hve f de linie. Dette ses, hvis vi skulle løse uligheden: f f Løsningene til disse ligninge og ulighede kn ntuligvis flæses med tilnæmelse på gfen.. Andengdspolynomiet Et ndengdspolynomium e en funktion, de kn skives på fomen: f hvo, og e eelle tl og. kldes fo koeffiienten til, kldes fo koeffiienten til og e konstnt leddet. Nå leddene opskives efte ftgende potense f, kldes polynomiet fo odnet. Vi vil se på gfen fo et vilkåligt ndengdspolynomium, og etgte føst tilfældet, hvo = =, ltså en funktion: f =. Se vi lleføst på tilfældet, hvo = så: f =. To modstte tl vil hve smme funktionsvædi, så det e det let t opstille følgende tel: y Gfene, som kldes ple e tegnet til venste. Se vi på f =½ og f =, så ligne de f= lot e funktionsvædiene, henholdsvis hlveet og fodolet. Alle gfene gå gennem,, som etegnes toppunktet fo plen.

5 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet Smmenlignes f= med f= -, så e de skiftet fotegn fo lle funktionsvædiene, så den sidste lot en spejling f den føste i -ksen. Smmenfttende kn mn sige, t gfen fo f = fo > e en pel med toppunkt i,, hvo genene vende opd, og fo < en pel med toppunkt i,, hvo genene vende nedd. Vi vil nu vise, t gfen fo lle funktione f fomen: f e den smme som gfen fo f = lot pllel foskudt til T d, 4 hvo d = - 4 e diskiminnten fo ndengdsligningen Fo t vise dette, skl vi føst se på smmenhængen mellem koodintene i to koodintsysteme, de e pllelfoskudt i fohold til hinnden.. Pllelfoskydning f koodintsystemet. På figuen h vi tegnet to koodintsysteme K og K. Vi ønske t estemme smmenhængen mellem koodintene til smme punkt, y i K og, y i K. denne pleing f såvel punktet som koodintsystemet K i. kvdnt, vil de gælde: = + h og y = y + k = - h og y = y k

6 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet 4 Koodintene til K s egyndelsespunktet i K e h,k. Betgte mn figuen, e det let t se, t med Hvis K, elle punktet vi etgte ikke egge ligge i. kvdnt, så e sætningen knp så indlysende. Den følge imidletid f indskudssætningen fo punkte på en oienteet linie, som vi ikke vil evise he. Se vi nu på ligningen y = f, svende til gfen fo en funktion f i K, så ønske vi t estemme ligningen fo gfen i K. Men dette e meget simpelt, idet vi lot skl indsætte de to udtyk fo og y ovenfo. Heefte få mn: y = f y k = f - h y k = f - h e defo ligningen fo y = f i K. Sætningen kn også opfttes på den måde, t pllelfoskyde mn gfen fo en funktion y = f stykket h ud f -ksen og stykket k ud f y-ksen, så vil gfen hve ligningen: y k = f - h. I de fleste tilfælde nvende mn denne fomuleing, og undlde t indføe koodintsystemet K. Eksemple. Bestem ligningen fo gfen y, nå den pllelfoskydes til -,. Ifølge ovenstående vil den pllelfoskudte gf hve ligningen y.. Gfen fo.gdspolynomiet y pllelfoskydes til -,. Den pllelfoskudte gf vil hve ligningen y y 4 4. Vi se t den pllelfoskudte gf kn skives som et lmindeligt.gdspolynomium.. Pllelfoskydning f en pel. Toppunktsfomlen Vi vil nu vise, t gfen fo det lmindelige.gdspolynomium y e en pllelfoskydning f gfen fo y til d T, hvo d = 4 e diskiminnten. 4 Idet plen y h toppunkt i,, vil T væe koodintene til toppunktet fo den pllelfoskudte pel. Fo t vise dette omskive vi y på følgende måde:

7 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet 5 y y Vi omskive denæst de to føste led i pentesen til kvdtet på en toleddet støelse, idet e kvdtet på føste led og e det doelte podukt. Det ndet led må defo væe, idet. Vi tilføje defo dette led til i pentesen, og suthee kvdtet på det, så udtykket e ufondet. y Ved t sætte de sidste to led på fælles øksteg finde mn d: 4 y y 4 4 d 4, genkendes som udtykket fo diskiminnten. Gnge mn ind i pentesen og flytte konstntleddet ove på den nden side f lighedstegnet få mn: d d y y 4 4 Smmenholde vi dette med y og fomlene y = f og y k =f h fo pllelfoskydningen f gfen fo en funktion, så kn mn se, t pllelfoskydning f y til y e en T = h,k = d, 4, hvo d 4 Den sidste fomel, kldes som omtlt fo toppunktsfomlen. Eksempel. Bestem toppunktet fo plen y = - ++, og eskiv, hvilken pel det e en pllelfoskydning f. T d 7 7,,, Plen e en pllelfoskydning f y = - 7 til toppunktet, 4 8 Nå mn selv skl tegne en pel f.eks. y, så gøes det lettes ved føst t finde toppunktet, som i dette tilfælde e, og ud f dette punkt tegne plen y.

8 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet 6.4 Fktoiseing f.gdspolynomiet Et tl siges t væe od i et polynomium, hvis funktionsvædien e nul. Hvis f e et polynomium og e en od gælde ltså f =. At estemme øddene i et polynomium e det smme som t finde skæingspunktene med. ksen. Vi vil nu vise nogle sætninge om øddene i et.gdspolynomium, de som ekendt kn hve to d >, én d = elle ingen ødde d <. Vi se føst på tilfældet, hvo diskiminnten e positiv, så de findes to ødde: og. og e ødde i f Vi dividee ligningen med Ved t gnge pentesen ud og smle leddene med få mn Ved t smmenligne med se mn umiddelt, t de må gælde: og Dette kn fomulees i følgende sætning: I den odnede efte ftgende potense f og edueede koeffiienten til e ndengdsligning e øddenes sum lig med koeffiienten til med modst fotegn og øddenes podukt e lig med ligningens konstntled. Sætningen nvendes ofte til t gætte ødde i en.gdsligning. Eksempel Gæt øddene i ligningen: 5. Vi skl ltså tænke på to tl, hvis sum e - og hvis podukt e 5. Hvis øddene e heltllige, e de ikke nde mulighede end og -5. Hvis øddene ikke e heltllige e det kun lidt vnskeligee.. Det ses t og, så øddene e - og ½ Af udledningen ovenfo ses, t de på smme måde må gælde:

9 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet 7 Gnge vi denne ligning igennem med, få mn Dette etegnes fktoiseing f ndengdspolynomiet. Dette e en vigtig sætning, som e et speiltilfælde f en mee geneel sætning om fktoiseing f polynomie. Hvis = =, som sve til tilfældet d =, h ndengdspolynomiet kun én od og fktoiseingen live: Hvis.gdspolynomiet ikke h nogen ødde, kn det ikke fktoisees i.gdspolynomie. Eksempel Andengdspolynomiet 6 f h øddene og - det kn defo fktoisees: 6 f = Andengdspolynomiets fotegn. Andengdsulighede Opgven e fo et givet ndengdspolynomium t estemme, hvonå det e nul, positivt elle negtivt. Dette e det smme som t løse, hve f de te ulighede og og Det e muligt t løse ulighedene lgeisk dvs. ved egning, men det e lngt lettee t gøe det gfisk. Vi illustee den lgeiske metode med et enkelt eksempel, hvo < og d>, så ndengdsligningen h to ødde <.

10 Lineæe funktione og ndengdspolynomiet 8 Gfisk løsning f ndengdsulighede Ovenfo t vist eliggenheden f t et.gdspolynomim fo mulige vædie f og d diskiminnten. Vi epetee: Nå > vende genene opd, og nå < vende genene nedd. Nå d> skæe plen.ksen i to punkte. Nå d=, skæe plen.ksen i et punkt Nå d<, skæe plen ikke.ksen. Metoden illustees lettest ved t p eksemple. Eksempel.. Løs uligheden 6. Diskiminnten d = 9+7=8 >. Vi h demed tilfældet < og d >. Af figuen ovenfo ses, t ndengdspolynomiet e positivt mellem øddene, som e - og. Vi finde defo: 6. Løs uligheden 5 d = 9 4 = - <. Vi e i tilfældet > og d <, så genene vende opd og plen skæe ikke.kse. Vi h defo: 5 R. Løs uligheden 4 d = 9+6 = 5 og øddene e og Vi e i tilfældet > og d >, så 4 genene vende opd og plen skæe.ksen i to punkte. 4 4