To legeme problemet og Keplers love

Transkript

1 To legeme oblemet og Keles love 0/8 To legeme oblemet og Keles love Indhold. To legeme oblemet. Reduktion til centalbevægelse.... Løsning af diffeentialligningene fo en centalbevægelse.... Lagange fomalismen llisens ligning i olæe koodinate Keles love Tilbage til to legeme oblemets geometi...7 Ole Witt-Hansen 06

2 To legeme oblemet og Keles love /8. To legeme oblemet. Reduktion til centalbevægelse To legeme oblemet, handle om at beskive bevægelsene af to legeme, hvo kaften (elle dees otentielle enegi), kun afhænge af dees indbydes afstand. Det kan enten væe gavitationskaften F mellem to legeme med masse m og m, givet ved Newtons avitationslov: mm F Hvo =6, Nm /kg og e afstanden mellem de to (kuglefomige) legeme. lle Coulombkaften kaften F C mellem to ladninge Q og Q. QQ 9 F C hvo 9,00 Nm / C Det vise sig, at to legeme oblemet kan educees til at løse en diffeentialligning fo en centalbevægelse, hvilket jo betyde, at kaften å legemet, kun afhænge af afstanden til et fast givet unkt. Hvis det ene legeme e langt tungee end det andet, vil bevægelsen af det lille legeme med god tilnæmelse væe en centalbevægelse. Det gælde f.eks. fo bevægelsen af en satellit omg joden elle lanetenes bevægelse omg solen. en se vi å systemet måne og jod, så e de mækbae afvigelse fa centalbevægelse. I det følgende betegne vi diffeentiation med hensyn til tiden med en ik ove bogstavet, således dx d x elle. assemiunktet fo de to legeme, betegnes. Hvis og betegne stedvektoene til de to masse m og m e stedvektoen til massemiunktet givet ved: m m (.) m m e vektoen fa m til m, som vist å figuen De to ligninge løses nu, så vi få uykt og ved og ganges defo med m. (.) m m ( m m) m m m m m m m m m Såvel kaften imellem de to legeme, samt dees indbydes otentielle enegi, af hænge kun af den elative afstand. mm ot.

3 To legeme oblemet og Keles love /8 Den etiske enegi e: m m og Ved at indsætte de fundne uyk fo finde man: m m ) m ( ) m( m m m m Vi sætte v og u og få: m m ) m ( v u) m( v u m m m m Det dobbelte odukt fa de to aentese, ses at gå ud mod hinanden, og tilbage blive de: mm mm ( m m) v u ( m m) ( m m) m m ( m m ) ( m m) v u ( m m) m m ( m m) v u ( m m) Vi ha hemed fået uykt den etiske enegi ved hastigheden af massemiunktet og den elative hastighed. mm Uykket m ( m ) kaldes fo den educeede masse. m Hvis de to legeme udelukkende e åviket af dees gensidige tiltækning, e v konstant, og vi kan vælge voes koodinatsystem med begyndelsesunkt i, så v = 0. mm m Af uykket fo den educeede masse m hvis m m, m m m m ses at hvis m e meget støe end m, svaende til systemet jod/måne, så svae det med tilnæmelse til en cental bevægelse af månen un om joden. negien e summen af den etiske og otentielle enegi, som hvis de e tale om gavitationskæfte e givet ved: m m ot mu mm m ( m m ) e den educeede masse, e afstanden mellem centene å de to legeme og u.. Løsning af diffeentialligningene fo en centalbevægelse Det e velken, at løsningen til bevægelsesligningene fo en centalbevægelse e en ellise, en hyebel med gænsetilfældene cikel og aabel. Udledningen e dog langt fa simel. De findes flee metode, men jeg ha valgt at anvende Lagange fomalismen, som jeg ha hentet og beabejdet fa Landau og Lifshitz: echanics fa 960.

4 To legeme oblemet og Keles love 3/8. Lagange fomalismen I Lagange fomalismen e den etiske enegi T og den otentielle enegi U uykt i dq genealiseede koodinate: q, q, q3,.. qn med hastighede q, q, q,.. q 3 n, hvo q Lagange funktionen e: L T U og bevægelsesligningene e: d L L (.) 0 q i q i Fo at behandle centalbevægelsen uykke vi føst den etiske og otentielle enegi i olæe koodinate (, θ) T m( x y ) hvo x cos og y sin x cos sin og y sin cos Ved at kvadee disse uyk, unde anvendelse af cos sin finde man: T m( ) (hvilket også kan ses geometisk, idet en infinitesimal foskydning ds fa (, ) til ( d, d ) bestå af en tangential foskydning d langs buen med adius, eftefulgt af en adial foskydning d. Stykkene d, d, og ds danne en etvinklet tekant, så ds d d, hvoefte uykket ovenfo følge ved division med ). m Ifølge Newtons gavitationslov e den otentielle enegi U ( ), hvo e massen af centallegemet, m e massen af satellitten, og e afstanden mellem dees cente. Vi sætte fo nemheds skyld α = m, så U ( ). Heefte blive Lagange funktionen: (.) L T U m( ) Som give bevægelsesligningene: (.3) d d L L 0 0 m m L L d m 0 ( ) 0 A (konstant) Den sidste ligning uykke Keles. lov, at aealhastigheden e konstant. Det aeal de begænses af en vinkel dθ å en bue med adius e aealet af en tekant med højde dθ og gundlinie lig med ½ dθ. Den tangentielle hastighed e v, så konstant aealhastighed komme ud å det samme som, at imulsmomentet m mv e konstant, som vi også ved fa mekanikken. tan gential

5 To legeme oblemet og Keles love 4/8 Til bestemmelse af banekuven e de Lagange ske bevægelsesligninge ikke så anvendelige, da det e. odens diffeentialligninge, så vi anvende i stedet uykket fo enegien, som e en. odens ligning. (.4) T U m( ) He eliminee vi, ved at anvende uykket fo imulsmomentet:, som indsat give: 4 m m Heefte isolee vi m ndelig notee vi os, at: m, og isolee d d Hvoefte vi isolee : m m m d m m m d m m d, som indsat give: d m d m m m d m m Ved integation, finde man heved sammenhængen mellem θ og, det vil sige banekuven i olæe koodinate. d m m Vi anvende nu substitutionen z dz d dz m z m z Vi vil fosøge, at omskive nævneen, så den komme å fomen: x. Hvis z e kvadatet å. led og m z skal væe det dobbelte odukt, må det andet led væe m givet ved: m z zy y. På denne måde: dz m m ( z ) m

6 To legeme oblemet og Keles love 5/8 ndelig sætte vi m og flytte denne fakto udenfo kvadatodstegnet: m m Samtidig med at ( z ) x dx x dz dx og integalet e educeet til: cos x x cos Og ved at substituee tilbage: Sætte man: (.4) m ( z ) cos ( m ) cos og e, kan uykket educees til: m m ecos Denne ligning genkendes som ligningen fo et keglesnit i olæe koodinate. (Se nedenfo). Ifølge definitionen e e >0. Hvis 0 e <, vil vaiee mellem vædiene: og banekuven e en ellise elle e e cikel fo e =0. Hvis e e bevægelsen ikke begænset, idet ligningen e cos 0 ha løsningen: cos. e 3. llisens ligning i olæe koodinate llisens halve stoakse e a. Punktet P ha koodinatene (x,y) og de olæe koodinate (,θ), som vist å tegningen. De to bændunkte F og F, ha koodinate (-ae,0) og (ae,0), hvo e e excenticiteten. I en elementæ femstilling og udledning af ellisens ligning finde man følgende uyk fo bændstålene F P = a + ex og F P = a ex Samtidig e F P =, og det ses af figuen, at x ae =cosθ => x =cosθ + ae, som indsat i F P = = a ex give: = a e(cosθ + ae) => (+ecosθ) =a(-e ) a( e ) (3.) ecos ecos Hvilket ses, at væe i oveensstemmelse med (.4).

7 To legeme oblemet og Keles love 6/8 4. Keles love Keles. lov: Alle lanetene bevæge sig i lane ellitiske bane med solen i det ene bændunkt. Løsningen til bevægelsesligningene femstille fo 0 e < en ellise, hvilket e ecos indholdet af Keles. lov. Keles. lov: Alle lanete bevæge sig med konstant aealhastighed. Dette følge af (.3). d m ( ) 0 A (konstant) Keles 3. lov: Foholdet mellem 3. otens af middelafstanden a = halve stoakse og. otens af omløbstiden T, e den samme fo alle lanete. 3 a k S T Vi tage udgangsunkt i uykket fo imulsmomentet m som vi omskive til: m d T 0 m 0 d Det føste integal e lig med omløbstiden T, og det andet e lig med aealet af ellisen, som e πab. Så de gælde T=mπab. (b = halve lilleakse) b Fo en ellise gælde fomlene: a( e ) og ( e ) b a ( e ) Fo ellisen fan vi: Dette indsættes i m m m T mab mab m a m e Indsættes a( e ) få man T a m e a m e a a m 3 a a m (4.4) T m T 4 Som e indholdet af Keles 3. lov. 3

8 To legeme oblemet og Keles love 7/8 5. Tilbage til to legeme oblemets geometi Nå banekuven (.4) fo centalbevægelsen af den educeede masse e fundet, kan banekuven fo hvet af de to legeme bestemmes ud fa (.). Dette kæve dog, at man kende ositionen af massemiunktet å fobindelseslinien mellem de to legeme. Den kan imidletid elegant bestemmes ved hjæl af figuen til høje. (5.) O m m ( m OP m OP ( m m O m OP m OP ) m ( O OP) m( O OP ) P m m P m P P m ) Af ovenstående femgå, at massemiunktet e laceet å fobindelseslinien mellem de to masse, og at dele liniestykket fa P til P i det omvene massefohold. Dette kan man fo eksemel anvende til at udegne massemiunktets laceing fo systemet bestående af joden og månen. måne Foholdet 0, 03 jod Afstanden mellem dees cente e ca. 60R, hvo R e jodadius. Hvis e afstanden fa jodens centum til massemiunktet, så gælde de ifølge ovenstående. måne (5.) 0,03 0, 79R 60R jod assemiunktet befinde sig altså inden fo jodens oveflade. Som følge af dees gensidige massetiltækning bevæge både joden og månen sig i ellisebane om dees fælles bændunkt, og med den samme omløbstid. ånens åvikning af joden give defo anledning til minde uegelmæssighede i jodens bane omg solen, de såkale etubatione. Ole Witt-Hansen Lekto emeitus