MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9
FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt kendskab til det matematiske pensum, de findes i læebogen P. Madsen: Teknisk Matematik kapitlene til Ha man ikke denne bog kan man på intenettet på hjemmesiden lasen-net.dk gatis hente læebogen Mogens Oddeshede Lasen: Matematik fa C til A- niveau. He svae pensum nogenlunde til kapitlene - 5 +afsnit 6. og 6.. (sidene til 6) Selv om avanceede matematiklommeegnee let kan educee selv de vanskeligste udtyk, og løse selv meget kompliceede ligninge osv. så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89). Denne e en avanceet minicompute, og det e en del af pensum, at man læe at anvende den på foskellige poblemstillinge. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. august 9 Mogens Oddeshede Lasen ii
Indhold INDHOLD Vektoe i planen. Indledning.... Definitione....3 Vektos koodinate... 4.4 Skalapodukt... 6.5 Retningsvinkel, polæe koodinate... 7.6 Vinkel mellem vektoe... 8.7 Tvævekto, Deteminant... 9 Opgave til kapitel... Rumgeometi. Vektoe i ummet.... Koodinatsystem i ummet... 3.3 Skalapodukt... 5.4 Linie i ummet... 6.5 Vektopodukt....6 Plane i ummet... 4.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang... 3.8 Kuglen... 3 Opgave til kapitel... 34 3 Sfæisk geometi 3. Gundbegebe... 38 3. Sfæisk tekant... 39 3.3 Sfæiske koodinate, polatekant... 4 3.4 Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant... 4 3.5 Den etvinklede sfæiske tekant... 44 3.6 De 6 tekantstilfælde... 45 3.7 Navigationsfomle... 46 Opgave til kapitel 3... 5 iii
Indhold 4 Standadfunktione 4. Funktionsbegebet... 53 4. Potensfunktione... 54 4.3 Polynomie... 56 4.4 Eksponential- og potensfunktione... 58 4.4. Eksponentialfunktion... 58 4.4. Logaitmefunktion... 59 4.4.3 Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione... 6 4.5 Tigonometiske funktione... 64 4.5. Indledning... 64 4.5. Definition af sinus og cosinus... 65 4.5.3 Peiodicitet... 65 4.5.4 Relatione mellem tigonometiske funktione... 67 4.5.5 Svingninge... 68 Opgave til kapitel 6... 7 5 Regession 5. Indledning... 74 5. Lineæ model... 75 5.3 Bestemmelse af egessionsligning... 75 5.4 Vudeing af om model beskive data godt... 76 5.5 Eksemple på lineæ egession egnet på TI89... 79 Opgave til kapitel 5... 83 6 Diffeentialegning 6. Indledning... 87 6. Gænsevædi og kontinuitet... 87 6.. Gænsevædi... 87 6.. Kontinuitet... 88 6.3 Diffeentialkvotient... 88 6.4 Regneegle fo diffeentialkvotiente... 9 6.5 Diffeentiation af standadfunktionene... 94 9.5 Højee afledede... 97 6.7 Funktionsundesøgelse... 98 6.8 Nogle anvendelse af diffeentialegning... 6.8. Optimeing... iv
Indhold 6.8. Kinematik... 5 6.8.. Indledning... 5 6.8.. Jævn etlinet bevægelse... 5 6.8..3 Ikke etlinet bevægelse... 6 6.8.3 Økonomi... 8 Opgave til kapitel 6... 7 Integation 7. Indledning... 7. Ubestemt integal... 7.3 Integationsegle... 5 7.4 Bestemt integal... 7 75 Numeisk integation... 7.6 Rumfang af omdejningslegeme... 7.7 Tyngdepunkt af homogent plant omåde... 4 Opgave til kapitel 7... 6 Appendix Beegninge foetaget på lommeegne... 8 Facitliste... 3 Stikod... 36 v
.. Definitione Vektoe i planen. Indledning Som indledning til umgeometien epetees he kot de væsentligste definitione fa vektoe i planen. Bevisene e ofte udeladt, men kan findes i læebogen Matematik fa C til A niveau de kan findes på nettet (se foodet) Specielt gennemgås vektoe givet i polæe koodinate... Definitione Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. Vektoe betegnes med små bogstave med en pil ove eksempelvis a. Hvis vektoen ha begyndelsespunkt i A og endepunkt i B betegnes den AB a b b a Fig.: Vektoe På figu. e a = AB = CD og b = EF = GH, mens a b (da de ha foskellig etning).
. Vektoe i planen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Indskudssætningen: AC = AB+ BC (kaldes således, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.
.. Definitione Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig..4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5 3
. Vektoe i planen.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu.5) En vekto a kan nu skives a = a + a hvo e paallel med x - aksen og ay e paallel med x y a x y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j a ay a j i Fig..5. Basisvektoe j i 3 i a = 3 i + j = 3 Fig..6. Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b 4
.3 Vektoes koodinate Eksempel.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = 3 3 5 Find koodinatene til a+ 5b Løsning: 5 5 3 5 3 a+ b = + 3 5 ( ) + = = 3 + 55 3 TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig.7. Stedvekto Sætning.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 = 8 6 4 5
. Vektoe i planen Vektos længde. Sætning.3. Længde af vekto a a = a + a, hvo a =. a Bevis: Vektoene ai og a j danne sammen med a en etvinklet tekant med a som hypotenuse (se figu.8). Da længdene af katetene e ai = a og ai = a fås af Pythagoas sætning: a = a + a a = a + a Eksempel.3 Længde af vekto ) Find længden af vektoen a = 3. 4 ) Find en enhedsvekto e ensettet med a. Løsning: ) a = ( 3) + 4 = 5 ) 3 5 a e = = a 4 5 TI 89: ) ((-3)^+4^) elle nom([-3,]) (nom kan findes unde CATALOG) ) unitv([-3,4]) (unitv angive enhedsvekto og kan findes unde CATALOG).4 Skalapodukt. Vi vil nu definee et podukt af vektoe, hvo esultatet e et tal (en skala). Definition af skalapodukt. a Ved skalapoduktet (også kaldet pikpoduktet ) af vektoene a = og fostås b b = a b tallet a b = a b + a b. Eksempel.4. Skalapodukt Lad de væe givet a = og b =. 3 3 5 Find skalapoduktet a b. Løsning: a b = ( ) 3+ 3 5= 9 TI89: CATALOG\ dotp([-,],[3,5]) 6
De gælde følgende egneegle fo skalapoduktet:.5 Retningsvinkel, polæe koodinate Sætning.4. Regneegle fo skalapodukt () a b = b a () a ( b + c) = a b + a c (3) ( ta) b = a ( tb) = t( a b) (4) a = a a = a (sammenhæng mellem længde og skalapodukt) Bevis: Alle egle bevises ved koodinategning, efte samme metode som nedenfo bevist: a Lad a =, og b b = a c c = b c () a b = ab+ ab, b a = ba + ba. Da de to side e ens e () bevist. Regneeglene (), () og (3) svae ganske til de man kende fa almindelige tal, så vi kan defo tillade os at benytte samme metode ved udegning. a b a b a b a b = = + a b Eksempelvis ha vi ( ) ( )( ) ( ) Heaf fås a b = ( a b) a + b a b = a b a b. Da længden af en vekto e den samme uanset hvilket koodinatsystem de abejdes ( blot man ha samme enhed) så vise ovenstående, at skalapoduktets vædi også e uafhængigt af koodinatsystemet..5 Retningsvinkel, polæe koodinate Lad a væe en egentlig vekto. Vi ha tidligee vist, at en enhedsvekto e i samme etning a e givet ved a e =. Heaf fås a = a e a Hvis vi afsætte e med begyndelsespunkt i (,) vil endepunktet P ligge på enhedsciklen (se figu.8). j e i a Fig..8 Retningsvinkel Lad e danne vinklen v med den positive del af x - aksen. Punktet P få da koodinatene (cos v, sin v). Da en stedvekto ha de samme koodinate som punktet e e = cos v sin v a Vi ha demed a = a e = a. cos v = cos v sin v a sin v 7
. Vektoe i planen Vinklen v fa x - aksens positive del til a s etningsvekto kaldes a s etningsvinkel og egnes med fotegn sædvanligvis i intevallet [-8 ; 8 ] elle i intevallet [ ; 36 ] Man sige også, at punktet P ha de polæe koodinate OP,v. Da det e ganske besvæligt med håndkaft at egne i polæe koodinate, vil man sædvanligvis benytte en lommeegne som TI-89 til det. Eksempel.5 Regninge i polæe koodinate med TI89 5 ) Omegn vektoen til polæe koodinate ) Omegn vektoen 5.4.8 til etvinklede koodinate 3) Udegn 3,6 5 + 6. i polæe koodinate Løsning: ) [5,] Pola ( Pola kan findes unde CATALOG) Resultat: [5.385.8] ) [5.4,.8] ( findes ove EE) Resultat: [5..] 3) [3.6, 5] + [6., ] Pola Resultat: [6.8 88.] Eksempel.6. Regning i polæe koodinate Et skib sejle i 4 time fa punktet A til punktet B med en begyndelseskus på 34 og en fat på 6 knob. I B ændes kusen til 3. Man sejle med uændet fat videe i 5 time, hvoefte man e nået til punktet C a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A, hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet. Løsning: a) Skibet ha sejlet 6 ( 4 + 5) = 44 sm b) I polæe koodinate haves AB = ( 4 6, 34) og BC = ( 56, 3) Heaf fås AB+ BC = AC dvs. [64, 34] + [8, 3] Pola = [35.43, - 4.3] Kusen e 36-4.3 = 37.68 og antallet af sømil e 35.43 sm.6 Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe, danne de en vinkel v med hinanden. Vi vil he altid egne vinkle som placeet i intevallet [ ; 8 ] (elle [; π] ). Vi egne altså ikke he vinkle med fotegn. Sætning.5. Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe og v e vinklen mellem dem gælde cos v = Bevis: Kan ses i læebog Fa C til A a b a b 8
Eksempel.7. Vinkel mellem vektoe Find vinklen mellem vektoene a = b 5 3 og = Løsning: a = 5 + = 9 b = 3 + ( ) = 3 a b = 53 + ( ) = a b cos v = = = 5665. a b 9 3 v = 55.49 a b TI 89: Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b.7 Yvævekto, deteminant cos - ( dotp(unitv([5,]),unitv([3,-]))) hvo de enkelte vektoode findes i CATALOG elle ved MATH, MATRIX, L: Vecto ops To vektoe siges at væe otogonale hvis vinklen mellem dem e 9 Af sætning.5 følge:.7 Tvævekto, deteminant. a b = a b Definition af tvævekto. Ved tvævektoen $a til en egentlig vekto a fostås den vekto, de femkomme ved at deje a 9 i positiv omløbsetning (d.v.s. mod uet). Specielt gælde, at i et sædvanligt koodinatsystem e $i = j. Sætning.6. Tvævektos koodinate. a Lad a = væe en egentlig vekto. Tvævektoen ha da koodinatene. a $a $a = a a Bevis: se læebog fa C til A Eksempel.8. Tvævekto Find tvævektoen til vektoen a = 5 Løsning: $a = 5 b a 9
. Vektoe i planen Definition af deteminant. Ved deteminanten fo vektopaet ( ab, ) fostås tallet det ( ab, ) = a$ b a E a = og blive det b b = a (, ) $ a b ab = a b= ab ab b a = b Man buge en speciel skivemåde fo deteminanten fo et vektopa, nemlig et kvadatisk talskema med a som føste søjle og b som anden søjle. det(, a b ab) = = ab ab a b Eksempel.9. Beegning af deteminant. Lad a = b. Beegn deteminantene det og det. 3 = og (, ab ) ( ba, ) 4 Løsning: det (, 3 3 ab) = = ( ) = 4, det ( ba, ) = = = 4. 4 4 TI 89: CATALOG: det([3,;-,4]) Sætning.7. Aeal af paallelogam. Lad a og b væe to egentlige ikke-paallelle vektoe. Lad endvidee d= det( ab, ), v væe vinklen mellem a og b og A aealet af det paallelogam, som a og b udspænde. De gælde da: A = d = a b sin v. Bevis: Se læebog fa C til A. Eksempel.. Aeal af tekant Lad A=(5,), B=(6,-) og C=(3,-4). Find aealet af ABC. Løsning: Vi finde AB = og AC =. 3 5 Da deteminanten 5 6, ha det paallelogam de udspændes af vektoene 3 5 = = AB og AC aealet T =. Vi ha følgelig, at ABC s aeal = = 55.
Opgave til kapitel Opgave til kapitel. Løs ligningen x = x 4 4. a) Skiv a = på polæ fom. 3 b) Find de polæe koodinate fo punktet P = (, -3) c) I polæe koodinate e Q = (5, 46 ). Angiv Q s koodinate på ektangulæ fom d) Beegn (6, ) + (4, -3 ) i polæe koodinate..3 AB ha begyndelsespunkt A = (3,-), længden 6 og etningsvinklen 33. Bestem med 3 decimale koodinatene til B..4 Et skib sejle i 3 time fa punktet A med en begyndelseskus på 3 og en fat på 5 knob. (en kus e vinklen i fohold til nod (y-aksen) egnet positiv med uet, og knob e sømil/time) Heefte ændes kusen med i sydlig etning (med uet) og faten ændes til knob. Efte 4 times sejlads med den nye kus nås til punktet C. a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet..5 Bestem vinklen mellem vektoene a = b 5 = 9 og.6 Bestem vinklene i ABC, nå A = (7,8), B = (-5,) og C = (8,-).7 a) Vis at punktene A = (-,), B = (-,-), C = (4,) og D = (3,5) udspænde et paallelogam. b) Find den spidse vinkel mellem diagonalene..8 Lad A = (-,), B = (,5) og C = (,) Vis, at ABC e etvinklet, og bestem de to spidse vinkle i tekanten.
Rumgeometi. Rumgeometi. Vektoe i ummet. Vi vil i dette kapitel antage at epæsentantene fo vektoene e pile de e beliggende i det tedimensionale um. Et eksempel hepå kunne væe hastighedsvektoen fo en patikel i ummet. Definitionene i afsnit. (af længde, enhedsvekto osv.) og egneeglene i afsnit.3 (addition, subtaktion, multiplikation med tal) gælde også fo disse vektoe. Eksempel.. Paallelepipedum Ved et paallelepipedum ABCD-EFGH fostås et legeme begænset af paallelogamme (se figu.) Idet a = AB, b = AD og c = AE skal man udtykke diagonalvektoene AG, BH, EC og FD ved a, b og c. Løsning: Af indskudssætningen fås AG = AB+ BC+ CG = a + b + c BH = BA+ AD+ DH = a+ b + c EC = EA+ AB+ BC = a + b c FD = FE + EA+ AD= a c + b c b Fig... Paallelepipedum
. Koodinatsystem i ummet.. Koodinatsystem i ummet. Lad a, b og c væe 3 egentlige vektoe i ummet, som e tegnet med begyndelsespunkt i samme punkt, og som ikke ligge i samme plan. c De te vektoe a, b og c nævnt i denne ækkefølge siges at væe i højestilling, hvis følgende egel gælde: Omslutte man vektoen c med høje hånd (se figu.) og lade fingene følge undt samme vej som den mindste dejning, de føe a ove i b, vil tommelfingeen pege i c s etning. a Fig...Højestilling Et (sædvanligt) etvinklet koodinatsystem i ummet e givet ved et begyndelsespunkt O, og 3 enhedsvektoe (kaldet basisvektoe) som to og to stå vinkelette på hinanden. Basisvektoene benævnes sædvanligvis i, j og k og e i denne ækkefølge placeet i højestilling. De te oienteede linie de gå gennem O og ha i, j og k som etningsvektoe kaldes koodinatsystemets akse, og benævnes henholdsvis x, y og z - aksen. (elle (), () og (3) - aksen). k i j Fig..3. Koodinatsystem Punktet P pojicees ned i xy - planen i punktet Q. I xy - planen pojicees Q ind på x - aksen i R og på y - aksen i punktet S. Desuden pojicees P ind på z - aksen i punktet T. (jævnfø figu.3). Indskudseglen fo vektoe give OP = OQ+ QP = OR+ RQ+ QP = OR+ OS+ OT Da OR, OS og OT e paallelle med henholdsvis i, j og k fås OP = OR+ OS+ OT = xi + yj + zk. x Man sige, at P ha koodinatene (x, y, z) og vektoen OP = y. z 3
Rumgeometi Regning med vektoenes koodinate foegå på samme måde som det blev vist i det plane tilfælde. De gælde således b a Hvis A= ( a, a, a3) og B = ( b, b, b3), så e AB = b a og a = a + a + a3 b a 3 3 Tetaede Ved et tetaede fostås et legeme begænset af fie tekante (jævnfø figu.4). Ligesom en tekant e en gundlæggende figu i plangeometien e et tetaede en gundlæggende figu i umgeometien. Man kan vise, at umfanget V af et tetaede e V=, hvo G e gundfladens aeal og h e 3 Gh højden. Fig..4. Tetaede Eksempel.. Tetaede. I tetaedeet ABCD e A = (,,), B=(,4,) og C = (,,). Idet M e midtpunktet af BC, e D bestemt ved, at D ha positive koodinate, at DM stå vinkelet på xy - planen, og DM = 3 Skitse tetaedeet, og find D s koodinate. Løsning: Tetaedeet e skitseet på figu.5. Idet OM = OC+ CB = + == 4 3 fås D = (,3,3) k i j Fig..5. Skitse af tetaede 4
.3 Skalapodukt.3 Skalapodukt. Skalapodukt definees på ganske samme måde som i planen. Definition af skalapodukt: a b Hvis a = a og b = b e to vektoe i ummet, definees skalapoduktet a b ved a3 b3 a b = a b + a b + a b. 3 3 Fo skalapoduktet gælde defo egle, de e ganske mage til de tilsvaende i planen. Vi vil defo ikke gentage dem he, men henvise til afsnit 3.4, 3.6 og det følgende eksempel. Eksempel.3 Anvendelse af skalapodukt Givet punktene A = (,,-3), B = (, -, 3) og C = (3,4,5). ) Find skalapoduktet AB AC ) Find vinklen mellem AB og AC. Løsning: 3 AB = = 4, AC = 4 =. 3 ( 3) 6 5 ( 3) 8 ) AB AC = 4 + 86 = 4 ) Vinklen mellem vektoe findes af fomlen i sætning.5. AB AC 4 7 cos v = = = =. 6799. v = 47 6 53 7 6 AB AC TI89: CATALOG ) dotp([,-4,6],[,,8]) Resultat 48 a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-4,6]),unitv([,,8]))) Resultat 47 6 5
Rumgeometi.4. Linie i ummet. Lad l væe en et linie i ummet, som gå gennem et fast punkt P og e paallel med en egentlig vekto l. Fo vilkålige punkte P på linien l og kun fo disse punkte vil de da gælde: PP = tl, hvo t e et eelt tal. Fo hve vædi af t (kaldet paameteen) svae de ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP = OP + P P OP = OP + t l OP = OP + t l, kaldes en paametefemstilling fo linien l, med paameteen t (som e et eelt tal). l kaldes liniens etningsvekto. k i j l Fig..6. Ret linie l a Lad vektoen l = b og P =(x, y,z ). (jævnfø figu.6) c x x a En paametefemstillingen fo l i koodinate blive da y = y + t b, t eelt tal z z c En linie ha mange paametefemstillinge, da man dels jo kan vælge foskellige faste punkte på l, dels vil alle vektoe popotionale med l kunne benyttes som etningsvektoe. 6
.4 Linie i ummet Eksempel.4. Linies paametefemstilling. ) Find en paametefemstilling fo linien l gennem punktene A=(3,, 4) og B = (,, -3). ) Angiv en paametefemstilling fo liniestykket AB Løsning: 3 ) Da AB = = og et punkt på linien e A e en paametefemstilling fo l: 3 4 7 x 3 y t t R = +, z 4 7 ) Da t = svae til punktet A og t = svae til punktet B, ha liniestykket AB x 3 paametefemstillingen y t t = +, [, ] z 4 7 Man kan opfatte paametefemstillingen fo l som en beskivelse af en jævn etlinet bevægelse x () t a i ummet, hvo t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvekto e. = y () t b z () t c Eksempel.5. Retlinet bevægelse. x 4 Lad y t beskive et legeme L s etlinede bevægelse i ummet, hvo t angive tiden = + z 4 og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløbe i 3 sekunde. b) Find den tid det tage fo L at gennemløbe en stækning på 9 m. Løsning: a) Faten e 4 + + 4 = 36 = 6m/s I 3 sekunde gennemløbes 8 m. 9 b) 9 m gennemløbes på = 5 s 6 7
Rumgeometi Skæing mellem ette linie I ummet vil to ette linie som ikke e paallelle ikke nødvendigvis skæe hinanden. Eksempelvis vil to linie, de indeholde to modstående side i et tetaede ikke skæe hinanden. Linie, de ikke e paallelle og ikke skæe hinanden kaldes vindskæve. Eksempel.6. Skæing mellem linie x x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = + 3 6 y s = + 4 z 4 5 z Vis, at liniene l og m e vindskæve. Løsning: Retningsvektoene l = 6 og m = e ikke paallelle (ikke popotionale) 5 Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 5 t = 5+ s s+ t = 4 s= 4 t () y t = elle. = + 3 6 4 + s 3+ 6t = 4+ s 6t s= s= 6t ( ) z 4 5 4 5t = s s 5t = s= + 5t () 3 7 Indsættes ligning () i ligning () fås ( 4 t) = 6t t = 7 t = Indsættes t = 7 i ligning () fås s= 7 6 4 s= ) 6 Indsættes disse vædie i ligning (3) fås = 7 6 5 5 = Da de ikke findes paametevædie de tilfedsstille alle te ligninge skæe de to linie ikke hinanden. Liniene e vindskæve. TI 89 F: solve(-t=5+x and 3+6t=4+x and 4-5t=-x,{t,x}) Resultat: false Anden mulighed APPS, A b, New, Numbe of eqns :, Numbe of unknown :, Ente Udfyld skemae, F5 8
.4 Linie i ummet Vinkel mellem linie Ved vinklen mellem to linie fostås den spidse vinkel mellem linienes etningsvektoe. Lad linienes etningsvektoe væe l og m l m I afsnit 3.6 fandt vi, at den spidse vinkel v e cos v = l m Eksempel.7. Vinkel mellem linie x 3 x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = + 5 3 y s = + 8 5 z 5 z 9 3 a) Vis, at liniene skæe hinanden, og find koodinatene til skæingspunktet S. b) Find vinklen mellem l og m. Løsning: a) Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 3 3+ t = 5 s s+ t = s= t () 5 y t = elle = + 5 3 8 5 + s 5+ 3t = 8+ 5s 3t 5s= 3 3t = 5s 3 ( ) 9 3 z 5 + 5t = 9+ 3s 5t 3s= 5t = 3s () 3 Indsættes ligning () i ligning () fås 3t = 5 ( t) 3 8t = 8 t = Indsættes t = i ligning () fås 3= 5s 3 s= Indsættes disse vædie i ligning (3) fås 5( ) = 3 5= 5 De to linie skæe hinanden i det til t = - svaende punkt S = (,, -3) Som kontol kan vi se, at indsættes s = fås samme punkt. TI 89 a) F: Solve(3+t=5-x and 5+3t=-8+5x and +5t=-9+3x,{t,x}) Resultat: t=- and x = b) Lad en vinkel mellem l og m væe v. Vi ha da 3 5 l m 5 3 cos v = = = 4 + 5 + 5 = l m 4+ 9+ 5 4+ 5+ 9 38 38 6 38. v = 46.83 TI 89 l m l m e e b) Idet cos v = = l m, hvo el og em e enhedsvektoe fås cos - ( dotp(unitv([,3,5]),unitv([-,5,3]))) Resultat: 46.83 9
Rumgeometi.5 Vektopodukt. Ved mange anvendelse ha man bug fo en anden fom fo podukt af to vektoe, hvo esultatet e en vekto (og ikke et tal). Dette podukt kaldes vektopoduktet (elle kydspoduktet ) af de to vektoe a og b og skives a b. Man sige kot a kyds b. Definition af vektopodukt. Lad a og b væe to egentlige, ikke-paallelle vektoe. a b e da en vekto, ) hvis etning e bestemt ved, at a b stå vinkelet på både a og b, og a, b og a b i denne ækkefølge e i højestilling, ) hvis længde e aealet af det paallelogam, de udspændes af a og b dvs. a b = a b sin v hvo v e vinklen mellem a og b ( v π ). a b b a Fig..7. Vektopodukt Eksempel.8. Rotation. Lad de væe givet et stift legeme L, som otee om en akse l med vinkelhastigheden ω. Fa et vilkåligt punkt O på l afsættes en vekto ω, hvis længde e lig vinkelhastigheden, og hvis etning e fastlagt således, at den sammen med dejningen om l bestemme en højeskuning (se figu.7). Til et givet tidspunkt ha hve patikel P i legemet L en hastighed, de tænkes afsat som en vekto v P ud fa punktet P. Det e klat, at v P = ω d, hvo d e afstanden fa P til aksen l (se figu.7). Idet d e højden i det af ω og = OP udspændte paallelogam, ha dette paallelogam aealet ω d, og demed e v P = ω. Da v P også e ensettet med ω, e hemed vist = ω. v P ω v P ω
.5 Vektopodukt Eksempel.9. Momentvekto Lad k væe en kaft, de ha angebspunkt i punktet P. Kaftens momentvekto m om et punkt Q definees ved m= QP k m k Fig..8. Momentvekto Regneegle fo vektopoduktet. Lad a, b og c væe vektoe i ummet og t et eelt tal. Da gælde ) a b = b a Den kommutative lov gælde ikke. ) ( a b ) c a ( b c ) Den associative lov gælde ikke. 3) a ( b + c) = a b + a c Den distibutive lov gælde. 4) ta ( b) = ( ta) b Den distibutive lov gælde. Bevis: () følge umiddelbat af definitionen. (4) følge også af definitionen, ved at gennempøve de foskellige mulighede t >, t =, t <. () gælde ikke fo alle vektoe, thi hvis i, j og k e basisvektoe i et koodinatsystem, e ( i i ) j = mens i ( i j) = i k = j. (3) ha et noget vanskeligee bevis: a E a = gælde (3) umiddelbat. E a en egentlig vekto og e e = e det tilstækkeligt at vise a e ( b + c) = e b + e c (5) da vi blot ha divideet alle led i (3) med a. Lad nu α væe en plan vinkelet på e, og v en vilkålig vekto (jævnfø figu.9) v Lad endvidee v α væe pojektionen væe pojektionen af e v på α. Vi vil så føst vise, at e v= e v. v α α E v nulvektoen, elle v paallel med e e begge podukte α lig I alle ande tilfælde vil det af e og v udspændte paallelogam have samme aeal som det af e og Fig.9. Tvævekto i plan v α udspændte ektangel. De to vektoe ha altså samme længde, og som figu.9 vise, ha de også samme etning. Da e v α = vα e e v α simpelt hen vα s tvævekto $v α i planen α. Vi ha følgelig e v= e vα = v$ α Anvendes dette på ligning (5) fås e ( b + c) = e b + e c e ( b + c) α = e b α + e c α ( b+ c) α = b $ + c $ Den sidste ligning e sand ifølge egning med tvævektoe. Reglene (3) og (4) sike, at vi kan multiplicee to fleleddede støelse på sædvanlig vis. Reglene () og () vise, at man ikke må ombytte faktoe, og ikke hæve gange paentese. α α
Rumgeometi Eksempel.. Regneegle. Beegn ( a + b c ) ( a b ). Løsning: ( a + b c ) ( a b ) = a a + ( b a ) c a a b b b + c b = 3( b a ) c a + c b Sætning.. Vektopodukts koodinate. a b a3 b3 a b a b a b Lad a = a og b = b. Da gælde a b = a b = 3 3. a b a3 b3 a b 3 3 a b a b En huskeegel e, a b at. koodinaten i a b e deteminanten man få, hvis man se bot fa. ække i a b, a b. koodinaten e med modsat fotegn den deteminant man få hvis man se bot fa anden ække og 3. koodinaten e den deteminant man få, hvis man se bot fa 3. ække. Bevis: Idet a = ai + a j + a3k og b = bi + b j + b3k, fås ved benyttelse af egneeglene (), (3) og (4) samt elationene i i = j j = k k =, at a b= ( ai+ a j+ ak) ( bi+ b j+ bk) = ( ab ab) i+ ( ab ab) j+ ( ab ab) k 3 3 3 3 3 3 Eksempel.. Vektopodukt. Lad A = (, 3, -), B = (-, 4, 4) og C = (,, 3). a) Beegn vektopoduktet AB AC b) Find aealet af ABC. Løsning: 3 3 9 a) Idet AB = og AC = e AB AC = x = 7 5 4 5 4 4 b) Tekant ABC s aeal e T AB AC = = + + = 9 7 4 46 TI 89: CATALOG: a) cossp([-3,,5],[-,-,4]) Resultat [9 7 4 ] b) /* (dotp([9, 7, 4 ],[9, 7, 4 ])) Resultat 46 3 3
.5 Vektopodukt 3 k Fig... Idealiseet kan Fig... Kan Eksempel.. Kæfte. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Hjønespidsene A, B og C tænkes bundet til et vandet plan, hvoi de kan foskydes gnidningsfit (se figu.) Stativet ha sådanne dimensione, at vælges denne plan som xy - plan og punktet A som begyndelsespunkt i et etvinklet koodinatsystem, få hjønespidsene koodinatene A = (,, ), B=(4,, ), C= (, 5, ) og D = (, 6, 3) (se figu 4.). Idet vi tænke os punktet D belastet og demed påviket af en lodet kaft. k k k = >, skal vi finde de eaktionskæfte og. de vike i undestøtningspunktene A, B og C, således at stativet k k A B, k C e i ligevægt.. Løsning: Da de ingen gnidning e, må eaktionskæftene væe lodette. Sættes og fås ifølge statikken, at ligevægten kæve k a k b A B = =, k c C = k k k k AB k AC k AD k A A B C B C + + + = + + = ( ) ( ) kæftenes sum e nul moment om e nul + + + = + + 4 5 6 3 a b c k b c k x = + + = + + = = = = = 4 5 6 9 4 6 5 a b c k b c k k a k b k c k k k k k k k A B C = = = 9 4 6 5,,
Rumgeometi Afstand mellem punkt og linie. Lad en linie l gå gennem punktet A og have etningsvektoen l. Afstanden fa et punkt P til linien l kan findes af fomlen AP l dist( Pl) = l AP l Bevis: Vektoene og udspænde et paallelogam hvis ene side e og hvis højde e PQ (se figuen) AP l Aealet af paallelogammet e PQ l = AP l PQ = l Eksempel.3 Afstand punkt- linie x 3 Find afstanden mellem linien l : y t og punktet P=(, 5, 4). = + 5 z 3 3 43 5 5 9 AP l 4+ 3 7 499 Løsning: Idet A = (,,-3) fås dist( Pl) = = = = = 89. l 3 + 5 + ( ) 38 38 TI 89: CATALOG: nom( cossp([-,4,7],[3,5,-]) )/nom([3,5,-]) l l.6. Plane i ummet. Lad P væe et givet punkt og n en given egentlig vekto. Ved en plan α gennem P med vektoen n som nomalvekto fostås mængden af punktet P fo hvilken vektoen PP stå vinkelet på vektoen n (se figu.). n α k i j Fig.. Plan 4
a Lad punktet P =(x, y, z ) og n = b (jævnfø figu.). c.6 Plane i ummet x x a Da gælde PPn y y b ax x by y cz z () = = ( ) + ( ) + ( ) = z z c Ligningen () kaldes planens ligning. Vektoen n kaldes planens nomalvekto Enhve plan kan altså femstilles ved en ligning af føste gad ax + by + cz + d =, Omvendt vil enhve ligning ax + by + cz + d = hvo (, abc,) (,,) femstille en plan med vektoen a n = b som nomalvekto. c Eksempel.4. Ligning fo plan. Find ligningen fo planen gennem punktene A = (,, ), B = (, -, ) og C = (-, -, ). Løsning: En nomalvekto til planen e n = AB AC = x = 3 4 Planens ligning e da: ( x ) ( y ) ( z ) = x y z+ 3= Vinkel mellem to plane. Ved vinklen mellem to plane fostås vinklen mellem dees nomalvektoe. Denne vinkel kan enten væe spids elle stump. E intet andet nævnt vil man sædvanligvis mene den spidse vinkel. nα nβ Denne spidse vinkel v kan beegnes af cos v =. (se figu.3) n n α β n β n α β α Fig.3. Vinkel mellem plane 5
Rumgeometi I en umlig figu eksempelvis et tetaede kan man ønske at finde den indvendige vinkel i figuen, og denne kan jo godt væe stump. Ønske man eksempelvis i tetaedeet ABCD (se figu.4) at bestemme den indvendige vinkel mellem planene ABD og BCD, så skal man vælge nomalvektoene således at den ene nomalvekto pege indad i figuen og den anden udad figuen. nbcd = BD BC pege he ind i figuen nabd = BD BA pege ud af figuen Den indvendige vinkel i tetaedeet e så nbcd nabd cos(v) = n n Fig..4. Tetaede BCD ABD Eksempel.5. Vinkel mellem plane. Lad hjønene i et tetaede ABCD have koodinatene A = (,, ), B = (, -, ), C = (-, -, ) og D = (, 3, 5) Find den indvendige vinkel i tetaedeet ved kanten AB Løsning: = = Ifølge eksempel.4 ha planen ABC nomalvektoen n AB AC 3 Planen ABD ha nomalvektoen n = AB AD= 3 x 3 = 4 4 n n 3 3+ 8 cos v = = = 476. v = 4.34 n n + + 4 69+ + 4 TI89: a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-,]),unitv([-3,3,-4]))) Resultat: 4.34 6
.6 Plane i ummet Afstand mellem punkt og plan α Ved afstanden mellem et punkt og en plan fostås afstanden PP α, hvo P α e P s pojektion på planen α (se figu.5) α P α k i j Fig..5. Afstand d mellem P og plan Afstanden findes lettest ved benyttelse af sætning.. Sætning.. Afstandsfomel. Punktet P = (x, y, z ) s afstand fa planen med ligningen ax + by + cz + d dist( P, α ) = a + b + c ax + by + cz + d = Beviset e ganske analogt med det tilsvaende bevis i planen fo afstand mellem punkt og linie, og vil defo ikke blive gentaget he. Eksempel.6. Afstandsfomel Lad de væe givet et punkt P = (,, ) og en plan α: x+ y+ z 3=. Find punktet P s afstand til α. Løsning: + + 3 9 dist( P, α ) = = = 3 + + 9 e 7
Rumgeometi Skæing mellem linie og plan. På figu.7 e tegnet en linie l som skæe planen α i punktet S. Da punktet S ligge både i planen α og på linien l må dens koodinate tilfedsstille både liniens paametefemstilling og planens ligning. Femgangsmåden femgå af det følgende eksempel.7. k i j α Fig..6. Skæing mellem linie og plan Eksempel.7. Skæing linie - plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find skæingspunktet S mellem linien og planen. Løsning: x x = t Paametefemstillingen y t y t = + = + z z = t indsættes i ligningen x+ y+ z = ( + t) + ( + t) + t = t = Indsættes t= i paametefemstillingen fås skæingspunktet. S = (, 3, ) 8
.6 Plane i ummet Vinkel mellem linie l og plan α. Pojektionen af l på α e den linie l α som femkomme ved at alle punkte på l pojicees ned på planen α. Vinklen mellem en linie og plan e vinklen mellem linien og dens pojektion på planen (se figu.7). n α k i j Fig..7. Vinkel mellem linie og plan Vinklen v mellem en linie l med etningsvekto l og en plan α med nomalvekto n beegnes lettest ved, at man føst beegne den spidse vinkel u mellem etningsvektoen fo linien og planens nomalvekto. Deefte e v = 9 - u (se figu.7) l n Da cos( u) = sin( 9 u) = sin v fås sin v = l n Eksempel.8. Vinkel mellem linie og plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find vinklen v mellem linien og planen Løsning: l n 7 sin v = = = = 956. v = 7.8 l n 6 9 3 6 TI 89: sin - (abs(dotp(unitv([,,]),unitv([,,])))) Resultat: 7.8 9
Rumgeometi.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang. Polyede Indledning. Ved et polyede fostås et legeme, de e begænset af et endeligt antal plane polygone. Disse polygone kaldes polyedeets sideflade, og dees side og vinkelspidse betegnes henholdsvis som polyedeets kante og hjønespidse.. En diagonal e en et linie, de fobinde to hjønespidse uden at ligge i en af polyedeets sideflade. (se figu.8). Et konvekst polyede e et polyede, hvo det fo vilkålige punkte A og B i polyedeet gælde, at hele liniestykket AB tilhøe polyedeet.. Pisme. Lad de væe givet to polygone F og G, som ikke ligge i samme plan, og hvo F kan føes ove i G ved en paallelfoskydning. (se figu.9). Ved pismet bestemt af F og G fostås det polyede, hvis kante e sidene i F og G samt fobindelsesstykkene mellem tilsvaende vinkelspidse i de to polygone. Afstanden mellem F og G (pismets gundflade) kaldes pismets højde. Rumfanget af et pisme e G h hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden mellem de to paallelle flade. Fig.8. Polyede Fig..9. Pisme Nedenstående figue vise specielle pisme. 3
.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Pyamide Ved en n - sidet pyamide fostås et polyede, de fembinges ved, at vinkelspidsene i en given plan n - kant ABC,... fobindes med et punkt T uden fo polygonens plan (se figu.). Polygonen ABC... kaldes pyamidens gundflade og tekantene TAB, TBC,... kaldes pyamidens sideflade. E H pojektionen af toppunktet T på gundfladen, kaldes HT fo pyamidens højde Af specielle pyamide kan nævnes de tidligee omtalte tetaede, som e begænset af fie tekante. Rumfanget af en pyamide 3 Gh gundfladens aeal og h e højden hvo G e Fig... Pyamide Fig... Tetaede Rumfanget af en cylinde e mellem de to paallelle flade. Rumfanget af en kegle e G h 3 Gh hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden hvo G e gundfladens aeal og h e højden. 3
Rumgeometi.8 Kuglen På figu. e tegnet en kugle med centum i C = og adius. ( x, y, z ) Kuglen kan vises at have umfanget V = π og ovefladen O = 4 π Sætning.3.Kuglens ligning En kugle med centum i C = ( x, y, z ) og adius ha ligningen Bevis: Lad P = (x, y, z)væe et vilkåligt punkt på peifeien af kuglen. Da Kuglepeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius, e CP =. I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Fig.. Kugle med adius ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = 4 3 3 Eksempel.9 Kugle Opskiv ligningen fo kuglen med centum i C = (, -, 5) og adius = 5. Løsning. ( x ) + ( y+ ) + ( z 5) = 5 Ganges kuglens ligning ud fås ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = x + y + z x x y y z z+ x + y + z = Vi kan defo omvendt se, at hvis vi ha en ligning indeholdende leddet det muligvis en kugle. x + y + z så femstille 3
.8 Kuglen Eksempel. Kugle Undesøg om ligningen x + y + z x+ 4y z+ 3= femstille en kugle, og angiv i bekæftende fald kuglens centum og adius. Løsning: Vi ha, at x = y = 4 z = x = y = z = 6 + + = 4 Hemed fås x y z dvs. 4-3 = 9 = elle = 3 Lad en kugle have centum C og adius. Ved kuglens tangentplan i et punkt P på peifeien, fostås den plan, som gå gennem P og stå vinkelet på CP. Eksempel.. Tangentplan En kugle ha centum C = (3, 4,5) og adius = 69. ) Vis, at punktet P = (4,, -3) ligge på kuglepeifeien. ) Find ligningen fo tangentplanen til kuglen i punktet P. Løsning: ) CP = CP = + 4 + 64 = 69 8 Da = CP ligge P på kuglens peifei. ) Tangentplanen gå gennem P og ha nomalvktoen CP = 8 Tangentens ligning: ( x 4) + ( )( y ) + ( 8)( z+ 3) = x y 8z = 4 33
Rumgeometi 34 Opgave til kapitel. Afsæt i et koodinatsystem punktet P = (,, ) og punktet Q = (, -, 3). Afsæt endvidee punktet R, således at vektoen, og angiv R s koodinate. PR =. Lad de væe givet punktene A =(-,, ), B = (3,, 4) og C = (6, 3, 7). Bestem punktet D, så ABCD danne et paallelogam..3 Find det abejde som kaften udføe på en patikel, nå denne bevæge sig etlinet k = 3 4 fa punktet A = (8, -, -3) til punktet B = (-,, 6)..4 Undesøg om vektoene og e indbydes otogonale a b = = 3, c = 5 4 (vinkelette på hinanden)..5 I teningen ABCD - EFGH med kantlængden a, skal man finde vinklen u mellem diagonalen i gundfladen AC og diagonalen AG. Find endvidee vinklen v mellem diagonalene AG og BH..6 Linien l gå gennem punktene A = (,-3,4) og B = (-,4, 3) Angiv en paametefemstilling fo l. En anden linie m ha paametefemstillingen x y z t = + 3 3 Undesøg om liniene l og m skæe hinanden..7 Lad en patikel P bevæge sig med jævn hastighed bestemt ved, hvo t x y z t = + 4 angive tiden i sekunde og afstande egnes i mete. a) Find faten (i m/s) b) Find den stækning ( i m) som legemet gennemløbe i 5 sekunde..8 Givet punktene A = (4, 3, -), B = (5, 9, ), C = (, -, -) og D = (4, 9, ). Lad l væe linien gennem A og B og lad m væe linien gennem C og D. a) Find koodinatene til liniene l og m s skæingspunktet E (foudsat natuligvis at de skæe hinanden). b) Find vinklen mellem de to linie
Opgave til kapitel.9 Et etlinet ø med en diamete på, skal føes fa punktet P i én bygning til punktet Q i en anden bygning. Røets centelinie gå gennem P = (-,, 3) og Q = (5, 4, 6). a) Find en paametefemstilling fo linien gennem P og Q. b) Undesøg om østykket fit kan passee en kommende kassefomet udbygning K givet ved K = {( x, y, z) x y 4 z 4} (Vink: tegn figuen set ovenfa).. En kugle med adius 4 m og med centum i koodinatsystemets begyndelsespunkt otee om z - aksen med en vinkelhastighed ω = ad/sec ( høje om ). Find hastighedsvektoene vp og vqi punktene P =(,, ) og Q = (, 3, 3 ).. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Unde samme betingelse som i eksempel. skal man finde eaktionskæftene i punktene A = (3,, ), B = (,, ) og C = (-, -, ), nå punktet D = (,, 6) e påviket af kaften k =. 4. a) Angiv ligningen fo en plan α, som gå gennem punktene A = (3,, -), B = (,, 3) og C = (-, 3, ). b) Angiv ligningen fo en plan, de gå gennem D = (, 3, ) og e paallel med α..3 Find aealet af ABC., hvo A = (,, -), B = (, -, ) og C = (,, ).4 Lad de væe givet punktene A = (,, ), B = (-,, 3) og C = (,, ). a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde A, B og C. b) Find ligningen fo den plan β, som indeholde A, B og e paallel med z - aksen. c) Find ligningen fo den plan γ, som indeholde A, og e paallel med yz - planen. d) Find de te planes skæingspunkte med x - aksen..5 I tetaedeet ABCD e A = (6,, ), B = (,, 3) og C = (,, ). Idet D ha positive koodinate, DB = DA = 3 og D s pojektion på xz - planen falde på liniestykket AB, skal man a) Skitsee tetaedeet i et etvinklet koodinatsystem og finde D s koodinate. b) Idet P e det punkt på BD fo hvilke BP = BD, skal P s koodinate angives. 3 35
Rumgeometi.6 To ette linie l og m e givet ved paametefemstillingene x x l: y t, t R og = m: y s, s R = + z 3 z Find en ligning fo den plan α, som indeholde l og e paallel med m..7 a) Undesøg om liniene x x l: y t, t R og = + 5 m: y s, = + z z 4 3 s R skæe hinanden. b) Find skæingspunktet mellem linien l og planen α med ligningen α: 6x+ 7y+ z = 6.8 Beegn toplansvinklen mellem to diagonalplane i en tening..9 Taghældningen e ovealt 45 på en filænget gåd (hvo længene stå vinkelet på hinanden. Find vinklen mellem to sammenstødende tagflade tilhøende hve sin længe.. Tetaedeet ABCD e bestemt ved A = (8,, ), B = (, 4, ), C = (3, -, ) og D = (,, ). a) Find afstanden fa C til planen ABD. b) Idet umfanget af en tetaede e, hvo G e gundfladens aeal og h e højden 3 G h skal man finde umfanget af tetaedeet ABCD c) Find vinklen mellem kanten CD og planen ABD. d) Find den indvendige vinkel ved kanten CD. e) Fodpunktet fo højden fa C på planen ABD kaldes H. Find H s koodinate. f) Find vinklen mellem liniene CD og AD.. De e givet et punkt P = (, 3, ), samt en et linie m med paametefemstillingen x y t t R = + 6,. z 5 a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde punktet P og den ette linie m. b) Find ligningen fo den plan β, som gå gennem P og stå vinkelet på linien m. c) Find skæingspunktet H mellem m og β. d) Bestem en paametefemstilling fo linien gennem P, som skæe m unde en et vinkel. e) Find koodinatene til punktet P s symmetiske punkt med hensyn til linien m. 36
. En kugle ha centum i C = (3, 5, -) og gå gennem punktet P = (,, -3). Opskiv kuglens ligning. Opgave til kapitel.3 Angiv en ligning fo den kugle, de gå gennem punktet P = (4, 6, 9) og som tangee xy-planen i punktet O = (..).4 Bestem centum og adius fo de kugle, hvis ligninge e a) x + y + z 6x+ 6y+ 64= b) x + y + z 8y+ 5= 37
3. Sfæisk geometi 3. Sfæisk geometi 3.. Gundbegebe Plangeometien handle om egenskabe ved figue tegnet i en plan, mens den sfæiske geometi behandle egenskabe ved figue tegnet på en kugleflade. Den sfæiske geometi finde bl.a. anvendelse i astonomien (stjenene sidde på en kugleflade), og i geogafien ( joden opfattes som en kugle) Stocikel Ved en stocikel på en kugle fostås den cikel de femkomme ved skæing mellem kuglen og en plan gennem kuglens centum. Som eksemple på stocikle kan nævnes jodens ækvato og længdeciklene, som alle e stocikle. To punkte på kuglen, de ikke e diamentalt modsatte, bestemme netop en stocikel. Dette ses af, at de to punkte sammen med kuglens centum bestemme netop en plan. To stocikle skæe hinanden i to diamentalt modsatte punkte. Dette ses af, at de to plane skæe hinanden i en kuglediamete. (se figu 3.) Fig 3.. To stocikle Pole Til enhve stocikel høe pole. Disse e bestemt som skæingspunktene mellem kuglen og linien gennem kuglens centum vinkelet på planen bestemt ved stociklen. Et eksempel e jodens ækvato, som e en stocikel og dens to pole nodpol og sydpol. To stocikle siges at væe vinkelette på hinanden, nå dees plane e det. Hve af stociklene vil så indeholde hinandens nomale gennem begyndelsespunktet O. De vil defo indeholde hinandens pole. Omvendt gælde, at indeholde en stocikel en anden Fig 3.. To stocikle vinkelet på stocikels pole, e de to stocikle vinkelette på hinan- hinanden den. 38
3. Sfæisk tekant Ved den sfæiske afstand mellem to punkte A og B fostås den mindste af de to stocikelbue, de fobinde punktene målt i gade (elle adiane) Sfæisk tokant To foskellige stocikle dele kuglen i 4 omåde. Hve af disse omåde kaldes en sfæisk tokant. En tokant begænses altså af halve stocikle. På figuen e det skaveede omåde således en tokant. Tokantsvinklen v e afstanden mellem de to halvcikles midtpunkte, hvilket e den samme som vinklen mellem de to plane de bestemme stociklene. Det blive defo også den sfæiske afstand mellem de to pole P og Q på figu 3.3. Vælges de pole, de ligge på samme side af stociklen som tokanten blive det vinklen mellem P og Q, dvs. den blive 8 - v. Fig. 3.3. Tokant 3. Sfæisk tekant Te stocikle, de ikke gå gennem samme punkt, dele kuglen i otte omåde. Hvet af disse kaldes en sfæisk tekant. På figu 3.4 e aftegnet en af disse tekante med vinkelspidsene A, B og C. Hve af de sfæiske afstande mellem to af tekantens vinkelspidse kaldes en side. Disse side betegnes på samme måde som i plangeometien med a, b og c. Ligeledes tale man i en sfæisk tekant om mediane, højde osv. i tilsvaende betydning som fo en plan tekant. Fig. 3.4. Sfæisk tekant Lillecikel Skæe vi kuglen med en plan, de ikke gå gennem centum af kuglen blive skæingskuven en cikel. Denne kaldes en lillecikel. En beddecikel e et eksempel på en lillecikel (idet dog vi he se bot fa ækvato, som jo e en stocikel. 39
3. Sfæisk geometi Af figu 3.5 ses, at hvis lilleciklen e en beddecikel på b bedde, så e adius BA = cos b. Omkedsen af lilleciklen e følgelig π cos b E den sfæiske afstand mellem to punkte på stociklen v så e den tilsvaende buelængde på lilleciklen følgelig v cosb Fig 3.5 Omkeds af lillecikel Eksempel 3.. Sejlads langs beddecikel Et skib sejle fa Esbjeg (55.3 N, 8.5 Ø) til et punkt P (55.3 N,.5 V) ved den engelske kyst langs beddeciklen 55.3 N. Idet skibet sejle med en fat på 6 knob, skal man beegne hvo lang tid det tage fo skibet at sejle fa Esbjeg til P. Løsning: PÅ figuen e N nodpolen og NB og NA e længdeciklene gennem E og P ned til ækvato. Idet N =.5 + 8.5 = 9.55 e BA =9.55 Heaf følge at EP = 9.55 cos(55.3) = 5.44 5.44 6 =.4 time Idet = 6 sm vil sejladsen vae 6 Til beegning af stykkene i en vilkålig plan tekant anvendes cosinus- og sinuselationene. Ganske på samme måde kan man fo en vilkålig sfæiske tekant udvikle cosinus-og sinuselatione. Beviset fo disse elatione e et omfattende og kæve en ække suppleende begebe udviklet. Dette ske i det følgende afsnit. 4
3.3 Sfæiske koodinate 3.3. Sfæiske koodinate, polatekant 3.3. Polatekant Ved polatekanten A B C til en sfæiske tekant ABC fostås den sfæiske tekant, hvis vinkelspidse e pole fo sidene til den givne tekant, idet man ved udvælgelsen af polen fo en tekantside skal vælge den pol, de ligge på samme side af tekantsiden som tekant ABC. På figu 3.6 e således A pol fo stociklen gennem B og C, og afstanden A A < 9, da A ligge på samme halvkugle som A De gælde nu følgende sætninge: Fig. 3.6. Polatekant Sætning 3.. Hvis A B C e polatekant til ABC, vil omvendt ABC væe polatekant til A B C. Bevis: Idet B C indeholde en pol fo hve af sidene AC og AB, e B C vinkelet på disse to side. Gennem sidenes skæingspunkt A vil de defo gå to foskellige stocikle vinkelet på B C. A e følgelig en pol fo B C. Tilsvaende indses, at B og C e pole fo henholdsvis AC og AB. Sætning 3. E A B C polatekant til ABC vil side og vinkle i A B C væe supplementvinkle til vinkle og side i ABC. De gælde altså A = 8 - a, B = 8 - b, C = 8 - c, a = 8 - A, b = 8 - B, c = 8 - C. Bevis: Betagte den af AB og AC bestemte tokant, e den sfæiske afstand a mellem de to pole C og B (ifølge afsnittet om tokante ) 8 -toplansvinklen A. dvs. a = 8 - A Tilsvaende kan vises fo de øvige side. Da ABC e polatekant fo A B C fås tilsvaende, at a =8 - A, hvoaf A = 8 - a 3.3. Sfæiske koodinate Vi betagte en kugle med centum O og adius. Vi anbinge et koodinatsystem med centum i O (se figu.7) Fo et vilkåligt punkt P betegne vi dens sfæiske afstand til punktet (,, ) med. θ Vi ha nu, at OP = OP + OP, og = OP = OP + OP () Af den etvinklede tekant OPP, fås OP = cosθ Indsættes dette i (), fås = cos θ + OP OP = ( cos θ) OP = sin θ Da θ π e sinθ, dvs. OP = sinθ Koodinatene til OP kan defo skives på fomen sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ,, hvo ϕ π ( ) Da tediekoodinaten til OP e OP k = cosθ ha vi nu OP s koodinate, og demed P s koodinate Fig..7. Sfæiske koodinate P = ( sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ, cosθ) Beliggenheden af P på kuglen kan defo kaakteisees ved talpaet ( ϕ, θ), som kaldes punktets sfæiske koodinate. I geogafien og astonomien måles vinklene ofte i gade, og man estattes i eglen θ med v = 9 - θ Eksempelvis ligge København 55 4' nodlig bedde og 35' østlig længde. θ 4
3. Sfæisk geometi 3.4. Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant Sætning 3.3 Fo en sfæisk tekant ABC med sidene a, b og c gælde følgende fomle Cosinuselationene: cosa cosb cosc (a) cos a = cosb cosc+ sin b sin c cos A elle (b) cos A = sin b sin c cos A+ cos B cosc (a) cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa elle (b) cosa = sin B sin C Sinuselationene: sin a sin b sin c (3) = = sin A sin B sin C Det e klat, at ha man en tekant PNQ (hvad man ofte ha, da N e nodpolen) så kan man bae indsætte de elevante bogstave eksempelvis cos p = cosq cosn+ sin q sin n cos P Bevis: Bevis fo fomel (a) Koodinatsystemet anbinges som på figu 3.8, således at C ha koodinaten (,,), B ligge i xz-planen med positiv føstekoodinat, og A ha positiv andenkoodinat. A ha da de sfæiske koodinate (b, C) og B ha koodinatene (a,). sinbcosc sina Heaf følge OA = sinbsinc og OB = cosc cosa OA OB = sina sinb cosc+ cosa cosb Da vi samtidig ha, at OA OB = OA OB cosc = cosc få vi, at cosc= cosa cosb+ sin a sinb cosc Bevis fo fomel (a) Benyttes fomel () på polatekanten A B C fås Fig. 3.8. Sfæisk tekant cos a = cosb cosc + sinb sinc cos A Af sætning. følge nu ved indsættelse cos ( 8 A) = cos( 8 B) cos( 8 C) + sin( 8 B) sin( 8 C cos( 8 a) Da cos( 8 u) = cosu og sin( 8 u) = sinu, fås cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa Hemed e fomel () bevist 4