Oersigt [LA],, Komplement Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på ektor Projektion på basis Kortest afstand August 00, opgae 6 Tømrermester Januar 006, opgae 4 Gram-Schmidt Definition. For en delmængde af ektorer X R n er det ortogonale komplement X = { R n u = 0, u X} Fra regnereglerne for skalarproduktet følger straks, at dette er et underrum. Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - Komplement Planen Bemærkning. Nogle nyttige obserationer: Eksempel.4. Der gælder 0 = R n og (R n ) = 0.. X (X ).. X X 0. 4. His er et underrum, så er = 0. For to egentlige ektorer u, i R som er ortogonale u er det ortogonale komplement u = {w w u = 0} Span() u underrummet Span(). ORTOGONAL KOMPLEMENT Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - 4 Bestem komplement Bestem komplement Eksempel.5 For u = (, ) R er det ortogonale komplement { u = 0} bestemt ed ligningen, = (, ), + = 0 Eksempel.5 - figur Span(u) y ( ) ( ) ( = = ) (, ) u = (, ) Skries Span(u) = Span((, )) Calculus - 006 ge 46. - 5 Calculus - 006 ge 46. - 6 Tømrerprincippet Beregn komplement Sætning.6 For en delmængde af ektorer X R n som udspænder et underrum R n er det ortogonale komplement Altså gælder X = w w, X Eksempel.7 For = Span((,, ), (,, 4)) R er det ortogonale komplement = { u = 0, u } bestemt ed ligningssystemet, = (,, ), + + = 0 + + 4 = 0 Calculus - 006 ge 46. - 7 Calculus - 006 ge 46. - 8
Beregn komplement Beregn komplement Eksempel.7 - fortsat Det rækkereducerede system er + = 0 + = 0 erne kan skries = = Eksempel.7 - figur = Span((,, )) (,, ) z = Span((,, ), (,, 4)) y = Span((,, )) Calculus - 006 ge 46. - 9 Calculus - 006 ge 46. - 0 Komplement som nulrum nderrum og komplement Sætning.8 For en m n-matri er nulrummet det ortogonale komplement til rækkerummet N A = Span(a,..., a m ) Sætning.9 Lad ære et underrum i R n. Så har enher ektor R n en entydig fremstilling = + w,, w Produktet A = 0 betyder netop at a i for i =,..., m. Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - nderrum og komplement Vektor og komplement Sætning.9 - fortsat Lad u,..., u m ære en basis for. Det følger, at er nulrummet for m n-matricen med basen for som rækker. Rangformlen gier, at dim = n m. Vælg en basis for u m+,..., u n. En fremstilling j a ju j = 0 gier m a j u j = j= n j=m+ a j u j Det følger, at sættet u,..., u n er lineært uafhængigt og dermed en basis for R n. En opskrining = j a ju j gier resultatet. Eksempel.0 For = Span((,, )) er det ortogonale komplement bestemt ed ligningen = 0 erne kan skries + = = + 0 0 Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - 4 Vektor og komplement Ortogonal projektion Eksempel.0 - fortsat = Span((,, 0), (, 0, )) Vektoren (, 0, 0) kan skries (, 0, 0) = (,, ) + (,, 0) + (, 0, ) og dermed (, 0, 0) = (,, ) + (,, ) hor (,, ), (,, ). Definition. Situationen relateres til følgende figur w = ORTOGONAL PROJEKTION PÅ NDERRM Calculus - 006 ge 46. - 5 Calculus - 006 ge 46. - 6
Ortogonal projektion Projektion på ektor Definition. - fortsat For et underrum R n er den ortogonale projektion af en ektor på den ektor, som opfylder Der gælder = + w, = w Den ortogonale projektion betegnes Vektoren kaldes restektoren., w proj () = w = = proj () Calculus - 006 ge 46. - 7 Sætning. For et underrum = Span(u) R n udspændt af netop én ektor u 0 er den ortogonale projektion af en ektor på giet ed = u Det skries proj u () = u Efteris ( u ) u altså ( u ) u = u u u = 0 Calculus - 006 ge 46. - 8 Projektion på ektor Sætning. - figur Eksempel.4 For et underrum = Span(u) R udspændt af ektoren u = (,, ) er den ortogonale projektion af en ektor = (,, ) på giet ed = au w = = Span(u) proj u () = u = + + (,, ) ORTOGONAL PROJEKTION = proj u (), a = u u u Calculus - 006 ge 46. - 9 Calculus - 006 ge 46. - 0 Eksempel.5 Tegn en figur for oerblik = (, 8) proj u () = (9, ) u = (, 4) Eksempel.5 - fortsat For et underrum = Span(u) R udspændt af ektoren u = (, 4) er den ortogonale projektion af en ektor = (, 8) på giet ed proj u () = u = + 4 8 + 4 (, 4) = (, 4) = (9, ) ORTOGONAL PROJEKTION proj u () på Span(u) Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - Projektion på basis Sætning.6 Lad u,..., u k R n ære indbyrdes ortogonale egentlige ektorer. Antag at de udspænder underrummet. Så gælder. Sættet u,..., u k er en basis for.. Den ortogonale projektion af en ektor R n på er giet ed k proj () = proj uj () j=. Det er en opskrining af projektionen i basen u,..., u k proj () = k j= u j u j u j u j Eksempel.7 Lad u = (,, ), u = (,, ) R ære indbyrdes ortogonale ektorer der udspænder underrummet. Så er den ortogonale projektion proj () = proj u () + proj u () = u u u u + u u u u = + = ( + (,, ) + + + 6,, + ) (,, ) Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. - 4
Mindste afstand Eksempel.7 - figur proj proj u u u proj u Sætning.9 Lad R n ære et underrum. Antag at ektoren har ortogonal projektion = proj () på. Så gælder:. Projektionen er den ektor i, der har kortest afstand til.. Normen af restektoren den korteste afstand. For en ektor gælder ( ) = ( ) + ifølge Pythagoras, da ( ). = + Calculus - 006 ge 46. - 5 Calculus - 006 ge 46. - 6 Mindste afstand Afstand til linje Sætning.9 - figur ( ) MINDSTE AFSTAND TIL NDERRM Eksempel.0 For en linje = Span(u) R udspændt af ektoren u = (,, ) er den ektor i med kortest afstand til en ektor = (,, ) giet ed Kadratafstanden er proj u () = u = + + (,, ) proj u () = ( m) + ( m) + ( m) hor m = ++. Calculus - 006 ge 46. - 7 Calculus - 006 ge 46. - 8 Opgae Matematik Alfa, August 00 Opgae 6 Betragt det lineære underrum R 4, der er udspændt af ektorer u = (,,, ) og u = (0,,, 0). Angi den ektor u i, der har kortest afstand til ektoren = (,,, 4). Vektoren u er den ortogonale projektion af på. Den korteste afstand er u Opgae Matematik Alfa, August 00 Opgae 6 - fortsat Vektorerne u = (,,, ) og u = (0,,, 0) har u u = 0 + + ( ) + ( ) 0 = 0 Projektionen af = (,,, 4) er u = proj () = proj u () + proj u () = u u + u u u u u u = 4 4 (,,, ) + 5 (0,,, 0) = (,, 7, ) Calculus - 006 ge 46. - 9 Calculus - 006 ge 46. - 0 Opgae Matematik Alfa, August 00 Tømrermester Opgae 6 - ekstra Restektoren u = (,,, 4) (,, 7, ) = (,,, ) har længde, som angier den mindste afstand fra til Bemærkning. To ektorer kan rettes op w = proj u () u = (,,, ) 7 = = 6 proj u () TO VEKTORER RETTET OP u Calculus - 006 ge 46. - Calculus - 006 ge 46. -
Tømrermester Tømrermester arbejder Bemærkning. - fortsat Lad u, ære ikke-parallelle ektorer der udspænder underrummet. Sæt w = proj u () = u Så er u, w ortogonale og udspænder. Den ortogonale projektion af ektoren på er da proj () = proj u () + proj w () = u + w w w w Calculus - 006 ge 46. - Eksempel. Lad u = (,, ), = (,, ) ære ektorer der udspænder underrummet. Sæt w = proj u () = u = (,, ) (,, ) = (, 0, ) Den ortogonale projektion af ektoren = (,.6, 6) på er da proj () = proj u () + proj w () = u + w w w w =.6 (,, ) + (, 0, ) = (.7, 4., 5.7) Calculus - 006 ge 46. - 4 Opgae 4 - let modificeret Betragt følgende ektorer i R 4 u = (, 0,, 0), u = (,, 0, 0) og lad betegne underrummet = Span(u, u ). ) Opret ektorerne oenfor til et ortogonalt sæt u, u som udspænder. ) Lad betegne ektoren = (5, 4,, ). Angi den ortogonale projektion proj () af ektoren på. ) Beregn den korteste afstand fra til. ) Vektoren u er giet ed opretning u = u proj u (u ) = u u u u u u = (,, 0, 0) (, 0,, 0) = (,,, 0) ) Bemærk, at u og u = u + u Span(u, u ), så = Span(u, u ) er udspændt af to ortogonale ektorer. Projektionen af på underrummet er proj () = proj u () + proj u () = u u u u + u u u u. Calculus - 006 ge 46. - 5 Calculus - 006 ge 46. - 6 u = (, 0,, 0), u = (,,, 0), = (5, 4,, ): u u = (, 0,, 0) (, 0,, 0) = + 0 + + 0 = u = (, 0,, 0) (5, 4,, ) = 5 + 4 + + 0 = 8 u u = (,,, 0) (,,, 0) = + + + 0 = u = (,,, 0) (5, 4,, ) = 5 + 4 + 0 = 6 proj () = u u u u + u u u u = 8 (, 0,, 0) + 6 (,,, 0) = (4, 0, 4, 0) + (,,, 0) = (6,,, 0) ) Problemstillingen er ist på figuren proj () proj () Længden af restektoren er proj () er den korteste afstand fra til. Calculus - 006 ge 46. - 7 Calculus - 006 ge 46. - 8 Gram-Schmidt ) = (5, 4,, ), proj () = (6,,, 0). Længden af restektoren er proj () er den korteste afstand fra til. Restektoren udregnes proj () = (5, 4,, ) (6,,, 0) = (,,, ) og den korteste afstand beregnes Sætning. Et sæt ektorer,..., m R n som udspænder et underrum kan oprettes til en basis u,..., u k for bestående af indbyrdes ortogonale ektorer. Tag ektorer 0 fra følgende procedure u = j+ proj Span(,...,j)( j+ ) (,,, ) = + 4 + + 9 = 5. Calculus - 006 ge 46. - 9 Calculus - 006 ge 46. - 40