MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK"

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave

2 FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen gennemgå kenepensum sådan som det e beskevet efte bekendtgøelsen af 5. Kompliceede bevise fo visse sætninge e estattet med anskuelige begundelse, da det ligge udenfo denne bogs amme, eksempelvis at give en stingent matematisk behandling af begebe som gænsevædi og kontinuitet. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89) Selv om sådanne avanceede lommeegnee let kan diffeentiee og educee selv de vanskeligste udtyk, så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk, heunde at diffeentiee enkle funktione. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Defo e det nødvendigt at øve potensegle, diffeentiationsegle m.m. samtidig med, at man natuligvis ved, hvodan en avanceet lommeegne kan foetage beegningene i mee kompliceede sammenhænge. Defo anføes de i nogle af eksemplene og opgavene, at disse skal egnes uden hjælpemidle, dvs. uden bug af lommeegne og bog. I de øvige eksemple og opgave må man natuligvis benytte såvel lommeegne som bogen til hjælp. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. juni Mogens Oddeshede Lasen ii

3 Indhold INDHOLD Regneegle... Opgave til kapitel.... Plangeometi I. Koodinatsystem Afstandsfomel Den ette linies ligning Ciklen De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Definition af sinus og cosinus Definition af tangens....6 Ligefem og omvendt popotionalitet....7 Ensvinklede tekante Retvinklet tekant... 4 Opgave til kapitel Vektoe i planen 3. Definition af vekto Regneegle Vektos koodinate Skalapodukt Retningsvinkel, polæe koodinate Vinkel mellem vektoe Pojektion Tvævekto, Deteminant... 3 Opgave til kapitel Plangeometi II 4. Indledning Den ette linie Vinkel mellem to ette linie Afstand mellem punkt og linie Paametefemstilling fo et linie Skæing mellem to ette linie Skæing mellem linie og cikel Tangent til cikel Beegning af side og vinkle i en tekant Opgave til kapitel iii

4 Indhold 5 Funktionsbegebet 5. Definition af eel funktion Sammensat funktion Monoton funktion Omvendt funktion... 5 Opgave til kapitel Standadfunktione 6. Indledning Potensfunktione Polynomie Eksponentialfunktione Logaitmefunktione Nogle anvendelse af logaitmefunktione Radioaktivt henfald Logaitmiske skalae Tigonometiske funktione Indledning Definition af sinus, cosinus og tangens Peiodicitet Relatione mellem tigonometiske funktione Gafe fo de tigonometiske funktione De omvendte (invese) tigonometiske funktione Løsning af tigonometiske gundligninge Svingninge Opgave til kapitel Regession 7. Indledning Lineæ model Bestemmelse af egessionsligning Vudeing af om model beskive data godt Eksemple på lineæ egession egnet på TI Opgave til kapitel Gænsevædi og kontinuitet 8. Gænsevædi Kontinuitet Opgave til kapitel iv

5 Indhold 9 Diffeentiation 9. Indledning Diffeentialkvotient Regneegle fo diffeentialkvotiente Diffeentiation af standadfunktionene Højee afledede... 8 Opgave til kapitel 9... Funktiones monotonifohold, ekstema og asymptote. Monotonifohold, ekstema.... Asymptote Funktionsundesøgelse... 4 Opgave til kapitel... 9 Nogle anvendelse af diffeentialegning. Optimeing.... Kinematik Indledning Jævn etlinet bevægelse Ikke etlinet bevægelse Økonomi... 7 Opgave til kapitel... 9 Integation. Indledning Ubestemt integal Integationsegle Bestemt integal Numeisk integation Rumfang af omdejningslegeme... 4 Opgave til kapitel Diffeentialligninge 3. Diffeentialligninge af. oden Indledning Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = b Lineæ diffeentialligning af typen y ( x) + a y( x) = q( x) Logistisk vækst Numeisk løsning Diffeentialligninge af. oden med konstante koefficiente v

6 Indhold Opgave til kapitel Rumgeometi 4. Vektoe i ummet Koodinatsystem i ummet Skalapodukt Linie i ummet Vektopodukt Plane i ummet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Kuglen Opgave til kapitel Statistik 5. Indledning Gafisk beskivelse af data Kvalitative data Kvantitative data Kaakteistiske tal Nomalfodelte obsevatione Ikke nomalfodelte obsevatione Guppeede fodelinge Stikpøve Indledning Udtagelse af stikpøve Stikpøvens støelse... 7 Opgave til kapitel 5... Facitliste... 4 Stikod... vi

7 . Regneegle. Regneegle Selv om man kan få en lommeegne til at beegne alle type af egneudtyk, e det alligevel nødvendigt at væe fotolig med de gundlæggende egneegle. Eksempelvis skal paentese sættes matematisk koekt fo at få det koekte esultat, ligesom det jo ikke e sikket at lommeegneen educee et udtyk til den fom som e mest hensigtsmæssig i de følgende egninge, og så man jo selv væe i stand til at foetage en ydeligee omfomning. Endelig blive det svæt at læse en tekst eksempelvis i fysik elle høe en et foedag, hvis man ikke i imelig gad kan følge beegningene. Vi vil defo kot epetee disse egle Regel Eksempel Multiplikation og division udegnes fø = 6+ = 5 addition og subtaktion Potense og ande funktionsudtyk udegnes 3 5 ( 3) = = 3 føst. Hvet led i den ene paentes ( a 3b)( 6b+ 4a) = ab+ 8a 8b ab = 8a 8b ganges med hvet led i den anden 5a 3 ( ab 3a) = a 4 b 5a 4 Minustegn må ikke følge umiddelbat efte gangetegn, de skal sættes en paentes To bøke ganges med hinanden ved at gange tælle med tælle og nævne med nævne En bøk ganges med et tal ved at gange tælleen med tallet. Man dividee en bøk med en bøk ved at gange med den omvendte bøk. Alle led i tælleen skal dividees med nævneen Man lægge bøke sammen ved at sætte på fælles bøksteg. Fælles nævne kan altid findes ved at gange nævnene sammen Bøke fokotes ved at dividee alle led med samme tal To potense med samme gundtal multiplicees ved at addee eksponentene To potense med samme gundtal dividees ved at subtahee eksponentene Man opløfte en potens til en ny potens ved at multiplicee eksponentene og beholde oden ( a ) Flyttes et led ove på den anden side af lighedstegnet skiftes fotegn Flyttes en fakto ove på den anden side af et lighedstegn dividees med det (dog må ikke dividees med ) I en ligning kan man gange alle led med samme tal ( ) Andengadsligning- fomel 8 ( 3) + = 6+ 4= 7 4 = = = = = a ab = a b a = + = = = + = + = 4 6 6a b a 4b = (bøk fokotet med 3) 3a+ 9b a+ 3b a a = a a a 8 3 = a = a x+ 3= 5 x = x = 3 x = 3 5 x + = 4x + = b b 4ac ax + bx + c = x = ± a

8 . Regneegle Eksempel.. Regneegle a) Reduce uden bug af lommeegne b) Løs uden bug af lommeegne ligningen Kontolle facit ved bug af lommeegne. Løsning: 3 3 a 5b ab 5b 3a x 3 5 x + 3 = a 5b ( a) (5 b) a) ab = ab = ( a b ) b 3a 5ab b) x 3 5 x + 3 Antages x + 3 fås 8 x 3= 5 ( x+ 3) x 3= x+ 5 8x = 8 x = x = 8 TI89: Føst vælges Auto som den mode hvoi lommeegneen skal aflevee esultatet : Vælg MODE\exakt/apox\Auto 9 4 3*(3*a/(5*b)-5*b/(3*a))*a*b ENTER Resultat ok F\ solve((x-3)/(x+3)=5,x) ENTER Resultat ok Ønskes esultatet som en decimalbøk, så tyk på gul tast og ENTER elle skiv eksempelvis 5. femfo 5

9 Opgave til kapitel Opgave til kapitel.. (uden hjælpemidle) Beegn a) b) 5 ( 4+ 6) c) d) (5 + 4) e) 6+ ( ( 3) ( 3) ).. (uden hjælpemidle) Skiv som ufokotelig bøk 6 a) 3 8 b) c) 3 4 d) e) (uden hjælpemidle) Reducé 4a+ 8b a) b) 4 a+ 8 b a 4a+ 8b c) a+ 4b d) 4a ab 4a 5 e) 5 a 5 5a x + f) x+ 3 3 x 3

10 . Regneegle.4 (uden hjælpemidle) Udegn a) ( 3x 5) 6+ ( 7x+ 3) 3 ( 8x ) ( ) b) ( 3x 5)( y+ 3) ( 5x+ )( y+ ) c) ( x+ 5y) ( x 5y) d) x 5 ( x 7 x 3 )( 3x 3 x ) e) ( x+ 3y) ( 3x y).5. (uden hjælpemidle) Reduce 3a 7a ( a+ b) ( a b) b 6b b) abc a bc c) 6x 6 a) ( ).6. (uden hjælpemidle) Find tallet x af følgende ligninge a) 5x + = 3x b) 5 x 3 x 3 x 7 + = 3 6 x + 7 x 8 c) 5x 3 = 5x +.7. (uden hjælpemidle) Løs ligningene: 3 5 a) a x = a 3 9 b) a x = ( a ) c) 4x + 3= x (uden hjælpemidle) Løs ligningene: a) x 4 = b) x = 4 x c) ( x ) ( x 9) =.9. (uden hjælpemidle) Bestem tallet a, så -3 e od i ligningen x 3 + 3x ax + 3= 4

11 .. Afstandsfomel. Plangeometi. Koodinatsystem Ved et koodinatsystem vil vi i denne bog altid fostå et etvinklet koodinatsystem I figu. e tegnet et xy - koodinatsystem Den vandette koodinatakse kaldes x - aksen elle. aksen og den lodette kaldes y - aksen elle. aksen. Punktet P på figuen ha koodinatene (x, y). Punktet med koodinatene (,) kaldes begyndelsespunktet og benævnes i denne bog med O... Afstandsfomel Sætning. Afstandsfomel Afstanden mellem to punkte og = (, ) e PQ = ( x x ) + ( y y ) Fig.. Koodinatsystem P = ( x, y) Q x y Bevis: Punktet C (se figu.) ha koodinatene ( x, y ). Vi ha nu, at PC = x x og QC = y y Af den etvinklede tekant ABC fås nu ifølge Pythagoas PQ = PC + CQ = x x + y y Heaf fås fomlen. Fig. Afstandsfomel 5

12 . Plangeometi I Eksempel.. Afstandsfomel Bestem afstanden mellem punktene A=(,3) og B=(-4,6). Løsning: Ifølge afstandsfomlen fås: AB = ( 4 ) + ( 6 3) = = 45 = Ret linies ligning Lad de i et koodinatsystem væe givet en et linie l. Fig.3. Ret linie y = a x+b At linien l ha ligningen y = ax+ b vil sige, ) at alle punkte på linien l ha koodinate, de passe i ligningen, og ) ingen punkte udenfo linien ha punkte de passe i ligningen. Indsættes x = i ligningen fås y = a + b, dvs. linien l skæe y-aksen i punktet (.b). Sættes x = fås y = a + b = a+ b. Heaf ses (jævnfø figu.3) at nå x vokse med, så ænde y - vædien sig med a Tallet a kaldes linien hældning (elle hældningskoefficient). E linien paallel med x - aksen e dens hældning, og den ha ligningen y = b. En linie paallel med x - aksen, ha ligningen x = c, hvo c e liniens skæing med x - aksen. Eksempel. Ret linies ligning Tegn i samme koodinatsystem liniene ) l med ligningen y = x 3 ) m med ligningen y = 3x+ 3) n med ligningen y = - 4) p med ligningen x = 3 Løsning: Ved indsættelse af x = og x = fås ) l gå gennem punktene (,-3) og (,5) ) m gå gennem punktene (,4) og (,) 3) n gå gennem punktet (,-) og e paallel med x- aksen 4) p gå gennem punktene (3,) og e paallel med y - aksen 6

13 .3 Ret linies ligning TI 89: Gul tast\y= (findes ove F) Skiv *x-3 ENTER Skiv -x+ ENTER (Bemæk: foanstillet minus vælges nedest på tastatu) Skiv - x = 3 e ikke en funktion, og kan defo ikke angives Gul tast\gaph (findes ove F3) Hvis tegningen ikke e tilfedsstillende vælges Gul tast\windows og man sætte xmin, xmax, ymin og ymax til passende vædie. En et linie kan væe givet ved at den gå gennem givne punkte, elle ved, at man kende et punkt på linien og liniens hældning. De gælde følgende sætning: Sætning. Ret linies ligning Hvis en ikke lodet linie l gå gennem to punkte P = ( x, y ) og Q = ( x, y) e liniens y y hældning a = og liniens ligning y y = a( x x) x x Bevis: Lad l have ligningen y = ax+ b. Da punktene P og Q ligge på linien gælde y = ax + b og y = ax + b. y y Tække vi nu de to ligninge fa hinanden fås y y = ax + b ( ax + b) y y = a( x x) a = x x Tækkes ligningen y = ax+ b fa ligningen y = ax + b fås y y = ax+ b ( ax + b) y y = a( x x ) Eksempel.3. Linie bestemt ved at gå gennem to punkte Bestem ligningen fo linien gennem punktene A = (-, 3) og B = (4, -). Løsning: Vi ha hældningen a = 3 = 4 = 4 ( ) Ligningen e : y 3 = ( x ( ) y 3= x y = x Geneelt gælde, at enhve et linie ha en ligning af fomen ax + by = c 7

14 . Plangeometi I.4 Ciklen På figu.4 e i et koodinatsystem tegnet en cikel med centum i C= ( x, y ) og adius. De gælde da følgende sætning Sætning.. Ciklens ligning En cikel med centum i C= ( x, y ) og adius ha ligningen Fig..4. Cikel ( x x ) + ( y y ) = Bevis: Lad P = (x,y) væe et vilkåligt punkt på cikelpeifeien. Da cikelpeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius e CP I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) = = Eksempel.4 Cikle ) En cikel ha centum i punktet (, -3) og adius 4. Find ciklens ligning ) Angiv adius og koodinatene til centum fo den cikel, de ha ligningen ( x+ ) + ( y 6) = 5 Løsning: ) Af sætning. fås ligningen ( x ) + ( y ( 3)) = 4 x 4x+ 4+ y + 6y+ 9= 6 x + y 4x+ 6y = 3 ) Af sætning. fås, at centum ha koodinatene (-, 6) og adius = 5 Reducees ciklens ligning ( x x ) + ( y y ) = x + y x x y y+ x + y = se vi, at ha vi en ligning af typen x + y + ax+ by+ c= så e det muligvis ligningen fo en cikel med x = a, y = b, x + y = c. () 8

15 .5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens Eksempel.5 Ligning fo en cikel Undesøg om ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel, og angiv i bekæftende fald centums koodinate og adius. Løsning: Sammenlignes x + y + x 8y+ 3= med fomen () ses, at x = x =, y = 8 y = 4 og ( ) + 4 = 3 = 4. Vi ha følgelig, at ligningen x + y + x 8y+ 3= femstille en cikel med centum i (-, 4) og med adius Ved en enhedscikel fostås en cikel med centum i begyndelsespunktet O = (, ) og med adius Ligningen fo en sådan e x + y = Fig..5. Enhedscikel.5 De tigonometiske funktione sinus, cosinus og tangens. Odet tigonometi betyde tekantsmåling. Kan man egne vinkle og side ud i en tekant, kan man ved tianguleing opdele en polygon i tekante, hvis side og vinkle så også kan beegnes. Tigonometiske beegninge va således helt afgøende fo at de stoe sejlskibe i 4- og 5- tallet kunne sejle ove de stoe oceane eksempelvis fa Euopa til Ameika. Endvidee va de uundvælige ved landmåling. Som en ikke geometisk anvendelse kan nævnes at de tigonometiske funktione e nødvendige til en beskivelse af svingninge f.eks. ved bølgebevægelse elle elektiske svingninge (vekselspænding i elektiske kedsløb). 9

16 . Plangeometi I.5..Definition af sinus og cosinus Lad P væe et punkt på enhedsciklen, og lad v betegne en vinkel fa x - aksen til linien gennem O og P, hvo v egnes med fotegn (positiv mod uet). Funktionene cos v og sin v defi- nees da ved, at punktet P skal have koodinatene P = (cos v, sin v). Fig..6. Definition af cos og sin. Nå det deje sig om geometiske beegninge f. eks. i tekantsbeegninge egnes vinklene i gade. Dette e således tilfældet i dette og de to følgende afsnit. Hvis intet andet e nævnt, så gælde he, at v 8 Til beskivelse af svingninge og ande fysiske anvendelse anvendes et andet vinkelmål (adiane). Dette ske i kapitel 6. Af definitionen følge ) sin v og cos v ) sin = sin (8 ) =, sin(9 ) =, cos =, cos(9 ) = og cos(8 ) = -. 3) sin v + cos v = ( ) ( ) Følge af, at OP = og benyttelse af afstandsfomlen. Eksempel.6. Beegning af sin og cos på TI89 Beegn sin (3 ), sin ( ) cos (3 ) cos Løsning: Føst sike vi at vinkelmålet e i gade ved MODE\ Angle = Degee\ENTER Funktionene findes på tastatuet i fjede ække. 3 3 sin(3) =/ sin()= cos(3)= cos() = -/

17 .5. Definition af tangens Ofte skal man foetage den omvendte beegning. Dette e vist i det følgende eksempel. Eksempel.7. Beegning af sin og cos på TI89 Lad v 8 Find v, af følgende ligninge a) sin v =.7 b) sin v = -.7 c) cos v =.7 d) cos v = -.7 Løsning: a) Som det femgå af figuen vil såvel vinklen v som vinklen (8 - v) have en sinus på.7. Benyttes lommeegneen fås v = sin ( 7. ) = Lommeegneen give defo kun vinklen i føste kvadant Den anden vinkel blive = Om man ved en ved en tekantsbeegning skal benytte begge vinkle elle kun den ene må afhænge af det konkete poblem. b) cos v = -.3 v = cos ( 3. ) = 33, He e de kun én løsning, hvilket bevike, at man sædvanligvis vil foetække cos femfo sin ved beegningene, hvis det e muligt..5.. Definition af tangens Definition af tangens: sin v tan v =, v 9 cos v Vædiene fo tan v aflæses på tangenten til enhedsciklen i (,). Bevis: Linien gennem punktet O og P=(cos (x), sin (x)) sin x ha hældningen α = = tan x. cos x Heaf ses, at punktet T ha koodinatene (, tan(x)). Fig..6. tan aflæses på tangenten

18 . Plangeometi I Eksempel.8. Beegning af tangens på TI89 ) Beegn tan (54.3 ), ) Beegn tan(3. ) Løsning: ) tan(54,3) =.39 ) tan(3) = -.9 Eksempel.9. Beegning af tan - på TI89 Find v, af ) tan v =.7 ) tan v = -.5 Løsning: ) v = tan - (.7) = ) Lommeegneen beegne en negativ vinkel u på figu.7. Ønskes en løsning v i intevallet [;8 ] fås v = 8 + u u = tan - (-.5) = v = 8 + tan - (-.5) =53.44 Fig..7. tan - af negativt tal.6. Ligefem og omvendt popotionalitet Ligefem popotionalitet: To støelse x og y siges at væe (ligefem) popotionale, hvis de findes et tal a >, så y = a x Eksempel.. Popotionalitet Lad en bil køe med den konstante hastighed 9 km/time hen ad en motovej. Tiden t og den tilbagelagte vejlængde y e da popotionale. Eksempelvis på time e de tilbagelagt 9 km, på time e de tilbagelagt 8 km osv., så y = 9 t Omvendt popotionalitet To støelse x og y siges at væe omvendt popotionale, hvis de findes et tal a y = x a >, så

19 .5. Definition af tangens Eksempel.. Omvendt popotionalitet Lad afstanden ad en motovej fa et punkt A til et punkt B væe km. En bil køe fa A til B med den konstante hastighed v km/time hen ad motovejen. Tiden t og hastigheden v e da omvendt popotionale. Eksempelvis køes v = km/time tilbagelægges vejstækningen på time, med 5 km/time tilbagelægges vejstækningen på time osv. Vi ha følgelig, at v = t.7. Ensvinklede tekante I figu.8 e tekant ABC en fostøet udgave af tekant ABC, idet alle sidelængde i tekant ABC e dobbelt så lange som de tilsvaende længde i tekant ABC. Ved fostøelsen bevae tekanten sine vinkle. Tekantene siges at væe ensvinklede. Man kunne natuligvis i stedet have benyttet et andet støelsesfohold end. Fig.8. Ensvinklede tekante Definition: To tekante kaldes ensvinklede, hvis de te vinkle e pavis lige stoe. Man kan vise, at: To tekante ensvinklede ensliggende side e popotionale dvs. A= A, B = B, C = C De findes et tal k så a = k a, b = k b, c = k c Lineæ intepolation Ved lineæ intepolation antage man, at den tabellagte funktion ænde sig lineæt (dvs. som en linie elle en plan) i det omåde, hvoi man foetage intepolationen. Eksempel. Intepolation i en vejs tabel Find den vædi af y som svae til en vædi af x på Et uddag af tabellen omking det elevante sted e følgende: x y

20 . Plangeometi I Håndegning Vi se, at stige x med.5 (fa 5.65 til 5.7) stige y med (fa.5 til - 3.) Af de ensvinklede tekante (se figuen) ses nu, at stige x med.3 (fa 5.65 til 5.68), så vil y stige med 3. ( 785. ) = Vædien i x = 5.68 e følgelig y = = 53.9 Lommeegne: x x=5.65 x=5.7 y=3. y=.5 y y Med de angivne bogstave e fomlen: y = y+ ( x x) x x I TI89 indtastes følgende: y+(y-y)/(x-x)*(x-x) STO int(x,x,y,y,x) (STO findes i næstsidste ække) Vi ha nu gemt en funktion it i lageet (Main) Vi kan nu benytte den ligesom enhve anden funktion Gå ind i HOME, Tyk på VAR-Link (ove tasten -) og vælg int ENTER I HOME stå nu int( Vi skive nu int( 5.65, 5.7,3,.5, 5.68) Resultat 53.9 Et poblem e at huske den ækkefølge, man skal indsætte de 5 vaiable..8. Retvinklet tekant. Betegnelse: I en etvinklet ABC, hvo C = 9 (se figu.9) kaldes c fo hypotenusen og de to ande side fo katete. I fohold til A kaldes a fo den modstående katete og b fo den hosliggende katete. De gælde følgende vigtige sætning Sætning.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 gælde Fig.9. Retvinklet tekant sin A = a, cos A = b, tan A = c c a b elle modståede katete hosliggende katete sin(spids vinkel) =, cos(spids vinkel) = hypotenuse hypotenuse modståede katete tan(spids vinkel) = hosliggende katete 4

21 .7 Retvinklet tekant Bevis Et koodinatsystem e indlagt som vist på figu., med A i begyndelsespunktet og C ud af x - aksen. Fig.. Retvinklet tekant De to tekante ABC og APQ e ensvinklede, så dees side e popotionale, dvs. sin A cos A Da PQ = sin A, AQ = cos A og AP = fås a = b = c Heaf fås sin A a, cos A b sin = = og tan A c c = A a cos A = b PQ BC AQ = = AC AP AB Fomlene i sætning.3 sike, at hvis vi kende en side og enten en vinkel elle ydeligee en side, kan vi beegne de esteende side og vinkle (foudsat natuligvis at tekanten eksistee). De e 5 såkaldte tekantstilfælde: ) Givet sidene a og b: c findes af c = b + a, A af tan A = a og B = 9 - A b ) Givet sidene a og c: b findes af c = b + a, A af sin A = a og B = 9 - A c 3) Givet A og siden a: b findes af tan A = a, c findes af sin A = a og B = 9 - A b c 4) Givet A og siden b: a findes af tan A = a, c findes af cos A = b og B = 9 - A b c 5) Givet A og siden c: a findes af sin A = a, b findes af cos A = b og B = 9 - A c c Eksempel.3. Retvinklet tekant I en etvinklet ABC, hvo C = 9 e A = 35,6 og siden a = 5.3. Find de ubekendte side og vinkle. Løsning: B = 9 - A=9-35,6 = tan A a a 53 = b = b = b = 743. b tan A tan sin A a a 53 = c = c= c= 95. c sin A sin

22 . Plangeometi I Opgave til kapitel..(uden hjælpemidle) Bestem en eksakte vædi af afstanden mellem punktene A = (-4, 3) og B = (-3, -8). Bestem med 3 decimale længdene af sidene i tekant ABC, hvo A = (-3, 4), B = (5, 7) og C = (, 5).3 Undesøg om tekant ABC e ligebenet, nå A = (5, 8), B = (6, ) og C = (, 4).4. (uden hjælpemidle) En linie gå gennem punktene A = (, ) og B = (3, -). Find liniens ligning..5. (uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A =(-3,) og B = (, 5). Opskiv ligningen fo l.6.(uden hjælpemidle) En linie l gå gennem A = (, -3) og ha hældningen. a) Tegn linien l i et koodinatsystem b) Opskiv linien l s ligning. c) Find koodinatene til linien l's skæingspunkte med koodinataksene..7.(uden hjælpemidle) a) Opskiv ligningen fo den linie l, de gå gennem punktet P = (5, 3) og ha hældningen a = 3 b) Opskiv ligningen fo den linie m, de gå gennem punktet P =, og ha 3 hældningen a = (uden hjælpemidle) Linien l gå gennem punktene A = ( -, 4) og B = (7, 6). Find en ligning fo den linie m som skæe x - aksen i (4, ), og som e paallel med l..9. En linie gå gennem punktene A = (-3,) og B = (,4). Undesøg om punktet C = (5, 7) ligge på denne linie... (uden hjælpemidle) En cikel ha centum i punktet C = (-,3) og ha adius 5. a) Opskiv ligningen fo ciklen b) Vis, at punktet D = (,6) ligge på ciklen c) Find skæingspunktet mellem ciklen og x - aksen. 6

23 . Opgave til kapitel. (uden hjælpemidle) Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + ( y 3) = 4 b) ( x+ ) + ( y 6) = 5. Angiv centum C og adius fo hve af følgende cikle a) x + y + x 6y = 6 b) x + y x = 6 c) x + y + x+ 8y = 8.3 (uden hjælpemidle) På figuen e afsat længden af nogle af sidelængdene i de to tekante. Beegn de eksakte længde af de to esteende side.4 (uden hjælpemidle) Valutakusen på svenske kone e 78.9 k, dvs. til svenske kone svae 78.9 danske kone. a) Hvis de til x svenske kone svae y danske kone, hvad e så elationen mellem x og y. b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..5 (uden hjælpemidle) En kostba gave til et byllup koste k. Lad de væe x pesone de ønske at bidage til gaven, og lad det beløb hve peson skal give væe y. a) Angiv elationen mellem x og y b) E de ligefem elle omvendt popotionalitet mellem x og y..6 (uden hjælpemidle) ABC e etvinklet med C= 9. Det oplyses, at sin( 3 ) =. Beegn de manglende side nå a) A = 3 og a = 5 b) A = 3 og c = 8.7 Angiv med 4 decimale cos(6 ), sin(7 ), sin( ), tan(3 ), cos( ).8 Lad vinklen v lige i intevallet v 8 Find med decimale de vædie af v, hvo a) cos v =.345 b) sin v =.345 c) cos v = ABC e ligebenet med b = c, A = 35 og a = 8. Find de manglende side og vinkle. 7

24 . Plangeometi I. Hvo mange gade stå solen ove hoisonten, nå en m høj flagstang kaste en skygge på 5 m.. Ud fo en etlinet kyst ligge en lille ø med et fy F. Bestem fyets afstand fa kysten, nå sigtelinien 4 m længee nede ad kysten danne en vinkel på 35 med kystlinien.. En cikel ha centum i punktet C og en adius = 4 m. Et punkt P ligge i afstanden 8 m fa C. Fa P tækkes tangentene til ciklen. a) Beegn afstanden fa P til tangentenes øingspunkte med ciklen. b) Beegn den vinkel som de to tangente danne med hinanden..3 Fa et skib ses et 65m højt fy unde en vinkel på 8.5. Hvo lang befinde skibet sig fa fyet.? 8

25 3.. Definition af vekto 3 Vektoe i planen 3. Definition af vekto Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Et liniestykke e bestemt af sine endepunkte. Vi fosyne nu liniestykke med en etning elle oienteing, som vi angive ved hjælp af en pilespids i den ene ende. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. a b b a Fig 3.: Vektoe På figu 3. e pilene AB og CD epæsentante fo samme vekto, som vi betegne med AB. Da de to pile epæsentee samme vekto skive vi AB = CD, Vi kalde A fo pilens begyndelsespunkt og B fo dens endepunkt. Vektoe betegnes også med små bogstave med pil ove: a = AB 9

26 3. Vektoe i planen På figu 3. epæsentee EF og GH en anden vekto b. Læg mæke til, at AB BA, fodi de to pile ikke ha samme etning. Vi vil i det følgende tillade os at tale om vektoen epæsenteet ved pilen AB. AB i stedet fo det mee koekte vektoen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen 3. Regneegle Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu 3.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Vi ha altså AB+ BC = AC (kaldes indskudssætningen, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig 3. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu 3. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.

27 3. Regneegle Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu 3.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig 3.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig. 3.4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5

28 3. Vektoe i planen 3.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu 3.5) En vekto a kan nu skives a = ax + ayhvo a x e paallel med x - aksen og ay e paallel med y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j i ay Fig Basisvektoe i a 3 i j a = 3 i + j = 3 Fig Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning 3.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b

29 3.3 Vektoes koodinate Eksempel 3.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = Find koodinatene til a+ 5b Løsning: a+ b = ( ) + = = TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu 3.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig 3.7. Stedvekto Sætning 3.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel 3.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 =

MATEMATIK på Søværnets officerskole

MATEMATIK på Søværnets officerskole MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt

Læs mere

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber. - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)

Læs mere

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende

Læs mere

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v

Trigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...

Læs mere

Annuiteter og indekstal

Annuiteter og indekstal Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige

Læs mere

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007

Alt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007 Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning

Læs mere

Projekt 1.8 Design en optimal flaske

Projekt 1.8 Design en optimal flaske ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn

Læs mere

Gravitationsfeltet. r i

Gravitationsfeltet. r i Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo

Læs mere

Arealet af en sfærisk trekant m.m.

Arealet af en sfærisk trekant m.m. ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt

Læs mere

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen

Indhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.

Læs mere

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal

Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Elektrostatisk energi

Elektrostatisk energi Elektomagnetisme ide 1 af 8 Elektostatik Elektostatisk enegi Fo et legeme, de bevæge sig fa et punkt til et andet, e tilvæksten i potentiel enegi høende til en konsevativ 1 kaft F givet ved minus det abejde,

Læs mere

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00

HTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00 1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,

Læs mere

Forløb om annuitetslån

Forløb om annuitetslån Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes

Læs mere

De dynamiske stjerner

De dynamiske stjerner De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til

Læs mere

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud

TDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige

Læs mere

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul

Vektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.

Den stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år. 16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode

Læs mere

Impulsbevarelse ved stød

Impulsbevarelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt

Læs mere

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen

Rentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store? TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk

Læs mere

Magnetisk dipolmoment

Magnetisk dipolmoment Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer

Beregningsprocedure for de energimæssige forhold for forsatsvinduer Beeninspocedue fo de eneimæssie fohold fo fosatsvindue Nævæende dokument beskive en pocedue til bestemmelse, af de eneimæssie fohold fo fosatsvindue. Det skal notees, at beeninen e baseet på en foeløbi

Læs mere

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen

Erhvervs- og Selskabsstyrelsen Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,

rekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen, ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009

Nr Atom nummer nul Fag: Fysik A Udarbejdet af: Michael Bjerring Christiansen, Århus Statsgymnasium, august 2009 N. -9 Atom numme nul Fag: Fysik A Udabejdet af: Michael Bjeing Chistiansen, Åhus Statsgymnasium, august 9 Spøgsmål til atiklen 1. Hvofo vil det væe inteessant, hvis man fo eksempel finde antikulstof i

Læs mere

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1

Matematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1 Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul

Kort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016

Regional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016 Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium

Repetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes

Læs mere

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning

Elektromagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektrostatik 1. Elektrisk ladning Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone ( ), neutone ( n ) og elektone ( ) og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men den altovevejende del af

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2014. 22. maj 2014. 22. maj 2014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 014 f x x 4x 6. maj 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Koordinatsættet til parablens toppunkt bestemmes ved først at udregne diskriminanten for

Læs mere

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet

Pension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2015 22. maj 2015: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Ligningen løses ved at isolere x i det åbne udsagn: 4 x 7 81 4 x 88 88 x 22 4 Opgave 2: y 87 0,45 x Det

Læs mere

11: Det skjulte univers

11: Det skjulte univers : Det skjulte unives Jeg nævnte tilbage i kapitel 2, at de e en foklaing på, at univeset ha den oveodnede stuktu, som det ha. Men dengang manglede vi foudsætningene fo at fostå foklaingene. Siden ha elativitetsteoien

Læs mere

Trigonometri at beregne Trekanter

Trigonometri at beregne Trekanter Trigonometri at beregne Trekanter Pythagoras, en stor matematiker fandt ud af, at der i en retvinklet trekant summen af kvadraterne på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. ( a 2 + b 2 = c 2 )

Læs mere

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion

Julestjerner af karton Design Beregning Konstruktion Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014

Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 2014 Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 014. maj 014: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Algekoncentrationen målt i mio. pr. L betegnes med A. Tiden måles i antal timer fra start og angives med t.

Læs mere

Trivselsundersøgelse 2010

Trivselsundersøgelse 2010 Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys

Metode til beregning af varmetransmissionskoefficient (U-værdi) for ovenlys Metode til beenin af vametansmissionskoefficient (U-vædi) fo oven Nævæende notat beskive en metode til beenin af vametansmissionskoefficienten fo oven. Pincippet i beeninspoceduen tae udanspunkt i beeninsmetoden

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser.

praktiske. Der er lavet adskillige undersøgelser at skelne i mellem: ulaboratorieundersøgelser og ufeltundersøgelser. Betonø ha den støste vandføingskapacitet Et afløbssystems opgave e at lede vand samt uenhede til ensningsanlæg elle ecipient. Evnen til at gøe dette afhænge af systemets hydauliske egenskabe næmee betegnet

Læs mere

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009

Dimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Løsningsforslag MatB Juni 2013

Løsningsforslag MatB Juni 2013 Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x

Læs mere

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf)

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen

SUPERLEDNING af Michael Brix Pedersen UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 M A T E M A T I K A 1 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK B c a h A b C x H Matematik A1 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle

Læs mere

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul

Kortfattet. for gymnasiet og hf. 2010 Karsten Juul Kotfattet fo gymnasiet og hf 5 00 Kasten Jl Indhold. HÄjde og aeal.... Pythagoas' såtning... 3. Ensinklede tekante...4 4. Cosins og sins i etinklet tekant...6 5. Tangens i etinklet tekant...9 6. Vinkle...

Læs mere

Dielektrisk forskydning

Dielektrisk forskydning Elektomagnetisme 4 ide 1 af 7 Dielektisk foskydning Betagt Gauss lov anvendt på et dielektikum: Q EndA ˆ =. (4.1) ε De af omsluttede ladninge Q bestå af: Polaisationsladninge, som e opstået ved indbydes

Læs mere

Praksis om miljøvurdering

Praksis om miljøvurdering Paksis om miljøvudeing Miljøvudeingsdage 2015 Nyee paksis på miljøvudeingsomådet Flemming Elbæk Flemming Elbæk, advokat, HD(Ø) Ansættelse: Advokatfuldmægtig, 2006-2008 Juist, Miljøministeiet, 2008-2012

Læs mere

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning)

Fagstudieordning for tilvalgsuddannelsen i Erhvervsøkonomi (2012-ordning) Fagstudieodning fo tilvalgsuddannelsen i Ehvevsøkonomi (2012-odning) 1 Indledning Til denne uddannelsesspecifikke fagstudieodning knytte sig også Rammestudieodning fo Det Samfundsvidenskabelige Fakultet,

Læs mere