Hvor lang id varer e jernekud? Ole Wi-Hanen, Køge Gymnaium Hvordan kan man ud fra en meeor mae og haighed bekrive den vej ned gennem amofæren? Her giver forfaeren en fremilling af fyikken bag. Søndag den 18. januar kunne man obervere en meeor over ore dele af de ølige Danmark. Alle ved, a meeorer opnår å høje emperaurer, a de flee brænder op og fordamper på dere vej ned gennem Jorden amofære. Ikke ualmindelig bliver man om fyiklærer purg, om man kan forklare dee. De kan man måke god, men hvi de er en forklaring, der involverer al, å kal man nok ikke ilføje, a pørgeren andynligvi ikke har nogen mulighed for a forå forklaringen. Umiddelbar kender jeg ikke il beregninger, der omrenlig ud fra meeoren mae og haighed kan bekrive, hvad der ker med meeoren på den vej ned gennem amofæren. De om populær kalde e jernekud. Jeg vil forøge a bevare nogle af die pørgmål nedenfor. Vi anager, a en meeor er e klippeykke. Hvorfor nedbreme en meeor For kvaliaiv a forå nedbremningen af en meeor berager vi lufmodanden om e fuldændig uelaik ød mod lufen molekyler. A meeoren og lufen ikke foræer om é legeme er af mindre beydning for beregningerne nedenfor. Meeoren mae beegne. I idrumme d øder den ind i en maen dm af lufmolekyler og får derved en haighedilvæk dv. Der gælder ifølge impulbevarele. ( + dm (v + dv = v v+dv = + dm v _ 1 1 + _ dm v Ide _ dm _ 1 << 1, anvender vi ilnærmelen 1+h 1 h på nævneren. Vi får da _ 1 v+dv = 1 + _ dm v = (1 _ dm v dv = _ dm v. Den ide ligning kan omkrive il dv + dm v =, om udrykker en differeniel impulbevarele, og dee kunne vi elvfølgelig ogå have opille direke. Vi anager, a amofæren maefylde ρ er konan og ikke om de er ilfælde ekponeniel afagende efer formlen ρ(h = M RT p _ Mg exp ( RT h. Dee er ikke nogen egenlig indkrænkning, ide vi kan erae den virkelige amofære med en amofære med konan maefylde og mindre ykkele. De følger af ligningen: ρ luf g h = p, hvor ρ luf =1,29 kg, og p m 3 h = 1,13 1 5 Pa, om giver h = 8, km. Dee får kun beydning for de beregnede afande i de følgende. For a finde e udryk for dm berager vi de rør, om e værni af meeoren pløjer igennem i idrumme d. Røre længde er d = v d, og værnie af røre, om er meeoren værni, kalder vi A. Rumfange er derfor dv = A v d. Vi kan da opille e udryk for maen dm = ρ A v d og dermed _ dm d = ρ A v, e almindelig kend udryk for vækerømning, mv. Dividere ligningen dv = _ dm v med d, får man en ligning, der kan inegrere. _ dm d = d _ m v = ρav _ v = ρav v 2, en ligning, der er kend fra urbulen lufmodand. I denne ligning er der ikke age henyn il den haighedforøgele, der ker på grund af yngdeacceleraionen. I ligningen ovenfor er de nu mege le a ilføje e led g il højre ide, hvorefer ligningen bliver: d = _ ρav v 2 + g Denne ligning kan kun vankelig inegrere, men man kan løe uligheden: < 1 1 a g < 1 ρa luf 1 m v 2, om giver v > _ 1 g m ρa v >241, hvoraf vi konaerer, a yngdeacceleraionen er hel uden beydning, hvilke ogå fremgår ved en numerik løning. LMFK-blade, nr. 2, mar 2941 Fyik Maemaik
Uden g kan ligningen eparere og inegrere. v 1 _ ρa vo 2 dv = v d 1_ v + v 1 = ρa v v = 1 + ρav Bemærk a afande kal æe i relaion il amofæren ykkele, om er a il 8, km. Vi udregner dernæ ilvæken på den kineike energi: ΔE = 1_ 2 m (v 2 2 - v = 1_ 2 m ((,1v 2 2 - v =,99 1_ 2 m v 2 =,99 5, 1 9 J Maemaik Fyik Vi kan ogå finde e udryk for den ilbagelage rækning. v d = v d = 1 + ρav d v d = 1 + ρav d _ = ρ A ln(1 + ρav Er rækningen give, kan man beemme faldiden af den ide ligning, om å kan indæe i udrykke for haigheden, il a beemme v. Udledningerne ovenfor kan ikke opreholde af flere grunde, men vi vil udregne abe i kineik energi for a få en fornemmele af emperaurigningen. Vi kal da bruge nogle daa. ρ = ρ luf = 1,29 kg, v m 3 = 1 _ km, = 1 kg, _ ρ meeor = 2,8 g, 4_ cm 3 3 π r 3 ρ meeor meeor = 1 kg, giver r meeor =,24 m og A =,131 m 2. _ Heraf følger: ρ A = 1,69 1-3 m -1. Vi kan for ekempel underøge, hvor lang id der går, før meeoren har reducere in haighed il 1 1 v. Da vi ikke ved, hvor lang en rækning, der kal anvende il dee, beregner vi før iden. Vi løer derfor ligningen: v v = 1 + ρav d = 1 1 v, om giver m = ρ Av (1 1 =,533. Selv om denne id er ammenlignelig med e jernekud, kan man ikke lægge å mege i dee reula. Tilføjer man nemlig en formfakor α < 1 il værniareale A, vil iderne blive forlænge med reciprokværdien il denne formfakor. Srækningen, den har bevæge ig, få af = _ m ρ A ln (1 + ρ Av = 1,36 km Ud fra denne beregning mier meeoren 99% af in energi på en rækning på 1,36 km. Hvor mege af den miede energi, der går il opvarmning af enen, kan vi kun gine om. _ J Sæer vi enen varmefylde il c en = 8 kgk og anager vi, a brøkdelen η = 1 1 går il opvarmning af enen, kan vi beregne emperaurigningen: ΔE = mcδt = 1 1,99 5, 19 J = 4,95 1 8 J, om giver T = 6,2 1 3 K. Alå omkring 6. K. Ud fra denne beregning er de alå lang fra overrakende, a en meeor er ærk lyende og fordamper på in vej ned gennem amofæren. Vi har ikke nogen rigig mulighed for a beemme, hvilken brøkdel, der går il opvarmning af enen. Anager vi, a η = _ 1 1 finder man (naurligvi, a T = 6,2 1 2 K. Da meeoren fakik fordamper, er den føre anagele nok den, der ligger nærme virkeligheden. Beregningen ovenfor kan kun kvaliaiv redegøre for opvarmningen af en meeoren ved in paage gennem Jorden amofære. Man bemærker, a formlen for lufmodanden er den amme, om man i almindelighed anvender for urbulen rømning, dog med ilføjele af en formfakor, om eraer værniareale A. Tilføjer man en formfakor ved a erae A med en reducere værdi A r, å A r = α A, og æer α = 1 1, bliver både iden og rækningen, indil haigheden er reducere il 1 1 v, grof age muliplicere med en fakor 1, å vi får = 5,91 og = 14,2 km. Dee yne a være bedre i overenemmele med virkeligheden. Begyndelehaigheden for en meeor er nok narere 2-3 _ km. Laver man de amme beregninger for en ådan meeor, finder man, a iden reducere med 1_ 3 il 2,, men er 8,7 km. Man kan elvfølgelig krue på formfakoren α og brøkdelen η, indil man får præci de reul- 42 LMFK-blade, nr. 2, mar 29
Meeor i Leonideværmen november 26. Bemærk farvekife og ændringen i lyyrke! Foo: Jeper Grønne, Silkeborg. Billeddaa fi nde på aro phoo.dk/gallery/diplayimage.php?po=-435. a, man ønker, men modellen ovenfor er i virkeligheden hel urealiik. Hvor lang id varer e jernekud? Anagelen, a hele meeoren bliver opvarme il amme emperaur, hvorefer den fordamper, kan naurligvi ikke opreholde. Vi berager da probleme på en hel anden måde, ide vi anager, a de kun er de allerydere lag af meeoren, om bliver opvarme, og om å fordamper. Herved mier meeoren gradvi in mae på vej ned gennem amofæren. Umiddelbar lang rimeligere, men de fremkomne ligninger kan ikke længere løe analyik, og for a lave beregningen må man kende fordampningvarmen for enen. Vi anager om før, a kun brøkdelen η af abe i kineik energi går il opvarmning af meeoren, og α beegner om før formfakoren, å A r = α A. Ud fra den idligere formel d = ρ α A m v 2, kan vi udrykke den effek, om meeoren mier. P = η F re v = ηm _ ραa d v = ηm m v 2 v = η α ρ A v 3. Bemærk, a den afae effek voker proporional med v 3. Når maen ikke er konan, kan vi ikke længere direke inegrere ligningen for d. De er imidlerid mulig a opille en ligning, om bekriver ammenhængen mellem mae og haighed. Anagelen er, a de kun er en lille mae dm, om er den ydere kal, om opvarme å krafig, a den fordamper. Heril anvende en energi dq = L dm, hvor L er fordampningvarmen for meeoren. Energien heril levere om før af ammenøde med lufen molekyler. dq = η Pd = ηm d vd = Ldm ηmvdv = Ldm _ dm m = η L vdv om inegrere il: ln ( m η = v Ligningen kan løe med henyn il m eller v 2 LMFK-blade, nr. 2, mar 2943 Fyik Maemaik
m = v v 2 2 = v + 2L η ln ( m m Vi kan ud fra nogle imple anageler få e begreb om ørrelen af η 2L. På grund af den ekponenielle afhængighed er formlen ærdele følom over for værdien af η 2L. Anager vi f.ek., a for v = 2 _ km, hvor maen er reducere il 1 m, når haigheden er re- _ 1 ducere il 1 1 v, å finder man 2L η = 8,7 1 7 J kg. Anager vi om før, a η = 1 1, giver dee L = 4,35 1 6 J kg. Fordampningvarmen for jern er L jern = 6,26 1 6 J, å denne værdi, kan ikke kg umiddelbar afvie. Afhængig af valge af værdier for α, η og L opnår man naurligvi forkellige reulaer. I de følgende vil vi anvende α = η = 1 1 og L=4,35 1 6 J kg. Vi er inereerede i a finde, hvorlede haigheden v, rækningen og maen m afhænger af iden. Vi vender ilbage il den oprindelige differenialligning d = _ ραa m v 2, men hvor maen nu afhænger af haigheden efer formlen: m = v Indæe dee udryk får man: d = _ ραa v v 2 Men når maen formindke, kan vi ikke længere regne med, a værniareale A er konan. Maen er imidlerid proporional med r 3, men A er proporional med r 2, å A m A = ( m 2_ 3 Indæe dee i d = ρ α A m v 2, får man: d = ραa ( m m 2_ 3 m v 2 = ραa v 2 2_ m 3 m 1_ 3 _ ραa η v 2 exp ( 2L (v 2 1_ 2 v 3 _ = ραa v 2 exp( η 6L (v 2 2 v Ud fra ligningerne: P = ηαρav 3 og P = L _ dm d kan man ogå finde en differenialligning for maen afhængighed af iden: _ dm d = _ ηαρ A m L v 3 = ηαρ ( m m 2_ 3 _ A L v 3 Skal vi beemme rækningen, om meeoren ilbagelægger, anvender vi formlen d d = v. Formlerne for haigheden v, rækningen og maen m er give ovenfor om 3 koblede differenialligninger. For a løe differenialligningerne er man imidlerid henvi il numerike meoder. Nedenfor er vi nogle løninger, hvor = 1 kg i alle ekempler undagen de ide o, og v = 1, 12, 15, 25 og 3 km/. Graferne vier maen, haigheden og rækningen i den amme graf. Maen måle i enheden 1 kg, haigheden i _ km og rækningen i km, for a man i Maemaik Fyik = 1 kg, v = 1 km _ = 1 kg, v = 15 km 44 LMFK-blade, nr. 2, mar 29
= 1 kg, v = 2 _ km = 1 kg, v = 25 _ km = 1. kg, v = 25 _ km = 1 kg, v = 25 _ km de flee ilfælde kan anvende amme enhed på 2. aken. Graferne vier bland ande, a for en mae på 1 kg vil meeoren brænde op, hvi haigheden overiger 2 _ km, men en meeor med maen 1 kg før brænder op, når haigheden overiger 25 _ km. Som de fremgår af figurerne, mier en 1 kg meeor mere en 9% af in energi på mindre end e ekund, hvi haigheden er over 15 _ km. Vi luer heraf, a i almindelighed er varigheden af jernekud omkring e ekund. I løbe af ca. e ekund vil den enen være brænd op eller have ram jorden. I de ilfælde, a den ikke har haf ilrækkelig haighed il a brænde hel op, vil den muligvi kunne e om en glødende kugle i længere id, iær hvi den bane er nær parallel med jordoverfladen. LMFK-blade, nr. 2, mar 29 45 Fyik Maemaik