Introduktion til matematikvanskeligheder baggrund og begreber Af Lena Lindenskov Professor mso, Danmarks Pædagogiske Universitetskole, Aarhus Universitet Opmærksomheden mod matematikvanskeligheder har været lav i Danmark, og det gælder fra det centrale niveau i Undervisningsministeriet til det lokale i kommunalt regi og på skoler. Men nu er opmærksomheden stigende, og det giver sig blandt andet udtryk i styredokumenterne i Fælles Mål fra 2009, for læreruddannelsen fra 2007 og for FVUlæreruddannelsen fra 2001. Fakta om læreruddannelsen: I styredokumenterne for det nye linjefag Specialpædagogik i læreruddannelsen nævnes matematik i det niende af de 18 centrale kundskabs- og færdighedsområder som hedder Læse-, skriveog matematikfærdigheder; problemstillinger i relation til adfærd, kontakt og trivsel. Læreruddannelsens linjefag Matematik har i fællesforløbets centrale kundskabs- og færdighedsområder i fagdidaktik 14 indholdsområder. Det tolvte hedder Matematikvanskeligheder. For aldersspecialiseringen mod begynder- og mellemtrinet indgår der i det centrale kundskabsog færdighedsområde i fagdidaktik Indlæringsvanskeligheder i matematik som det femte af syv områder. Tilsvarende nævnes i specialiseringen mod mellem- og sluttrin området Indlæringsvanskeligheder i matematik som det femte af otte områder i fagdidaktik. Fælles Mål 2009 Fælles Mål 2009 har for første gang et længere afsnit i undervisningsvejledningen om Elever med særlige behov. Her beskrives en række problemstillinger som tager udgangspunkt i elevernes forskellighed, og det pointeres at der endnu ikke findes en klar, entydig og alment anvendt definition af matematikvanskeligheder. Der står at elever med vanskeligheder i faget matematik bør have særlig opmærksomhed af matematikuddannede lærere, og evt. efterfølgende specialundervisning bør ligeledes varetages af matematiklærere med specialuddannelse. Test bliver problematiseret fordi en test med fokus alene på resultatet viser hverken, hvori vanskelighederne grundlæggende består, eller hvordan de skal afhjælpes. I Fælles Mål formuleres der en lang række generelle forventninger til matematiklæreren. Hvad årsagerne til matematikvanskeligheder end kan være, så opfordres lærerne til altid at fokusere på potentialer hos eleven og ikke på elevens mangler. Man må undersøge hvad eleven egentlig kan og ikke kan og læreren (må) sætte(r) sig ind i elevens tankegang. Det vil for det meste kræve, at læreren går i dialog med eleven. Der udtrykkes stor tiltro til dialogen hvor eleven bliver klar over sin tænkning, hvad han/ hun har forstået, og læreren får indblik i, hvilket forståelsesgrundlag der er at arbejde videre ud fra, og kan tilrettelægge undervisning ud fra dette. Læreren har altså mulighed for i dialogen med eleven at lytte sig til en væsentlig indsigt. Der bliver stillet et meget relevant spørgsmål om hvordan der kan skabes plads for sådanne dialoger i den daglige matematikundervisning? Når det kommer til hvilken undervisning der skal tilbydes, så bliver det pointeret at træning ikke er nok og at det ikke giver mening at blive ved med at fastholde elever i situationer, hvor de ikke har succes. I stedet for at give eleverne en masse regnestykker kan det være væsentligt, at de lærer nye og hensigtsmæssige strategier. Hovedsynspunktet i Fælles Mål er optimistisk: Alle
elever kan lære mere, men hvad, der er relevant at lære lige nu, og hvor hurtigt, er forskelligt. Når fokus sættes på, hvad der kan lade sig gøre, frem for på manglerne, vil der automatisk blive lagt vægt på læringspotentialet, og hensigten med undervisningen er i fokus. Det er således ikke relevant at tænke på, hvad eleverne ikke kan, men på hvad de kan og hvad de har mulighed for at lære. Med optimismen stilles der mange og store forventninger til læreren: Læreren skal differentiere undervisningen opfange de guldkorn der falder fx i en fælles klassesamtale bidrage til et arbejdsklima hvor fejl er velkomne og kan blive udgangspunkt for en læringssamtale lede efter elevernes ressourcer og brugbare tidligere erfaringer forstå de anderledes måder eleverne tænker på hjælpe eleverne med at skabe mening i arbejdet med matematik støtte dem til at tro på at de kan lære give eleverne modet til at prøve deres idéer af og at tage de andre i klassen med ind i på-vejtankerne. I Fælles Mål opfordres læreren til at dygtiggøre sig i forhold til to spørgsmål om elevers undersøgende og engagerede deltagelse: hvordan får vi elever der overtager problemet og selv arbejder aktivt på at finde en løsning i stedet for at prøve på at komme i tanke om noget som de egentlig ikke har forstået? hvordan får læreren skabt et læringsrum hvor alle elever også dem med matematikvanskeligheder vil være med? Læreren opfordres også til at betragte sig selv som én der også er i en læringsproces hvor hensigten bl.a. er at lære mere om elevernes læring og tilgang til matematik og hvor der i situationen kan dukke spørgsmål op som elever og lærer sammen kan undersøge. 1 (Undervisningsvejledningen s. 50-51) For nogle kan dette lyde både besværligt og også urimeligt krævende oven i alle de andre ting som skolen sættes til at løse selv uden at der følger nye ressourcer med. Nogle kunne derfor fristes til at overveje om den stigende opmærksomhed mon blot er et tilfældigt modelune der snart går over igen? Man kunne spørge om ikke forventningerne i Fælles Mål til matematiklæreren er vidtløftige og urealistiske når man tager den pressede situation som mange lærere oplever i dagligdagen, i betragtning? Ku man og sku man mon ikke hellere sidde forventningerne i Fælles Mål overhørig og vente på at det går over? Mine svar er at matematikundervisere ikke kan sidde forventningerne overhørig og at de ikke er et modelune der snart vil forsvinde igen. Der ligger nemlig to væsentlige samfundsmæssige og pædagogiske tendenser som baggrund for den stigende opmærksomhed og de stigende forventninger. Den ene tendens er at der indgår matematik i de kompetencer der anses som betydningsfulde i vidensamfundet. Den anden tendens er skiftet fra den rummelige og integrerende skole til den inkluderende skole. Begge tendenser har international udbredelse, og begge tendenser har betydning for hvordan man skal fortolke og arbejde med matematikvanskeligheder og forventningerne i Fælles Mål. To tendenser som baggrund for den stigende opmærksomhed Forventningerne og opfordringerne i Fælles Mål til læreren har den enkelte lærer ikke mulighed for at håndtere alene. Der er langt bedre muligheder når flere lærere tager udfordringerne på sig og i fællesskab prøver af, undersøger, samler op og reflekterer over erfaringerne. Så kan det blive en værdifuld del af skolens og kommunens matematikundervisningskultur. 1 Fælles Mål. Undervisningsvejledningen (2009), s. 50-51. Tilgængelig januar 2010 på http://www.uvm.dk/service/publikationer/publikationer/folkeskolen/2009/faelles%20maal%202009%20-%20matematik.aspx
Betydningen af matematik Om den første tendens gælder at der i internationale samarbejdsfora som EU, OECD og FN er voksende konsensus om at matematikområdet har gennemgribende betydning for samfund og individ. Det har betydning for den tekniske, økonomiske og forvaltningsmæssige udvikling af samfundet, og det har betydning for menneskers oplevelser, forståelser og deltagelse i civilsamfund, i det private liv og i det økonomiske og politiske liv. Særlig tydeligt er det at matematikområdet har betydning som forudsætning for hvordan individet klarer sig i uddannelse og efteruddannelse. Betydningen nærmer sig betydningen af læsning. Det er forskellige ord der bruges til at angive det betydningsfulde fra matematikområdet. På engelsk er det ord som literacy, mathematical literacy, numeracy, quantitative literacy, analytical competence, og ordene defineres og eksemplificeres på forskellige måder. I de Forenede Nationer knyttes det betydningsfulde til forbedringer i sundhed, HIV/ AIDS-bekæmpelse, indkomstmuligheder, menneskerettigheder, miljø og udvikling, og det matematikholdige heri kaldes numeracy. Nogle gange er dette numeracy en del af literacy, andre gange er dette numeracy et begreb parallelt med literacy. 2 Hvordan de overordnede literacy-begreber og andre kompetencebegreber end bliver defineret, så bliver matematik tænkt ind som en del af det betydningsfulde grundlag. Uden dermed at negligere andre områder, så er det relevant og vigtigt at alle lærer matematik og er villige og i stand til at tilpasse og udvikle det, bruge det og lære mere af det gennem livet. Man kan derfor ikke længere være ligeglade med eller bagatellisere det hvis nogle passiviseres i skolen og forlader den uden at have lært ret meget matematik og uden at føle sig godt tilpas og have selvtillid i forhold til matematik. Dette er en vigtig baggrund for den øgede opmærksomhed mod matematikvanskeligheder og betyder samtidig noget for hvordan man skal fortolke og arbejde med matematikvanskeligheder og opfordringerne i Fælles Mål. Det betyder nemlig at der er en forventning om at elever i matematikvanskeligheder ikke bliver overset, men bliver taget alvorligt og får tilbud om at indgå i aktiviteter og initiativer som reelt bringer eleverne videre. Der er en forventning om at elever, lærere og forældre er tilfredse med de tilbudte aktiviteter og initiativer og at alle parter oplever at eleverne reelt lærer betydningsfuld matematik. Det svarer netop til konstateringen i Fælles Mål om at træning ikke er nok og at det ikke giver mening at blive ved med at fastholde elever i situationer, hvor de ikke har succes. Eleverne skal have succesoplevelser, og de skal lære noget betydningsfuldt. I KOM-projektet som har inspireret Fælles Mål 2009, er det betydningsfulde blandt andet beskrevet i definitionen på en matematisk kompetence som en indsigtsfuld parathed til at handle hensigtsmæssigt i situationer, som rummer en bestemt slags matematisk udfordring og som at have viden om, at forstå, udøve, anvende og kunne tage stilling til matematikvirksomhed i en mangfoldighed af sammenhænge, hvori matematik indgår eller kan komme til at indgå. Den inkluderende skole Den anden tendens som baggrund for den øgede opmærksomhed drejer sig om det samlede synssæt i 2 Literacy betegner nogle gange færdigheder og brug af reading, writing and numeracy, som i UNESCO (2006). Literacy Initiative for Empowerment LIFE 2005-2015. Vision and strategy paper. (2nd edition). Tilgængelig januar 2010 på:http://unesdoc.unesco.org/images/0014/001411/141177e.pdf Andre gange er literacy og numeracy parallelle begreber, som når målet om at forbedre kvaliteten af uddannelse og udbytte for alle formuleres som: improving all aspects of the quality of education and ensuring excellence of all so that recognized and measurable learning outcomes are achieved by all, especially in literacy, numeracy and essential life skills. (s.8) i The Dakar Framework for Action (Unesco, 2000). Tilgængelig januar 2010 på: http://www.unesco.org/education/efa/ed_for_all/dakfram_eng.shtml
skolen og i samfundet på normalitet, på læringsvanskeligheder og på skolens organisering. Det handler om begreberne integration, rummelighed og inklusion og har afgørende betydning for hvordan særlige behov og matematikvanskeligheder kan håndteres og bliver håndteret i praksis. Alle tre begreber integration, rummelighed og inklusion indebærer at alle elever også elever med særlige behov i videst mulig udstrækning har adgang til skolen, er til stede i skolen og deltager i skolen. Men der er forskel på hvor vidtgående begreberne er. Integration og rummelighed er mindre vidtgående end inklusion. Karikeret kan man sige at med integration og rummelighed vil man i skolen tolerere og acceptere elever med særlige behov, og man vil indrette skolen fysisk og organisatorisk på at disse elever er der. Man vil også undervisningsdifferentiere, og nogle gange vil man også elevdifferentiere så eleverne deles op til forskellige tilbud der er tilpasset deres behov. Men her stopper idéerne om integration og rummelighed så, og der bliver ikke ændret på andre forhold i skolen for de andre børn eller for lærerne og ledelsen. Inklusion er mere vidtgående og tilføjer kvalitativt nyt. Inklusion er nemlig tosidig så der også sker noget med den generelle undervisning og med skolens faglighed. Med inklusion er det tanken at der både sker en tilpasning af den konkrete undervisning til elever med særlige behov og at der også foregår en udvikling af den generelle undervisning. På kort sigt tilpasses undervisningen til hvad eleverne med særlige behov og matematikvanskeligheder kunne have behov for, vil og kan, og det kan i sig selv blive til gavn også for andre elever. Men det helt afgørende er at man forestiller sig at der på længere sigt vil ske en positiv udvikling af den almindelige undervisning i og med at lærerne i den almindelige undervisning kan få adgang til og få viden om det særlige ved elever i matematikvanskeligheder som de kan bruge til almene forbedringer. Den inkluderende skole er dermed også en ny måde at tænke specialundervisning på hvor ekspertise og erfaringer i specialundervisning skal udnyttes i den almindelige undervisning. Moralen er altså at forventningerne i Fælles Mål til at læreren for eksempel forstår de anderledes måder som disse elever tænker på, hjælper eleverne med at skabe mening i arbejdet med matematik og støtter dem til at tro på at de kan lære, ikke bare drejer sig om at kunne støtte disse elevers læring, men også om at læreren kan udvikle sin generelle undervisning. Der er to begreber mere om behov og vanskeligheder som har betydning for hvordan forventningerne til lærerne kan fortolkes. De to begreber kaldes det kategoriale syn og det relationelle syn, og de drejer sig om hvor særlige behov og matematikvanskeligheder kan lokaliseres: hvor er vanskelighederne henne? 3 Med det kategoriale mener man at særlige behov og vanskeligheder refererer til bestemte karakteristika knyttet til enkelte elever. Med det relationelle mener man at særlige behov refererer til forhold i elevernes sociale sammenhænge fx i klassen, men ikke til forhold som udelukkende har med den enkelte elev at gøre. De to syn er meget forskellige og er udviklet på forskellige tidspunkter. Der er en tendens til at det relationelle syn er i fremgang, og det kategoriale er i tilbagegang; men der er ikke tale om et paradigmeskift. Der er ikke enighed om at man kan nøjes med det relationelle og se helt bort fra det kategoriale 4. Susan Tetler formulerer at der er en balancegang mellem at overse og at stigmatisere: Der har været en tendens til at antage, at en god almenpædagogik [i modsætning til specialpædagogik/ LL] vil, om ikke fjerne behovet for specialpædagogiske indsatser, så minimere dem kraftigt. Det problematiske i denne sammenhæng er, at et udelukkende almenpædagogisk perspektiv risikerer at udgrænse 3 Hansen, M. (2000, p. 57) Diagnoser og specialundervisning. I: Specialpædagogik i en brydningstid. Systime. 4 Emanuelsson, I.; Persson, B. & Rosenqvist, J. (2001). Forskning inom det specialpedagogiska området en kunnskapsöversikt. Stockholm: Skolverket, s. 22.
sprogligt hinanden om at anerkende at eleven er central som den der oplever vanskelighederne og gennemlever konsekvenserne, men også at vanskelighederne ikke ligger inde i eleven. Vanskelighederne findes eller placeres i relationerne omkring eleven og kan derfor også imødegås i relationerne omkring eleven. Dermed kan udtrykket elev i vanskeligheder være godt at bruge når man ønsker hverken at overse eller at stigmatisere eleven. Og i stedet for elever med særlige behov kunne man måske tilsvarende bruge udtryk som elever, der er i situationer eller relationer med særlige behov selv om det umiddelbart lyder lidt kluntet. og usynliggøre de specifikke behov for en særlig tilrettelagt indsats, som nogle børn altid vil have, uanset hvor ideelle de almenpædagogiske vilkår er. Omvendt må det i lige så høj grad understreges, at eventuelle særligt tilrettelagte indsatser risikerer at stigmatisere de børn, indsatsen rettes mod, hvis de ikke tænkes ind i et inkluderende perspektiv. 5 Elever med eller i vanskeligheder Hedder det elever med matematikvanskeligheder? Eller er det bedre at sige elever i matematikvanskeligheder? Med betegnelser som elev med særlige behov, elev med vanskeligheder, elev der har vanskeligheder eller elevers matematikvanskeligheder kan man sprogligt bevidst eller ubevidst - blive påvirket til at placere vanskelighederne inde i den enkelte elev, så disse fire udtryk hører til det kategoriale syn. De fire udtryk er dem der bliver brugt i Fælles Mål 2009; men i Fælles Mål peges der også indirekte på det sociales betydning. Der står noget om den fælles klassesamtale, og der står følgende: Men for at bevare det matematiske fællesskab i klassen er det også vigtigt at arbejde med de samme problemstillinger i hele klassen, og det kræver, at det er problemstillinger, hvor det er muligt at differentiere. Med udtrykket elev i vanskeligheder så minder man Tre skillelinjer og fire tilgange til årsager Der er ikke etableret konsensus om begreber om matematikvanskeligheder, og man er både i teori og praksis mange årtier bagefter teori og praksis inden for læsning. Derfor vil jeg anbefale fordomsfrie og pragmatiske tilgange hvor man samler viden og erfaringer, stiller udfordrende spørgsmål, eksperimenterer og diskuterer. Som nævnt er der en skillelinje mellem at opfatte vanskeligheder individuelt som kategorialt knyttet til enkelte elever i forhold til et fagligt indhold, eller at opfatte vanskeligheder relationelt som knyttet til situationer med flere mennesker omkring et fagligt indhold. En anden skillelinje går mellem at opfatte vanskeligheder som noget der angår al matematik, eller som noget der kan angå dele af matematik og kun berører bestemte matematiske områder og elementer. En tredje skillelinje går mellem at opfatte vanskeligheder i matematik som noget specifikt for matematik der ikke følges af vanskeligheder i andre fag, eller som vanskeligheder af mere generel karakter der også giver sig udtryk i andre fag. Det er blevet almindeligt at se på matematikvanskeligheder ud fra fire udgangspunkter: didaktiske, psykologiske, sociologiske og neuropsykologiske udgangspunkter. De beskrives lidt forskelligt i forskellige sammenhænge; men Arne Engström beskriver fx de fire udgangspunkter således i 2000: 1. Neuropsykologisk defektorienteret, eleven har en hjerneskade eller anden fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse 2. Psykologisk forklaringerne søges i at eleven ikke anstrenger sig eller har koncentrationsvanskeligheder, i angst eller i forskellige kognitive årsager 3. Sociologisk miljøfaktorer, social deprivation, dvs. eleven kommer fra et understimulerende miljø, sko- 5 S. 160 i Tetler, S. (2009). Det didaktiske grundlag for en specialpædagogik i et inkluderende perspektiv., s. 153-162. I: S. Tetler; S. Langager. Specialpædagogik i skolen en grundbog. København: Gyldendal.
len tager ikke i tilstrækkelig grad hensyn til elever med for eksempel arbejderklassebaggrund 4. Didaktisk fejlagtige undervisningsmetoder, ensidig færdighedstræning 6 Der bruges forskellige udtryk om matematikvanskeligheder i de fire udgangspunkter. Alle fire kan bruges som udgangspunkter til at skaffe mere viden og erfaring; men det er med det didaktiske udgangspunkt at matematiklærerne er specialister og er centralt placeret. For at få alle udgangspunkter udnyttet, er det nødvendigt med tværfagligt samarbejde. Regnehuller som eksempel på didaktisk begreb 7 Begrebet regnehuller har et dobbelt indhold. Dels knytter det sig til de vanskeligheder, regnehuller, som alle elever af forskellige årsager og på forskellige niveauer kan komme ud for i deres læring af matematik som stilstand i læreprocessen. Dels omfatter begrebet de huller som elever falder i og i nogle tilfælde hænger fast i og ikke kommer op af igen der opstår på baggrund af undervisningen. Det vil sige at udgangspunktet ikke er eleven, men de vanskeligheder der opstår i elevens møde i matematikundervisningen med matematiske kompetencer, matematiske emner, matematik i anvendelse og matematiske arbejdsmåder i det matematiske landskab. Dermed er det ikke eleven som begrebet karakteriserer, men vanskelighederne der opstår i elevens relationer med stoffet i undervisningen. Begrebets metaforiske billeder viser at matematikvanskeligheder principielt ikke er generelle: der findes ikke elever der overhovedet ingenting ved og kan og vil med hensyn til matematik. Vanskeligheder knytter sig til enkeltstående områder, og der er noget udenom ellers ville det ikke blive betegnet som regnehul! Begrebets billeder inviterer til at se forskellige måder at omgås vanskeligheder på og til at indse at der altid er flere handlemuligheder når elever er i en tilstand af at hænge fast. Billedligt udtrykt kan man fylde hullet op, det vil sige prøve at få etableret underliggende viden og færdigheder stykke for stykke. Man kan også bygge bro henover, det vil sige prøve at få etableret kompenserende elementer. Men man kan også vælge at gå udenom, det vil sige at forlade området for at arbejde i andre dele af det matematiske landskab for eventuelt at vende tilbage på et senere tidspunkt. Begrebet er ikke tænkt kvantitativt til at udpege store huller og små huller, eller kvalitativt til at udpege særlige huller af særlig betydning for den fortsatte læreproces. Vi anser regnehuller for at have pragmatisk værdi som en god metafor for lærerens opmærksomhed mod alle eleverne i en inkluderende skole. De erfaringer læreren gør sig om det enkelte barns vanskeligheder i mødet med regnehuller, kan blive både en inspiration og en ressource for den generelle undervisning. Regnehuller adskiller sig og supplerer andre begreber, men ligger ikke i krig med andre begreber. Begrebet regnehuller hører oplagt til det didaktiske udgangspunkt, men udelukker ikke at man også bruger viden og erfaringer fra de tre andre udgangspunkter eller fra fx læseforskningen. Årsagsforklaringer og risikofaktorer kan være oplysende, men de kan ikke stå alene, og der indgår under alle omstændigheder didaktiske overvejelser i hvordan eleverne kan støttes. Elever må hver især og alle sammen gives tilpasset mulighed for at manøvrere i, over og omkring deres regnehuller i det matematiske landskab. Det gælder hvad enten der samtidig kan peges på problematiske elementer i elevernes antalsopfattelse, koncentration, automatisering, visualisering, korttidshukommelse, genkaldelse fra langtidshukommelse, sprogudvikling, ordblindhed, motivation, strategiopbygning, hverdagserfaringer, eller i hjemmebaggrunden, i undervisningen osv. Det er når man fokuserer på et specifikt fagligt indhold at man kan præcisere vanskelighederne og samtidig få øje på hvad der lykkes og finde inspiration til hvad der potentielt kan lykkes. Med konkrete, detaljerede og uddybede beskrivelser med fokus på det faglige indhold af vanskelighederne kan der samtales og handles konkret både i respekt for matematiks betydningsfuldhed og for idealerne i den inkluderende skole. 2010-artikler som redskab til udvikling Der er grøde inden for området mange er i gang med dette spændende og vigtige område. Det vil der blive fortalt mere om i artikler i årets numre af tidsskriftet. Håbet er at artiklerne kan bidrage til den fælles viden og refleksion som er nødvendig for at imødekomme de øgede forventninger. 6 S. 27 i Engstrøm, A. (2000). Specialpedagogik för 2000-talet. I: Nämnaren, 1. 7 Regnehuller er blandt andet beskrevet af Lindenskov og Weng i Regnehuller: et nyttigt begreb i fokuseringen på matematikvanskeligheder?. Matematik, 2004, 32, 2.