S1 Stkke i rum, geometri 1.1 Arel, fldemål...2 1.2 Digonl-vinklen...2 1.3 Digonl-længden, de 3 Pythgors er...2 1.4 Sinus-reltionerne...4 1.5 Indyrdes vinkelrette linier...4 1.6 Cirklens omkreds og rel...4 1.7 Dimensioner...5 1.8 Rumlige figurer...5 1.9 Overførsel f rumlige figurer til plnen...7 1.1 Geometri nedefr...7 S1 OPGAVER...8 C1 C2 A1 A2 T1 T2 S1 S2 PoMo KL GE Fr unke til undt - mngfoldighed, undtning & stkning Uforudsigelig vrition kn forudsiges f gennemsnitstl Smmenstkning f konkrete og strkte stkke Smmenlægning f per-tl Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning Stkke i tid, konstnt og forudsigelig vrition Stkke i rum, geometri Stkke i gitre, koordintgeometri Mængde-mtemtik eller mngfoldigheds-mtemtik Kvntittiv littertur, Alger: Opsmle & opdele Geometri: Jordmåling MATHeCADEMY: Mtemtik nedefr
En stk udgør en rumlig form, der kn udforskes, først konkret gennem flytning, siden strkt gennem eregning. 1.1 Arel, fldemål En * stk (et rektngel) kn omundtes til (*) 1ere, og hr derfor fldemålet eller relet T = * = højde*grundlinie I en stk er drejet ¼ omgng (9 grder) i forhold til. Ved t flytte en treknt kn en skæv stk (et prllelogrm) ændres til en norml stk med relet T = højde*grundlinie. En treknt udgør hlvdelen f en skæv stk, og hr derfor relet T = ½ * højde*grundlinie. Læs videre i kpitel GE5 og GE11. 1.2 Digonl-vinklen u v Tegn digonlen i en * stk. Omundt (optæl) i er: = /* = tna* Omundt (optæl) i er: = /* = sina* Omundt (optæl) i er: = /* = osa* Bestem den ene vinkel v, dels ved måling, dels ved tilgeregning med ligningerne tn v = / sin v = / os v = / (v = (tn-1)(/)) (v = (sin-1)(/)) (v = (os-1)(/)) Bestem den nden vinkel u, dels ved måling, dels f ligningen tn u = / sin u = / os u = / (u = (tn-1)(/)). (v = (sin-1)(/)) (v = (os-1)(/)) Bevis og eftervis og evis følgende regler: u+v = 9 tn v = (sin v)/(os v) (sin v)^2 + (os v)^2 = 1 Læs videre i kpitel GE3. 1.3 Digonl-længden, de 3 Pythgors er Mini-Pythgors: Tegn digonlen i en * stk. Drej stkken om digonlens endepunkter, så der dnnes en * stk. Bevis mini-pythgors: ^2 + ^2 = ^2 2
Midi-Pythgors: Tegn digonlen på 4 rk A4-ppir (en * stk). Anring de 4 rk som vist, så der dnnes en (+)*(+) stk smt en * stk. M Der findes mnge eviser for Pythgors læresætning: ^2 + ^2 = ^2 Flytteevis: Flyt først det der ligger uden for * stkken, dvs. 4*½ rk = 2 rk. Flyt i stedet de to øverste rk. Tilge er d ^2+^2 Dvs. ^2 + ^2 = ^2 Regneevis1: ^2 = M + 4*½** = (-)^2 + 2** = ^2 + ^2-2** + 2** = ^2 + ^2 p q Vrideevis: Kvdrtet ^2 vrides to gnge så højden og relet evres. Først drejes de to vndrette sider, dernæst de to lodrette, så ^2 liver, først til ^2, dernæst til p* Kvdrtet ^2 vrides to gnge så højden og relet evres. Først drejes de to lodrette sider, dernæst de to vndrette, så ^2 liver, først til ^2, dernæst til q* Dvs. ^2 + ^2 = p* + q* = (p + q)* = * = ^2 B p q C A Regneevis2: Højden fr C deler den retvinklede treknt i to retvinklede treknter. A og B s osinustl kn nu eregnes åde i den store og den lille treknt: Cos A = / = q/, dvs. ^2=*q og Cos B = / = p/, dvs. ^2=*p Dvs. ^2 + ^2 = *p+*q = *(p+q) = * = ^2 * C * ** *** B ** *** A Mxi-Pythgors: Også ved ikke-retvinklede treknter kn vi tegne de ydre kvdrter. Disse opdeles f højderne i to stykker hver, som er prvis lige store. Dette kn udtrykkes i osinus-reltionerne: ^2 = ^2 + ^2 2***osC ^2 = ^2 + ^2 2***osB ^2 = ^2 + ^2 2***osA Læs mere i kpitel GE8 og GE9. 3
1.4 Sinus-reltionerne C Sinus-reltionerne fremkommer f højderne: A h B h: *sinb = *sina, dvs. /sina = /sinb h: *sinc = *sina, dvs. /sina = /sinc h: *sinc = *sinb, dvs. /sinb = /sinc 1.5 Indyrde s vinkelrette linier Indyrdes vinkelrette (ortogonle) digonler D de fire digonler hr hældningstllene(stigningstllene) hhv. / og /, gælder: To linier står vinkelret på hinnden hvis deres hældningstl er indyrdes reiprokke og hr modst fortegn: Linie l linie m : hældning for l * hældning for m = -1 1.6 Cirklens omkreds og rel En regulær firknt (et kvdrt) indpkkes i en irkel med rdius 1. Vis t længden f siden (korden) er k4 = 2* sin(18/4). Vis t firkntens omkreds er K4 = 4 * 2 sin(18/4). Vis t firkntens rel er A4 = 4 * sin(18/4) * os(18/4). Firknten forvndles til en regulær otteknt ved t sidernes midtpunkter trækkes ud på irklen. Vis t længden f siden (korden) er k8 = 2* sin(18/8). Vis t ottekntens omkreds er K8 = 8 * 2 * sin(18/8). Vis t ottekntens rel er A8 = 8 * sin (18/4) * os(18/4). Ved t forsætte får vi følgende tilnærmelsesligninger Cirklens omkreds Kn = n * 2 * sin(18/n). Cirklens rel An = n * sin (18/n) * os(18/n). For n = 1 fås: Cirklens omkreds 1 * 2 * sin(18/1) = 6,28317 Cirklens rel 1*sin (18/1)*os(18/1) = 3,14157 Vi ser her t forholdet mellem irklens omkreds og dimeter kn udtrykkes ved tllet pi = 3,141592654, smt t pi kn eregnes som en grænseværdi (en række stdig mere nøjgtige irkværdier) n*sin(18/n) -> for n ->, eller lim (n*sin(18/n)) = hvor lim etyder grænseværdi. n-> 4
1.7 Dimensioner Det fysiske rum hr 3 dimensioner: Ud, Op og Hen. Et liniestykke (en linie) hr 1 dimension, og dens punkter kn derfor eskrives ved et tl, ud-tllet x. En stk (en pln) hr 2 dimensioner, og dens punkter kn derfor eskrives ved to tl, ud-tllet x og op-tllet y. En ksse (et rum) hr 3 dimensioner, og dets punkter kn derfor eskrives ved 3 tl, ud-tllet x, op-tllet y og hen-tllet z. 1.8 Rumlige figurer Ksse. En 3*4 stk fremkommer ved t stkke 3 ens 4undter. Tllet 3*4 kldes også stkkens fldetl, dækningstl eller rel A = højde*grundlinie En 3*4*5 ksse fremkommer ved t stkke 3 ens 4*5stkke. Tllet 3*4*5 kldes kssens rumfng eller volumen V = højde*grundflde Forskydes undterne i en stk, fremkommer der et trppe-prllelogrm med smme rel. Forskydes stkkene i en ksse, fremkommer der et trppe-prllelepipidum med smme rumfng. Cylinder. Stkkes n irkelskiver med flderel A fås en ylinder med rumfng V = n*flde = højde*flde. (Et præis evis fås ved t integrere omdrejningslegemet fremrgt f kurven y = r, se senere). Prisme. Stkkes n p-knter med flderel A fås et prisme med rumfng V = n*flde = højde*flde. Fld pyrmide. Formindskes undterne i en stk fremkommer en fld pyrmide, en treknt: S1=1, S2=1+2=3, S3=1+2+3=6, S4=1+2+3+4=1, S5=1+2+3+4+5=15 Er der et mønster? Vi prøver selv, og kn måske se, t S5 = 15 = ½*3 = ½*(5^2+5). Eller vi eder EXCEL om en kurve og en tendenslinie: 1 n n Sn 1 1 1 2 2 3 3 3 6 4 4 1 5 5 15 6 6 21 7 7 28 8 8 36 9 9 45 Hypotese: Sn=½*(n^2+n) 5 4 3 y = Sn 2 1 doeltklik og rediger Test4: S4=½*(4^2+4)=1 OK, Test6: S6=½*(6^2+6)=21 OK, osv. Alment evis I: Sn = 1 + 2 + 3 +... +(n-2) + (n-1) + n Sn = n +(n-1) +(n-2) +... + 3 + 2 + 1 2*Sn = (n+1)+(n+1)+(n+1)+ +(n+1) +(n+1) +(n+1) = n*(n+1) = n^2 + n Sn = ½*(n^2+n) Alment evis II (induktionsevis): 1) vis det gælder i unden for n=1. 2) vis t det gælder for den næste, dvs. hvis det gælder for n gælder det også for n+1 (induktion) Bunden: S1 = ½*(1^2+1) = ½*2 = 1 OK 1 3 Næste: Givet t Sn = ½*(n^2+n). Bevis t S(n+1) = ½*((n+1)^2+(n+1)) 6 1 15 21 y =,5x 2 +,5x - 1E-13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x = n 28 36 45 5
Bevisksse: S(n+1) =? ½*((n+1)^2+(n+1)) Sn+ (n+1) ½*(n^2+n) + n + 1 ½*n^2 + ½*n + n + 1 ½*n^2 + 3/2 *n + 1 =? =? =! ½*(n^2 + 2*n + 1 + n + 1) ½*(n^2 + 3*n + 2) ½*n^2 + 3/2 *n + 1 Induktionen medfører d, t HVIS formlen er rigtig for n SÅ er den også rigtig for n+1 Bunden medfører d, t DA formlen er rigtig for n=1 SÅ er den også rigtig for 1+1=2. Og DA formlen er rigtig for n=2 SÅ er den også rigtig for 2+1=3. Og DA formlen er rigtig for n=3 SÅ er den også rigtig for 3+1=4. Osv. Dvs. formlen er rigtig for lle n. Thi ntg t den ikke gælder for n = k. Modstrid, fordi k induktioner vil vise t den gælder for n = k. (indirekte evis: Vis t en ntgelse fører til modstrid). Alment evis III, geometrisk evis + sustitutionsevis: Af tegningen ses, t Arel f 4*4 trppe = rel f hlv 4*4stk + n * relet f en hlv 1*1stk = ½*4^2 + ½*4*1 Sustitueres 7 for 4 fås: Arel f 7*7 trppe = ½*7^2 + ½*7*1 Sustitueres n for 4 fås: Arel f n* trppe = ½*n^2 + ½*n*1 = ½*(n^2 + n) Hvis n er stor (1^6) hr kun n^2 leddet etydning: A = ½*1^6^2 + ½*1^6 ½*1^12. En trppe med mnge trin er næsten en treknt: A ½*n^2 = ½*n*n = ½*højde*grundlinie. Areler kn også eregnes som integrler, som netop er reler under kurver, her kurven y = x: n A = x dx = [½ x^2] n = ½*n^2 Rumlig pyrmide. Formindskes stkkene i en ksse fremkommer en rumlig pyrmide S1=1, S2=1+2^2=5, S3=1+2^2+3^2=14, S4=1+2^2+3^2+4^2=3, S5=1+2^2+3^2+4^2+5^2=55 Er der et mønster? Vi prøver selv, og kn måske se, t S5 = 55 = 1/3*5^3 + ½*5^2 + 1/6*5 Eller vi eder EXCEL om en kurve og en tendenslinie: 2 n n Sn 1 1 1 2 4 5 3 9 14 4 16 3 5 25 55 6 36 91 7 49 14 8 64 24 9 81 285 3 25 2 y = Sn 15 1 5 1 5 14 3 doeltklik og rediger y =,3333x 3 +,5x 2 +,1667x + 9E-12 55 91 14 24 285 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 x = n 6
Hypotese: Sn= 1/3*n^3 + ½*n^2 + 1/6*n Test4: <udfør selv, Test6: <udfør selv>, osv. Alment evis II (induktionsevis): 1) vis det gælder i unden for n=1. 2) vis t det gælder for den næste, dvs. hvis det gælder for n gælder det også for n+1 (induktion) Bunden: S1 = 1/3*1^3 + ½*1^2 + 1/6*1 = 1/3 + ½ + 1/6 = 1 Næste: Givet t Sn = 1/3*n^3 + ½*n^2 + 1/6*n. Bevis t S(n+1) = 1/3*(n+1)^3 + ½*(n+1)^2 + 1/6*(n+1) Bevisksse: <udfør selv> S(n+1) =? 1/3*(n+1)^3 + ½*(n+1)^2 + 1/6*(n+1) Hvis n er stor (1^6) hr kun n^3 leddet etydning: V = 1/3*1^6^3 + ½*1^6^2+1/6*1^6 1/3*1^18. En rumlig trppe med mnge trin er næsten en pyrmide: V 1/3*n^3 = 1/3*n*n^2 = 1/3*højde*grundflde. Rumlig kegle. En kegle fremkommer ved t stkke irkelskiver med ftgende rdius. K1=π*1=π*S1, K2= π*1+ π*2^2= π*k2, osv. Dvs. Kn = π*sn Et volumen kn eregnes som et integrle f en omdrejningskurve, her kurven y = x: n V = π* x^2 dx = π*[1/3*x^3] n = π*1/3*n^3 = 1/3* n * π*n^2 = 1/3* højde * grundflde Rumlig kugle. En kugle fremkommer ved omdrejning f en hlv irkelue: Cirklen med rdius r hr ligningen x^2 + y2 = r^2, eller y2 = r^2 - x^2 r r V = 2*π* y^2 dx = 2*π* (r^2-x^2) dx = 2*π*[(r^2*x-1/3*x^3)] r = 2*π*[(r^2*r-1/3*r^3) ] = 2*π*(r^3-1/3*r^3) = 2*π*2/3*r^3 = π*4/3*r^3 = 2*(2*(1/3*r* (π*r^2))) = 2*(2*(1/3*r* grundflde)) = 2*(2*(kegle)) = 2*doelt-kegle 1.9 Overførsel f rumlige figurer til plnen Anring en terning, så den hviler på 4-siden. Terningen kn ses på tre forskellige måder: fr 1-siden (frontsyn), fr 2-siden (sidesyn) eller fr 3-siden (topsyn). Betrgtes terningen nedefr til venstre kn vi se 1-, 4- og 5-siden smtidig (isometrisk skævsyn). Betrgt en ksse fr frontsyn. Tegnes en identisk ksse og rykkes denne en smule nedd til venstre, ses kssen nu i skævsyn. Vi hr d tegnet en rumlig figur i plnen ved t evre fstndene (iso-metri, smmemål). I virkeligheden ør målet ftge d kssens gside er længere væk. Tges hensyn til dette fås en perspektivtegning. I en perspektivtegning vil prllel linier i smme fstnd til øjet forlive prllelle, hvorimod prllelle liner i voksende fstnd fr øjet vil synes t nærme sig hinnden i et forsvindingspunkt ud for øjet. Læs videre om rumlige figurer i kpitlerne GE12, GE13, GE14, GE16, GE17, GE18, GE19, og GE22. 1.1 Geometri nedefr Gå vider til ilget GE geometri nedefr. 7
S1 OPGAVER Spørgsmål S11: 1) Hvordn kn vi eskrive stkkes rumlige egensker som rel og digonl? Hvordn kn vi eskrive figurers rumlige egensker? Svr: Ved den Græske geometris 3 Pythgors er, mini, midi og mxi. Svr: Ved den riske geometris 3 vinkel-side reltioner sina=/, osa=/ og tna=/. Ved rumfngsformler, smt ved forskellige typer 2-dimensionl fildning f 3-dimensionle figurer. S11.1 Fglige opgver 1. Bevis mini-, midi- og mxi-pythgors. Vis t Pythgors kn erstttes f l.. = *sin(os-1(/)) eller = *tn(os-1(/)). Find tilsvrende formler for =? og =?. 2. Bevis regel 4 og 5 i GE.5, smt regel 2 i GE.9. 3. Lv en rod-spirl ved t løse øvelse 13 i GE.21. Tip: Lv hele tiden en ny retvinklet treknt ved t gøre hypotenusen til ktete og tilføj en ny ktete med længden 1. 4. Vis formlerne for overflde og rumfng for en ylinder 5. Vis formlerne for overflde og rumfng for en kegle 6. Vis formlerne for overflde og rumfng for en keglestu 7. Lv selv tegningen f huset i GE.18 set fr forskellige synsvinkler og suppler med et skævsyn. 8. Find formlen for opsummerede kuiktl Sn = 1 + 2^3 + 3^3 + + n^3 9. Færdiggør den indlgte Exel-fil Geometri med rutineopgver. 1. (Frivillig). Geometri på en kugleoverflde (se kpitel GE14). Tegn en retvinklet treknt med den rette vinkel i Nordpolen og kteter. På en kugleoverflde hedder Pythgors (^2+^2 = k*^2). Vis t ved højderne 9, 6, 3,, -3, -6 hr k værdierne 1, 8/9, 32/27, 2, 128/27, 2/9. Tegn en irkel med entrum i Nordpolen. På en kugleoverflde gælder omkreds/dimeter = n. Vis t ved højderne 9, 6, 3,, -3, -6 hr n værdierne 3.14, 3, 2.6, 2, 1.3,.6. Hvd ved 9? S11.2 Rutineopgver 1. Gennemregn keglen og keglestuen på kryds og tværs så lle de indgående størrelser kn eregnes. 2. Gentg opgven mht. pyrmidestuen S11.3 Didktisk opgve Projekt Afskåret terning. Byg en hel 5*5*5 terning: Indtegn den på kvdreret ppir som et kors estående f 5 smmenstødende 5*5 kvdrter (husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Byg en overskåret 5*5*5 terning: Indtegn den som et kors estående f 4 smmenstødende 5*5 kvdrter + 1 5*7 (egentlig 5 2=7.7) rektngel. To f kvdrterne skl udklippes som hlve kvdrter (husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en overskåret terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Byg en smmensnørret 5*5*5 terning: Indtegn den som et kors estående f 3 smmenstødende 5*5 kvdrter + 2 5*7 (egentlig 5 2=7.7) rektngler (som er noer). Alle figurer på nær den midterste skl udklippes som hlve kvdrter(husk flpper til smmenlimning). Hvd er overflde og rumfng f en smmensnørret terning? Efterprøv evt. rumfnget ved t hælde snd i. Afprøv opgven på dig selv og på en nden. Rpporter dine oservtioner f hvd forsøgspersonen gør og tænker/siger (hndling og refleksion). Vær især opmærksom på eksempler på genkendelse og ny erkendelse (ssimilering og kkommodering). Projekt Hypotetisk deduktiv metode. Også i geometrien møder vi mtemtikfgets kerne, t kunne estemme mngfoldighed åde ved tælling og ved eregning. 8
Tegn 3 forskellige * stkke. Digonlens længde og vinkel estemmes ved gudsigelse : Først tælling (måling), så eregning. Brug regneskemet fr fgilg 7.7 til eregningerne. Tegn 3 ndre * stkke. Digonlens længde og vinkel estemmes ved forudsigelse : Først eregning, så tælling (måling). Brug regneskemet fr fgilg 7.7 til eregningerne. I B møder du den såkldte hypotetisk-deduktive metode, som er grundlget for l nturvidensk, og dermed for det moderne smfund, som vrede. 3 år, fr oplysningstiden år 17 til det postmoderne smfund år 2. I korthed går den hypotetisk-deduktive metode ud på, t vi med en hypotese kn forudsige (deduere) hvd der vil ske under estemte omstændigheder: Hvis jeg tegner en 3*4 stk, så kn jeg ud fr hypotesen ^2+^2=^2 forudsige, t digonlens længde nødvendigvis vil live 5. Og ligeledes kn jeg ud fr hypotesen tna = / forudsige, t digonlens vinkel med vndret nødvendigvis vil live 36.9. Den hypotetisk-deduktive metode viser således, t visse fysiske ting er styret f over-fysiske (metfysiske) love, som er hævet over demokrtiet. Der er indtil dto kun påvist tre typer metfysiske nedslg i den fysiske verden. Pythgors viste t toner og geometriske figurer dlyder metfysiske tl-love. Newton påviste t fysisk evægelse dlyder metfysiske tl-love. Pythgors forførte Plton til t påstå, t lt fysisk er styret f metfysiske love, som kun kendes f filosofferne (græsk for de edrevidende). Kristendommen overtog pltonismen ved t hævde, t kun den metfysiske Gud kender disse metfysiske love. Newton forførte det moderne universitet til t genoplive Plton, men klde filosofferne for forskere. Det postmoderne genopliver før-pltonisterne, sofisterne (græsk for de vidende), og deres påstnd om t det er vigtigt t skelne mellem vidensk og demokrti, mellem ntur og vedtægt, mellem informtion og det, mellem udråstegn og spørgsmålstegn. Kort sgt skelne mellem tl og ord: En sætnings grundled kn verifiere tl, men ikke ord (lyntsdilemmet: Anrgt mellem en linel og en ordog kn en lynt vise sin længde men ikke sin etegnelse). Ifølge de postmoderne sofister eller soilkonstruktivister gælder: Tl kommer f fysisk nødvendighed og fspejler nturlig korrekthed. Ord kommer f kulturel fortolkning og fspejler politisk korrekthed. Inden for tekstfortolkning kldes postmodernisme for poststrukturlisme eller dekonstruktivisme. Skriv et rev til din kusine, hvori du på. en A4 side fortæller hvordn du i B oplevede dit møde med den hypotetisk-deduktive metode. 9