MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave

2 FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen gennemgå kenepensum sådan som det e beskevet efte bekendtgøelsen af 5. Kompliceede bevise fo visse sætninge e estattet med anskuelige begundelse, da det ligge udenfo denne bogs amme, eksempelvis at give en stingent matematisk behandling af begebe som gænsevædi og kontinuitet. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89) Selv om sådanne avanceede lommeegnee let kan diffeentiee og educee selv de vanskeligste udtyk, så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk, heunde at diffeentiee enkle funktione. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Defo e det nødvendigt at øve potensegle, diffeentiationsegle m.m. samtidig med, at man natuligvis ved, hvodan en avanceet lommeegne kan foetage beegningene i mee kompliceede sammenhænge. Defo anføes de i nogle af eksemplene og opgavene, at disse skal egnes uden hjælpemidle, dvs. uden bug af lommeegne og bog. I de øvige eksemple og opgave må man natuligvis benytte såvel lommeegne som bogen til hjælp. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. juni Mogens Oddeshede Lasen ii

3 Indhold INDHOLD Regneegle... Opgave til kapitel.... Plangeometi I. Koodinatsystem Afstandsfomel Den ette linies ligning Ciklen De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Definition af sinus og cosinus Definition af tangens....6 Ligefem og omvendt popotionalitet....7 Ensvinklede tekante Retvinklet tekant... 4 Opgave til kapitel Vektoe i planen 3. Definition af vekto Regneegle Vektos koodinate Skalapodukt Retningsvinkel, polæe koodinate Vinkel mellem vektoe Pojektion Tvævekto, Deteminant... 3 Opgave til kapitel Plangeometi II 4. Indledning Den ette linie Vinkel mellem to ette linie Afstand mellem punkt og linie Paametefemstilling fo et linie Skæing mellem to ette linie Skæing mellem linie og cikel Tangent til cikel Beegning af side og vinkle i en tekant Opgave til kapitel iii

4 Indhold 5 Funktionsbegebet 5. Definition af eel funktion Sammensat funktion Monoton funktion Omvendt funktion... 5 Opgave til kapitel Standadfunktione 6. Indledning Potensfunktione Polynomie Eksponentialfunktione Logaitmefunktione Nogle anvendelse af logaitmefunktione Radioaktivt henfald Logaitmiske skalae Tigonometiske funktione Indledning Definition af sinus, cosinus og tangens Peiodicitet Relatione mellem tigonometiske funktione Gafe fo de tigonometiske funktione De omvendte (invese) tigonometiske funktione Løsning af tigonometiske gundligninge Svingninge Opgave til kapitel Regession 7. Indledning Lineæ model Bestemmelse af egessionsligning Vudeing af om model beskive data godt Eksemple på lineæ egession egnet på TI Opgave til kapitel Gænsevædi og kontinuitet 8. Gænsevædi Kontinuitet Opgave til kapitel iv

5 Indhold 9 Diffeentiation 9. Indledning Diffeentialkvotient Regneegle fo diffeentialkvotiente Diffeentiation af standadfunktionene Højee afledede... 8 Opgave til kapitel 9... Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote. Monotonifohold, ekstema.... Asymptote Funktionsundesøgelse... 4 Opgave til kapitel... 9 Nogle anvendelse af diffeentialegning. Optimeing.... Kinematik Indledning Jævn etlinet bevægelse Ikke etlinet bevægelse Økonomi... 7 Opgave til kapitel... 9 Integation. Indledning Ubestemt integal Integationsegle Bestemt integal Numeisk integation Rumfang af omdejningslegeme... 4 Opgave til kapitel Diffeentialligninge 3. Diffeentialligninge af. oden Indledning Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = b Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = q( x) Logistisk vækst Numeisk løsning Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente v

6 Indhold Opgave til kapitel Rumgeometi 4. Vektoe i ummet Koodinatsystem i ummet Skalapodukt Linie i ummet Vektopodukt Plane i ummet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Kuglen Opgave til kapitel Statistik 5. Indledning Gafisk beskivelse af data Kvalitative data Kvantitative data Kaakteistiske tal Nomalfodelte obsevatione Ikke nomalfodelte obsevatione Guppeede fodelinge Stikpøve Indledning Udtagelse af stikpøve Stikpøvens støelse... 7 Opgave til kapitel 5... Facitliste... 4 Stikod... vi

7 . Regneegle. Regneegle Selv om man kan få en lommeegne til at beegne alle type af egneudtyk, e det alligevel nødvendigt at væe fotolig med de gundlæggende egneegle. Eksempelvis skal paentese sættes matematisk koekt fo at få det koekte esultat, ligesom det jo ikke e sikket at lommeegneen educee et udtyk til den fom som e mest hensigtsmæssig i de følgende egninge, og så man jo selv væe i stand til at foetage en ydeligee omfomning. Endelig blive det svæt at læse en tekst eksempelvis i fysik elle høe en et foedag, hvis man ikke i imelig gad kan følge beegningene. Vi vil defo kot epetee disse egle Regel Eksempel Multiplikation og division udegnes fø = 6+ = 5 addition og subtaktion Potense og ande funktionsudtyk udegnes 3 5 ( 3) = = 3 føst. Hvet led i den ene paentes ( a 3b)( 6b+ 4a) = ab+ 8a 8b ab = 8a 8b ganges med hvet led i den anden 5a 3 ( ab 3a) = a 4 b 5a 4 Minustegn må ikke følge umiddelbat efte gangetegn, de skal sættes en paentes To bøke ganges med hinanden ved at gange tælle med tælle og nævne med nævne En bøk ganges med et tal ved at gange tælleen med tallet. Man dividee en bøk med en bøk ved at gange med den omvendte bøk. Alle led i tælleen skal dividees med nævneen Man lægge bøke sammen ved at sætte på fælles bøksteg. Fælles nævne kan altid findes ved at gange nævnene sammen Bøke fokotes ved at dividee alle led med samme tal To potense med samme gundtal multiplicees ved at addee eksponentene To potense med samme gundtal dividees ved at subtahee eksponentene Man opløfte en potens til en ny potens ved at multiplicee eksponentene og beholde oden ( a ) Flyttes et led ove på den anden side af lighedstegnet skiftes fotegn Flyttes en fakto ove på den anden side af et lighedstegn dividees med det (dog må ikke dividees med ) I en ligning kan man gange alle led med samme tal ( ) Andengadsligning- fomel 8 ( 3) + = 6+ 4= 7 4 = = = = = a ab = a b a = + = = = + = + = 4 6 6a b a 4b = (bøk fokotet med 3) 3a+ 9b a+ 3b a a = a a a 8 3 = a = a x+ 3= 5 x = x = 3 x = 3 5 x + = 4x + = b b 4ac ax + bx + c = x = ± a

8 . Regneegle Eksempel.. Regneegle a) Reduce uden bug af lommeegne b) Løs uden bug af lommeegne ligningen Kontolle facit ved bug af lommeegne. Løsning: 3 3 a 5b ab 5b 3a x 3 5 x + 3 = a 5b ( a) (5 b) a) ab = ab = ( a b ) b 3a 5ab b) x 3 5 x + 3 Antages x + 3 fås 8 x 3= 5 ( x+ 3) x 3= x+ 5 8x = 8 x = x = 8 TI89: Føst vælges Auto som den mode hvoi lommeegneen skal aflevee esultatet : Vælg MODE\exakt/apox\Auto 9 4 3*(3*a/(5*b)-5*b/(3*a))*a*b ENTER Resultat ok F\ solve((x-3)/(x+3)=5,x) ENTER Resultat ok Ønskes esultatet som en decimalbøk, så tyk på gul tast og ENTER elle skiv eksempelvis 5. femfo 5

9 Opgave til kapitel Opgave til kapitel.. (uden hjælpemidle) Beegn a) b) 5 ( 4+ 6) c) d) (5 + 4) e) 6+ ( ( 3) ( 3) ).. (uden hjælpemidle) Skiv som ufokotelig bøk 6 a) 3 8 b) c) 3 4 d) e) (uden hjælpemidle) Reducé 4a+ 8b a) b) 4 a+ 8 b a 4a+ 8b c) a+ 4b d) 4a ab 4a 5 e) 5 a 5 5a x + f) x+ 3 3 x 3

10 . Regneegle.4 (uden hjælpemidle) Udegn a) ( 3x 5) 6+ ( 7x+ 3) 3 ( 8x ) ( ) b) ( 3x 5)( y+ 3) ( 5x+ )( y+ ) c) ( x+ 5y) ( x 5y) d) x 5 ( x 7 x 3 )( 3x 3 x ) e) ( x+ 3y) ( 3x y).5. (uden hjælpemidle) Reduce 3a 7a ( a+ b) ( a b) b 6b b) abc a bc c) 6x 6 a) ( ).6. (uden hjælpemidle) Find tallet x af følgende ligninge a) 5x + = 3x b) 5 x 3 x 3 x 7 + = 3 6 x + 7 x 8 c) 5x 3 = 5x +.7. (uden hjælpemidle) Løs ligningene: 3 5 a) a x = a 3 9 b) a x = ( a ) c) 4x + 3= x (uden hjælpemidle) Løs ligningene: a) x 4 = b) x = 4 x c) ( x ) ( x 9) =.9. (uden hjælpemidle) Bestem tallet a, så -3 e od i ligningen x 3 + 3x ax + 3= 4

11 .. Afstandsfomel. Plangeometi. Koodinatsystem Ved et koodinatsystem vil vi i denne bog altid fostå et etvinklet koodinatsystem I figu. e tegnet et xy - koodinatsystem Den vandette koodinatakse kaldes x - aksen elle. aksen og den lodette kaldes y - aksen elle. aksen. Punktet P på figuen ha koodinatene (x, y). Punktet med koodinatene (,) kaldes begyndelsespunktet og benævnes i denne bog med O... Afstandsfomel Sætning. Afstandsfomel Afstanden mellem to punkte og = (, ) e PQ = ( x x ) + ( y y ) Fig.. Koodinatsystem P = ( x, y) Q x y Bevis: Punktet C (se figu.) ha koodinatene ( x, y ). Vi ha nu, at PC = x x og QC = y y Af den etvinklede tekant ABC fås nu ifølge Pythagoas PQ = PC + CQ = x x + y y Heaf fås fomlen. Fig. Afstandsfomel 5

12 . Plangeometi I Eksempel.. Afstandsfomel Bestem afstanden mellem punktene A=(,3) og B=(-4,6). Løsning: Ifølge afstandsfomlen fås: AB = ( 4 ) + ( 6 3) = = 45 = Ret linies ligning Lad de i et koodinatsystem væe givet en et linie l. Fig.3. Ret linie y = a x+b At linien l ha ligningen y = ax+ b vil sige, ) at alle punkte på linien l ha koodinate, de passe i ligningen, og ) ingen punkte udenfo linien ha punkte de passe i ligningen. Indsættes x = i ligningen fås y = a + b, dvs. linien l skæe y-aksen i punktet (.b). Sættes x = fås y = a + b = a+ b. Heaf ses (jævnfø figu.3) at nå x vokse med, så ænde y - vædien sig med a Tallet a kaldes linien hældning (elle hældningskoefficient). E linien paallel med x - aksen e dens hældning, og den ha ligningen y = b. En linie paallel med x - aksen, ha ligningen x = c, hvo c e liniens skæing med x - aksen. Eksempel. Ret linies ligning Tegn i samme koodinatsystem liniene ) l med ligningen y = x 3 ) m med ligningen y = 3x+ 3) n med ligningen y = - 4) p med ligningen x = 3 Løsning: Ved indsættelse af x = og x = fås ) l gå gennem punktene (,-3) og (,5) ) m gå gennem punktene (,4) og (,) 3) n gå gennem punktet (,-) og e paallel med x- aksen 4) p gå gennem punktene (3,) og e paallel med y - aksen 6

13 .3 Ret linies ligning TI 89: Gul tast\y= (findes ove F) Skiv *x-3 ENTER Skiv -x+ ENTER (Bemæk: foanstillet minus vælges nedest på tastatu) Skiv - x = 3 e ikke en funktion, og kan defo ikke angives Gul tast\gaph (findes ove F3) Hvis tegningen ikke e tilfedsstillende vælges Gul tast\windows og man sætte xmin, xmax, ymin og ymax til passende vædie. En et linie kan væe givet ved at den gå gennem givne punkte, elle ved, at man kende et punkt på linien og liniens hældning. De gælde følgende sætning: Sætning. Ret linies ligning Hvis en ikke lodet linie l gå gennem to punkte P = ( x, y ) og Q = ( x, y) e liniens y y hældning a = og liniens ligning y y = a( x x) x x Bevis: Lad l have ligningen y = ax+ b. Da punktene P og Q ligge på linien gælde y = ax + b og y = ax + b. y y Tække vi nu de to ligninge fa hinanden fås y y = ax + b ( ax + b) y y = a( x x) a = x x Tækkes ligningen y = ax+ b fa ligningen y = ax + b fås y y = ax+ b ( ax + b) y y = a( x x ) Eksempel.3. Linie bestemt ved at gå gennem to punkte Bestem ligningen fo linien gennem punktene A = (-, 3) og B = (4, -). Løsning: Vi ha hældningen a = 3 = 4 = 4 ( ) Ligningen e : y 3 = ( x ( ) y 3= x y = x Geneelt gælde, at enhve et linie ha en ligning af fomen ax + by = c 7

14 . Plangeometi I.4 Ciklen På figu.4 e i et koodinatsystem tegnet en cikel med centum i C= ( x, y ) og adius. De gælde da følgende sætning Sætning.. Ciklens ligning En cikel med centum i C= ( x, y ) og adius ha ligningen Fig..4. Cikel ( x x ) + ( y y ) = Bevis: Lad P = (x,y) væe et vilkåligt punkt på cikelpeifeien. Da cikelpeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius e CP I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) = = Eksempel.4 Cikle ) En cikel ha centum i punktet (, -3) og adius 4. Find ciklens ligning ) Angiv adius og koodinatene til centum fo den cikel, de ha ligningen ( x+ ) + ( y 6) = 5 Løsning: ) Af sætning. fås ligningen ( x ) + ( y ( 3)) = 4 x 4x+ 4+ y + 6y+ 9= 6 x + y 4x+ 6y = 3 ) Af sætning. fås, at centum ha koodinatene (-, 6) og adius = 5 Reducees ciklens ligning ( x x ) + ( y y ) = x + y x x y y+ x + y = se vi, at ha vi en ligning af typen x + y + ax+ by+ c= så e det muligvis ligningen fo en cikel med x = a, y = b, x + y = c. () 8

15 .5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Eksempel.5 Ligning fo en cikel Undesøg om ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel, og angiv i bekæftende fald centums koodinate og adius. Løsning: Sammenlignes x + y + x 8y+ 3= med fomen () ses, at x = x =, y = 8 y = 4 og ( ) + 4 = 3 = 4. Vi ha følgelig, at ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel med centum i (-, 4) og med adius Ved en enhedscikel fostås en cikel med centum i begyndelsespunktet O = (, ) og med adius Ligningen fo en sådan e x + y = Fig..5. Enhedscikel.5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens. Odet tigonometi betyde tekantsmåling. Kan man egne vinkle og side ud i en tekant, kan man ved tianguleing opdele en polygon i tekante, hvis side og vinkle så også kan beegnes. Tigonometiske beegninge va således helt afgøende fo at de stoe sejlskibe i 4- og 5- tallet kunne sejle ove de stoe oceane eksempelvis fa Euopa til Ameika. Endvidee va de uundvælige ved landmåling. Som en ikke geometisk anvendelse kan nævnes at de tigonometiske funktione e nødvendige til en beskivelse af svingninge f.eks. ved bølgebevægelse elle elektiske svingninge (vekselspænding i elektiske kedsløb). 9

16 . Plangeometi I.5..Definition af sinus og cosinus Lad P væe et punkt på enhedsciklen, og lad v betegne en vinkel fa x - aksen til linien gennem O og P, hvo v egnes med fotegn (positiv mod uet). Funktionene cos v og sin v defi- nees da ved, at punktet P skal have koodinatene P = (cos v, sin v). Fig..6. Definition af cos og sin. Nå det deje sig om geometiske beegninge f. eks. i tekantsbeegninge egnes vinklene i gade. Dette e således tilfældet i dette og de to følgende afsnit. Hvis intet andet e nævnt, så gælde he, at v 8 Til beskivelse af svingninge og ande fysiske anvendelse anvendes et andet vinkelmål (adiane). Dette ske i kapitel 6. Af definitionen følge ) sin v og cos v ) sin = sin (8 ) =, sin(9 ) =, cos =, cos(9 ) = og cos(8 ) = -. 3) sin v + cos v = ( ) ( ) Følge af, at OP = og benyttelse af afstandsfomlen. Eksempel.6. Beegning af sin og cos på TI89 Beegn sin (3 ), sin ( ) cos (3 ) cos Løsning: Føst sike vi at vinkelmålet e i gade ved MODE\ Angle = Degee\ENTER Funktionene findes på tastatuet i fjede ække. 3 3 sin(3) =/ sin()= cos(3)= cos() = -/

17 .5. Definition af tangens Ofte skal man foetage den omvendte beegning. Dette e vist i det følgende eksempel. Eksempel.7. Beegning af sin og cos på TI89 Lad v 8 Find v, af følgende ligninge a) sin v =.7 b) sin v = -.7 c) cos v =.7 d) cos v = -.7 Løsning: a) Som det femgå af figuen vil såvel vinklen v som vinklen (8 - v) have en sinus på.7. Benyttes lommeegneen fås v = sin ( 7. ) = Lommeegneen give defo kun vinklen i føste kvadant Den anden vinkel blive = Om man ved en ved en tekantsbeegning skal benytte begge vinkle elle kun den ene må afhænge af det konkete poblem. b) cos v = -.3 v = cos ( 3. ) = 33, He e de kun én løsning, hvilket bevike, at man sædvanligvis vil foetække cos femfo sin ved beegningene, hvis det e muligt..5.. Definition af tangens Definition af tangens: sin v tan v =, v 9 cos v Vædiene fo tan v aflæses på tangenten til enhedsciklen i (,). Bevis: Linien gennem punktet O og P=(cos (x), sin (x)) sin x ha hældningen α = = tan x. cos x Heaf ses, at punktet T ha koodinatene (, tan(x)). Fig..6. tan aflæses på tangenten

18 . Plangeometi I Eksempel.8. Beegning af tangens på TI89 ) Beegn tan (54.3 ), ) Beegn tan(3. ) Løsning: ) tan(54,3) =.39 ) tan(3) = -.9 Eksempel.9. Beegning af tan - på TI89 Find v, af ) tan v =.7 ) tan v = -.5 Løsning: ) v = tan - (.7) = ) Lommeegneen beegne en negativ vinkel u på figu.7. Ønskes en løsning v i intevallet [;8 ] fås v = 8 + u u = tan - (-.5) = v = 8 + tan - (-.5) =53.44 Fig..7. tan - af negativt tal.6. Ligefem og omvendt popotionalitet Ligefem popotionalitet: To støelse x og y siges at væe (ligefem) popotionale, hvis de findes et tal a >, så y = a x Eksempel.. Popotionalitet Lad en bil køe med den konstante hastighed 9 km/time hen ad en motovej. Tiden t og den tilbagelagte vejlængde y e da popotionale. Eksempelvis på time e de tilbagelagt 9 km, på time e de tilbagelagt 8 km osv., så y = 9 t Omvendt popotionalitet To støelse x og y siges at væe omvendt popotionale, hvis de findes et tal a y = x a >, så

19 .5. Definition af tangens Eksempel.. Omvendt popotionalitet Lad afstanden ad en motovej fa et punkt A til et punkt B væe km. En bil køe fa A til B med den konstante hastighed v km/time hen ad motovejen. Tiden t og hastigheden v e da omvendt popotionale. Eksempelvis køes v = km/time tilbagelægges vejstækningen på time, med 5 km/time tilbagelægges vejstækningen på time osv. Vi ha følgelig, at v = t.7. Ensvinklede tekante I figu.8 e tekant ABC en fostøet udgave af tekant ABC, idet alle sidelængde i tekant ABC e dobbelt så lange som de tilsvaende længde i tekant ABC. Ved fostøelsen bevae tekanten sine vinkle. Tekantene siges at væe ensvinklede. Man kunne natuligvis i stedet have benyttet et andet støelsesfohold end. Fig.8. Ensvinklede tekante Definition: To tekante kaldes ensvinklede, hvis de te vinkle e pavis lige stoe. Man kan vise, at: To tekante ensvinklede ensliggende side e popotionale dvs. A= A, B = B, C = C De findes et tal k så a = k a, b = k b, c = k c Lineæ intepolation Ved lineæ intepolation antage man, at den tabellagte funktion ænde sig lineæt (dvs. som en linie elle en plan) i det omåde, hvoi man foetage intepolationen. Eksempel. Intepolation i en vejs tabel Find den vædi af y som svae til en vædi af x på Et uddag af tabellen omking det elevante sted e følgende: x y

20 . Plangeometi I Håndegning Vi se, at stige x med.5 (fa 5.65 til 5.7) stige y med (fa.5 til - 3.) Af de ensvinklede tekante (se figuen) ses nu, at stige x med.3 (fa 5.65 til 5.68), så vil y stige med 3. ( 785. ) = Vædien i x = 5.68 e følgelig y = = 53.9 Lommeegne: x x=5.65 x=5.7 y=3. y=.5 y y Med de angivne bogstave e fomlen: y = y+ ( x x) x x I TI89 indtastes følgende: y+(y-y)/(x-x)*(x-x) STO int(x,x,y,y,x) (STO findes i næstsidste ække) Vi ha nu gemt en funktion it i lageet (Main) Vi kan nu benytte den ligesom enhve anden funktion Gå ind i HOME, Tyk på VAR-Link (ove tasten -) og vælg int ENTER I HOME stå nu int( Vi skive nu int( 5.65, 5.7,3,.5, 5.68) Resultat 53.9 Et poblem e at huske den ækkefølge, man skal indsætte de 5 vaiable..8. Retvinklet tekant. Betegnelse: I en etvinklet ABC, hvo C = 9 (se figu.9) kaldes c fo hypotenusen og de to ande side fo katete. I fohold til A kaldes a fo den modstående katete og b fo den hosliggende katete. De gælde følgende vigtige sætning Sætning.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 gælde Fig.9. Retvinklet tekant sin A = a, cos A = b, tan A = c c a b elle modståede katete hosliggende katete sin(spids vinkel) =, cos(spids vinkel) = hypotenuse hypotenuse modståede katete tan(spids vinkel) = hosliggende katete 4

21 .7 Retvinklet tekant Bevis Et koodinatsystem e indlagt som vist på figu., med A i begyndelsespunktet og C ud af x - aksen. Fig.. Retvinklet tekant De to tekante ABC og APQ e ensvinklede, så dees side e popotionale, dvs. sin A cos A Da PQ = sin A, AQ = cos A og AP = fås a = b = c Heaf fås sin A a, cos A b sin = = og tan A c c = A a cos A = b PQ BC AQ = = AC AP AB Fomlene i sætning.3 sike, at hvis vi kende en side og enten en vinkel elle ydeligee en side, kan vi beegne de esteende side og vinkle (foudsat natuligvis at tekanten eksistee). De e 5 såkaldte tekantstilfælde: ) Givet sidene a og b: c findes af c = b + a, A af tan A = a og B = 9 - A b ) Givet sidene a og c: b findes af c = b + a, A af sin A = a og B = 9 - A c 3) Givet A og siden a: b findes af tan A = a, c findes af sin A = a og B = 9 - A b c 4) Givet A og siden b: a findes af tan A = a, c findes af cos A = b og B = 9 - A b c 5) Givet A og siden c: a findes af sin A = a, b findes af cos A = b og B = 9 - A c c Eksempel.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 e A = 35,6 og siden a = 5.3. Find de ubekendte side og vinkle. Løsning: B = 9 - A=9-35,6 = tan A a a 53 = b = b = b = 743. b tan A tan sin A a a 53 = c = c= c= 95. c sin A sin

22 . Plangeometi I Opgave til kapitel..(uden hjælpemidle) Bestem en eksakte vædi af afstanden mellem punktene A = (-4, 3) og B = (-3, -8). Bestem med 3 decimale længdene af sidene i tekant ABC, hvo A = (-3, 4), B = (5, 7) og C = (, 5).3 Undesøg om tekant ABC e ligebenet, nå A = (5, 8), B = (6, ) og C = (, 4).4. (uden hjælpemidle) En linie gå gennem punktene A = (, ) og B = (3, -). Find liniens ligning..5. (uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A =(-3,) og B = (, 5). Opskiv ligningen fo l.6.(uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A = (, -3) og ha hældningen. a) Tegn linien l i et koodinatsystem b) Opskiv linien l s ligning. c) Find koodinatene til linien l's skæingspunkte med koodinataksene..7.(uden hjælpemidle) a) Opskiv ligningen fo den linie l, de gå gennem punktet P = (5, 3) og ha hældningen a = 3 b) Opskiv ligningen fo den linie m, de gå gennem punktet P =, og ha 3 hældningen a = (uden hjælpemidle) Linien l gå gennem punktene A = ( -, 4) og B = (7, 6). Find en ligning fo den linie m som skæe x - aksen i (4, ), og som e paallel med l..9. En linie gå gennem punktene A = (-3,) og B = (,4). Undesøg om punktet C = (5, 7) ligge på denne linie... (uden hjælpemidle) En cikel ha centum i punktet C = (-,3) og ha adius 5. a) Opskiv ligningen fo ciklen b) Vis, at punktet D = (,6) ligge på ciklen c) Find skæingspunktet mellem ciklen og x - aksen. 6

23 . Opgave til kapitel. (uden hjælpemidle) Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + ( y 3) = 4 b) ( x+ ) + ( y 6) = 5. Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + y + x 6y = 6 b) x + y x = 6 c) x + y + x+ 8y = 8.3 (uden hjælpemidle) På figuen e afsat længden af nogle af sidelængdene i de to tekante. Beegn de eksakte længde af de to esteende side.4 (uden hjælpemidle) Valutakusen på svenske kone e 78.9 k, dvs. til svenske kone svae 78.9 danske kone. a) Hvis de til x svenske kone svae y danske kone, hvad e så elationen mellem x og y. b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..5 (uden hjælpemidle) En kostba gave til et byllup koste k. Lad de væe x pesone de ønske at bidage til gaven, og lad det beløb hve peson skal give væe y. a) Angiv elationen mellem x og y b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..6 (uden hjælpemidle) ABC e etvinklet med C= 9. Det oplyses, at sin( 3 ) =. Beegn de manglende side nå a) A = 3 og a = 5 b) A = 3 og c = 8.7 Angiv med 4 decimale cos(6 ), sin(7 ), sin( ), tan(3 ), cos( ).8 Lad vinklen v lige i intevallet v 8 Find med decimale de vædie af v, hvo a) cos v =.345 b) sin v =.345 c) cos v = ABC e ligebenet med b = c, A = 35 og a = 8. Find de manglende side og vinkle. 7

24 . Plangeometi I. Hvo mange gade stå solen ove hoisonten, nå en m høj flagstang kaste en skygge på 5 m.. Ud fo en etlinet kyst ligge en lille ø med et fy F. Bestem fyets afstand fa kysten, nå sigtelinien 4 m længee nede ad kysten danne en vinkel på 35 med kystlinien.. En cikel ha centum i punktet C og en adius = 4 m. Et punkt P ligge i afstanden 8 m fa C. Fa P tækkes tangentene til ciklen. a) Beegn afstanden fa P til tangentenes øingspunkte med ciklen. b) Beegn den vinkel som de to tangente danne med hinanden..3 Fa et skib ses et 65m højt fy unde en vinkel på 8.5. Hvo lang befinde skibet sig fa fyet.? 8

25 3.. Definition af vekto 3 Vektoe i planen 3. Definition af vekto Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Et liniestykke e bestemt af sine endepunkte. Vi fosyne nu liniestykke med en etning elle oienteing, som vi angive ved hjælp af en pilespids i den ene ende. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. a b b a Fig 3.: Vektoe På figu 3. e pilene AB og CD epæsentante fo samme vekto, som vi betegne med AB. Da de to pile epæsentee samme vekto skive vi AB = CD, Vi kalde A fo pilens begyndelsespunkt og B fo dens endepunkt. Vektoe betegnes også med små bogstave med pil ove: a = AB 9

26 3. Vektoe i planen På figu 3. epæsentee EF og GH en anden vekto b. Læg mæke til, at AB BA, fodi de to pile ikke ha samme etning. Vi vil i det følgende tillade os at tale om vektoen epæsenteet ved pilen AB. AB i stedet fo det mee koekte vektoen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen 3. Regneegle Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu 3.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Vi ha altså AB+ BC = AC (kaldes indskudssætningen, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig 3. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu 3. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.

27 3. Regneegle Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu 3.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig 3.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig. 3.4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5

28 3. Vektoe i planen 3.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu 3.5) En vekto a kan nu skives a = ax + ayhvo a x e paallel med x - aksen og ay e paallel med y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j i ay Fig Basisvektoe i a 3 i j a = 3 i + j = 3 Fig Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning 3.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b

29 3.3 Vektoes koodinate Eksempel 3.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = Find koodinatene til a+ 5b Løsning: a+ b = ( ) + = = TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu 3.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig 3.7. Stedvekto Sætning 3.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel 3.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 =

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

p o drama vesterdal idræt musik kunst design

p o drama vesterdal idræt musik kunst design musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side1 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE

VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring

Matematik - et grundlæggende kursus. Dennis Cordsen Pipenbring Matematik - et grundlæggende kursus Dennis Cordsen Pipenbring 22. april 2006 2 Indhold I Matematik C 9 1 Grundlæggende algebra 11 1.1 Sprog................................ 11 1.2 Tal.................................

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter:

Vi ser altså, at der er situationer, hvor vi ikke kan afgøre, om vi befinder os i et tyngdefelt eller langt ude i rummet fjernt fra alle kræfter: 5 Tyngdekaften Nu hvo vi (fohåbentlig) ha fået et begeb om ummets og tidens sammenflettede natu, skal vi vende tilbage til en ting, som vi ganske kot blev konfonteet med i begyndelsen af foige kapitel.

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi

Cisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling

Læs mere

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND

LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND 1 LOKALPLAN NR. 360 HENRIETTELUND EN KORTFATTET BESKRIVELSE Beliggenhed Langs Kægade i Vop Lokalplanen omfatte et ca. 4,13 ha stot omåde fodelt på 4 pivate ejendomme beliggende fo foden af Tebbestp Bakke

Læs mere

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better

Wear&Care Brugervejledning. A change for the better A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen

Kontakt: - en anden tid et andet tempo! A13 Hobro. Løgstør. Skive. Bjerregrav Hjarbæk Fjord. Skals A13. Hobro/Randers Viborg. Kulturarvsforbindelsen Hvolis Jenaldelandsby og Kultuavsfobindelsen, Skive Heedsvejen 135 Veste Bjeegav 9632 Møldup www.jenaldelandsby.dk hvolis@vibog.dk A13 Hobo Løgstø Bjeegav Hjabæk Fjod Skals OL Kontakt: - en anden tid et

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien

Læs mere

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009

diagnostik Skulder fysioterapeuten nr. 05 marts 2009 side 08 fysioteapeuten n. 05 mats 2009 diagnostik Skulde Mogens Dam e oplægsholde på fagfestivalen d. 26.-28. mats 2009. Fysioteapeut Mogens Dam ha udvalgt en ække gængse diagnostiske test fo skuldepobleme.

Læs mere

Matematik for stx C-niveau

Matematik for stx C-niveau Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Matematik for stx C-niveau Frydenlund Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Nu 2. reviderede, udvidede og ajourførte udgave Matema10k Matematik for stx

Læs mere

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5.

Tal og regning. 1 a 5 b 2 c 2 d 8 e 4 f 3 g 6 h 3. 3 a 2 b 5 c 3 d 3 e 2 f 12 g 2 h 7. 4 a 8 b 2 c 12 d 16 5... 7... 10. 6 2 og 5. Facitliste Tal og regning Tal og regning a 5 b c d 8 e 4 f g 6 h 9 a b 5 c d e f g h 7 4 a 8 b c d 6 5... 7... 0 6 og 5 7 9 cm og cm 8 a 4 b 6 c 0 d 0 e f g 4 h 9, 0 og 0 x 8 a 84 b 0 c d 56 e 44 f 5 g

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2011 Institution Uddannelsescenter Herning, afd. HHX-Ikast Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2

Matematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2 Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08

Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 Oversigt over undervisningen i matematik 1y 07/08 side1 Der undervises efter: MatC Nielsen & Fogh: Vejen til Matematik C ( Forlaget HAX) EKS Knud Nissen : TI-82 stat introduktion og eksempler Ovenstående

Læs mere

Tredimensional grafik

Tredimensional grafik Teimensionl gfi 6 Ksten Juul Inhol I Homogene oointsæt og gngning f mtie sie Vi vil fose og eje figue i ummet og æne ees støelse Defo inføe vi homogene oointsæt og gngning f mtie II th sie Et olsninge

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale

Om Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale ...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele

Læs mere

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10

Side 1 af 10. Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. Termin Maj-juni 2009/10 Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2009/10 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Handelsskolen Sjælland Syd, Vordingborg

Læs mere

Løsningsforslag MatB December 2013

Løsningsforslag MatB December 2013 Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor

Læs mere

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2

(3 ;3 ) (2 ;0 ) f(x)=3 *x-6 -1 1 2 3 4 5 6. Serie 1 Serie 2 MAT B GSK august 008 delprøven uden hjælpemidler Opg Grafen for en funktion f er en ret linje, med hældningskoefficienten 3 og skærer -aksen i punktet P(;0). a) Bestem en forskrift for funktionen f. Svar

Læs mere

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej

VORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at

Læs mere

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation

Ønskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2013 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 013 Opgave 1: y a x b x 6 y 5 9 4. maj 013: Delprøven UDEN hjælpemidler Metode 1: Man kan bestemme a ved at indsætte de sammenhørende værdier i ligningsudtrykket,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

Honeywell Hometronic

Honeywell Hometronic Honeywell Hometonic Komfot + Spa enegi Gulvvame Lysstying Lys Sikkehed Sikkehed Andet Andet Radiato Insight Building Automation 1 MANAGER Hometonic Manageen HCM200d e familiens oveodnede buge-inteface.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter

Læs mere

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden

Danmarks Tekniske Museum. Det kunstige øje - om mikroskopet og dets verden Danmaks Tekniske Museum O P T I K & L Det kunstige øje - om mikoskopet og dets veden Y S Til læeen At bille både e fysik og kultuhistoie, e fo mange bøn en velbevaet hemmelighed. Dette til tods fo at alle

Læs mere

Mine matematik noter C

Mine matematik noter C Mine matematik noter C Ib Michelsen mimimi.dk Ikast 2006 Indholdsfortegnelse Indledning...5 Geometri...7 Om geometri...9 Navne...11 Definition: Trekanten...11 Ensvinklede og ligedannede trekanter13 Definition:

Læs mere

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen

Lærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I

Læs mere

Undervisningsplan Side 1 af 11

Undervisningsplan Side 1 af 11 Undervisningsplan Side 1 af 11 Lektionsantal: 12 UV lektioner pr. uge I alt ca. 240 lektioner. Fordelt mellem underviserne således: Erik Kyster (EK) 6 lektioner pr. uge og Esben Stehr (EST) 6 lektioner

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner FUNKTIONER del Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner -klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse FUNKTIONSBEGREBET... 3 Funktioner beskrevet ved mængder...

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb

Læs mere

Studentereksamen i Matematik B 2012

Studentereksamen i Matematik B 2012 Studentereksamen i Matematik B 2012 (Gammel ordning) Besvarelse Ib Michelsen Ib Michelsen stx_121_b_gl 2 af 11 Opgave 1 På tegningen er gengivet 3 grafer for de nævnte funktioner. Alle funktionerne er

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU 2g

MATEMATIK A-NIVEAU 2g NETADGANGSFORSØGET I MATEMATIK APRIL 2009 MATEMATIK A-NIVEAU 2g Prøve April 2009 1. delprøve: 2 timer med formelsamling samt 2. delprøve: 3 timer med alle hjælpemidler Hver delprøve består af 14 spørgsmål,

Læs mere

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning

Livstidssundhedsomkostninger for rygere og aldrig-rygere. Årlige omkostninger ved passiv rygning Livstidssundhedsomkostninge fo ygee og ldig-ygee Ålige omkostninge ved pssiv ygning Konsulentppot udbejdet til Hjetefoeningen f pojektlede Susnne Reindhl Rsmussen, egotepeut, MPH DSI Institut fo Sundhedsvæsen,

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog

Hverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen stx11-mat/a-310501 Torsdag den 31. maj 01 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Årsprøve i matematik 1y juni 2007

Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Opgave 1 Årsprøve i matematik 1y juni 2007 Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P 1 Q 1 R 1 a) Bestem længden af siden P 1 Q 1 Skalafaktoren beregnes : k = 30/24 P 1 Q 1 = 20 30/24 P 1 Q 1 = 25

Læs mere