Fra Taylorpolynomier til wavelets

Transkript

1 Fra Taylorpolynomier til wavelets Ole Christensen DTU Matematik Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 1 / 27

2 Plan for foredraget Personlig introduktion Kontinuitet, differentiabilitet Tangenter og Taylorpolynomier af højere grad Wavelets - forbrydernes skræk. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 2 / 27

3 Personlig introduktion Født 1966 Student 1985 (Århus Katedralskole) Cand.scient 1990 (Århus Universitet) Ph.D (Århus Universitet) Dr.scient 2002 (Århus Universitet/DTU) Undervisningsansvarlig, DTU Matematik, fra 2008 Leder af forskningsgruppen i Anvendt Funktionalanalyse, DTU, fra 2009 Professor 2010 (DTU) Har boet i Frankrig, USA, Østrig Lange forskningsophold i Kina, Korea, Argentina, Singapore,... (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 3 / 27

4 Funktionsteori En funktion f : A B er en forskrift, der til hvert element i mængden A knytter et element i mængden B. F.eks. f(x) = x 2, x R. En funktion f er kontinuert i et punkt x 0 hvis grafen for funktionen ikke springer i x 0. 1 K (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 4 / 27

5 Eksempel på funktion der ikke er kontinuert: K4 K (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 5 / 27

6 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

7 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

8 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x 0. 1 K5.0 K K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

9 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

10 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K5.0 K K1 K1 K1 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

11 Differentialregning Differentialkvotienten for en funktion f i et punkt x 0 betegnes f (x 0 ). Tangenten for en funktion f i punktet (x 0, f(x 0 )) er givet ved y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Det ønskes at tangenten giver en god tilnærmelse til f(x) for x tæt på x K5.0 K K5.0 K K5.0 K K1 K1 K1 Tangenten giver ikke altid en god tilnærmelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 6 / 27

12 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

13 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. Fortolkning? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

14 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

15 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

16 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske K2.5 (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

17 Weierstrass sætning Antag at funktionen f : [a, b] R er kontinuert. Så findes for ethvert ǫ > 0 et polynomium P således at Fortolkning? f(x) ǫ P(x) f(x) + ǫ for alle x [a, b]. For enhver kontinuert funktion kan man finde et polynomium der er så tæt på funktionen som man måtte ønske. 5 5 The word "alone" f(t) K Time [sec] (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 7 / 27

18 Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27

19 Under ekstra antagelser: Man kan vælge polynomiet P på formen P(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! + f (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! + + f (N) (x 0 ) (x x 0 ) N. N! Hvilken funktion f har du lyst til at regne på? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 8 / 27

20 Eksempel For f(x) = e x er f (x) = f (x) = = e x. For x 0 = 0 fås P(x) = 1 + x x ! x N! xn. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 9 / 27

21 Wavelets - forbrydernes skræk (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 10 / 27

22 Digitale sort-hvid billeder Et digitalt billede består af et antal små kvadrater - såkaldte pixels. F.eks pixels. Til hver pixel knyttes en gråtone på en skala f.eks. fra 0 til 100, der angiver farvenuancen det pågældende sted. F.eks.: 0: helt hvid 100: helt sort Talparrene bestående af en nummerering af de enkelte pixels og angivelse af den tilhørende farvenuance giver en komplet beskrivelse af billedet. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 11 / 27

23 Eksempel Pixelværdier i første række: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 12 / 27

24 Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med pixels beskrives et billede af talpar; Med pixels beskrives et billede af talpar. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27

25 Hvad koster det at lagre data? Datamængden til beskrivelse af et billede afhænger af pixelstørrelsen: Med pixels beskrives et billede af talpar; Med pixels beskrives et billede af talpar. Når sidelængden i hver pixel reduceres med en faktor 4, øges datamængden med en faktor 16! Dyrt at lagre billeder i høj opløsning! At lagre et billede i god kvalitet koster ca. 13 Mb. En CD-ROM kan lagre ca. 60 billeder i god kvalitet. Ok til husbehov! Metoden er ikke brugbar til store mængder billeder! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 13 / 27

26 Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27

27 Historien om FBI FBI gemte før 1995 fingeraftryk for 30 millioner personer i papirform. FBI ønskede at omlægge arkivet på elektronisk form, men datamængden var umiddelbart for stor. Løsning: Komprimering af datamængden! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 14 / 27

28 Hvorfor virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27

29 Hvorfor virker det? Den første række i hunden beskrives af 256 talpar - men kan faktisk beskrives ved blot 4! Teknisk forstålse af metoden kræver avanceret matematik. Vi beskriver den simplest mulige udgave af metoden for et talsæt bestående af 8 tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 15 / 27

30 Eksempel Vi betragter følgende tal: Tallene opfattes som en serie på fire talpar, hvert indeholdende to tal: (56,40), (8,24), (48,48), (40,16) Hvert talpar erstatter vi af to nye tal, nemlig 1) gennemsnittet af de givne tal; 2) forskellen mellem det første tal i parret og den fundne gennemsnitsværdi. I formelsprog: hvert talpar (a, b) er blevet erstattet af et nyt talpar (g, d) givet ved g = a + b 2, d = a a + b 2. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 16 / 27

31 Eksempel, fortsat Det første talpar i det givne talsæt består af tallene 56 og 40; ovenstående procedure giver os Gennemsnitsværdien er = 48 Forskelsværdien er = 8. Ved at udføre denne process på alle fire talpar bliver tabellen omformet til Gennemsnit: Forskelle: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 17 / 27

32 Eksempel, fortsat Tallene g = a+b 2, d = a a+b 2 i tabellen indeholder samme information som de oprindelige tal Thi: vi kan komme tilbage til de oprindelige tal via inversion, Man taler om rekonstruktion. a = g + d, b = g d. Uklart hvad der er vundet ved omformningen! Vi gemmer spørgsmålet og gentager processen: (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 18 / 27

33 Eksempel, fortsat Givet tabel: Første anvendelse af metoden: Metoden anvendes igen, men kun på de 4 gennemsnitstal: Metoden anvendes igen, men kun på de 2 gennemsnitstal: Man kan regne frem og tilbage mellem disse fire tabeller! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 19 / 27

34 Komprimeringsteknik Tal numerisk under 4 erstattes af nul (thresholding): dvs. tabellen erstattes af Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række): Tallene ligger tæt på vores oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 20 / 27

35 Komprimeringsteknik Grovere threshold - smid tal under 9 væk: tabellen erstattes af Inversion i 3 skridt (oprindelige talsæt i anden række) : De nye tal er i mange sammenhænge en acceptabel tilnærmelse. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 21 / 27

36 Komprimeringsteknik Første figur viser det originale signal nederst, og rekonstruktionen med thresholding ved 4 øverst. Anden figur viser det originale signal, og rekonstruktionen med thresholding ved 9. Talfølgen opnået ved rekonstruktion med thresholding ved 9 er i mange tilfælde en acceptabel tilnærmelse til det oprindelige talsæt. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 22 / 27

37 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27

38 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27

39 Komprimeringsteknik Nøgle til besparelsen: det tager væsentligt mindre dataplads at lagre talsæt, hvor der optræder mange nuller. I regneeksemplet: nok at bekymre sig om de fire tal 35, 16, 10, 12 i stedet for otte tal. Kan man regne med en væsentlig reduktion i datamængden for talsæt stammende fra naturlige billeder? Ja! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 23 / 27

40 Tilbage til FBI (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27

41 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27

42 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27

43 Tilbage til FBI Originalt fingeraftryk, og den komprimerede udgave. For FBI: et fingeraftryk kan lagres på 1 Mb i stedet for 13 Mb, uden kvalitetsforringelse! Virker det? Første år efter at metoden blev indført opklarede FBI 800 henlagte sager fra arkivet, herunder 50 mordsager. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 24 / 27

44 Andre anvendelser Irisgenkendelse; Wavelets indgår i JPEG2000 (international standard for billedkompression); Videotransmission; Komprimering af musik (MP3-afspillere); Støjreduktion; (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 25 / 27

45 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27

46 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27

47 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27

48 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27

49 En mere matematisk beskrivelse Signalet f repræsenteres som en uendelig sum af funktioner: f(x) = f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) + 2 j 1 f,ψ j,n ψ j,n (x). j=0 n=0 Leddet f,χ [0,1[ χ [0,1[ (x) er første approksimation til f Jo flere led der medtages i den uendelige sum, jo bedre tilnærmelse opnås. Matematik 1: symbolet, i specielt tilfælde Matematik 2 (3.semester): uendelige summer Matematik 4 (4.semester, valgfrit): symbolet, i det generelle tilfælde, betydning af χ [0,1[, ψ j,n Masterkursus (7.semester): fuld beskrivelse af waveletteori. (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 26 / 27

50 Interesseret i at studere matematik? Check internetsiden (DTU Matematik) Gymnasieforedrag 27 / 27