En beslutningsstøttemodel for niveauet for en virksomheds langsigtede reklameindsats under konkurrence. Jørgen Kai Olsen

Transkript

1 En belutningtøtteodel for niveauet for en virkohed langigtede reklaeindat under konkurrence Jørgen Kai Olen Intitut for Afætningøkonoi Handelhøjkolen i København 2004

2 Indholdfortegnele Side. Indledning 2. Modelkontruktionen 5 2. Indledende forudætninger Modellen reponvariabel 6 2. Modellen forklarende variabel Segentering af ålgruppen Virkoheden langigtede reklaepolitik Modellen for præferenceandynligheden Præferenceandynligheden på egent Præferenceandynligheden ved lutningen af en odelperiode Den generelle præferenceandynlighed Præferenceandynligheden for hele ålgruppen 8. Virkoheden profitfunktion 9 4. Konkurrenterne reaktionfunktion Et ekepel på anvendelen af odellen Konkluion Litteraturfortegnele 2 Bilag 4 2

3 . Indledning I den afætningøkonoike forkning har der genne adkillige år været en betydelig interee for at åle den effekt en given kortigtet reklaeindat har på forbrugerne valg af den annoncerende virkohed ærke. Denne effekt åle ofte vha. det åkaldte STAS-ål. (Se fx Jone (995), Broadbent (999), Broadbent & Sith (999), Hanen, Olen & Nilon (999) og Olen (200)). Deriod har der været betydelig indre foku på at åle reklaen kortigtede effekt vha. egentlige økonoike kriterier åo det af reklaekapagnen foråragede erdækningbidrag og reklaekapagnen rentabilitetgrad. Endvidere har der været indre foku på at åle reklaen langigtede effekt. Endelig har der været indre foku på at optille plauible teoretike odeller, der for det førte er i tand til at bevare pørgålet o, hvor tor virkoheden langigtede reklaeindat bør være, og for det andet er i tand til at bevare pørgålet o, hvorlede konkurrenterne å antage at reagere på virkoheden reklaeindat. Vi har derfor taget nogle af die probleer op til behandling i artiklen Reklae Effekt Kortet (Jørgen Kai Olen, 2002.A), hvor vi har optillet en forholdvi ipel partiel dynaik belutningtøtteodel til vurdering af de økonoike konekvener af en given reklaekapagne, der går ud på at indrykke en given annonce et vit antal gange i en given belutningperiode. Denne odel lider iidlertid af en række vagheder i relation til den generelle probletilling, o behandle nedenfor. For det førte bygger odellen på en antagele o, at en given forbruger i en given belutningperiode enten køber det betragtede ærke 0 eller gang, en ikke fx 2 eller flere gange. For det andet bygger odellen på en antagele o, at en given forbruger reaktion på reklaekapagnen kun afhænger af, o forbrugeren har et annoncen indt én gang eller ej, en ikke afhænger af hvor ange gange han (eventuelt) har et annoncen. For det tredje giver den optillede belutningtøtteodel ingen vejledning ht. pørgålet o, hvor ange gange virkoheden bør indrykke annoncen i en given belutningperiode. Vi har derfor i artiklen En belutningtøtteodel for den partielle effekt af en reklaekapagne (Jørgen Kai Olen, 2002.B) optillet en ny odel, der for det førte giver ulighed for, at en given forbruger køber det betragtede ærke 0,, nogle få eller ange gange i en given belutningperiode, for det andet giver ulighed for, at en given forbruger repon på virkoheden reklaeindat afhænger af, hvor ange gange forbrugeren har et annoncen for det betragtede

4 ærke i indrykningperioden, og endelig for det tredje giver ulighed for at betee det antal indrykninger af annoncen, der i en given ituation er optialt for den betragtede virkohed. Denne odel lider iidlertid ogå af nogle vagheder i relation til den generelle probletilling. For det førte er odellen en partiel odel, der kun bekriver ofanget og virkningen af en enkelt - ioleret betragtet - reklaekapagne, en ikke giver nogen vejledning ht. pørgålet o, hvor hyppigt en ådan reklaekapagne kal genneføre, og o hvilken virkning en gentagele af reklaekapagnen vil have på langt igt. For det andet bygger odellen på den retriktive forudætning, at virkoheden konkurrenter holder atlige handlingparaetre - herunder reklaen - kontante i atlige odellen (principielt uendelig ange) belutningperioder. Probletillingen i det følgende er derfor, at optille en partiel dynaik belutningtøtteodel til fatættele af det optiale niveau for en virkohed langigtede reklaeindat på en ådan åde, at odellen for det førte bygger på en ekplicit foruleret antagele o forbrugerne adfærd, at odellen for det andet bygger på en ekplicit foruleret antagele o konkurrenterne reaktion på virkoheden reklaeindat, og endelig at odellen for det tredje bygger på en række økonoike variable, der påvirker niveauet for virkoheden optiale reklaeindat på langt igt. Det kal beærke, at andre afætningøkonoike forkere naturligvi ogå har behandlet tørre eller indre dele af denne probletilling. (Se fx Grønholdt (980) og Lilien, Kotler & Moorthy (992) for to eget detaljerede gennegange af litteraturen). Men det er vor opfattele, at ingen af die forkere dækker hele oventående probletilling på én gang. Endvidere er det vor opfattele, at de optillede odeller o hovedregel ikke er baeret på ekplicitte og uiddelbart fortåelige antageler o forbrugerne adfærd og o konkurrenterne reaktion på virkoheden reklaeindat. Endelig indgår der o hovedregel ikke ådanne økonoike variable i odellerne, der gør det uligt at betee niveauet for virkoheden optiale reklaeindat på langt igt. 4

5 2. Modelkontruktionen 2. Indledende forudætninger Den odel, vi vil optille i det følgende, er en kontinuert tokatik proce på individniveau for den partielle effekt af den langigtede reklaeindat ho en given virkohed og den konkurrenter. Vi vil antage, at den betragtede virkohed udbyder it ærke, o vi vil kalde for ærke A, på et givet arked i konkurrence ed k andre virkoheder, hvi ærker vi af forenklingæige grunde vil betragte under ét og kalde for ærke B. Vi vil endvidere antage, at ålgruppen for den betragtede produktkategori (dv. A og B ærker under ét) betår af N forbrugere, og at dette antal forbrugere er kontant i hele gyldighedperioden for odellen, o forudætte (principielt uendelig) lang. Gyldighedperioden for odellen vil vi opdele i en række lige lange belutningperioder ht. virkoheden og konkurrenterne langigtede reklaeindat. Hver belutningperiode har længden (fx år), og hver belutningperiode vil vi igen underopdele i en række lige lange delperioder (odelperioder), der o en uiddelbar følge af virkoheden reklaepolitik, der pecificere nedenfor i afnit 2.5 alle har længden og er nuereret fortløbende fra tidpunktet t 0, o er tarttidpunktet for odelkontruktionen. Det er forbrugerne adfærd - ført ved lutningen af en given odelperiode og dernæt for et vilkårligt tidpunkt i odelperioden - o vi vil odellere i det følgende. 5

6 2.2 Modellen reponvariabel I det følgende vil vi antage, at enhver af ålgruppen N forbrugere på ethvert givet tidpunkt t 0 enten har præference for virkoheden ærke A eller har præference for konkurrenterne ærke B. At en given forbruger fra ålgruppen har præference for et givet ærke (fx for ærke A) på et givet tidpunkt (fx på tidpunktet t) betyder i det følgende, at forbrugeren ed andynligheden ville vælge det ærke, han har præference for (i ekeplet ærke A), åfret han tod over for at kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien på det betragtede tidpunktet. Denne definition af præference forudætter, at enhver forbruger på ethvert tidpunkt altå ogå på et tidpunkt, hvor han ikke køber produktet har en afklaret holdning til, hvilket ærke han ville vælge, åfret han netop på det betragtede tidpunkt kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien. En ådan antagele er ikkert realitik i al alindelighed for ange produkter vedkoende (pecielt inden for hovedkategorien af kortvarige forbruggoder), en den er iær realitik i vor probletilling, fordi vi betragter en partiel odel for reklaen virkning, hvilket indebærer, at eventuelle pritilbud e.l. for ét eller flere af ærkerne, der erkende i elve indkøbituationen, ikke inden for odellen raer kan pille nogen rolle for forbrugeren ærkevalg. Antagelen varer i øvrigt til, at an ved de ålinger af vælgerbefolkningen holdning til de politike partier, der foretage elle to folketingvalg, forudætter, at enhver vælger på ethvert tidpunkt har en afklaret holdning til, hvilket politik parti han ville tee på, åfret der var folketingvalg netop på det tidpunkt, hvor ålingen (tikprøveunderøgelen) genneføre. Under oventående antagele er odellen reponvariabel i det følgende θ (t) Sandynligheden for, at en given forbruger fra ålgruppen har præference for ærke A på tidpunktet t. θ ( t) [0,] ; t 0. I det følgende vil vi optille en adfærdteoretik odel for præferenceandynligheden θ (t). 6

7 2. Modellen forklarende variabel Modellen enete forklarende variabel er virkoheden og konkurrenterne langigtede reklaeindat (o definere ere præcit nedenfor). Dette forhold er naturligvi en væentlig begrænning ved odelkontruktionen, idet hovedreglen vil være den, at præferenceandynligheden for ærke A på tidpunktet t, dv. θ (t), vil afhænge af en lang række andre faktorer end reklaeindaten, fx af prien, af kvaliteten og af ditributionen åvel for virkoheden eget ærke o for konkurrenterne ærker. Iidlertid er probletillingen for denne artikel o nævnt at optille en partiel odel for reklaen langigtede virkning under konkurrence, hvorfor alle andre forklarende variable for forbrugeren ærkevalg end reklaeindaten forudætte kontante i det følgende. Men det kal beærke, at det i hvert tilfælde i princippet er forholdvi ipelt at inddrage yderligere forklarende variable i odelkontruktionen (jf. nedenfor). 2.4 Segentering af ålgruppen Vi vil ikke optille en odel, der er fælle for atlige N forbrugere i ålgruppen for produktkategorien, en i tedet antage at de N forbrugere kan opdele i tre egenter ed forkellig præferencetruktur for ærke A (og dered for ærke B). Det førte egent betår af de forbrugere, der uanet reklaen ofang for ærkerne A og B på ethvert tidpunkt, t, har præference for ærke A. Die forbrugere ville altå for alle t 0 vælge ærke A ed andynligheden θ ( t), hvi de kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien på tidpunktet t. Dette egent præference forudætte altå kabt af alle andre (kontante) handlingparaetre end reklaen. Det andet egent betår af de forbrugere, der uanet reklaen ofang for ærkerne A og B på ethvert tidpunkt, t, har præference for ærke B. Die forbrugere ville altå for alle t 0 vælge 7

8 ærke A ed andynligheden θ ( t) 0, hvi de kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien 2 på tidpunktet t. Dette egent præference forudætte altå ogå kabt af alle andre (kontante) handlingparaetre end reklaen. Endelig betår det tredje egent af de forbrugere, hvi præference for ærke A på et givet tidpunkt t 0 afhænger af den reklaeindat, der har været ført for ærkerne A og B fra odelperioden tart fre til og ed tidpunktet t. Die forbrugere ville derfor vælge ærke A ed den af reklaeindaten betete andynlighed θ ( ) ( 0 < θ ( ) ) t <, hvi de kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien på tidpunktet t. Men ogå dette egent præference kan naturligvi afhænge af andre (kontante) handlingparaetre end reklaen. t Ovennævnte egentering er foretaget, fordi vi ligeo andre afætningøkonoike forkere, (e fx Broadbent (999)) er af den opfattele, at reklaen o hovedregel er en forholdvi vagt virkende handlingparaeter. Derfor finder vi det urealitik at antage, at købadfærden for atlige N forbrugere i ålgruppen kan påvirke og endda kan påvirke på ae åde og i ae grad af reklaen. Et alternativ til ovennævnte (noget håndfate) egentering er at indføre en peronparaeter i odellen o ål for den del af forbrugeren (individuelle) grad af præference, o er uafhængig af reklaeindaten ofang. Dette alternativ er valgt af Birch (2002) og Tjur (2002) dog i en helt anden odelkontruktion end vor. I det følgende vil vi antage, at den relative tørrele af de tre egenter er henholdvi η, η2 og η, o antage kontante (og dered uafhængige af t) i hele gyldighedperioden for odellen, hvor η, η2, η [0,], og hvor η +η2 + η. Denne antagele edfører, at den arginale andynlighed for, at en forbruger, der er valgt tilfældigt fra hele ålgruppen, har præference for ærke A på tidpunktet t, bliver 8

9 θ ( t) η θ ( t) + η θ ( t) + η θ ( t) η + η 0 + η θ ( t) η + η θ ( t) I det følgende vil vi optille en egentlig adfærdteoretik odel for den af reklaeindaten betete præferenceandynlighed for ærke A, θ ( ), for de forbrugere, der tilhører egent. t 2.5 Virkoheden langigtede reklaepolitik Vi vil baere odellen for præferenceandynligheden for ærke A på egent på følgende forudætninger o virkoheden langigtede reklaepolitik: I enhver belutningperiode af længden (fx år) gennefører virkoheden reklaekapagner. De reklaekapagner er ækviditant placeret over belutningperioden. I den j-te belutningperiode reklaerer virkoheden på tidpunkterne 2 {( j ) +,( j ) +,...,( j ) + } ; j,2,... Hver af virkoheden reklaekapagner betår i at anvende/indrykke en given (typik) annonce for ærke A i et givet (typik) ediu n gange. De n anvendeler af annoncen er placeret å tæt på hinanden, at an kan e bort fra tidaftanden elle de ved odelkontruktionen. Netop fordi der er tale o virkoheden langigtede reklaepolitik, forekoer ingen af die antageler unaturlige. Men det er klart, at virkoheden på kort igt kan genneføre upplerende reklaekapagner ed ganke pecielle forål og ed en anden truktur end den ovenfor nævnte. Effekten af ådanne kortigtede reklaekapagner er behandlet i Olen (2002.A). Det er ved en lang række edb-iulationer andynliggjort en ikke bevit at det for den odel, vi optiller i det følgende, er optialt at placere reklaekapagnerne ækviditant. 9

10 2.6 Modellen for præferenceandynligheden 2.6. Præferenceandynligheden på egent Præferenceandynligheden ved lutningen af en odelperiode I det følgende vil vi optille odellen for præferenceandynligheden for ærke A, θ ( ), for en forbruger, der tilhører egent, i to faer. t Førte fae af odelkontruktionen betår i at optille en dikret odel for forbrugeren præference for ærke A ved lutningen af en odelperiode af længden uiddelbart efter, at virkoheden har genneført in reklaekapagne for ærke A. Anden fae af odelkontruktionen betår i at optille en kontinuert odel for forbrugeren præference for ærke A på et hvilket o helt tidpunkt i odelperioden. Modellen for præferenceandynligheden θ ( ) ved lutningen af en given odelperiode er en dikret tationær Markovodel ed periodelængden og ed de to tiltande: t. En given forbruger, der tilhører egent, har på et givet tidpunkt t ; 0,,2,... præference for ærke A. 2. En given forbruger, der tilhører egent, har på et givet tidpunkt t ; 0,,2,... præference for ærke B. Initialfordelingen på odellen to tiltande er rækkevektoren ( θ (0) (0)) θ ( 0) θ, 0

11 og det antage (iplicit), at θ (0) afhænger af det for gyldighedperioden for odellen kontante værdiæt af alle andre handlingparaetre for ærkerne A og B end reklaeindaten. Markovodellen overgangandynlighedatrix p P p 2 p p 2 22 er betet o produktet af to andre overgangandynlighedatricer og P p p 2 p p 2 22 P 2 p p 2 22 p p hvor afhænger af virkoheden egen langigtede reklaepolitik (o er defineret i afnit 2.5), P og hvor P 2 afhænger af konkurrenterne langigtede reklaepolitik (o definere nedenfor). Vi betragter nu en given belutningperiode, en given reklaekapagne i belutningperioden og en given forbruger, der tilhører egent. Men det er vigtigt at undertrege, at alle de variable og funktioner, der optræder i odelkontruktionen nedenfor, er uafhængige af den valgte belutningperiode, af den valgte reklaekapagne og af den valgte forbruger. Hvi den betragtede forbruger har præference for ærke A uiddelbart før reklaekapagnen genneførele (dv. ved lutningen af den forrige odelperiode af længden ), å ændre han præference naturligvi ikke af reklaekapagnen for ærke A (idet der overalt i det følgende e bort fra en eventuel wear-out effekt). Derfor er overgangandynlighederne p og p 2 0.

12 Hvi forbrugeren har præference for ærke B uiddelbart før reklaekapagnen genneførele, er der deriod en vi andynlighed for, at han kifter præference fra ærke B til ærke A uiddelbart efter reklaekapagnen (dv. ved lutningen af den odelperiode af længden, hvori reklaekapagnen genneføre). Lad X være en tokatik variabel, der angiver antallet af gange, den betragtede forbruger ekponere for annoncen under den betragtede reklaekapagne, lad x { 0,,2,..., n} være en realiation af X, og lad f være ekponeringfrekvenfordelingen, dv. at f ( x) P( X x); x {0,,2,..., n}, hvor f fx kan være punktandynligheden for en binoialfordeling eller en betabinoialfordeling. Lad endvidere ( Y X x) være en betinget tokatik indikatorvariabel, der er lig ed, hvi den betragtede forbruger kifter præference fra ærke B til ærke A uiddelbart efter reklaekapagnen genneførele, og o er lig ed 0 eller. Og lad funktionen r være defineret ålede: r ( x ) P[( Y X x) ] E[( Y X x)]. Vi vil da kalde r for reponfunktionen, fordi den angiver forbrugeren forventede repon på reklaekapagnen o funktion af antallet af gange, han er blevet ekponeret for annoncen. Reponfunktionen vil noralt være en vokende funktion af x, o enten er konkav eller S-foret. Ved den generelle odelkontruktion vil vi dog ikke lægge o fat på en betet reponfunktion. Men det er vigtigt at beærke, at det pecielt er på dette ted i odelkontruktionen, at an kan ændre odellen fra en partiel reklaeeffektodel til en iultan reponodel, der - i hvert tilfælde i princippet - afhænger af værdiættet af atlige handlingparaetre ho virkoheden og den k konkurrenter. Denne generaliation af odelkontruktionen kan opnå ved at gøre reponfunktionen til en funktion åvel af reklaeindaten o af alle øvrige relevante handlingparaetre. 2

13 Lad endelig ρ være forventningen af r(x) over X, dv. at ρ E( r( X ) n x 0 r( x) f ( x). Da er ρ den arginale andynlighed, hvored en tilfældigt valgt forbruger fra egent kifter præference fra ærke B til ærke A på grund af den betragtede reklaekapagne. Vi vil derfor i det følgende kalde ρ for præferencekiftandynligheden. Endvidere vil vi ætte overgangandynlighederne p ρ og p ρ Hered er overgangandynlighedatricen, P, o er en konekven af en enkelt af virkoheden reklaekapagner for ærke A, betet ålede: P 0 ρ ρ Vi vil nu betragte konkurrenterne reklaeindat. Ført vil vi betragte den i-te af virkoheden k konkurrenter. For denne konkurrent vil vi optille præci de ae generelle forudætninger o for virkoheden egen langigtede reklaeindat. Den i-te konkurrent gennefører altå i enhver belutningperiode i ækviditant placerede reklaekapagner, hvor hver reklaekapagne betår af n i (tæt placerede) anvendeler af en given (typik) annonce i et givet (typik) ediu. Ekponeringfrekvenfordelingen er fi i, reponfunktionen er r og den arginale præferencekiftandynlighed er ρ i, hvor alle begreber er defineret o ovenfor, bortet fra, at ρ i nu angiver andynligheden for, at en given forbruger, der tilhører egent, kifter præference fra ærke A til ærke B (eller ere præcit til den i-te konkurrent ærke) uiddelbart efter, at den i-te konkurrent har genneført in reklaekapagne.

14 Med die betegneler er andynligheden for, at en forbruger fra egent, der har præference for ærke A uiddelbart før reklaekapagnen genneførele, ikke kifter præference til ærke B, altå ρ i. Derfor er andynligheden for, at forbrugeren ikke kifter præference til ærke B på noget tidpunkt i belutningperioden o en følge af den i-te konkurrent alede reklaeindat, ( ρ i ) i (idet vi forudætter tokatik uafhængighed). Endelig gælder det idet vi nu ikke længere kun betragter den i-te konkurrent, en atlige konkurrenter at andynligheden for, at forbrugeren ikke kifter præference til nogen af de k konkurrenter i belutningperioden, er k i ( ) i ρ i (tadig under forudætning af tokatik uafhængighed). Denne andynlighed vil vi ætte lig ed exp( λ), hvor λ er defineret ålede: λ k i i ln( ρ ). i Vi vil endvidere antage, at antallet af konkurrenter er forholdvi tort, at hver konkurrent gennefører forholdvi ange reklaekapagner i løbet af en given belutningperiode, og at konkurrenterne reklaekapagner et under ét er forholdvi jævnt fordelt over belutningperioden. Under die antageler forekoer det rieligt at optille en kontinuert odel for den alede effekt af konkurrenterne reklaeindat i løbet af en given belutningperiode. Med dette forål for øje vil vi antage, at antallet af præferencekifttiuli (dv. reklaepåvirkninger, der edfører præferencekift fra ærke A til ærke B), o en given forbruger, der tilhører egent, og o ved belutningperioden tart har præference for ærke A, 4

15 udætte for i løbet af hele belutningperioden, kan bekrive ved den kontinuerte odel Poion punktproce ed præferencekiftinteniteten λ. Af denne forudætning følger det nu, at antallet af præferencekifttiuli, o en given forbruger λ fra egent odtager i en periode af længden, er Poionfordelt ed paraeteren. Derfor er andynligheden for, at forbrugeren ikke kifter præference fra ærke A til ærke B pga. konkurrenterne alede reklaeindat i en given odelperiode τ exp( λ / ). Denne andynlighed vil vi i det følgende kalde for retentionandynligheden, fordi den i princippet varer til retentionfaktoren i adtockodellerne. Vi er nu i tand til at optille overgangandynlighedatricen P 2, der angiver den alede effekt af de k konkurrenter reklaeindat ved lutningen af en given odelperiode af længden Denne atrix bliver. P 2 τ 0 τ hvor den idte række i atricen afpejler det forhold, at en forbruger fra egent, der har præference for ærke B ved lutningen af forrige odelperiode, naturligvi ikke kifter præference til ærke A i løbet af odelperioden o en følge af konkurrenterne alede reklaeindat for ærke B. Den endelige overgangandynlighedatrix for Markovodellen er herefter defineret ålede: P P 2 P τ 0 τ ρ 0 ρ τ + ( τ ) ρ ρ ( τ )( ρ ρ) 5

16 hvor rækkefølgen af atrixultiplikationen er betet af det forhold, at forbrugeren ført påvirke løbende genne hele odelperioden af konkurrenterne alede reklaeindat, hvorefter han påvirke en enkelt gang af virkoheden egen reklaeindat nelig når virkoheden iværkætter in reklaekapagne ved lutningen af odelperioden. Den endelige odel for præferenceandynligheden, θ ( ), for ærke A for en forbruger, der tilhører egent, er herefter betet o det førte eleent i rækkevektoren for den arginale fordeling på Markovodellen to tiltande på tidpunktet t t, o er θ ( t) θ ( ) θ (0) P ; 0,,2,... For en Markovodel ed to tiltande er det velkendt, at grænefordelingen af præferenceandynligheden for ærke A ved lutningen af en odelperiode, dv. θ ( t) θ ( ), for gående od uendelig bliver θ ( ) p 2 p2 + p 2 ρ ρ ( τ )( ρ) + ρ ( ρ) τ. Endvidere er det velkendt, at det ekplicitte udtryk for θ ( ) (efter lidt elleregninger) kan krive ålede: t θ ( t) θ ( ) θ ( ) + (( ρ) τ ) ( θ (0) θ ( )) ; 0,,2,... Heraf følger, at præferenceandynligheden for ærke A på tidpunktet t hurtigt - altå for forholdvi oderate værdier af - vil være (næten) uafhængig af initialfordelingen og tabiliere ig på niveauet for græneandynligheden θ ( ). ekponentielt 6

17 Da åvel virkoheden elv o den k konkurrenter anvender den ovenfor definerede reklaepolitik i (principielt uendelig) ange på hinanden følgende belutningperioder, og da probletillingen for denne artikel er at optille en odel for niveauet for virkoheden langigtede reklaeindat, kan (og bør) vi derfor benytte den langt iplere andynlighed θ ( ) i tedet for den ere koplicerede andynlighed θ ( ) i odelkontruktionen. Dette vil vi gøre overalt i det følgende, hvorfor den dikrete odel for præferenceandynligheden for ærke A på egent ved lutningen af en given belutningperiode er betet ved, at ρ θ ( t) θ ( ) θ ( ) ; 0,,2,... ( ρ) τ Den generelle præferenceandynlighed Vi vil nu udvide definitionen af den ovenfor optillede dikrete odel for præferenceandynligheden på egent, ålede at den ikke kun bekriver en given forbruger præference for ærke A ved lutningen af en given odelperiode, en bekriver forbrugeren præference på et vilkårligt tidpunkt i odelperioden. Lad t + u ; u [0, ] være et vilkårligt tidpunkt i odelperiode nuer (+). ( 0,, 2,... ). Da bekriver den hidtil optillede dikrete odel ituationen i randpunkterne u 0 og u. Vi behøver derfor kun betragte tilfældet 0 < u <. I dette tilfælde har en given forbruger fra egent præference for ærke A på tidpunktet t + u, hvi og kun hvi følgende to tidæigt dijunkte hændeler indtræffer: 7

18 . Forbrugeren har præference for ærke A ved lutningen af forrige odelperiode, dv. på tidpunktet t og 2. Forbrugeren iter ikke in præference for ærke A i de u tidenheder fra tidpunktet t til tidpunktet t + u, fordi han udætte for en præferencekifttiulu, der er foråraget af konkurrenterne alede reklaeindat. Den førte af die to hændeler har andynligheden θ ( ), jf. den dikrete odel ovenfor. Og den anden hændele har andynligheden exp( λu). Dette kylde, at antallet af præferencekifttiuli, o forbrugeren udætte for i et tidru af længden u, (hvor virkoheden ikke reklaerer) er Poionfordelt ed paraeteren λ u. Vi er derfor i tand til at konkludere, at den generelle kontinuerte odel for forbrugerne præference for ærke A på egent er betet ved, at θ ( t) θ ( + u) θ ( )exp( λu) ρ exp( λu) ( ρ) τ 0,,2,... ; u [0, [ Præferenceandynligheden for hele ålgruppen Det er nu en ipel ag, at optille den arginale præferenceandynlighed, dv. præferenceandynligheden på tidpunktet t 0 for en forbruger, der er valgt tilfældigt fra hele ålgruppen for den betragtede produktkategori. Det gælder nelig, 8

19 at en forbruger tilhører egent ed andynligheden η og vælger ærke A ed andynligheden θ ( t), at en forbruger tilhører egent 2 ed andynligheden η 2 og vælger ærke A ed andynligheden θ ( t) 0, og 2 at en forbruger tilhører egent ed andynligheden η og vælger ærke A ed andynligheden θ t) θ ( )exp( λ ). ( u Derfor bliver den generelle arginale præferenceandynlighed for hele ålgruppen på tidpunktet t + u ; 0,,2,... ; u [0, [ θ ( t) η + η 0 + η θ ( t) η + η θ ( t) 2 ρ η + η exp( λu) ( ρ) τ Hered er odelkontruktionen på individplan tilendebragt.. Virkoheden profitfunktion I afnit 2 har vi optillet en kontinuert individodel for præferenceandynligheden og dered for ærkevalgandynligheden for ærke A. Denne andynlighed ρ θ ( t) θ ( + u) η + η exp( λu) ( ρ) τ 0,,2,... ; u [0, [ 9

20 angiver andynligheden for, at en tilfældigt valgt forbruger fra ålgruppen har præference for ærke A på tidpunktet t + u og dered vælger ærke A, åfret han tår over for at kulle købe ét af ærkerne fra produktkategorien på tidpunktet t. Denne odel giver iidlertid ingen vejleding ht. bevarelen af følgende to vigtige pørgål, der begge vedrører den for virkoheden i afnit 2.5 definerede langigtede reklaepolitik:. Hvor tor kal være. Dv. hvor ange gange i belutningperioden kal virkoheden genneføre en reklaekapagne for ærke A. 2. Hvor tor kal n være. Dv. hvor ange gange kal virkoheden anvende den betragtede annonce under en given reklaekapagne. For at bevare die to pørgål på et økonoik velfunderet grundlag vil vi i dette afnit optille forventningen af virkoheden profit for ærke A for en given belutningperiode og opfatte denne profit o en funktion π af odellen to belutningvariable og n. Med dette forål for øje vil vi gøre følgende antageler: Antallet af gange i belutningperioden, o en forbruger fra ålgruppen køber ét af ærkerne fra produktkategorien, er Poionfordelt ed paraeteren µ. (Det kal beærke, at den nedenfor optillede profitfunktion kan opnå approkiativt uden Poionfordelingantagelen, hvi an i tedet antager, at en forbruger køb er jævnt fordelt over belutningperioden og uafhængigt af alle øvrige forbrugere køb). Virkoheden dækningbidrag er d kroner, hver gang en forbruger køber ærke A. 20

21 Okotningerne ved at indrykke den betragtede annonce én gang er C kroner, og C er uafhængig af og n. (Virkoheden opnår altå ingen kvanturabat). Med udgangpunkt i die antageler, vil vi nu indledningvi betee forventningen af det dækningbidrag pr. belutningperiode, o virkoheden opnår fra en enkelt forbruger fra hvert af odellen egenter. Hvi forbrugeren tilhører egent, er antallet af han køb af ærke A i belutningperioden Poionfordelt ed paraeteren µ. Dette kylde, at forbrugeren alede antal køb i belutningperioden er Poionfordelt ed paraeteren µ, og at han vælger ærke A ed andynligheden θ ( t) ved ethvert køb af ét af ærkerne fra produktkategorien. Derfor er forbrugeren forventede antal køb af ærke A i belutningperioden µ, og det forventede dækningbidrag, o virkoheden opnår ho forbrugeren, er µ d. Hvi forbrugeren tilhører egent 2, er det forventede dækningbidrag, o virkoheden opnår ho forbrugeren 0, fordi forbrugeren vælger ærke A ed andynligheden θ ( t) 0 ved ethvert køb af ét af ærkerne fra produktkategorien. 2 Hvi forbrugeren tilhører egent, er ituationen lidt ere kopliceret. For en ådan forbruger betragter vi ført en given odelperiode i belutningperioden, fx odelperiode nuer (+). Lad Z være en tokatik variabel, der angiver antallet af gange forbrugeren køber ærke A i den betragtede odelperiode, og lad θ ( t) θ ( + u) θ ( )exp( λu) være andynligheden for, at forbrugeren vælger ærke A, hvi han køber ét af ærkerne fra produktkategorien på tidpunktet t + u i odelperioden. Da følger det af forudætningen o, at forbrugeren alede antal køb af produktkategorien i belutningperioden er Poionfordelt ed paraeteren µ, at Z er Poionfordelt ed paraeteren 2

22 µ 0 µ θ ( 0 θ ( )exp( λu) du µθ ( ) λ + u) du 0 λ exp( λu) du µθ ( ) ( exp( λ / )) λ µθ ( ) ( τ ). λ (Se fx Ro [2000], ide 27). Derfor er antallet af køb af ærke A, o forbrugeren foretager i hele belutningperioden, der betår af dijunkte odelperioder, Poionfordelt ed paraeteren µθ ( ) ( τ ) µθ, λ hvor θ er defineret ålede: θ ( + u) du 0 θ θ ( )( τ ). λ I det følgende vil vi kalde θ for ærkevalgandynligheden på egent, fordi θ angiver den gennenitlige andynlighed, hvored en forbruger fra egent vælger ærke A ved et givet køb at ét af ærkerne fra produktkategorien. Vi kan nu lutte, at det forventede antal køb af ærke 22

23 A, o forbrugeren foretager i belutningperioden, er µ θ, og at det forventede dækningbidrag, o virkoheden opnår ho forbrugeren, dered er µ d θ. Vi er herefter i tand til at optille det forventede dækningbidrag, o virkoheden opnår i belutningperioden fra en tilfældigt valgt forbruger fra hele ålgruppen. Dette dækningbidrag bliver µ d θ, hvor θ er defineret ålede: θ η + η 0 + η. 2 θ I det følgende vil vi kalde θ for ærkevalgandynligheden for hele ålgruppen, fordi θ angiver den gennenitlige andynlighed, hvored en forbruger, der er valgt tilfældigt fra hele ålgruppen, vælger ærke A ved et givet køb at ét af ærkerne fra produktkategorien. Da ålgruppen betår af i alt N forbrugere, følger det nu, at det alede forventede dækningbidrag, o virkoheden opnår i en given belutningperiode, bliver N µ dθ. Derfor bliver virkoheden forventede profit for belutningperioden π (, n) N µ dθ (, n) nc, hvor åvel π o θ opfatte o funktioner af odellen to belutningvariable og n. Når de variable (handlingparaetre) og de funktioner, der indgår i odelkontruktionen dv. antallet af reklaekapagner,...,,, antallet af anvendeler af annoncen n,n,...,n k, ekponeringfrekvenfordelingerne f, f,..., og reponfunktionerne r, r,..., rk k f k er pecificeret i et konkret tilfælde i praki, er det forholdvi ipelt at akiere profitfunktionen ht. og n. Vi har da ogå udviklet et pecielt Windowbaeret edb-progra, der løer denne opgave (jf. ekeplet i afnit 5 nedenfor). 2

24 Men probleet er alligevel ikke helt å ipelt, o antydet ovenfor. Thi eden virkoheden på den ene ide i et konkret tilfælde i praki ikkert vil have forholdvi gode uligheder for at pecificere eller åke ligefre for at etiere in egen ekponeringfrekvenfordeling f og in egen reponfunktion r, å er det på den anden ide ogå klart, at det o hovedregel vil være ærdele kopliceret for virkoheden at pecificere (eller at etiere) de variable,,..., k og n,...,nk, og de funktioner, f,..., fk og r,...,rk, o vedrører konkurrenterne langigtede reklaeindat. Vi vil derfor behandle dette pørgål i næte afnit. 4. Konkurrenterne reaktionfunktion So nævnt i forrige afnit afhænger virkoheden profitfunktion for ærke A af konkurrenterne handlingparaetre,..., k og n,...,nk og af konkurrenterne ekponeringfrekvenfordelinger f,..., f k r og reponfunktioner,...,r k. Iidlertid er det vigtigt at beærke, at denne påvirkning af profitfunktionen er alet i en enkelt variabel nelig i præferencekiftinteniteten λ, der er defineret ålede: λ k i i ln( ρ ), i hvor ρ i er betet entydigt af n i, fi i og r. Dette er en eget vigtig egenkab ved odelkontruktionen, idet virkoheden kun behøver at kønne over (eller at etiere) præferencekiftinteniteten, λ, når den kal kønne over den alede virkning af konkurrenterne langigtede reklaeindat. Med henyn til uligheden for at foretage en egentlig etiation af λ, kal det beærke, at virkoheden ved en henigtæig dataindaling ofte vil kunne etiere den andel af forbrugerne fra egent, der bibeholder dere præference for ærke A i hele perioden elle to 24

25 på hinanden følgende reklaekapagner. Da denne andel er retentionandynligheden, τ, o er lig ed exp( λ / ), og da er kendt, kan virkoheden opnå et etiat for λ ved at etiere τ. Iidlertid er det ikke ikkert, at λ er kontant under alle forhold. Man kan eget vel tænke ig, at konkurrenterne reklaeindat afhænger af virkoheden egen reklaeindat. Vi vil derfor udbygge odelkontruktionen ed en egentlig odel for konkurrenterne (eventuelle) reaktion på virkoheden langigtede reklaeindat. Dette vil vi gøre på følgende åde: Hvi vi antager, at de k præferencekiftandynligheder, ρ,..., ρ, er nogenlunde lige tore, å kan k vi approkiere de ved dere gennenit Dered kan vi approkiere k ρ : ρ. k i i ved λ k i i ln( ρ ) i λ k ln( ρ), hvor : k i k i. Vi vil nu yderligere antage, at det gennenitlige antal reklaekapagner pr. belutningperiode ho konkurrenterne, dv., enten er uafhængig af, dv. af antallet af reklaekapagner pr. belutningperiode ho virkoheden elv, eller er proportional ed, at at andynligheden ( ρ), der vedrører konkurrenterne reklaeindat, enten er uafhængig af andynligheden ( ρ), der vedrører virkoheden egen reklaeindat, eller er proportional ed ( ρ). 25

26 Under die antageler er det naturligt at optille følgende lineære konkurrentreaktionfunktion for præferencekiftinteniteten: λ α α k ln( 0 ρ ), hvor paraetrene α α 0 er konkurrenterne reaktionparaetre. 0, Med denne konkurrentreaktionfunktion er det fortat ipelt at optille og akiere virkoheden profitfunktion for ærke A, idet det blot kræver, at virkoheden pecificerer (dv. kønner over eller etierer) reaktionparaetrene α 0 og α. 2 Det beærke, at tilfældet α > og α 0 varer til, at konkurrenterne handler autonot ht. 0 0 virkoheden reklaeindat for ærke A, eden tilfældet α og α 0 varer til, 0 0 > at konkurrenterne handler konjekturalt ht. virkoheden reklaeindat for ærke A. I idtnævnte tilfælde varer de tre ituationer α, α < og α > til, at konkurrenterne (i gennenit) anvender hhv. ae, indre eller tørre reklaeindat end virkoheden elv. Hered er den generelle odelkontruktion tilendebragt. 2 Hvi α 0, etiere λ α 0 fx o bekrevet ovenfor. 26

27 5. Et ekepel på anvendelen af odellen Vi vil nu betragte et ekepel på den i de forrige afnit optillede belutningodel for niveauet for virkoheden langigtede reklaeindat for et givet ærke. Ekeplet er i tørt uligt ofang konitent ed det ekepel, der er bragt i Olen (2002.B). Men idtnævnte ekepel bekriver dog kun den partielle virkning af en enkelt reklaekapagne. I ekeplet vil vi antage, at. Den betragtede vare er et kortvarigt forbruggode nelig halpatiller. 2. Belutningperioden er år.. Målgruppen for halpatiller er på N forbrugere. 4. Virkoheden har k 2 konkurrenter. 5. Andelen af ålgruppen, der altid har præference for ærke A (fx Gajol), er η Andelen af ålgruppen, der altid har præference for ærke B (dv. konkurrenterne 2 ærker under ét fx Delfol og Läkerol), er η Andelen af ålgruppen, der lader dere præference for ærkerne A og B afhænge af reklaeindaten, er η Antallet af gange pr. år, o en forbruger køber halpatiller, er Poionfordelt ed forventningen µ 52 pakker, og forbrugeren køber kun én pakke halpatiller ad gangen. 7. Virkoheden dækningbidrag pr. olgt pakke halpatiller er d kroner. 8. En enkelt indrykning af annoncen koter C kroner. 9. Virkoheden ekponeringfrekvenfordeling er en binoialfordeling ed ekponeringandynligheden p Virkoheden reponfunktion er funktionen β2 exp( β 0 + βx ) r( x), hvor β β 0 6, β 4 og β exp( β + β x ) 0 Denne funktion kan - alt efter tørrelen af paraeteren β 2 - være konkav, yetrik S-foret eller kævt S-foret. Endvidere kan funktionen i en generel odel afhænge af alle virkoheden og konkurrenterne handlingparaetre. 27

28 . Konkurrenterne reaktionparaetre er α og α Dv. at konkurrenterne fatætter en del af dere reklaeindat autonot, eden de lader den anden del af dere reklaeindat afhænge af virkoheden reklaeindat. Under die antageler bliver virkoheden profitfunktion π (, n) θ (, n) n. Vi vil nu yderligere antage, at virkoheden nuværende langigtede reklaeindat betår i, at 2. Virkoheden gennefører 6 reklaekapagner pr. år.. Virkoheden anvender den betragtede annonce n gange under hver reklaekapagne. Under die yderligere antageler bliver præferencekiftandynligheden ρ x 0 b( x ;, 0.2) r( x) 0.094, hvor b( x; n, p) er punktandynligheden i en binoialfordeling ed antalparaeter n og andynlighedparaeter p. Endvidere bliver præferencekiftinteniteten på årbai λ ln( 0.094) 2.575, ålede at retentionandynligheden for odelperioden, der har længden 6 (dv. 2 åneder), bliver τ exp( 2.575/ 6) Endelig bliver ærkevalgandynligheden for ærke A på egent 28

29 θ ( 0.65) ( 0.094) , ålede at ærkevalgandynligheden for hele ålgruppen bliver θ Ved den anvendte langigtede reklaeindat bliver virkoheden forventede profit pr. år derfor π ( 6,) Denne reklaeindat er iidlertid ikke optial for virkoheden. Ved at akiere den generelle profitfunktion π (, n) θ (, n) n ht. og n (vha. et pecielt udviklet Window-progra) får an, at det er optialt for virkoheden, at genneføre 2 reklaekapagner pr. år, og at anvende den betragtede annonce n 2 gange under hver reklaekapagne. Dette betyder, at den alede reklaeindat kal forøge ed / i forhold til den af virkoheden anvendte reklaeindat. Specielt er det værd at beærke, at annoncen kal anvende hele 2 gange i hver reklaekapagne. Dette kylde, at reponfunktionen er S-foret og har in tørte tilvækt ved 2 - ekponeringer. Med n 2 anvendeler og ed en ekponeringandynlighed på p 0.2, bliver det forventede antal ekponeringer n p 2. 4, o netop ligger i det et effektive oråde for reponfunktionen. Med den optiale reklaeindat bliver præferencekiftandynligheden 29

30 ρ 2 x 0 b( x;2, 0.2) r( x) Endvidere bliver præferencekiftinteniteten på årbai λ ln( 0.498).787, ålede at retentionandynligheden for odelperioden, der har længden 2 (dv. ½ år), bliver τ exp(.787 / 2) Endelig bliver ærkevalgandynligheden for ærke A på egent θ ( 0.846) ( 0.498) , ålede at ærkevalgandynligheden for hele ålgruppen bliver θ Ved den optiale langigtede reklaeindat bliver virkoheden forventede profit pr. år derfor π ( 2,2) Ved at udkifte den anvendte reklaeindat, (, n) (6,), ed den optiale reklaeindat, (, n) (2,2), opnår virkoheden altå en forventet erprofit på kr. pr. år. Dette varer til en forøgele af den forventede profit pr. år på 4.8%. Reultaterne af optieringen af profitfunktionen fregår af bilagene og 2. Endvidere er reponfunktionen vit grafik i bilagene og 4. Endelig er den optiale ekponeringfrekvenfordeling og virkoheden arkedandel for ærke A vit i bilagene 5 og 6. 0

31 6. Konkluion Vi har i denne artikel optillet en partiel dynaik belutningtøtteodel til fatættele af det optiale niveau for en virkohed langigtede reklaeindat under konkurrence. Modelkontruktionen bygger for det førte på en ekplicit foruleret teori o forbrugerne adfærd herunder pecielt på begreber o præferenceandynligheden, præferencekiftandynligheden, retentionandynligheden, ærkevalgandynligheden, ekponeringfrekvenfordelingen og reponfunktionen. For det andet bygger odelkontruktionen del på en ekplicit foruleret antagele o virkningen af konkurrenterne langigtede reklaeindat via præferencekiftinteniteten del på en ekplicit foruleret odel for konkurrenterne reaktion på virkoheden egen reklaeindat - i for af den for konkurrenterne optillede lineære reaktionfunktion. Endelig bygger odelkontruktionen for det tredje på en række økonoike variable - åo ålgruppen tørrele og egentering, alget af produktkategorien pr. forbruger i en given belutningperiode og dækningbidraget pr. olgt enhed af ærket - der alle fra et teoretik ynpunkt påvirker det optiale niveau for virkoheden langigtede reklaeindat og derfor ogå bør inddrage i virkoheden ediaplanlægning i praki. Den optillede odel er o nævnt en partiel reklaeeffektodel, en den kan - i hvert tilfælde i princippet - let udbygge til at ofatte andre af virkoheden og konkurrenterne handlingparaetre - fx ved at inddrage die i virkoheden og konkurrenterne reponfunktioner. Aflutningvi har vi i artiklen bragt et ipelt ekepel på anvendelen af den optillede odel.

32 Litteraturfortegnele Birch, Kritina (2002): Analyzing effect of advertiing uing conditional logitic regreion, Preprint no. 2, Departent of Manageent Science and Statitic, Copenhagen Buine School. Broadbent, S. (999): When to Advertice, NTC Publication Liited, London. Broadbent, S. and Allan Sith (999): Ue of the two by two table in advertiing effectivene, Marketing and Reearch Today, May, pp Grønholdt, Lar (980): En dynaik odel for reklaen virkning, Forkninggruppen for Anvendt Statitik, Intitut for Teoretik Statitik, Handelhøjkolen i København. Hanen F., Olen, J.K. og Nilon, O.S, (999): Teting the Significance of STAS Score for Brand, Marketing and Reearch Today, 999. Hanen, F. and J. K. Olen (200): Separating Recall Effect and Short Ter Sale Effect in Peronal Interview Data on Self-reported Ad Recall and Purchae, The Marketing Intitute, Copenhagen Buine School. 2

33 Jone, J.Ph. (995): When Ad Work: New Proof that Advertiing Trigger Sale, Lexington Book/The Free Pre, New York. Lilien, G., Kotler, P. and Moorthy, K. S. (992): Marketing Model, Prentice-Hall International Edition, New Jerey. Olen, J.K. (2000): Reklaeeffektivitetprofilkortet, Reearch Paper, Intitut for Afætningøkonoi, Handelhøjkolen i København. Olen, J.K. (200): STAS på et egenteret arked, Reearch Paper, Intitut for Afætningøkonoi, Handelhøjkolen i København. Olen, J.K. (2002.A): Reklae Effekt Kortet, Reearch Paper, Intitut for Afætningøkonoi, Handelhøjkolen i København. Olen, J.K. (2002.B): En belutningtøtteodel for den partielle effekt af en reklaekapagne, Reearch Paper, Intitut for Afætningøkonoi, Handelhøjkolen i København. Ro, Sheldon M. (2000): Introduction to Probability Model, 7. ed., Harcourt Acadeic Pre, San Diego. Tjur, Tue (2002): Logitic regreion odel for ingle-ource data a iulation tudy, Preprint no. 2, Departent of Manageent Science and Statitic, Copenhagen Buine School.

34 Bilag 4

35 Bilag 2 5

36 Bilag Reponfunktionen o funktion af antal ekponeringer,2000,0000 Reponandynlighed 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0, Antal ekponeringer 6

37 Bilag 4 Reponfunktionen o funktion af antal anvendeler,2000,0000 Reponandynlighed 0,8000 0,6000 0,4000 0,2000 0, Antal anvendeler 7

38 Bilag 5 Den optiale ekponeringfrekvenfordeling 0,000 0,2500 Ekponeringandynlighed 0,2000 0,500 0,000 0,0500 0, Antal ekponeringer 8

39 Bilag 6 Markedandelen for ærke A 0,6000 0,5000 0,4000 Markedandel 0,000 0,2000 0,000 0, Dag nuer