Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis og dimension Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation Calculus 1-2006 Uge 35.1-1
Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Calculus 1-2006 Uge 35.1-2
Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Calculus 1-2006 Uge 35.1-2
Koordinatvektorer [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.2 Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 kaldes nulvektoren. 0 = (0,...,0) Calculus 1-2006 Uge 35.1-2
Planen [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Figur Talplanen R 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-3
Planen [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Figur x 2 (u u 2 1,u 2 ) 0 u 1 x 1 Talplanen R 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-3
Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 x 1 x 2 Talrummet R 3 Calculus 1-2006 Uge 35.1-4
Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 x 1 x 2 Talrummet R 3 Calculus 1-2006 Uge 35.1-4
Rummet [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.1 Three-dimensional co... Figur x 3 u 3 (u 1,u 2,u 3 ) u 2 u 1 x 2 x 1 Talrummet R 3 (u 1,u 2, 0) Calculus 1-2006 Uge 35.1-4
Addition Definition 1.3 Sum af vektorer u + v = u 1. + [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer v 1. = u 1 + v 1. u n v n u n + v n Calculus 1-2006 Uge 35.1-5
Addition Definition 1.3 Sum af vektorer u + v = u 1. + [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer v 1. = u 1 + v 1. u n v n u n + v n Eksempel 1 2 + 3 4 5 = 6 5 7 9 Calculus 1-2006 Uge 35.1-5
Skalering [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.3 Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor au = a u 1. = ax 1. u n ax n Calculus 1-2006 Uge 35.1-6
Skalering [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.3 Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor au = a u 1. = ax 1. u n ax n Eksempel 3 1 2 = 3 3 6 9 Calculus 1-2006 Uge 35.1-6
Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning 1.6 Calculus 1-2006 Uge 35.1-7
Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning 1.6 1. Kommutativ lov u + v = v + u Calculus 1-2006 Uge 35.1-7
Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning 1.6 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Calculus 1-2006 Uge 35.1-7
Regneregler [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Sætning 1.6 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 3. Distributive love a(u + v) = au + av (a + b)u = au + bu Calculus 1-2006 Uge 35.1-7
Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u Calculus 1-2006 Uge 35.1-8
Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u u + v Calculus 1-2006 Uge 35.1-8
Associativ addition [LA] 1 Vektorer og..., [S] 9.2 Vectors Figur 1.7 u + v + w u u + v Calculus 1-2006 Uge 35.1-8
Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u 1 + + a k u k Calculus 1-2006 Uge 35.1-9
Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u 1 + + a k u k Eksempel 0 1 5 + 3 7 1 2 2 3 4 5 = 6 5 4 3 Calculus 1-2006 Uge 35.1-9
Linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.8 Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) a 1,...,a k giver linearkombinationen a 1 u 1 + + a k u k Eksempel 0 1 5 + 3 7 1 2 2 3 4 5 = 6 5 4 3 Calculus 1-2006 Uge 35.1-9
Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Calculus 1-2006 Uge 35.1-10
Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Calculus 1-2006 Uge 35.1-10
Underrum [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.14 En ikke-tom delmængde U R n kaldes et lineært underrum eller blot et underrum, hvis U er stabil overfor dannelse af sum og skalarmultiplikation. For u, v U og en skalar a gælder: u + v U og au U Delmængden bestående af nulvektoren alene er et underrum, som kaldes nulunderrummet og betegnes 0 = {0}. Eksempel Diagonalen i talplanen er et underrum U = {(x,y) x = y} R 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-10
Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u 1 + + a k u k Calculus 1-2006 Uge 35.1-11
Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u 1 + + a k u k Et Span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Calculus 1-2006 Uge 35.1-11
Span [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Definition 1.16 Givet et sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres Span alle linearkombinationer v = a 1 u 1 + + a k u k Et Span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et Span {(x,y) x = y} = Span((1, 1)) R 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-11
Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Afkryds: ja nej Calculus 1-2006 Uge 35.1-12
Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. ja nej Calculus 1-2006 Uge 35.1-12
Test linearkombination [LA] 1 Vektorer og linearkombinationer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: ja nej x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. Calculus 1-2006 Uge 35.1-12
Lineær uafhængighed [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.2 Et sæt af vektorer u 1,...,u k kaldes lineært uafhængigt, hvis der for enhver linearkombination der fremstiller 0 a 1 u 1 + + a k u k = 0 gælder, at koefficienterne alle er 0 a 1 = = a k = 0 Calculus 1-2006 Uge 35.1-13
Lineær uafhængighed [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.2 Et sæt af vektorer u 1,...,u k kaldes lineært uafhængigt, hvis der for enhver linearkombination der fremstiller 0 a 1 u 1 + + a k u k = 0 gælder, at koefficienterne alle er 0 a 1 = = a k = 0 I modsat fald kaldes sættet for lineært afhængigt; altså hvis der findes skalarer a 1,...,a k, som ikke alle er 0, men linearkombinationen ovenfor er 0. Calculus 1-2006 Uge 35.1-13
Lineær afhængighed [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.4 u 1 u 2 LINEÆRT UAFHÆNGIGE Calculus 1-2006 Uge 35.1-14
Lineær afhængighed [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.4 u 1 u 2 u 1 u 2 LINEÆRT UAFHÆNGIGE LINEÆRT AFHÆNGIGE Calculus 1-2006 Uge 35.1-14
Entydig fremstilling [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.5 Et sæt af vektorer u 1,...,u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u 1,...,u k ) har en entydig fremstilling v = a 1 u 1 + + a k u k Calculus 1-2006 Uge 35.1-15
Entydig fremstilling [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.5 Et sæt af vektorer u 1,...,u k er lineært uafhængigt, hvis og kun hvis enhver vektor v Span(u 1,...,u k ) har en entydig fremstilling v = a 1 u 1 + + a k u k Bevis hvis og kun hvis Heraf følger påstanden. a 1 u 1 + + a k u k = b 1 u 1 + + b k u k (a 1 b 1 )u 1 + + (a k b k )u k = 0 Calculus 1-2006 Uge 35.1-15
Vigtigt princip [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.7 For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k Span(v 1,...,v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. Calculus 1-2006 Uge 35.1-16
Vigtigt princip [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.7 For et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k Span(v 1,...,v m ) gælder uligheden k m Antal lineært uafhængige er mindre end antal frembringere. Bevis Skriv u 1 = a 1 v 1 + + a m v m med a 1 0 og få Span(u 1,v 2,...,v m ) = Span(v 1,v 2,...,v m ) Samme metode kan nu erstatte v 2 med u 2 osv. Da der skal være plads til alle u er, følger uligheden. Calculus 1-2006 Uge 35.1-16
Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. Calculus 1-2006 Uge 35.1-17
Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. 0. e i = 1. 0 Calculus 1-2006 Uge 35.1-17
Enhedsvektorer [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.10 Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. 0. e i = 1. 0 e i = ( ) 0,..., 1,..., 0 Calculus 1-2006 Uge 35.1-17
Standardbasen Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n [LA] 2 Basis og dimension Calculus 1-2006 Uge 35.1-18
Standardbasen [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har en entydig fremstilling x = n i=1 x i e i Calculus 1-2006 Uge 35.1-18
Standardbasen [LA] 2 Basis og dimension Eksempel 2.11 Span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har en entydig fremstilling x = n i=1 x i e i Eksempel (1, 2, 3) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) 3(0, 0, 1) Calculus 1-2006 Uge 35.1-18
Basis [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.9 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Calculus 1-2006 Uge 35.1-19
Basis [LA] 2 Basis og dimension Definition 2.9 Et lineært uafhængigt sæt af vektorer u 1,...,u k, der udspænder et underrum U kaldes en basis for U. Eksempel 2.11 Standard basen e 1,...,e n er en basis for vektorrummet R n. Calculus 1-2006 Uge 35.1-19
Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.12 Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. Calculus 1-2006 Uge 35.1-20
Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.12 Ethvert underrum U i R n har en basis bestående af endelig mange vektorer. Definition 2.13 Lad U være et underrum i R n. Det mindste antal vektorer i en basis for U kaldes dimensionen af U og betegnes dimu. Calculus 1-2006 Uge 35.1-20
Basis og Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.14 Lad U være et underrum. 1. Enhver basis har netop dim U vektorer. 2. Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. 3. Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. Calculus 1-2006 Uge 35.1-21
Basis og Dimension [LA] 2 Basis og dimension Sætning 2.14 Lad U være et underrum. 1. Enhver basis har netop dim U vektorer. 2. Et lineært uafhængigt sæt er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. 3. Et sæt af frembringere er en basis, hvis og kun hvis det indeholder dim U vektorer. Eksempel Standard basen e 1,...,e n for vektorrummet R n viser, at dimr n = n Calculus 1-2006 Uge 35.1-21
Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Calculus 1-2006 Uge 35.1-22
Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn Calculus 1-2006 Uge 35.1-22
Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Calculus 1-2006 Uge 35.1-22
Matrix indgang [LA] 3 Matricer Definition 3.2 En m n-matrix er et rektangulært regneark med m rækker og n søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. Calculus 1-2006 Uge 35.1-22
Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n Calculus 1-2006 Uge 35.1-23
Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) Calculus 1-2006 Uge 35.1-23
Matrix række/søjle [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) og j-te søjle a j = a 1j. a mj Calculus 1-2006 Uge 35.1-23
Rækker og søjler [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) Calculus 1-2006 Uge 35.1-24
Rækker og søjler [LA] 3 Matricer Definition 3.2 - fortsat m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) n = 1 søjlevektor/søjlematrix a 1. a m Calculus 1-2006 Uge 35.1-24
3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel 3.3 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 Calculus 1-2006 Uge 35.1-25
3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel 3.3 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 4-rækkematrix ( ) 6 2 9 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-25
3x4 matrix [LA] 3 Matricer Eksempel 3.3 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 4-rækkematrix ( ) 6 2 9 2 3-søjlematrix 5 0 5 Calculus 1-2006 Uge 35.1-25
Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. Calculus 1-2006 Uge 35.1-26
Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Calculus 1-2006 Uge 35.1-26
Addition skalering [LA] 3 Matricer Definition 3.5 Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Eksempel 3.6 ( ) 1 2 1 8 + ( ) 1 2 1 8 = ( ) 2 4 2 16 = 2 ( ) 1 2 1 8 Calculus 1-2006 Uge 35.1-26
Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov A + B = B + A Calculus 1-2006 Uge 35.1-27
Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov 2. associativ lov A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Calculus 1-2006 Uge 35.1-27
Additions love [LA] 3 Matricer Sætning 3.7 For matricer A,B,C af samme størrelse og skalarer λ,µ gælder: 1. kommutativ lov 2. associativ lov 3. distributive love A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa Calculus 1-2006 Uge 35.1-27
Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition 3.10 - Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Calculus 1-2006 Uge 35.1-28
Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition 3.10 - Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p Calculus 1-2006 Uge 35.1-28
Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition 3.10 - Multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus 1-2006 Uge 35.1-28
Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. Calculus 1-2006 Uge 35.1-29
Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk Calculus 1-2006 Uge 35.1-29
Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus 1-2006 Uge 35.1-29
Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 Calculus 1-2006 Uge 35.1-30
Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 ( ) [1 3 + 2 4] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) 3 + 8 4] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus 1-2006 Uge 35.1-30
Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 ( ) [1 3 + 2 4] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) 3 + 8 4] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus 1-2006 Uge 35.1-30
Øvelse [LA] 3 Matricer Eksempel 3.12 = ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 ( ) [1 3 + 2 4] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) 3 + 8 4] [( 1) ( 5) + 8 0] = ( ) 11 5 29 5 Calculus 1-2006 Uge 35.1-30
Regneark [LA] 3 Matricer Eksempel 3.14 Rækkesum a 11... a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a 11 + + a 1n. a m1 + + a mn Calculus 1-2006 Uge 35.1-31
Regneark [LA] 3 Matricer Eksempel 3.14 Rækkesum a 11... a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a 11 + + a 1n. a m1 + + a mn Søjlesum = ( ) a 11... a 1n 1,..., 1. a ij. a m1... a mn ) (a 11 + + a m1,..., a 1n + + a mn Calculus 1-2006 Uge 35.1-31
Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) = 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) 1 2 1 2 7 6 = 3 4 3 4 15 12. Afkryds det rigtige: (a) (b) Calculus 1-2006 Uge 35.1-32
Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) = 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) 1 2 1 2 7 6 = 3 4 3 4 15 12. Afkryds det rigtige: (a) (b) Løsning ( ) ( ) 1 x 1 2 3 4 x 4 = ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [3 1 + 4 x] [2 3 + 4 4] Calculus 1-2006 Uge 35.1-32
Test matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) = 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) ). (b) 1 2 1 2 7 6 = 3 4 3 4 15 12. Løsning ( ) ( ) 1 x 1 2 3 4 x 4 = Afkryds det rigtige: ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [3 1 + 4 x] [2 3 + 4 4] (a) (b) Calculus 1-2006 Uge 35.1-32
Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning 3.15 - Associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Calculus 1-2006 Uge 35.1-33
Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning 3.15 - Associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl Calculus 1-2006 Uge 35.1-33
Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.16 Beregn produktet af følgende m 1, 1 n og n 1 matricer 1. 1 ( ) 1 1 1. 1 Calculus 1-2006 Uge 35.1-34
Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.16 Beregn produktet af følgende m 1, 1 n og n 1 matricer 1. 1 ( ) 1 1 Udregn først produktet af de sidste to ( ) 1 1 1. 1 1. 1 = n Calculus 1-2006 Uge 35.1-34
Parenteser [LA] 3 Matricer Eksempel 3.16 - fortsat Så resultatet er 1. 1 ( 1 1 ) 1. 1 = 1. 1 n = n. n Calculus 1-2006 Uge 35.1-35
Multiplikation og linearkombination [LA] 3 Matricer Sætning 3.17 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x 1 + + a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Calculus 1-2006 Uge 35.1-36
Multiplikation og linearkombination [LA] 3 Matricer Sætning 3.17 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x 1 + + a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Bevis Udregn y i = j a ij x j Calculus 1-2006 Uge 35.1-36
Linearkombination Eksempel 3.18 En linearkombination af to søjler 1 2 ( 3 4 5 6 x 1 x 2 ) = x 1 1 3 + x 2 5 2 4 6 [LA] 3 Matricer Calculus 1-2006 Uge 35.1-37
Linearkombination Eksempel 3.18 En linearkombination af to søjler 1 2 ( 3 4 5 6 x 1 x 2 ) = x 1 1 3 + x 2 5 2 4 6 [LA] 3 Matricer En linearkombination af tre søjler ( 2 1 2 5 3 4 ) 3 0 1 = 3 ( 2 5 ) + 0 ( 1 3 ) + 1 ( 2 4 ) Calculus 1-2006 Uge 35.1-37
Distributive love [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.19 For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder: 1. distributive love A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus 1-2006 Uge 35.1-38
Distributive love [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.19 For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder: 1. distributive love A(B + C) = AB + AC 2. skalar love (A + B)C = AC + BC (λa)b = A(λB) = λ(ab) Calculus 1-2006 Uge 35.1-38
Sæt udenfor parentes [LA] 3 Matricer Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) 1 3 4 2 5 6 + 1 2 3 4 5 6 ( ) 1 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-39
Sæt udenfor parentes [LA] 3 Matricer Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) 1 3 4 2 5 6 + = 1 2 ( ) 1 3 4 2 5 6 1 2 [( ) 1 3 4 + 2 5 6 ( )] 1 2 Calculus 1-2006 Uge 35.1-39
Sæt udenfor parentes Eksempel 3.20 Studer udregningen 1 2 ( ) 1 3 4 2 5 6 + = = 1 2 ( ) 1 3 4 2 5 6 1 2 [( ) ( )] 1 1 3 4 + 2 2 5 6 1 2 ( ) 0 0 3 4 = 0 0 5 6 0 [LA] 3 Matricer Calculus 1-2006 Uge 35.1-39