Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 Elektisk ladning Stof e opbygget af potone (, neutone ( n og elektone ( og bestå defo p + mestendels af ladede patikle, men langt, langt støstedelen af denne ladning midle ud på makoskopisk skala, så i makoskopisk sammenhæng e ved begebet ladning undefostået oveskudsladning På mikoskopisk (atoma og molekylæ skala e det imidletid elektomagnetiske (EM kæfte mellem ladede patikle, de holde sammen på stoffet 1 e Ladning e en bevaet støelse, som kan oveføes men ikke hveken skabes elle destuees I det følgende, og i esten af dette kusus, opeees med begebet punktladning, som e en ladning, hvis udstækning e så lille i fohold til alle ande elevante støelse, at man med god tilnæmelse kan se bot fa den En punktladnings position kan således beskives ved en stedvekto 1 Flg bindingstype e alle baseet på den EM natukaft: Elektonens binding til atomkenen Kovalente bindinge ( e -fællesskab Ionbindinge ( e -oveføsel Van de Waals (ikke-kovalente bindinge mellem neutale atome/molekyle, eks dipol-dipol Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side af 11 Elektostatik 1 Coulombs lov Coulombs lov To punktladninge påvike hinanden med en elektisk kaft, de e ligefem popotionale med begge ladninge, e omvendt popotionale med kvadatet på dees indbydes afstand, vike langs fobindelseslinien imellem dem, og e fastødende/tiltækkende, hvis ladningene ha samme/modsat fotegn Coulombkaften på en punktladning To punktladninge: 1 1 F1 = k 1 1 [ ] = [ ] = [ ], F N, C, = m y 1 1 1 F = 1 1 1 1 1 1 C, ε = 8,854 1 N m,, 1 1 1 1 z x F = 1 1 1 1 (11 Femsat i 1785 af fanskmanden Chales Augustin de Coulomb som en empiisk lov (på baggund af obsevatione elle efaing, men loven va hutigt meget velundebygget I såkaldt gaussiske enhede sættes popotionalitetskonstanten til 1, hvilket kæve [ ] esu = ( electostatic units Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side af 11 Elektostatik 1 N punktladninge: Da supepositionspincippet gælde fo elektostatiske 4 kæfte: 1 1 i 1 i Fi = i1+ i+ i1 i N i j = : ij j i ij N 1 F i = j i i j ij ij (1 Kontinuet ladningsfodeling: 5 Ladningstæthed: Rumfang: Aeal: ρ Δ C, ρ = m ( = lim σ Længde: Δ ΔA C, σ = m ( = lim ΔA λ Δ ΔL C, λ = m ( = lim ΔL ΔA ΔL (1 (14 (15 S V dv ' ' ( ' ' ρ dv ' 4 Elektiske kæfte mellem ladninge i hvile 5 Dette begeb e nødvendigvis makoskopisk, da ladningen på mikoskopisk skala e kvantiseet i enhede af en 19 elementaladning e = 1, 6 1 C Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 4 af 11 Elektostatik 1 Coulombkaften F ( fa en kontinuet ladningsfodeling (, V S på punktladningen anbagt i punktet findes ved at inddele ( V, S i uendeligt mange infinitesimale volumenelemente dv ' (og aealelemente da', som behandles som punktladninge, jf udtyk (1: 6 1 ρ ( ' dv ' 1 σ ( ' da' F ( = ( ' ( ' + V ' 4 S πε ' : ' ' F ( = ρ ( ' dv' ( ' ' 4 V ' 4 S πε + πε σ da (16 ' Bemæk, at ovenstående afhænge både af ( V, S og det paktisk at anvende et begeb, som kun beskive omsættes til et udtyk fo kaften fa ( V, S på eks en punktladning næhed I mange sammenhænge e ( V, S, og som umiddelbat kan anbagt i dens 6 Dette svae til, at 1 Inddele ladningsfodelingen i små, men endelige volumenelemente Δ V ' Finde bidaget til Coulombkaften fa ladningen i et sådant volumenelement, idet denne ladning tilnæmes ud ' 1 ρ ( ' ' fa ladningstætheden i et punkt inde i Δ V ' : F ( = ( ' 4 πε ' 1 ρ ( ' ' Lægge disse bidag sammen: F ( ( ' 4 πε ' ' 4 Gøe udtykket eksakt ved at tage gænsen, hvo volumenelementene blive infinitesimale: 1 ρ( ' ' 1 ρ( ' dv ' F ( = lim ( ' ( ' = ' V ' ' ' Ovenstående e helt analogt til at finde aealet unde gafen f ( x ved at 1 Inddele aealet i små, men endelige ektangle med bedden Δ x Finde aealet af et sådant ektangel: Δ A = f ( x Δ x Lægge disse aeale sammen: A f ( x Δx 4 Finde det eksakte aeal ved at tage gænsen Δx : A = f( x dx Δx b a Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 5 af 11 Elektostatik 1 Det elektiske felt i et punkt Elektostatisk felt e defineet som Coulombkaften på en tænkt 7 punktladning ( testladning divideet med denne testladning 8, i gænsen sådan at punktladningen ikke ænde på ladningsfodelingen: F ( N E ( lim, E = C (17 Kendte punktladninge j og ladningsfodelinge ρ og σ vil således give anledning til flg elektiske ( elektostatiske felt: N 1 j 1 ' 1 ' E ( = j ρ ( ' dv' σ ( ' ' + + 1 4 V ' 4 S j= πε πε da ' j (18 Et elektisk felt e således et vektofelt 9, hvis etning og styke kan visualisees vha oienteede kaftlinie 1, hvis tæthed angive styken af vektofeltet (længden af feltvektoene Hvis den ladningsfostyende indvikning fa en punktladning anbagt i et E-felt e lille, e E ( F = E, (19 og kaftliniene ses således at angive etningen af Coulombkaften på en positiv punktladning 7 Fodi Coulombkaften ifølge Coulombs lov e popotional med testladningen 8 Denne gænseovegang e makoskopisk, hvoved fostås at testladningen nok blive infinitesimal makoskopisk set, men stadig bestå af så mange elementaladninge, at de kan ses bot fa vaiatione på mikoskopisk skala 9 En funktion, som til ethvet punkt i ummet knytte en vekto, dvs en støelse (skala og en etning 1 Se også FIGURE - s 4 Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 6 af 11 Elektostatik 1 Gadient, divegens og oto Ved at lade opeatoen d dx vike på en funktion af én vaiabel f ( x opnås som bekendt infomation om funktionens vaiation ove x Fo skalafelte ϕ( = ϕ( x, y, z og ikke mindst vektofelte F ( = Fxyz (,, e situationen selvsagt lidt mee kompliceet He afkodes vaiation om feltets vaiation vha en såkaldt nablaopeato: xˆ + yˆ + zˆ x y z hvo xˆ, yz ˆ, ˆ e enhedsnomalvektoe 11 i de te akses etning, (11 Gadient: Nablaopeatoen anvendt på et skalafelt give gadientvektoen: ϕ ϕ ϕ ϕ = xˆ+ yˆ+ zˆ x y z (111 Gadientvektoen angive den etning, hvoi skalafeltet øges hutigst, og støelsen af gadientvektoen angive, hvo hutigt skalafeltet øges i denne etning 11 ˆ -symbolet indikee således længde 1 og ha intet at gøe med begebet tvævekto fa bogen elle fa mekanikkuset på basis xˆ, yˆ, z ˆ svae således til iˆ, ˆj, kˆ Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 7 af 11 Elektostatik 1 Divegens: Pikpoduktet mellem nablaopeatoen og et vektofelt give divegensen af vektofeltet: F = xˆ yˆ zˆ F xˆ F yˆ + + F z x y z + + ( x y zˆ F x y = + + : F F F x y z z (11 Som det femgå af denne definition, e divegensen et skalafelt, som angive et elle andet mål fo ændingen af vektofeltet Den pæcise fotolkning følge i en senee kususgang Roto: Kydspoduktet mellem nablaopeatoen og et vektofelt give otoen vektofeltet: af xˆ yˆ zˆ F = xˆ yˆ zˆ ( Fxxˆ Fyyˆ Fzzˆ + + x y z + + = x y z F F F x y z : F F z y F Fy ˆ x Fz F ˆ x F = x+ y+ ˆ y z z x z (11 x y Rotoen e således et vektofelt, som det i en senee kususgang vises e et mål fo ændingen i vektofeltets etning Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 8 af 11 Elektostatik 1 Diffeentialopeatoe af anden oden: 1,, kan kombinees til flg 5 andenodens diffeentialopeatoe: I Divegensen af gadienten, også kaldet Laplace-opeatoen : = xˆ yˆ zˆ xˆ yˆ zˆ + + x y z + + x y z (114 = + + x y z II Rotoen af gadienten, som kan vises at væe nulopeatoen 1 III Divegensen af otoen, som også kan vises at væe nulopeatoen IV Rotoen af otoen: V Gadienten af divegensen: 1 Se i øvigt opeatoidentitetene i TABLE 1-1 s 1 Den opeato, som give nul, uanset hvad den vike på Fo opeationen gange e nulopeatoen således tallet Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 9 af 11 Elektostatik 1 Elektostatisk potential Ifølge punkt II gælde fo et vilkåligt skalafelt f (, at f = Dette betyde, at alle vektofelte A(, som opfylde A =, kan skives A = f Da 14 ' 1 Opg 1-, = = = ' e ifølge udtyk (18 E =, (115 og de findes demed et skalafelt, hvis gadient e det elektostatiske felt: E = ϕ, (116 hvo ϕ, ϕ = Nm = J, e det elektostatiske potential, elle bae det C C V elektiske potential elle slet og et potentialet Jf beskivelsen af gadienten få minustegnet E-feltet til at pege i den etning, hvoi potentialet aftage hutigst 15 Givet et E-felt, findes det elektostatiske potential på flg måde: ϕ ϕ ϕ E d = ϕ d = xˆ yˆ zˆ dx xˆ dy yˆ + + dz z x y z + + ef ef ef ϕ( ( ˆ ϕ ϕ ϕ ϕ( = dx + dy + dz dϕ ϕ ϕ( ( ef ϕ( x y z = = = ϕ ef ef ϕ( ef = ϕ(, ϕ( : ef ϕ ( = E d ef (117 d( x h 14 Føste skidt svae til, at da dx = 1, e d( x h = dx 15 Hvis man tænke på potentialet som en funktion, de beskive højden ove havets oveflade, så angive det elektiske felt den etning, hvoi det gå stejlest nedad, og støelsen af feltet angive, hvo stejlt det e i den etning Jf udtyk (19 vil en positiv ladning således tille ned af potentialet (og en negativ ladning tille op, lidt på samme måde som en bold på en skåning Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 1 af 11 Elektostatik 1 ϕ e ifølge udtyk (116 kun defineet i kaft af sin afledede og demed kun på næ en vilkålige konstant 16, svaende til at nulpunktet ef kan vælges fit Som oftest vælges nulpunktet i det uendeligt fjene: ef = Bemæk, at kuve- elle linieintegalet i udtyk (117 e en uendelig sum af infinitesimale pikpodukte ef E d d E Elektostatisk potential fa en punktladning : E ( = : 4 ' 4 ' ' ϕ( = E d' = d ' 4 πε ' ' = d ( ' cos πε ( ' 1 = d πε 1 = 4 πε ' 1 = ( ' ' d ( ' 16 df Dette svae til, at funktionen f defineet ved = 8 e givet ved f ( x = 8 x + K, svaende til et nulpunkt i K x = 8 dx Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6
Elektomagnetisme 1 Side 11 af 11 Elektostatik 1 Det elektostatiske potential fa en samling punktladninge og ladningsfodelinge blive således N 1 j 1 ρ ( ' 1 σ ( ' ϕ ( = dv' da ' + + ' S ' (118 V j= 1 j Bemæk, at potentialet ϕ e indføt, fodi det indeholde den samme mængde infomation som feltet E, samtidig med at det e lettee at beegne Thomas B Lynge, Institut fo Fysik og Nanoteknologi, AAU 9/11/6