MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave

2 FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen gennemgå kenepensum sådan som det e beskevet efte bekendtgøelsen af 5. Kompliceede bevise fo visse sætninge e estattet med anskuelige begundelse, da det ligge udenfo denne bogs amme, eksempelvis at give en stingent matematisk behandling af begebe som gænsevædi og kontinuitet. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89) Selv om sådanne avanceede lommeegnee let kan diffeentiee og educee selv de vanskeligste udtyk, så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk, heunde at diffeentiee enkle funktione. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Defo e det nødvendigt at øve potensegle, diffeentiationsegle m.m. samtidig med, at man natuligvis ved, hvodan en avanceet lommeegne kan foetage beegningene i mee kompliceede sammenhænge. Defo anføes de i nogle af eksemplene og opgavene, at disse skal egnes uden hjælpemidle, dvs. uden bug af lommeegne og bog. I de øvige eksemple og opgave må man natuligvis benytte såvel lommeegne som bogen til hjælp. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. juni Mogens Oddeshede Lasen ii

3 Indhold INDHOLD Regneegle... Opgave til kapitel.... Plangeometi I. Koodinatsystem Afstandsfomel Den ette linies ligning Ciklen De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Definition af sinus og cosinus Definition af tangens....6 Ligefem og omvendt popotionalitet....7 Ensvinklede tekante Retvinklet tekant... 4 Opgave til kapitel Vektoe i planen 3. Definition af vekto Regneegle Vektos koodinate Skalapodukt Retningsvinkel, polæe koodinate Vinkel mellem vektoe Pojektion Tvævekto, Deteminant... 3 Opgave til kapitel Plangeometi II 4. Indledning Den ette linie Vinkel mellem to ette linie Afstand mellem punkt og linie Paametefemstilling fo et linie Skæing mellem to ette linie Skæing mellem linie og cikel Tangent til cikel Beegning af side og vinkle i en tekant Opgave til kapitel iii

4 Indhold 5 Funktionsbegebet 5. Definition af eel funktion Sammensat funktion Monoton funktion Omvendt funktion... 5 Opgave til kapitel Standadfunktione 6. Indledning Potensfunktione Polynomie Eksponentialfunktione Logaitmefunktione Nogle anvendelse af logaitmefunktione Radioaktivt henfald Logaitmiske skalae Tigonometiske funktione Indledning Definition af sinus, cosinus og tangens Peiodicitet Relatione mellem tigonometiske funktione Gafe fo de tigonometiske funktione De omvendte (invese) tigonometiske funktione Løsning af tigonometiske gundligninge Svingninge Opgave til kapitel Regession 7. Indledning Lineæ model Bestemmelse af egessionsligning Vudeing af om model beskive data godt Eksemple på lineæ egession egnet på TI Opgave til kapitel Gænsevædi og kontinuitet 8. Gænsevædi Kontinuitet Opgave til kapitel iv

5 Indhold 9 Diffeentiation 9. Indledning Diffeentialkvotient Regneegle fo diffeentialkvotiente Diffeentiation af standadfunktionene Højee afledede... 8 Opgave til kapitel 9... Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote. Monotonifohold, ekstema.... Asymptote Funktionsundesøgelse... 4 Opgave til kapitel... 9 Nogle anvendelse af diffeentialegning. Optimeing.... Kinematik Indledning Jævn etlinet bevægelse Ikke etlinet bevægelse Økonomi... 7 Opgave til kapitel... 9 Integation. Indledning Ubestemt integal Integationsegle Bestemt integal Numeisk integation Rumfang af omdejningslegeme... 4 Opgave til kapitel Diffeentialligninge 3. Diffeentialligninge af. oden Indledning Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = b Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = q( x) Logistisk vækst Numeisk løsning Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente v

6 Indhold Opgave til kapitel Rumgeometi 4. Vektoe i ummet Koodinatsystem i ummet Skalapodukt Linie i ummet Vektopodukt Plane i ummet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Kuglen Opgave til kapitel Statistik 5. Indledning Gafisk beskivelse af data Kvalitative data Kvantitative data Kaakteistiske tal Nomalfodelte obsevatione Ikke nomalfodelte obsevatione Guppeede fodelinge Stikpøve Indledning Udtagelse af stikpøve Stikpøvens støelse... 7 Opgave til kapitel 5... Facitliste... 4 Stikod... vi

7 . Regneegle. Regneegle Selv om man kan få en lommeegne til at beegne alle type af egneudtyk, e det alligevel nødvendigt at væe fotolig med de gundlæggende egneegle. Eksempelvis skal paentese sættes matematisk koekt fo at få det koekte esultat, ligesom det jo ikke e sikket at lommeegneen educee et udtyk til den fom som e mest hensigtsmæssig i de følgende egninge, og så man jo selv væe i stand til at foetage en ydeligee omfomning. Endelig blive det svæt at læse en tekst eksempelvis i fysik elle høe en et foedag, hvis man ikke i imelig gad kan følge beegningene. Vi vil defo kot epetee disse egle Regel Eksempel Multiplikation og division udegnes fø = 6+ = 5 addition og subtaktion Potense og ande funktionsudtyk udegnes 3 5 ( 3) = = 3 føst. Hvet led i den ene paentes ( a 3b)( 6b+ 4a) = ab+ 8a 8b ab = 8a 8b ganges med hvet led i den anden 5a 3 ( ab 3a) = a 4 b 5a 4 Minustegn må ikke følge umiddelbat efte gangetegn, de skal sættes en paentes To bøke ganges med hinanden ved at gange tælle med tælle og nævne med nævne En bøk ganges med et tal ved at gange tælleen med tallet. Man dividee en bøk med en bøk ved at gange med den omvendte bøk. Alle led i tælleen skal dividees med nævneen Man lægge bøke sammen ved at sætte på fælles bøksteg. Fælles nævne kan altid findes ved at gange nævnene sammen Bøke fokotes ved at dividee alle led med samme tal To potense med samme gundtal multiplicees ved at addee eksponentene To potense med samme gundtal dividees ved at subtahee eksponentene Man opløfte en potens til en ny potens ved at multiplicee eksponentene og beholde oden ( a ) Flyttes et led ove på den anden side af lighedstegnet skiftes fotegn Flyttes en fakto ove på den anden side af et lighedstegn dividees med det (dog må ikke dividees med ) I en ligning kan man gange alle led med samme tal ( ) Andengadsligning- fomel 8 ( 3) + = 6+ 4= 7 4 = = = = = a ab = a b a = + = = = + = + = 4 6 6a b a 4b = (bøk fokotet med 3) 3a+ 9b a+ 3b a a = a a a 8 3 = a = a x+ 3= 5 x = x = 3 x = 3 5 x + = 4x + = b b 4ac ax + bx + c = x = ± a

8 . Regneegle Eksempel.. Regneegle a) Reduce uden bug af lommeegne b) Løs uden bug af lommeegne ligningen Kontolle facit ved bug af lommeegne. Løsning: 3 3 a 5b ab 5b 3a x 3 5 x + 3 = a 5b ( a) (5 b) a) ab = ab = ( a b ) b 3a 5ab b) x 3 5 x + 3 Antages x + 3 fås 8 x 3= 5 ( x+ 3) x 3= x+ 5 8x = 8 x = x = 8 TI89: Føst vælges Auto som den mode hvoi lommeegneen skal aflevee esultatet : Vælg MODE\exakt/apox\Auto 9 4 3*(3*a/(5*b)-5*b/(3*a))*a*b ENTER Resultat ok F\ solve((x-3)/(x+3)=5,x) ENTER Resultat ok Ønskes esultatet som en decimalbøk, så tyk på gul tast og ENTER elle skiv eksempelvis 5. femfo 5

9 Opgave til kapitel Opgave til kapitel.. (uden hjælpemidle) Beegn a) b) 5 ( 4+ 6) c) d) (5 + 4) e) 6+ ( ( 3) ( 3) ).. (uden hjælpemidle) Skiv som ufokotelig bøk 6 a) 3 8 b) c) 3 4 d) e) (uden hjælpemidle) Reducé 4a+ 8b a) b) 4 a+ 8 b a 4a+ 8b c) a+ 4b d) 4a ab 4a 5 e) 5 a 5 5a x + f) x+ 3 3 x 3

10 . Regneegle.4 (uden hjælpemidle) Udegn a) ( 3x 5) 6+ ( 7x+ 3) 3 ( 8x ) ( ) b) ( 3x 5)( y+ 3) ( 5x+ )( y+ ) c) ( x+ 5y) ( x 5y) d) x 5 ( x 7 x 3 )( 3x 3 x ) e) ( x+ 3y) ( 3x y).5. (uden hjælpemidle) Reduce 3a 7a ( a+ b) ( a b) b 6b b) abc a bc c) 6x 6 a) ( ).6. (uden hjælpemidle) Find tallet x af følgende ligninge a) 5x + = 3x b) 5 x 3 x 3 x 7 + = 3 6 x + 7 x 8 c) 5x 3 = 5x +.7. (uden hjælpemidle) Løs ligningene: 3 5 a) a x = a 3 9 b) a x = ( a ) c) 4x + 3= x (uden hjælpemidle) Løs ligningene: a) x 4 = b) x = 4 x c) ( x ) ( x 9) =.9. (uden hjælpemidle) Bestem tallet a, så -3 e od i ligningen x 3 + 3x ax + 3= 4

11 .. Afstandsfomel. Plangeometi. Koodinatsystem Ved et koodinatsystem vil vi i denne bog altid fostå et etvinklet koodinatsystem I figu. e tegnet et xy - koodinatsystem Den vandette koodinatakse kaldes x - aksen elle. aksen og den lodette kaldes y - aksen elle. aksen. Punktet P på figuen ha koodinatene (x, y). Punktet med koodinatene (,) kaldes begyndelsespunktet og benævnes i denne bog med O... Afstandsfomel Sætning. Afstandsfomel Afstanden mellem to punkte og = (, ) e PQ = ( x x ) + ( y y ) Fig.. Koodinatsystem P = ( x, y) Q x y Bevis: Punktet C (se figu.) ha koodinatene ( x, y ). Vi ha nu, at PC = x x og QC = y y Af den etvinklede tekant ABC fås nu ifølge Pythagoas PQ = PC + CQ = x x + y y Heaf fås fomlen. Fig. Afstandsfomel 5

12 . Plangeometi I Eksempel.. Afstandsfomel Bestem afstanden mellem punktene A=(,3) og B=(-4,6). Løsning: Ifølge afstandsfomlen fås: AB = ( 4 ) + ( 6 3) = = 45 = Ret linies ligning Lad de i et koodinatsystem væe givet en et linie l. Fig.3. Ret linie y = a x+b At linien l ha ligningen y = ax+ b vil sige, ) at alle punkte på linien l ha koodinate, de passe i ligningen, og ) ingen punkte udenfo linien ha punkte de passe i ligningen. Indsættes x = i ligningen fås y = a + b, dvs. linien l skæe y-aksen i punktet (.b). Sættes x = fås y = a + b = a+ b. Heaf ses (jævnfø figu.3) at nå x vokse med, så ænde y - vædien sig med a Tallet a kaldes linien hældning (elle hældningskoefficient). E linien paallel med x - aksen e dens hældning, og den ha ligningen y = b. En linie paallel med x - aksen, ha ligningen x = c, hvo c e liniens skæing med x - aksen. Eksempel. Ret linies ligning Tegn i samme koodinatsystem liniene ) l med ligningen y = x 3 ) m med ligningen y = 3x+ 3) n med ligningen y = - 4) p med ligningen x = 3 Løsning: Ved indsættelse af x = og x = fås ) l gå gennem punktene (,-3) og (,5) ) m gå gennem punktene (,4) og (,) 3) n gå gennem punktet (,-) og e paallel med x- aksen 4) p gå gennem punktene (3,) og e paallel med y - aksen 6

13 .3 Ret linies ligning TI 89: Gul tast\y= (findes ove F) Skiv *x-3 ENTER Skiv -x+ ENTER (Bemæk: foanstillet minus vælges nedest på tastatu) Skiv - x = 3 e ikke en funktion, og kan defo ikke angives Gul tast\gaph (findes ove F3) Hvis tegningen ikke e tilfedsstillende vælges Gul tast\windows og man sætte xmin, xmax, ymin og ymax til passende vædie. En et linie kan væe givet ved at den gå gennem givne punkte, elle ved, at man kende et punkt på linien og liniens hældning. De gælde følgende sætning: Sætning. Ret linies ligning Hvis en ikke lodet linie l gå gennem to punkte P = ( x, y ) og Q = ( x, y) e liniens y y hældning a = og liniens ligning y y = a( x x) x x Bevis: Lad l have ligningen y = ax+ b. Da punktene P og Q ligge på linien gælde y = ax + b og y = ax + b. y y Tække vi nu de to ligninge fa hinanden fås y y = ax + b ( ax + b) y y = a( x x) a = x x Tækkes ligningen y = ax+ b fa ligningen y = ax + b fås y y = ax+ b ( ax + b) y y = a( x x ) Eksempel.3. Linie bestemt ved at gå gennem to punkte Bestem ligningen fo linien gennem punktene A = (-, 3) og B = (4, -). Løsning: Vi ha hældningen a = 3 = 4 = 4 ( ) Ligningen e : y 3 = ( x ( ) y 3= x y = x Geneelt gælde, at enhve et linie ha en ligning af fomen ax + by = c 7

14 . Plangeometi I.4 Ciklen På figu.4 e i et koodinatsystem tegnet en cikel med centum i C= ( x, y ) og adius. De gælde da følgende sætning Sætning.. Ciklens ligning En cikel med centum i C= ( x, y ) og adius ha ligningen Fig..4. Cikel ( x x ) + ( y y ) = Bevis: Lad P = (x,y) væe et vilkåligt punkt på cikelpeifeien. Da cikelpeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius e CP I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) = = Eksempel.4 Cikle ) En cikel ha centum i punktet (, -3) og adius 4. Find ciklens ligning ) Angiv adius og koodinatene til centum fo den cikel, de ha ligningen ( x+ ) + ( y 6) = 5 Løsning: ) Af sætning. fås ligningen ( x ) + ( y ( 3)) = 4 x 4x+ 4+ y + 6y+ 9= 6 x + y 4x+ 6y = 3 ) Af sætning. fås, at centum ha koodinatene (-, 6) og adius = 5 Reducees ciklens ligning ( x x ) + ( y y ) = x + y x x y y+ x + y = se vi, at ha vi en ligning af typen x + y + ax+ by+ c= så e det muligvis ligningen fo en cikel med x = a, y = b, x + y = c. () 8

15 .5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Eksempel.5 Ligning fo en cikel Undesøg om ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel, og angiv i bekæftende fald centums koodinate og adius. Løsning: Sammenlignes x + y + x 8y+ 3= med fomen () ses, at x = x =, y = 8 y = 4 og ( ) + 4 = 3 = 4. Vi ha følgelig, at ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel med centum i (-, 4) og med adius Ved en enhedscikel fostås en cikel med centum i begyndelsespunktet O = (, ) og med adius Ligningen fo en sådan e x + y = Fig..5. Enhedscikel.5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens. Odet tigonometi betyde tekantsmåling. Kan man egne vinkle og side ud i en tekant, kan man ved tianguleing opdele en polygon i tekante, hvis side og vinkle så også kan beegnes. Tigonometiske beegninge va således helt afgøende fo at de stoe sejlskibe i 4- og 5- tallet kunne sejle ove de stoe oceane eksempelvis fa Euopa til Ameika. Endvidee va de uundvælige ved landmåling. Som en ikke geometisk anvendelse kan nævnes at de tigonometiske funktione e nødvendige til en beskivelse af svingninge f.eks. ved bølgebevægelse elle elektiske svingninge (vekselspænding i elektiske kedsløb). 9

16 . Plangeometi I.5..Definition af sinus og cosinus Lad P væe et punkt på enhedsciklen, og lad v betegne en vinkel fa x - aksen til linien gennem O og P, hvo v egnes med fotegn (positiv mod uet). Funktionene cos v og sin v defi- nees da ved, at punktet P skal have koodinatene P = (cos v, sin v). Fig..6. Definition af cos og sin. Nå det deje sig om geometiske beegninge f. eks. i tekantsbeegninge egnes vinklene i gade. Dette e således tilfældet i dette og de to følgende afsnit. Hvis intet andet e nævnt, så gælde he, at v 8 Til beskivelse af svingninge og ande fysiske anvendelse anvendes et andet vinkelmål (adiane). Dette ske i kapitel 6. Af definitionen følge ) sin v og cos v ) sin = sin (8 ) =, sin(9 ) =, cos =, cos(9 ) = og cos(8 ) = -. 3) sin v + cos v = ( ) ( ) Følge af, at OP = og benyttelse af afstandsfomlen. Eksempel.6. Beegning af sin og cos på TI89 Beegn sin (3 ), sin ( ) cos (3 ) cos Løsning: Føst sike vi at vinkelmålet e i gade ved MODE\ Angle = Degee\ENTER Funktionene findes på tastatuet i fjede ække. 3 3 sin(3) =/ sin()= cos(3)= cos() = -/

17 .5. Definition af tangens Ofte skal man foetage den omvendte beegning. Dette e vist i det følgende eksempel. Eksempel.7. Beegning af sin og cos på TI89 Lad v 8 Find v, af følgende ligninge a) sin v =.7 b) sin v = -.7 c) cos v =.7 d) cos v = -.7 Løsning: a) Som det femgå af figuen vil såvel vinklen v som vinklen (8 - v) have en sinus på.7. Benyttes lommeegneen fås v = sin ( 7. ) = Lommeegneen give defo kun vinklen i føste kvadant Den anden vinkel blive = Om man ved en ved en tekantsbeegning skal benytte begge vinkle elle kun den ene må afhænge af det konkete poblem. b) cos v = -.3 v = cos ( 3. ) = 33, He e de kun én løsning, hvilket bevike, at man sædvanligvis vil foetække cos femfo sin ved beegningene, hvis det e muligt..5.. Definition af tangens Definition af tangens: sin v tan v =, v 9 cos v Vædiene fo tan v aflæses på tangenten til enhedsciklen i (,). Bevis: Linien gennem punktet O og P=(cos (x), sin (x)) sin x ha hældningen α = = tan x. cos x Heaf ses, at punktet T ha koodinatene (, tan(x)). Fig..6. tan aflæses på tangenten

18 . Plangeometi I Eksempel.8. Beegning af tangens på TI89 ) Beegn tan (54.3 ), ) Beegn tan(3. ) Løsning: ) tan(54,3) =.39 ) tan(3) = -.9 Eksempel.9. Beegning af tan - på TI89 Find v, af ) tan v =.7 ) tan v = -.5 Løsning: ) v = tan - (.7) = ) Lommeegneen beegne en negativ vinkel u på figu.7. Ønskes en løsning v i intevallet [;8 ] fås v = 8 + u u = tan - (-.5) = v = 8 + tan - (-.5) =53.44 Fig..7. tan - af negativt tal.6. Ligefem og omvendt popotionalitet Ligefem popotionalitet: To støelse x og y siges at væe (ligefem) popotionale, hvis de findes et tal a >, så y = a x Eksempel.. Popotionalitet Lad en bil køe med den konstante hastighed 9 km/time hen ad en motovej. Tiden t og den tilbagelagte vejlængde y e da popotionale. Eksempelvis på time e de tilbagelagt 9 km, på time e de tilbagelagt 8 km osv., så y = 9 t Omvendt popotionalitet To støelse x og y siges at væe omvendt popotionale, hvis de findes et tal a y = x a >, så

19 .5. Definition af tangens Eksempel.. Omvendt popotionalitet Lad afstanden ad en motovej fa et punkt A til et punkt B væe km. En bil køe fa A til B med den konstante hastighed v km/time hen ad motovejen. Tiden t og hastigheden v e da omvendt popotionale. Eksempelvis køes v = km/time tilbagelægges vejstækningen på time, med 5 km/time tilbagelægges vejstækningen på time osv. Vi ha følgelig, at v = t.7. Ensvinklede tekante I figu.8 e tekant ABC en fostøet udgave af tekant ABC, idet alle sidelængde i tekant ABC e dobbelt så lange som de tilsvaende længde i tekant ABC. Ved fostøelsen bevae tekanten sine vinkle. Tekantene siges at væe ensvinklede. Man kunne natuligvis i stedet have benyttet et andet støelsesfohold end. Fig.8. Ensvinklede tekante Definition: To tekante kaldes ensvinklede, hvis de te vinkle e pavis lige stoe. Man kan vise, at: To tekante ensvinklede ensliggende side e popotionale dvs. A= A, B = B, C = C De findes et tal k så a = k a, b = k b, c = k c Lineæ intepolation Ved lineæ intepolation antage man, at den tabellagte funktion ænde sig lineæt (dvs. som en linie elle en plan) i det omåde, hvoi man foetage intepolationen. Eksempel. Intepolation i en vejs tabel Find den vædi af y som svae til en vædi af x på Et uddag af tabellen omking det elevante sted e følgende: x y

20 . Plangeometi I Håndegning Vi se, at stige x med.5 (fa 5.65 til 5.7) stige y med (fa.5 til - 3.) Af de ensvinklede tekante (se figuen) ses nu, at stige x med.3 (fa 5.65 til 5.68), så vil y stige med 3. ( 785. ) = Vædien i x = 5.68 e følgelig y = = 53.9 Lommeegne: x x=5.65 x=5.7 y=3. y=.5 y y Med de angivne bogstave e fomlen: y = y+ ( x x) x x I TI89 indtastes følgende: y+(y-y)/(x-x)*(x-x) STO int(x,x,y,y,x) (STO findes i næstsidste ække) Vi ha nu gemt en funktion it i lageet (Main) Vi kan nu benytte den ligesom enhve anden funktion Gå ind i HOME, Tyk på VAR-Link (ove tasten -) og vælg int ENTER I HOME stå nu int( Vi skive nu int( 5.65, 5.7,3,.5, 5.68) Resultat 53.9 Et poblem e at huske den ækkefølge, man skal indsætte de 5 vaiable..8. Retvinklet tekant. Betegnelse: I en etvinklet ABC, hvo C = 9 (se figu.9) kaldes c fo hypotenusen og de to ande side fo katete. I fohold til A kaldes a fo den modstående katete og b fo den hosliggende katete. De gælde følgende vigtige sætning Sætning.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 gælde Fig.9. Retvinklet tekant sin A = a, cos A = b, tan A = c c a b elle modståede katete hosliggende katete sin(spids vinkel) =, cos(spids vinkel) = hypotenuse hypotenuse modståede katete tan(spids vinkel) = hosliggende katete 4

21 .7 Retvinklet tekant Bevis Et koodinatsystem e indlagt som vist på figu., med A i begyndelsespunktet og C ud af x - aksen. Fig.. Retvinklet tekant De to tekante ABC og APQ e ensvinklede, så dees side e popotionale, dvs. sin A cos A Da PQ = sin A, AQ = cos A og AP = fås a = b = c Heaf fås sin A a, cos A b sin = = og tan A c c = A a cos A = b PQ BC AQ = = AC AP AB Fomlene i sætning.3 sike, at hvis vi kende en side og enten en vinkel elle ydeligee en side, kan vi beegne de esteende side og vinkle (foudsat natuligvis at tekanten eksistee). De e 5 såkaldte tekantstilfælde: ) Givet sidene a og b: c findes af c = b + a, A af tan A = a og B = 9 - A b ) Givet sidene a og c: b findes af c = b + a, A af sin A = a og B = 9 - A c 3) Givet A og siden a: b findes af tan A = a, c findes af sin A = a og B = 9 - A b c 4) Givet A og siden b: a findes af tan A = a, c findes af cos A = b og B = 9 - A b c 5) Givet A og siden c: a findes af sin A = a, b findes af cos A = b og B = 9 - A c c Eksempel.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 e A = 35,6 og siden a = 5.3. Find de ubekendte side og vinkle. Løsning: B = 9 - A=9-35,6 = tan A a a 53 = b = b = b = 743. b tan A tan sin A a a 53 = c = c= c= 95. c sin A sin

22 . Plangeometi I Opgave til kapitel..(uden hjælpemidle) Bestem en eksakte vædi af afstanden mellem punktene A = (-4, 3) og B = (-3, -8). Bestem med 3 decimale længdene af sidene i tekant ABC, hvo A = (-3, 4), B = (5, 7) og C = (, 5).3 Undesøg om tekant ABC e ligebenet, nå A = (5, 8), B = (6, ) og C = (, 4).4. (uden hjælpemidle) En linie gå gennem punktene A = (, ) og B = (3, -). Find liniens ligning..5. (uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A =(-3,) og B = (, 5). Opskiv ligningen fo l.6.(uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A = (, -3) og ha hældningen. a) Tegn linien l i et koodinatsystem b) Opskiv linien l s ligning. c) Find koodinatene til linien l's skæingspunkte med koodinataksene..7.(uden hjælpemidle) a) Opskiv ligningen fo den linie l, de gå gennem punktet P = (5, 3) og ha hældningen a = 3 b) Opskiv ligningen fo den linie m, de gå gennem punktet P =, og ha 3 hældningen a = (uden hjælpemidle) Linien l gå gennem punktene A = ( -, 4) og B = (7, 6). Find en ligning fo den linie m som skæe x - aksen i (4, ), og som e paallel med l..9. En linie gå gennem punktene A = (-3,) og B = (,4). Undesøg om punktet C = (5, 7) ligge på denne linie... (uden hjælpemidle) En cikel ha centum i punktet C = (-,3) og ha adius 5. a) Opskiv ligningen fo ciklen b) Vis, at punktet D = (,6) ligge på ciklen c) Find skæingspunktet mellem ciklen og x - aksen. 6

23 . Opgave til kapitel. (uden hjælpemidle) Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + ( y 3) = 4 b) ( x+ ) + ( y 6) = 5. Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + y + x 6y = 6 b) x + y x = 6 c) x + y + x+ 8y = 8.3 (uden hjælpemidle) På figuen e afsat længden af nogle af sidelængdene i de to tekante. Beegn de eksakte længde af de to esteende side.4 (uden hjælpemidle) Valutakusen på svenske kone e 78.9 k, dvs. til svenske kone svae 78.9 danske kone. a) Hvis de til x svenske kone svae y danske kone, hvad e så elationen mellem x og y. b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..5 (uden hjælpemidle) En kostba gave til et byllup koste k. Lad de væe x pesone de ønske at bidage til gaven, og lad det beløb hve peson skal give væe y. a) Angiv elationen mellem x og y b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..6 (uden hjælpemidle) ABC e etvinklet med C= 9. Det oplyses, at sin( 3 ) =. Beegn de manglende side nå a) A = 3 og a = 5 b) A = 3 og c = 8.7 Angiv med 4 decimale cos(6 ), sin(7 ), sin( ), tan(3 ), cos( ).8 Lad vinklen v lige i intevallet v 8 Find med decimale de vædie af v, hvo a) cos v =.345 b) sin v =.345 c) cos v = ABC e ligebenet med b = c, A = 35 og a = 8. Find de manglende side og vinkle. 7

24 . Plangeometi I. Hvo mange gade stå solen ove hoisonten, nå en m høj flagstang kaste en skygge på 5 m.. Ud fo en etlinet kyst ligge en lille ø med et fy F. Bestem fyets afstand fa kysten, nå sigtelinien 4 m længee nede ad kysten danne en vinkel på 35 med kystlinien.. En cikel ha centum i punktet C og en adius = 4 m. Et punkt P ligge i afstanden 8 m fa C. Fa P tækkes tangentene til ciklen. a) Beegn afstanden fa P til tangentenes øingspunkte med ciklen. b) Beegn den vinkel som de to tangente danne med hinanden..3 Fa et skib ses et 65m højt fy unde en vinkel på 8.5. Hvo lang befinde skibet sig fa fyet.? 8

25 3.. Definition af vekto 3 Vektoe i planen 3. Definition af vekto Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Et liniestykke e bestemt af sine endepunkte. Vi fosyne nu liniestykke med en etning elle oienteing, som vi angive ved hjælp af en pilespids i den ene ende. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. a b b a Fig 3.: Vektoe På figu 3. e pilene AB og CD epæsentante fo samme vekto, som vi betegne med AB. Da de to pile epæsentee samme vekto skive vi AB = CD, Vi kalde A fo pilens begyndelsespunkt og B fo dens endepunkt. Vektoe betegnes også med små bogstave med pil ove: a = AB 9

26 3. Vektoe i planen På figu 3. epæsentee EF og GH en anden vekto b. Læg mæke til, at AB BA, fodi de to pile ikke ha samme etning. Vi vil i det følgende tillade os at tale om vektoen epæsenteet ved pilen AB. AB i stedet fo det mee koekte vektoen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen 3. Regneegle Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu 3.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Vi ha altså AB+ BC = AC (kaldes indskudssætningen, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig 3. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu 3. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.

27 3. Regneegle Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu 3.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig 3.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig. 3.4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5

28 3. Vektoe i planen 3.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu 3.5) En vekto a kan nu skives a = ax + ayhvo a x e paallel med x - aksen og ay e paallel med y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j i ay Fig Basisvektoe i a 3 i j a = 3 i + j = 3 Fig Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning 3.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b

29 3.3 Vektoes koodinate Eksempel 3.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = Find koodinatene til a+ 5b Løsning: a+ b = ( ) + = = TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu 3.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig 3.7. Stedvekto Sætning 3.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel 3.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 =

30 3. Vektoe i planen Vektos længde. Sætning 3.3. Længde af vekto a a = a + a, hvo a =. a Bevis: Vektoene ai og a j danne sammen med a en etvinklet tekant med a som hypotenuse (se figu 3.8). Da længdene af katetene e ai = a og ai = a fås af Pythagoas sætning: a = a + a a = a + a a a j a i j i Fig.3.8 Vektos længde Eksempel 3.3 Længde af vekto ) Find længden af vektoen a = 3. 4 ) Find en enhedsvekto e ensettet med a. Løsning: ) a = ( 3) + 4 = 5 ) 3 5 a e = = a 4 5 TI 89: ) ((-3)^+4^) ) unitv([-3,4]) (unitv angive enhedsvekto og kan findes unde CATALOG) 4

31 3.4 Skalapodukt 3.4 Skalapodukt. Vi vil nu definee et podukt af vektoe, hvo esultatet e et tal (en skala). Definition af skalapodukt. a Ved skalapoduktet (også kaldet pikpoduktet ) af vektoene a = og fostås b b = a b tallet a b = a b + a b. Eksempel 3.4. Skalapodukt Lad de væe givet a = og b = Find skalapoduktet a b. Løsning: a b = ( ) = 9 TI89: CATALOG\ dotp([-,],[3,5]) De gælde følgende egneegle fo skalapoduktet: Sætning 3.4. Regneegle fo skalapodukt () a b = b a () a ( b + c) = a b + a c (3) ( ta) b = a ( tb) = t( a b) (4) a = a a = a (sammenhæng mellem længde og skalapodukt) Bevis: Alle egle bevises ved koodinategning a Lad a =, og b b = a c c = b c () a b = ab+ ab, b a = ba + ba. Da de to side e ens e () bevist. a b c a b + c = ab ac ab a c () + ( ) = a b + c a b + a c = ab + ab + ac + ac Da de to side e ens e () bevist. (3) Vises analogt som () og () (4) a a a a a = = a a a = + a Af længdefomlen haves a = a + a Da de to side e ens e (4) bevist Regneeglene (), () og (3) svae ganske til de man kende fa almindelige tal, så vi kan defo tillade os at benytte samme metode ved udegning. 5

32 3. Vektoe i planen a b a b a b a b = = + a b Eksempelvis ha vi ( ) ( )( ) ( ) Heaf fås a b = ( a b) a + b a b = a b a b. Da længden af en vekto e den samme uanset hvilket koodinatsystem de abejdes ( blot man ha samme enhed) så vise ovenstående, at skalapoduktets vædi også e uafhængigt af koodinatsystemet. 3.5 Retningsvinkel, polæe koodinate Lad a væe en egentlig vekto. Vi ha tidligee vist, at en enhedsvekto e i samme etning a e givet ved a e =. Heaf fås a = a e a Hvis vi afsætte e med begyndelsespunkt i (,) vil endepunktet P ligge på enhedsciklen (se figu 3.9). j e i a Fig. 3.9 Retningsvinkel Lad e danne vinklen v med den positive del af x - aksen. Punktet P få da koodinatene (cos v, sin v). Da en stedvekto ha de samme koodinate som punktet e e = cos v sin v a Vi ha demed a = a e = a. cos v = cos v sin v a sin v Vinklen v fa x - aksens positive del til a s etningsvekto kaldes a s etningsvinkel og egnes med fotegn sædvanligvis i intevallet [-8 ; 8 ] elle i intevallet [ ; 36 ] Man sige også, at punktet P ha de polæe koodinate OP,v. Eksempel 3.5. Retningsvinkle og polæe koodinate Lad a = b c d 5 3 = = 5 = 3,, og 4 Find de 4 vektoes etningsvinkle, og angiv koodinatene til de 4 vektoe i polæe koodinate. Løsning: De 4 vektoe e sammen med dees etningsvinkle indtegnet på figu 3. 6

33 3.5 Retningsvinkel, polæe koodinate c a d b Fig etningsvektoe med indtegnede vinkle ) Vi se, at a e hypotenuse i en etvinklet tekant med katetene 5 og. Vi ha følgelig tan v = = a. 4 v = 8. a. 5 a = 5 + = 9 Polæe koodinate ( 9, 8. ) ) Tilsvaende få vi tan vb = = vb = Polæe koodinate ( 3, ) 3 3) Da c s etningsvekto ligge i kvadant e v c = 8 + u, hvo u bestemmes af 4 tan u= = 8. u= dvs. v c = 8 + (-36.66)= Polæe koodinate ( 4, 434. ) 4) Da d s etningsvekto ligge i 3 kvadant e v d = u - 8, hvo u bestemmes af tan u =. u. dvs. v d = =-46.3 = = 3369 Polæe koodinate ( 3, ) Da det e ganske besvæligt med håndkaft at egne i polæe koodinate, vil man sædvanligvis benytte en lommeegne som TI-89 til det. Eksempel 3.6 Regninge i polæe koodinate med TI89 5 ) Omegn vektoen til polæe koodinate ) Omegn vektoen til etvinklede koodinate 3) Udegn 3, i polæe koodinate Løsning: ) [5,] Pola ( Pola kan findes unde CATALOG) Resultat: [ ] ) [5.4,.8] ( findes ove EE) Resultat: [5..] 3) [3.6, 5] + [6., ] Pola Resultat: [ ] 7

34 3. Vektoe i planen 3.6 Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe, danne de en vinkel v med hinanden. Vi vil he altid egne vinkle som placeet i intevallet [ ; 8 ] (elle [; π] ). Vi egne altså ikke he vinkle med fotegn. Sætning 3.5. Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe og v e vinklen mellem dem gælde cos v = a b a b Bevis: Vi vil vise, at a b = a b cosv Vektoene a og b afsættes med fælles begyndelsespunkt O Vi antage endvidee at vinklen v egnet fa a til b ligge mellem og 8. Hvis dette ikke e tilfældet kan vi blot i det følgende ombytte a og b. I afsnit 3.4 viste vi at vædien af det skalæe podukt e uafhængigt af koodinatsystemet. Vi indlægge defo nu koodinatsystemet således, at koodinatsystemets begyndelsespunkt e O og føste basisvekto i e ensettet med a I figu 3. og figu 3. e dette vist i de to tilfælde, hvo vinklen v e spids henholdsvis stump. Vi ha nu, at a a = b og b = og demed a b = a b b j b b j i a i a Fig 3.. Vinkel v spids Fig. 3.. Vinkel v stump b E vinkel v spids få vi af den etvinklede tekant OQB (se figu 3.) at cos v = elle b b cosv. b E vinkel v stump, få vi af den etvinklede tekant OQB (se figu 3.) at cos( 8 v) = OQ b. Da OQ = b og cos( 8 v) = cos v fås = b cos( v) b = b cos( v) b Vi ha nu i de to tilfælde a b = a b = a b cosv. Hemed e sætningen bevist i de to hovedtilfælde. Fo v =, v= 9 og v= 8 ses ved indsættelse i fomlen, at sætningen også gælde he. 8

35 Eksempel 3.7. Vinkel mellem vektoe Find vinklen mellem vektoene a = b 5 3 og = Løsning: a = 5 + = 9 b = 3 + ( ) = 3 a b = 53 + ( ) = a b cos v = = = a b 9 3 v = a b TI 89: Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b 3.8 Tvævekto, Deteminant cos - ( dotp(unitv([5,]),unitv([3,-]))) hvo de enkelte vektoode findes i CATALOG elle ved MATH, MATRIX, L: Vecto ops To vektoe siges at væe otogonale hvis vinklen mellem dem e 9 Af sætning 3.5 følge: a b = a b b a 3.7 Pojektion Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vi vil finde pojektionen af a på b, dvs. den vekto de femkomme, nå begyndelsespunkt og endepunkt af a pojicees på en linie paallel med b. På figu 3.3 e vektoene placeet med samme udgangspunkt (C og D). I den ene situation e vinklen spids, og i den anden e den stump. Pojektionen betegnes med p a. a p a c c b a p a b Fig. 3.3.Pojektion af vekto 9

36 3. Vektoe i planen Sætning 3.6. Pojektionssætning a b Lad a og b væe to egentlige vektoe. Pojektionen p a af a på b e givet ved pa = b b Bevis: Da b og p a e paallelle findes et tal t, så pa = t b. () Vi multiplicee nu skalæt på begge side af ligningen med b. p p t b p b t b b t a b a = a = =. () b Vi betagte nu c = a p a p c a = a + Da b og c e vinkelette på hinanden e c b =. Vi ha defo a = p c a b p b c b p b a + = a + = a. Indsættes pa b = a a b b i () fås t =. Indsættes denne vædi af t i () fås den ønskede fomel b 3.8 Tvævekto, deteminant. Definition af tvævekto. Ved tvævektoen $a til en egentlig vekto a fostås den vekto, de femkomme ved at deje a 9 i positiv omløbsetning (d.v.s. mod uet). Specielt gælde, at i et sædvanligt koodinatsystem e $i = j. Sætning 3.7. Tvævektos koodinate. a Lad a = væe en egentlig vekto. Tvævektoen ha da koodinatene. a $a $a = a a Bevis: Hvis a ha etningsvektoen v, e koodinatene a a a =. cosv = a a sin v Tvævektoen $a ha etningsvinklen v+9, så a$ cos( v + 9) a$ = a$ sin( v + 9) Af en enhedscikel (se fig. 3.4) ses, at cos( 9 + v) = sin v og sin( 9 + v) = cos v a$ sin v a Heaf fås, at a$ = = a$ cos v a Eksempel 3.9. Tvævekto Find tvævektoen til vektoen a = 5 Løsning: $a = 5 Fig 3.4. Tvævekto 3

37 3.8 Tvævekto, Deteminant Definition af deteminant. Ved deteminanten fo vektopaet ( ab, ) fostås tallet det ( ab, ) = a$ b a E a = og blive det b b = a (, ) $ a b ab = a b= ab ab b a = b Man buge en speciel skivemåde fo deteminanten fo et vektopa, nemlig et kvadatisk talskema med a som føste søjle og b som anden søjle. det(, a b ab) = = ab ab a b Eksempel 3.. Beegning af deteminant. Lad a = b. Beegn deteminantene det og det. 3 = og (, ab ) ( ba, ) 4 Løsning: det (, 3 3 ab) = = ( ) = 4, det ( ba, ) = = = TI 89: CATALOG: det([3,;-,4]) Det gælde (jævnfø evt. eksempel 3.) at det (, ab ) = - det ( ba, ). Sætning 3.8. Aeal af paallelogam. Lad a og b væe to egentlige ikke-paallelle vektoe. Lad endvidee d= det( ab, ), v væe vinklen mellem a og b og A aealet af det paallelogam, som a og b udspænde. De gælde da: A = d = a b sin v. Bevis: På figu 3.5a e tegnet en situation hvo omløbsetningen fa a til b e positiv (dvs. mod uet) og på figu 3.5b e omløbsetningen negativ. $a b b a $a b b a Fig 3.5a. Positiv omløb Fig. 3.5b. Negativ omløb 3

38 3. Vektoe i planen a$ b Lad b betegne pojektionen af b på $a. Vi ha da ifølge sætning 3.65, at b = a$ a$ a$ b Multiplicees ligningen med $a fås a$ b = a$ a$ a$ b = a$ b a$ E omløbsetningen positiv e b og ensettede, dvs. vinklen mellem dem e $a (jævnfø figu 3.5a). Vi ha da : a$ b = a$ b cos a$ b = a b E omløbsetningen negativ eb og modsat ettede, dvs. vinklen mellem dem e 8 $a (jævnfø figu 3.5b). Vi ha da : a$ b = a$ b cos a$ 8 b = a b Da b e højden i det paallelogam, de udspændes af a og b, e ab aealet af paallelogammet. Vi ha følgelig, at den numeiske vædi af deteminanten $a b = a b e aealet af paallelogammet b Af den etvinklede tekant ODB på figuene ses, at sin v = b = b sin v. b Heaf følge, at aealet T af paallelogammet e T = a b sin v. Af beviset fo sætning 3.8 gælde, at Fotegnet fo det( ab, ) e det samme som omløbsetningen fa a til Endvidee gælde $a b = a og b paallelle (da $a og b så e vinkelette på hinanden). Eksempel 3.. Aeal af tekant Lad A=(5,), B=(6,-) og C=(3,-4). Find aealet af ABC. Løsning: Vi finde AB = og AC =. 3 5 Da deteminanten 5 6, ha det paallelogam de udspændes af vektoene 3 5 = = AB og AC aealet T =. Vi ha følgelig, at ABC s aeal = = 55. b 3

39 Opgave til kapitel 3 Opgave til kapitel 3 3. (uden hjælpemidle) Lad a = og. 4 b = 3 Tegn i et koodinatsystem følgende vektoe: a, b, a+ b, a b, a+ b, 3a a og a 3b 3.. (uden hjælpemidle) Bestem tallet k, således at vektoene a = og e paallelle. b = 5 6 k Bestem deefte tallet t, så b = ta. 3.3.(uden hjælpemidle) 6 Bestem koodinatene til a og b, nå det e givet, at a+ b = og a b = (uden hjælpemidle) Givet punktene A = (,3) og B = (4,-). a) Find koodinatene til vektoen AB b) Find den eksakte vædi af AB 3.5.(uden hjælpemidle) Punktet A = (6,). Bestem koodinatene til punktet B, nå det oplyses, at AB = (uden hjælpemidle) Bestem koodinatene til punktene C og D, nå det oplyses, at A = (5,3), B=(-,4), AC = og BD = Lad a = b. Find og. 7 = 3, a, b a+ b (uden hjælpemidle) Bestem koodinatene til de enhedsvektoe, de e paallelle med a =. 5 33

40 3. Vektoe i planen 3.9.(uden hjælpemidle) Angiv skalapoduktene a b, b ( c a) og a ( a+ 3b c), idet a = 3 b c = 6 =, og 3 3..(uden hjælpemidle) x Løs ligningen = x a) Skiv a = på polæ fom. 3 b) Find de polæe koodinate fo punktet P = (, -3) c) I polæe koodinate e Q = (5, 46 ). Angiv Q's koodinate på ektangulæ fom d) Beegn (6, ) + (4, -3 ) i polæe koodinate. 3. AB ha begyndelsespunkt A = (3,-), længden 6 og etningsvinklen 33. Bestem med 3 decimale koodinatene til B. 3.3 Et skib sejle i 3 time fa punktet A med en begyndelseskus på 3 og en fat på 5 knob. (en kus e vinklen i fohold til nod (y-aksen) egnet positiv med uet, og knob e sømil/time) Heefte ændes kusen med i sydlig etning (med uet) og faten ændes til knob. Efte 4 times sejlads med den nye kus nås til punktet C. a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet. 3.4 Bestem vinklen mellem vektoene a = b 5 = 9 og 3.5 Bestem vinklene i ABC, nå A = (7,8), B = (-5,) og C = (8,-) 3.6 a) Vis at punktene A = (-,), B = (-,-), C = (4,) og D = (3,5) udspænde et paallelogam. b) Find den spidse vinkel mellem diagonalene. 3.7 Lad A = (-,), B = (,5) og C = (,) Vis, at ABC e etvinklet, og bestem de to spidse vinkle i tekanten. 3.8 Bestem de tal k, fo hvilke a b, nå k + 3 a = og b = k

41 Opgave til kapitel Find koodinatene til pojektionen af b = a. 3 = på 4 5. Bestem endvidee længden af pojektionsvektoen. 3. Vinklen mellem vektoene a og b kaldes v, og a = b =. 4, 3, v = 6 Find pojektionen af a på b. 3. (uden hjælpemidle) I kvadatet ABCD e A=(-,) og diagonalenes skæingspunkt M=(,3). Bestem koodinatene til kvadatets øvige vinkelspidse. 3. (uden hjælpemidle) En ombe e en fikant hvo alle side e lige lange. Man kan vise, at i en ombe stå diagonalene vinkelet på hinanden. I omben ABCD e A=(6,4) og B= (9,8) Endvidee e BC paallel med x - aksen. Find koodinatene til C og D samt til diagonalenes skæingspunkt M. 3.3 (uden hjælpemidle) Reducé udtykket ( $ $ )( $ a+ b a+ b) ( b + a) ( b a$) 3.4 Idet a e en egentlig vekto, skal vinklen mellem $a og b = a+ 3$ abeegnes. 3.5 Tegn i et koodinatsystem en egentlig vekto a. Konstue deefte femkanten ABCDE, hvo AB = a, BC = a + a CD = a + a DE = a $, $, a $. Udtyk deefte EA ved a og a $, og bestem vinkel B. 3.6 (uden hjælpemidle) 4 a) Bestem aealet af det paallelogam de udspændes af vektoene a = og b = b) Bestem k, så paallelogammets aeal blive 8, nå a = og. 3 k b = Bestem aealet af den tekant, de udspændes af vektoene a = 3 og b =. 35

42 4. Plangeometi 4. Plangeometi II 4. Indledning Vi ha i kapitel set på cikle, ette linie og etvinklede tekante. Vi vil i dette kapitel se på en mee geneel beskivelse af ette linie, skæing mellem disse og med cikle, samt på hvoledes man beegne de side og vinkle i vilkålige (ikke etvinklede) tekante. 4.. Den ette linie. Vi fandt i kapitel, at alle linie, de ikke e paallelle med y - aksen kan skives på fomen y = ax+ b, hvo a e hældningen og (,b) e skæingspunktet med y - aksen. Vi vil nu se på en fom fo den ette linies ligning, som dels omfatte alle linie, dels e mee anvendelig bl.a. nå man eksempelvis skal finde vinklen mellem to linie. Sætning 4. Ret linies ligning a Lad en linie l væe bestemt ved, at P = ( x, y) e et punkt på linien og n = e en vekto b de stå vinkelet på linien (se figu 4.). Linien l ha da ligningen ax ( x) + by ( y) = n Fig. 4.. Ret linie Bevis: Fo ethvet punkt P = (x, y) på linien ( og kun fo disse) må de gælde, at vektoen PP stå vinkelet på n. Det betyde igen, at det skalæe podukt mellem de to vektoe e. PPn x x a = ax x by y Heaf følge sætningen. y y = ( ) + ( ) = b Vektoen PP som jo e en vekto paallel med linien kaldes en etningsvekto fo linien. a Vektoen n = kaldes en nomalvekto til linien,. b 36

43 4.3 Vinkel mellem to ette linie Eksempel 4.. Linies ligning En linie l e bestemt ved, at den gå gennem punktene A =(3,) og B = (, 8). Angiv ligningen fo l. Løsning: En etningsvekto fo l e AB 3 = =. 8 6 En nomalvekto til linien l e da $n = 6 Linien l s ligning : 6( x 3) ( y ) = 6x + y = 4.3. Vinkel mellem to ette linie. Ved vinklen mellem to ette linie fostås sædvanligvis den spidse vinkel mellem liniene. Den letteste måde at finde vinklen på e at beegne vinklen mellem nomalvektoene (se figu 4.). Denne vinkel kunne væe stump, men da den modsat ettede vekto også e nomalvekto e det blot et spøgsmål om at skifte fotegn. n m j i nl Fig 4.. Vinkel v mellem to linie Eksempel 4.. Vinkel mellem linie To linie l og m ha ligningene l: 3x + y = m : 4x - 3y + 6 = Find den spidse vinkel mellem l og m. Løsning: En nomalvekto til linien l e n = 3 4 En nomalvekto til linien m e m =. 3 Da vi ønske at finde den spidse vinkel v mellem liniene tages den numeiske vædi. 3 cos v = = 4 n m = = = v = n m

44 4. Plangeometi 4.4 Afstand mellem punkt og linie Ved afstanden mellem et punkt P og en linie l /skives kot dist(p,l) ) fostås den koteste afstand mellem punkt og linie, dvs. længden af PQ, hvo linien PQ stå vinkelet på l ( se figu 4.3) n j i De gælde nu følgende sætning. Sætning 4.. Afstandsfomel Punktet P = ( x, y) s afstand fa linien l med ligningen ax + by + c = e ax + by + c dist (P, l) = a + b Bevis. Lad P = ( x, y ) væe et punkt på linien l. Vektoen PP s pojektion på nomalvektoen n må væe vektoen QP (se figu 4.3). PPn Af pojektionssætningen 3.7 fås nu: QP = = n Da ligningen fo linien l kan skives punktet P s koodinate. Fig 4.3. Afstand mellem punkt og linie x y x a y b = a + b ax ( x) + yy ( y ) = ax ( x) + by ( y) a + b ses, at tælleen e liniens ligning, hvo man ha indsat Eksempel 4.3. Afstand mellem punkt og linie Find afstanden fa punktet P = (,-3) til linien l med ligningen 3x + y =. Løsning: 3 + ( 3) 8 8 dist(p, l ) = = =

45 4.5 Paametefemstilling fo et linie 4.5. Paametefemstilling fo et linie. Lad l væe en et linie, som gå gennem et fast punkt P og ha en egentlig vekto l som etningsvekto Fo vilkålige punkte P på linien l og kun fo disse punkte vil de da gælde: PP = tl, hvo t e et eelt tal. Fo hve vædi af t (kaldet paameteen) svae de ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP = OP+ PP OP = OP+ t l OP = OP + t l, kaldes en paametefemstilling fo linien l, med paameteen t (som e et eelt tal). l Fig 4.4. Paametefemstilling a Lad vektoen l = og P =(x, y ). (jævnfø figu 4.4) b x x a En paametefemstilling fo l i koodinate blive da t y = + y b En linie ha mange paametefemstillinge, da man dels jo kan vælge foskellige faste punkte på l, dels vil alle vektoe popotionale med l kunne benyttes som etningsvektoe. Eksempel 4.4. Linies paametefemstilling. Find en paametefemstilling fo linien l gennem punktene A=(3, ) og B = (, 3) Løsning: Da AB 3 = = og et punkt på linien e A e en paametefemstilling fo l: 3 x t y = 3 + Man kan opfatte paametefemstillingen fo l som en beskivelse af en jævn etlinet bevægelse a i ummet, hvo t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvekto e. b 39

46 4. Plangeometi Eksempel 4.5. Retlinet bevægelse. x Lad t beskive et legeme L s etlinede bevægelse i planen, hvo t angive tiden y = og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløbe i 3 sekunde. b) Find den tid det tage fo L at gennemløbe en stækning på 9 m. Løsning: a) Faten e = 5 = 5m/s I 3 sekunde gennemløbes 5 m. 9 b) 9 m gennemløbes på = 8 s Skæing mellem to ette linie Lad de væe givet ligningene fo to ette linie l og m: l: ax + by = c m: ax+ by = c E liniene ikke paallelle ha de et skæingspunkt. Et sådant skæingspunkt skal opfylde begge ligninge, så poblemet educees til, at løse to ligninge med to ubekendte. Dette ske lettest ved den kendte metode, hvo man af den ene ligning finde eksempelvis y udtykt ved x, og så indsætte dette i den anden ligning. Man kan dog også benytte en lommeegne som TI-89 hetil. Disse to metode e vist i det følgende eksempel 4.6. Eksempel 4.6. Skæing mellem to linie. Find skæingspunktet S mellem linien l med ligningen x - 6y + 9 = og linien m med ligningen x + 8y - =. Løsning: Metode : Indsættelsesmetoden Da skæingspunktets koodinate skal opfylde begge ligninge skal man løse ligningssystemet x 6y + 9= () x + 8y = ( ) 9 Af ligning () findes x = 3y (3) Indsættes (3) i ligning () fås 9 3y + 8y = y = y = Indsættes y = i (3) fås x = 3 9 x = 3 Skæingspunkt S = 3, 4

47 4.6 Skæing mellem to ette linie Metode : TI-89. F\solve(x-6y+9= and x+8y-=,{x,y}) ( and findes i CATALOG) Resultat x =-3 and y = ½ Eksempel 4.7. Højde i tekant Lad tekant ABC have vinkelspidsene A=(,), B=(6,7) og C = (, 5). Find koodinatene til fodpunktet H af højden fa B. (se figuen) Løsning: i Vi ha AC = = 8 = Linien l gennem A og C ha nomalvektoen n l = l ha da ligningen ( x ) + ( y ) = x+ y = () Lad m væe linien gennem B vinkelet på l Linien m må have en nomalvekto de e paallel med l, dvs. n m = m ha da ligningen ( x 6) + ( y 7) = x+ y 9 = () Skæingen mellem l og m e da koodinatene til H Af ligning () fås: x = y som indsættes i ligning () 9 ( y) + y 9 = 5y = 9 y = = x = 38. = 76. H = (7.6, 3.8) j 4

48 4. Plangeometi 4.7. Skæing mellem linie og cikel I afsnit.4 fandt vi, at ligningen fo en cikel med centum i C = ( x, y ) og adius e ( x x ) + ( y y ) = Det e jo ikke sikket at en et linie ovehovedet skæe en sådan cikel, men hvis den gø det vil det enten væe i punkte (se figu 4.5) elle i ét punkt (hvis linien e tangent til ciklen). Fig 4.5. Skæing mellem cikel og linie At finde skæingspunktene betyde, at man skal løse to ligninge hvoaf den ene e af. gad. Dette vises i følgende eksempel 4.8. Eksempel 4.8. Skæing mellem linie og cikel Find skæingspunktene mellem linien l med ligningen -x + 3y - 4 = og ciklen med centum i C = ( -, 6) og adius 5. Løsning: Ciklens ligning: ( x+ ) + ( y 6) = 5 () Liniens ligning : -x + 3y - 4 = () 3 Af ligning () findes x udtykt ved y: x + 3y = 4 x = 3y 4 x = y (3) (3) indsættes i (): y + + ( y 6) = 5 y + y + 36 y = 5 y y + = 4 4 ± 4 3 ± Andengadsligningen løses: y = = = Vædiene indsættes i (3): y = x = =, y = x = = Skæingspunkte S = (, ) og T =, 3 3 TI-89: F\solve( -x + 3y - 4 = and (x+)^+(y-6)^=5^,{x,y}) Resultat: x = and y = o x=7/3 and y=/3 4

49 4.8 Tangent til cikel 4.8. Tangent til cikel En tangent i et punkt P til en cikel med centum i C e en linie l, de stå vinkelet på adius CP i punktet P (se figu 4.6). En nomalvekto til linien blive defo vektoen CP. På dette gundlag kan man defo let opskive ligningen fo tangenten (jævnfø det følgende eksempel 4.9) Fig 4.6. Tangent til cikel Eksempel 4.9. Tangent til cikel Lad de væe givet en cikel med centum i C = (, -3) og adius = 6 ) Vis, at punktet P = (3, ) ligge på cikelpeifeien. ) Find tangenten til ciklen i punktet P. Løsning: ) CP = Da ligge P på cikelpeifeien. 5 CP = + 5 = 6 ) Tangentens ligning: ( x 3) + 5 ( y ) = x+ 5y = 3 43

50 4. Plangeometi 4.9. Beegning af side og vinkle i en tekant I figu 4.7 e tegnet en vilkålig tekant ABC med vinklene A, B og C og sidene a, b og c. Vi vil i dette afsnit udlede nogle fomle, efte hvilke man kan beegne alle esteende vinkle og side i en sådan tekant blot te af disse e angivet ( den ene skal dog væe en side) Det foudsættes natuligvis at tekanten eksistee. Eksempelvis vil en tekant hvo siden a = siden b= 5 og siden c = 6 ikke eksistee. Sætning 4.3. Cosinuselationene Fo en vilkålig tekant ABC gælde a = b + c b c cos A b = a + c a c cos B c = a + b a b cosc Fig 4.7. Vilkålig tekant Bevis: Lad i ABC vektoen b = AC og vektoen c = AB. De gælde da, at CB = c b (se figu 4.8) Ifølge egneeglene fo vektoe haves nu. c b c b b = + c ( ) ( ) Idet c b = c b = a = a, b = b, c = c og b c = b c cos A= b c cos A e a = b + c b c cos A De ande to elatione fås på samme måde. c b c b Fig Tekant 44

51 4.9 Beegning af side og vinkle i en tekant Sætning 4.4. Sinuselationene Fo en vilkålig tekant ABC gælde a b c = = sin A sin B sin C Bevis: Da aealet T af en tekant e det halve af aealet af det tilsvaende paallelogam (se figu 4.9) fås af sætning 3.8 at T = a b sin C = b c sin A= a c sin B a c Heaf fås ab sin C= bc sin A = sin A sin C b c og ab sin C= ac sin B = sin B sin C Hemed e elationen bevist. Fig 4.9. Tekant og tilsvaende paallelogam Ud fa disse fomle kan man nu beegne de 3 ukendte vinkle og side. Tilfælde Givet alle te side a, b og c. Af a = b + c bccos A fås A = cos b + c a bc Tilsvaende fås B = cos a + c b og C = 8 - A - B ac Tilfælde Givet en vinkel og de to hosliggende side. Lad væe givet A og sidene b og c a findes af a = b + c bccos A B = cos a + c b og C = 8 - A - B ac Tilfælde 3 Givet en vinkel, den hosliggende og den modstående side Lad de væe givet A og sidene a og b He kan de foekomme løsninge, hvis A e spids, og a < b, elles højst én løsning. Det e i alle tilfælde klogt at skitsee tekanten fo at se om de e én løsning, to løsninge (som på figu 4.) elle eventuelt ingen løsninge. b a B findes af: = sin B = b sin A sin B sin A a Fig Tekantstilfælde c a C = 8 - A - B og c af =. sin C sin A 45

52 4. Plangeometi Tilfælde 4 Givet to vinkle og en side. Lad de væe givet siden a og to vinkle. Man kan så staks finde den tedje vinkel, da vinkelsummen e 8 b a asin B c a b og c findes af = b = og = c = sin B sin A sin A sin C sin A asin sin C A Eksempel 4.. Tekantsbeegninge a) I ABC e C = 5., a = 5.6 og b =.4. Find de 3 esteende vinkle og side i tekanten. b) I ABC e C = 35.7, c = 7.6 og b =.4. Find de 3 esteende vinkle og side i tekanten. Løsning: a) c = cos 5. c = c = A = cos = B = = 43.5 b) Da C e spids, og c < b e de mulighed fo løsninge AB C og AB C (se fig. 4.) sin ) = B = sin =5.99 sin sin B 76. C = = c 7. 6 sin 93. = c = = 3. sin sin 93. sin 357. ) B = = 7. C = = c 7. 6 sin 7. 9 = c = = 387. sin 357. sin 7. 9 sin

53 4. Opgave til kapitel 4 Opgave til kapitel 4 4. (uden hjælpemidle) a) Find ligningen fo den ette linie l gennem punktene A = (, 3) og B = (-4, 6). b) Find ligningen fo den ette linie m som gå gennem A og stå vinkelet på l. 4. (uden hjælpemidle) ABC ha vinkelspidsene A = (4, 7), B = (3, -5) og C = (8, 5) Bestem en ligning fo den linie, de indeholde højden fa C. 4.3 Bestem den spidse vinkel mellem liniene l og m, nå a) l: x y = og m: x+ 3y+ 5= b) l: x+ y = og m: y = x+ c) l: y = og m: x 3y =. 4.4 (uden hjælpemidle) Linien m ha ligningen m: y+ 3x =. Bestem afstanden fa m til punktet P = (5,7). 4.5 Lad A = (4,5), B = (,-) og C = (-4,3). Bestem a) længden af højden fa A. b) aealet af ABC. c) vinklene i ABC (uden hjælpemidle) To bile A og B bevæge sig med en jævn etlinet bevægelse bestemt ved x paametefemstillingene A: t og B: y = x t y = 4 + ) Bestem de to biles fat ) Vil de to biles banekuve skæe hinanden?. 3) Vil de to bile støde sammen? 4.7 (uden hjælpemidle) x En linie l ha paametefemstillingen t y = + 3 a) Skitsé linien l i et koodinatsystem b) Opskiv ligningen fo l 47

54 4. Plangeometi 4.8 (uden hjælpemidle) Løs følgende ligningssysteme ved indsættelsesmetoden x+ y = 8 4x+ y = 5 ) ) 3x+ y = 3 6x+ 4y = (uden hjælpemidle) I et koodinatsystem e givet liniene l: 3x+ 5y = og m: 4x+ 7y = 8 Bestem koodinatene til de to linies skæingspunkt. 4. (uden hjælpemidle) Ved et folystelse i et tivoli blev de i et bestemt tidsum solgt 6 billette. Indtægten va k. Pisen fo en voksenbillet va 3 k og fo en bønebillet k. Hvo mange bøne- og voksenbillette blev de solgt? 4. (uden hjælpemidle) En cikel ha centum i C = (, -4) og adius 5. Find ligningen fo cikeltangenten med øingspunkt i P = (, ). 4. Find ligningen fo den cikel, de ha centum i C = (3, 5) og som ha linien l gennem punktene A = (, ) og B = (, 3) som tangent. 4.3 Bestem skæingspunktene mellem ciklen med centum i C = (4, 3) og adius 5 og linien l med ligningen x +4 y - 9 = 4.4 En cikel c ha ligningen x + y x 6y+ 59 = Find eventuelle skæingspunkte mellem ciklen c og linien l med ligningen x+ 3y 3= 4.5 Bestem de ukendte side og vinkle i ABC, nå a) a =, b = 9 og c = 5 b) A = 65, b = 5 og c = 6 c) B =, a = 8 og b = d) B =, C = og b = 4.6 Et skib sejle med konstant kus og fat. På et tidspunkt pejles et fy i en vinkel på med sejletningen. Efte at skibet ha sejlet sømil pejles fyet igen, og de måles en vinkel på4 med sejletningen. Bestem den koteste afstand d til fyet. 48

55 4. Opgave til kapitel Et skib sejle med en hastighed på 8 knob = 8 sømil i timen. På positionen A obsevees et fy F i en vinkel på 7 med sejletningen. Efte ydeligee sejlads i minutte nås positionen B. Hefa obsevees fyet F i en vinkel på 9 med sejletningen. a) Unde foudsætning af, at skibet beholde sin kus, ønskes beegnet den koteste afstand d mellem skibet og fyet F. Det vides imidletid, at fyet skal passees i en afstand af mindst 5 sømil. b) Beegn den kusænding, de skal foetages på positionen B, fo at fyet passees i en afstand af netop 5 sømil. c) Hvo lang tid gå de mellem kusændingen ved B og passagen af fyet F (ved passagen fostås det sted, hvo skibet e i sin koteste afstand fa F). 4.8 Man ønske at bestemme højden af skostenen PC. Imidletid kan man ikke komme helt hen til skostens fod C, men kun til et punkt B. Fa B danne sigtelinien til skostenens top P en vinkel på 35 med vandet. Man gå nu 5 m tilbage og finde, at sigtelinien nu danne en vinkel på med vandet. Beegn skostenens højde. 4.9 Et skib sejle stik nod med den konstante fat 5 knob = 5 sømil p. time. Klokken. obsevees fyet F i bagbods etning unde en vinkel på med sejletningen. Samtidig obsevees fyet i stybods etning unde en vinkel på 4 med F sejletningen. Klokken.4 foetages tilsvaende obsevatione og nu obsevees fyet bagbods etning unde en vinkel på 5 med sejletningen og fyet i stybods etning unde en vinkel på 5 med sejletningen. a) Beegn afstanden mellem fyet F og fyet F. b) Beegn det tidspunkt til hvilket skibet passee fyet F (dvs. nå afstanden mellem fyet F og skibet e mindst). 4. Afstanden mellem to obsevationspunkte O og O e sømil. Et etvinklet xy - koodinatsystem indlægges med begyndelsespunkt i O og med O i punktet (,). Et skib obsevees fa O og O kl.3, og vinklene måles: SOO = 57, SOO = 35 a) Find koodinatene til skibets position kl.3, idet y >. Ti minutte senee bestemmes koodinatene til skibets position at væe (8.5,.5). b) Find skibets hastighed (i knob) samt skibets etning (vinkel med vandet). c) Find den koteste afstand fa skibet til O, nå det antages, at skibet sejle etlinet. F F i 49

56 5. Funktionsbegebet 5 Funktionsbegebet 5. Definition af eel funktion Man sige, at de foeligge en eel funktion f af et eelt tal x, hvis de til ethvet eelt tal x i en definitionsmængde D e tilodnet netop ét eelt tal f(x). Man kalde f(x) fo funktionsvædien. Mængden af alle funktionsvædie kaldes vædimængden (V på figu 5.). Fig. 5.. Gaf fo en funktion f. Vi vil ofte blot skive "funktionen x ", f ( x) = x elle angive funktionen ved en ligning af fomen y = x. I det sidste tilfælde kaldes x fo den uafhængige vaiabel og y fo den afhængige vaiabel. En anden skivemåde e f: x x, og ved de paktiske anvendelse se man ofte skivemåden y = y(x). Foklaing af skivemåden y = y(x). E f.eks. massen m af en stang en funktion af stangens længde l, vil man nødigt skive m = f(l), da man så dels benytte symbolet m fo massen betagtet som en vaiabel, dels benytte symbolet f fo massens afhængighed af l. I stedet skives tit m = m(l), så de kun knyttes ét symbol m til den fysiske støelse. I kapitel fandt vi ligningen fo en et linie til y = ax+ b. Vi kan nu også sige, at den lineæe funktion f ( x) = ax+ b ha som gaf en et linie. 5. Sammensat funktion En funktion som eksempelvis hx ( ) = x+ kaldes en sammensat funktion, da den e sammensat af funktionene f ( x) = x og gx ( ) = x+ til hx ( ) = f( gx ( )) = x+. 5

57 5.4. Omvendt funktion 5.3. Monoton funktion Hvis de til støe x-vædie svae støe funktionsvædie kaldes funktionen voksende. Hvis de til støe x-vædie svae minde funktionsvædie kaldes funktionen aftagende. Den lineæe funktion f ( x) = ax+ b e således voksende, hvis a > (hældning e positiv) og aftagende hvis a <. Et monotoniinteval e et inteval, hvoi funktionen enten e voksende i hele intevallet, elle e aftagende i hele intevallet Paablen f ( x) = x e således ikke monoton fo alle x, men e monoton (voksende) fo x, og monoton (aftagende) fo x 5.4. Omvendt funktion. Lad f væe en funktion med definitionsmængden D og vædimængden V. Hvis de til ethvet y V findes netop ét x D så siges f at have en omvendt funktion givet ved f ( x) = y f y = f x x = f ( ) ( y) Eksempelvis ha enhve monoton funktion en omvendt funktion. Således e f ( x) = x en voksende funktion fo x og f ha defo he en omvendt funk- tion f. Fo x fås af y = x at x = y dvs. den omvendte funktion e givet ved f ( y) = y hvo y. Hvis vi som sædvanlig kalde den den uafhængige vaiabel fo x e f ( x) = x hvo x Gafen fo f fås så af gafen fo f ved spejling i linien y = x,se figu 5.. ( ) ( ) ( ) f f x = x og f f ( x) = x foudsat, at de indgående funktione e defineet. Eksempelvis hvis f ( x) = x og gx ( ) = x, x, ( ) ( ) Fig 5. Omvendt funktion så e f f ( x) = x = x foudsat x, mens f ( f ( x)) = x = x fo alle x. 5

58 5. Funktionsbegebet Eksempel 5.. Omvendt funktion Find den omvendte funktion til funktionen f ( x) = x. + x Løsning: Foudsat y gælde y = + x = x = x =. + x y y y y = f x = x ( ), x > Opgave til kapitel Angiv fo hve af følgende funktione dees definitionsmængde, den omvendt funktion f og dens definitionsmængde. a) f ( x) = 3x+, b) f ( x) = x 5

59 6. Potensfunktione 6. Standadfunktione 6. Indledning. Ved en standadfunktion vil vi i det følgende fostå en af følgende type af funktione: Potensfunktione x a, Eksponentialfunktione a x, logaitmefunktionene ln(x) og log(x) samt de tigonometiske funktione sin(x) og cos(x). Lad f ( x) og gx ( ) væe to standadfunktione og a og b væe to konstante. De kan så dannes nye funktione ud fa de sædvanlige egneegle a f ( x) + b g( x), a f ( x) b g( x), f ( x) gx ( ) og f ( g( x)). Standadfunktionene vil blive gennemgået i de følgende afsnit, sammen med eksemple på funktione, de e dannet ud fa ovenstående egneegle. 6.. Potensfunktione Vi ha hidtil defineet a n = a a... a (i alt n faktoe), idet vi foudsatte at eksponenten a va et helt positivt tal. Fo egning med potense gælde som bekendt følgende potenssætninge: n n p n+ p a n p n ) a a a, ) a, 3) a p np n n n = = = a, 4) ( a b) = a b 5) p a n n a a = b n b Vi vil nu udvide potensbegebet, så man foudsat oden a > kan have vilkålige tal som n 3 eksponente f. eks. a, a, a og a. Også fo disse potensegle skal ovennævnte potensegle gælde. Definition. Udvidelse af potensbegebet Lad n væe et positivt helt tal, og a et vilkåligt eelt tal hvis intet andet e nævnt. a n = a a... a (i alt n faktoe) a a n n = fo a n a a fo nlige n = a hvo avilkåligt eelt tal fo nulige = a a fo 53

60 6. Standadfunktione Begundelse n p n+ p Da potenseglen a a = a skal gælde, fås fo n n+ o p = : a a = a a =, n n n n n n n p= n: a a = a a a = a = n a ialt n addende an an an an n n... = = a. Da n a n a... n a = a fås heaf, at an n = a ialt n faktoe n faktoe Hvis n e lige må a ikke væe negativ, jævnfø, at ( 4) e udefineet ( x = 4 e uden løsning), mens = da ( ) = 8. At potenseglene ) 3) 4) og 5) også gælde fo det udvidede potensbegeb ovelades til læseen. Potense med ikke ational potens Ønske man at definee eksempelvis følgende måde. = , så kan det ske ud fa de foige definitione på 3 = 3, 3 = 3 = , 3 = , 3 = , 3 = Vi se, at På lommeegneen fås med 4 decimale På figu 6. e vist gafene fo nogle potensfunktione Fig. 6.. Nogle potensfunktione. 54

61 Eksempel 6.. Potensegle m.m. Reduce følgende udtyk (uden bug af hjælpemidle): 3 ( ) ( )( ) 4 ( ) 3 x x 3x x x x x ), ) x Løsning: 3 8 ( x ) ) ( x ) 4 3 x = x x ( x ) x x = x x = = x = x x ) x 9 ( x 5 3x )( x 4 x) = x 9 ( x 5 x 4 x 5 x 6x x 4 + 3x x) = x ( x 7x + 3x ) = x ( 7x + 3) ) Kontol ved TI 89: (x^3)^* (x^8)/(x^4)^3 Resultat ok ) Kontol ved TI 89:x^9-(x^5-3x^)(x^4-x) Resultat ok 6. Potensfunktione Eksemple på anvendelse af potensfunktione Keples 3. lov Planetene bevæge sig om solen i bane, hvo omløbstiden T og den gennemsnitlige afstand fa solen e givet ved T = Pulsen fo foskellige dyeate. Det vise sig, at små dy ha en hutig puls og stoe dy ha en langsom puls. Man he fundet, at hvis y e antallet af hjeteslag p. sekund, og x e dyets masse i kg, så gælde 7. med tilnæmelse y = 36. x 6... Polynomie Ved et polynomium af n te gad fostås funktionen n n f () x = an x + an x ax+ a, an Ved polynomiets ødde fostås løsningene til ligningen f ( x) =. Man kan vise, at et polynomium af n te gad ha højst n ødde. Polynomium af. gad: Et polynomium af gad f ( x) = ax+ b:, a kaldes også en lineæ funktion, da dens gaf e en et linie. Vi ha i afsnit.3 gennemgået den ette linie's ligning, så vi vil he nøjes med at vise gafen fo f(x) (se figu 6.), 55 Fig 6.. Hældning a

62 6. Standadfunktione Polynomium af. gad: f ( x) = ax + bx + c, a Det simpleste andengadspolynomium e f ( x) = ax Gafen fo denne funktion kaldes en paabel. I figu 6. e tegnet foskellige paable svaende til foskellige vædie af tallet a. Det ses, at paablen e symmetisk omking y -aksen, ha genene opad hvis a > og genene nedad hvis a <. Punktet hvo paablen ha sit minimum elle sit maksimum (he (.) kaldes paablens toppunkt. Fig 6.. y = ax Sætning 6. Andengadspolynomiums gaf og ødde Gafen fo andengadspolynomiet f ( x) = ax + bx + c e en paabel konguent med paablen b d y = ax, og med toppunktet,, hvo d = b 4ackaldes diskiminanten. a 4a b d Foudsat d e øddene (paablens skæingspunkt med x - aksen): x = ± a E d < ligge paablen enten helt ove x - aksen (hvis a > ) elle helt unde x - aksen (hvis a < ) Bevis De foetages følgende omskivning: b y ax bx c a x a x c b a x a a x b c = + + = + + = + + ba + a a b b Da x + = x + og fås a a x + ba b c b 4ac b 4ac d + = + = = a a 4a 4a 4a 4a b d b d y = a x + a x elle a a = + d b y + = a x+ 4 a 4a 4a a 56

63 6. Potensfunktione Indføes et nyt xy - koodinatsystem ved x x blive andengadsligningen i dette ba y y d = + = + 4a koodinatsystem y = ax, dvs. en paabel med toppunkt i ( x, y) = (, ) b d Det ses, at indsættes x = og y = blive ( x, y ) (, ) dvs. i xy-systemet ha paablen toppunktet a 4 a = b d, a 4a Foudsættes d fås af omfomningen b d y = a x + fås a 4a b d b d b d b d b d a x+ a x x x x a a = + a = a + = + =± = ± 4 4 a 4a a 4a a Eksempel 6.. (polynomium af. gad) Lad f ( x) = 3x x+ Gafen fo f e en paabel. a) Find paablens skæingspunkte med x - aksen (= funktionens nulpunkte) b) Skitse gafen fo funktionen i et inteval, de indeholde nulpunktene. c) Angiv kodinatene til funktionens toppunkt. Løsning: a) Nulpunkte: (= gafens skæingspunkte med x - aksen) f ( x) = 3x x+ = + = = ± = ± = ± b b 4 a c ( ) ( ) 4 ( 3) 5 3x x x = a ( 3) 6 3 elle benyt TI 89: F/solve(-3x^-x+=,x) Nulpunkte x = - og x = 3 b) Da a = -3 < ha paablen genene nedad. TI89: Y=, indtast funktion, Ente,Gaph, Vælg Windows, og sæt gænse passende Gaph c) d = b 4ac= ( ) 4( 3) = + 4= 5 b d T = = 5,, = a 4a 6 4( 3) 6 5, elle TI89: På tegning vælg F5, og på menu vælg maksimum og indsæt et passende inteval. 57

64 6. Standadfunktione Eksempel 6.3. Optimeing En sto butikskæde sælge lommeegnee til 6 k p. stk. Til den pis ha man efaing fo, at de sælges stk. p. uge. Fo hve gang man hæve pisen med 5 k p. stk. falde salget med 6 stk. p. uge. Tilsvaende stige salget, hvis pisen sænkes. Hvis fimaet kun se på omsætningen, hvilken pis give så den støste omsætning? Løsning: Hvis pisen e 6 k e omsætningen O = 6k Hvis pisen e k e omsætningen O = ( 6 + 5) ( 6) k Hvis pisen e k e omsætningen O = ( 6 + 5) ( 6) k Idet x e antal gange pisen stige med 5 k, så ha vi følgelig, at hvis pisen e 6 + x 5 k e omsætningen O = ( 6 + x 5) ( x 6) k Vi ha Ox ( ) = 5 6x + ( 5 6 6) x+ 6 = 3x + 4x+ 6 Vi se, at omsætningen kan skives som et andengadspolynomium i x Vi søge den støste omsætning, dvs. støstevædien fo O(x) Da gafen e en paabel med genene nedad ha den en støstevædi i toppunktet. b 4 Vi ha defo, at omsætningen e støst fo x = = = 333. a ( 3) Da x skal væe et helt tal må x =, dvs. vi skal hæve pisen med k til 7 k p. stk. Heved sælges fæe lommeegnee, men omsætningen stige til ( 6 + 5) ( 6) = 7 88 = 66. Sætning 6..Opløsning i faktoe Hvis andengadspolynomiet f ( x) = ax + bx + c ha øddene α og β kan polynomiet opløses i faktoe f ( x) = a( x α)( x β) Bevis: α + β = b + d + b d b = a a a. α β = b + d b d ( = b) d b ( b 4ac) = = a a 4a 4a b ax x ax ( x ) ax a x c ( )( ) = ( + ) + = α β α β α β + = ax + bx + c a c a 58

65 6. Potensfunktione Eksempel 6.4. (opløsning i faktoe) 3x x+ Reduce bøken ved at opløse tælle og nævne i faktoe. 3x 9x Løsning: Ifølge eksempel 6.4 ha tælleen 3x x + øddene e - og Nævneen: 3x 9x = x = ± ( ) = ± = ± = TI 89: (-3x^-x+)/((3x^-9x-) ENTER Resultat: ( 3x ) 3( x 4) I vanskeligee tilfælde kan man ofte med fodel benytte enten F\ facto((-3x^-x+)/((3x^-9x-)) Resultat: ( 3x ) 3( x 4) elle expand, de give 3( x 4) som jo også e en god eduktion 3 Polynomium af 3. gad: f ( x) = ax + bx + cx + d, a Et polynomium af 3.gad vil altid have mindst en od og højst 3 ødde, dvs. gafen vil altid skæe x - aksen mindst gang og højst 3 gange (se figuen) De eelle ødde findes lettest ved anvendelse af lommeegneens solve pogam. 59

66 6. Standadfunktione Eksempel 6.5. (polynomium af 3. gad) 3 Lad f ( x) = 4x 8x + x Find ved anvendelse af TI 89 a) Polynomiet ødde b) Opløs polynomiet i faktoe c) Skitse gafen fo f ( x) Løsning. a) F\ solve(4*x^3-8*x^+x-=,x) Rod x = b) F\ facto(4*x^3-8*x^+x-,x) Resultat: ( x )( 4x + ) c) TI89: Vælg: Y=,indtast funktionen, Gaph, Windows, ænde xmin, xmax osv. indtil man få en passende tegning. På figuen e valgt xcl= og ycl = fo at se enhede på tegningen. Det ses heaf,at de e foskellige enhede på aksene. Ønskes samme enhed på aksene vælges i Windows F:ZoomSq. Polynomium af 4. gad: f ( x ) = 4 ax + 3 bx + cx + dx + e Polynomie af 4. gad vil have fa til 4 ødde. Eksempel 6.6. (polynomium af 4. gad) 4 3 Lad f ( x) = x 8x + 9x 4x+ 4 Find ved anvendelse af TI 89 a) Polynomiet ødde b) Skitse gafen fo f ( x) c) Find funktionens minimumsvædi. Løsning. a) F\solve(x^4-8x^3+9x^-4x+4=,x).Resultat: Rod x = b) Tegnet som unde eksempel 6.5 c) Gafen ha genene opad som vist på figuen Vælges F5, Minimum og passende gænse fås, at minimum e fo x =. 6

67 6.3. Eksponentialfunktione Ved en eksponentialfunktion fostås en funktion af typen x kaldes eksponenten og a fo gundtallet. 6.3 Eksponentialfunktione f ( x) =, hvo a > Da a = vil alle eksponentialfunktione gå gennem punktet (x, y) = (,). Eksempel 6.7 Gaf fo eksponentialfunktion x Skitse gafene fo eksponentialfunktionene f ( x) = og gx ( ) = Løsning: De beegnes følgende støttepunkte x f(x) = = = 8 4 g(x) 3 = 8 = 4 = 4 8 a x x x y = Af speciel inteesse e den eksponentialfunktion, som i punktet (x,y) = (,) ha en tangent med hældningskoefficienten. Denne funktion kaldes den natulige eksponentialfunktion og skives exp(x) elle e x Dens gundtal e e en uendelig decimalbøk. På TI 89 findes funktionen ove tasten x og man finde bl.a. at med 5 decimale e e^() =

68 6. Standadfunktione Eksempel 6.8 Rentefomel Et beløb på k indsættes på en bankkonto, hvo de tilskives en ente på 4% om ået. Hvo meget e beløbet vokset til efte 5 å. Løsning: Efte å e beløbet vokset til +. 4 = ( +. 4) = 4. k Efte å e beløbet vokset til Efte 5 ås foløb e beløbet vokset til 4. 5 = 6. 65k = 4. ( +. 4) = 4. k Af eksempel 8. ses, at hvis entefoden e % p. temin, så vil en kapital på b k efte n temine n væe vokset til b = b( + ) n Denne fomel kaldes entefomlen. Rentefomlen kan omskives til en funktion af typen f ( x) = b a x hvo a = + Eksempel 6.9. Anvendelse af entefomlen ) Hvad skal sættes ind på en bankkonto, som foentes med 4.5% ente p.a. fo at de om å stå 8 k ) En viksomhed ha det føste å en vækst på 8%, det næste å en vækst på %, det tedie å et fald på % og det fjede å en vækst på 5%. Hvad e den gennemsnitlige ålige vækstate på %, som på 4 å give det samme esultat. 3) Hvis viksomheden i spøgsmål ) ha som mål på de føste 5 å at vokse med gennemsnitlig 8% hvo sto skal væksten så væe det 5. å. 4) Et adioaktivt spoingsstof indspøjtes i en mus. Man ved at mængden af stof aftage med 5% ove en peiode på time. Hvad e det pocentiske fald p. time? Løsning: 8 ) b( +. 45) = 8 b = = 554. k 45. ) Lad os antage, at vi ha en kapital på k Denne e på 4 å vokset til De gælde ( + ) 4 = ( + ) 4 = = (. 437) 4 = = = 3. 4% 3) Hvis e den søgte entefod det 5.te å, så haves (. 8) = ( + ) + = = 854. = 8. 54% 4) Lad det pocentiske fald p. time væe % ( ) = ( 5. ) ( ) = 75. = 75. = =. 368 =. 37% 6

69 6.4 Logaitmefunktione 6.4. Logaitmefunktione Da eksponentialfunktionene e monotone, ha enhve af dem en omvendt funktion. Disse omvendte funktione kaldes logaitmefunktione. Vi vil i detalje nøjes med at betagte de to vigtigste, nemlig ) Den natulige logaitme y = ln(x) som e den omvendte funktion til y =, dvs. y = ln( x) x = e y. De gælde altså (foudsat x > ) ln( x) x e = x og ln e = x ( ) ) Titalslogaitmen y = log(x), som e den omvendte funktion til y =, y log( x) x dvs. y = log( x) x = De gælde altså = x og log( ) = x x e x På figu 6.3 e tegnet gafen fo ln(x). Fo log og ln gælde (jævnfø også figu 6.3), at definitionsmængden D e alle positive eelle tal, da det e vædimængden fo e x og x. Vædimængden V = R (alle eelle tal) da det e definitionsmængden fo e x og x. ln( ) = og log( ) = da e = = Fig 6.3. ln(x) e den omvendte funktion af e x 63

70 6. Standadfunktione Sætning 6.4 Logaitmeegle Lad a og b væe positive tal. De gælde da ) ln( ab ) = ln a+ lnb log( ab ) = log a+ log b a a ) ln = ln a ln b log = log a logb b b x x 3) ( ) ( ) ln a = x ln a log a = x log a Bevis: a a = e ln og b= e lnb fås a b a+ b ) a b= e + e = e dvs. ln( a b) = ln e = lna + lnb ln ln ln ln ln ( a + ln b) ln a a e ln a ln b = = e ) b lnb e dvs. ln a lnb ( ) a ln = ln e = lna lnb b ln ln x x ln a ( ) ( ) ( ) x a 3) a e x x a = = e dvs. ln a = ln e = x lna Beviset fo log e ganske analogt. ln x Titalslogaitmen kan udtykkes ved de natulige logaitme: log x = ln Bevis: Af x = log x fås ved at tage logaitmen på begge side og benytte logaitmeegel 3): ln x ln x = log x ln log x = ln Eksempel 6.. Logaitmeegle Reduce uden bug af hjælpemidle følgende udtyk: ( ) a) ln e 5, b) Løsning: 5 a) ln( e ) = 5ln e= 5 ln y 5 3 x y ln = ln y ln x = 4ln y 3ln x x b) ( ) ( ) 64

71 6.5. Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione Eksempel 6.. Ligninge med logaitme- potens- elle eksponentialfunktione Løs ligningene a) ln x = 3 b) e x = 5 c) Hvo mange temine skal 3 k stå på en konto med en ente på.5% fo at den e vokset til ca. 45 k. d) Lad y = x a. Nå x vokse med % vokse y med 5%. Find a. Løsning: 3 a) ln x = 3 x = e = 86. b) e x = 5 x = ln( 5) =. 78 n n 45 c) 3 ( +. 5) = = n ln( 5. ) = ln( 5. ) 3 ln 5. ) n= n= 6. 4 ln( 5. ) Beløbet skal stå i 7 temine. a d) y. = ( x 5. ). Indsættes y = x a fås x a x a a a ln =. 5. =. a = = 466. ln. TI 89: Spøgsmål c) kunne også løses ved F\ solve(3*(+.5)^x=45,x) Resultat ok 6.5. Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione Radioaktivt henfald Radioaktive stoffe omdannes med tiden til ikke-adioaktivt stof. Man sige, at stoffet henfalde. Kulstof e således ud ove nogle stabile isotope, også sammensat af den adioaktive isotop 4 C, som kaldes kulstof-4. 6 Hvis mængden af det tilbagevæende stof til tiden t kaldes m(t), gælde mt () = m() e kt, hvo m() e mængden af den adioaktive stofmængde til tiden t =. Tallet k kaldes henfaldskonstanten. Støelsen af den afhænge af det pågældende stof. Fo en aftagende eksponentiel udvikling som ovenstående gælde, at nå de e gået en bestemt tid (halveingstiden T) så e den tilbagevæende mængde stof blevet halveet. Dette gælde uafhængigt af om man foetage målingen i dag elle om å. 65

72 6. Standadfunktione Sætning 6.5. Halveingstid Sammenhæng mellem henfaldskonstanten k og halveingstiden T e T = ln k Bevis: Vi ha, at mt ( + T) = mt ( ) Indsættes det i mt () = m() e kt fås k( t+ T) kt kt kt kt kt ln ln ln m( ) e = m( ) e e e = e e = kt = ln T T = = k k Fo kulstof -4 gælde, at den ha en halveingstid på ca. 573 å. ln ln Heaf fås, at 573 = k = =. k 573. t Omdannelsen af kulstof-4 ske defo efte ligningen mt () = m( ) e I levende plante og dy e foholdet mellem kulstof-4 og den ikke adioaktive isotop 6 C konstant og e det samme som foholdet mellem de to isotope i omgivelsene. Nå oganismen dø, optage den ikke længee kulstof fa omgivelsene. Nu henfalde kulstof-4 og man kan defo benytte indholdet af kulstof-4 i akæologiske fund (knogle, planeeste) til at angive dets alde Logaitmiske skalae Logaitmetabelle Fø lommeegnene blev indføt omking 975 va den simpleste (og ofte den eneste anvendelige) måde at beegne eksempelvis udtyk som u = elle u =. 785 at benytte såkaldte 4- cifede logaitmetabelle. Disse va tabelle ove titalslogaitmen. Dette skyldes, at ethvet decimaltal kan skives som et tal mellem og multipliceet med en potens af. Eksempelvis e 36. = 36. log 36. = log + log 364. = + log = 36. log 36. = log + log 36. = + log = 36. log. 36 = log + log 36. = + log 36. Det ses, at blot man ha lavet en tabel ove logaitmen til alle 4 - cifede tal i intevallet mellem og, kunne man let finde logaitmen til alle ande tal. Vi vil ikke gå næmee ind på denne teknik som blev opfundet omking 6, og som ha haft en meget sto betydning ved at muliggøe kompliceede beegninge. 66

73 6.5. Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione Richte - skalaen Ved måling af jodskælvs styke beegnes et tal R (f.eks. R = 6) efte Richte-skalaen. a Fomlen de benyttes e R = log + b,hvo a e amplituden fo jodovefladens svingninge T (i 6 m) ved målestationen, T e peioden fo jodskævbølgen i sekunde og b e en konstant, de afhænge af jodskælvbølgens svækkelse fa centum fo jodskælvet. Da skalaen e logaitmisk betyde en lille ænding i Reakto tal en sto ænding i jodskælvets styke. Det kan ses af følgende egninge: Lad et jodskælv have Reakto tallet R og et andet jodskælv have Reakto tallet R, og lad de tilsvaende amplitude væe a og a. Lad endvidee T og b væe de samme fo begge jodskælv. a a Vi ha defo R = log + b R = log + b T T Tækkes de to ligninge fa hinanden fås a a R R a R R a R R a a R R = log log = log log = log = T T a a Antages eksempelvis, at Richtetallet stige med.5 (f.eks. fa R = 5 til R = 5.5) blive a 5. = a = a a = 36. a a Amplituden blive altså ove 3 gange så sto ved en stigning på.5. Lydmåling Decibel (db) skalaen buges til at bestemme, hvo høj intensiteten i lydtykket e i de fekvense, det menneskelige øe kan opfatte. I Lydstyken L i decibel beegnes af fomlen L = log, hvo I e lydtykket og I e I den svageste lydtyk det menneskelig øe kan opfatte (begge målt i W/m (Watt p. m )). Det ses, at hvis I = e L = db. I Sættes I = 6 I e L = 6 db, hvilket svae til samtale i nomalt leje. Det ses altså, at det menneskelige øe ikke opfatte lyden som selve lydtykket, men dæmpe det kaftigt ned efte en logaitmisk skala. Måling af suhedsgad Enhve sye e kendetegnet ved en støe elle minde tilbøjelighed til at afgive H + -ione, så jo mee og jo stækee sye de e, desto flee ione. Man måle defo en væskes suhed ved at måle koncentationen af bintione [ H + ] i væsken (i mol/lite). + En opløsnings ph definees ved ph = log[ H ]. Destilleet vand ha en ph på 7 (svaende til [ H + ] = 7 ), en su væske ha ph < 7 og en basisk væske ha en ph > 7s Steng taget ikke H + men + HO 3 67

74 6. Standadfunktione 6.6. Tigonometiske funktione Indledning Odet tigonometi betyde tekantsmåling, og de tigonometiske funktione anvendes i udstakt gad til geometiske beegninge (jævnfø kapitlene - 4). Ved mange fysiske anvendelse anvendes også de tigonometiske funktione, men he e det isæ dees peiodiske, svingende egenskabe de e af betydning, f.eks. ved beskivelse af vekselstøm, mekaniske svingninge osv.. Et eksempel på disse anvendelse kan findes i afsnittet om svingninge. Mens man i geometien sædvanligvis egne vinkle i gade, vil man ved fysiske anvendelse egne vinkle i adiane (også kaldet natuligt vinkelmål). Definition af vinkels adiantal På figu 6.4 e tegnet en cikel med centum i O og adius (ciklen kaldes en enhedscikel) Vinklen v mellem OQ og OP målt i adiane definees ved længde af cikelbue v = = adius længde af buen QP på enhedsciklen. Fig Definition af adian. Da en cikel med adius ha omkedsen π ha en halvcikel på enhedsciklen længden π. 8 Da dette svae til en vinkel på 8 ske en omegning fa adiane til gade med faktoen. π Eksempel 6.. Omegning mellem adiane og gade ) Følgende vinkle e angivet i adiane. Angiv vinklene i gade. π π 5π π,,,, ) Følgende vinkle e angivet i gade. Angiv vinklene i adiane. 45,, - 35, 7, 84. Løsning: π π 8 π π π π ) = = 6, = = 5, = = =. = π 6 6 π 6 6 π π π π π π π 3π ) 45 = 45 =, = =, 35 = 35 = 8 4, π 3π π 7 = 7 =, 84. = 84. =

75 6.6 Tigonometiske funktione 6.6..Definition af sinus, cosinus og tangens Vi ha i afsnit.5 defineet de te tigonometiske funktione ud fa enhedsciklen. Definitionene femgå af de følgende tegninge:. Fig Definition af cos og sin. Fig tan aflæses på tangenten sin x π tan x =, x + p π, cos x hvo p e et helt tal. Eksempel 6.3. Beegning af sin og cos på lommeegne Beegn π π π 3π ) cos, sin, cos, sin, cos ) sin 45, cos, cos(- ), sin 84. Løsning: ) MODE\ Angle = Radian\ENTER cos( π /) =, sin(- π /3) = 3 3 = cos(- π /6) = =.866 sin(3 π /) = - cos(.45) =.5 ) MODE\ Angle = Degee\ENTER sin(45) = =.77 cos() = -/ cos(- ) = -./ sin (84.) =

76 6. Standadfunktione Peiodicitet Enhedsciklen ha omkedsen π, så punktet P på figu 6.7 ha såvel koodinatene (cos x, sin x) som koodinatene (cos( x+ π ),sin( x+ π ),(cos( x+ 4π ),sin( x+ 4π ) osv. samt koodinatene (cos( x π ),sin( x π ),(cos( x 4π ),sin( x 4π ) osv. De gælde altså, at funktionsvædiene fo f ( x) = sinx og gx ( ) = cosxgentage sig selv med en afstand på π. Man sige de to funktione e peiodiske med peioden π. P = (cos( x+ pπ, sin( x+ pπ) Fig cos og sin e peiodiske Tangens e peiodisk med peioden π. sin( v+ π ) sin v Bevis: tan( v + π ) = = = tan v cos( v+ π ) -cosv Relatione mellem tigonometiske funktione Gundelation mellem sin og cos Af den etvinklede tekant OPS på figu 6.8 fås af Pythagoas sætning at ( sin x) + ( cos x) = Denne gundelation mellem cos og sin skives også sin x + cos x =. sin x cos x Fig cos x + sin x = 7

77 6.6 Tigonometiske funktione Ovegangsfomele Ud fa enhedsciklen kan man som vist på figu 6.9 ved symmetibetagtninge let indse de såkaldte ovegangsfomle. sin( π x) = sin x cos( π x) =.cos x sin( x) = sin x cos( x) = cos x sin( x+ π) = sin x cos( π + x) = cos x (cos( π x),sin( π x) os( x+ π), sin( x+ π)) P = (cos x, sin x) R = (cos( x),sin( x)) Fig Ovegangsfomle Additionsfomle De findes et stot antal fomle, de angive en sammenhæng mellem to tigonometiske funktione. Nogle af de vigtigste e de såkaldte additionsfomele, som he angives uden bevis: cos( x+ y) = cos x cos y sin x sin y sin( x+ y) = sin x cos y+ cos x sin y Ud fa disse kan man ved eksempelvis at estatte y med -y elle y med x få ande nyttige fomle fem. () () E disse ikke tilstækkelige nå man ha bug fo at omfome et tigonometisk udtyk, kan man eventuelt finde den nødvendige fomel i en støe matematisk fomelsamling. Sådanne omfomninge af udtyk hvoi de foekomme tigonometiske funktione kan væe meget kompliceede. Det e defo, at eksempelvis TI 89 ha nogle specielle ode (F\Tig\ texpand (evt. tcollect) som man ofte med fodel kan benytte. Dette e vist i eksempel 6.4. Eksempel 6.4. Reduktion af tigonometiske udtyk. cos( x) cos x Reduce udtykket. sin x Løsning: TI 89: F \ 9: Tig \texpand( (cos(x)-(cos(x))^)/sin(x)) Resultat - sinx Estattes i additionsfomel () y med x fås cos( x) = cos x sin x Heaf fås cos( x) cos sin x x cos x sin x cos x = = sin x sin x 7

78 6. Standadfunktione Gafe fo de tigonometiske funktione Gafene fo cos x og sin x ses på figu 6.. (kan eventuelt tegnes på TI 89) Fig. 6.. Gafe fo cos og sin. π Hvis gafen fo cos x paallelfoskydes mod høje falde den sammen med gafen fo sin x, dvs. π π cos x = sin x elle cos x = sin x+. Gafen fo tangens ha lodette asymptote fo π x = + p π (se figu 6.) Fig. 6.. Gaf fo tan De omvendte (invese) tigonometiske funktione Skal man løse en tigonometisk ligning som eksempelvis sin x = 5. ha man behov fo at finde den omvendte (invese) funktion x = sin x. Egentlig ha ingen af funktionene sin, cos og tan en omvendt funktion. Vi kan imidletid udvælge et monotoniinteval (hovedintevallet) fo hve af dem og i dette betagte den omvendte funktion (se figu 3.9). Hovedintevallet e det støste monotoniinteval, de indeholde ; π. 7

79 6.6 Tigonometiske funktione Fig. 6.. De tigonometiske funktione (øvest). De omvendte funktione (nedenunde) femkomme ved spejling i linien y = x De omvendte funktione e defo bestemt ved: y = x x = y x [ ] y π π sin sin, hvo ; og ; [ ] [ ] y = cos x x = cos y, hvo x ; og y ; π y = x x = y x y π π tan tan, hvo R og ; Eksempel 6.5. Invese tigonometiske funktione Find ) sin, ) cos 3) tan ( ) Løsning: Ifølge lommeegne fås ) sin π = ) cos = 3) ( ) π = Acusfunktione. Da man jo let kan to, at sin x = (hvad det ikke e), kan man møde skivemåden Acus sin x. Accos x = cos x, Acsin x = sin x og Actan x = tan x Fostavelsen "acus" (bue, vinkel) komme af, at f.eks. Acsin e den vinkel, hvis sinus e 73

80 6. Standadfunktione Cosecant, secant, og cotan. Man kan i visse tabelsamlinge m.m. se funktionene "cosecant" csc( x) =, "secant" ved og sin x sec x = cos x cotan ved cot( x) = tan x Løsning af tigonometiske gundligninge Vi ønske at finde samtlige løsninge til de tigonometiske gundligninge : sin x = a, cos x = a, tan x = a, hvo a e et eelt tal. Dette ske nemmest ved at man betagte en enhedscikel. ) sin x = a, hvo a Lad os som eksempel se på ligningen π x), sin( π x) sin x = 8. Vi ha (fa lommeegneen) x = sin ( 8. ) =. 973 Af figu 6.3 ses, at en anden løsning e x = π. 973 =. 43 Da sinus e peiodisk med peioden π fås løsningen p π sin x = 8. x = p π, hvo p e et helt tal TI89: F\solve(sin(x)=.65,x) P = (cos x, sin x) Fig sin x =.8 ) cos x = a, hvo a Lad os som eksempel se på ligningen cos x = 4. Vi ha (fa lommeegneen) x = cos ( 4. ) = 593. Af figu 6.4 ses, at en anden løsning e x =. 973 Da sinus e peiodisk med peioden π fås løsningen sin x =. 4 x = ± p π hvo p e et helt tal TI89: F\solve(cos(x)=.4,x) De fås samme løsning Fig cos x =.4 P = (cos x, sin x) Q= (cos( x),sin( x)) 74

81 6.6 Tigonometiske funktione 3) tan x = a Lad os som eksempel se på ligningen tan x =. Vi ha (fa lommeegneen) x = tan (. ) = 876. Da tangens e peiodisk med peioden π fås løsningen tan x =. x = p π, hvo p e et helt tal. TI89: F\solve(tan(x)=.,x) De fås samme løsning Fig tan x = Svingninge I mange anvendelse ha man bug fo funktione de e peiodiske. Ved vekselstøm svinge spændingen fem og tilbage, et pendul svinge fem og tilbage osv. Eksempel 6.6. Vekselstøm Lad os betagte en tådspole som deje undt i et magnetfelt. ωt Heved inducees en vekselspænding mellem tådullens endepunkte på Et () = A sin( ωt), hvo t e tiden, A kaldes amplituden og ω kaldes vinkelfekvensen elle fasen. 75

82 6. Standadfunktione Fobindes nu denne vekselspænding til et kedsløb med en spole med en selvinduktion L som på figu 6.5 vil det vise sig, at den fembagte vekselstøm i væe givet ved A i = sin( ωt ϕ),hvo impedansen Z = L ω og Z fasefoskydningen ϕ = π. Fig 6.5 L- kedsløb Tilsvaende kan man vise, at fobindes vekselspændingen med en kondensato med kapacitet C π e impedansen Z = og fasefoskydningen ϕ =. C ω Regning med impedanse Nå man danne et kedsløb eksempelvis som på figu 6.6, hvo en modstand, en kondensato og en spole e sat i seie, så vil de en vekselstøm Et () = Asin( ω t) vil den fembagte vekselstøm A i væe givet ved i = sin( ω t ϕ) Z Da man både skal bestemme impedans og fasefoskydning i det dannede kedsløb, vise det sig nemmest at foetage beegningene med komplekse tal, da et komplekst tal ligesom en vekto i polæe koodinate e kaakteiseet ved et tal og en vinkel.. På figu 6.7 e tegnet en kompleks talplan. i = e i π Den komplekse enhed (se figu 6.), Det komplekse tal z a i b ae i ϕ = + =, hvo z = a + b og tanϕ = b a Fig 6.6 RCL - kedsløb z z= a + i b i Man ha da fo modstand R: Z = R e = R spole: Z = L ω e = L ω i π kondensato: Z = e = i C ω C ω Vi kan nu buge de kendte egle fa ohmsk modstand: Modstand, spole og kondensato i seie: π i ϕ Fig. 6.7 Kompleks talplan 76

83 6.6 Tigonometiske funktione Z = Z + Z + Z3 = R+ L ω i i = R+ L ω i C ω C ω L ω Heaf følge, at impedansen e Z = R + L ω og fasefoskydningen ϕ = tan C ω C ω R Modstand, spole og kondensato paallelt fobundne: π π i i = + + = + π + π = + e + C ω e Z Z Z Z3 R i R L ω L e ω e C ω = i + C ω i = + C ω i R L ω R L ω Taleksempel: L =.5 Heny, R = Ω, C = µ F = F, ω = π sec 6 TI-89. Vælg Mode\COMPLEX FORMAT = Pola\ ANGLE=DEGREE (hvis man ønske i gade) Det komplekse tal i stå ove CATALOG Z = Z + Z + Z = R+ L ω i i C ω I seie: 3 = +.5** *i - /(*^(-6)** )*i Z = = = Paallel: C ω i Z Z Z R L ω 3 π π π π Resultat: = /(/+(*^(-6)** -/(.5** ))*i) Resultat:..955 Amplitude, fekvens, svingningstid, bølgelængde Som det ses af eksempel 6.6 optæde ofte svingninge af typen f () t = A sin( ωt + ϕ) Vi vil defo undesøge hvilken betydning amplituden A, vinkelfekvensen ω og fasefoskydningen ϕ ha fo svingningene ved at undesøge hvad de ske med gafen fo en svingning, nå man ænde A, ω og ϕ. ) En svingning med amplituden A svinge mellem -A og +A. På figu 6.8 e tegnet funktionene f () t = sint med amplituden, gt () = sin() t med amplituden og ht () = sintmed amplituden 77

84 6. Standadfunktione π π π Fig 6.8. Svingninge med amplitudene 3, og ½ ) En svingning med vinkelfekvens ω ha en peiode (kaldet svingningstid) på T = π ω Begundelse: f () t = sint ha peioden π, dvs gafen foetage en hel svingning (én bølge ) nå t vaiee mellem t = og t = π. Funktionen gt () = sin( ωt+ ϕ) vil defo tilsvaende foetage en hel svingning nå ωt + ϕ vaiee mellem og π. ϕ π ϕ Da ωt + ϕ = t = og ωt + ϕ = π t = e afstanden mellem de to punkte T = π som ω ω ω ω defo e peioden (svingningstiden). π På figu 6.9 e tegnet funktionene f() t = sin3t med svingningstiden, gt () = sin() t med 3 svingningstiden π og ht () = sin t med svingningstiden 4π. π π Fig 6.9. Blå kuve:sin(3t), ød kuve: sin(t), sot kuve sin(t/) 3) Fasefofoskydning ϕ : Sammenlignes gafen fo f () t = Asin( ω t+ ϕ) med gafen fo gt () = Asin( ω t) ses, at de ha samme amplitude og samme svingningstid (peiode) Idet g() = og f ϕ = ses, at tallet ϕ angive det stykke gafen fo g skal ω ω paallelfoskydes i x-aksens etning fo at gå ove i gafen fo f. 4) Fekvens f. Ved fekvensen f fostås antallet af svingninge p sekund. Da svingningstiden e det antal 78

85 6.6 Tigonometiske funktione sekunde det tage at udføe en svingning, så e f =.Fekvens måles i Hetz ( Hz = s - ). T En lyd på 44 Hetz = 44 svingninge p sekund e eksempelvis kammetonen A. 5) Bølgelængde Betagte vi igen lyden på 44 Hetz, og antage, at lydens udbedelseshastighed e 33 m/s, 33 så vil 44 Hetz fylde 33 m. svingning vil defo fylde = 75. m. Man sige så, 44 at bølgelængden e 75 cm. Et andet eksempel e adiobølge, som i FM-omådet e ca. mhz (megahetz) = 8 s Da adiobølge udbede sig med lysets hast ca. 3 km/s = 3 8 m/s, e dees 8 3 bølgelængde = 3 m. 8 Eksempel 6.6 Tempeatusvingninge Tempeatuen y (i Celcius) på et bestemt sted vaiee efte følgende ligning π y = 5+ 6 sin( x, hvo x e antal dage egnet fa apil, og ået fo nemheds skyld antages 36 at have månede på hve 3 dage. a) Angiv svingningstiden T b) Tegn svingningen på lommegne og aflæs tempeatuen maj c) Beegn tempeatuen janua d) Angiv åets middeltempeatu, samt højeste og laveste tempeatu e) Angiv de dage hvo tempeatuen e højest. Løsning: π a) T = = 36 dage ω b) maj: x =3. tempeatu 3 π c) janua: x =7. Tempeatu = π sin( = + sin( = 3 d) Middeltempeatu 5, Højeste tempeatu 5+4=3. Laveste tempeatu - π e) 3 = Højeste tempeatu juli 36 π π π sin( x sin( x = x = x =

86 6. Standadfunktione Opgave til kapitel (uden hjælpemidle) (( ) ) n p q ( ) n p q n ab a b Reduce udtykket a n nq a a a b 6.. (uden hjælpemidle) Reduce udtykket ( x, 8 x ) x > 6.3. (uden hjælpemidle) En funktion e bestemt ved f ( x) = x 8x+ 7 a) Find koodinatene til paablens skæingspunkt med de to koodinatakse. b) Find toppunktets koodinate c) Tegn paablen (uden hjælpemidle) En funktion e bestemt ved f ( x) = x + 3x+ 4 a) Find koodinatene til paablens skæingspunkt med de to koodinatakse. b) Find toppunktets koodinate c) Tegn paablen (uden hjælpemidle) Funktionene f og g e bestemt ved f ( x) = x+ g( x) = x x+ Find skæingspunktene mellem de to gafe En tønde (se figuen) skal have umfanget V = m 3. Endvidee skal den have højden h = m og endefladenes adie skal væe = m. Radius på tøndens bedeste sted kaldes R Det oplyses, at V h = ( 8R + 4 R + 3 ) π 5 Beegn R i mete med 3 betydende cife Lad de væe givet polynomiet f ( x) = x x 4x + x+ 6 Find polynomiets ødde, og skitse gafen fo funktionen Løs ligningen x + x 5x = 6.9. Løs ligningen x = x 8

87 Opgave til kapitel 6 x 3 x 6. Løs ligningen = Lad y =, hvo x > og a e en vilkålig konstant. Bestem a med 3 betydende cife, nå det oplyses, at y øges med % nå x øges med 5%. x a 6.. Lad y væe den tid (i minutte) en pofessionel dykke kan opholde sig unde vandet i en dybde på x m uden at få dykkesyge. Med tilnæmelse kan man vise, at de mellem x og y gælde følgende sammenhæng : y = b x a, hvo a og b e konstante. Det oplyses, at i en dybde på x = 4 m e y = 98 minutte og i en dybde på x = m e y = 37 minutte. a) Bestem konstantene a og b med 4 betydende cife. b) Hvo længe kan en dykke opholde sig på 5 m uden isiko fo dykkesyge? 6.3 Et beløb på k skal indsættes i en bank. Man ønske, at beløbet efte 6 temine skal væe steget til ca. 7 k. Hvo mange pocent skal banken tilbyde i ente? 6.4 En ny bil koste k. Vædien nedskives hvet å på selvangivelsen med 8%. Hvad e bilen nedskevet til efte å. 6.5 Bonholms indbyggetal faldt fa 478 i 98 til 435 i 6. Faldet e med tilnæmelse gennem åene ske med en fast ålig pocent p. a) Find p b) Hvis udviklingen fotsætte, hvad blive så indbyggetallet på Bonholm i. 6.6 Mængden af adioaktive isotope aftage eksponentielt med tiden. Mængden af en bestemt isotop e 5. g og den ha en halveingstid på 95 å. a) Hvo mange gam e de tilbage af isotopen efte å b) Hvo mange å vil de gå fø mængden e nede på g. 6.7 Nå adioaktive ståle sendes gennem en blyvæg ske de en fomindskelse af intensiteten af stålingen. Denne fomindskelse e bestemt ved fomlen b = a e kx, hvo a e intensiteten fø passage af blyvæggen, b e intensiteten efte passage og x e tykkelsen af blyvæggen målt i mm. Fo en bestemt type ståle fominske en blyvæg på 5 mm intensiteten med 7%. Hvo tyk skal en blyvæg væe fo at intensiteten fominskes med 9% Find samtlige løsninge til ligningen sin x =, idet x måles i adiane med 4 decimale Find samtlige løsninge til ligningen cos( x ) = idet x måles i adiane med 4 decimale Løs ligningen 6sin x + 5sin x + =, idet x måles i adiane med 4 decimale. 8

88 6. Standadfunktione 6. På gund af tidevandet ændes vanddybden ved en mole. I et bestemt døgn e vanddybden H målt i mete bestemt ved H = 7+ 5sin t, t 4 hvo t angive antallet af time efte middag. Til t =.5, svae altså kl 4.9. Bestem de to tidspunkte i det pågældende døgn, hvo vanddybden H e støst 6. En svingning e bestemt ved ligningen y = 3sin( 4π t+ ) +, t måles i time a) Angiv amplitude, svingningstid og fekvens. b) Bestem de tidspunkte i et peiodeinteval, hvo y e støst og y e mindst, og angiv vædien af y i disse punkte. c) Skitse gafen fo svingningen i et peiodeinteval 8

89 7.. Indledning 7 REGRESSION 7. Indledning I dette kapitel betagtes fosøg, hvo man ha målt sammenhøende vædie af to vaiable x og y. Det følgende eksempel demonstee et sådant tilfælde. Eksempel 7. Punkte ligge tilnæmelsesvis på et linie I et spindei udtykkes ganets kvalitet bl.a. ved en nom fo den foventede tækstyke. Kvaliteten anses således fo at væe i oden, hvis middeltækstyken mindst e lig med måleenhede (me). Ved uldgan opfylde ganets natulige tækstyke ikke det nævnte kvalitetskav, hvofo de tilsættes en vis mængde kunstfibe, hvilket foøge tækstyken. Heved ske de dog det, at ande kvalitetsegenskabe, såsom elasticitet og isoleingsevne, foinges. Man ha ekspeimenteet med foskellige tilsatte mængde kunstfibe x og egisteet ganets tækstyke y ved disse foskellige mængde. Heved femkom følgende obsevationsmateiale: Mængde x (i gam) af kunstfibe p kg uld Tækstyke (me): Y Mængden af kunstfibe x e blevet bestemt på fohånd (ha fået ganske bestemte vædie). Tækstyken Y synes deimod udove mængden af kunstfibe også at væe påviket af ande ukendte og ukontollable støjfaktoe. Afsættes de målte punktpa ( x, y i ) i et koodinatsystem fo at få et oveblik ove foløbet, fås følgende tegning: I TI89 fås tegningen på følgende måde: Tyk på APPS, vælg STAT/LIST, Indtast data i list (x-vædie) og list (y-vædie) F: Plots \ Plot Setup \ Define Behold Scatte og Box, indsæt list og list (Vælg VAR LINK og vælg listenavne hefa) \ ENTER, ENTER, F5 83

90 7. Regession Selv om punktene ikke ligge eksakt på en et linie, synes det imeligt at antage, at afvigelsene fa en et linie kan foklaes ved den tilfældige vaiation (støjen). Defo e det næliggende at antage, at i middel vil y kunne skives som en lineæ funktion af x, dvs. y = ax+ b. () Da et punktpa ( x, y i ) ikke ligge eksakt på linien gælde defo, at yi = a xi + b+εi, hvo kaldes den i te esidual. ε i 7.. Lineæ model Man søge altid den simplest mulige model, de kan beskive de fundne data.. Da man ha 5 punktpa, så vil et polynomium af fjotende gad gå igennem alle punkte. Umiddelbat skulle man måske to, at det ville væe en bede model. Dette e imidletid ikke tilfældet, da Y - vædiene jo e esultate af fosøg de e påviket af ukontollable støjkilde. Polynomiets koefficiente vil defo afspejle disse tilfældige udsving, og det give defo en ganske meningsløs model. Endvidee e modellen alt fo matematisk kompliceet til at kunne buges i paksis. Vi vil i dette kapitel kun betagte modelle, som e lineæe med hensyn til paametene. Et polynomium af. gad y = a + bx + cx e således lineæ i de 3 paamete a, b og c (selv om gafen natuligvis ikke e en et linie). Som et eksempel på en model de ikke e lineæ i paametene kan nævnes y = a + bx c. Vi vil endvidee begænse os til at betagte det ved anvendelsene meget ofte foekomne tilfælde, hvo modellen e lineæ i paamete. Som eksemple hepå kan nævnes () y = a + bx og () ln y = a + b ln x En ligning, de som () elle () beskive en sådan lineæ model kaldes en egessionsligning og koefficientene a og b kaldes fo egessionskoefficientene 7.3. Bestemmelse af egessionsligning På basis af en ække sammenhøende vædie af x og y bestemmes egessionskoefficientene a og b ved mindste kvadates metode. Metoden beskives i det følgende (uealistisk) lille taleksempel. 84

91 7.4 Vudeing af om model beskive data godt Eksempel 7.. Beskivelse af mindste kvadates metode. I et medicinsk fosøg måles på en fosøgspeson sammenhøende vædie af en bestemt medicin i blodet (x i %) og eaktionstiden y. Resultatene va: x a) Fokla hvad de menes med esidual b) Beskiv mindste kvadates metode y a) Residual. Ved et punkts esidual til en linie fostås den lodette afstand fa punktet til linien (se tegningen). På figu 7. e afsat de 5 punkte, og indtegnet en et linie. Figu 7. Residuale b) Mindste Kvadates metode. Regessionslinien y = ax+ b bestemmes som den af alle mulige ette linie, fo hvilket summen af kvadatet af esidualene til linien e mindst. I eksempel 7. e kvadatsummen Løsningen af dette optimeingspoblem esultee i løsning af et ligningssystem til bestemmelse af egessionskoefficientene Løsning af et sådant ligningssystem ske lettest ved hjælp af såkaldt matixegning 7.4. Vudeing af om model beskive data godt. Det e altid muligt ved mindste kvadates metode at finde en sådan mindste kvadates linie. Det e den af alle ette linie, de ha den mindste kvadatsum af esidualene, men det betyde ikke nødvendigvis, at linien så også e en imelig model, som kan anvendes til at beskive sammenhængen. Til vudeing heaf benytte man dels at se på en tegning, dels at se på støelsen af foklaingsgaden elle koelationskoefficienten a) Tegning. Til vudeing af dette tegnes linien i et koodinatsystem sammen med punktene. Hvis den lineæe model skal beskive dataene godt, skal punktene fodele sig tilfældigt omking linien. 85

92 7. Regession Da det ofte kan væe svæt at se dette på en lille tegning, e det ofte mee oveskueligt at tegne esidualene i stedet fo list. Residualene bø natuligvis fodele sig tilfældigt omking en vandet linie. b) Koelationskoefficient og foklaingsgad Samtidig skal punktene natuligvis ligge tæt på linien. Til en talmæssig vudeing heaf udegnes koelationskoefficienten og foklaingsgaden. Koelationskoefficienten e et tal mellem - og, dvs. Hvis y e uafhængig af x (eksempelvis hvis x va 5 pesones eaktionstid og y va dees højde) vil punktene fodele sig helt tilfældigt uden noget system, og. Hvis deimod y e afhængig af x vil egessionslinien have en hældning foskellig fa nul. Hvis hældningen e positiv, vil > og hvis hældningen e negativ vil <. Endvidee gælde, at hvis punktene ligge tæt ved egessionslinien e I stedet fo koelationskoefficienten anvendes ofte foklaingsgaden, og man sige så, at den fundne model foklae af den totale vaiation % Anskuelig foklaing på foklaingsgad: Residualene til den fundne egessionslinie y =.6 +. x: = (. 6+ ) = 4., = (. 6+ ) = 6., 3 = 4 (. 6+ 3) = 4.,4 = 9 (. 6+ 6) = 4., 5 = 7 (. 6+ 8) = 4.. SAK esidual = = 4. + ( 6. ) ( 6. ) =. Hvis y e uafhængig af x (eksempelvis hvis x va 5 pesones eaktionstid og y va dees højde) vil punktene fodele sig helt tilfældigt uden noget system. Regessionslinien vil da blive en vandet linie med ligningen y = y (gennemsnittet af y-vædiene). I eksempel 7. e y = = = Residualene til denne vandette linie e = 46. = 6., = 46. = 36., 3 = = 6., 4 = = 44., 5 = = 4. = 9 (. 6+ 6) = 4., = 7 (. 6+ 8) = SAK total = = ( 6. + ( 36. ) + ( 6. ) ( 4. ) = Vi definee nu foklaingsgaden = SAK esidual SAK total Hvis y e uafhængig af x vil SAK esidual SAK total og demed at. Hvis deimod y e afhængig af x vil egessionslinien have en hældning foskellig fa nul. Det betyde igen at SAK esidual << SAK total, og demed at. Man sige også, at den fundne model foklae % af den totale vaiation De enkelte SAK-støelse kan anskueligt ses på figu 7.3. Figu 7.3. SAK - støelse 86

93 7.4 Vudeing af om model beskive data godt Sædvanligvis finde man, at den fundne model på tilfedsstillende måde beskive data, hvis foklaingsgaden e på ove 7% samtidig med, at tegningen vise, at punktene fodele sig tilfældigt omking den fundne egessionskuve. At man ikke alene kan stole på foklaingsgaden illustees ved følgende eksempel. Eksempel 7.3.Gafisk vudeing af model. De følgende 4 figue afspejle foskellige mulighede. styke Plot of Fitted Model,5,5 8,5 6,5 4, kunstfibe Figu 7.4a: =.959 = 9.9% Plot of Fitted Model y x Figu 7.4c: =.78 = 7.73% y Plot of Fitted Model x Figu 7.4b: =.96 =9.6% Plot of Fitted Model y x Figu 7.4d: =.9 = 5.4% I figu 7.4a synes den lineæe model at kunne beskive dataene godt, idet punktene fodele sig tilfældigt omking linien, og foklaingsgaden = 9.9% e høj. I figu 7.4b e foklaingsgaden også høj, og punktene ligge da også tæt ved linien. Imidletid ligge punktene ikke tilfældigt omking linien. Ydepunktene ligge ove og de midteste punkte unde linien, så det e næppe imeligt at anvende en et linie som model. I stedet kunne man oveveje en eksponentialfunktion elle et andengadspolynomium. I figu 7.4c e de næppe nogen elation mellem x og y. E x og y uafhængige (ingen elation mellem x og y) vil punktene fodele sig tilfældigt omking gennemsnitslinien y = y, og foklaingsgaden væe. Vi se, at egessionslinien e næsten vandet, og foklaingsgaden inge. 87

94 7. Regession I figu 7.4d e foklaingsgaden også lille, men alligevel må vi antage at de e en sammenhæng mellem x og y. Den e blot ikke lineæ, men muligvis en paabel. Outlies. Hvis en enkelt elle to målinge afvige kaftigt fa den almindelige tendens kan det skyldes fejlmålinge. Da sådanne punkte i uheldige tilfælde på gund af et stot bidag til esidualsummen kan få egessionslinien til at deje e det vigtigt at undesøge på en figu om sådanne punkte findes. Det e dog klat, at man ikke blot kan styge sådanne ubehagelige punkte. Det må kun ske, hvis man e sikke på, at punktet skyldes en fejl af en elle anden at ved målingen. Ekstapolation. Selv om modellen synes på tilfedsstillende måde at beskive data, så e det jo faktisk kun sikket indenfo måleomådet. Man skal væe ydest fosigtig med at ekstapolee, dvs. på basis af modellen fo x - vædie udenfo måleomådet beegne hvad y e. Åsagssammenhæng. Selv om man finde, at de e en sammenhæng mellem x og y, e det ikke sikket, at de e en åsagssammenhæng. De findes en god koelation mellem antallet af stoke i Søndejylland i 93-ene og antallet af bønefødsle (de faldt begge i samme takt), men det ene e nok ikke åsagen til det andet. Man kende det også fa sammenhængen mellem kæft og tobaksygning, hvo de i mange å va en diskussion om de ene bevikede det andet, elle om det va en hel tedie fakto, de fik antallet af lungekæft til at stige. 7.5 Eksemple på lineæ egession egnet med TI89 Da man altid vil foetække den simplest mulige model, e modellen y = ax+ b altid den, man state med at anvende. Hvis man se, at punktene ikke ligge tilfældigt omking linien, men dog synes at følge en kum kuve, så må man anvende en anden model. TI 89 tilbyde en ække modelle, bl.a. følgende () LinReg = føstegadspolynomium y = a+ bx elle y = ax+ b () PoweReg = potensfunktionen y = ax b Funktionen omskives ud fa logaitmeeglene automatisk til estatte y med ln y og x med ln x (3) ExpReg = eksponentialfunktionen y = a b x Funktionen omskives ud fa logaitmeeglene automatisk til estatte y med ln y (4) lnreg = logaitmefunktionen y = a+ b ln( x) Funktionen e lineæ hvis man estatte x med ln x QuadReg = andengadspolynomiet y = ax + bx+ c 3 CubicReg = tediegadspolynomiet y = ax + bx + cx+ d 4 3 QuatReg e fjedegadspolynomiet y = ax + bx + cx + dx+ e ln y = ln a+ b ln x ln y = ln a+ x ln b som e lineæ hvis man som e lineæ hvis man 88

95 7.5 Eksemple på lineæ egession Geneelt gælde, at man så vidt mulig foetække modelle som (), (), (3) og (4), da de kun indeholde paamete a og b, og demed e de mest stabile (set fa et statistisk synspunkt). Vi vil i det følgende give eksemple på nogle af disse modelle. Eksempel 7.4 (= eksemple 4.) Føstegadspolynomium Tilsætning af en vis mængde kunstfibe foøge et gans tækstyke. Man ha ekspeimenteet med foskellige tilsatte mængde kunstfibe x og egisteet ganets tækstyke y ved disse foskellige mængde. Heved femkom følgende obsevationsmateiale: Mængde x (i gam) af kunstfibe p kg uld Tækstyke : y Benyt TI89 til at foetage de ønskede beegninge. a) Afsæt punktene i et koodinatsystem og vude ud fa dette om punktene med tilnæmelse kunne ligge på en et linie. b) Indtegn egessionslinien i ovennævnte koodinatsystem og vude ud fa figuen om punktene ligge tilfældigt omking den ette linie. c) Find og anvend denne samt svaet i spøgsmål b) til at vudee om den ette linie give en imelig god beskivelse af de givne data. d) Opskiv egessionsligningen. e) Find den til x = svaende vædi y fo y f) Angiv et usikkehedsinteval hvo den sande middelvædi af y finde sig med 95% sandsynlighed. Løsning: a) Tyk på APPS, vælg STAT/LIST, Indtast data i list (x-vædie) og list (y-vædie) F: Plots \ Plot Setup \ Define Behold Scatte og Box, indsæt list og list (Vælg VAR LINK og vælg listenavne hefa) \ ENTER, ENTER, F5 Punktene blive nu tegnet på lommeegneens display. Konklusion: En et linie synes at kunne væe en imelig god model (punktene se ud til med tilnæmelse at kunne ligge på en et linie) b) APPS, STAT/LIST, F4: Calc, 3. Regessions, :linreg(a+bx), Udfylde liste, Da vi ønske at tegne egessionslinien så StoeReqn to: y(x), ENTER, En ække konstante femkomme (se næste spøgsmål) Linien vises sammen med punktene. Konklusion: Tegningen på lommeegneens display vise, at punktene fodele sig tilfældigt omking linien. 89

96 7. Regession c) Af ovennævnte udskift fås umiddelbat =.993 Da foklaingsgaden e tæt på og punktene ligge tilfældigt om linien, e den lineæe model acceptabel. d) Af den ovennævnte udskift ses egessionskoefficientene a =.887 og b =.799 og demed e ligningen y = x En anden mulighed e at vælge Y= e) Opskiv ligningen i HOME (kopiee den eventuelt fa Y= ) og indsæt x =. Resultat y = f) 95% usikkehedsinteval fo y svaende til x = : F7 \7: LinRegTint\ udfyld menu, heunde sæt Inteval=Response og x Value = ENTER ENTER Resultat y_hat =y = og C int: [9.37 ;.] Eksempel 7.5 Potensmodel Nedenstående tabel angive hvo mange minutte en pofessionel dykke kan opholde sig på en bestemt dybde, fø de e en isiko fo dykkesyge. dybde i mete x antal minutte y Det fomodes, at y e en potensfunktion af x. a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Hvo længe kan en dykke opholde sig i en dybde på 3 m uden isiko fo dykkesyge Løsning: ) APPS, STAT/LIST, Data indtastes i list(x- vædie) og list (y-vædie) F4: Calc, 3Regessions, 9:PoweReg, Udfylde liste, Da vi ønske at tegne egessionslinien så StoeReqn to: y(x), ENTER, Vi ønske imidletid punktene tegnet med, så vi vælge F: Plots,,: Plot Setup,F: Define, Behold Scatte og Box, indsæt listene, ENTER, ENTER,F5 Af udskiften fås = På lommeegneens display ses, at punktene ligge meget tæt ved gafen. Da foklaingsgaden samtidig e tæt på, så e den lineæe model acceptabel. ) Af udskiften fås y = x ) Fomlen kopiees fa Y= ned i Home, og x = 3 indsættes. y = 8.4 minutte 9

97 7.5 Eksemple på lineæ egession Eksempel 7.6 Valg mellem lineæ og eksponentiel model I et fosøg undesøgtes et ventilationsanlægs effektivitet. Målingene foetoges ved at fylde et lokale med gas og vente til koncentationen va stabil. Heefte statedes ventilationsanlægget og gaskoncentationen C t måltes til foskellige tidspunkte t. Følgende esultate fandtes: t (min. efte anlæggets stat) C [ppm] Følgende modelle fo funktione ovevejes: Model l (lineæt henfald): C = a+ b t Mode (eksponentielt henfald): C = a e bt ) Vude hvilken model de e bedst ved a) Tegn punktene og de to egessionskuve på lommeegneens display og vælg den af de to modelle du vudee give den bedste beskivelse. b) Se på foklaingsgadene fo hve af modellene ) Opskiv egessionsligningen fo den model du finde bedst, og beegn på basis af den vædi af C, fo hvilken t = minutte. Løsning: ) APPS, STAT/LIST hvoefte data indtastes i list(t- vædie) og list (C-vædie) F4: Calc, 3. Regessions, :linreg(a+bx), Udfylde liste, Da vi ønske at tegne egessionslinien så StoeReqn to: y(x), ENTER, Af udskiften fås umiddelbat =.993 Da vi også ønske punktene tegnet med, vælges F: Plots,,: Plot Setup,F: Define, Behold Scatte og Box, indsæt listene, ENTER, ENTER Vi fotsætte nu F4: Calc, 3. Regessions, 8:ExpReg, Udfylde liste, StoeReqn to: y(x), ENTER, Vi gentage nu ovenstående, idet vi nu vælge ExpReg og vælge y(x) Af udskiften fås umiddelbat =.9883 HOME, Vælg GRAPH (se eventuelt føst ved Y= at de te linie og ingen ande e makeet) De to kuve og punktene ses nu på lommeegneens display (juste eventuelt WINDOWS ) Af tegningen ses, at den eksponentielle funktion give den bedste tilpasning. Dette stemme også oveens med at foklaingsgaden he e støst. ) Ved fa HOME at vælge Y= kan man se, at modellen e C = elle ln(. 93) C e t. 76 t = C = e t = : C = 36.8 t 9

98 7. Regession Opgave til kapitel 7 Opgave 7. Man ønskede på en højee uddannelse at undesøge om de va en sammenhæng mellem de point elevene fik ved en indledende pøve i matematik, og de point de fik ved den afsluttende pøve i matematik. Resultatene va Student Indledende pøve x Afsluttende pøve y a) Undesøg om de e imeligt, at beskive ovennævnte sammenhæng ved en et linie m. (Tegn i et koodinatsystem såvel punktene som linien m samt beegn foklaingsgaden). Idet det i det følgende antages, at linien m e et imeligt udtyk fo ovennævnte sammenhæng b) Find en ligning fo egessionslinien m. c) Man fovente en positiv koelation mellem x og y. Udtyk dette i od, og undesøg om dette e tilfældet. d) En elev ha opnået 5 point ved den indledende pøve. Foudsig hvilket pointtal denne elev, vil få ved den afsluttende pøve. e) Angiv det usikkehedsinteval, som den sande middelvædi med 95% sikkehed ligge indenfo ved den afsluttende pøve, fo de eleve, som ved den indledende pøve ha opnået 5 point. Opgave 7. Tabellen vise antallet af heste i Danmak i udvalgte å Åstal Antal heste a) Bestem en ligning fo egessionslinien b) Tegn såvel linien som punktene i et koodinatsystem, og beegn foklaingsgaden c) E det fonuftigt at benytte denne model i å? Det oplyses at antal heste i å e 74. 9

99 Opgave til kapitel 7 Opgave 7.3 Man ha undesøgt højden af et stot antal pige og beegnet middelhøjden (i cm) nå de e å, nå de e 3 å osv. Resultatet femgå af skemaet: Alde Højde a) Undesøg om de e imeligt, at beskive sammenhængen mellem alde og højde ved en et linie. b) Angiv i bekæftende fald en ligning fo egessionslinien m. Det foudsættes i det følgende, at m e et imeligt udtyk fo pigenes middelhøjde. c) Hvad e den gennemsnitlige vækst i pigenes højde p. å. d) Giv et skøn fo middelvædien af pigenes højde nå de e 4 å. e) Ville du finde det fonuftigt at benytte linien til at foudsige en -åig piges højde? Opgave 7.4 Fo en kemisk fobindelse ha man en teoi om, at middeludbyttet y (angivet i % enhede) e tilnæmelsesvis bestemt ved y = a b t hvo t angive eaktionstiden. Fo at eftepøve igtigheden udføte man et fosøg med følgende esultate t y a) Foetag en vudeing af, om modellen kan antages at gælde. (Vink: Omskiv ligningen til y = a b t, og dan en tabel med - y-vædiene) Unde foudsætning af at modellen gælde, skal man b) opskive ligningen fo egessionskuven c) finde middeludbyttet svaende til t =. Opgave 7.5 Aktiviteten af adioaktive stoffe antages at væe eksponentielt aftagende. Fo et bestemt adioaktivt stof ha man målt adioaktiviteten som en funktion af tiden tid t (time) aktivitet y (becqueel) a) Foetag en vudeing af, om modellen kan antages at væe en eksponentielt aftagende funktion af t, dvs. y = a b t b) Bestem en foskift fo denne funktion c) Bestem halveingstiden fo aktiviteten. d) Hvo lang tid gå de fa den føste måling til middelaktiviteten e nede på 5 becqeel. 93

100 7. Regession Opgave 7.6. Den effekt P (kwatt) som en bil må yde fo at ovevinde luftmodstanden ved en given hastighed v (km/t) e målt i en vindtunnel. Man fandt følgende sammenhæng mellem v og P. v P Det fomodes, at P e en potensfunktion af v. a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Find den effekt de skal ydes ved en hastighed på km. Opgave 7.7 Ved et fosøg blev en luftat adiabatisk (dvs. unde samme tempeatu) kompimeet til foskellige foudvalgte umfang v, idet de tilsvaende vædie af tykket P måltes. Man b fomodede på fohånd, at de gælde egessionsmodellen P = a v. Ved fosøget fandtes følgende esultate: v cm P kp/cm a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Beegn hvo mange % tykket vil stige hvis umfanget blive halveet. Opgave 7.8 Man ha fo en bestemt type tov målt sammenhængen mellem tovets diamete og tovets budstyke. Man fandt følgende esultate: diamete (i mm) Budstyke (i kg) Man fovente, at budstyken y som funktion af diameteen x med tilnæmelse kan skives ved en funktion af fomen y = b x a a) Vude ud fa tegning og foklaingsgad om den nævnte model e acceptabel. I det følgende antages, at modellen kan anvendes. b) Find ligningen fo egessionskuven. c) Bestem ud fa den fundne ligning, hvo mange gange støe budstyken blive ( i middel), hvis tovvækets diamete fodobles. 94

101 Opgave til kapitel 7 Opgave 7.9 Man mene de e en sammenhæng mellem en bilists alde og antallet af alvolige fædselsulykke, de skyldes fo sto hastighed. Man ha fa USA, hvo aldesgænsen fo ehvevelse af køekot e 6 å, følgende data indsamlet gennem en peiode: Alde x Antal fat-elateede ulykke y Det femgå klat, at antallet af ulykke falde med aldeen. a) Giv en vudeing af, om modellen : y = a+ bx (antal ulykke aftage lineæt med aldeen) på imelig måde kan beskive denne sammenhæng b) En tafikekspet mene, at modellen y a e bx = (antal ulykke aftage eksponentielt med aldeen) give en bede beskivelse af modellen. Ha vedkommende et? c) Bestem ligningen fo den model, du finde bedst. d) Angiv ud fa ovennævnte ligning det foventede antal fat-elateede ulykke som 5 - åige i middel vil foåsage i den givne peiode. Opgave 7. Tykfaldet i et vandø afhænge af vandstømmen gennem øet. I en model fo støbejen med adius mm e tykfaldet y en funktion af vandstømmen x Tabellen vise sammenhøende vædie af vandstømmen og tykfaldet. Vandstøm x (lite p sekund) Tykfald y (cm vandsøjle p m) a) Undesøg hvilken model af de 4 mest anvendte, de bedst beskive tykfaldet som en funktion af vandstømmen. (Vink: se på tegning og foklaingsgad) b) Benyt den valgte model til at bestemme middelvædien af tykfaldet i øet, nå vandstømmen gennem det e lite p sekund. 95

102 8. Gænsevædi og kontinuitet 8 Gænsevædi og kontinuitet 8.. Gænsevædi Hvis en funktion f ( x) e vilkåligt tæt på et eelt tal a blot x e tilstækkeligt tæt på x sige vi, at f ( x) ha gænsevædien a fo x gående mod x Vi skive da f ( x) a fo x x elle lim f ( x) = a (læses limes af f(x) fo x gående mod ). Eksempelvis skive vi, at x x x + 5fo x elle lim f ( x) = 5 x Gænseovegang mod og anvendes også, f.eks. fo x og x Endvidee foekomme ensidige gænseovegange, f.eks. høje). 4 x x fo x fo x + (x gå mod fa x Sætning 8.. Regning med gænsevædie Hvis f ( x) a fo x x og g( x) b fo x xså vil fo x x f ( x ) gx ( ) a b, f ( x ) f x a gx ( ) a b f ( x ) gx ( ) ab, ( ) + + ( gx ( ) b b ) Sætningen anføes uden bevis. Eksempel 8.. Gænseovegang. 4x + 3x Undesøg fo og x x x + 8 Løsning: 4x + 3x = fo x, x x + 3x x 4 = x + + = fo x x x Ti89: F3:3 limit((4x^+3x-)/(-x^+8),x, ) Resultat - Fo bede at kunne undesøge vanskeligee tilfælde elle bevise sætninge om gænsevædi, må man estatte odene "vilkåligt tæt" og "tilstækkeligt tæt" med nedenstående mee pæcise definition: f(x) ha gænsevædien a i punktet x hvis de til ethvet inteval J omking a findes et udpikket inteval I omking x, så det fo alle x i I gælde, at f ( x) J (et udpikket inteval omking x e et inteval omking x som ikke indeholde x ) 96

103 5. Kontinuitet 8. Kontinuitet Definition af kontinuitet. Lad f væe en funktion, de e defineet i et åbent inteval indeholdende x. Hvis f ( x) f ( x) fo x xsiges f at væe kontinuet i x. Hvis definitionsmængden fo f e et lukket inteval [a ; b], sige f at væe kontinuet i endepunktet a, blot de gælde f ( x) f ( a) fo x a+. Tilsvaende definees kontinuitet i intevalendepunktet b. Hvis f e kontinuet i hele sin definitionsmængde, sige vi kot, at f e kontinuet. Intuitivt kan man ofte foestille sig kontinuete funktione som funktione, hvis gaf e "ubudt". På nedenstående figu e vist nogle ikke-kontinuete funktiones gafe. Regning med kontinuete funktione Ved "sædvanlig egning" f + g f g f g f med kontinuete funktione fås g f f g x,,,,, ( ( )) atte kontinuete funktione, og da alle de funktione vi vil omtale i det følgende e kontinuete i dees definitionsmængde, vil også enhve funktion, de ved "sædvanlig egning" kan dannes ud fa disse funktione, blive kontinuet i sin definitionsmængde. 5x + 3x Eksempelvis vil funktionen f ( x) = væe kontinuet fo x > og fo x <. x Opgave til kapitel 8 3 x 3x + 3x 8. Bestem lim og x x 3x 8.. Bestem lim x 3 x x lim x 3 x 3x + 3x x 3x 97

104 9. Diffeentiation 9 Diffeentiation 9. Indledning Diffeentialegning ha mange anvendelse. Et typisk eksempel e i kinematikken (bevægelseslæe), hvo man beskæftige sig med begebe som hastighed og acceleation. Lad os som eksempel betagte et legeme L, de bevæge sig langs en et linie. Indføes en x-akse (se figuen) e legemets position e bestemt ved dens afstand fa begyndelsespunktet O. Lad legemet L til tidspunktet t væe i punktet A med x-vædien x og til et senee tidspunkt t væe i punktet B med x-vædien x. Den gennemsnitlige hastighed hvomed L bevæge sig fa x x x A til B e da v g = =, hvo t t t x = x x e det stykke L ha bevæget sig i tidsummet t = t t. Fo at bestemme den hastighed som legemet ha i punktet A, så må man gøe intevallet t så x lille som muligt. Man føes altså til at betagte bøken fo t gående mod. t Eksempel 9. Beegning af hastighed i et punkt. Lad os antage, at legemet L bevæge sig langs x - aksen således, at dens position til tiden t (målt i sekunde) e bestemt ved x = t + (målt i mete). 4 De gælde da, at til tiden t = e L i punktet O med x =, til t = e L i A med x =,5 og til t = e L i B med x =. Vi se umiddelbat at hastigheden foøges som legemet bevæge sig fa O til A til B (legemet acceleee). Poblemet e nu at bestemme hastigheden i A. Som en føste tilnæmelse ha vi, at i tidsummet t =s, ha legemet bevæget sig fa A til B, dvs. x = -.5 =.75 m. x 75. Hastigheden i punktet A e defo med tilnæmelse v = = = 75. m/s t Fokote vi tidsummet til.5 s må tilnæmelsen blive bede Vi ha nu, at til tiden t =.5 e x = 5. + =. 35m 4 98

105 9.. Indledning Hastigheden i punktet A e defo nu med tilnæmelse x. 35 v = = =. 65 m/s t 5. Vi kunne nu gøe tidsummet t endnu minde og deved fobede nøjagtigheden. Fo at få et geometisk oveblik ove poblemet tegnes nu x som funktion af tiden t i et t - x koodinatsystem (se figu 9.). Til tiden t = e x = 5 =, svaende til punktet A på figuen. 4 4 Idet B antages at have koodinatene (t, x) blive hastigheden i A med tilnæmelse x x v = = 5 4, hvilket e det samme som hældningskoefficienten fo linien gennem punktene t t A og B. Fo at finde hastigheden v i punktet A e vi defo nu inteesseet i at finde gænsevædien x v = lim t t. Vi ha : x t x = 5 t t = 4 4 = t Fig 9.. Hastighed i A t 4 t 4 = 4 t t = 4 ( t+ )( t ) = ( t + ) t 4 x Lade vi nu t, dvs. t vil = ( t + ) t 4 Vi ha følgelig fundet, at legemet L s hastighed v i punktet A e v =,5 m/s. 99

106 9. Diffeentiation x dx Matematisk skive man, at fo t. t dt dx og dt kaldes diffeentiale og kan ofte i paksis ved anvendelse opfattes som uendelig små tilvækste, i dette tilfælde af henholdsvis vejlængde og tid. dx kaldes defo en diffeentialkvotient (kvotient mellem diffeentiale) dt Geometisk deje linien gennem A og B ove i en et linie med hældningskoefficienten.5. 5 Denne linie kaldes tangenten til kuven med øingspunkt A = (, ) Diffeentialkvotient. Da kinematik ikke e det eneste man kan anvende diffeentiation til, og de e tadition fo, at x-aksen e den vandette akse, vil vi i det følgende i stedet betagte poblemet i et x - y koodinatsystem. Med udgangspunkt i eksempel 9. vil vi nu se på det geneelle tilfælde. Lad y = f(x) væe en funktion defineet i et inteval I, lad x I, og lad α væe et eelt tal. Give vi x en tilvækst x ud fa x få y en tilvækst y = f ( x + x) f ( x) (se figu 9.) y f ( x + x) f ( x) Ved diffeenskvotienten fostås bøken =. x x f Fig. 9. Sekanten ha hældningen. x

107 9.. Diffeentialkvotient Definition af diffeentialkvotient og tangent. Funktionen y = f(x) siges at væe diffeentiabel y f ( x + x) f ( x) i x med diffeentialkvotienten f ( x ), hvis = f ( x ) fo x. x x dy Diffeentialkvotienten f ( x ) betegnes også,idet man så foudsætte x. dx Linien gennem x, f ( x ) med hældningskoefficienten f ( x ) kaldes en tangent til gafen fo ( ) f. Tangenten ha ifølge sætning. ligningen y f ( x ) = f ( x ) ( x x ) E x et endepunkt af intevallet I, foetages kun en ensidig gænseovegang. Funktionen f siges at væe diffeentiabel i intevallet I, hvis den e diffeentiabel i ethvet punkt af I. Vi vil i det følgende eksempel anskueliggøe de centale definitione ved at igen at se på poblemet i eksempel 9. Eksempel 9.. (fotsættelse af eksempel 9.) Vi betagte følgelig funktionen y = f ( x) = x + 4 y væksthastigheden lim x x til x =., og e inteesseet i at finde y Vi fandt i eksempel 9., at lim = x x Vi ha følgelig fundet, at væksthastigheden i punktet A e.

108 9. Diffeentiation Matematisk siges, at vi i punktet ha diffeentieet funktionen f ( x) = x +, og fundet at 4 dy diffeentialkvotienten, elle. dx = f () = Geometisk deje linien gennem A og B ove i en et linie med hældningskoefficienten.5. 5 Denne linie kaldes tangenten til kuven med øingspunkt A = (, ) Ligningen fo tangenten blive y = ( x ) y = x+ 4 4 Sætning 9. En diffeentiabel funktion e kontinuet. y Bevis: Lad de væe givet, at y = f ( x) e diffeentiabel i x, dvs. lim = f ( x ) x x y Vi ha nu lim lim lim lim ( ) ( ) y y = x = x = f x = x x x x x x Da y = f ( x + x) f ( x ) fås lim y = lim f ( x ) ( ) lim ( ) ( ) + x f x = f x + x = f x, dvs. f e kontinuet i x. x x x Den omvendte sætning gælde ikke, idet man godt kan have en kontinuet funktion, som i enkelte punkte ikke e diffeentiabel. Dette e tilfældet, hvis gafen ha et knæk. Et eksempel e funktionen f ( x) = x, hvis gaf (se figuen) ha et knæk fo x =, og defo ikke e diffeentiabel i dette punkt. 9.3 Regneegle fo diffeentialkvotiente Det ses umiddelbat ud fa definitionen, at diffeentialkvotienten fo ) f ( x) = ax+ b e f ( x) = a, (da tangenten til en et linie jo e funktionen selv med hældning a) ) f ( x) = a e f ( x) = (da gafen e en vandet linie med hældningen ) I mee kompliceede tilfælde må man imidletid benytte følgende egneegle SÆTNING 9. Diffeentiation af sum, diffeens, podukt og kvotient af diffeentiable funktione. ) Lad f og g væe to funktione, de e diffeentiable i x og lad k væe en konstant. Så e f + g, f g, k f og f g diffeentiable i x og de gælde følgende egneegle: a) Sumegel: ( f + g) = f + g, ( f g) = f g, b) Poduktegel: ( f g) = f g+ f g c) Konstant fakto sættes udenfo: ( k f ) = k f d) f g f f g Bøkegel: = g g foudsat gx ( )

109 9.3 Regneegle fo diffeentialkvotiente Bevis: Lad u= f ( x) og v = gx ( ) Vi give nu x tilvæksten x til x x. Heved få u og v tilvæksten u og v. (se figu 6.). Da u og v e diffeentiable i x e u v lim = f ( x) og lim = g ( x) x x x x ) Lad y = f(x) + g(x) = u + v y få nu en tilvækst y + y = u+ u+ v + v Indsættes y = u+ v fås u+ v+ y = u+ u+ v+ v y= u+ v y u Ved division med x fås = + v. x x x y u v Heaf fås lim = lim + lim = f ( x) + g ( x) x x x x x x ) Bevises på samme måde som unde punkt ) 3) Lad y = f(x) g(x) = u v y få nu en tilvækst y+ y = ( u+ u) ( v+ v)=u v+u v+v u+ u v Indsættes y = u v fås u v+ y = u v+u v+v u+ u v y = u v+v u+ u v y u v Ved division med x fås v = v + u + u. x x x x Da u= f ( x) e diffeentiabel e den også kontinuet, dvs. u fo x y u v v Heaf fås lim = lim v + lim u + = gx ( ) f ( x) + f( x) g ( x) x x x x x x x f ( x) u 4) Lad y = = ( v ). gx ( ) v Da v e diffeentiabel, e den også kontinuet, dvs. v + v e også fo tilstækkelig små vædie af x. u u u u u u y få nu en tilvækst y+ y = + v = ( + ) v = + v ) v+ v v( v + v) v( v + v) u u u u u u u u v u u u u y = + y = = + v+ v v+ v v = v ( ) ( v) v v ) v v v ( v + v) v ( v + v) Da v = gx ( ) e diffeentiabel e den også kontinuet, dvs. v fo x u v v u y = x x x v( v + v) du u d v v dx dx fo v x Diffeentiation af sammensat funktion De gælde nu følgende sætning Sætning 9.3 Diffeentiation af en sammensat funktion Lad y = f ( u) og u = g( x) væe to funktione, hvo g e diffeentiabel i x og f e diffeentiabel i u = g( x). Så e den sammensatte funktion f ( g( x)) diffeentiabel i x og dy dy du ( f ( g( x)) ) = f ( g( x)) g ( x) elle kot = dx du dx ( Man huske den ofte som Yde funktion f diffeentieet gange inde funktion g diffeentieet). 3

110 9. Diffeentiation Bevis skitse Vi ha y y u = x u x Da u e kontinuet, vil u fo x Heaf fås, dvs. dy dx dy = du du dx Sætning 9.4 Diffeentiation af omvendt funktion: Lad y = f ( x) væe en funktion, de e monoton og diffeentiabel i et inteval I. Hvis x I og f ( x ), så e den omvendte funktion f diffeentiabel i y = f ( x), og de gælde ( f ) ( y ) =, elle kot: f ( x ) dy dx = dx dy Anskueligt bevisskitse Da y ax b x ses, at den omvendte funktion til ha diffeentialkvotienten a y b = + = f ( x)= ax + b a a (dette kan også let ses geometisk ved spejling i vinkelhalveingslinien y = x). Heaf følge, at tangenten til gafen fo en funktion i et punkt, og tangenten til det tilsvaende punkt fo den omvendte funktion ha ecipokke hældningskoefficiente Diffeentiation af standadfunktionene. Ved en standadfunktion fostås de i de foegående paagaffe omtalte funktione potens-, eksponential- logaitme- og tigonometiske funktione. Følgende sætning samle eglene fo, hvoledes disse funktione diffeentiees. Sætning 9.4. Diffeentiation af standadfunktone. f( x) x a e ax ln( ax) sin( ax) cos( ax) f ( x) a x a a e ax x a cos( ax) a sin( ax) e ax,sin( ax) og cos( ax) e diffeentiable fo alle vædie af konstanten a og den vaiable x. x a og ln( ax) e diffeentiable hvo de e defineede. Bevis: Ifølge definitionen på diffeentialkvotient fo en funktion y = f ( x) e denne diffeentiabel i et punkt x, med y f ( x + x) f ( x) diffeentialkvotienten f ( x),hvis diffeenskvotienten = f ( x) fo x x x Af hensyn til det følgende indses, at hvis f ( x)= a x e f ( x) = a, da gafen fo f e en et linie med hældning a ) ( ln( ax) ) = x 4

111 Føst vises, at ( ln x) = x 9.4 Diffeentiation af standadfunktionene Tangenten til gafen fo e x i punktet (x, y) = (,) ha hældningen. Da ln e den omvendte funktion af e x ha gafen til y = ln(x) i punktet (x, y) = (,) også hældningen. Vi ved defo at y = ln(x) e diffeentiabel i punktet x = med diffeentialkvotienten y ln( + x) ln Ifølge definitionen på diffeentialkvotient ved vi nu, at = fo x x x Da ln = fås ln( + x ) fo x x ln( + h) Af hensyn til det følgende foetages en omdøbning, idet vi sætte h= x så vi ha fo h h Vi danne nu diffeenskvotienten fo funktionen y = ln x ud fa et fast valgt punkt x. x + x x x ln ln + ln + y ln( x + x) ln x x x x = = = = x x x x x x x x Da h = fo x ha vi, at x Vi ha demed bevist at ( ln x) = x x ln + y x ln( + h) = = = fo x x x x x h x x x ) Da ln( ax) = ln( u) hvo u= ax kan vi benytte sætning 9.3 om diffeentiation af en sammensat funktion. ( ln( ax) ) ( ln u) ( au) u a = = = ax a = x f ( x)= e ax f ( x) = a e ax Føst vises, at ( x e ) = x e x Vi ha y = e x =ln y Ifølge sætning 9.4 om diffeentiation af omvendt funktion gælde da Vi ha demed bevist, at ( x e ) = x e dy dx = dx = = y = dy y Da ax u e = e hvo u= ax kan vi benytte sætning 9.3 om diffeentiation af en sammensat funktion. ( ) ( ) e ax e u = ( au ) = e u a = e ax a ln ( ) = ln ( ) ( ) x x Specielt haves a a a da 3) f ( x)= xa f ( x) = a x a Vi ha ( ln ) x a f x a e x x ln a = = = e a x f x x e a a ln x u ( ) = = = e = e, hvo u= a lnx u Vi diffeentiee den sammensatte funktion y = e, hvo u= a lnx (se evt. sætning 9.) e x 5

112 9. Diffeentiation Vi ha dy dy du u a a = = e a = x a = a x dx du dx x x 4) sin( ax) = a cos( ax). ( ) Vi skal altså vise, at sin( ax + x ) sin( axx ) a cos( ax) fo x x Et fomelt bevis e et omfattende, da det kæve kendskab til en ække tigonometiske fomle. Vi vil defo nøjes med at benytte TI89 til at foetage gænseovegangen. Fo kotheds skyld omdøbes x til z. F3\limit((sin(a*x+z)-sin(a*x))/z,z,) Resultat: a cos( a x) cos( ax) = a sin( ax) 5) ( ) cos( ax + x) cos( ax) x Vi skal vise, at a sin x fo x x Vi finde: F3\limit((cos(a*x+z)-cos(a*x))/z,z,) Resultat: - a cos(a x) I følge sætning 9. e alle funktione, de femkomme som en sum, diffeens, podukt elle division af standadfunktione diffeentiabel i de intevalle hvo de e defineet. Det samme gælde ifølge sætning 9.3 fo funktione de e sammensat af standadfunktione. Eksempel 9.3 Diffeentialkvotient (uden bug af hjælpemidle) Ti 89 må kun buges til kontol 5 ) Lad f( x) = 3x x +. a) Find f ( x) b) Beegn hældningskoefficienten fo tangenten l til gafen fo f med øingspunkt P = (, f () c) Opskiv ligningen fo tangenten l ). Lad gx ( ) = x lnx a) Find g ( x) b) Beegn hældningskoefficienten fo tangenten l til gafen fo f med øingspunkt P = (, f()) c) Opskiv ligningen fo tangenten l dy 3) Lad y = x+ sin( x). Find 4 dx x e 4) Lad hx ( ) = Find h () x e + Løsning: ) a) 4 f ( x) = 5x x, b) f () = 5 = 3 c) f () = 3 + = 3 l: y 3 = 3( x ) y = 3x 6

113 9.4 Diffeentiation af standadfunktionene ) a) g ( x) = x + lnx = + lnx x b) g () = + ln() = c) g( ) = ln() = l: y = ( x ) y = x 3) dy dx = + x = + x 4 cos( ) cos( ) x x x x 4) ( e + ) e ( e ) e e h ( x) = = x x ( e + ) ( e + ) x h () = Eksempel 9.4. Diffeentiation ved benyttelse af TI89 x ) Lad f ( x) = ln, x > Find f ( x) x + x 3 ) Lad f ( x) =, x > x a) Find f ( ) b) Opskiv ligningen fo tangenten l til gafen fo f med øingspunkt P = (, f (). 3) Lad f( x) = cos x Find 3 3 f ( x) x 4) f ( x) = + sin sin, x Find x π π f 4 Løsning: Ti89: Tyk på nd d (stå ove 8- tallet) og indtast funktionen. ) d(ln((x-)/(x+)),x) f ( x) = ( x )( x+ ) Uden lommeegne f ( x) = ( x+ ) ( x ) = = x ( x + ) ( x )( x+ ) x x + ) a) d((x-3)/(x^-),x) x= f ( ) =7/9 Uden lommeegne ( x ) x ( x 3) f x = = x + 6x ( ) ( x ) ( x ) b) (x-3)/(x^-) x= f ( ) = -/3 c) y = ( x ) y = x y = x ) d(/3*(cos(x))^3,x) f ( x) = sin( x) (cos( x)) 7 = + 6 f ( ) 7 = ( ) Uden lommeegne f ( x) = cos x = ( cosx) opfattes som en sammensat funktion y = 3 u hvo u = cos x f ( x) = u ( sin x) = sinx cos x

114 9. Diffeentiation 4) d((+sin(x))/(-sin(x)),x) x = π /4 f ( x) = Højee afledede, acceleation Eksempel 9.5 (gentagelse af eksempel 9.) Lad et legeme L bevæge sig langs x-aksen således, at dens position til tiden t (målt i sekunde) e bestemt ved x = t + (målt i mete). 4 Til tiden t = e L i punktet A med x =, til t = e L i B med x =.5 og til t = e L i C med x =. Vi se umiddelbat at hastigheden foøges som legemet bevæge sig fa A til B til C (legemet dx acceleee). Idet = t fås, at hastigheden v i de te punkte e henholdsvis v() = m/s, dt v() =,5 m/s og v() = m/s. Et udtyk fo den gennemsnitlige hastighedsfoøgelse, de e sket ved at L bevæge sig fa B til v v C e a gen = ( ) ( ) = 5, m/sec Fo at bestemme den hastighedsfoøgelse, de e sket i punktet B, kan vi beegne v v v a g =, hvo tidsummet e meget lille. t = () t t v Matematisk betyde det, at vi skal finde lim = v ( ) t t. dv Da = e acceleationen a =.5 m/sec i punktet B. dt Iøvigt ses, at acceleationen i dette tilfælde e konstant.5 fo alle punkte. Konklusionen e, at man finde acceleationen i et punkt ved at diffeentiee x(t) gange. Afledet funktion Som det ses af eksempel 9.3 kan det ofte væe nyttigt, at opfatte f ( x) som en funktion, som man kan diffeentiee igen. Man sige, at f ( x) e den føste afledede, og at f ( x) (den afledede af den afledede) e den anden afledede. Sådan kan man fotsætte med at finde tedje afledede osv. 8

115 Eksempel 9.6.Anden afledede ) Find den anden afledede af funktionen f ( x) = 4 x 7 x ) Find diffeentialkvotienten f ( ) Løsning: ) f ( x) = x 4 x, ) f ( ) = 4 4 = 34 f ( x) = 4x 4 TI89: d(4*x^3-7*x^,x,) elle d( d(4*x^3-7*x^,x),x) 9.5 Højee afledede, acceleation 3 9

116 9. Diffeentiation Opgave til kapitel 9 9. (uden hjælpemidle) Find diffeentialkvotienten fo følgende funktione: a) f ( x) = x b) gx ( ) = e x c) hx ( ) = sin( 5x) + cos( 3x) d) k( x) = 3 ln( 5x) e) lx ( ) = 3x+ x 9. (uden hjælpemidle) Find diffeentialkvotienten fo følgende funktione: a) f ( x) = x sin( x) b) gx ( ) = 5x ln( 8x) c) hx ( ) = 5+ 3xe x 9.3.(uden hjælpemidle) Find diffeentialkvotienten fo 4 a) f ( x) = 3x 5x + x+ 4 b) gx ( ) = sinx xcosx 9.4 (uden hjælpemidle) a) Lad f ( x) = ( x ) 3 Find f () 3 x dy b) Lad y =. Find x + dx 9.5. (uden hjælpemidle) Find diffeentialkvotienten af funktionene a) f ( x) = ln( x) b) gx ( ) = xe x ln c) hx ( ) = e x 9.6. x + 3 dy a) Lad y = Find ( x ) dx b) Lad yx ( ) = Find x + x y ( ) 9.7. (uden hjælpemidle) Find en ligning fo tangenten til paablen y = x 4x+ 7 i punktet P = (,4).

117 9.8 (uden hjælpemidle). Lad f ( x) = x 7 Find en ligning fo tangenten til gafen i punktet P = (,f ()). 9.5 Højee afledede, acceleation x Lad f ( x) = x a) Find ligningene fo de to tangente til gafen fo f, som e paallel med linien med ligningen y = - x +4. b) Find afstanden mellem de to tangente. x 9. Lad f ( x) = e + x Find den spidse vinkel mellem de to tangente til gafen fo f, de ha øingspunkte i henholdsvis (, f()) og (, f()). 9. (uden hjælpemidle) En patikel bevæge sig på en et linie. Patiklen position s (mete) til tidspunktet t (sekunde) e give ved st ()= 4 t a) Bestem patiklens hastighed til tidspunktet t = 4. b) Bestem det tidspunkt, hvo patiklens hastighed e. c) Find patiklens acceleation til t = 4

118 . Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote. Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote.. Monotonifohold, ekstema Som det femgå af afsnit 5.3, så fostå vi ved et monotoniinteval et inteval hvo funktionen enten e voksende i hele intevallet elle aftagende i hele intevallet. Betagte vi gafen i figu., så e funktionen voksende fo x og aftagende fo x Det foekomme umiddelbat indlysende at i et inteval hvo funktionen e voksende, da må tangentenes hældningskoefficiente væe støe end (evt. i enkelte punkte). Da hældningskoefficientene fås ved at diffeentiee, så må diffeentialkvotientene væe støe end (evt. i enkelte punkte. Det omvendte gælde også, hvilket femgå af følgende sætning som anføes uden bevis: Sætning. Monotonisætning Lad f væe diffeentiabel i et inteval I. Da gælde f ( x) > fo alle x I f e voksende i I f ( x) < fo alle x I f ( x) = fo alle x I f e aftagende i I f e konstant i I Fig. Monotoniinteval Eksempel..Monotoniinteval 4 3 Find monotoniintevallene fo funktionen f ( x) = x 8x + 9x 4x+ 4 Løsning: Vi diffeentiee funktionen og opløse diffeentialkvotienten i faktoe. F: facto(d(x^4-8x^ 3+9x^-4x+4,x)) Resultat: f ( x) = ( x )( x ) Heaf ses, at f ( x) f ( x) fo x, dvs. funktionen e voksende fo x f ( x) fo x, dvs. funktionen e aftagende fo x Dette e illusteet på nedenstående tegning af funktionen..

119 . Asymptote Lokale og globale ekstema En funktion ha et lokalt maksimum i et inde punkt x, hvis f ( x ) f ( x) fo alle vædie af x i en omegn af x En funktion ha et (globalt) maksimum elle støstevædi i x, hvis f ( x ) f ( x) fo alle vædie af x i hele definitionsmængden Tilsvaende definees lokalt minimum og mindstevædi. Kaakteistisk fo diffeentiable funktione e, at lokale ekstema kan findes blandt de punkte, hvo de e vandet tangent, dvs. hvo f ( x) = Eksempel. (eksempel. fotsat) Af faktoopløsningen ses, at f ( x) = fo x = og x = Af tallinien fo fotegnet fo f ( x) ses, at de e minimum fo x =. Dette kan natuligvis også ses af figuen...asymptote En vandet asymptote e en vandet linie med ligningen y = b som gafen næme sig til, nå x gå mod enten + elle -. En lodet asymptote e en lodet linie med ligningen x = a hvis + f ( x) elle f ( x) fo x a elle x a (læses: x gå mod a fa høje elle x gå mod a fa venste) Eksempel.3 Asymptote Funktionen f ( x) = + ha den vandette asymptote y = 3, da x 3 f ( x ) 3fo x (ses umiddelbat, da næme sig til nå x blive sto). x Analogt ses, at f ( x) 3fo x se figu.. Fig... Asymptote 3

120 . Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote f(x) ha den lodette asymptote x =, da f ( x) fo x + (ses umiddelbat, da blive meget sto, nå x næme sig til fa høje) x Analogt ses, at f ( x) fo x se figu...3. Funktionsundesøgelse Vi vil i næste afsnit se på nogle anvendelse af diffeentialegning. Ved disse anvendelse opstilles en funktion, hvo det sædvanligvis e specielle fohold ved funktionen, de e af sælig inteesse. Eksempelvis e man måske kun inteesseet i at finde en støstevædi fo funktionen. Nå man skal undesøge en funktions egenskabe e det natuligvis en udmæket idé at få lommeegneen til at tegne dens gaf. Deefte kan man finde tangente, maksimum osv. diekte uden at benytte diffeentialegning. Nå det alligevel ikke e nok, skyldes det bl.a. følgende ) Funktionen kan kun tegne gafen i et begænset vindue. Det nytte ikke noget at man tegne funktionen omking begyndelsespunktet, hvis de inteessante punkte ligge omking punktet (,). Defo må man ved beegning føst finde ud af hvo de inteessante punkte e, og ovebevise alle om, at man ikke ha oveset noget væsentligt. ) Ofte vil man ved anvendelse gene have fundet et mee geneelt udtyk, dvs. de vil indgå nogle konstante a, b osv. i udtykket. Man kan ikke tegne funktionen i sådanne tilfælde og må defo igen benytte eksempelvis diffeentialegning ved løsningen. I de følgende eksemple gennemgås hvoledes man mest hensigtsmæssigt kan løse nogle af de oftest foekomne pobleme. Eksempel.4. Funktionsundesøgelse x + x Givet funktionen f ( x) = 4 + x ) Angiv funktionens definitionsmængde ) Find funktionens nulpunkte. 3) Find de punkte hvo funktionen ha vandet tangent (kaldet de stationæe punkte) 4) Skitse gafen fo funktionen i et omåde omfattende nulpunkte og kitiske punkte 5) Find funktionens støstevædi og mindstevædi (foudsat de eksistee) 6) Angiv funktionens vædimængde Løsning: ) Da nævneen ikke kan blive e definitionsmængden D = ] ; [ (alle eelle tal R). ) Nulpunkte: Løse ligningen f ( x) =. (lig gafens skæingspunkte med x - aksen.) TI-89: solve(x^+x=,x) Nulpunkte: x = x = Manuelt: f ( x) = x + x = x( x+ ) = x = x = 4

121 3) Stationæe punkte.3 Funktionsundesøgelse f ( x) = solve(d(4*(x^+x)/(x^+),x)=,x) Resultat: f ( x ). 44 = x = ± =. 44 f ( + ) :4*(x^+x)/(+x^) x = + ( ) Resultat f ( + ) = Resultat f ( ): 4*(x^+x)/(+x^) x = ( ) f ( ) = 83. (, ) (.,. ) ( ) Stationæe punktet ( + + = 4483 og, = ( 4., 83. ) 4) Da vi nu kende placeingen af de inteessante punkte tegnes gafen i eksempelvis omådet 5 x 5 y 5 TI89: Vælg: Y=, indtast funktionen, Gaph, Windows, og ænde vinduet som ovenfo. Det esultee i følgende tegning. 5) Af denne ses, at funktionen ha et lokalt minimum -.83 og et lokalt maksimum Imidletid kan vi ikke af tegningen se om det e globalt, da man eksempelvis kunne tænke sig at f(-) > Vi må defo se på hvad de ske nå x gå mod og, dvs. se om de e vandette asymptote. Ti 89: F3\limit(4*(x^+x)/(x^+),x, ) Resultat 4 F3\limit(4*(x^+x)/(x^+),x,- ) Resultat 4 Den vandette linie y = 4 e vandet asymptote Da vi ha set, at funktionen ha den vandette asymptote 4 og det lokale maksimum e støe end 4 må støstevædien væe + som antages fo x = + Analogt må mindstevædien væe som antages fo x = 6) Af spøgsmål 4 femgå, at vædimængden e { y y + } Kontol: Man kunne på tegningen ved tyk på F5 og valg af Minimum og efte at have sat gænsene passende have fundet en tilnæmet vædi fo minimum, og tilsvaende fo maksimum.. 5

122 . Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote Medens i de foegående funktionsundesøgelse ha sto glæde af en tegning, e dette ikke muligt, hvis de i poblemet indgå en ukendt paamete. I sådanne tilfælde e man nødt til at løse poblemet ved beegninge bl.a. ved diffeentiation. Det følgende eksempel vise dette. Eksempel.5. Funktionsundesøgelse med paamete x + kx Givet funktionen f ( x) = 4, k > + x ) Angiv funktionens definitionsmængde ) Find de vædie af x, fo hvilke funktionen ha sin støstevædi og sin mindstevædi (foudsat de eksistee) Løsning: Eksempel. e samme funktion fo k =. Da k s vædi ikke kendes, kan funktionens gaf ikke tegnes. hvilket gø at man i stedet må foetage beegninge. ) Da nævneen ikke kan blive e definitionsmængden D = ] ; [ (alle eelle tal R). ) Støstevædi og/elle mindstevædi: Føst findes de punkte, hvo f ( x) = (vandet tangent). ( ) ( ) a) f ( x) : d(4*(x^+k*x)/(x^+),x) Resultat: = 4 k x f x x k ( ) x + f ( x) = solve(d(4*(x^+k*x)/(x^+),x)=,x) Resultat: f ( x) = x = Vi tegne nu en monotonilinie k + ± k f ( x) k + k + + k k Vi finde fotegnene ved eksempelvis at indse, at tælleen i f ( x) bestemme fotegnet (nævneen e altid positiv). Da tælleen e et andengadspolynomium e gafen en paabel med genene nedad. Deved fotegnene Man kunne også se det ved at indse, at hvis x e meget sto må f ( x) <. Tilsvaende hvis x e sto, negativ. Indsættes endelig Vi ha følgelig, at k + k funktionens mindstevædi antages i x = fås (pøv selv) et esultat de e positivt. k + og støstevædi i x = k k + + k 6

123 .3 Funktionsundesøgelse Eksempel.6. Asymptote, lokale ekstema x Givet funktionen f ( x) = 3x 6 ) Angiv funktionens definitionsmængde ) Find eventuelle vandette og lodette asymptote 3) Find ved beegning funktionens nulpunkte 4) Find funktionens lokale maksima og minima Løsning: x3x 6 = x ) D = { } { } ) TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-),x,,) Resultat: dvs. f ( x) fo x + TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-),x,,-) Resultat: - dvs. f ( x) fo x Heaf ses, at x = e lodet asymptote TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-),x, ) Resultat: dvs. f ( x) fo x TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-),x,- ) Resultat: - dvs. f ( x) fo x Da funktionen ikke gå mod en bestemt gænsevædi e de ingen vandet asymptote 3) f ( x) = x = x = x = 4) Fo at finde lokale ekstema vil vi finde diffeentialkvotienten. Vi diffeentiee defo. x 4x+ f ( x): TI89: d((x^-)/(3*x-),x) Resultat: f ( x) = 3( x ) Vi søge nu punkte de ha vandet tangent: f ( x) = : TI89: solve(d((x^-)/(3*x-),x=,x) Resultat: x = ± = Vi kende nu de kitiske punkte, og kan tegne gafen i TI89 Vælg: Y=, indtast (x^-)/3*x-6) ENTER Husk at justee vinduet, så alle de væsentlige punkte komme med. 7

124 . Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote Vi kan nu se, at funktionen ha et lokalt maksimum fo x = 3, f ( 4 3) = og lokalt minimum fo x = + 3, f ( + 3) = Vælges på tegningen F5:Maksimum og passende gænse fås hvo man igen kan se det samme. 8

125 .3 Funktionsundesøgelse Opgave til kapitel x x+.. En funktion f e bestemt ved f ( x) =, x + x + a) Angiv funktionens definitionsmængde. b) Find ved anvendelse af diffeentialegning funktionens stationæe punkte. c) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe d) Find støstevædi og mindstevædi fo funktionen. x 4.. En funktion f e givet ved f ( x) =. x + a) Angiv funktionens definitionsmængde. b) Find ved anvendelse af diffeentialegning funktionens stationæe punkte. c) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe d) Angiv funktionens vædimængde x x.3 En funktion e givet ved f ( x) =, x < 3 x 6 a) Angiv funktionens nulpunkte b) Find ved anvendelse af diffeentialegning funktionens stationæe punkte. c) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe d) Angiv funktionens vædimængde..4. Find ved anvendelse af diffeentialegning støste- og mindstevædi fo funktionen f ( x) = x x, x,.5. Lad f ( x) = 3sinx+ 4cos x, x π a) Skitse gafen på lommeegneen, og bestem koodinatene til det globale minimum med decimale b) Funktionen ønsket omskevet til fomen f ( x) = asin( bx+ c) Find eksempelvis ved passende aflæsning på gafen vædiene fo a, b og c med decimale c) Kontolle egningene ved at tegne begge gafe på lommeegneen..6 Find fo f ( x) = sin x+ cos x, x π a) Nulpunkte b) Find ved anvendelse af diffeentialegning funktionens stationæe punkte. c) Skitsé funktionen.7 Lad f ( x) = x ln( x) + e x < x Skitse funktionen ved hjælp af lommeegneen og bestem vædimængden fo funktionen. 9

126 Nogle anvendelse af diffeentialegning. Nogle anvendelse af diffeentialegning..optimeing Man e ofte inteesseet i at finde den bedste (optimale) løsning, de samtidig opfylde nogle bestemte kav. Det kan eksempelvis væe, at finde den billigste løsning, den poces, de give det støste udbytte osv. Sådanne pobleme kaldes optimeingspobleme. Vi ha alleede behandlet et sådant poblem i eksempel 6.4, hvo vi skulle finde hvilken pis de gav den støste omsætning. Vi kunne løse poblemet uden diffeentialegning, da den femkomne funktion blev et andengadspolynomium. Følgende to eksemple e nok et mee typisk eksempel på den slags pobleme. Femgangsmåden vil defo blive gundigt belyst. Eksempel. Optimeing En cylindisk beholde, de skal indeholde ætsende kemikalie, ønskes udfomet, så ovefladen blive så lille som muligt, da ovefladebehandlingen e dy. Beholdeen, som ikke behøve noget låg, skal have umfanget m 3. Find højde h og adius i cylindeen. Løsning: ) Føst opskives en fomel fo det man ønske at optimee (he aealet A af cylindeens oveflade), udtykt ved de vaiable man finde nødvendigt fo at skive fomlen op. Aealet A af cylindeens oveflade (bund + side) : A= π + π h. ) Da vi kun kan abejde med en funktion af vaiabel og ikke, må vi finde en elation mellem de to vaiable og h Vi skal defo have en ydeligee oplysning, og he ha vi fået den oplysning, at umfanget skal væe. Idet cylindeens umfang e V = π h,ha vi defo, at = π h Vi kan nu finde den ønskede elation mellem og h. = π h h = π 4 3) Ved indsættelse i udtykket fo A fås A= π + π = π +,hvo >. π Vi ha nu den ønskede funktion A() af vaiabel, som vi skal finde minimum fo. Dette ske ved diffeentialegning evt. suppleet ved, at man tegne gafen. 4) Fo oveblikkets skyld kaldes vaiablen fo x, og vi søge mindstevædi fo funktionen f ( x) = πx + 4 x, x > f ( x) = : TI89: solve(d( π *x^+4*x^(-),x)=,x) Resultat x =.863 De e altså kun en vædi hvo tangenten e vandet Vi finde nu ovefladen fo denne vædi. TI89: π *x^+4*x^(-) x=.863 Resultat:

127 . Optimeing Vi kende nu de kitiske punkte og kan tegne gafen i et passende vindue, eksempelvis. x 3 y Vi få en paabellignende gaf med genene opad, dvs. (da de kun e en vædi hvo tangenten e vandet) så e det vikelig et globalt minimumspunkt. Vi ha altså, at aealet blive mindst fo = 863. Den tilsvaende h - vædi fo højden i cylindeen blive nu h = = = 863., dvs. adius og højde blive ens. π π 863. Ønske man at kontollee egningene så vælg på tegningen F5 \Minimum. Man få (x, y) = (.863, ) Ok. Eksempel.. Optimeing med paamete En øledning påtænkes føt fa en boeplatfom B til et affinadei A beliggende ved kysten. B s afstand fa kysten e 5 km og afstanden AD e 4 km.(se figuen) Man ønske a vide, hvo på kysten (i punktet C) man skal føe ledningen i land, hvis det e k gange dyee p. km at bygge en undesøisk ledning, end det e at bygge den på land. a) Idet afstanden fa A til C kaldes x skal man udtykke de samlede udgifte z som en funktion af x (og k). b) Find den vædi af x, som gø udgiftene mindst, hvis det e dobbelt så dyt p. km at bygge undesøisk end ove land. c) Da man e usikke på, hvo sto pisfoskel de e mellem pis på land og unde havet, skal man geneelt udtykt ved k finde den vædi af x, de gø udgiftene mindst. Løsning: a) Kalde man længden af BC fo y e den samlede længde af ledningen x + y km. Det e klat, at va k = (samme pis) e x =, da det så ville væe billigst at bygge øledningen diekte fa B til A, og jo støe k e jo tættee ved D vil punktet C ligge. Antages at pisen fo at bygge km ledning på land e pisenhed (f.eks. pisenhed = k). I så fald e pisen fo at bygge km undesøisk ledning k (pisenhede) Den samlede pis e defo z = x+ k y (pisenhede).

128 Nogle anvendelse af diffeentialegning Vi skal nu finde en sammenhæng mellem x og y, og hetil anvendes Pythagoas på den etvinklede tekant BCD y = 5 + ( 4 x) y = 5 + ( 4 x) Ved indsættelse i udtykket fo z fås z = x+ k 5+ ( 4 x) b) Vi sætte nu k = og få z = x+ 5+ ( 4 x) dz Vandet tangent fås fo de vædie af x, fo hvilke = dx TI89: solve(d(x+* (5-(4-x)^9,x)=,x) Resultat: x = 5( 3 8) = = 334. km Da dette e den eneste vædi i intevallet x 4hvo de e vandet tangent, må det ud fa hele poblemstillingen væe den vædi hvo pisen e mindst. Altenativt kunne man tegne gafen fo funktion i et elevant vindue. Da gafen blive en paabellignende figu med genene opad ses, at udgiftene blive mindst, hvis ledningen placees x =3.34 km fa A dz c) Vi finde igen de vædie af x fo hvilke =. dx TI89: solve(d(x+k* (5-(4-x)^9,x)=,x) k k 3 5 Resultat: x = o x = elle x = 4 ± k k k 5 Da x 4 e x = 4 k Da dette e den eneste vædi i intevallet x 4 hvo de e vandet tangent, og man ud fa 5 poblemstillingen kan se de må væe en mindstevædi, så må x = 4 væe den k vædi de gø pisen mindst. 5 x = 4. k

129 . Kinematik..Kinematik... Indledning I fobindelse med indføingen af diffeentialkvotient så vi i kapitel 9 på et legeme de bevægede sig etlinet langs en x-akse. Legemets position til tiden t sekunde va bestemt ved xt ()= t +. 4 Vi fandt da, at legemets hastighed til tiden t e v = x () t = t og at legemets acceleation e x () t =. Det fie fald Kastes en sten ned fa en høj bygning med en hastighed på v, så vil den stækning som stenen tilbagelægge til tiden t sekunde væe s= g t + v t mete, hvo tyngdeacceleationen g = 9.8m/s Ved diffeentiation ses, at stenens hastighed til tiden t e v = g t+v og dens acceleation g. Eksempel.3 Fit fald En sten falde til tiden t = fa en 3 mete højt tån. I statøjeblikket e dens hastighed m/s. Find stenens hastighed nå den nå joden. Løsning: 6 Af faldloven s= g t + v t fås 3 = g t t = = 47. s 98. Af v = g t+v fås nu v = = 4.6 m/s... Jævn etlinet bevægelse Vi ha i afsnit 4.5 betagtet paametefemstillingen fo en linie. a En et linie i planen gennem P = ( x, y) med etningsvektoen ha paametefemstillingen b x x t a. Opfattes paameteen t som tiden, kan paametefemstillingen opfattes som y = + y b en beskivelse af en patikel P s bevægelse. 3

130 Nogle anvendelse af diffeentialegning Eksempel.4 Jævn etlinet bevægelse Lad to bile A og B bevæge sig med en jævn etlinet bevægelse bestemt ved paametefemstillingene A: t og B:, hvo t e tiden i sekunde og vejlængden x y = x t y = 4 + måles i mete. a) Bestem de to biles fat b) Vil de to biles banekuve skæe hinanden?. c) Vil de to bile støde sammen? Løsning: a) Bil A ha faten = 5 og B ha faten 4 + ( ) = 7 3 b) Da de to etningsvektoe og ikke e paallelle, må de to banekuve skæe hinanden. 4 c) Hvis de støde sammen skal de findes et tidspunkt, hvo de e i samme punkt. Da x = + 3t = + 4t t = og y = + 4t = t 5t = t =, ses, at dette ikke e muligt, 5 dvs. de støde ikke sammen. Vi vil nu i det næste afsnit betagte paametefemstillinge, hvo banekuvene ikke e ette linie, og hvo hastigheden ikke e konstant...3. Ikke etlinet bevægelse. Lad punktene på en kuve k væe givet ved paametefemstillingen k: ( x, y) = f ( t), g( t), t et vilkåligt eelt tal. ( ) Diffeentiabilitet, tangent. Hvis koodinatfunktionene f(t) og g(t) e diffeentiable siges kuven at væe diffeentiabel. x f () t Vektoen = kaldes en tangentvekto til gafen. y g () t f () t Hvis t opfattes som tiden kaldes tangentvektoen v( t) = også fo hastighedsvektoen g () t til tiden t, længden v( t) af tangentvektoen kaldes faten, og at () = v () t kaldes accelea- tionsvektoen. 4

131 . Kinematik Eksempel.5. Jævn cikelbevægelse Lad en kuve k væe givet ved paametefemstillingen k: (x,y) =( cos t, sin t), t π hvo t e tiden a) Beegn tangentvekto fo t = π 3 b) Idet t opfattes som tiden skal man beegne faten og acceleationsvektoen til tiden t = π 3 c) Skitse på en tegning kuven k, tangentvekto og acceleationsvekto, og kommente dees støelse og etning. Løsning: π a) = sin x sin t π, = 3 = 3 y cost 3 π cos 3 elle d({*cos(t),*sin(t)},t) t = π /3 (husk vinkel i adiane) Resultat: { 3 } b) Faten e., v π 3 = ( 3) + = Acceleationsvektoen e x t a = = cos π a =, y t. sin 3 3 elle d(d({*cos(t),*sin(t)},t),t) t = π /3 Resultat: {, 3} c)tegne kuven i Ti89: MODE Gaph=Paameic, Angle=Radian, ENTER Y= Indtast x(t) og y(t) GRAPH, Vælg F. Zoom Fit Man få en aflang ellipseagtig figu Vælg F: ZoomSq (fo at aksene kan få lige lange enhede.) Man få en cikel v a Det ses, at bevægelsen e en jævn cikelbevægelse med konstant fat på m/s. Acceleationsvektoen og demed kaften stå defo vinkelet på hastighedsvektoen. 5

132 Nogle anvendelse af diffeentialegning Lad os som et eksempel på en ikke etlinet bevægelse betagte det skå kast. Eksempel.6. Skå kast En håndganat kastes unde en vinkel på 3 med det vandette plan. Begyndelseshastigheden e m/s. a) Giv en paametefemstilling fo banekuven. b) Skitse ved hjælp af lommeegneen banekuven. c) Hvo højt nå ganaten op? d) Hvo langt (målt vandet) bevæge håndganaten sig inden den amme joden i samme højde som statstedet. Løsning: a) Begyndelseshastigheden e v 3 = cos sin 3 Tyngdekaften e den eneste kaft de påvike ganaten (vi se bot fa luftmodstand). Den vike lodet nedad, så vandet e de ingen kaft de påvike ganaten, dvs. hastigheden vandet e uændet x = cos3 Lodet vike tyngedekaften nedad, dvs. y = gt+ sin 3 Vi ha altså, at til et vilkåligt tidspunkt t e hastigheden v x cos3 = = y sin 3 gt Banekuven fås nu (ud fa fomlene i indledningen) t t x cos3 cos3 y = t gt = sin 3 sin 3 t t. 98. Som foventet fås hastigheden ved diffeentiation. b) Tegne banekuven MODE Gaph=Paameic, Angle=Degee ENTER Y= Indtast x(t) og y(t) GRAPH, WINDOW Indstil vædiene tmin =, tmax =?, xmin =, xmax =?, ymin =, ymax =? (he må man pøve sig lidt fem elle også vente til man ha beegnet vædiene i de næste spøgsmål) Jeg valgte tmin=, tmax =, xmin =, xmax = 4, ymax=5 De femkomme nu en kuve som man kan vise e en paabel (kastepaablen) Vælg eventuelt ZoomFit hvis intet vise sig c) Maksimumshøjden nås, nå hastighedsvektoen e vandet, dvs. y = gt+ sin t = sin t+ sin3= t = =. s 98. Højeste punkt y = sin (. ) = 5. m sin 3 d) Statstedet nås, nå y =, dvs y = sin 3 t 9. 8 ( t) = t = t = = (dvs. det dobbelte af.) Vi ha følgelig x = cos 3. 4 == 353. m 6

133 .3 Økonomi.3. Økonomi Diffeentialegning anvendes også nå man abejde med økonomiske fohold. Dette give det følgende et pa eksemple på. Gænseomkostninge En viksomhed ha nogle poduktionsomkostninge. Disse omkostninge afhænge af antallet af poduceede enhede. Poduktionsomkostningene e følgelig en funktion f ( x) af antal poduceede enhede x. Diffeentiee vi f vil diffeentialkvotienten f ( x ) jo angive hældningskoefficienten fo tangenten i x (se figuen). f ( x ) f ( x ) kaldes gænseomkostningen ved poduktion af x omkostningen ved at poducee enhed mee. enhede, og kan tolkes dom Gennemsnitsomkostning Ofte e man inteesseet i den poduktion, de give mindst gennemsnitsomkostning p. enhed. f ( x) Ved poduktion af x enhede e den gennemsnitlige omkostning k( x) =. x f ( x ) Af figuen ses, at linien OP ha hældningskoefficienten. x f x ( ) Skal man finde den vædi de give den mindste gennemsnitsomkostning p. enhed, så skal man finde det punkt Q på gafen fo f ( x), hvo linien OQ ha den mindste hældning. Som det ses af figuen e det (elle de) punkte, hvo linien fa O e tangent til gafen fo f Den mindste gennemsnitsomkostning findes ved poduktion af det antal enhede x fo hvilke f ( x) f ( x) = x 7

134 Nogle anvendelse af diffeentialegning Gænseomsætning Nå en viksomhed sælge sine vae, få den en indtægt, som kaldes dens omsætning. Omsætningen e en funktion gx ( ) af det antal vae x de sælges. Ved gænseomsætningen ved afsætning af x enhede fostås diffeentialkvotienten g ( x ) som med tilnæmelse e omsætningsændingen ved afsætning af enhed mee. Avance Hvis man tække udgiftene fa indtægtene femkomme viksomhedens avance (fotjeneste) Avancen e en funktion h af antal solgte enhede, og kan med en vis tilnæmelse findes ved at tække omsætningen gx ( ) fa poduktionsomkostningene f ( x), dvs. hx ( ) = gx ( ) f( x). Avancen blive støst fo det salg x, hvo h ( x) = ( e vandet tangent) Eksempel.7 Økonomi En møbelfabik, ha fundet, at det koste f (x) k at poducee x stk. af en bestemt type sofae, 5 3 hvo poduktionsomkostningene (i k) e f ( x) =. 9 x +. 37x x+ 5. og omsætningen e gx ( ) =. 4x + 8. x 348. a) Hvis viksomheden poducee sofae p. dag, hvad e så ) poduktionsomkostningene, og hvad e gænseomkostningen ) omsætningen og gænseomsætningen 3) Hvad e avancen b) Hvo mange sofae skal poducees p. dag fo at få den støste avance. c) Hvo mange sofae skal dagligt poducees, så man få den mindste gennemsnitsomkostning p. sofa. Løsning: a) ) f () = k Gænseomkostning = f ( ) = 897k ) g () = 33 k Gænseomsætning = g ( ) = 986 k 3) Avancen =g () -f ()= b) Støst avance : A ( x) = g ( x) f ( x) = 687. x. 554x+ 97. A ( x) = x = 769. A(37.8)= 35 k A(769.)= Heaf ses, at avancen e støst ved salg af 37 sofae, og avancen e ca. 35 k c) f ( x) = f ( x) x =. 389 x = 6. x k( x) = f ( x). k (.389) = x Da k () =. og k (5) = e gennemsnitsomkostningen mindst fo x = 8

135 Opgave til kapitel Opgave til kapitel.. Af en tynd kvadatisk plade med siden 3 m botskæes i hjønene fie lige stoe kvadate (se figuen). Resten bukkes, således at de dannes en kasse (uden låg). Bestem siden i de kvadate, de skal botskæes, således at kassens umfang blive støst muligt... I en etvinklet tekant med hypotenusen c skal summen af katetene have længden cm. Find den vædi af kateten a, som gø hypotenusen c mindst mulig..3. Et vindue e ektangulæt. Det oplyses at den nedeste side (kamen) e 5 gange så dy som de te ande side. Aealet af vinduet skal væe a m. Lad længden af den nedeste side væe x m. a) Find den vædi af x, de gø den samlede pis fo de 3 side og kamen mindst mulig. b) Angiv vinduets dimensione, hvis aealet skal væe a = 3 m.4. En vinduesåbning bestå af et ektangel og en halvcikel, de ha ektanglets øveste vandette side som diamete. (se figuen) a) Angiv aealet og omkedsen af vinduesåbningen udtykt ved x og y. b) Det oplyses, at omkedsen af vinduesåbningen ha længden a. Find udtykt ved a, den vædi af bedden x, som gø aealet af åbningen støst. c) Beegn det støste vinduesaeal i tilfældet a = m.5. En plan væg i en ovn skal isolees mod vametab. Et isoleingslag af tykkelsen x koste 4 p. cm x 365 kone, og heigennem tabes vame fo kone/time. Anlægget x påegnes benyttet i døgndift ove 6 å. Find den mest økonomiske isoleingstykkelse x..6. En fabik skal buge en m 3 beholde af fom som en cylinde (uden låg). Fo at mateialefobuget skal blive lille, ønskes den samlede oveflade (kum oveflade + bund) mindst mulig. Find de optimale vædie fo adius og højde i cylindeen. 9

136 Nogle anvendelse af diffeentialegning.7. En viksomhed femstille en vae, hvo poduktionsomkostningene fo at femstille x tons 3 p. uge e givet ved Ox ( ) = x 75x + 95x+ 3. a) Gø ede fo, at omkostningene e en voksende funktion af den poduceede vaemængde. b) Den poduceede vaemængde kan sælges til en fast pis på 35 p. ton. Bestem det antal tons, som viksomheden skal femstille p. uge, hvis avancen skal væe støst mulig..8 Ved indspøjtning af insulin ænde koncentationen af blodsukke. Koncentationen z (mg/ml) e en funktion af den tid t (i time) de e foløbet efte indspøjtningen. 4 z e t 8. t = + e Sammenhængen e bestemt ved fomelen ( ) a) Beegn det tidspunkt t, til hvilket blodsukkekoncentationen e mindst. b) I tiden efte t vokse blodsukkekoncentationen. Bestem det tidspunkt til hvilket blodsukkekoncentationen vokse hutigst..9 I en ligebenet tekant ABC e gundlinien AB = 4 og højden CD = 4. Idet E e et punkt på højden CD, skal man bestemme v = EAD (se figuen) således, at z = EA +EB + EC blive så lille som muligt.. Et ektangulæt skydeomåde, de gænse op til en etlinet mu ønskes indhegnet med et 6 m langt hegn. De skal ikke sættes hegn op langs muen. Hvilke dimensione få skydeomådet, nå det indhegnede omåde skal have et så stot aeal som muligt.. Et fly, de holde stille på en flyveplads, sætte i en take-off i gang med konstant acceleation. Indtil lift-off bevæge den sig på statbanen 6 m på s. a) Bestem acceleationen b) Bestem den hastighed flyet ha efte de føste s. c) Bestem gennemsnitshastigheden ove de føste s. d) Bestem den gennemløbne vejlængde i det. s.. Tempeatuen T (målt i C ) i en speciel ovn udvikle sig som en funktion af tiden t (målt i minutte efte at ovnen e tændt) givet ved foskiften T = + 5 ln(8 t+ ) a) Bestem (med decimale) tempeatuen i ovnen minutte efte at ovnen e tændt. b) Bestem (med decimale) hvo lang tid de gå, fa ovnen e tændt til tempeatuen i ovnen nå op på 5 C. c) Bestem (med decimale) den hastighed, hvomed tempeatuen ænde sig til tiden t =. 3

137 Opgave til kapitel.3 En haubitze afgive skud med mundingshastigheden 4 m/s mod et mål i afstanden 76 m. a) Hvilke elevatione (vinkel) vil binge pojektilet fem til målet. b) Hvo sto blive pojektilets flyvetid..4 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen 3 x = t 6t+ 8 y = t 6t + t 6, t [ 4 ;. ] a) Til hvilket tidspunkte passee P x-aksen, og hvad blive skæingspunktets koodinate b) Til hvilket tidspunkte passee P y-aksen, og hvad blive skæingspunktets koodinate c) I hvilke punkte og til hvilke tidspunkte e hastighedsvektoen paallel med x - aksen. d) I hvilke punkte og til hvilke tidspunkte e hastighedsvektoen paallel med y - aksen. e) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. f) Bestem og indtegn på kuven hastighedsvekto og acceleationsvekto til t =..5 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen 3 x = t 3t y = t, t [ ; ]. a) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. b) Find koodinatene til de punkte, hvo hastighedsvektoen e lodet. c) Find koodinatene til de punkte hvo gafen skæe y-aksen. d) Find vinklen mellem hastighedsvektoene i det punkt, hvo kuven skæe sig selv (dobbeltpunkt). 5) Find de punkte på banekuven, hvo acceleationsvektoen stå vinkelet på hastighedsvektoen..6 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen x = cost+ sin t y = cos t, t [ π ; ]. a) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. b) Find koodinatene til de punkte, hvo hastighedsvektoen til gafen e vandet..7 Fo et fima e poduktionsomkostningene p. enhed x givet ved 3 f ( x) = x 5x + 4x+ 5 og omsætningen gx ( ) = 64x x a) Hvis viksomheden poducee enhede p. dag, hvad e så ) poduktionsomkostningene og hvad e gænseomkostningen ) omsætningen og gænseomsætningen 3) hvad e avancen b) Hvo mange enhede skal poducees p. dag fo at få den støste avance c) Hvo mange enhede give den mindste gennemsnitsomkostning p. enhed. 3

138 . Integation. Integation. Indledning Da vi i kapitel. om kinematik behandlede fomlene fo det fie fald, påstod vi, at den stækning stenen falde e s= gt + t, og så fandt vi ved diffeentiation hastigheden v v = gt + v og acceleationen g. Imidletid e det man ved jo, at acceleationen e konstant g og man skal så egne baglæns fo at finde hastighed v og tilbagelagt vej s. Dette vise, at de e behov fo indføe den omvendte egningsat af at diffeentiee. Dette kaldes at integee.. Ubestemt integal Definition af stamfunktion. Lad f væe en funktion, de e defineet i et inteval I. Ved en stamfunktion F til f i intevallet I fostås en diffeentiabel funktion, som i I opfylde betingelsen F ( x) = f ( x). Eksempelvis e sin x en stamfunktion til cos x, da (sin x) = cos x og x e en stamfunktion 3 til da x = x. x ( ) 3 Da man ofte ha bug fo at finde stamfunktione benyttes et sæligt symbol fo en sådan stamfunktion, nemlig f ( x) dx som kaldes det ubestemte integal af f. Funktionen f efte integaltegnet kaldes integanden. Eksempelvis e ( x+ 3) dx = x + 3x da man ved diffeentiation af høje side få integanden x + 3 x = x+ 3 ( ) Ved integationspøven fostås netop dette at f ( x) dx = F( x) F ( x) = f ( x) Det e klat, at hvis f ( x ) dx = F ( x ) så gælde også f ( x) dx = F( x) + k, hvo k e en konstant.(da Fx ( ) + k = Fx ( ) = f( x) ) ( ) ( ) Hemed ha vi også fundet samtlige stamfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning. Samtlige stamfunktione til f. Lad F væe en stamfunktion til f. Enhve anden stamfunktion G til f kan da skives på fomen Gx ( ) = Fx ( ) + khvo k e en konstant. Bevis: Da F og G begge e stamfunktione til f, gælde, at F ( x) = f ( x) og G ( x) = f ( x) Heaf fås, at G ( x) = F ( x) G ( x) F ( x) = En funktion, hvis diffeentialkvotient e i et inteval, e en konstant. Vi ha følgelig, at G(x) - F(x) = k elle G(x) = F(x) +k 3 3 3

139 .3. Integationsegle Vi vil i esten af dette kapitel udelade denne konstant i beegningene, da den ikke få nogen indflydelse på slutesultatene. 3 Vi vil eksempelvis ikke skive x dx = x + k men kun x dx 3 = x 3 3 Ud fa kendskabet til de mest almindelige funktiones diffeentialkvotiente, kan man let finde det ubestemte integal af de samme funktione. Lad a og n væe konstante (eksempelvis a = 3 og n = - 5) p f ( x) a x n e ax a x,a > sin( a x ) cos( ax) x f ( x) dx a x n+ x ln x x a cos( ) n + ax e a ln( a) a x a sin( ax) a.3. Integationsegle Skal man integee en given funktion, så kan det ofte væe nødvendigt at omfome integalet til noget som man lettee kan finde en stamfunktion til. Dette ske ved hjælp af de følgende integationsegle: a f ( x ) + b g ( x ) dx = a f ( x ) dx+ b g ( x ) dx lineaitetsegel ( ) f ( g( x)) g ( x) dx = f ( u) du, hvo u = g( x) Integation ved substitution: Reglen kan også kot skives f ( g( x)) dg( x) = f ( u) du hvo u = g( x), du = g ( x) dx Integation ved substitution kan med fodel benyttes, hvis integanden indeholde en sammensat funktion med den inde funktion gx ( ), og en fakto, som minde om g ( x). Denne egel bø man væe i stand til at anvende hvis de indgående funktione e standadfunktione. Fo mee kompliceede funktione, kan nedennævnte integationsegle muligvis benyttes, men he vil det sædvanligvis væe sikee at benytte en lommeegne som eksempelvis Ti-89. Ande integationsegle Patiel (delvis) integation: f ( x) g( x) dx = f ( x) G( x) f ( x) G( x) dx hvo Gx ( ) = gxdx ( ) Reglen kan også kot skives fdg = f g gdf Delvis integation kan med fodel benyttes, hvis integanden e et podukt, hvo den ene fakto simplee ved diffeentiation, og den anden fakto ikke blive væe ved integation. f ( x) blive Deved e de håb om, at det nye integal blive lettee at bestemme. 33

140 . Integation Indskudsegel b a c f ( x) dx = f ( x) dx+ f ( x) dx Ande egle b a a c b a f ( x) dx = f ( x) dx og f ( x ) dx = b a a Man kan vise, at enhve funktion, de e kontinuet i et inteval I ha en stamfunktion i dette. Imidletid e det ikke altid muligt at finde en stamfunktion udtykkes ved de sædvanlige x funktione. Eksempelvis kan man vise, at e dxikke kan udtykkes ved de sædvanlige funktione. Det følgende eksempel belyse beegningene dels uden dels med lommeegne Eksempel. Integation uden benyttelse af lommeegne. Beegn a) ( 3x 4x ) dx b) ( x sin( ) + + ) x x e dx c) cos( x ) dx Løsning: Ved benyttelse af lineaitetseglen fås: a) x x 3 ( 3x 4x ) dx = 3 4 x = ( ) = b) ( x ) 4 4x sin( x) + 3x + 4 e dx = sin( x) dx + 3 x dx + 4 e dx 3 4x cosx x e 3 4x = ( ) = cos( x) + x + e 3 4 c) cos(x-) e en sammensat funktion cosu hvo u = x Idet du = dx dx = du fås cos( x ) dx = cosu du = cosudu= sin u = sin( x ) 3 Eksempel.. Integation med lommeegne Find + a) x 4x 5dx b) x + dx x + x 6 c) x sin xdx 34

141 Løsning: Integaltegnet findes på TI 89 ove tallet 7. a) (x (4x^+5),x,,6) Resultat: 6.6 Uden lommeegne: x + 5 e en sammensat funktion u hvo u= 4x + 5 Idet du = 8xdx, dvs. xdx = du fås 8 u 4x + 5dx = u du = u du 8 8 = = ( 4x + 5) ln( x + x 6 ) b) ((x+)/(x^+x-6),x) ENTER Resultat: 3.4. Bestemt integal c) (x*sin(x),x) ENTER Resultat: sin( x) x cos( x) Uden lommeegne: Da integanden e et podukt af to funktione, og den ene fakto x blive simplee ved diffeentiation og den anden fakto sin x ikke blive væe ved integation, kan man med fodel anvende delvis integation, Idet sin xdx = cos x fås x xdx x x x dx x x x sin = cos ( cos ) = cos + sin.4. Bestemt integal Lad os betagte et legeme L, de bevæge sig langs en et linie. Vi tænke os nu, at vi til ethvet tidspunkt kende legemets hastighed v(t) som funktion af tiden. Hvis hastigheden e konstant v m/s, vil legemet i et tidsum på t sekunde bevæge sig x = v t mete. Eksempelvis hvis hastigheden va 5m/s, så vil legemet i 3 sekunde gennemløbe en vejstækning på 5 mete. Hvis hastigheden ikke e konstant, så e det staks mee kompliceet at beegne den vejstækning de gennemløbes i et givet tidsum. Følgende eksempel belyse dette. Eksempel.3 Tilbagelagt afstand Lad et legeme L bevæge sig langs x-aksen således, at dens hastighed v til tiden t (målt i sekunde) e bestemt ved v( t) = t (målt i m/s). Til tiden t = antages L at væe i begyndelsespunktet O med x = og v =. Til t = e L i punktet A med v= (m/s) og til tiden t = 4 e L i punktet B med v= (m/s). Vi ønske nu at beegne afstanden mellem A og B. 35

142 . Integation Føst beegne vi en tilnæmet vædi fo AB ved at foetage en opdeling af tidsummet fa t = til t = 4 Vi dele op i 3 tidsintevalle på hvet t = I tidsummet fa t = til t = e hastigheden ca. sekund. v( ) = m/s og den tilbagelagte vejlængde e ca x t m. Tilsvaende findes at fa t = til t = 3 e m v( ) = = x v( ) t = 3 og fa t = 3 til t = 4 e x3 v 3 t m 3 () = = I alt blive afstanden fa A til B ca. AB x + x + x3 = + + = m 3 3 Dette kan anskueliggøes ved omstående tegning i et t - v koodinatsystem. Det ses, at det fundne skøn fo den afstand AB som legemet L tilbagelægge e lig med aealet af de skaveede aeale. En bede tilnæmelse til AB vil væe, at foetage en finee inddeling af tidsummet fa t = til t = 4. Opdeles således i 6 delintevalle femfo ovennævnte 3 fås AB v( ) t + v( 5. ) t + v( ) t... + v( 35. ) t = = = Det tilsvaende skaveede omåde (se figuen) blive mee fintakket 36

143 .4. Bestemt integal Kaldes delepunktene t =, t = 5,, t =,..., t5 = 35. og delintevallene t i = kan summen 5 5 skives vt ( i ) t = ti t i= i= Vi kan se, at jo flee delintevalle vi indskyde, jo mee fintakket blive kuven, og jo mee næme den søgte afstand sig til aealet unde linien. Dette aeal må defo væe AB = (hele tekantens aeal - den lille tekants aeal) 4 = 375. Legemet bevæge sig defo 3,75 mete i tidsummet fa t = til t = 4 Som det femgå af eksempel.3 kan en sum af uendelig mange led godt have en gænsevædi Definition af middelsum. Lad de væe givet en eel funktion f de e defineet i et inteval [a ; b]. De vælges nu en inddeling af intevallet [a ; b] i n delintevalle med længde x, x,..., x n. I hvet delinteval vælges endvidee et punkt, hvoi f e defineet. Punktene betegnes x, x,..., x n. n Heefte e vi i stand til at danne støelsen f ( xj) xj, som kaldes en middelsum fo f i intevallet [a ; b]. j= Fig... Summen af ektanglenes aeale (egnet med fotegn) e en middelsum fo f i [a;b]. Definition af bestemt integal Hvis middelsummen n j= f ( x ) x j j ha en gænsevædi, nå inddelingen gøes finee og finee, sådan at længden af det støste delinteval gå mod, så kaldes denne gænsevædi det bestemte integal f ( x) dx. (integalsymbolet b a e et aflangt S, som stå fo sum) 37

144 . Integation I eksempel.3 fandt vi således, at 4 tdt = 375. Hvis vi i eksempel.3 havde betagtet et inteval fa til t, havde vi fundet, at t tdt = t 4 (aealet af den skaveede tekant) Vi se, at de i dette tilfælde gælde, at t = t, dvs. at diffeentiee vi esultatet på høje 4 side, så få vi funktionen unde integaltegnet (integanden). Vi se, at de e en sammenhæng mellem det bestemte integal og det ubestemte integal Sætning. (bestemt integal udtykt ved stamfunktion) Lad F væe en stamfunktion til en kontinuet funktion f i intevallet [a; b]. b Så gælde f ( x) dx = [ F( x) ] b = F( b) F( a). a a Bevis:. Lad a = x < x < x <... < xn = b væe en inddeling af [a;b]. Vi ha da Fb ( ) Fa ( ) = Fx ( ) Fx ( ) + Fx ( ) Fx ( ) Fx ( n) Fx ( n ). Af diffeentialegningens middelvædisætning fås nu, at de eksistee tal t, t,..., t n t ] x; x], t ] x; x],..., tn ] xn ; xn], så F( b) F( a) = F ( t) ( x x) + F ( t) ( x x) F ( tn) ( xn xn ) = f ( t) ( x x) + f ( t) ( x x) f ( tn) ( xn xn ) Vi se altså, at Fb () Fa () kan skives som en middelsum svaende til en vilkålig inddeling af [a;b]. Gøes inddelingen finee og finee, sådan at længden af det støste delinteval gå mod, vil middelsummen b konvegee mod f ( x) dx og samtidig væe lig med Fb () Fa (). Demed e sætningen bevist. a SÆTNING.3 Aeal af punktmængde Lad f og g væe kontinuete funktione i intevallet [a; b] og lad f ( x) g( x) og lad M væe punktmængden mellem gafene fo f og g og liniene x = a og x = b. (skaveet på figu.). De gælde da: b Aeal af M = ( f ( x) g( x)) dx a Fig... Punktmængde 38

145 .4. Bestemt integal Bevisskitse: Som det kan ses af definitionen på bestemt integal og eksempel. gælde det fo en positiv funktion f(x), at b f ( x ) dx= aealet af den punktmængde, som e a begænset af gafen fo f, x - aksen og liniene x = a og x = b (det skaveede omåde på figu.3) E både f og g positive som på figu. ses umiddelbat, at aealet kan fås b b ved f ( x) dx g( x) dx. a a Af sætning. fås nu, b b b f ( x) dx g( x) dx = Fb) Fa) ( G( b) G( a)) = F( b) G( b) F( a) G( a) = ( f ( x) g( x)) dx a ( ) a E de to funktione ikke begge positive, så kan man altid ved at lægge en passende konstant k til begge funktione søge fo at f ( x)+ k > og gx ( )+ k>. Da en paallelfoskydning ikke ænde aealet mellem kuvene, fås aeal b ( f ( x) + k) ( g( x) + k) dx = ( f ( x) g( x)) dx b af M = ( ) a a Fig.3. Punktmængde a Eksempel.4 Aeal af punktmængde Find aealet af den punktmængde på figuen, de e begænset af gafen fo funktionen f ( x) = x +, 4 x - aksen og liniene x = og x = 5. Løsning: Som det femgå af sætning. e aealet bestemt ved 5 A= x + dx 4 Da ( 4 ) A= x x + dx = x + x, fås x = + = 3 f ( x) = x + 4 TI89: Integaltegnet findes på TI 89 ove tallet 7. (/4*x^+,x..5) ENTER Resultat: 43/3 Det følgende eksempel belyse beegningene dels uden dels med lommeegne 39

146 . Integation Eksempel.5 Integation uden benyttelse af lommeegne. Beegn 3 a) ( 3 + 5) b) ( 4 x x + ) x x dx e e dx Løsning: Ved benyttelse af lineaitetseglen fås: x x x+ 5 dx = x + 5x 4 3 a) ( ) = = 4 x x e e = 4 + = e e = e e x x b) ( e e ) dx ( ) Eksempel.6. Integation med lommeegne 6 a) Find x 4x + 5dx x + b) Find dx x + x 6 Løsning: Integaltegnet findes på TI 89 ove tallet 7. a) (x (4x^+5),x,,6) Resultat: 6.6 b) ((x+)/(x^+x-6),x,,) ENTER Resultat: ln 3 Eksempel.7. Aeal mellem kuve og x-akse 4 3 Givet funktionen f ( x) = 8x 4x x + x ) Skitse gafen fo f(x) (Benyt lommeegne) ) Beegn det samlede aeal af de to omåde, de begænses af funktionen f(x) og x - aksen Løsning: ) Gafen tegnes på lommeegne Vælg Y=, y(x)= Skiv 8x^4-4x^3-x^+x ENTER a) Vælge GRAPH og funktionen tegnes. b) Vælge WINDOWS og afpasse støelsen af tegnevinduet ved at sætte xmin = - og xmax =. Skitse af gaf: 4

147 .5. Numeisk integation ) De blive to omåde, hvis aeal skal bestemmes. Fo at kunne det, må man finde gafens nulpunkte. TI-89: solve(8*x^4-4*x^3-*x^+x=,x) Resultat: x=-½ o x= o x=/ Ifølge sætning 7. findes aeal ved at integee øveste funktion - nedeste funktion. Den ene funktion e x = (x-aksen ) og den anden e f(x). Vi ha defo Aeal = ( (8 x 4x x + x)) dx+ (8 x 4x x + x ) dx = + = Eksempel.8. Aeal mellem kuve Beegn aealet af den lukkede punktmængde, som begænses af kuven linie 3x y = 5. y = x x Løsning: 3 5 3x y = 5 y = x Man finde skæingspunktene mellem kuvene solve (/x-/x^=3/*x-5/,x) Skæingspunkte x = /3, x =, x = - De to kuve tegnes på lommeegneen. Y= y(x)= /x-/x^ ENTER Y=, y(x)= 3/*x-5/ ENTER Begge kuve e nu makeede, og vælges GRAPH blive de tegnet. Man se på tegningen den lukkede punktmængde, at linien ligge nedest og at det e skæingspunktene x = /3, x = de e afgænsningen. 3 5 (/x-/x^-(3/*x-5/),x,/3,) A = x dx = 3 4 ln = x x 3 3 og den ette.5. Numeisk integation Selv om en funktion e kontinuet og demed integabel, e det ikke altid muligt at finde en stamfunktion udtykt ved de sædvanlige funktione. Eksempelvis kan man vise, at det ikke e x muligt at finde e dx. Det bestemte integal e dxkan defo kun findes ved at benytte en såkaldt numeisk metode. Sådanne metode give så omfattende egninge, at det i paksis e nødvendigt at anvende et pogam fo at få esultatet med tilstækkelig nøjagtighed. Metodene basee sig på, at opdele integationsintevallet i n delintevalle, og så indenfo det enkelte inteval estatte kuven med eksempelvis en et linie (tapezmetoden) elle bede med en paabel som figuen vise (Simpsons metode) x 4

148 . Integation Fig..4 Kuven tilnæmes ved paable (stiplede). Eksempel.9 Numeisk integation ) Undesøg om lommeegneen kan finde en stamfunktion til e dx. x ) Beegn e dxmed 4 betydende cife Løsning: ) (e^(x^),x) Resultat: Svae med samme integal, så kan ikke finde en stamfunktion ) (e^(x^),x,,) Resultat: 6.45 x.6 Rumfang af omdejningslegeme Lad f væe en kontinuet funktion i intevallet fa a til b. Vi deje dens gaf 36 omking x - aksen og søge umfanget af det deved femkomne omdejningslegeme (se figu.5) Rumfanget af en tynd skive vinkelet på x - aksen gennem punktet med føste-koodinaten x, kan beegnes som umfanget af en cylinde med adius f ( x) og højde dx. Rumfanget af skiven e da π ( f x ) ( ) dx Rumfanget V af hele omdejningslegemet fås da ved at summee ove alle sådanne skives umfang. Dette føe til følgende fomel b f ( x) dx V = π ( ) a f ( x) Fig..5. Omdejningslegeme () 4

149 .6.Rumfang af et omdejningslegeme Lad f og g væe funktione i et inteval fa a til b, og lad os antage, at f ( x) g( x) og a Lad M væe punktmængden mellem gafene fo f og g og liniene x = a og x = b (se figuen) Dejes M om x - aksen blive umfanget b V x = π ( ( )) π ( ( )) a b f x dx g x dx a () Eksempel.9 Omdejningslegeme om x-aksen Lad A væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,x-aksen og liniene x = og x =. Lad B væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,y-aksen og liniene y = og y =. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå A dejes 36 omking x - aksen. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå B dejes 36 omking x - aksen. Løsning Omådet A skitsees (se figuen). ) Dejes A om x-aksen fås (af fomel ()) x 5 VA = π ( x) dx = π = π = ) B deles op i ) et ektangel B begænset af y-aksen og linien x = og ) omådet B begænset af liniene x = og x =. 43

150 . Integation Af fomel () fås nu π. dx π x dx = π + π x dx = π + π = π = V B = ( ) + ( ) ( 4 ) Dejning om y-aksen Skal man tilsvaende deje det på figuen makeede omåde om y - aksen så blive fomlen f ( b) V y = π f ( y) dy (3) f ( a) ( ) Dejes det af to funktione f og g begænsede omåde M omking y- aksen blive umfanget b V y = π x( f ( x) g( x) ) dx (4) a Bevisskitse: En smal stimmel af bedden dx paallel med y-aksen føes ved dejning om y - aksen undt i en cylindeskal af tykkelsen dx, højden f(x) - g(x) og adius x (se figuen) Denne cylindeskal ha defo umfanget πx( f ( x) g( x) ) (cylindeskallens aeal ganget med dens tykkelse) Det samlede umfang findes deefte ved integation.. Eksempel. Omdejningslegeme om y-aksen Lad A væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,x-aksen og liniene x = og x =. Lad B væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,y-aksen og liniene y = og y =. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå B dejes 36 omking y - aksen. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå A dejes 36 omking y - aksen. Løsning Omådene skitsees ) Dejes B om y-aksen betagtes den omvendte funktion. y y π 5 4 y y = x x = Af fomel (3) fås V B = π π dy = = y dy ) Af fomel (4) fås V A = 3 x π x( f ( x) g( x) ) dx = π x ( x ) dx = x dx = 5 = 5 5 3π = = = π =

151 Opgave til kapitel.. (uden hjælpemidle) Beegn (educe integanden føst) Opgave til kapitel a) x xdx b) c) d) 3 x dx ( cos( 3 x ) + 4sin( 4 x )) dx 3x e dx. (uden hjælpemidle) 4 π x 3 Beegn a) dx cos x b) c) x sin x dx dx x +.3. Find x e x a) cos x 3sin x+ dx b) dx c) xe dx x e +.4 Find med 3 betydende cife 4 ln x a) b) c) x dx 4 x xdx ln x 3x dx.5 (uden hjælpemidle) Find aealet begænset af gafen fo funktionen f ( x) = x samt liniene x = og x = 4..6 (uden hjælpemidle) Find aealet begænset af gafen fo funktionen y = 4. f ( x) = x samt liniene x =, y = og 3.7 Gafen fo funktionen f ( x) = x x + x og x - aksen afgænse et lukket omåde A. a) Skitse gafen og skave omådet A. b) Beegn aealet af A Gafene fo funktionene f ( x) = x 6x og f ( x) = 5x afgænse lukkede omåde A og B. Beegn aealene af A og B..9 (uden hjælpemidle) a) Tegn gafene fo funktionene f ( x) = 3x x og gx ( ) = x 3 b) Gafene begænse en punktmængde M. Find aealet af M.. Find umfanget af det omdejningslegeme, de femkomme nå den punktmængde, de 3 begænses af gafen fo funktionen f ( x) = x x og x-aksen dejes 36 om x - aksen. 45

152 . Integation. Lad de væe givet funktionen f ( x) = ( x) x a) Find aealet af den omåde, de begænses af kuven og x - aksen. b) Find umfanget af det omdejningslegeme, de femkomme nå det i spøgsmål ) nævnte omåde dejes 36 om x - aksen.. Givet funktionen f ( x) = x, x a) Find ligningen til tangenten til gafen med øingspunkt P = (,). Punktmængden begænset af gafen, x - aksen og tangenten kaldes M. (skaveet på figuen) b) Find aealet af M. c) M otees 36 omking X - aksen, hvoved de femkomme et omdejningslegeme. Bestem dette legemes umfang V x. d) M otees 36 omking Y - aksen, hvoved de femkomme et nyt omdejningslegeme. Bestem dette legemes volumen V y..3 (uden hjælpemidle) Omådet begænset af gafene fo funktionene f ( x) = 3 x og gx ( ) = x + dejes 36 om x - aksen. Find umfanget af det femkomne omdejningslegeme..4 a) Skitse omådet A begænset af gafen fo funktionen f ( x) = x x, y - aksen, og linie y = b) Find aealet af A c) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå omådet A dejes 36 om x - aksen. 4 46

153 3. Diffeentialligninge af. oden 3. Diffeentialligninge. 3. Diffeentialligninge af. oden 3... Indledning. En diffeentialligning e en ligning hvoi de indgå en ukendt funktions afledede. Ved en diffeentialligning af. oden fostås en ligning, hvoi de indgå en ukendt funktions. afledede, men ingen højee afledede. Et simpelt eksempel på en diffeentialligning e følgende. Eksempel 3.. Fit fald Vi ved fa kinematikken, at i et tyngdefelt e acceleationen konstant g. d Vi ved defo, at fo hastigheden v gælde v = g elle v() t = g hvo g = 9.8m/s dt Dette e en diffeentialligning, hvo vi søge den ukendte funktion v. Den fuldstændige løsning til denne diffeentialligning e v = g t+ k, hvo k e en vilkålig konstant. Det e altså uendelig mange løsninge til denne diffeentialligning. Hvis hastigheden til tiden t = e v, så kan vi ved indsættelse bestemme k. v = g + k k = v Vi ha følgelig fundet en patikulæ løsning v = g t+v. Af eksempel 3. ses, ) En diffeentialligning kan have uendelig mange funktione som løsning. Ønskes den fuldstændige løsning til diffeentialligningen menes, at vi skal angive alle løsninge. ) Sædvanligvis e man kun inteesseet i en enkelt af de uendelig mange løsninge. En sådan kaldes en patikulæ løsning. 3) I eksempel 3. fandt vi den patikulæe løsning ved at vi til stattidspunktet t = kendte begyndelseshastigheden v. Man sige defo at den patikulæe løsning e bestemt ved en begyndelsesbetingelse. Da de fleste diffeentialligninge i paksis e løsninge til pobleme hvoi de indgå hastighede unde en elle anden fom, så vil tiden t sædvanligvis væe den uafhængig vaiable ligesom i eksempel 3.. dy Man vil ved anvendelsene også sædvanligvis foetække at skive femfo y () t. dt dy En diffeentialligning kan således dels skives y () t = y() t + tdels = y+ t dt Da det jo imidletid e tadition i matematikken fo, at vælge bogstavet x som den uafhængige vaiable og y som den uafhængig vaiable vil vi også kunne skive samme diffeentialligning y ( x) = y( x) + x elle kotee y = y+ x. 47

154 3. Diffeentialligninge Et eksempel på en diffeentialligning af anden oden e den fa kinematikken kendte vil kot behandle en enkelt type af sådanne diffeentialligninge i et senee afsnit. s () t = g Vi vil i det følgende behandle en ække fo anvendelsene vigtige type af diffeentialligninge. 3.. Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = b Vi vil i dette afsnit se på diffeentialligninge af typen y ( x) + a y( x) = b, hvo a og b e konstante.. Vi Sætning 3. Lineæ diffeentialligning med konstante koefficiente og høje side. Den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y ( x) + a y( x) = b, hvo a og b e konstante. e givet ved b yx ( ) = + Ce ax, a hvo C e en vilkålig (abitæ) konstant Bevis: y ( x) + a y( x) = b ax ax y ( x) + a y( x) e = b e (gange med samme tal e ax på begge side) [ ] [ yx e ax ] = b e ax ( ) [ ] ax ax ax b yx e b e dx C yx e a e ax ( ) ( ) C = + = + b yx ( )= + C e ax a = [ ] (ses af, at yx e ax ax ax ax ( ) y ( x) e + a y( x) e = y ( x) + a y( x) e ) (integation, hvo C e en konstant) (division med e ax på begge side) () Eksempel 3.. Radioaktivt henfald Ekspeimente vise, at et adioaktivt stof henfalde med en hastighed, de e popotional med dens mængde y(t) til ethvet tidspunkt t. Vi ha følgelig, at y () t = k y() t, hvo k e en konstant. Fo et bestemt stof e k = -., dvs. vi ha y () t =. y() t a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y () t =. y() t. () b) Lad os antage, at begyndelsesmængden e gam, dvs. vi ha begyndelsesbetingelsen y() =. Find den patikulæe løsning, de svae til denne begyndelsesbetingelse. c) Find tilsvaende de patikulæe løsninge, de svae til en begyndelsesmængde på 3 gam og 5 gam d) Skitse svaende til ovennævnte 3 løsninge de 3 løsningskuve i samme koodinatsystem. Løsning: a) Vi ha y () t =. yt () y () t +. yt () = Indsættes i fomlen fo a =. og b = fås den fuldstændige løsning: y = C e b) Indsættes t = og y = fås = Ce dvs. C =. Patikulæ løsning: y e = t.. t. t c) Analogt som unde punkt b) fås nu y = 3 e og y = 5 e. t 48

155 3. Diffeentialligninge af. oden Ti 89: a) F3/ C: desolve(y =-.*y),t,y) Resultat: y = C e Bemæk: I y findes mæket ove tasten = t b) F3/ C: desolve(y =-.*y and y() =,t,y) Resultat: y = e and findes unde MATH, Test t Eksempel 3.3. Eksponentiel vækst Lad y(t) betegne støelsen til tidspunktet t af en population (en befolkning, en bakteiekultu, antal mus på en ø). Hvis de e maksimale livsbetingelse (tilstækkelig næing, god plads, ingen fouening fa affaldsstoffe osv. ) kan vi antage, at den hastighed populationen vokse med e popotional med støelsen af populationen. Vi ha demed diffeentialligningen y () t = k y Dette e den samme diffeentialligning som i eksempel 3., så vi ha defo, at den fuldstændige løsning y = C e kt Fo i den konkete situation at kunne bestemme C og k må man optælle antallet af individe til foskellige tide. Til t = dage talte man 5 individe og til t = dage talte man individe. a) Bestem konstantene C og k. b) Hvo mange individe e de efte dage. c) Angiv hvo lang tid det tage populationen at fodoble sig. Løsning. k a) 5 = Ce C= 5 = 5 k e e = 4 k = ln 4 k = b) t = y = 5 e = 5699 ln ln c) Populationen fodobles på dage. k =. 693 = 49

156 3. Diffeentialligninge Eksempel 3.4. Legemes tempeatu ved køling De gælde følgende fysisk lov: Ændingen i et legemes tempeatu e popotional med tempeatufoskellen mellem legemet og omgivelsene. E legemets tempeatu til tiden t væe y(t) og omgivelsenes tempeatu T fås defo følgende diffeentialligning: y = k( y T), t >, hvo k e en konstant. a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y = k( y T), t > b) Et glas vam chokolade stå i et lokale, hvis tempeatu e C. Chokoladens tempeatu måles til foskellige tidspunkte. Tid t i min 4 Tempeatu i C ) Bestem den løsning, de e bestemt ved, at (t, y) = (,85) og (t, y) = (, 77.7) ) Beegn tempeatuen y fo t = 4, og vude om den i spøgsmål b) fundne model e tilfedsstillende. 3) Hvo vam e chokoladen efte minuttes foløb? 4) Skitse gafen Løsning: a) y = k( y T) y k y = k T Af sætning 3. fås idet a = k og b = k T k T kt kt y = + Ce y = T+ Ce k b) Idet T = fås, at y = + C e kt b) Indsættes (t, y) = (,85) fås : 85 = + C C = 65 Indsættes (t, y) = (, 77.7) fås k k = + 65 e e = k = ln k = t Løsning: y = + 65 e b) Indsættes t = 4 fås: y = + 65e = 7. C Det ses, at passe pænt med den målte vædi b3) y = y = + 65e. 596 = 558. C b4) Det ses (ikke oveaskende), at tempeatuen af chokoladen næme sig stuetempeatuen 5

157 Eksempel 3.5. Elektisk kedsløb I Indledning: Vi kende alle Ohms lov: E = R i, hvo E e spændingsfoskellen, R e en modstand og i e stømstyken. Indsættes de ydeligee en spole i kedsløbet (se figuen) så vil en sådan spole inducee en modelekomotoisk kaft, de e popotional med hvo hutig stømstyken ænde sig. Popotionalitetsfaktoen L kaldes selvinduktionskoefficienten. 3. Diffeentialligninge af. oden Man ha defo at stømstyken i opfylde følgende diffeentialligning: Li () t + Rit () = Et () Eksempel: a) Lad L =. Heny, R = 5 ohm og lad et 5 volt battei give den elektomotoiske kaft. Lad endvidee i() =. ) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen. ) Find i(t) i tilfældet i() =. 3) Skitse den i spøgsmål fundne løsning Løsning: a) Diffeentialligning. i + 5i = 5 Ved division med. fås : i + 5i = 5 Af sætning 3. fås idet a = 5 og b = Fuldstændig løsning: i Ce i 5t = + i = 3+ Ce 5 a) Løsning gennem (t, i) = (,) : 5 t = 3+ Ce C= 3 it ()= 3 3 e a3) Havde man kun haft en modstand i kedsløbet ville stømstyken jo ifølge Ohms lov væe 5 i = = = 3ampee. E R 5 Spolen danne en modelektomotoisk kaft, de kun vae, så længe stømstyken vokse. Dette stemme med, at stømstyken vokse meget hutigt fa til (næsten) 3 ampee. 5

158 3. Diffeentialligninge 3..3 Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = q( x). Vi vil i dette afsnit se på det tilfælde, at høje side ikke e en konstant, men en funktion qx ( ) af x, dvs. y ( x) + a y( x) = q( x), hvo a e en konstant. Diffeentialligninge hvo høje side e konstant e altså et specialtilfælde af denne type. Sætning 3. Lineæ diffeentialligning med konstante koefficiente Den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y ( x) + a y( x) = q( x), hvo a e en konstant e givet ved ax ax ax yx ( ) = e qx ( ) e dx+ Ce, hvo C e en vilkålig (abitæ) konstant () Beviset e analogt til beviset fo sætning 3. og vil ikke blive anføt he. Som det ses af sætningen kæve løsningen en integation. Det kan let foetages ved anvendelse af TI89, men lettee e det at benytte desolve som kan løse alle diffeentialligninge. Som det ses af eksempel 3.7 give desolve ofte uimeligt kompliceede udtyk, som man e nødt til at educee ved håndskift, da man elles ikke kan oveskue løsningen. Eksempel 3.6. Lineæ diffeentialligning Lad de væe givet diffeentialligningen y + y = e 3x a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen. b) Find den patikulæe løsning, de e bestemt ved, at til x = e y =. Løsning: a) F3/ C: desolve(y +*y =e^(-3x),x,y) Resultat: y C e = x e Bemæk: I y findes mæket ove tasten = = b) F3/ C: desolve(y +*y =e^(-3x) and y() =,x,y) Resultat: ( x ) and findes unde MATH, Test 3x y e e 3x Eksempel 3.7. Elektisk kedsløb II I eksempel 3.5 betagtede vi det på figuen angivne RLkedsløb Vi fandt, at i opfylde følgende diffeentialligning: Li () t + Rit () = Et () 5

159 3. Diffeentialligninge af. oden Vi vil nu betagte det tilfælde, hvo vi lade den påtykte elektomotoiske kaft E væe en vekselspænding R E() t = A sin( ω t), hvo ω = L Lad L = Heny, R = ohm og A = volt. Lad endvidee i() =. a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen. b) Find i(t) i tilfældet i() =. c) Omskiv løsningen til en svingning af fomen i = Asin( ωt+ ϕ) fo t sto. Løsning: a) Diffeentialligningen blive : i + i = sin t Ved division med fås : i + 5i = sin( 5t) F3\ C: desolve(y +5*y =*sin(5*t),x,y) 5 t 5 t 5 t Resultat: ( cos( 5 ) sin 5 ) ) e e t e t C y = t t Dette skækkelige udtyk kan nemt educees til y = (cos5 sin 5 ) + Ce t t Fuldstændig løsning i = (cos5 sin 5 ) 5 + Ce t b) Løsning gennem (t, i) = (,) : F3\ C: desolve(y +5*y =*sin(5*t) and y()=,x,y) 5t 5t 5t Resultat: ( cos( ) sin ) ) e e t e t y = Kan let educees til: i =.(cos5t sin 5t) +. e t 5 t c) Som det ses, falde leddet. e hutigt mod, så output hutigt blive det stationæe led. F\9:Tig\ tcollect( He kopiees esultatet ove uden leddet med C ) π Resultat it () = cos5t+ 4 Da vekselspændingen va en sinus - svingning (og man ikke lide en negativ amplitude), så kan π cosv = sin v man benytte, at ( ) og deved få, it () = sin t π 5 4 dvs. en svingning med amplituden og fasefoskudt i fohold til input. (jævnfø eventuelt afsnit om svingninge.) π 4 5 t 53

160 3. Diffeentialligninge Logistisk vækst Lad y(t) betegne støelsen til tidspunktet t af en population (en befolkning, en bakteiekultu, antal mus på en ø). Hvis de e maksimale livsbetingelse (tilstækkelig næing, god plads, ingen fouening fa affaldsstoffe osv. ) kan vi antage, at den hastighed populationen vokse med e popotional med støelsen af populationen (se eksempel 3.3). På et tidspunkt vil tilvæksten imidletid begynde at aftage på gund af mangel på plads, mangel på mad og en ophobning af affaldsstoffe. Hvis det støst mulige befolkningstal e a, så e det imeligt at antage, at hastigheden tillige e popotional med afstanden til a, dvs. y () t = k y ( a y), < y < a Løsningskuvene kaldes fo logistiske kuve og umiddelbat ud fa poblemstillingen må de få en S-fom, hvo de i staten stige eksponentielt, men til sidst langsomt næme sig til linien y = a.. Eksempel 3.8. Logistisk vækst a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y () t = k y ( a y), < y < a b) Fo at bestemme k og a optælles nu fo antal individe til foskellige tide. Til t = dage talte man y = 5 individe Til t = dage talte man individe Til t = 8 dage talte man 95 individe Find k og M c) Skitse den i spøgsmål fundne funktion, og find det antal individe man må fovente fo t =. Løsning: akt ) desolve(y =k*y*(a-y),t,y) Resultat: a e y = akt e + a C a Dette esultat educees (manuelt) til det lidt simplee udtyk y = + a Ce akt ) Det simpleste ville væe at lade TI 89 løse 3 ligninge med 3 ubekendte, men den give op, så vi må benytte indsættelsesmetoden. Vi estatte Ti89's abitæe konstant med c i de følgende egninge. Indsættes y= 5 og t = og løses m.h.t. c fås 5 = a a a + ac = ac = + a c 5 5 a Indsætte c i esultatet fås y = () a + e akt 5 t =, y = indsættes i () og de løses m.h.t. k: solve(y= a/(+(a/5-)*e^(a*k*t)),k) t = and y = 4( a 5 ln Resultat: a a 5 k = and > Da a > e uligheden opfyldt. a a t = 8, y = 95 og vædien af k indsættes i () og ligningen løses med hensyn til a solve(y= a/(+(a/5-)*e^(a*k*t)),k) t = and y = and k=ln(4*(a-5)/(a-))/(-a) Resultat a =

161 3. Diffeentialligninge af. oden Resultatet sættes ind i vædien fo k: ln(4*(a-5)/(a-))/(-a) a= Resultat k =.859 a indsættes i C = a 5 a (a-5)/(5*a) a= Resultat C = c) Lommeegneens gaffunktion vise Vinduet sættes til <x<, <y<35, og man vælge zoomstdv fo at få samme enhed på aksene Indsættes de fundne vædie i funktionsudtykket fås fo t = at y = Numeisk løsning Det e ofte umuligt at angive eksakte udtyk fo løsningen y(x). Imidletid kende man jo i ethvet punkt (t, y) diffeentialkvotienten, og det kan man udnytte til gennem et stot antal punkte at tegne et kot liniestykke med den kendte hældning (kaldes linieelementet i punktet). Dette vil så give os et indtyk af løsningskuvenes udseende. Eksempel 3.9. Gafisk løsning af diffeentialligning Lad de væe givet diffeentialligningen y = y+ x ) Tegn i et koodinatsystem linieelementene gennem punktene A=(x, y)=(-,), B=(x, y) = (, ) og C= (x, y) = (, ) ) Tegn ved hjælp af et edb - pogam et stot antal linieelemente, og skitse på basis heaf løsningskuven gennem punktet (,) 3) Ud fa figuen synes en bestemt løsning tydelig. Angiv funktionsudtykket fo denne løsning, og vis ved indsættelse i diffeentialligningen, at denne e en løsning.. Løsning: ) Ved indsættelse af punktene i diffeentialligningen kan vi finde hældningskoefficienten y = α. A=(x, y)=(-,): y = y =, dvs. ( x, yα, ) = (,, ) B=(x, y) = (, ): y = + y = dvs. ( x, y, α ) = (,,) C= (x, y) = (, ): y = + y = 3 dvs. ( x, y, α ) = ( 3,, ) De 3 linieelemente ses på figu. 55

162 3. Diffeentialligninge Fig. 3. Nogle linielemente ) Tegnes et stot antal linieelemente f.eks. ved at benytte TI - 89 fås figu 3.. På basis af disse linieelemente e tegnet et pa kuve, som kunne synes, at have disse linieelemente som tangente, og som defo kunne væe løsningskuve fo diffeentialligningen. I TI-89 tegnes linieelementene på følgende måde:: MODE\ GRAPH = Diff.Equations\ ENTER\ \ Y= t+y\ ENTER\ yi = Bemæk: y ikke y, t og ikke x og man kan ikke udelade gangetegn Windows\ t =, tmax =, TSTEP =., tplot=, XMIN =-6, XMAX=5,... YMIN =-, YMAX=5, osv. ENTER., Gaf (få måske kun koodinatsystem) (Gaf Fomat), Axes on, Labels on, Solution Methods, RK, Fjelds = Fldiff, ENTER 3) Af figuen synes den ette linie med ligningen y = x at væe en løsning. Dette vises ved indsættelse i diffeentialligningen y = y+ t. Idet ( t ) =, fås = ( t ) + t =, dvs. påstanden e bevist. Beegning af støttepunkte fo løsning Som eksempel 3.9 vise, kan linielementene give et umiddelbat indtyk af løsningskuvenes foløb. Ønske man en tabel ove en løsning bestemt ved begyndelsesbetingelsen ( x, y ), ske det ved ud fa punktet ( x, y) at beegne et tilnæmet nabopunkt ( x, y ) ud fa dette et nyt punkt ( x, y) osv. Dette e et betydeligt egneabejde, som defo kæve et edb- pogam TI 89 ha indbygget to metode, 56

163 3.6 Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente Eules metode som e den de e nemmest at fostå, og beegne, men ikke sælig nøjagtig, og Runge Kutta's metode som e besvælig at fostå og beegne, men mee nøjagtig. Eules metode bygge på, at man ud fa begyndelsespunktet ( x, y ) beegnes det næste punkt ( x, y) ved at følge tangenten i P. Ud fa punktet ( x, y ) beegnes det næste punkt ( x, y) ved at følge tangenten i P., osv. (se figu 3.3) Fig 3.3. Eules metode Eksempel 3.. Numeisk løsning af diffeentialligning dy Lad de væe givet diffeentialligningen = y+ t, y() =, t [ ;] dt Benyt lommeegneens Runge-Kutta pogam til at finde y() med en skidtlængde på.5. Bemæk, at i TI-89 skal t og ikke x væe den uafhængige vaiable. Løsning: Statpunktet fo algoitmen e ( t, y) = (, ) MODE\ GRAF = Diff.Equations\ ENTER, Y= t+y ENTER. yi = Bemæk: y ikke y, og gange skal skives som * Windows, t =, tmax =, TSTEP =.5, tplot=,xmin =, XMAX=3,... YMIN =, YMAX=4, osv.enter. Man få tegnet en kuve. Tabelleing: (Gaf Fomat), Axes on, Labels on, Solution Medhods, RK, Fields = Fldiff, ENTER Catalog, Blddata ENTER, skiv unge, ENTER APPS,Data-Matix, NEW, Vaiable=eul, APPS,Data-Matix, Cuent De femkomme en matix t.5.5 y(t) , Gaf, 57

164 3. Diffeentialligninge 3. Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente Vi vil i dette kapitel begænse os til at se på lineæe diffeentialligninge af. oden af typen a y ( x) + b y ( x) + c y( x) = q( x) hvo a, b og c e konstante og q(x) e kontinuet i et inteval I Eksempelvis e y + 3 y + 6 y = sinx en sådan lineæ diffeentialligning af. oden. Sådanne diffeentialligninge med konstante koefficiente optæde ofte i anvendelsene, bl.a. ved behandlingen af svingninge (se eventuelt eksempel 3.3) Fo at få et indtyk af løsningenes stuktu, vil vi se på et meget enkelt tilfælde, hvo vi umiddelbat kan finde alle løsninge. Eksempel 3. Fuldstændig løsning til en enkel diffeentialligning af. oden. Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y 8 x = Løsning: y 8x = y = 8x y = 8xdx+ C y = 4x + C y = ( 4x + C ) dx 4 3 y = x + Cx+ C 3 I eksempel 3. fandt vi, at den fuldstændige løsning indeholdt (abitæe) konstante C og C. Det kan vises at gælde geneelt. Sædvanligvis vil man i paksis finde en bestemt blandt de uendelig mange løsninge. Da udtykket fo samtlige løsninge indeholde netop konstante C og C, skal de to betingelse til at fastlægge en bestemt løsning. Sædvanligvis vil man ved anvendelsene til stattidspunktet x kende patiklens beliggenhed yx ( ) og dens hastighed i stattidspunktet y ( x ). Man sige kot, at man ha givet begyndelsesbe- tingelsene. Det kan vises, at sådanne begyndelsesbetingelse entydigt fastlægge løsningen. Eksempel 3.. Patikulæ løsning til en enkel diffeentialligning Find den patikulæe løsning til diffeentialligningen y 8 x = som opfylde begyndelsesbetingelsen y() =, y () = Løsning: 4 3 Fa eksempel 3.9 kendes den fuldstændige løsning y = x + Cx+ C og y = 4x + C 3 4 Indsættes begyndelsesbetingelsen haves: 3 3 = + C + C C = 4 3. yt ()= x x+ = = 4 + C C 3 58

165 3.6 Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente Fuldstændig løsnings stuktu Den fuldstændige løsning til den diffeentialligningen a y ( x) + b y ( x) + c y( x) = q( x) ha følgende fom yx ( ) = y ( x) + Cy( x) + Cy ( x), hvo C og C e (abitæe) konstante. p () Diffeentialligningen a y ( x) + b y ( x) + c y( x) = () kaldes den til diffeentialligningen () svaende homogene diffeentialligning. De gælde, at den homogene diffeentialligning ha den fuldstændige løsning yh = C y( x) + Cy( x) Det betyde, at hvis man ville løse diffeentialligningen () manuelt state man med at løse (). Det e et let at finde den fuldstændig løsning yh = C y( x) + Cy( x) Kan man ved passende integatione finde en (patikulæ) løsning y p til (), så e den fuldstændige løsning til () blot y = y p + C y ( x) + C y ( x) Selv om vi ved at benytte TI89's desolve få den fuldstændige løsning med det samme, så e esultatet ofte så besvæligt, at en eduktion e nødvendig, og da kan det væe en fodel at dele løsningen op som beskevet ovenfo. Eksempel 3.3. Homogen lineæ diffeentialligning med konstante koefficiente a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y 4 y + y =, b) Find den patikulæe løsning, de opfylde begyndelsesbetingelsene y()= - og y () = c) Skitse den i b) fundne løsning. Løsning: a) Ti89: F3, C: desolve(y``-4*y`+*y=,x,y) x x () = cos( 4 ) + sin( 4 ) Resultat: yt Ce x Ce x b) Patikulæ løsning: desolve(y``-4*y`+*y= and y()=- and y`()=,x,y) Resultat: y e x x = sin( 4x) e cos( 4x) Ønskes omskevet til amplitude og fasefoskydning: F\9:Tig\ tcollect( e^(*x)*sin(4*x)-e^(*x)*cos(4*x) ) Resultat: e x π cos 4x+ 4 Fo at få en positiv amplitude benyttes, at -cos(v) =cos(v- π ), dvs x 3π y = e cos 4x 4 Gaf kan tegnes på TI 89: 59

166 3. Diffeentialligninge Eksempel 3.4 Inhomogen Diffeentialligning. a) Find samtlige løsninge til diffeentialligningen y + 6y + 4y = cos( x) () b) Find den løsning til diffeentialligningen () som opfylde begyndelsesbetingelsen y( ) = og y ( ) = Løsning: a) Ti 89: desolve(* y + 6*y'+4*y=sin(*x),x,y) x x x Resultatet: y = cos( ) 3 + sin( ) + Ce + Samtlige løsninge til diffeentialligningen x x yx ( ) = ( cos( x) + 3sin( x) ) + Ce + Ce Ce b) Ti 89: desolve(* y + 6*y'+4*y=sin(*x) and y()= and y ()=,x,y) x x x x Resultat: y = cos( ) 3 + sin( ) e e 5 4 Patikulæ løsning: 4 y ( x x ) e x 3 x = cos( ) + 3 sin( ) + e 5 4 Det ses, at den homogene løsning hutigt gå mod, så efte en vis tid ha man en en svingning. x () Anvendelse af diffeentialligning af. oden Som eksemple på anvendelse kan nævnes foskellige type svingninge, såsom det i nedenstående eksempel beskevne bevægelse af et lod. Et andet kaakteistisk eksempel e kedsløb hvo de e indskudt en kondensato, og som e påtykt en vekselspænding. Eksempel 3.5 Svingning med luftmodstand Et lod med massen m e fastgjot til en fjede. I statsituationen e systemet i ligevægt, idet den nedadgående tyngdekaft og den opadgående fjedekaft e lige stoe. (se figuen) Vi tække nu ned i loddet til en passende afstand, og slippe loddet. Loddet vil nu bevæge sig op og ned. Vi ønske at bestemme loddets bevægelse som funktion af tiden t. Lad os som på figuen indføe en y - akse. Til ligevægtstillingen svae y =, og til tiden t e loddet placeet i en afstand y(t) fa ligevægtstillingen (positiv nå loddet ligge unde og negativ nå loddet ligge ove ligevægtstillingen) Ifølge Newtons anden lov e Kaft = masse acceleation, dvs. K m d y =. dt Ifølge Hookes lov e fjedekaften popotional med afstanden fa ligevægtstillingen, dvs. K = k y, hvo k > 6

167 3.6 Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente Hamonisk svingning. Antage vi at dæmpningen (f. eks. luftmodstanden) e fosvindende, vil kaft de påvike bevægelsen, dvs. m d y = k y() t m d y + k y() t = dt dt Dette e en homogen diffeentialligning med konstante koefficiente. k Sættes = ω blive løsningen yt () = Acos( ω t+ ϕ) m væe den eneste K π ω Bevægelsen e en hamonisk svingning med en peiode på. Legemet udføe følgelig svingninge p. sekund. ω π Dæmpet svingning. Antage vi at dæmpningen ikke e fosvindende (Eksempelvis fodi loddet e bedt, elle bevægelsen foegå i vand), så e dæmpningskaften K 3 (med tilnæmelse) popotional med loddets hastighed og modsat ettet bevægelsen, dvs. K c dy 3 = dt Vi ha nu diffeentialligningen m d y k y t c dy m d = () y + c dy + k y() t =. Vi ha igen en homogen dt dt dt dt diffeentialligning. Vi kan nu dele op i 3 tilfælde I: Dæmpede svingninge. Dette tilfælde indtæffe, nå dæmpningen c e så lille, at c < 4 m k Samtlige løsninge til diffeentialligningen t blive yt () = Ae cos( ωt+ ϕ) Faktoen e t bevike, at svingningenes amplitude næme sig til (dæmpede svingninge, se figuen): D =, Kitisk dæmpning. Dette tilfælde indtæde, nå dæmpningen c e nået op på en bestemt kitisk støelse, sådan at foekomme. Samtlige løsninge e yt Ce cm t c ()= + C t e m t Det ses, at yt () fo t c = 4 m k hvoved svingninge netop ikke kan D > : Ovekitisk dæmpning. Dette tilfælde indtæffe, nå dæmpningen c e støe end den kitiske vædi, sådan at c > 4 m k Samtlige løsninge til diffeentialligningen e yt Ce t ()= + C e Det ses, at yt () fo t (se figuen) 6

168 3. Diffeentialligninge Eksempel 3.6. Tvungen svingning I eksempel 3.4 så vi på et lod med massen m de va fastgjot til en fjede. Vi tænke os nu samme situation, men antage ydeligee, at fjedeens fastspændingspunkt bevæge sig fem og tilbage på en sådan måde, at afvigelsen fa det opindelige fastspændingspunkt til tiden t e Fsin( βt) (se figuen), Fsin( β t) Fsin( β t) Hemed ænde fjedeens længde med yt () Fsin( β t), og fjedekaften blive k( y( t) Fsin( β t)). Bevægelsesligningen blive nu: m y () t + c y () t + k y() t = k F sin( β t) 6

169 Opgave til kapitel 3 Opgave til kapitel (uden hjælpemidle) dy Lad de væe givet diffeentialligningen = 3x ( y+ ). y > - dx Om en løsning y(x) til diffeentialligningen oplyses, at den gå gennem punktet P= (, ) a) Bestem en ligning fo tangenten til gafen til y(x) i punktet P b) Angiv monotonifoholdene fo y(x). 3. (uden hjælpemidle) Lad de væe givet diffeentialligningen dy y =, x > dx x Om en løsning y(x) til diffeentialligningen oplyses, at den gå gennem punktet P= (, ) a) Bestem en ligning fo tangenten til gafen til y(x) i punktet P b) Angiv monotonifoholdene fo y(x). 3.3 (uden hjælpemidle) Undesøg om funktionen y = x+ e løsning til diffeentialligningen y + 4y = 8x (uden hjælpemidle) dy Lad de væe givet diffeentialligningen = x ( y ), y < dx a) Angiv monotonifoholdene fo løsningene til diffeentialligningen. b) Bestem en ligning fo tangenten til y(x) i punktet (,) 3.5 (uden hjælpemidle) Undesøg om funktionen x dy dx + yx ( ) = 3x, x>. yx ( ) = x + x e løsning til diffeentialligningen 3.6 a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y + 4y = 8 b) Find og skitse de to løsningskuve, de gå gennem henholdsvis punktet (x, y)=(,) og punktet (x, y) = (,3). 3.7 a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y + y = x + 5 b) Find og skitse den løsningskuve, de gå gennem punktet (x, y)=(,3) 3.8 a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y + 3y = e x b) Find den patikulæe løsning, de gå gennem punktet (x, y)=(,) 63

170 3. Diffeentialligninge 3.9 a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen 3y + y = 4 sin( x) 3 b) Find den patikulæe løsning, de gå gennem punktet (x, y)=(,- ) 5 c) Omskiv løsningen i spøgsmål b) til fomen y = Asin( x+ ϕ) 3. Lad yt () væe antallet af individe bakteie i en bakteiekultu til tiden t [dage] ) Som abejdshypotese ha man at individantallet øges med en hastighed, de e popotional med det øjeblikkelige antal af individe yt ()(målt i tusinde). Lad popotionalitetsfaktoen væe k. a) Opstil en diffeentialligning til bestemmelse af yt (). b) Find y(t) i det tilfælde, hvo k =.5 og antallet af individe til tiden t = e. ) Da de målte tal ikke stemme oveens med de beegnede, opstille man nu den hypotese, at på gund af mangel på næing, blive faktoen k estattet af støelsen b a y, hvo konstantene a og b e positive. a) Opstil en diffeentialligning til bestemmelse af yt (). b) Find y(t) i det tilfælde, hvo a = 4 og b =3.4 og antallet af individe til tiden t = e. c) Skitse ovennævnte løsningskuve. 3. Man ha gennem længee tid undesøgt længden L (i cm) af en bestemt type haletudse. Man fandt, at i middel opfylde længden L som funktion af tiden (i døgn) diffeentialligningen L () t = k L() t M L() t, ( ) hvo k e en konstant og M e den øve gænse fo længden af en haletudse. Det antages, at en haletudse højst kan have længden cm, og at den til tiden t = ha en middellængde på.5 cm. Efte døgn finde man, at haletudsene i middel ha længden cm. a) Find på den baggund konstanten k. b) Beegn haletudsens længde efte 5 døgn. c) Find det tidspunkt hvo haletudsene vokse hutigst. 3. Ekspeimente vise, at den hastighed hvomed et vamt stykke metal afkøles i en luftstøm e tilnæmelsesvis popotional med T - T luft, hvo T e legemets tempeatu og T luft e luftens tempeatu. Lad tempeatuen T luft i luftstømmen konstant væe 3 C. Metallets tempeatu e C til tiden t = og 7 C til tiden t = 3 min. Hvonå e legemets tempeatu blevet 4 C. 64

171 Opgave til kapitel Et R-L - kedsløb ha en vekselspændingskilde E, en indskudt modstand R og en spole med selvinduktion L i seie. Idet i =i (t) betegne stømstyken til tiden t > og den "påtykte" elektomotoiske kaft E = Em cos( ωt) gælde følgende diffeentialligning: L di + Ri = Em cos( ωt). dt a) Find, idet R = Ohm, L = 3 Heny, E m = Volt og ω = R, den løsning til L diffeentialligningen, fo hvilken I () =. b) Fo t sto vil esultatet næme sig en en svingning. Angiv amplituden fo denne svingning. 3.4 En cylindisk beholde med adius e fyldt med en væske, de stå i en højde på 4 m. Til tidspunktet t = time åbnes en ventil i bunden af cylindeen, hvoved væsken løbe ud. Det vides, at de stømme c h m 3 /time ud, hvo c e en konstant. a) Idet de gælde, at den hastighed hvomed umfanget i beholdeen fomindskes e - c h, skal man opstille en diffeentialligning fo den hastighed, hvomed højden h ænde sig. dh b) Det oplyses nu, at ovennævnte diffeentialligning kan skives = k h hvo k e en dt positiv konstant. Efte time s foløb e væskehøjden faldet til m. Find ved løsning af diffeentialligningen, højden h som funktion af t. c) Hvonå e beholdeen tom? 3.5 En tagt som vist på figuen indeholde væske. I staten e væskehøjden i tagten h = 4 m.. Til tidspunktet t = time åbnes en ventil i bunden af tagten, hvoved væsken løbe ud. Det vides, at de stømme c h m 3 /time ud, hvo c e en konstant. a) Rumfanget af en kegle med højde h og adius i gundfladen e V = π h 3 Idet åbningsvinklen i tagten e v, skal man udtykke umfanget ved h og vinklen v b) Idet de gælde, at den hastighed hvomed umfanget i beholdeen fomindskes e - c h,skal man opstille en diffeentialligning fo den hastighed, hvomed højden h ænde sig. dh c) Det oplyses nu, at ovennævnte diffeentialligning kan skives = k h 3,hvo k e en dt positiv konstant. Efte time s foløb e væskehøjden faldet til m. Find ved løsning af diffeentialligningen, højden h som funktion af t. d) Hvonå e beholdeen tom? 65

172 3. Diffeentialligninge 3.6 Find den fuldstændige løsning til hve af diffeentialligningene ) y 4 y + 4 y = ) 3 y 6 y + 3 y = 3.7 Find den løsning til diffeentialligningen y y + 5 y =, de opfylde begyndel- 4 sesbetingelsene y( ) = og y ( ) =. 3.8 Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y + 5y + 4y = e x 3.9 a) Find den fuldstændige løsning til diffeentialligningen y + y y = 6 e 4x b) Find den patikulæe løsning, som opfylde begyndelsesbetingelsene y( ) = og y ( ) =. x 66

173 4. Rumgeometi 4. Vektoe i ummet 4. Vektoe i ummet. Vi vil i dette kapitel antage at epæsentantene fo vektoene e pile de e beliggende i det tedimensionale um. Et eksempel hepå kunne væe hastighedsvektoen fo en patikel i ummet. Definitionene i afsnit 3. (af længde, enhedsvekto osv.) og egneeglene i afsnit 3. (addition, subtaktion, multiplikation med tal) gælde også fo disse vektoe. Eksempel 4.. Paallelepipedum Ved et paallelepipedum ABCD-EFGH fostås et legeme begænset af paallelogamme (se figu 4.) Idet a = AB, b = AD og c = AE skal man udtykke diagonalvektoene AG, BH, EC og FD ved a, b og c. Løsning: Af indskudssætningen fås AG = AB+ BC+ CG = a + b + c BH = BA+ AD+ DH = a+ b + c EC = EA+ AB+ BC = a + b c FD = FE + EA+ AD= a c + b c a b Fig. 4.. Paallelepipedum 67

174 4 Rumgeometi 4.. Koodinatsystem i ummet. Lad a, b og c væe 3 egentlige vektoe i ummet, som e tegnet med begyndelsespunkt i samme punkt, og som ikke ligge i samme plan. c De te vektoe a, b og c nævnt i denne ækkefølge siges at væe i højestilling, hvis følgende egel gælde: Omslutte man vektoen c med høje hånd (se figu 4.) og lade fingene følge undt samme vej som den mindste dejning, de føe a ove i b, vil tommelfingeen pege i c s etning. a Fig.4..Højestilling Et (sædvanligt) etvinklet koodinatsystem i ummet e givet ved et begyndelsespunkt O, og 3 enhedsvektoe (kaldet basisvektoe) som to og to stå vinkelette på hinanden. Basisvektoene benævnes sædvanligvis i, j og k og e i denne ækkefølge placeet i højestilling. De te oienteede linie de gå gennem O og ha i, j og k som etningsvektoe kaldes koodinatsystemets akse, og benævnes henholdsvis x, y og z - aksen. (elle (), () og (3) - aksen). k i j Fig Koodinatsystem Punktet P pojicees ned i xy - planen i punktet Q. I xy - planen pojicees Q ind på x - aksen i R og på y - aksen i punktet S. Desuden pojicees P ind på z - aksen i punktet T. (jævnfø figu 4.3). Indskudseglen fo vektoe give OP = OQ+ QP = OR+ RQ+ QP = OR+ OS+ OT Da OR, OS og OT e paallelle med henholdsvis i, j og k fås OP = OR+ OS+ OT = xi + yj + zk. x Man sige, at P ha koodinatene (x, y, z) og vektoen OP = y. z 68

175 4. Koodinatsystem i ummet Regning med vektoenes koodinate foegå på samme måde som det blev vist i det plane tilfælde (i afsnit 3.3). De gælde således b a Hvis A= ( a, a, a3) og B = ( b, b, b3), så e AB = b a og a = a + a + a3 b a 3 3 Tetaede Ved et tetaede fostås et legeme begænset af fie tekante (jævnfø figu 4.4). Ligesom en tekant e en gundlæggende figu i plangeometien e et tetaede en gundlæggende figu i umgeometien. Man kan vise, at umfanget V af et tetaede e V=, hvo G e gundfladens aeal og h e 3 Gh højden. Fig Tetaede Eksempel 4.. Tetaede. I tetaedeet ABCD e A = (,,), B=(,4,) og C = (,,). Idet M e midtpunktet af BC, e D bestemt ved, at D ha positive koodinate, at DM stå vinkelet på xy - planen, og DM = 3 Skitse tetaedeet, og find D s koodinate. Løsning: Tetaedeet e skitseet på figu 4.5. Idet OM = OC+ CB = + fås D = (,3,3) == 4 3 k i j Fig Skitse af tetaede 69

176 4 Rumgeometi 4.3 Skalapodukt. Skalapodukt definees på ganske samme måde som i planen. Definition af skalapodukt: a b Hvis a = a og b = b e to vektoe i ummet, definees skalapoduktet a b ved a3 b3 a b = a b + a b + a b. 3 3 Fo skalapoduktet gælde defo egle, de e ganske mage til de tilsvaende i planen. Vi vil defo ikke gentage dem he, men henvise til afsnit 3.4, 3.6 og det følgende eksempel. Eksempel 4.3 Anvendelse af skalapodukt Givet punktene A = (,,-3), B = (, -, 3) og C = (3,4,5). ) Find skalapoduktet AB AC ) Find vinklen mellem AB og AC. Løsning: 3 AB = = 4, AC = 4 =. 3 ( 3) 6 5 ( 3) 8 ) AB AC = = 4 ) Vinklen mellem vektoe findes af fomlen i sætning 3.5. AB AC 4 7 cos v = = = = v = AB AC TI89: CATALOG ) dotp([,-4,6],[,,8]) Resultat 48 a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-4,6]),unitv([,,8]))) Resultat

177 4.4 Linie i ummet 4.4. Linie i ummet. Lad l væe en et linie i ummet, som gå gennem et fast punkt P og e paallel med en egentlig vekto l. Fo vilkålige punkte P på linien l og kun fo disse punkte vil de da gælde: PP = tl, hvo t e et eelt tal. Fo hve vædi af t (kaldet paameteen) svae de ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP = OP+ PP OP = OP+ t l OP = OP + t l, kaldes en paametefemstilling fo linien l, med paameteen t (som e et eelt tal). l kaldes liniens etningsvekto. k i j l Fig.4.6. Ret linie l a Lad vektoen l = b og P =(x, y,z ). (jævnfø figu 4.6) c x x a En paametefemstillingen fo l i koodinate blive da y = y + t b, t eelt tal z z c En linie ha mange paametefemstillinge, da man dels jo kan vælge foskellige faste punkte på l, dels vil alle vektoe popotionale med l kunne benyttes som etningsvektoe. 7

178 4 Rumgeometi Eksempel 4.4. Linies paametefemstilling. ) Find en paametefemstilling fo linien l gennem punktene A=(3,, 4) og B = (,, -3). ) Angiv en paametefemstilling fo liniestykket AB Løsning: 3 ) Da AB = = og et punkt på linien e A e en paametefemstilling fo l: x 3 y t t R = +, z 4 7 ) Da t = svae til punktet A og t = svae til punktet B, ha liniestykket AB x 3 paametefemstillingen y t t = +, [, ] z 4 7 Man kan opfatte paametefemstillingen fo l som en beskivelse af en jævn etlinet bevægelse x () t a i ummet, hvo t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvekto e. = y () t b z () t c Eksempel 4.5. Retlinet bevægelse. x 4 Lad y t beskive et legeme L s etlinede bevægelse i ummet, hvo t angive tiden = + z 4 og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløbe i 3 sekunde. b) Find den tid det tage fo L at gennemløbe en stækning på 9 m. Løsning: a) Faten e = 36 = 6m/s I 3 sekunde gennemløbes 8 m. 9 b) 9 m gennemløbes på = 5 s 6 7

179 4.4 Linie i ummet Skæing mellem ette linie I ummet vil to ette linie som ikke e paallelle ikke nødvendigvis skæe hinanden. Eksempelvis vil to linie, de indeholde to modstående side i et tetaede ikke skæe hinanden. Linie, de ikke e paallelle og ikke skæe hinanden kaldes vindskæve. Eksempel 4.6. Skæing mellem linie x x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = y s = + 4 z 4 5 z Vis, at liniene l og m e vindskæve. Løsning: Retningsvektoene l = 6 og m = e ikke paallelle (ikke popotionale) 5 Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 5 t = 5+ s s+ t = 4 s= 4 t () y t = elle. = s 3+ 6t = 4+ s 6t s= s= 6t ( ) z t = s s 5t = s= + 5t () 3 7 Indsættes ligning () i ligning () fås ( 4 t) = 6t t = 7 t = Indsættes t = 7 i ligning () fås s= s= ) 6 Indsættes disse vædie i ligning (3) fås = = Da de ikke findes paametevædie de tilfedsstille alle te ligninge skæe de to linie ikke hinanden. Liniene e vindskæve. TI 89 F: solve(-t=5+x and 3+6t=4+x and 4-5t=-x,{t,x}) Resultat: false 73

180 4 Rumgeometi Vinkel mellem linie Ved vinklen mellem to linie fostås den spidse vinkel mellem linienes etningsvektoe. Lad linienes etningsvektoe væe I afsnit 3.6 fandt vi, at den spidse vinkel v e cos v = Eksempel 4.7. Vinkel mellem linie Lad de væe givet liniene l: y 5 t 3 og m: l og x 3 = + z m 5 l m l m x 5 y s = z 9 3 a) Vis, at liniene skæe hinanden, og find koodinatene til skæingspunktet S. b) Find vinklen mellem l og m. Løsning: a) Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 3 3+ t = 5 s s+ t = s= t () 5 y t = elle = s 5+ 3t = 8+ 5s 3t 5s= 3 3t = 5s 3 ( ) 9 3 z 5 + 5t = 9+ 3s 5t 3s= 5t = 3s () 3 Indsættes ligning () i ligning () fås 3t = 5 ( t) 3 8t = 8 t = Indsættes t = i ligning () fås 3= 5s 3 s= Indsættes disse vædie i ligning (3) fås 5( ) = 3 5= 5 De to linie skæe hinanden i det til t = - svaende punkt S = (,, -3) Som kontol kan vi se, at indsættes s = fås samme punkt. TI 89 a) F: Solve(3+t=5-x and 5+3t=-8+5x and +5t=-9+3x,{t,x}) Resultat: t=- and x = b) Lad en vinkel mellem l og m væe v. Vi ha da l m cos v = l m = = = v = TI 89 l m l m e e b) Idet cos v = = l m, hvo el og em e enhedsvektoe fås cos - ( dotp(unitv([,3,5]),unitv([-,5,3]))) Resultat:

181 4.5 Vektopodukt 4.5 Vektopodukt. Ved mange anvendelse ha man bug fo en anden fom fo podukt af to vektoe, hvo esultatet e en vekto (og ikke et tal). Dette podukt kaldes vektopoduktet (elle kydspoduktet ) af de to vektoe a og b og skives a b. Man sige kot a kyds b. Definition af vektopodukt. Lad a og b væe to egentlige, ikke-paallelle vektoe. a b e da en vekto, ) hvis etning e bestemt ved, at a bstå vinkelet på både a og b, og a, b og a b i denne ækkefølge e i højestilling, ) hvis længde e aealet af det paallelogam, de udspændes af a og b dvs. a b = a b sin v hvo v e vinklen mellem a og b ( v π ). a b b a Fig.4.7. Vektopodukt Eksempel 4.8. Rotation. Lad de væe givet et stift legeme L, som otee om en akse l med vinkelhastigheden ω. Fa et vilkåligt punkt O på l afsættes en vekto ω, hvis længde e lig vinkelhastigheden, og hvis etning e fastlagt således, at den sammen med dejningen om l bestemme en højeskuning (se figu 4.7). Til et givet tidspunkt ha hve patikel P i legemet L en hastighed, de tænkes afsat som en vekto v P ud fa punktet P. Det e klat, at v P = ω d, hvo d e afstanden fa P til aksen l (se figu 4.7). Idet d e højden i det af ω og = OP udspændte paallelogam, ha dette paallelogam aealet ω d, og demed e v P = ω. Da v P også e ensettet med ω, e hemed vist = ω. v P ω v P ω 75

182 4 Rumgeometi Eksempel 4.9. Momentvekto Lad k væe en kaft, de ha angebspunkt i punktet P. Kaftens momentvekto m om et punkt Q definees ved m= QP k m k Fig Momentvekto Regneegle fo vektopoduktet. Lad a, b og c væe vektoe i ummet og t et eelt tal. Da gælde ) a b = b a Den kommutative lov gælde ikke. ) ( a b ) c a ( b c ) Den associative lov gælde ikke. 3) a ( b + c) = a b + a c Den distibutive lov gælde. 4) ta ( b) = ( ta) b Den distibutive lov gælde. Bevis: () følge umiddelbat af definitionen. (4) følge også af definitionen, ved at gennempøve de foskellige mulighede t >, t =, t <. () gælde ikke fo alle vektoe, thi hvis i, j og k e basisvektoe i et koodinatsystem, e ( i i ) j = mens i ( i j) = i k = j. (3) ha et noget vanskeligee bevis: a E a = gælde (3) umiddelbat. E a en egentlig vekto og e e = e det tilstækkeligt at vise a e ( b + c) = e b + e c (5) da vi blot ha divideet alle led i (3) med a. Lad nu α væe en plan vinkelet på e, og v en vilkålig vekto (jævnfø figu 4.9) v Lad endvidee v α væe pojektionen væe pojektionen af e v på α. e x v Vi vil så føst vise, at e v= e v. v α α E v nulvektoen, elle v paallel med e e begge podukte α lig I alle ande tilfælde vil det af e og v udspændte paallelogam have samme aeal som det af e og Fig 4.9. Tvævekto i plan v α udspændte ektangel. De to vektoe ha altså samme længde, og som figu 4.9 vise, ha de også samme etning. Da e v α = vα e e v α simpelt hen vα s tvævekto $v α i planen α. Vi ha følgelig e v= e vα = v$ α Anvendes dette på ligning (5) fås e ( b + c) = e b + e c e ( b + c) α = e b α + e c α ( b+ c) α = b $ + c $ Den sidste ligning e sand ifølge egning med tvævektoe. α α 76

183 4.5 Vektopodukt Reglene (3) og (4) sike, at vi kan multiplicee to fleleddede støelse på sædvanlig vis. Reglene () og () vise, at man ikke må ombytte faktoe, og ikke hæve gange paentese. Eksempel 4.. Regneegle. Beegn ( a + b c ) ( a b ). Løsning: ( a + b c ) ( a b ) = a a + ( b a ) c a a b b b + c b = 3( b a ) c a + c b Sætning 4.. Vektopodukts koodinate. a b a3 b3 a b a b a b Lad a = a og b = b. Da gælde a b = a b = 3 3. a b a3 b3 a b 3 3 a b a b En huskeegel e, a b at. koodinaten i a b e deteminanten man få, hvis man se bot fa. ække i a b, a b. koodinaten e med modsat fotegn den deteminant man få hvis man se bot fa anden ække og 3. koodinaten e den deteminant man få, hvis man se bot fa 3. ække. Bevis: Idet a = ai + a j + a3k og b = bi + b j + b3k, fås ved benyttelse af egneeglene (), (3) og (4) samt elationene i i = j j = k k =, at a b= ( ai+ a j+ ak) ( bi+ b j+ bk) = ( ab ab) i+ ( ab ab) j+ ( ab ab) k Eksempel 4.. Vektopodukt. Lad A = (, 3, -), B = (-, 4, 4) og C = (,, 3). a) Beegn vektopoduktet AB AC b) Find aealet af ABC. Løsning: a) Idet AB = og AC = e AB AC = x = b) Tekant ABC s aeal e T AB AC = = + + = TI 89: CATALOG: a) cossp([-3,,5],[-,-,4]) Resultat [9 7 4 ] b) /* (dotp([9, 7, 4 ],[9, 7, 4 ])) Resultat

184 4 Rumgeometi 78 k Fig. 4.. Idealiseet kan Fig. 4.. Kan Eksempel 4.. Kæfte. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Hjønespidsene A, B og C tænkes bundet til et vandet plan, hvoi de kan foskydes gnidningsfit (se figu 4.) Stativet ha sådanne dimensione, at vælges denne plan som xy - plan og punktet A som begyndelsespunkt i et etvinklet koodinatsystem, få hjønespidsene koodinatene A = (,, ), B=(4,, ), C= (, 5, ) og D = (, 6, 3) (se figu 4.). Idet vi tænke os punktet D belastet og demed påviket af en lodet kaft. k k k = >, skal vi finde de eaktionskæfte og. de vike i undestøtningspunktene A, B og C, således at stativet k k A B, k C e i ligevægt.. Løsning: Da de ingen gnidning e, må eaktionskæftene væe lodette. Sættes og fås ifølge statikken, at ligevægten kæve k a k b A B = =, k c C = k k k k AB k AC k AD k A A B C B C = + + = ( ) ( ) kæftenes sum e nul moment om e nul = a b c k b c k x = + + = + + = = = = = a b c k b c k k a k b k c k k k k k k k A B C = = = ,,

185 4.6 Plane i ummet 79 i j k n α Fig 4.. Plan Eksempel 4.3.Nomalvekto. Find koodinatene til en enhedsvekto, som e vinkelet(otogonal) på begge vektoe e og og ettet således, at og i denne ækkefølge danne et a = b = ab, e højesystem. Løsning: Vi ha. a b = = = a b = + + = e a b a b = = = TI 89: CATALOG: unitv( cossp([-,,],[,-,]) ) Resultat [/3 /3 /3 ] 4.6. Plane i ummet. Lad P væe et givet punkt og en given egentlig vekto. n Ved en plan gennem P med vektoen som nomalvekto fostås mængden af punktet P fo α n hvilken vektoen stå vinkelet på vektoen (se figu 4.). PP n

186 4 Rumgeometi a Lad punktet P =(x, y, z ) og n = b (jævnfø figu 4.). c x x a Da gælde PPn y y b ax x by y cz z () = = ( ) + ( ) + ( ) = z z c Ligningen () kaldes planens ligning. Vektoen n kaldes planens nomalvekto Enhve plan kan altså femstilles ved en ligning af føste gad ax + by + cz + d =, Omvendt vil enhve ligning ax + by + cz + d = hvo (, abc,) (,,) femstille en plan med vektoen a n = b som nomalvekto. c Eksempel 4.4. Ligning fo plan. Find ligningen fo planen gennem punktene A = (,, ), B = (, -, ) og C = (-, -, ). Løsning: En nomalvekto til planen e n = AB AC = x = 3 4 Planens ligning e da: ( x ) ( y ) ( z ) = x y z+ 3= Vinkel mellem to plane. Ved vinklen mellem to plane fostås vinklen mellem dees nomalvektoe. Denne vinkel kan enten væe spids elle stump. E intet andet nævnt vil man sædvanligvis mene den spidse vinkel. nα nβ Denne spidse vinkel v kan beegnes af cos v =. (se figu 4.3) n n α β n β n α β α Fig 4.3. Vinkel mellem plane 8

187 4.6 Plane i ummet I en umlig figu eksempelvis et tetaede kan man ønske at finde den indvendige vinkel i figuen, og denne kan jo godt væe stump. Ønske man eksempelvis i tetaedeet ABCD (se figu 4.4) at bestemme den indvendige vinkel mellem planene ABD og BCD, så skal man vælge nomalvektoene således at den ene nomalvekto pege indad i figuen og den anden udad figuen. nbcd = BD BC pege he ind i figuen nabd = BD BA pege ud af figuen Den indvendige vinkel i tetaedeet e så v = cos nbcd nabd n n Fig Tetaede BCD ABD Eksempel 4.5. Vinkel mellem plane. Lad hjønene i et tetaede ABCD have koodinatene A = (,, ), B = (, -, ), C = (-, -, ) og D = (, 3, 5) Find den indvendige vinkel i tetaedeet ved kanten AB Løsning: = = Ifølge eksempel.4 ha planen ABC nomalvektoen n AB AC 3 Planen ABD ha nomalvektoen n = AB AD= 3 x 3 = 4 4 n n cos v = = = 476. v = 4.34 n n TI89: a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-,]),unitv([-3,3,-4]))) Resultat:

188 4 Rumgeometi Afstand mellem punkt og plan α Ved afstanden mellem et punkt og en plan fostås afstanden PP α, hvo P α e P s pojektion på planen α (se figu 4.5) α P α k i j Fig Afstand d mellem P og plan Afstanden findes lettest ved benyttelse af sætning 4.. Sætning 4.. Afstandsfomel. Punktet P = (x, y, z ) s afstand fa planen med ligningen ax + by + cz + d dist( P, α ) = a + b + c ax + by + cz + d = Beviset e ganske analogt med det tilsvaende bevis i planen fo afstand mellem punkt og linie, og vil defo ikke blive gentaget he. Eksempel 4.6. Afstandsfomel Lad de væe givet et punkt P = (,, ) og en plan α: x+ y+ z 3=. Find punktet P s afstand til α. Løsning: dist( P, α ) = = = e 8

189 4.6 Plane i ummet Skæing mellem linie og plan. På figu 4.6 e tegnet en linie l som skæe planen α i punktet S. Da punktet S ligge både i planen α og på linien l må dens koodinate tilfedsstille både liniens paametefemstilling og planens ligning. Femgangsmåden femgå af det følgende eksempel 4.7. k i j α Fig Skæing mellem linie og plan Eksempel 4.7. Skæing linie - plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find skæingspunktet S mellem linien og planen. Løsning: x x = t Paametefemstillingen y t y t = + = + z z = t indsættes i ligningen x+ y+ z = ( + t) + ( + t) + t = t = Indsættes t= i paametefemstillingen fås skæingspunktet. S = (, 3, ) 83

190 4 Rumgeometi Vinkel mellem linie l og plan α. Pojektionen af l på α e den linie l α som femkomme ved at alle punkte på l pojicees ned på planen α. Vinklen mellem en linie og plan e vinklen mellem linien og dens pojektion på planen (se figu 4.7). n α k i j Fig Vinkel mellem linie og plan Vinklen v mellem en linie l med etningsvekto l og en plan α med nomalvekto n beegnes lettest ved, at man føst beegne den spidse vinkel u mellem etningsvektoen fo linien og planens nomalvekto. Deefte e v = 9 - u (se figu 4.7) l n Da cos( u) = sin( 9 u) = sin v fås sin v = l n Eksempel 4.8. Vinkel mellem linie og plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find vinklen v mellem linien og planen Løsning: l n 7 sin v = = = = 956. v = 7.8 l n TI 89: sin - (abs(dotp(unitv([,,]),unitv([,,])))) Resultat:

191 4.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang. Polyede Indledning. Ved et polyede fostås et legeme, de e begænset af et endeligt antal plane polygone. Disse polygone kaldes polyedeets sideflade, og dees side og vinkelspidse betegnes henholdsvis som polyedeets kante og hjønespidse.. En diagonal e en et linie, de fobinde to hjønespidse uden at ligge i en af polyedeets sideflade. (se figu 4.8). Et konvekst polyede e et polyede, hvo det fo vilkålige punkte A og B i polyedeet gælde, at hele liniestykket AB tilhøe polyedeet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Fig 4.8. Polyede Pisme. Lad de væe givet to polygone F og G, som ikke ligge i samme plan, og hvo F kan føes ove i G ved en paallelfoskydning. (se figu 4.9). Ved pismet bestemt af F og G fostås det polyede, hvis kante e sidene i F og G samt fobindelsesstykkene mellem tilsvaende vinkelspidse i de to polygone. Afstanden mellem F og G (pismets gundflade) kaldes pismets højde. Fig Pisme Rumfanget af et pisme e G h hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden mellem de to paallelle flade. Nedenstående figue vise specielle pisme. 85

192 4 Rumgeometi Pyamide Ved en n - sidet pyamide fostås et polyede, de fembinges ved, at vinkelspidsene i en given plan n - kant ABC,... fobindes med et punkt T uden fo polygonens plan (se figu 4.). Polygonen ABC... kaldes pyamidens gundflade og tekantene TAB, TBC,... kaldes pyamidens sideflade. E H pojektionen af toppunktet T på gundfladen, kaldes HT fo pyamidens højde Af specielle pyamide kan nævnes de tidligee omtalte tetaede, som e begænset af fie tekante. Rumfanget af en pyamide 3 Gh gundfladens aeal og h e højden hvo G e Fig. 4.. Pyamide Fig. 4.. Tetaede Rumfanget af en cylinde e mellem de to paallelle flade. Rumfanget af en kegle e G h 3 Gh hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden hvo G e gundfladens aeal og h e højden. 86

193 4.8 Kuglen 4.8 Kuglen På figu 4. e tegnet en kugle med centum i C = og adius. ( x, y, z ) Kuglen kan vises at have umfanget V = π og ovefladen O = 4 π Sætning 4.3.Kuglens ligning En kugle med centum i C = ( x, y, z ) og adius ha ligningen Bevis: Lad P = (x, y, z)væe et vilkåligt punkt på peifeien af kuglen. Da Kuglepeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius, e CP =. I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Fig 4.. Kugle med adius ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Eksempel 4.9 Kugle Opskiv ligningen fo kuglen med centum i C = (, -, 5) og adius = 5. Løsning. ( x ) + ( y+ ) + ( z 5) = 5 Ganges kuglens ligning ud fås ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = x + y + z x x y y z z+ x + y + z = Vi kan defo omvendt se, at hvis vi ha en ligning indeholdende leddet det muligvis en kugle. x + y + z så femstille 87

194 4 Rumgeometi Eksempel 4. Kugle Undesøg om ligningen x + y + z x+ 4y z+ 3= femstille en kugle, og angiv i bekæftende fald kuglens centum og adius. Løsning: Vi ha, at x = y = 4 z = x = y = z = = 4 Hemed fås x y z dvs. 4-3 = 9 = elle = 3 Lad en kugle have centum C og adius. Ved kuglens tangentplan i et punkt P på peifeien, fostås den plan, som gå gennem P og stå vinkelet på CP. Eksempel 4.. Tangentplan En kugle ha centum C = (3, 4,5) og adius = 69. ) Vis, at punktet P = (4,, -3) ligge på kuglepeifeien. ) Find ligningen fo tangentplanen til kuglen i punktet P. Løsning: ) CP = CP = = 69 8 Da = CP ligge P på kuglens peifei. ) Tangentplanen gå gennem P og ha nomalvktoen CP = 8 Tangentens ligning: ( x 4) + ( )( y ) + ( 8)( z+ 3) = x y 8z = 4 88

195 Opgave til kapitel 4 89 Opgave til kapitel 4 4. Afsæt i et koodinatsystem punktet P = (,, ) og punktet Q = (, -, 3). Afsæt endvidee punktet R, således at vektoen, og angiv R s koodinate. PR = 4. Lad de væe givet punktene A =(-,, ), B = (3,, 4) og C = (6, 3, 7). ) Bestem længden af AB ) Bestem koodinatene til punktet D, så ABCD danne et paallelogam. 4.3 Find det abejde som kaften udføe på en patikel, nå denne bevæge sig k = 3 4 etlinet fa punktet A = (8, -, -3) til punktet B = (-,, 6). 4.4 Undesøg om vektoene og e indbydes otogonale (dvs. stå a b = = 3, c = 5 4 vinkelette på hinanden). 4.5 I teningen ABCD - EFGH med kantlængden a, skal man finde vinklen u mellem diagonalen i gundfladen AC og diagonalen AG. Find endvidee vinklen v mellem diagonalene AG og BH. 4.6 Linien l gå gennem punktene A = (,-3,4) og B = (-,4, 3) Angiv en paametefemstilling fo l. En anden linie m ha paametefemstillingen x y z t = Undesøg om liniene l og m skæe hinanden. 4.7 Lad en patikel P bevæge sig med jævn hastighed bestemt ved, hvo t x y z t = + 4 angive tiden i sekunde og afstande egnes i mete. a) Find faten (i m/s) b) Find den stækning ( i m) som legemet gennemløbe i 5 sekunde.

196 4 Rumgeometi 4.8 Givet punktene A = (4, 3, -), B = (5, 9, ), C = (, -, -) og D = (4, 9, ). Lad l væe linien gennem A og B og lad m væe linien gennem C og D. a) Find koodinatene til liniene l og m s skæingspunktet E (foudsat natuligvis at de skæe hinanden). b) Undesøg om liniestykkene AB og CD skæe hinanden. c) Find vinklen mellem de to linie. 4.9 Et etlinet ø med en diamete på, skal føes fa punktet P i én bygning til punktet Q i en anden bygning. Røets centelinie gå gennem P = (-,, 3) og Q = (5, 4, 6). a) Find en paametefemstilling fo linien gennem P og Q. b) Undesøg om østykket fit kan passee en kommende kassefomet udbygning K givet ved K = {( x, y, z) x y 4 z 4} (Vink: tegn figuen set ovenfa). 4. En kugle med adius 4 m og med centum i koodinatsystemets begyndelsespunkt otee om z - aksen med en vinkelhastighed ω = ad/sec ( høje om ). Find hastighedsvektoene vp og vqi punktene P =(,, ) og Q = (, 3, 3 ). 4. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Unde samme betingelse som i eksempel 4. skal man finde eaktionskæftene i punktene A = (3,, ), B = (,, ) og C = (-, -, ), nå punktet D = (,, 6) e påviket af kaften k = Find aealet af ABC., hvo A = (,, -), B = (, -, ) og C = (,, ) 4.3 a) Angiv ligningen fo en plan α, som gå gennem punktene A = (3,, -), B = (,, 3) og C = (-, 3, ). b) Angiv ligningen fo en plan, de gå gennem D = (, 3, ) og e paallel med α. 4.4 Vinkelspidsene i en tekant ABC ha koodinatene A = (,, ), B = (3,, ) og C = (, 3, 4). a) Find vinkel A (den indvendige vinkel i tekanten) b) Find koodinatene til punktet D, hvo D e fodpunktet fo højden fa C. 9

197 Opgave til kapitel Lad de væe givet punktene A = (,, ), B = (-,, 3) og C = (,, ). a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde A, B og C. b) Find ligningen fo den plan β, som indeholde A, B og e paallel med z - aksen. c) Find ligningen fo den plan γ, som indeholde A, og e paallel med yz - planen. d) Find de te planes skæingspunkte med x - aksen. 4.6 I tetaedeet ABCD e A = (6,, ), B = (,, 3) og C = (,, ). Idet D ha positive koodinate, DB = DA = 3 og D s pojektion på xz - planen falde på liniestykket AB, skal man a) Skitsee tetaedeet i et etvinklet koodinatsystem og finde D s koodinate. b) Idet P e det punkt på BD fo hvilke BP = BD, skal P s koodinate angives To ette linie l og m e givet ved paametefemstillingene x x l: y t, t R og = m: y s, s R = + z 3 z Find en ligning fo den plan α, som indeholde l og e paallel med m. 4.8 a) Undesøg om liniene x x l: y t, t R og skæe hinanden. = + 5 m: y s, s R = + z z 4 3 b) Find skæingspunktet mellem linien l og planen α med ligningen α: 6x+ 7y+ z = Beegn toplansvinklen mellem to diagonalplane i en tening. 4. Taghældningen e ovealt 45 på en filænget gåd (hvo længene stå vinkelet på hinanden. Find vinklen mellem to sammenstødende tagflade tilhøende hve sin længe. 4. Tetaedeet ABCD e bestemt ved A = (8,, ), B = (, 4, ), C = (3, -, ) og D = (,, ). a) Find afstanden fa C til planen ABD. b) Idet umfanget af en tetaede e, hvo G e gundfladens aeal og h e højden 3 G h skal man finde umfanget af tetaedeet ABCD c) Find vinklen mellem kanten CD og planen ABD. 9

198 4 Rumgeometi 4. De e givet et punkt P = (, 3, ), samt en et linie m med paametefemstillingen x y t t R = + 6,. z 5 a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde punktet P og den ette linie m. b) Bestem en paametefemstilling fo linien gennem P, som skæe m unde en et vinkel. c) Find koodinatene til punktet P s symmetiske punkt med hensyn til linien m. 4.3 En kugle ha centum i C = (3, 5, -) og gå gennem punktet P = (,, -3). Opskiv kuglens ligning. 4.4 Angiv en ligning fo den kugle, de gå gennem punktet P = (4, 6, 9) og som tangee xy-planen i punktet O = (..) 4.5 Bestem centum og adius fo de kugle, hvis ligninge e a) x + y + z 6x+ 6y+ 64= b) x + y + z 8y+ 5= 9

199 5. Gafisk beskivelse af data 5 Deskiptiv Statistik 5. Indledning Statistik kan lidt løst sagt siges, at væe en samling metode til at opnå og analysee data fo at tæffe afgøelse på gundlag af dem. Statistik e et uundvæligt væktøj til at tæffe beslutninge, men kan natuligvis som alt andet også misbuges, bevidst elle ubevidst. Beslutninge de kan basee sig på tal (statistik), få sto tovædighed. Det kan bevike at man slå sin sunde fonuft fa. Selv den bedste statistiske teoi e vædiløs, hvis tallene man bygge på ikke e tovædige, elle elevante, og det e defo ikke så mækeligt, at en kendt politike engang udtalte: De findes 3 slags løgn: løgn, fobandet løgn og statistik. Ved populationen fostås hele den guppe man e inteesseet i. Eksempelvis hvis det deje sig om folketingsvalg i Danmak, så e populationen alle stemmebeettigede pesone i Danmak. Ved en stikpøve fostås en delmængde af populationen. Fø et folketingsvalg udtage et opinionsinstitut således en stikpøve på eksempelvis vælgee. De e to gundlæggende anvendelse af statistik: ) Deskiptiv statistik, hvo man sammenligne og beskive data. Eksempelvis kunne man sammenligne hvo mange pesone, de stemte på patiene ved sidste og næstsidste valg. ) infeens statistik, hvo man ved anvendelse af statistiske metode søge at slutte (infomee) fa en stikpøve til hele popotionen. Eksempelvis fø et folketingsvalg på basis af en stikpøve på pesone de blive spugt om hvem de vil stemme på give en pognose fo den foventede mandatfodeling fo hele landet (populationen) He vil det væe nødvendigt med at kende nogle statistiske metode til eksempelvis at vide hvo sto en (epæsentativ) stikpøve man skal udtage fo at usikkeheden på esultatet e unde 5% 5..Gafisk beskivelse af data I den deskiptive statistik (elle beskivende statistik) beskives de indsamlede data i fom af tabelle, søjlediagamme, lagkagediagamme, kuve samt ved udegning af centale tal som gennemsnit, median, spedning osv. Kuve og diagamme fostås lettee og mee umiddelbat end kolonne af tal i en tabel. Øjet e uovetuffet til mønstegenkendelse ( en tegning sige mee end od ). I dette afsnit vil vi ikke benytte TI89 (selv om den godt kan femstille visse af disse kuve). Imidletid vil et egneak som eksempelvis Excel bede kunne illustee disse diagamme. Desuden vil statistiske data meget ofte foeligge som Excel file, de diekte kan anvendes til videe beabejdning. Excel vil defo blive benyttet i dette afsnit. 93

200 5. Deskiptiv statistik 5.. Kvalitative data Hvis de e en natulig opdeling af talmateialet i klasse elle kategoie siges, at man ha kategoisk elle kvalitative data. Alle spøgeskemaundesøgelse, hvo man eksempelvis blive bedt om at sætte kyds i nogle ubikke meget god, god, acceptabel osv. e af denne type. Til illustation af disse data buges sædvanligvis lagkagediagamme elle søjlediagamme Eksempel 5. Lagkagediagam Et eksempel ses ovefo, hvo et lagkagediagam søge at give et anskueligt indtyk af hvodan en kommunes udgifte fodele sig på de foskellige omåde. I Excel opskives Udligning 3, øvige 8,4 Socialomådet,øvige 9,4 Ælde 8,6 Bønepasning,4 Bibliotek,9 fitid 3,8 Skole,5 Administation 7,3 Teknik,anlæg 6,6 Skole Fitid kultu socialomådetøvige Bønepasning Administ. Teknik Udgifte Ælde Æ udligning Øvige Excel-ode: 3: Make udskiftsomåde Vælg på væktøjslinien Guiden diagam Cikel Make ønsket figu Næste Navn på kategoi Udfø 7: Make udskiftsomåde Vælg på væktøjslinien Indsæt Cikel Make ønsket figu Eksempel 5. (kvalitative data) Følgende tabel angive mandattallet ved de to sidste folketingsvalg. Patie A B C F K O V Ø Mandate A = Socialdemokatene, B =Radikale venste, C = Konsevative folkepati, F =Socialistisk folkepati, K = Kistendemokatene, O = Dansk Folkepati, V = Venste, Ø = Enhedslisten Et søjlediagam fås i Excel ved at opskive A B C F K O V Ø : Vælg på væktøjslinien Guiden diagam Søjle Make ønsket figu Næste make udskiftsomåde Næste Næste Udfø 7: Make udskiftomåde Vælg på væktøjslinien Indsæt Søjle Make ønsket figu 94

201 5. Gafisk beskivelse af data Seie Seie A B C F K O V Ø Fodelen ved en gafisk femstilling e, at de væsentligste egenskabe ved data opnås hutigt og sikket. Men netop det, at figue appellee umiddelbat til os, gø at vi kan komme til at lægge mee i dem, end det som tallene egentlig kan bæe. Eksempelvis vise fosøg, at i lagkagediagamme, hvo man skal sammenligne vinkle (elle aeale), da vil denne sammenligning afhænge noget af i hvilken etning vinklens ben pege. Nedenstående eksempel vise hvodan en figu kan væe misvisende uden diekte at væe foket. Eksempel 5.3. Misvisende figu Tøndene i figuen nedenfo skal illustee hvodan osteekspoten fodele sig på de foskellige vedensdele. Den give imidletid et helt foket indtyk. Det e højdene på tøndene de angive de koekte fohold, men af tegningen vil man to, at det e umfangene af tøndene. De 3 små tønde kan umiddelbat væe flee gange indeni den stoe tønde, men det svae jo ikke til talfoholdene. De mest almindelige figue til at give et visuelt oveblik ove støe talmateiale e histogamme (søjlediagamme) og kuve i et koodinatsystem. 95

202 5. Deskiptiv statistik 5... Kvantitative data (vaiable) Kvantitative data e data, hvo egisteingen i sig selv e tal, de angive en bestemt ækkefølge, f. eks. som i eksempel 5.4 hvo data egistees efte det tidspunkt hvo egisteingen foegå elle som i eksempel 5.5, hvo det e støelsen af egisteede vædi de e af inteesse. Eksempel 5.4. Kvantitativ vaiabel: tid Fa statistikbanken (adesse e hentet følgende data ind i Excel, de beskive hvoledes indvandinge og udvandinge e sket gennem tiden. Excel: Vælg Befolkning og valg Ind- og udvanding Ind- og udvanding efte bevægelse unde bevægelse vælges alle og unde måned vælges å og deefte alle Tyk på tabel Dej tabel med uet Gem som Excel fil Indvandinge og udvandinge efte tid Indvandede Udvandede Giv en gafisk beskivelse af disse data. Løsning: Da dataene e egisteet efte tid (å) (den kvantitative vaiabel tid ) tegnes to kuve i samme koodinatsystem: Excel:3: Make udskiftsomåde Vælg på væktøjslinien Guiden diagam Kuve Make ønsket figu Næste Næste Næste Udfø Excel 7:Make udskiftsomåde Vælg på væktøjslinien Indsæt Steg Make ønsket figu 96

203 5. Gafisk beskivelse af data Indvandede Udvandede Eksempel 5.5. Kvantitativ vaiabel, sideafvigelse ved skydning. Man ha gange målt sideafvigelsen ved skydning med maskingevæ. Resultatene (som kan findes på adessen ) va følgende: Giv en gafisk beskivelse af disse data. Løsning: I dette tilfælde, hvo vi e inteesseet i at få et oveblik ove tallenes indbydes støelse e det fodelagtigt at tegne et histogam. Et histogam ligne et søjlediagam, men he gælde, at antallet af enhede i hve søjle epæsentees ved søjlens aeal (histo e gæsk fo aeal). Man bø så vidt muligt søge fo at guppene e lige bede, da antallet af enhede så svae til højden af søjlen. Excel kan umiddelbat tegne e histogam, men af hensyn til det følgende foklaes hvodan man bestemme intevalopdeling m. m. Føst findes det støste tal x max og det mindste tal x min i mateialet og deefte beegne vaiationsbedden x max - x min. Vi se, at støste tal e 33. og mindste tal e og vaiationsbedden defo 33. -(-4.44) = Denæst deles tallene op i et passende antal intevalle (klasse). Som det føste bud vælges ofte et antal næ n. Da vælges ca. klasse. Da = 58. dele vi op i de klasse, de ses af tabellen. Dette give intevalle. Vi tælle op hvo mange tal de ligge i hvet inteval (gøes nemmest ved at state fofa og sæt en steg i det inteval som tallet tilhøe). 97

204 5. Deskiptiv statistik Klasse Antal n ]-4.5 ; -8.7] // ]-8.7 ; -.9] / ]-.9 ; - 7.] /// 3 ]-7. ; -.3] /////////// ]-.3 ; 4.5] /////////////////// 9 ]4.5 ;.3] /////////////////////// 3 ].3 ; 5.] //////////////////// ]5. ;.9] //////////// ].9 ; 7.7] /////// 7 ]7.7 ; 33.5] // I Excel ske det på følgende måde: Data indtastes i eksempelvis søjle A til A ( data findes på adessen ) 3: Vælg Funktione, Dataanalyse, Histogam 7: Vælg Data, Dataanalyse, Histogam I den femkomne tabel udfyldes inputomådet med A:A og man vælge diagamoutput.. ) Tykkes på OK fås en tabel med hyppighede, og en figu, hvo intevalgænsene e fastlagt af Excel. ) Ønske man selv at bestemme gænsene, skal man også udfylde intevalomådet. Dette gøes ved at skive de øve gænse i en søjle (f.eks. i B -8.7, i B -.9 osv. ) og så skive B:B i inputomådet Nedenstående figue e blevet gjot lidt pænee ved a) cuso på en søjle tyk høje musetast fomate dataseie indstilling mellemumsbedde = ok I tilfælde femkomme følgende Inteval Hyppighed Kumulativ % -8,7,% -,9,% -7, 3 3,% -,3 6,% 4,5 9 7,%,3 3 39,% 5, 5,%,9 79,% 7,7 7 9,% 33,5 98,% Mee,% -8,7 -,9-7, -,3 Histogam 4,5,3 5, Inteval,9 7,7 33,5 Mee Det ses, at de fleste målinge ligge fa ca. -.3 til ca. 5. og så falde hyppigheden nogenlunde symmetisk til begge side. Man egne nomalt med, at esultatene af fosøg, hvo man ha foetaget målinge (hvis man lavede nok af dem) ha et sådant klokkefomet histogam Hyppighed 98

205 5. Gafisk beskivelse af data Sumpolygon Ud ove at tegne histogamme fo en stikpøve e det også ofte nyttigt, at betagte en sumpolygon fo en stikpøve. Eksempel 5.6 Sumpolygon Lad os igen betagte de sideafvigelse i eksempel 5.5. Vi foetage nu en opsummeing(kaldes kumuleing), og deefte beegnes ved division med (antal sideafvigelse) tallene i % af det totale antal Deved femkomme følgende tabel: Klasse Antal Sum Kumuleet elativ hyppighed ]-4.5 ; -8.7]. ]-8.7 ; -.9] 3.3 ]-.9 ; -7.] ]-7. ; -.3] 7.7 ]-.3 ; 4.5] ]4.5 ;.3] ].3 ; 5.] ]5. ;.9] 9.9 ].9 ; 7.7] ]7.7 ; 33.5]. Afsættes punktene (-8.7,.), (-.9,.3)... (33.5,. ) (bemæk at x-vædiene e vædiene i høje intevalendepunkt), og fobindes de enkelte punkte med ette linie, fås den i figu. angivne sumpolygon, hvoaf man kan aflæse, at 5% af sideafvigelsene ligge unde ca.. (kaldes 5% faktilen elle føste kvatil). Fig 5. Sumpolygon 99

206 5. Deskiptiv statistik 5.3. Kaakteistiske tal I dette afsnit søge man ved nogle få kaakteistiske tal, at kaakteisee hele populationen elle hvis det e uovekommeligt en stikpøve af populationen. Vi vil i dette og de følgende afsnit igen benytte TI89, men nu på eksemple hvo antallet af tal e mee ovekommeligt at indtaste i lommeegneen. Til kaakteiseing af stikpøven vælges dels et tal de ligge i midten af tallene, dels et tal de angive hvo meget tallene spede sig. E histogammet imeligt symmetisk(som i eksempel 5.5) siges de at væe nomalfodelte. Det afhænge af om dette e tilfældet, elle histogammet e meget skæv hvilke midtetal og spedningstal man foetække. Symbolik. Kendes hele populationen kan man beegne en eksakt midtevædi. Denne kaldes middelvædien og benævnes µ (gæsk my) elle E(X) (Expected value). Tilsvaende kan beegnes et eksakt spedningsmål. Denne kaldes spedningen elle standadafvigelse (engelsk: standad deviation) og benævnes σ ( X ) elle kot σ. Kendes kun en stikpøve, så beegnes en tilnæmet vædi (kaldet et estimat) fo µ Denne kaldes gennemsnittet og benævnes x (kaldt x steg). Tilsvaende kaldes et estimat fo σ fo s Nomalfodelte obsevatione Gennemsnit x : x + x xn Kaldes obsevationene i en stikpøve x, x,..., x n e x = n Eksempel: Tallene 35.9, 33.3, 34.7, 34. ha gennemsnittet x = = TI 89: MATH\Statistics\mean({35.9,33.3,34.7,34.}) Resultat: x =34.5 Spedning s: Kaldes obsevationene i en stikpøve e x, x,..., x n e s = Eksempel: Tallene 35.9, 33.3, 34.7, 34. ha spedningen n ( xi x ) i= n ( ) + ( ) + ( ) + ( ) s = = TI 89: MATH\Statistics\stdDev({35.5,33.3,34.7,34.}) Resultat: =.95 Fomlen begundes ikke he, men man kan umiddelbat se, at ligge obsevationene tæt ved gennemsnittet, så blive s lille. Tallene 34.3, 34.6, ha samme gennemsnit som i foige eksempel, men de ligge meget tættee ved gennemsnittet Spedningen på.83 e da også som foventet langt minde. x

207 5.3 Kaakteistiske tal Vudeing af støelsen af stikpøvens spedning. Man kan vise, at fo nomalfodelte obsevatione gælde, at mellem x s og x + s ligge ca. 95% af obsevationene, og mellem x 3 s og x + 3 s ligge ca. 99% af obsevationene. Dette benyttes bl.a. i statistisk kvalitetskontol, hvo man løbende udtage stikpøve af poduktionen. Eksempelvis kan man om en måling, de give en vædi, de ligge udenfo intevallet [ x 3 s; x+ 3 s]sige, at hvis ikke det e en fejlmåling, så e de noget galt ved poduktionen (en maskine løbet vam elle lignende) Man kan vise den meget vigtige sætning, at selv om obsevationene ikke e nomalfodelte, så e gennemsnittet imelig nomalfodelt blot antallet af obsevatione e ove ca. 3. Samtidig gælde, at s Stikpøvegennemsnittet x vaiee med en spedning på sx ( ) =, hvo n e stikpøvestøelsen. n Fo tallene fa fø 35.9, 33.3, 34.7, 34. gælde således, at gennemsnittet x = ha en spedning 95. på sx ( ) = = Dette stemme med at man umiddelbat føle, at et gennemsnit e mee sikket end den enkelte måling. Man opnå altså en væsentligt mee pæcist estimat (esultat), hvis man beegne et gennemsnit på målinge, da spedningen på den enkelte måling så skal dividees med. E det meget dye målinge e det dog sædvanligvis klogest f.eks. at nøjes med 5 målinge, og buge essoucene på anden vis. Fodelen ved at gå fa 5 målinge til målinge e begænset, da spedningen jo kun blive halveet deved. Ha man mange obsevatione, vil man i TI89 med fodel kunne anvende metoden i følgende eksempel: Eksempel 5.7. Fatkontol Fædselspolitiet ovevejede, om de bude indføes en fatgænse på 7 km/h på en bestemt landevejsstækning, hvo de hidtil havde væet en fatgænse på 8 km/h. Som et led i analysen af hensigtmæssigheden af den ovevejede ænding obseveedes inden fo et bestemt tidsum ved hjælp af adakontol de fobipasseende biles fat. Resultatet af målingene va: 3 obsevatione a) Find gennemsnitsfaten b) Find spedningen på faten. c) Find spedningen på gennemsnitsfaten

208 5. Deskiptiv statistik Løsning: a) TI89: APPS\ STAT/LIST. Indtast de 3 data i list, F4\-Va Stats\List = list (Vælg VAR LINK og vælg listnavne hefa), ENTER En ække tal vise sig. Man finde x = 76., dvs. gennemsnitsfaten e 7.6 km/timen b) Man finde, i samme udskift ud fo s X, at spedningen s = c) sx ( ) = = 37., dvs. vi nu ved, at med 95% sikkehed ligge gennemsnitsfaten mellem = til = Ikke nomalfodelte obsevatione I tilfælde hvo obsevationene fodele sig meget skævt (histogammet e ikke imelig symmetisk) kan det væe hensigtsmæssig i stedet at beegne median og kvatilafstand som vist i det følgende. Median: Medianen beegnes på følgende måde: ) Obsevationene odnes i ækkefølge efte støelse. a) Ved et ulige antal obsevatione e medianen det midteste tal b) Ved et lige antal e medianen gennemsnittet af de to midteste tal. Eksempel: Obsevatione 35.9, 33.3, 34.7, Odnet i ækkefølge: 33.3, 34., 34.7, Median TI 89: MATH\Statistics\median({35.9,33.3,34.7,34.}) Resultat: m = 34.4 = Medianen kaldes også fo 5% faktilen, fodi den bøkdel (faktil) de ligge unde medianen e ca. 5%. Ved kvatil = 5% faktilen, fostås det tal som 5% af obsevationene ligge unde Ved 3 kvatil = 75% faktilen, fostås det tal som 75% af obsevationene ligge unde E medianen minde end gennemsnittet e de muligvis tale om en højeskæv fodeling som ha den lange hale til høje.(se figuen) E medianen støe end gennemsnittet, e de muligvis tale om en vensteskæv fodeling

209 5.3 Kaakteistiske tal At man eksempelvis i lønstatistikke angive medianen og ikke gennemsnittet femgå af følgende lille eksempel. Lad os antage at en viksomhed ha ansatte, med månedslønninge odnet efte støelse på,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Gennemsnittet e he 36, mens medianen e 45. Medianen ænde sig ikke selv om den højeste løn vokse fa til million, mens gennemsnittet natuligvis vokse. Medianen give defo en mee imelig beskivelse af middellønnen i fimaet. Kvatilafstand: I nævnte lønstatistik e også angivet nede og øve kvatil. Disse som e henholdsvis 5% faktilen og 75% kvatilen, dvs. henholdsvis det tal som 5% af lønningene ligge unde og som 75% af lønningene ligge unde. Ved at angive dem, få man et indtyk af, hvo sto lønspedningen e. Et mål fo denne spedning kunne væe kvatilafstanden. Eksempel 5.8 Kvatilafstand I den tidligee omtalte lønstatistik findes bl.a. følgende tal, idet de to sidste kolonne e vo beabejdning af tallene. Løn p. pæsteet time n gennemsnit x nede kvatil k median m øve kvatil k3 x m Ledelse på højt niveau Kontoabejde k3 k m x Af kolonnen ses, at fo begge ække e gennemsnittet støe end medianen dvs. begge fodelinge m e højeskæv, men det gælde mest fo ække n.. He gælde åbenbat, at nogle få foholdsvis høje lønninge tække gennemsnittet op. Skal man sammenligne lønspedningen i de to tilfælde, må man tage hensyn til, at medianen e meget foskellig. Man vil defo som de e sket i sidste kolonne beegne den elative kvatil-afstand. Den vise også, at lønspedningen e væsentlig minde fo kontoabejde end fo ledelse. Hvis man ha mistanke om, at fodelingen e skæv, så kan man i TI89 tegne et såkaldt boxplot. Den give samtidig mulighed fo at beegne mediane og kvatile. Mediane og kvatile kan også findes på den udskift som femkom i eksempel 5.7. Medx = median, Qx og Q3x e og 3. kvatil. jævnfø statistisk åbog 5 tabel 44 elle se Og vælg løn\lønstatistik fo den statslige sekto\løn3\klik fo at vælge\alle vædie\hovedguppe\ledelse på højt niveau+kontoabejde 3

210 5. Deskiptiv statistik Eksempel 5.9 = eksempel 5.7 fotsat a) Tegn et boxplot fo tallene i eksempel 5.7 Afgø ud fa den b) Om fodelingen nogenlunde symmetisk c) Aflæs på plottet kvatil, dvs. den hastighed som 5% af hastighedene ligge unde ( og altså 75% ligge ove) d) Aflæs på plottet 3 kvatil, dvs. den hastighed som 75% af hastighedene ligge unde ( og altså 5% ligge ove) e) Aflæs på boxplottet den støste og mindste hastighed, de foekomme. Løsning a) TI89: APPS\ STAT/LIST. F:Plots\:Plot Setup\F:Define\Plot type = Boxplot\ x = list (Vælg VAR LINK og vælg listnavne hefa), ENTER\ Gaph De femkomme følgende boxplot b) Ved at tykke på F3 : Tace og flytte cuso til linien midt i kassen aflæses medianen til 7. Man se at medianen ligge foskudt til venste i kassen, hvilket betyde, at fodelingen e højeskæv. Det stemme også med at gennemsnittet va 7.6 km/time, dvs. højee end medianen c) Ved at flytte cuso til venste kant af kassen aflæses kvatil til 63, dvs. 5% af de de køe langsomst køe unde 63 km/time d) Tilsvaende ved at flytte cuso til høje kant af kassen aflæses 3 kvatil til 84 km, dvs. 75% af bilistene køe 84 km/time elle deunde. Da den hidtidige hastighedsgænse e 7 km/time oveskide ove 5% denne gænse, og 5% meget betydeligt. e) Ved at flytte cuso til de to ydepunkte aflæses, at højeste hastighed e 3 km/time og laveste hastighed e 35 km/time 5.4. Guppeede fodelinge. I mange statistiske tabelle angive man fo oveskuelighedens skyld ikke de opindelige data, men guppee tallene og angive så kun hyppighedene indenfo hve guppe. Fo at få estimat fo gennemsnit og spedning antage man nu, at alle obsevatione ligge i midten af intevallet. Man sige, at gennemsnittet e et vægtet gennemsnit, fodi hve vædi indgå med en vægt svaende til andelen af vædie i hvet inteval. På tilsvaende måde kan man finde spedningen af fomlen n i= n ( xi x) 4

211 5.5 Stikpøve Eksempel 5. Guppeet fodeling I statistikbanken findes følgende tabel ove aldesfodelingen af eleve fa København, som e unde uddannelse til fosvaet i 4. alde antal Beegn gennemsnit og spedning Løsning: x = = = ( 5.) 7 + ( 5.) ( 37 5.) 7 s = =.74 6 Median: De summees op til man nå 3. Heaf ses, at median e Stikpøve Indledning I langt de fleste i paksis foekomne tilfælde vil det bl.a. af tidsmæssige og omkostningsmæssige gunde væe umuligt at foetage en totaltælling af hele populationen. Helt klat e dette ved afpøvningen ødelægge emnet (åbning af konsevesdåse) elle populationen i pincippet e uendelig ( fo at undesøge om en metode give et støe udbytte end et andet elle undesøge sideafvigelsene ved skydning med maskingevæ) da de he ingen øve gænse fo antal delfosøg) Som det senee vil femgå kan selv en foholdsvis lille epæsentativ stikpøve give sva på væsentlige fohold omking hele populationen. Det e imidletid klat, at en betingelse hefo e, at stikpøven e epæsentativ, dvs. at stikpøven med hensyn til den egenskab de ønskes e et mini-billede af populationen. Det e he vigtigt at følgende spøgsmål blive afklaet: ) Hvodan stikpøven udtages ) Hvo sto stikpøven skal væe Udtagelse af stikpøve Dette ske sædvanligvis ved en elle anden fom fo lodtækning (kaldes andomiseing). Afhængig af poblemet kan dette gøes på foskellig måde. Simpel udvælgelse: Den enkleste fom fo stikpøveudtagning e, at man nummeee populationens elemente, og så andomisee (ved lodtækning, evt. ved at benyttet et pogam de genee tilfældige tal) udtage de N elemente de skal indgå i stikpøven. Eksempel: Fo at undesøge om en ny pille mod en bestemt lidelse va effektiv udvalgte man ved lodtækning patiente som fik den nye pille. 5

212 5. Deskiptiv statistik Fejlkilde: Det e en efaing at bae det, at man ved, man pøve en ny medicin kan fobede ens helbed. Man kan defo fejlagtigt to, at pillen e vikningsfuld. Man vælge defo sædvanligvis 4 patiente ved lodtækning, hvoaf de få den nye pille og de øvige en vikningsløs kalktablet. (placebobehandling). Statificeet udvælgelse. Unde visse omstændighede e det fodelagtigt (minde stikpøvestøelse fo at opnå samme sikkehed) at opdele populationen i minde guppe (kaldet stada), og så foetage en simpel udvælgelse indenfo hve guppe. Dette e dog kun en fodel, hvis elementene indenfo hve guppe e mee ensatet end mellem guppene. Eksempel: Ønske man at spøge vælgene om dees holdning til et skattestop kunne det uden tvivl væe nødvendigt at dele stikpøven op efte indkomstguppe (høj, mellem og lav). Systematisk udvælgelse: Det e jo ikke sikket at man kende alle elemente i populationen. I så fald kunne man foetage en såkaldt systematisk udvælgelse, hvo man vælge at udtage hve k te element fa populationen. Eksempel: En detailhandle ønske at måle tilfedsheden hos sine kunde. De ønskes udtaget 4 kunde i løbet af en speciel dag. Da man natuligvis ikke på fohånd kende de kunde de komme i butikken, vælges en systematisk udvælgelse, ved at vælge hve 7'ende kunde de folade butikken. Man state dagen med ved lodtækning at vælge et af tallene fa til 7. Lad det væe tallet 5. Man udtage nu kunde n. 5, 5+ 7 =, 5+ 7 = 9,..., = 78. Deved ha man fået valgt i alt 4 kunde. Poblemet e natuligvis, om tallet 7 e det igtige tal. Hvis man få valgt tallet fo stot, eksempelvis sætte det til 3, så vil en stikpøve på 4 kæve, at de e 75 kunde den dag, og det behøve jo ikke at væe tilfældet. Omvendt hvis tallet e fo lille, så få man måske udtaget de 4 kunde i løbet af fomiddagen, og så e stikpøven nok ikke epæsentativ, da man ikke få eftemiddagskundene med. Klyngeudvælgelse (Cluste sampling) Denne metode kan med fodel benyttes, hvis populationen bestå af elle kan inddeles i delmængde (klynge). Metoden bestå i, at man ved andomiseing vælge et minde antal klynge, som så totaltælles. Eksempel: I et vaepati på emne fodelt på kasse hve med emne ønske man en vudeing af fejlpocenten. Man udtage andomiseet 5 kasse, og undesøge alle emnene i kassene. 6

213 5.5 Stikpøve Stikpøvens støelse Indledning Udtages en stikpøve fa en population e det jo fo, at man ud fa stikpøven kan fotælle noget centalt om hele populationen. I eksempel 5.5 va vi således inteesseet i hvo meget sideafvisningen va fo det pågældende maskingevæ. Vi fandt, at fo gennemsnittet af skud va den 7.79 enhede mod venste. Et sådant gennemsnit e imidletid også behæftet med en vis usikkehed. Havde vi skudt ande skud, havde vi uden tvivl fået et lidt andet gennemsnit. Det e defo ikke nok, at angive at den sande middelvædi e hedsinteval. Et inteval indenfo hvilket den sande vædi et 95% konfidensinteval. x, vi må også angive et usikke- µ med eksempelvis 95% sikkehed vil ligge, kaldes Vi må nu skelne mellem to situatione ) Nomalfodelte obsevatione. Resultatene e he tal, de i pincippet kan angives med et stot antal decimale, som eksempelvis ovennævnte sideafvigelse, elle bilenes fat. ) Obsevatione esultee i hele (ikke negative) tal. Et eksempel e makedsundesøgelse, hvo man spøge pesone, om de bedst kan lide podukt A, B elle C. He e det antallet af pesone de e esultatene Nomalfodelte obsevatione. Lad os antage, at stikpøven ha n obsevatione, og at man ha beegnet gennemsnittet x og sped- ningen s. Man kan vise, at et 95% konfidensinteval fo middelvædien µ bestemmes ved fomlen s s x t µ x + t, hvo t e et tal, de afhænge af n. n n Beegningen kan automatisk foetages af TI89 Eksempel 5. = 5.7 fotsat Beegn et 95% konfidensinteval fo de 3 obsevatione af faten. Løsning: Efte at have tastet tallene ind i list" vælges F7\ : t-inteval\ data\enter I den femkomne menu vælges List (fa VAR-link) og C level til.95 (da vi vil have et 95% konfidensinteval) Resultat [65.68 ; 78.66] Den gennemsnitlige fat va 7.7 km/time, men det vi ved nu, e, at med 95% sikkehed ligge den gennemsnitlige fat mellem 65.7 km/time og 78.7 km/time. Ønskes usikkeheden bagt ned, så må man gøe stikpøven støe. Et gundlæggende poblem e he, at man jo ikke kende spedningen s. Man e defo nødt til at få et indtyk af støelsen af s ved at lave nogle indledende fosøg. Hvo meget man skal foøge n med gøes nok lettest ved at pøve sig fem, som de følgende eksempel vise. 7

214 5. Deskiptiv statistik Eksempel 5.. Stikpøvens støelse En fostmand e inteesseet i at bestemme middelvædien af diameteen af voksne egetæe i en bestemt fedet skov. De blev målt diameteen på 7 tilfældigt udvalgte egetæe (i metes højde ove joden) Resultatet ses i følgende skema. diamete (cm) a) Beegn x og s og et 95% konfidensinteval fo middelvædien µ. Fostmanden fandt, at konfidensintevallet de blev beegnet på basis af 7 tæe va fo bedt. Han ønskede, at 95% konfidensintevallet højst skulle have en adius på 5 cm. c) Hvo sto en stikpøve skal han med tilnæmelse op på. Løsning: a) Efte at have tastet tallene ind i list" vælges F7\ : t-inteval\ data\enter I den femkomne menu vælges List (fa VAR-link) og C level til.95 (da vi vil have et 95% konfidensinteval) Resultat x = 49,857 s =3, % konfidensinteval [36.33 ; 6.84] b) Det ses, at længden af konfidensintevallet e = 5.5 dvs. meget støe end de cm,de ønskes Idet vi nu antage at s e uændet 3.8, F7\ : t-inteval\ Stats\ENTER x = 49, s = 3.8 og fosøgsvis n =. Man få [4.6; 55.5], dvs. I den femkomne menu vælges længden e ca. 3cm De gættes nu på n = 3, og man få [43.9 ; 54.]. Vi e nu meget tæt på cm. Vælges n = 3 fås [44. ; 54.] dvs. stikpøvestøelsen skal væe 3. Da de som sagt bl.a. e usikket, om s stadig e 3.8, skal sådanne beegninge altid eftefølgende kontollees nå man ha lavet fosøgene Obsevatione esultee i hele (ikke negative) tal. I avise, TV m.m. optæde utallige opinionsundesøgelse og makedsundesøgelse, hvo man spøge en fohåbentlig epæsentativ stikpøve om dees mening. Resultatene e natuligvis usike, men sjældent fotælles de om hvo sto usikkeheden e. Følgende eksempel illustee dette. Eksempel 5.3. Opinionsundesøgelse. Ved valget i 7 stemte 5.5% af vælgene på socialdemokatene. I en opinionsundesøgelse 4 månede efte valget svaede 35 vælgee på spøgsmålet om hvilket pati det va mest sandsynligt de ville stemme på hvis de va valg i mogen..7% svaede, at de ville stemme på Socialdemokatene. På gundlag heaf blev de konkludeet, at patiet va gået signifikant tilbage siden valget. E denne konklusion imelig? 8

215 5.5 Stikpøve En metode til at afgøe dette på, e at angive et passende usikkehedsinteval fo sandsynligheden p fo svapocenten. Et inteval, hvo man vil væe 95% sikke på at den sande sandsynlighed p ligge indenfo intevalgænsene, kaldes et 95% konfidensinteval fo p. Lad n væe antal pesone de ha svaet, og lad x væe antal positive sva. x Idet $p = kan man vise, at et 95% konfidensinteval fo p bestemmes af fomlen n p$ ( p$) p$ ( p$) p$ 96. p p$ foudsat n p$ ( p$) n n Ønskede vi eksempelvis et 9% konfidensinteval estattes.96 med.645 (intevallet blive bedee.) Eksempel 5.3 Beegning af konfidensinteval I eksempel 5.3 svaede 35 vælgee på spøgsmålet om hvilket pati det va mest sandsynligt de ville stemme på hvis de va valg i mogen..7% svaede, at de ville stemme på Socialdemokatene. Opstil et 95% konfidensinteval fo sandsynligheden p fo at man vil stemme på socialdemokatene. Løsning: Da $p =.7 fås n p$ ( p$) = (. 7) 8 Foudsætning ok. Antal de svae positivt e x = Vælg APPS\F7\-PopZInt. Udfyld menu x = 35\ n = 35\ C Level =.95 ENTER Resultat: [.5 ;.56 ] Vi se altså, at da valgesultatet lå på 5.5%, så må man konkludee, at socialdemokatene med sto sikkehed e gået tilbage i fohold til valget. 7. ( 7. ) Benyttes fomel fås : p p p (. 7) 35 Fø man state sine målinge, kunne det væe nyttigt på fohånd at vide nogenlunde hvo mange målinge man skal foetage, fo at få esultat med en given nøjagtighed. Hvis man antage, at ovennævnte fomel fo konfidensadius gælde, så ved vi, at adius fo et 95% p$ ( p$) n konfidensinteval e = 96.. Løses denne ligning med hensyn til n fås n = p p 96. $ ( $) Det gundlæggende poblem e he, at man næppe kende $p eksakt. Man kende muligvis på basis af tidligee efainge støelsesodenen af $p. Hvis ikke kunne man 9

216 5. Deskiptiv statistik eventuelt udtage en lille stikpøve, og beegne et $p på basis heaf. Endelig e de den mulighed, at sætte $p =.5, som e maksimumsvædien af p$ ( p$) Benyttes denne vædi få man den støst mulige vædi af n fo en given vædi af. Ulempen e, at dette føe til en støe stikpøvestøelse end nødvendigt. Det følgende eksempel illustee femgangsmåden. Eksempel 5.4. Dimensioneing. I den i eksempel 5.3 nævnte undesøgelse ønskes inden udtagning af stikpøven, at antallet skal væe så stot, at adius i konfidensintevallet højst e %. Løsning: Metode. Fo at få en øve gænse, sættes $p =.5. Vi få n = p p 96. = 96. $ ( $) = 4. Metode Da man på fohånd ved, at ved sidste valg fik ingen patie mee end 3% af stemmene sættes $p =.3. u n = p p 975. = 96. $ ( $) = 7. Som kontol kan man beegne konfidensintevallet ved TI89 Da 3% af = 6 indsætte x = 6 og n =. Man finde [.8 ;.3] hvilket svae meget godt til at bedden e 4% og adius demed %.

217 Opgave til kapitel 5 Opgave Opgave kadette blev spugt om hvo ofte de havde væet i biogafen det sidste å. Svaene va, 7, 4, 4, 3, 6, 9, 7, 4, 3, 8, 7, 7, 6, 7, 4, 3, 3, 8, 9, 8, 7, 6, 4,, 4, 3, 7, 9, 6 a) Tegn et boxplot af tallene b) Beegn gennemsnit og median, og vude ud fa dem og boxplottet om fodelingen e højeskæv, vensteskæv elle symmetisk c) Hvo sto en pocentdel af kadettene ha haft 8 elle flee besøg i biogafen. Opgave 5.. Fo at kunne sammenligne to klasse i matematik fik klassene samme pøve, hvo de maksimalt kunne få point. SB: 6, 65, 4, 8, 5, 6, 5, 95, 65, 6, 65 SB: 65, 65, 7, 75, 85, 75, 85, 4, 6, 7, 6 a) Tegn (på samme tegning) de to klasses boxplot, og vude ud fa tegningen om pointene fodele sig symmetisk. Vude endvidee gafisk hvilken klasse de ha klaet sig bedst og e mest homogen. b) Angiv de to klasses mediane og dees gennemsnit. c) Angiv de to klasses spedning og dees kvatilafstand d) Vude ud fa svaene i b) og c) om svaet i a) stadig e koekt. Opgave 5.3 Givet følgende histogam a) Tegn den tilhøende sumkuve b) Angiv median, gennemsnit, spedning og nede og øve kvatil Opgave 5.4 I en politisk foening med 85 medlemme femgå medlemmenes alde af følgende skema: Alde Antal a) Tegn et histogam, og en sumkuve ove aldesfodelingen b) Beegn gennemsnittet og medianen fo medlemmenes alde. Opgave 5.5 I fobindelse med en ny byggeplan i en minde by blev tilfældige fodgænge på byens hovedgade spugt om de støttede planen. 6 va modstandee af planen. a) Hvad e populationen? b) Hvad e stikpøven? c) Synes du stikpøven e epæsentativ? Begundelse skal gives.

218 5. Deskiptiv statistik Opgave 5.6 Et byggemaked ønske via en stikpøveundesøgelse at få et indtyk af kundenes tilfedshed med betjeningen. De ovevejes følgende måde at udtage de kunde man vil spøge a) Alle kunde mellem kl 3 og 4 b) Alle kunde de e blevet betjent af en bestemt medabejde c) Alle kunde, de ha købt fo mee end 5 k d) Hve 5'te kunde Hvilken metode synes du e bedst? Opgave 5.7 Den følgende tabel vise vægtene (i kg) af 8 kanine a) Foetag en vudeing af, om fodelingen e nogenlunde symmetisk (nomalfodelt) ved at tegne et boxplot Idet det antages, at det e tilfældet, skal man beegne b) Gennemsnit og spedning c) Angive det inteval hvoi den sande# middelvædi med 95% sikkehed ligge. d) Angiv hvo sto en pocent af kaninene, de appoksimativt ovestige en vægt på 3 kg Opgave 5.8 Tykstyken i beton blev kontolleet ved at man støbte betonklodse og testede dem. Resultatet va: a) Find et estimat fo tykstykens middelvædi µ og spedning σ. b) Angiv et 95% konfidensinteval fo µ. c) Man fandt, at adius i konfidensintevallet va fo sto. Bestem med tilnæmelse antallet af målinge de skal udføes, hvis adius højst skal væe. Opgave 5.9 Ved en fabikation af et bestemt spængstof e det vigtigt, at en eaktoopløsning ha en ph-vædi omking 8.5. De foetages 6 målinge på en bestemt eaktantopløsning. Resultatene va: ph Den benyttede ph-målemetode antages på baggund af tidligee lignende målinge at give nomalfodelte esultate. a) Angiv et estimat fo opløsningens middelvædi og spedning. b) Angiv et 95% konfidensinteval fo ph. c) Man finde, at adius i konfidensintevallet e fo bedt. Angiv med tilnæmelse antallet af målinge de skal foetages, hvis adius skal væe.. Opgave 5. De øveste ak papi i en pakke med pintepapi ha følgende vægt Angiv 95%-konfidensintevalle fo middelvædi og spedning af papiets vægt.

219 Opgave til kapitel 5 Opgave 5. Til undesøgelse af alkoholpocenten i en pesons blod foetages 4 uafhængige målinge, som gav følgende esultate (i ): Opstil et 95% konfidensinteval fo pesonens alkoholkoncentation. Opgave 5. I appoten Analyse af elevkampagnen 6" udabejdet af Fosvaets ekutteing etuneede 64 pesone et udsendt spøgeskema. På side e en opgøelse ove hvilke medie de va udslagsgivende fo mateialebestilling. Heaf femgå at TV-spot va udslagsgivende fo p = 34% De påstås side 7, at den usikkehed de knytte sig til målingene e ± 35%. a) Beegn et 95% konfidensinteval fo p, og kommente ovennævnte påstand. b) Hvo mange pesone (afund op til næmeste med delelige tal) skulle have indsendt spøgeskemaet, hvis påstanden om de 3.5% skulle væe koekt idet vi stadig antage, at p = 34%. Opgave 5.3 I en analyse af abejdsgivenes tilfedshed med jobnet, svaede 488 abejdsgivee på spøgsmålet. Det viste sig, at kun ca. 5% va utilfedse med jobnet. a) Beegn et 95% konfidensinteval fo p =.5. b) Giv et skøn ove hvo mange abejdsgivee (afund op til næmeste med delelige tal) man skulle have haft sva fa, hvis et 95% konfidensinteval fo p skulle have adius.. Det antages, at p stadig ligge omking 5% Opgave 5.4 I en analyse blev 48 abejdsgivee spugt om hvilke jobtype de annonceede på jobnet. Det viste sig, at kun 7% benyttede jobnet til at annoncee efte ledee. a) Beegn et 95% konfidensinteval fo p =.7 b) Giv et skøn ove hvo mange abejdsgivee (afund op til næmeste med delelige tal) man skulle have haft sva fa, hvis et 95% konfidensinteval fo p skulle have adius.. Det antages, at p stadig ligge omking 7 % 3

220 Facitliste Facitliste. a) 6 b) -5 c) 9 d) 54 e) 3 8. a) b) c) d) e) a) a+4b b) + 4b a c) d) e) 3 3x a f) a b 3x a) 3x + 7 b) xy x y 9 c) xy d) 3x + x + 6x e) b.5. a) a b) c) 4x a c 4.6. a) -6 b) c) a) a b) a 5 c).8. a) ± b), - c), 3, , 5.99, nej.4 y = x+.5. y = x a) - b) y = x - 5 c) (,5) 5 (, ).7. a) y = 3x b) y = x 3.8. y = x 4.9. nej. a) ( x+ ) + ( y 3) = 5 b) - c) (,) (-6,). a) C = (,3) = b) C = (-, 6) = 5. a) C = (-, 3) = 4 b) C = ( 5, ) = 3 c) C = (-, -4) = , 3.4 a) y = 789. x b) -.5 a) y = x b) -.6 a) c=, b= 75 b) a=4, b = ,.9397,.9397, a) b) 3.56 og c)..9 b = c = 3.3, B = C = m. a) 4 3 = 6.9 b) m 3 x y xy 3

221 Facitliste , a = b 5, a) b) C = (4,5), D = (-6,) 3.7 a = 5, b = 34, a+ b = , 5, , 3 3. a) 3.6, b) 3.6, c) 3.47, 3.6 d) 3.3, (-.9, 3.388) 3.3 a) 93 sm b) 4.36, sm A=95.9, B = 35.4, C = a) - b) A=68.9, B = 9, C = , , B = (,6), C = (5,5), D = (4,) 3. C = (4,8), D = (,4) M = (,6) a a$, , a) x+ y 8= b) x+ y+ = 4. x+ y 68 = 4

222 Facitliste 4.3 a) 45 b) 8.44 c) a), b), 3 c) A = B = C = a) 5, 7 b) ja c) nej 4.7 a) - b) x+ 3y+ 5= 4.8 () (x,y) = (,-3) () (x,y) = 4.9. (44,-4) 4., 4 4. y= 4. ( x 3) + ( y 5) = (x,y) = (,7) (x,y) = (, ) (x,y) = (,3) (x,y) = (, ) , a) A = 4.98, B= 4.83 C =.9 b) a = 5.97 B = C = 65.6 c) c = A = 35.6 C = 4.74 d) a = c = A = sm 4.7 a) 4.9 sm b) 7.34 c) 3 minutte m 4.9 a) 6.9 sm b) a) (6.5, 9.63) b) 7.55 knob c) 6. sm 5. a) R, x, R b) x, f ( x) = x, 3 x 6.. b nq 6. x 6.3 a) (7,), (,) b) (4,-9) c) a) (4,), (-,), (,4) b) 3 7, c) (,) (3,4) m 6.7, , a) -.55, 899 b) = 6% ( ) 4 5

223 Facitliste a).6 b) 6.7 8,69 mm 6.8 ± p π, ± p π, p et helt tal 6.9 ± p π, p et helt tal p π, p π, p π, p π, p et helt tal 6. kl7.9, kl a) 3,.5 b).454,.954 c) a) =.75, - b) y = x c ) - d) 79.6 e) [7.5 ; 85.6] 7. a) y = x b) =.9986 c ) nej 7.3 a) =.9968, - b) y = x c ) 6.4 cm d) 68.4 e) nej 7.4 a) =.985, - b) t y = c ) 9,77 t 7.5 a) =.9997, - b) y = 4344, c ) 8.83 time d) 89.9 time 7.6 a) =.9999, - b) P =. 5 V 3 c) P = a) =.9464, - b) P = 4663, v c) 97% 7.8 a) 85. =.9964, - b) y = 369. x c ) a) =.966, - b) x = c ) y = d ) a) Potensmodel =.9999 b) , a) 4x b) 6 e 3x 3 c) cos( 5x) 3sin( 3x) d) x e) 9. a) sin( x) + xcos( x) b) 5ln( 8x ) + 5 c) ( 3+ 6x) a) x x + b) x sin x a) 5 b) ( x + ) 9.5 a) b) xe x ( + x) c x x a) b) ( x ) y = x y = 7, x a) y = x+, y = x+ b) 5 6 e x 3+ x

224 Facitliste a) m/s b) s c) m/s 8. a) R b) y= c) - d) 3 3 e) -. a) R b) y= c), intet d) y < e) -.3 a) x 3 b) x=3 c) < y 5 d) -.4 a) y a) -5.5 b) 5,,.93.6 a) b) 5 4 c) x <...3 a) a, b), 3.4 a) π π a x y+ x, y+ ( + ) x b) π c).4 m = 47., 3 = 47. π π.7.8 a).59 b) a) 8.33 b) c) 5 d) b).94 c) a) 3.9, 76.9 b) 9.57 s 79.4 s.4 a) t=, (3,) t=, (,) t=3, (-,) b) t=, (,) t=4, (,6) c) t=.58 (-.8, -.39), t =.4 (.44,.39) d) t = 3 (-,) e) - f).5 a) - b) (.), (-,) c) (,) (,3) d) 6 e).6 a) - b) (, ), (, ), (, ), (, ) ,,, a) ) ) 6 6 3) 53 b) 4 c) 5 5. a) x b) c) d) 5 3 sin 3x cos4x x 3 3 e x. a) b) c) ln() ( ) 3 3 sin( x) +.3 a) b) x ln( e x + ) c) 9 e x 4 7

225 Facitliste.4 a).96 b) 6.7 c) a) - b) , a) - b) a) 8 π b) 5 3. a) y = x b) c) d) 6 π 5 π π 8 8π.4 a) - b) c) = a) y = 9x 7 b) voksende 3. a) y = x+ 4 4 b) voksende 3.3 ja 3.4 a) voksende fo x>, aftagende fo x <, b) y = x 3.5 ja 3.6 a) 4x y = + C e b) y =, y = + e 3.7 a) y = x x+ + C e b) 4x x 3 y = x x+ 3 x a) y) e + C e b) y ) e + 3 e x a) y = cos( x) + sin( x) + C e b) y = cos( x) + sin( x) 5 c) y = 634. sin( x 49. ) 5 3. a) y = k y b) y = e 5. t a) y = ( b a y) y b) y = c )- x x 3 x t a).3954 b).78 c) a) 4t i = cos( 4t) + sin( 4t) e b) 3.4 a) dh c = h, b) h = ( t) dt π c) 3.5 dh c 3 3 a) V = π (tan v) h b) = h 3 dt π tan v c) h = ( 3 3t) 5 d).3 x 4x 3.6 a) y = C e + C e b) 4 y x x e x 3.7 = ( cos( ) sin( )) ( ) x y = C e cos( 3x) + C e sin( 3x) x t 8

226 x 3.8 y = e + Ce + Ce 3 9 x x 4x x x x 3.9 a) y = x e + x+ + Ce + C e b) (.3.3) ja, de e 4.5 u = 35.6, v = Nej 4.7 a) 3 b)5 4.8 a) (,-,-4), b) Nej 4.9 a) x 7 y t = + 3 z 3 3 b) nej , 6 4 k =, k =, k 4 8 A B C = 9 Facitliste x y = x e + x+ + e a) x + y = b) x + y = a) b) a) x - y + z - 3 = b) x + 3y - 5 = c) x - = d) (3,,), (5,, ), (,,) 4.6 a) - ( 46 3,, ) b) ( 3 4 ) 4.7 x - 5y + 3z = 4.8 a) nej b) (-3, 4,8) a) 34 b) c) x

227 Facitliste 4. a) x y z+ 3= b) (4, 7, -3) c) (6,,-7) 4.3 ( x 3) + ( y 5) + ( z+ ) = ( x 4) + ( y 6) + ( z 9) = a) (3, -8, ), = 3 b) (, 4, ), = 5.. a) - b) 6., 6.5 vensteskæv c) 5% 5.. a) - b) SB: 6, 6.7 SB: 7, 68.8 c) SB:5, 4.89 SB:.7, 5 d) a) - b) m=3 x =3, s = 4.9 nede Kvatil =, øve kvatil = a) - b) m = 55 x = a) - b).84.3 c) [.76 ;.93] d) 5% 5.8. a) b) [37 : 83] d) ca a) b) [8. ; 8.5] c) ca 5 5. [4.3 ; 4.9] [.8 ;.76] 5. [.965 ;.] 5. a) [.3 ;.38] b) a) [.3 ;.7] b) a) [.46 ;.94 ] b) 63

228 Stikod STIKORD A acceleation 8 acceleationsvekto 4 addition af vektoe additionsfomele 7 afhængig vaiabel 5 afledet funktion 9 anden afledet 9 afstand fa punkt til linie 38 fa punkt til plan 8 fa punkt til punkt 5 aftagende funktion 5 andengadsligning, 56 amplitude 77 acusfunktione acsin 73 accos 73 actan 73 aeal af paallelogam 3 aeal af punktmængde 38 afstandsfomel 5, 8 asymptote 3 B basisvektoe begyndelsesbetingelse 47 begyndelsespunkt i koodinatsystem 5 bevægelse, etlinet 4, 3, 73 bøkegel fo diffeentiation bølgelængde 79 C cikel 7 bevægelse 5 ligning 7 tangent 43 cosinus, 69 cos 73 cosecant cosc 74 cotangens cot 74 cosinuselationene 44 fo tekant i planen 44 D definitione egentlig vekto enhedsvekto længde af vekto, 4 nulvekto otogonalitet 9 vektoaddition vekto i plan 9 deskiptiv statistik deteminant af anden oden 3 definitionsmængde, 7 diffeenskvotient diffeentialkvotient diffeentialligning af. oden 47 numeisk løsning 55 diffeentialligning af. oden 58 diffeentiation 9 af eksponentialfunktion 4 af logaitmefunktion 4 af omvendt funktion 4 af potensfunktion 4 af sammensat funktion 3 standadfunktione 4 af tigonometiske funktione 4 egle diskiminant 56 E egentlig vekto eksponentialfunktion 6 eksponentiel vækst 49 ekstapolation 88 ekstema enhedscikel 9 enhedsvekto F fat 4 faktoiseing af polynomium 58 fasefoskydning 77 foklaingsgad 86 fekvens 77 fuldstændig løsning 47 funktion aftagende 5 eksponential 6 lineæ 55 logaitme 63

229 Stikod monoton 5 omvendt 5 peiodisk 7 potens 53 eel 5 sammensat 5 tigonometisk 68 voksende 5 undesøgelse 4 G gade 68 Gundelation i tigonometi, 7 gennemsnit gennemsnitsomkostning 37 guppeede fodelinge 4 gænseomkostning 7 gænseomsætning 8 gænsevædi 96 H halveingstid 66 hastighedsvekto 4 hældning 6 hældningskoefficient 6 højee afledede 9 højestilling 68 I impedans 76 indskudssætning fo vektoe indsættelsesmetoden 4 integal bestemt 35 ubestemt 3 integand 3 integation 3 numeisk 9 integationspøven 3 integationsegle 33 patiel 33 substitution 33 intepolation 3 K kaakteistiske tal kinematik 3 kontinuitet 97 konfidensinteval 7 koodinate fo plane vektoe fo vektoe i ummet 68 polæe 6 koodinatsystem i planen 5 i ummet 68 koelationskoefficient 86 kæftenes paallelogam kumuleet elativ hyppighed 99 kvalitative data 94 kvantitative data 96 kvatil kugle 87 L lagkagediagam 94 ligning cikel 7 kugle 87 linie i plan 6, 36 plan i ummet 8 ligninge med to ubekendte 4 lineæ funktion 55 lineæ diffeentialligning af. oden med konstante koefficiente 48, 5 lineæ diffeentialligning af. oden 58 linieelemente 56 linie i plan 6, 36 i plan 6, 36 i ummet 7 vindskæve 73 logaitme natulig ln 63 titals log 63 egle 64 skalae 66 lgistisk vækst 54 længde af vekto, 4 M maksimum 3 median middelsum 37 middelvædi mindste kvadates metode 85 mindstevædi 3 minimum 3 monoton funktion 5 monotonifohold 3

230 Stikod momentvekto 76 N natulig logaitme ln 63 nulpunkte 4 nulvekto nomalvekto til linie 36 til plan 79 numeisk integation 4 O omløbsetning 3 omvendt funktion 5 omvendt tigonometisk funktion 7 Opgave til kapitel 3 til kapitel 6 til kapitel 3 33 til kapitel 4 47 til kapitel 5 5 til kapitel 6 8 til kapitel 7 9 til kapitel 8 97 til kapitel 9 til kapitel 9 til kapitel 9 til kapitel 45 til kapitel 3 63 til kapitel 4 89 til kapitel 5 opløsning i faktoe 58 optimeing 58, outlies 88 ovegangsfomle 7 otogonalitet 9 P paabel 56 paallelepipedum 67 paallelogam s aeal 75 paametefemstilling fo linie 39, 7 patikulæ løsning 47 peiodisk funktion 7 plan i ummet 79 ligning 8 polæe koodinate 6 population 93 positiv omløbsetning 3 polyede 85 polynomium af. gad 55 af. gad 56 af 3. gad 59 af 4. gad 6 potensfunktion 53 potensegle 53 pikpodukt 5 pisme 85 poduktegel fo diffeentialkvotient pojektion af vekto på vekto 9 popotionalitet pyamide 86 R adian 68 adioaktivt henfald 65 egneegle diffeentiation logaitme 64 potens 53 simple egession 83 egession ligning 84 lineæ model 84 entefomel 6 esidual 85 etningsvekto fo linie 36 etningsvinkel 6, 7 Richte-skalaen 67 od i polynomium 55 otation 75 umfang af omdejningslegeme 4 S sammensat funktion 5 secant sec 74 sinus, 69 sin 73 sinuselationene fo tekant i planen 44 skalapodukt 5, 7 skå kast 6 skæing mellem to linie 4, 73 4

231 Stikod mellem cikel og linie 4 mellem linie og plan 83 spedning stamfunktion 3 standadafvigelse standadfunktione 53 stedvekto 3 stikpøve 5, 7 støstevædi 3 subtaktion af vektoe sumpolygon 99 svingninge 75 svingningstid 78 T tangent til cikel 43 til kuve, 4 tangentplan til kugle 88 tan 73 tangent til kuve titalslogaitme 63 tigonometiske funktione 68 tigonometiske additionsfomle 7 funktione 68 gundelation 7 ligninge 78 ovegangsfomle 7 tangens, 69 tangentvekto 4 tetaede 69, 86 tekant ensvinklede 3 etvinklede 4 tekantstilfælde i planen 44 tvævekto 3 vekto addition i planen 9 i ummet 67 koodinate i planen, 3 længde, 4 multiplikation med tal podukt 75 etningsvinkel 6 subtaktion vinkel mellem vektoe 8 mellem linie 37, 74 mellem linie og plan 84 mellem plane 8 vinkelmål, natuligt 68 vinkelfekvens 77 vindskæve linie 73 voksende funktion 5 volumen af omdejningslegeme 4 vægtet gennemsnit 4 vædimængde 5 Ø Økonomi 7 U uafhængig vaiabel 5 udvælgelse klyngeudvælgelse 6 simpel 5 statificeet 6 systematisk 6 V vekselstøm 75 5