fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
1. En sides modsäende inkel... 1. Ensinklede ekane... 1. Od fo sidene i en einkle ekan.... Pyhagoas sçning.... Udegn hyoense nä i kende de o kaee. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense 7. Udegne cosins, sins elle angens il e gadal... 8. LÉse ligning med cosins, sins elle angens... 9. Regle fo cos, sin og an i einkle ekan... 10. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan... 11. Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Ogae: 1. Sinselaionen... 17. HonÄ bge i sinselaionen? 18. Udegn side med sinselaion 19. Udegn inkel med sinselaion 0. Cosinselaionen... 1. HonÄ bge i cosinselaionen?. Udegn side med cosinselaion. Udegn inkel med cosinselaion. HÉjde, median og inkelhaleingslinje... 7. HÉjde. Median 7. Vinkelhaleingslinje 8. Eksemle med héjde, median og inkelhaleingslinje... 7 9. Eksemel med héjde 0. Eksemel med median 1. Eksemel med inkelhaleingslinje De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan... 8 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan... 9 De ogaeye i lése ed hjçl af cosinselaionen elle sinselaionen... 10 Tekansbeegning fo C-niea i sx, Ä 01 Kasen Jl /11-01 Nyese esion af dee häfe kan downloades fa h://ma1.dk/noe.hm HÄfe må benyes i ndeisningen his läeen med de samme sende en e-mail il kj@ma1.dk som olyse a dee häfe benyes og olyse om hold, niea, läe og skole.
1. En sides modsäende inkel e modsäende inkel il siden l fodi l ikke séde o il. w Vi se a m og n séde o il, sä m og n e ikke modsäende il. l m e modsäende il m. w e modsäende il n. n. Ensinklede ekane De o ekane ha samme inkle, sä - de o ekane ha samme fom - den soe ekan e en foséelse af den lille 18 Udegne fosåelsesfakoen NÄ i gange sidene i den lille med foséelsesfakoen k, sä fä i sidene i den soe: 1k = 18 Vi diidee begge ligningens side med 1 og fä k = 1, 1 Hofo e fosåelsesfakoen ikke? Vi kan ikke bge sidene 1 og il a degne foséelsesfakoen fodi sidene 1 og ikke ha ens modsäende inkle. Vi bge fosåelsesfakoen 1, il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e ens. Defo e 1, = Vi degne ensesiden og fä = Vi bge fosåelsesfakoen 1, il a degne : Sidene og ha modsäende inkle de e lens. Defo e 1, = Vi diidee begge side med 1, og fä = 1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 1 01 Kasen Jl
. Od fo sidene i en einkle ekan Siden e en kaee fodi den séde o il den ee inkel. Siden e hyoensen fodi den ikke séde o il den ee inkel. Siden e den hosliggende kaee il inkel fodi e den af kaeene de séde o il inkel. Siden e den modsäende kaee il inkel fodi e den af kaeene de ikke séde o il inkel. Odene kaee og hyoense kan kn bges i en einkle ekan. Eksemle e hosliggende kaee il n e hosliggende kaee il w h e modsäende kaee il inklen Ä e modäende kaee il d e modäende kaee il w Hyoensen e 8 g e hyoense. Pyhagoas séning d g n w 7 8 h k Pyhagoas sçning gçlde kn i einklede ekane. Pyhagoas séning som fomel nä og e kaee, og e hyoense. Pyhagoas séning i od Den ene kaee i anden ls den anden kaee i anden e hyoensen i anden.. Udegn hyoense nä i kende de o kaee Ogae: Besem Ä figen. 0 og 8 e kaee, og e hyoense, sä 0 + 8 = Nsie lése denne ligning mh. fo sée end 0 og fä = 0 8 =. Udegn kaee nä i kende kaee og hyoense Ogae: Besem a Ä figen. og a e kaee, og 0 e hyoense, sä + a = 0 Nsie lése denne ligning mh. a fo a sée end 0 og fä a = a 0 = Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
7. Udegne cosins, sins elle angens il e gadal I mange ogae med ekane ha i bg fo a egne med noge de hedde cosins, sins og angens. I e maemaikfel i e noeinde i Nsie ase i cos() og cl-ene (cmd-ene Ä Mac) : NÄ i lçse denne ligning, sige i: cosins il e 0,89879. Flee degninge: Hsk gadegne. SÅ ike de anse om Nsie e indsille il a egne med e ande inkelmål end gade. Og så e ligningen både sädanlig sog og Nsiesog. His i i sädanlig sog ikke skie, så beyde de a inkelmåle e adiane. NÄ i lçse disse ligninge, sige i sins il 18 e 0,911. angens il 1, e 0,719. 8. LÅse ligning med cosins, sins elle angens His e en inkel i en ekan og 7cos() = sä skal i lése denne ligning. Ligningen ha mange osiie og negaie lésninge, men da e en inkel i en ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 180. Nsie lése ligningen 7cos() = mh. fo 0 < < 180 og fä =,101. His e en inkel i en einkle ekan, skal i kn finde lésninge mellem 0 og 90: Nsie lése ligningen,an() = 8, mh. fo 0 < < 90 og fä = 1,9. He så i sädanlig sog had de e fo en oeaion i få Nsie il a dfçe. De skal i alid skie nå i bge sole. LÄg mäke il ho de e gadegn. NÅ i skie sådan, så ike de anse om Nsie e indsille il a egne med e ande inkelmål end gade. I sädanlig sog e de IKKE gadegn Å e bogsa. 9. Regle fo cos, sin og an i einkle ekan NÄ e en sids inkel i en einkle ekan e hyoensen e ' s hosliggende kaee e ' s modsäende kaee gçlde: cos() = hyoense gange cosins il inklen e inklens hosliggende kaee sin() = hyoense gange sins il inklen e inklens modsäende kaee an() = inklens hosliggende kaee gange angens il inklen e inklens modsäende kaee eglene som fomle eglene i od Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
10. Eksemle med cos, sin og an i einkle ekan 11. Ogae: Besem inklen Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins:, cos() =, Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 90 og fä = 1,97,, = 1. Ogae: Figen ise en sige de nä o il oen af en m héj m. Sigen danne en inkel Ä med jodoefladen. Besem lçngden af sigen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins: s sin() = ho s e sigens lçngde Nsie lése denne ligning mh. s fo s sée end 0 og fä s =, sige m Sigens lçngde e, cm 1. Ogae: 0 mee fa e Ç sige i o mod oen. Vinklen mellem sigelinje og ande e. Tekanen il héje e en model af denne siaion. De indgä en inkel og de o kaee, sä i skal bge angens: 0 an() = h Nsie degne ligningens ense side: TÇes héjde e 8 m 0m h 1. Ogae: Besem siden Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens hosliggende kaee, sä i skal bge cosins: 8,0 cos() = Nsie degne ligningens ense side: 8,0 =,7 1. Ogae: Besem inklen w Ä figen. De indgä hyoensen, en inkel og inklens modsäende kaee, sä i skal bge sins:,1 sin(w) =, w,1, Nsie lése denne ligning mh. w fo w mellem 0 og 90 og fä w = 8,9 w = 9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
1. Sinselaionen NÄ e siden e modsäende il inklen siden e modsäende il inklen sin( ) sin( ) Denne egel hedde sinselaionen. Sinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge sinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 17. HonÄ bge i sinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o inkle og en side, og i skal finde en side, sä bge i sinselaionen. His i ikke kende inklen oe fo den side i skal finde, sä degne i fés denne inkel. De kan i da smmen af de e inkle e 180. His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen oe fo en af dem, og i skal finde en inkel, sä bge i sinselaionen. De e inklen oe fo den anden kende side i finde. Den sidse inkel kan i finde da smmen af de e inkle e 180. 18. Udegn side med sinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o inkle og en side, og skal finde en side, sä i bge sinselaionen. Vinklen oe fo e 180 7 10 = 8 N kan i bge sinselaionen: sin( 8) sin(10) Nsie lése denne ligning mh. fo sée end 0 og fä =,11 7 10 =, 19. Udegn inkel med sinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende o side og inklen oe fo en af dem og skal finde en inkel, sä i bge sinselaionen: 110 sin( ) sin(110) Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 7,909 elle = 1,091 mä Çe minde end 90 da en af de ande inkle e oe 90, sä = 7,9 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
0. Cosinselaionen NÄ e sidene e, og siden e modsäende il inklen cos( ) Denne egel hedde cosinselaionen. Cosinselaionen gçlde i alle ekane, men de e klodse a bge cosinselaionen i en einkle ekan da i he kan bge en simlee fomel. 1. HonÄ bge i cosinselaionen? His ekanen ikke e einkle og i kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. His ekanen ikke e einkle og i kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen.. Udegn side med cosinselaion Ogae: Besem siden Ä figen. Vi kende o side og inklen mellem, og i skal finde den sidse side, sä bge i cosinselaionen. = 8 + 8cos(9) Nsie lése denne ligning mh. fo > 0 og fä = 1,9. 9 8 =,0. Udegn inkel med cosinselaion Ogae: Besem inklen Ä figen. Vi kende de e side, og i skal finde en inkel, sä bge i cosinselaionen. = 8 +7 87cos() Nsie lése denne ligning mh. fo mellem 0 og 180 og fä = 9,07. 7 8 = 9,1 Tekansbeegning fo C-niea i sx 01 Kasen Jl
. HÅjde, median og inkelhaleingslinje. HÅjde En héjde i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il e nk Ä den modsäende side og e inkele Ä denne side. I enhe ekan e de e héjde. PÄ figen e h en af héjdene. h. Median En median i en ekan e e linjesykke de gä fa en inkelsids il midnke af den modsäende side. m I enhe ekan e de e mediane. PÄ figen e m en af medianene. 7. Vinkelhaleingslinje En inkelhaleingslinje i en ekan e en linje de gä gennem en af inkelsidsene og halee inklen. w w I enhe ekan e de e inkelhaleingslinje. PÄ figen e en af inkelhaleingslinjene. 8. Eksemle med håjde, median og inkelhaleingslinje 9. Eksemel med håjde I en ekan ABC e AB lig og héjden fa B e. Vi il degne inkel A. Vi egne en skise. Da BD e héjde, e inkel D e, sä af ekan ABD fä i sin(a) = Nsie lése denne ligning mh. A fo 0<A<180 og fä A = 1,810. A = 1,8 0. Eksemel med median Vi il degne lçngden af medianen m Ä egningen. Da m e median, e DC haldelen af ds. 1,. Af den einklede ekan BCD fä i m = 1, + Nsie lése denne ligning mh. m fo m>0 og fä m =,01 m =, m B 1. Eksemel med inkelhaleingslinje PÄ egningen e inkelhaleingslinje Vi il degne c som e lçngden af AB. Vinkel D i ekan ACD e 180 110 70. Vinkel C i ekan ACD e 180 70 90 0. Vinkel C i ekan ABC e 0 0 da halee inklen. Af den einklede ekan ABC fä i 7an(0) = c Nsie degne ense side og fä,877 = c c =,87 A B 110 D D C A 7 C Tekansbeegning fo C-niea i sx 7 01 Kasen Jl
De 11 ogaeye med side og inkle i einkle ekan I ekanen il héje e sidene med lçngde og kaee, fodi inklen mellem dem e e. Siden med lçngde e hyoense, fodi den ikke e en af kaeene. Foesil dig a d sidde i den sidse inkel og holde i de o inkelben. Den kaee d holde i, e inklens hosliggende kaee. Den anden kaee e inklens modsäende kaee. Tye 1 Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. cos(7) Nsie degne ense side Tye Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Hyoensen. cos( 7) Nsie lése mh. Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Vinklen mellem disse. cos( ) inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen Nsie lése mh. fo inklens hosliggende kaee sids inkel hyoensen 0 90 7 7 Tye Kend: Hyoensen og en sids inkel. Udegn: Vinklens modsäende kaee. sin (7) Nsie degne ense side inklens sids inkel hyoensen Tye Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Hyoensen. sin ( 7) Nsie lése mh. inklens sids inkel hyoensen Tye Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Kaeens modsäende inkel. sin ( ) modsäende kaee modsäende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel hyoensen 0 90 7 7 Tekansbeegning fo C-niea i sx 8 01 Kasen Jl
Tye 7 Kend: En sids inkel og dens hosliggende kaee. Udegn: Vinklens modsäende kaee. an(7) Nsie degne ense side Tye 8 Kend: En sids inkel og dens modsäende kaee. Udegn: Vinklens hosliggende kaee. an( 7) Nsie lése mh. Tye 9 Kend: De o kaee. Udegn: En sids inkel. an( ) inklens sids inkel inklens hosliggende kaee modsäende kaee inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee Nsie lése mh. fo inklens modsäende kaee sids inkel inklens hosliggende kaee 0 90 7 7 Tye 10 Kend: De o kaee. Udegn: Hyoensen. hyoense kaee Nsie lése mh. fo Tye 11 Kend: Hyoensen og en kaee. Udegn: Den anden kaee. Nsie lése mh. fo hyoense kaee 0 0 De fomle il degning af side og inkle i einkle ekan He af de 11 meode oenfo bge en af félgende fie fomle: I en einkle ekan gçlde (1) den_ene_kaee + den_anden_kaee = hyoensen Fo en sids inkel i en einkle ekan gçlde: () hyoensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_kaee () hyoensen sin( inkel ) = inklens_modsäende_kaee () inklens_hosliggende_kaee an( inkel ) = inklens_modsäende_kaee Tekansbeegning fo C-niea i sx 9 01 Kasen Jl
De ogaeye i låse ed hjél af cosinselaionen elle sinselaionen Tye 1: Udegn side med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En inkel mellem o side og disse o side. Udegn: Siden oe fo inklen. alid cos(1,) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, Tye 1: Udegn inkel med cosinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: De e side. Udegn: Vinklen. alid cos( ) inklensben siden oe fo inklen Nsie lése ligningen mh. fo 0 180 Tye 1: Udegn side med sinselaionen Tekanen e ikke einkle. Kend: En side og o inkle. Udegn: En af de ande side. sin( 1.) sin( 8.8 ) siden de e siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 enhede, ligge oe fo inklen de e 1, Nsie lése ligningen mh. fo 0 1, His de a siden oe fo den kende inkel i sklle finde, sä mäe i fés degne denne inkel ed a dnye a smmen af de e inkle e 180. 8,8 Tye 1: Udegn inkel med sinselaion Tekanen e ikke einkle. Kend: To side og inklen oe fo en af dem. Udegn: Vinklen oe fo den anden af de o side. sin( ) sin( 8,8 ) siden de e enhede, ligge oe fo inklen de e 8,8 siden de e enhede, ligge oe fo inklen af séelse Nsie lése ligningen mh. fo 0 180 8,8 Nsie gie bäde en lésning nde 90 og en lésning oe 90. Hsk a begnde hilken af lésningene de skal bges. I dee ilfçlde kan begndelsen Çe: "Vinklen e nde 90 da siden oe fo inklen ikke e den sése i ekanen." I nogle ogae e de olys om inklen e sm (ds. oe 90 ) elle sids (ds. nde 90 ). Tekansbeegning fo C-niea i sx 10 01 Kasen Jl