Sfærisk Geometri Ole Witt-Hnsen nov. 6
Indhold. Geometri på en kugle.... Sfæriske toknter og treknter...3. Polrtreknter...4 3. Den retvinklede sfæriske treknt...5 4. Beregning f sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt...8 5. Den generelle sfæriske treknt... 5. Cous reltionen for den sfæriske treknt... 5. Sinus reltionerne for den sfæriske treknt... 6. Arelet (overflden) f en sfærisk treknt... 7. Eksempler og opgver i den lmindelige sfæriske treknt...3 7.5 Den homogene ligning f første grd i osx og x...6 8. Plngeometrien som grænsetilfælde for den sfæriske geometri...7 9. Opgver...9
Sfærisk geometri Forord Jeg gik i det mtemtiske gymnsium fr 96-964. Her lærte vi foruden den lmindelige geometri også sfærisk geometri. Den sfæriske geometri forsvndt imidlertid ud f pensum for mtemtikerne med reformen fr 958, som blev implementeret i gymnsiet ved skolestrt i 96. Jeg læste efter Professor JUL. Petersens system, som bestod f 7 bøger. Bøgerne vr hverken i fremstillingen eller typogrfien særlige læsevenlige. De gnge jeg før 5, hr forsøgt mig med t give en f bøgerne til elevernes store opgve, hr de rystet på hovedet. Selv om sfærisk geometri hr været ude f pensum i mere end 5 år, så hr det lige siden 988 været et tilbgevendende emne for de større opgver, også - men i lngt mindre grd - efter 5. En f grundene er, t den sfæriske geometri simpelthen er for svær. Hvilket hænger smmen med, t det kn være overordentligt vnskeligt t flæse egenskber for geometriske figurer på en kugle, som er tegnet perspektivisk i to dimensioner. I nogle f de bøger, der blev skrevet op til reformen i 963, vr der stdigt et kpitel om sfærisk geometri, men denne gng vr ousreltionen udledt ved vektorregning i rummet, på smme måde som ousreltionen for en pln treknt elegnt kn udledes ved vektorregning. Første gng jeg stillede en (ret mbitiøs) opgve i sfærisk geometri, forsøgte jeg med den lærebog, jeg selv hvde hft i gymnsiet, men den blev erklæret for ulæselig f eleven. Siden hr jeg nvendt en bog fr det glimrende lærebogssystem, som dog ldrig slog igennem, f A.F. Andersen og Poul Mogensen. Ved nvendelse f de sider i den bog, hr lle de elever der hr fået stillet en opgve i sfærisk geometri få topkrkterer. Skulle findes ndre ordentlige fremstillinger f den sfæriske geometri, som kn nvendes på gymnsilt niveu, så er jeg i hvert fld ikke stødt på dem. Efter 5 er Andersen og Mogensen nok også blevet for svær i forhold til elevernes mtemtikkundskber. Derfor fldt det mig ind, t jeg skulle forsøge skrive nogle noter, der vr ordentlige dvs. med konsekvent udledning og bevisførelse for sætninger men dog mere tilgængelige for elever i gymnsiet nu om dge.. D jeg skulle vælge mellem den rent geometriske fremstilling og en fremstilling med nvendelse f vektorer, vlgte jeg lligevel den rent geometriske fremstilling, ligesom de trigonometriske formler vel stdig udledes uden brug f vektorer og regning med koordinter. Denne fremstilling f den sfæriske geometri læner sig derfor stærkt op f JUL. Petersens lærebog i Stereometri, som jeg selv hvde i gymnsiet, men den er berbejdet, så den trods lt skulle være mere læsevenlig overfor gymnsieelever, der tør binde n med den sfæriske geometri som SRP opgve.
Sfærisk geometri. Geometri på en kugle I plngeometrien ved vi t den korteste vej mellem to punkter er et ret liniestykke. På en vilkårlig to dimensionl flde, er sgen mere komplieret. Det område f geometrien, der beskæftiger sig med dette kldes differentilgeometri, men det er en gnske komplieret del f mtemtikken. Hvis flden er givet ved en prmeterfremstilling i rummet P( u, u) ( x( u, u), y( u, u), z( u, u)) udleder mn i differentilgeometrien en (overordentlig komplieret) differentilligning for den korteste vej mellem to punkter. En sådn kurve kldes for en geodæt. D geo betyder jord, henfører begrebet til den korteste vej mellem to punkter på jorden, eller mere generelt på en kugleflde. Siden hr differentilgeometrien udviklet sig til geometri på en vilkårlig flde, og generliseret til rum med flere end 3 dimensioner. I den generelle reltivitetsteori hr rumtiden 4 dimensioner ( t, x, y, z), hvor t er tiden og er lysets hstighed. I denne teori er rummet ikke Euklidsk, men krumt og geodæterne er ikke rette linier, men derimod de kurver som lyset følger på deres vej gennem rummet. Af rumlige flder er kuglen næst efter plnen den simpleste geometriske flde. Figur () Figur () Hvis mn skærer en kugleflde med en pln, får mn en irkel, som vist på figuren til venstre. Hvis plnen går gennem entrum f kugleflden, får mn en såkldt storirkel, som vist på figuren til højre. Hvis plnen ikke går gennem entrum f kugleflden kldes skæringskurven for en lilleirkel. I differentilgeometrien kn mn vise, (men det er gnske komplieret) t en storirkelbue ltid er den korteste vej mellem to punkter på kuglen. Således er storirkelbuen på figuren til højre den korteste vej mellem punkterne A og B smt B og C. I plngeometrien beskæftiger mn sig figurer begrænset f rette linier, og i den sfæriske geometri beskæftiger mn sig f smme grund med figurer begrænset f storirkler. Storirklerne er således de rette linier i den sfæriske geometri. En storirkel er entydigt bestemt f to punkter på kugleflden, der ikke ligger dimetrlt modst. To storirkler skærer hinnden i to dimetrlt modstte punkter, svrende til skæringslinien (dimeteren) mellem de to plner, hvis skæringslinier med kugleflden er storirklerne.
Sfærisk geometri 3 Ved vinklen mellem to storirkler forstår mn vinklen mellem deres skæringsplner. Se figur (.). Af figuren til højre fremgår, t buen A B = 8 - AB. Den dimeter (ksen), der står vinkelret på den pln, der hører til storirklen, skærer kugleflden i to dimetrlt modstte punkter P og P, som kldes for polerne til storirklen. Når den ene f to storirkler går gennem polerne for den nden, står de to storirkler vinkelret på hinnden, som vist på figuren nedenfor. Figur (3) Figur (4). Sfæriske toknter og treknter En sfærisk treknt er en del f kugleflde, begrænset f tre forskellige storirkelbuer, som kldes trekntens sider. Siderne måles ligesom vinklerne i grder eller rdin. Længden f en side fås ved t gnge rdintllet α for siden med kuglefldens rdius R, så = αr. Bogstverne, b, nvendes dog oftest for rdintllet (eller grdtllet) for siden. Skæringspunkterne mellem storirklerne er vinkelspidserne i den sfæriske treknt. Vinklerne der ligger overfor siderne, b, betegnes ligesom i plngeometrien med A,B,C. Tegner mn hlvlinier fr kuglefldens entrum og ud til vinkelspidserne, fremkommer der et tresidet hjørne. Sider og vinkler i den sfæriske treknt er prvis lig med sider og vinkler i det tresidede hjørne. Begreberne ligebenet og ligesidet treknt er de smme, som i plngeometrien. En højde i treknten er en storirkelbue fr en vinkelspids, som står vinkelret på den modstående side. Vinkelhlveringslinie og midtnorml hr smme betydning, som i plngeometrien.
Sfærisk geometri 4 Figur (5) En retvinklet sfærisk treknt er en sfærisk treknt, som hr en ret vinkel. Kteter og hypotenuse hr smme betydning, som i plngeometrien, hvis treknten kun hr én ret vinkel. Figuren ABA C på figur (5) kldes en sfærisk toknt. I en sfærisk treknt er summen f vinklerne ltid større end 8. På figuren til venstre er vist en to-retvinklet treknt, hvis A også er 9, får mn en tre-retvinklet treknt med vinkelsum 7. D en vinkel i en sfærisk treknt ikke kn blive større end 8, er vinkelsummen i en sfærisk treknt større end 8 og mindre end 3 8 = 54.. Polrtreknter Ved polrtreknten til en sfærisk treknt forstår mn den treknt, hvis vinkelspidser er poler for siderne i den givne treknt. For eksempel er A polen for den storirkel, som indeholder siden. Figur (6) Figur(7) På figuren til venstre er konstrueret polen A til siden. På figuren til højre er hele polrtreknten A B C konstrueret, men som det fremgår, er det vnskeligt t overskue en rumlig tegning. F.eks. ligger både B og C på bgsiden f kuglen, mens A ligger i ppirets pln. Der gælder den simple, men ret uigennemskuelige sætning: Polrtreknten til en given treknts polrtreknt er den oprindelige treknt. Ld den givne treknt være ABC og polrtreknten A B C. Vi søger d polerne for B C. D B C går gennem en pol for hver f storirklerne AB og AC og der ifølge sætningen på side 3 gælder: Når den ene f to storirkler går gennem polerne for den nden, står de to storirkler vinkelret på hinnden, som vist på figuren ovenfor, Kn vi derfor slutte t AB og AC går gennem polerne for B C. Hermed er et f skæringspunkterne A. D endvidere AA < 9 ligger A på smme side f B C som A, så er A den pol, der skl
Sfærisk geometri 5 benyttes ved konstruktionen f polrtreknten til A B C. Et nlogt ræsonnement kn nvendes for konstruktion f polerne C og B til A B og A C. Endvidere gælder der den lidt overrskende sætning: Sider og vinkler i polrtreknten til en sfærisk treknt er supplementvinkler (vinkelsum lig med 8 ) til henholdsvis vinkler og sider i den oprindelige sfæriske treknt. D B og C ligger på normlerne til flderne svrende til siderne AC og AB og d vinklen mellem normlerne til to flder, der skærer hinnden med vinklen v, er lig med 8 v, og d A er vinklen mellem flderne svrende til siderne AC og AB, er B C = 8 A. Tilsvrende for de to øvrige vinkler. Idet vi nvender sætningen ovenfor, t polrtreknten til en polrtreknt er den oprindelige treknt finder mn: AB= = 8 C, eller C = 8 og tilsvrende for de to øvrige sider, hvormed t sætningen er bevist. Ved hjælp f sætningen om sider og vinkler i polrtreknten til en treknt, kn vi nu bevise, t summen f vinklerne i en sfærisk treknt er større end 8 og mindre end 54. Vi tænker os t konstruere polrtreknten til en sfærisk treknt ABC. Ifølge sætningen ovenfor er siderne i polrtreknten 8 A, 8 B, 8 C. D summen f siderne er mindre end 36, må der gælde: (.) 8 A+ 8 B+ 8 C < 36 A + B + C > 8 Endvidere er summen f siderne i polrtreknten større end : (.) 8 A+ 8 B+ 8 C > A + B + C < 54 Forskellen mellem vinkelsummen i en sfærisk treknt og 8 kldes den sfæriske exes. 3. Den retvinklede sfæriske treknt Figur(8) Ld treknten være ABC, hvor C = 9. O er entrum for kugleflden, og rdius i kuglen er, så liniestykkerne OA, OB og OC lle hr længden. D er projektionen f B på OC og E er projektionen f B på OA. Vi ntger først t kteterne og b er spidse, så D ligger mellem O og C, og E ligger mellem O og A. DE er vinkelret på OA, d ED er projektionen f BE på plnet OAC. D BE og ED begge er vinkelrette på OA er BED en vinkel mellem plnerne AOB og AOC, og hermed BED = A. Smtidig er hypotenusen = BOE. Vi skl i det følgende nvende formlerne for den plne retvinklede treknt, som derfor er repeteret nedenfor.
Sfærisk geometri 6 (3.) A os A b tn A b Sinus til en vinkel er lig med modstående ktete divideret med hypotenusen. Cous til en vinkel er lig med den hosliggende ktete divideret med hypotenusen. Tngens til en vinkel er lig med den modstående ktete divideret med hosliggende. For den sfæriske treknt på figuren, ses d t: OD OB os os og OE OD osb os osb Af den retvinklede treknt OEB fås endvidere: OE OB os os, ltså (3.) os os osb Af den retvinklede treknt OEB fås: OE OB os og f ΔBED fås: BD A men BD = og BE =, så BE (3.3) og nlogt med dette: (3.4) A ED b B, så BE b B Endvidere finder mn f BDE, t DE os A og d DE OD b os b, fås BE (3.5) os b os A og tilsvrende osb os B Vi hr udledt formlerne under den ntgelse, t begge vinklerne A og B er spidse. Hvis C= 9, og en ktete f.eks. = 9, er også A = 9, hvilket også fremgår f formlerne:
Sfærisk geometri 7 Figur (9) Figur () En sfærisk treknt kn tænkes fremkommet ved t en toknt, der forbinder polerne C og C, og hvor vinklerne C = C skæres med en storirkel, hvor skæringspunkterne er A og B. Sorirklen deler toknten i to sfæriske treknter, som kldes nbotreknter, og hvor C AB 8 CAB C BA 8 CBA. En sfærisk treknt hr tre nbotreknter, en for hver f siderne, b,. Hvis begge kteter i ABC er stumpe (større end 9 ), som det ses på figuren til venstre, betrgter vi nbotreknten ABC. I nbotreknten A B C, hvor punkterne A = A og B = B, er C = C og =, mens de øvrige vinkler og sider i A B C komplementer til vinkler og sider i ABC. A = 8 B, B = 8 B, C = C = C, = 8, b = 8 b, =. Så hvis begge kteter i ABC er stumpe, så er begge kteter i treknt A B C spidse, så derfor gælder formlerne (3.) til (3.5) (8 ) A (8 A) A (8 ) Idet (8 v) = v, ses det, t vi får de smme formler som vi hvde for treknt ABC os b os(8 )(8 b) os A os(8 A) os A (8 ) os b Endvidere er os os os(8 )os(8 b) os osb Men idet os(8 v) = - os v, ses t vi får de smme formler som for den spidsvinklede treknt. Hvis > 9 og b < 9, betrgter vi nbotreknten til siden b, (figuren til højre) A B C, som hr en vinkel på 9 og en spids vinkel, og der vil, ifølge det foregående, for denne treknt gælde.
Sfærisk geometri 8 os os(8 ) os(8 )osb os os osb (8 ) A (8 A) A (8 ) os b os(8 ) b os A os(8 A) os A (8 ) os b Formlerne for den retvinklede sfæriske treknt er derfor lmengyldige 4. Beregning f sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt Af formlerne (3.) til (3.5) kn yderlige udledes nogle formler, som kn nvendes til beregning f ukendte sider og vinkler i den retvinklede sfæriske treknt, når to sider er kendte. Af os os osb os og osb os b b tn b os A osb tn (4.) Ved t dividere (4.) og den nloge formel tn b os A tn A med tn tn A b tn b tn B os b os A, får mn, tn A os b tn b Ved multipliktion f disse to ligninger fås: tn tn b b tn Atn B b os b osb os osb os (4.3) tn Atn B os tn A tn B Nedenfor er smlet lle formlerne hørende til den retvinklede sfæriske treknt:
Sfærisk geometri 9 (4.4) os os osb (4.5) (4.6) (4.7) A og os b os A og tn b os A tn og b B osb os B tn os B tn (4.8) tn Atn B os tn A tn B 4.9 Eksempel: = 35, b = 6. os = os os b = os 35 os 6 =,495 => = 66,8 35 A,687 65,8 b 6 B,9493 65,8 A 38,96 B 7,68 4. Eksempel: = 4,5, =,56 os osb osb,4 os A,637 A 4,9 b B,9875 B 8,93 4. Eksempel: = 36,7, A = 5,83 b 3,89 A,77,64 A os osb osb,786 os 5 b 38,93,8 b B,796 B 5,77 4. Eksempel: A = 43,8, B = 8,59
Sfærisk geometri,76 tn A tn B A,676 b B,97 79 4 76,45,,86 5. Den generelle sfæriske treknt Figur() Figur() 5. Cous reltionen for den sfæriske treknt Vi skl herefter betrgte den generelle sfæriske treknt, som vist på figur (). Vi nedfælder højden fr en f vinkelspidserne f.eks. fr B. Højdens fodpunkt på b er D. Vi ntger i første omgng, t D ligger mellem A og C. Vi nvender herefter sætning (4.4) på ΔABD og ΔBDC. os x os h og os os hos( b x) Vi nvender derefter dditionsformlen: os( u v)osu os v u v på den sidste ligning. os os h os( b x) os hosbos x os h b x som ved hjælp f os x os h kn skrives: os osbos os h b x os b os h x Anvendes nu (4.6) os A på ΔABD fås os A os h x os A får mn ousreltionen for en sfærisk treknt: (5.) os osbos b os A
Sfærisk geometri (5.) hr (ligesom ousreltionen for den plne treknt) to nloge udtryk, som findes ved bogstvombytning. (5.) osb os os os B (5.3) os os osb bosc Cousreltioner kn nvendes til t beregne vinklerne i en sfærisk treknt, når siderne er kendte. Hvis højden fr B flder udenfor AC, som vist på figur (), følger nogle næsten identiske regninger: Af ΔABD fås som før f (4.4) : os hos x, og f ΔBDC fås: os os h os( x b) os h(os x osb x b) os hos x osb os h x b Heri indsættes udtrykket for os, så os osbos os h x b os b Ligesom før nvender vi (4.6) os A på ΔABD: os( 8 A) os h x, som indst i udtrykket overfor uforndret giver ousreltionen: os osbos b os A I modsætning til en treknt i plnen er siderne i en sfærisk treknt fuldstændig fstlgt, når de tre vinkler er kendte. At løse de tre ousreltioner med hensyn til de tre vinkler A,B,C er imidlertid er en ret krævende lgebrisk udfordring, men her minder vi om sætningen: I polrtreknten, som er dnnet f polerne til de tre storirkler, som indeholder de tre sider,b,, er vinklerne i polrtreknten A, B, C lig med supplementvinklerne (8 v) til siderne, b, i den oprindelige treknt og siderne i polrtreknten,b, er supplementvinkler til vinklerne A, B, C i den oprindelige treknt. Så hvis kun vinklerne er kendte i en sfærisk treknt, opskriver mn i stedet ousreltionerne for polrtreknten. (5.4) os osb b os A Som herefter giver os( 8 A ) os(8 B) os(8 C) (8 B)(8 C)os(8 ) os A ( os B)( os C) B C( os ) os A os B osc BC os
Sfærisk geometri Hvorf direkte kn bestemmes. Formlerne for b og opnås ved bogstvombytning. 5. Sinus reltionerne for den sfæriske treknt Anvender mn formlen (4.5): A for den retvinklede sfæriske treknt på ΔABD og ΔBDC på figur (), så gælder der, hvd enten højden fr C flder indenfor eller udenfor AC : h A og h C h A nd h C Hvorf følger A C Som giver usreltionerne for den sfæriske treknt. (5.5) A B b C Det midterste led er fremkommet ved bogstvombytning.. 6. Arelet (overflden) f en sfærisk treknt Overflden f en kugle med rdius R er: T = 4πR. På figuren er vist en sfærisk treknt ABC. Vi hr også indtegnet nbotreknten til siden : A BC, til siden b: AB C, og til siden : ABC. Punkterne: A og A, B og B og C og C ligger dimetrlt modst og en treknt og dens nbotreknt dnner tilsmmen en toknt med en vinkel, som er lig topvinklen. F.eks. dnner ABC og A BC tilsmmen en toknt med vinklen A. Arelet f en toknt med vinklen er /36 f kuglens rel, så relet f en toknt med vinklen v er v (6.) T v T 36 Herf følger, idet vi skriver T(ABC) for relet f ΔABC. A T ( ABC) T ( A BC) T 36 B T ( ABC) T ( ABC ) T 36 C (6.) T( ABC) T( ABC) T 36 A B C 36 (6.3) T ( ABC) T ( ABC) T ( A BC) T( AB C) T ( ABC ) T
Sfærisk geometri 3 Treknt C AB er symmetrisk med treknt CA B med hensyn til kuglens entrum, så de to treknter hr smme rel. Mn kn herf, (hvis mn betrgter figur (3)), slutte t de fire treknter i prentesen ovenfor i (6.3) dnner en hlvkugle, og leddene i prentesen i (6.3) hr derfor relet ½T. Vi får derfor ved ddition f de tre udtryk: (6.4) A B C 8 A B C T ( ABC) T T T ( ABC) T T 36 36 36 A B C 8 T ( ABC) T 36 E E T( ABC) T T ( ABC) R 7 8 Dette er relet f en sfærisk treknt, hvor kldes den sfæriske exes. E A B C 8 4R er overflden f kuglen, og Det bemærkelsesværdige er, t relet f en sfærisk treknt ikke fhænger f størrelsen f vinkler og sider, men kun f den sfæriske exes. 7. Eksempler og opgver i den lmindelige sfæriske treknt Eksempel 7. Givet de tre sider: = 8, b =, = 65. (Lv en prøvetreknt, som godt må være pln) De tre vinkler A, B, C, kn beregnes ud fr ousreltionen: os osb b os A os osb os A b os osb os A b os8 os os 65,736 65 A,93 Og de to nloge formler, der findes ved bogstvombytning osb os os B 4654 B 7,74 osb osc,54 b C 57,5
Sfærisk geometri 4 Eksempel 7. Givet de tre vinkler: A = 8, B =, C = 65. Mn kn godt forsøge, t få isoleret en side ved hjælp f ous- og usreltionerne, men det vil ikke føre til noget. I stedet bør mn betrgte polrtreknten, hvor og så bestemme =8 - A, b = 8 B, =8 - C, A = 8 -, B =8 - b, C = 8 -. Med de vlgte vinkler vil opgven for polrtreknten være den smme som i eksempel (7.), og siderne vil derfor være: Eksempel 7.3 8.93 58,7, 8 7.74 6, 6, 8 57.5, 49. For t det ikke skl ligne det rene hokuspokus, vil vi gennemføre beregningen vi med tre ndre værdier for vinklerne: A = 57, B = 75, C =. Vi opskriver d ousreltionen for polrtreknten, hvor = 8 - A, b =8 - B,, = 8 - C, for så t bestemme A, B, C. os osb b os A os(8 A) os(8 B)os(8 C) (8 B)(8 C)os(8 ) os A os BosC B C os os A os BosC os B C,553 58,3 Og ved bogstvombytning: os B os AosC osb AC,989 b 78,53 osc os Aos B A B,43 9,3
Sfærisk geometri 5 Eksempel 7.4 En vinkel og de to hosliggende sider: = 8, b = 43, C = 59. Siden bestemmes direkte ved ousreltionen: os osb bosc,876 6,7 B og C bestemmes herefter i prinippet bestemmes ved usreltionerne: A B b C B C b C B.5 B 3, B 66,99 b A C C A.86 A,84 A 59,6 Problemet er nturligvis, t vi får to løsninger, og i modsætning til plngeometrien hr vi ingen direkte måde t fgøre, hvilken der er den rigtige. Det svrer til t vi får vinklerne for treknten og nbotreknten til siden. Men vi hr ingen mulighed for t fgøre,(ndet end på en præis tegning), hvilke f de fire vinkler, der hører til nbotreknten eller treknten. I den sfæriske geometri er der ikke to løsninger til opgven, som det er tilfældet i plngeometrien. Løsningerne hører til to forskellige treknter. Svret på dette er også t beregne de to vinkler A og B ved ous reltionen. os osb os8 os43os6,7 os A,9345 b 436,7 A 59,6 osb os os os B.9774 B 66,98 Eksempel 7.5 Mens de hidtidige eksempler for såvel den retvinklede som den lmindelige sfæriske treknt, hr kunnet løses - omtrent på den smme måde, som for den plne treknt - kommer der problemer, hvis vi ser på tilfældene givet ved: En vinkel, den hosliggende og den modstående side, f.eks. A,, b Eller en side en hosliggende og en modstående vinkel. F.eks. A, B,. De to tilfælde viser sig t være det smme, idet vi i det første tilfælde kn beregne B f usreltionerne og i det ndet tilfælde kn beregne b f usreltionerne. Vi køber dog ind i det smme problem med de to løsninger til ligningen v = x.
Sfærisk geometri 6 I begge tilfælde hr vi gnske A, B,, b, men mngler t beregne og C. Problemet er nturligvis, t vi ikke, som det er tilfældet for den plne treknt, kn beregne C = 8 (A+B). Vi er ldt tilbge med t nvende ousreltionen, hvor vi gnske vidst kn opstille to ligninger, hvor siden er den ubekendte, men problemet er, t både og os optræder i ligningen. Forsøg med t nedfælde en højde og nvende formlerne for den retvinklede treknt fører til det smme resultt. Vi opskriver derfor ousreltionerne for os og os b. (7.5.) os osb b os A og osb os os B Vi løser herefter de to ligninger for og sætter resultterne lig med hinnden. os osb og bos A osb os os B Herefter får mn en ligning til bestemmelse f os os osb osb os bos A os B Hvorefter C kn beregnes f ousreltionerne. Der er imidlertid også en nden mulighed, idet hver f de to os-reltioner (7.5.) er en såkldt homogen ligning f første grd ligning i og os. 7.5 Den homogene ligning f første grd i osx og x Den generelle homogene ligning i os x og x skrives: (7.5.3) os x b x For t løse ligningen dividerer vi ligningen igennem med b. b os x b b x b og indfører nu vinklen y ved: os y b og y b b, det følger så: (7.5.4) ligningen bliver herefter b tn y
Sfærisk geometri 7 os y os x y x b Som omskrives ved hjælp f dditionsformlen for os(x - y) os( x y) b Ligningen hr kun løsninger, hvis. Mn bestemmer så x f : b x y os b. 8. Plngeometrien som grænsetilfælde for den sfæriske geometri Rdintllet α for en bue på en storirkel med rdius R, er givet ved:. R Hvis buerne i en sfærisk treknt er små i forhold til rdius, vil kuglen være næsten pln i det område, som den sfæriske treknt dækker, (jorden er fld) og vi skulle forvente t de sfæriske formler, i dette tilfælde ville svre til de plngeometriske trigonometriske formler. At dette er tilfældet, kn vises ved t rækkeudvikle α til første orden: orden: os i formlerne for de sfæriske treknter. og os α til. Den retvinklede sfæriske treknt: Vi indfører betegnelserne,,, for rdintllet for siderne, b, i den sfæriske treknt og ntger smtidig, t α <<, β <<, γ<<. I lle tilfælde er længden f buerne: = αr, b = βr, = γr. Formlen for den sfæriske geometri, nu skrevet med rdintl A R A R Som leverer formlen for den plne retvinklede treknt. A For den retvinklede sfæriske treknt gælder formlen: os os osb Skrevet med rdintl, fulgt f en rækkeudvikling
Sfærisk geometri 8 os os os ( )( ) R R R b Det ses således, t os os osb for den retvinklede sfæriske treknt svrer det den Pythgoræiske sætning b for den plne retvinklede treknt. Den lmindelige sfæriske treknt: Vi ser først på usreltionerne for den sfæriske treknt: A B b som skrevet med rdintl: A B C. Vi rækkeudvikler i næveren og dividerer igennem med R. C A B R R C R A B C b Som ses t være usreltionerne for den plne treknt. Vi vender os derefter til ousreltionen for den sfæriske treknt: os os osb bosc Som vi opskriver med rdintl for siderne: og rækkeudvikler os os os osc ( )( ) osc Hvis vi reduerer og kun beholder led indtil. orden får mn: osc osc Ved t gnge igennem med R, genfinder mn ousreltionen for den plne treknt. b bosc
Sfærisk geometri 9 9. Opgver. Oporto i Portugl og New York City ligger omtrent på smme bredde, idet vi sætter NYC = ( 4 45' n ; 74 ' w) (nordlig bredde; vestlig længde) og Oporto = (4 45' n ; 8 4' w). Skl mn sejle (eller flyve) fr Oporto til New York er det derfor måske mest nærliggende t sejle stik vest, indtil mn når frem. Forklr, hvorfor dette ikke er den korteste vej, og beregn hvor meget strækningen (i sømil nturligvis) fkortes ved t sejle den korteste vej, smmenlignet med søvejen stik vest. Det oplyses, t r jord = 637 km og sm =854 m. Københvn ligger på (55 4' n; 35' ø) og Los Angeles ligger på (34 ' n; 8 ' w). Beregn den sfæriske fstnd og fstnden i km mellem Kbh. og LA. Flyveruten Kbh. LA. går vi Søndre Strømfjord (66 ' n; 54 w ). Beregn fstndene Københvn - Søndre Strømfjord og Søndre Strømfjord - Los Angeles og smmenlign med fstnden Københvn - Los Angeles. 3. Bermud-treknten er et område der begrænses f: Mimi: (5 49' n ; 8 6' w) - Puerto-Rio: ( '; 63 ') og Bermud: (3 45' ; 65 ' ). Der ønskes ikke en redegørelse for Bermud trekntens mysterier, men kun en beregning f fstndene og vinklerne i Bermud-treknten, smt ngivelse f trekntens rel (i km ). Løsning til opgve. Alle de gnge, jeg hr stillet sfærisk geometri som stor opgve, hr jeg inkluderet opgve. Det er nu ldrig lykkes nogen elever t finde det korrekte svr (uden hjælp), så nu vælger jeg t skrive løsningen, som er gnske overrskende, med mindre mn nskuer det på en rigtig kugle. Længde og bredde er ngivet i grder og bueminutter, så det første vi gør, t dividere bueminutterne med 6 og gnge med. 4,45 = 4,75 og 8,4 = 8,67. Buerne og b er lig med 9-4,75 =49,5. Vinklen C =74-8,67 = 64,33. For t bestemme længden f storirkelbuen, nvender vi ous reltionen: os os osb bosc os 49,5os 49,5 49,5 49,5os 64,33,6775 47,57 47,57 rd, 83 rd 8 Længden f findes ved t gnge rdintllet med jordens rdius R = 637 km: d =R =588 km = 588 sm 853 854 sm
Sfærisk geometri Hvilket er strækningen mn skl tilbgelægge mellem Oporto og New York lngs en storirkelbue. Hvis mn derimod sejler stik vest, så sejler mn lngs en lilleirkel med rdius: r =R. Så denne rdius bliver r = 637 49,5 km = 485 km. Den bue, der tilbgelægges er vinkelbuen mellem de to længdegrder. C 64,33, 8 rd. For t bestemme strækningen d r skl mn multipliere buen med rdius i lilleirklen r. d r = 485,8 km = 547 km = 9 sm. Forskellen i sømil mellem de to ruter er derfor 9 853 = 69 sømil = 8 km.