Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På en opspaingskonto indbetale man jo ikke et beløb én gang, men sætte i stedet løbende penge ind. Tale man om lån, kan man helle ikke buge entefomlen til udegninge, idet et lån køe på den måde, at man afbetale på lånet hve temin, mens de også løbende tilskives ente. 1.1 Opspaingsannuitet En opspaingsannuitet e en opspaingskonto, hvo de indbetales lige stoe beløb med lige lange mellemum. Hvis enten e fast vise det sig, at man kan udlede en fomel til beegning af, hvo mange penge, de stå på kontoen efte et bestemt antal indbetalinge. Taleksempel He ses på en konto med en entefod (vækstate) på 1,5% p.a., hvo de ved hve indbetaling indsættes 10000 k. Hvis indbetalingene påbegyndes 2.1.2011, og falde på den 2.1 hvet å, vil man efte 4 indbetalinge væe nået fem til 2.1.2014. He ha man altså spaet penge op ove 3 å, men antallet af indbetalinge e 4. Skal man beegne, hvo mange penge, de stå på kontoen umiddelbat efte den 4. indbetaling, kan man gå fem på følgende måde: Det beløb man indsætte hvet å kaldes ydelsen, b. Den ålige vækstate kaldes, antallet af indbetalinge kaldes n, og saldoen på kontoen, kaldes A n. I det givne eksempel ha man altså b = 10000 k., = 0,015 og n = 4. Støelsen A 4, som svae til saldoen på kontoen efte de 4 indbetalinge, e ukendt og skal beegnes. Se man på, hvad de ske med indbetalingene, ha man, at Den 2.1.2011 indsættes 10 000 k. Dette beløb foentes i 3 å fem til 2.1.2014, hvo beløbet e vokset til 10000 k. 1,015 3 (ifølge entefomlen). Den 2.1.2012 indsættes igen 10000 k., de foentes i 2 å fem til 2.1.2014, hvo beløbet e vokset til 10000 k. 1,015 2. 1
2 Den 2.1.2013 indsættes 10 000 k., de foentes 1 å, så beløbet vokse til 10000 k. 1,015. Den 2.1.2014 indsættes 10 000 k. Det samlede beløb på kontoen fås ved at lægge de 4 vædie ovenfo sammen, således at A 4 = 10000 k. + 10000 k. 1,015 + 10000 k. 1,015 2 + 10000 k. 1,015 3. He ses, at man kan sætte 10000 k. uden fo paentes, så man ha A 4 = 10000 k. (1 + 1,015 + 1,015 2 + 1,015 3 ) = 40909,03 k.. (1) Dette e altså saldoen på kontoen efte 4 indbetalinge. De 40000 k. svae til indbetalingene, mens de esteende 909,03 k. e påløbne ente. Denne femgangsmåde kan sagtens anvendes til at beegne saldoen på en opspaingskonto, men i paksis blive paentesen i (1) hutigt besvælig at egne ud. Hvis man f.eks. skulle se på saldoen efte 15 indbetalinge, blive udegningen meget lang. Det vise sig, at man i stedet kan anvende følgende Sætning 1: Opspaingsannuitet Fo en opspaingsannuitet, gælde A n = b an 1, hvo A n e saldoen efte sidste indbetaling, b e ydelsen, dvs. indbetalinge p. temin, e vækstaten, n e antal indbetalinge, og a = 1 + e femskivningsfaktoen. Denne sammenhæng kan også skives som A n = b (1 + )n 1. Beviset fo fomlen kan ses i afsnit 1.3. Eksempel 2 De indbetales hvet å 2000 k. på en opspaingskonto, hvo enten e 1,3% p.a. Hvis de indbetales 10 gange e b = 2000 k., = 0,013, a = 1,013 og n = 10. Umiddelbat efte den 10. indbetaling e saldoen på kontoen defo A 10 = 2000 k. 1,01310 1 0,013 = 21211,50 k. Kende man ikke ydelsen, kan man beegne den som i dette eksempel:
1 Opspaing og lån 3 Eksempel 3 Hvis man ønske at spae 50000 k. op med 15 ålige indbetalinge, hvo meget skal man så indbetale, hvis enten e 2,1%? I dette tilfælde kende man støelsene = 0,021, a = 1,021, n = 15 og A 15 = 50000 k. Indsættes disse støelse i fomlen fås 50000 k. = b 1,02115 1 0,021 0,021 50000 k. 1,021 15 1 = b 2870,45 k. = b. Vil man spae 50.000 k. op med 15 ålige indbetalinge, skal de altså hvet å indbetales 2870,45 k. Hvis antallet af indbetalinge e ukendt, blive udegningen en smule mee besvælig: Eksempel 4 Hvis man hvet å indbetale 6000 k. på en konto til 2,3% i ente, hvo mange indbetalinge kæve det så, fo at man kan spae 75000 k. sammen? He kende man b = 6000 k., = 0,023, a = 1,023 og A n = 75000 k. Indsat i fomlen give det 75000 k. = 6000 k. 1,023n 1 0,023 75000 k. = 1,023n 1 6000 k. 0,023 75000 6000 0,023 = 1,023n 1 75000 6000 0,023 + 1 = 1,023n ( ) 75000 log 6000 0,023 + 1 = log(1,023 n ) ( ) 75000 log 6000 0,023 + 1 = n log(1,023) log ( 75000 6000 0,023 + 1) log(1,023) 11,11 = n. = n He kan man se, at det altså ikke e helt nok at indbetale 11 gange, de skal 12 indbetalinge til. Det samme esultat kunne man selvfølgelig også væe nået fem til ved at pøve efte med foskellige vædie af n.
4 Den sidste mulighed, de ikke e behandlet i eksemplene ovenfo, ha man, hvis enten e ukendt. I dette tilfælde ende man med en ligning, de ikke umiddelbat kan løses. He må man så i stedet pøve sig fem med foskellige vædie af. 1.2 Annuitetslån Nu vendes blikket mod tilbagebetaling af gæld. Mange lån afvikles på den måde, at låntageen betale et fast beløb (kaldet ydelsen) hve temin (f.eks. hve måned, kvatal elle å) til långiveen. Ydelsen dække de ente, de e løbet på siden sidste indbetaling, mens den esteende del, buges til at gøe gældsbeløbet minde. Det opindelige gældsbeløb (dvs. de penge, man ha lånt) kaldes hovedstolen. Hvodan tilbagebetalingen af et sådant lån et annuitetslån ske, belyses i dette eksempel: Taleksempel Den 2.1.2011 optages et lån på 20 000 k. Vækstaten e 9%, og ydelsen e fastsat til 3000 k. om ået. Ydelsen betales 2.1, og på denne dato foetages også entetilskivning. Tilbagebetalingen fotsætte til lånet e afviklet. Løbetiden e det antal temine, de gå indtil lånet e nede på 0, og den kan beegnes. De ske nu følgende: 2.1.2012: De tilskives 9% i ente, så gælden vokse til 20000 k. 1,09 = 21800 k. Hefa tækkes ydelsen på 3.000 k., så estgælden e nu 21800 k. 3000 k. = 18800 k. Restgæld (k.) 20000 15000 10000 5000 (2; 17 492) 2 4 6 8 10 (8; 6765,83) Antal temine Figu 1: Et lån på 20000 k. tilbagebetales med en ydelse på 3000 k. og en ente på 9%. Bemæk, at betalingen på 3000 k. kun ha fomindsket gælden med 1200 k. 2.1.2013: De tilskives igen 9% i ente (til estgælden på 18800 k.), så gælden e nu 18800 k. 1,09 = 20492 k. Fa dette beløb tækkes igen ydelsen på 3000 k., så estgælden e 20492 3000 k. = 17492 k. På denne måde fotsætte man med at betale tilbage, indtil estgælden e nede på 0. Man kan beegne, at løbetiden e ca. 11 temine, så låntageen komme til at betale ca. 11 3000 k. = 33000 k. fo at låne de 20000 k. På figu 1 ses, hvoledes estgælden udvikle sig med tiden. Det vise sig, at man kan egne på annuitetslån vha. følgende fomel:
1 Opspaing og lån 5 Sætning 5: Gældsannuitet Fo et annuitetslån gælde G = y 1 a n og y = G 1 a n, hvo G e hovedstolen, y e ydelsen, e vækstaten, n e løbetiden, og a = 1 + e femskivningsfaktoen. Disse fomle kan også skives som 1 (1 + ) n G = y og y = G 1 (1 + ) n. Beviset fo denne sætning kan ses i afsnit 1.3. Eksempel 6 (Ukendt hovedstol) Hvis man ha åd til at optage et lån til 500 k. om måneden i 3 å og den ålige ente e 8%, hvo mange penge kan man så låne? He ses, at det beløb, man betale om ået e 12 500 k. = 6000 k.. Altså e y = 6000 k., = 0,08, a = 1,08 og n = 3. Sætning 5 give da, at den samlede gæld e 0,08 G = 6000 k. = 15462,58 k. 1 1,08 3 Det e altså dette beløb, man ha åd til at låne. Til gengæld skal man huske på, at det man ent faktisk komme til at betale tilbage e 3 6000 k. = 18000 k. Situationen i eksemplet ovenfo e nok en anelse uvikelig. Ofte ved man jo pæcis, hvo mange penge, man vil låne. Men sætning 5 kan også buges til at egne ud, hvad ydelsen vil væe, hvis man kende lånets støelse og løbetid. Eksempel 7 (Ukendt ydelse) Hvis man låne 50.000 k. og ønske at betale dem tilbage ove 5 å, hvo sto e ydelsen så, hvis enten e 12%? He kende man G = 50000 k., = 0,12, a = 1,12 og n = 5. Indsat i fomlen fa sætning 5 give det 0,12 y = 50000 k. = 13870,49 k. 1 1,12 5 Det e altså det beløb, de skal betales tilbage om ået. Den tilsvaende månedlige ydelse blive så 13870,49 k. y måned = = 1155,87 k. 12
6 1.3 Bevis fo annuitetsfomlene I dette afsnit bevises fomlene i sætning 1 og sætning 5. Bevis (fo sætning 1) Betagte man ligningen (1), ses at denne kan genealisees til A n = b (1 + a + a 2 + + a n 1 ). Nu definees S = 1 + a + a 2 + + a n 1. De gælde altså A n = b S. Tillige gælde de, at a S = a (1 + a + a 2 + + a n 1 ) = a + a 2 + a 3 + + a n. Beegne man nu støelsen (a 1) S fås Dette give, at (a 1) S = a S S = (a + a 2 + a 3 + + a n ) (1 + a + a 2 + + a n 1 ) = a n 1 (a 1) S = a n 1 S = an 1 a 1, og da a 1 =, e S = an 1. Fa tidligee haves, at A n = b S, så defo e og sætningen e hemed bevist. A n = b an 1, I beviset fo sætning 5 anvende man sætning 1 og entefomlen. Bevis (fo sætning 5) Nå man afdage en gæld med n lige stoe ydelse y, vil vædien af disse ydelse fo långiveen kunne beegnes ud fa fomlen fo annuitetsopspaing (sætning 1). Kaldes denne støelse K, ha man K = y an 1. Men gælden blev optaget n temine tidligee, så gældens vædi femskevet n temine e også lig med K, som ifølge entefomlen så skal væe K = G a n.
2 Indekstal 7 Disse to udtyk fo K må nødvendigvis væe lig hinanden, dvs. G a n = y an 1 G = y an 1 a n G = y a n a n 1 a n G = y 1 a n. Hemed e sætningen bevist. 2 INDEKSTAL Inden fo økonomi og statistik benytte man sig ofte af de såkaldte indekstal. Indekstal angive vædien af en given støelse i fohold til et bestemt å, kaldet basisået. Indekstallet fo et bestemt å angives som vædien i fohold til basisået gange 100. E en støelse vokset med 13% i fohold til basisået, vil denne udtykkes som indekstallet 113, mens et fald på 5% i fohold til basisået udtykkes som indekstallet 95. Taleksempel Den gennemsnitlige månedsløn fo fastlønnede pivatansatte fo 5 udvalgte å ses i tabel 1. Denne udvikling beskives nu i indekstal med 2000 som basiså. Vædien i å 2000 (28211,44 k.) sættes altså til 100, og de esteende vædie beegnes heudfa. Den pocentdel som den gennemsnitlige månedsløn i 2001 udgø af vædien i 2000 e 30 215,58 = 1,071 = 107,1%. 28211,44 Indekstallet fo 2001 e defo 107,1. Den gennemsnitlige månedsløn i 2002 udgø 30 835,69 = 1,093 = 109,3%, 28211,44 dvs. indekstallet fo 2002 e 109,3. Bemæk, at indekstallene angives uden %-tegn. På samme måde udegnes de esteende to indekstal og man få tallene i tabel 2. Vælge man i stedet et andet basiså, få man selvfølgelig ande vædie. Med 2002 som basiså fås tabel 3. Tabel 1: Gennemsnitlig månedslån fo pivatansatte, 2000 2004. Å Løn (k.) 2000 28 211,44 2001 30 215,59 2002 30 835,69 2003 32 068,18 2004 32 353,84 Tabel 2: Indekstal fo gennemsnitlig månedsløn med basiså 2000. Å Indeks 2000 100 2001 107,1 2002 109,3 2003 113,7 2004 114,7 Tabel 3: Indekstal fo gennemsnitlig månedsløn med basiså 2002. Å Indeks 2000 91,5 2001 98,0 2002 100 2003 104,0 2004 104,9
8 2.1 Pocentvise ændinge Nå man tale om pocentvise ændinge af indekstal e det vigtigt at skelne mellem to ting: Ænding i pocent og ænding i pocentpoint. Det sidste fænomen gennemgås føst. Pocentpoint Nå man tale om ændingen i pocentpoint, se man på hvad foskellen på de to indekstal, man sammenligne, e. Se man f.eks. på indekstallene fo å 2000 fa taleksemplet ovenfo, se man at foskellen på indeks fo å 2002 og 2003 e 113,7 109,3 = 4,4. De e altså sket en vækst på 4 pocentpoint fa 2002 til 2003. Ændingen i pocentpoint e afhængig af, hvilket å, man ha valgt som basiså. Pocent Hvis man skal se på, hvo sto stigningen fa 2002 til 2003 e i pocent, skal man i stedet sammenligne de to tal ved at udegne 113,7 109,3 = 1,0403. Dette e en femskivningsfakto. Den tilsvaende vækstate e 1,0403 1 = 0,0403. Væksten fa e 2002 til 2003 e altså på 4,03%. Som man se, e det altså ikke undeodnet om man tale om vækst i pocent elle vækst i pocentpoint. Tabel 4: Danmaks poduktion af vindenegi med 2005 som basiså. Å Indeks 2005 100 2006 101,3 2007 110,7 2008 109,8 Tabel 5: Danmaks poduktion af vindenegi, 2005 2008. Å Vindenegi (TJ) 2005 125 674 2006 127 308 2007 139 121 2008 137 990 He følge to eksemple, de behandle nogle udegninge, de kan væe paktiske i fobindelse med indekstal: Eksempel 8 (Absolutte tal) I tabel 4 e angivet Danmaks poduktion af vindenegi i åene 2005 til 2008 med 2005 som basiså. Få man nu at vide at poduktionen af vindenegi i 2006 va 127308 TJ finde man poduktionstallet fo et andet å ved at udegne femskivningsfaktoen fo ændingen fa det pågældende å til 2006, og gange op med denne. Femskivningsfaktoen, nå man gå fa 2006 til 2005 e 100 101,3, så poduktionen af vindenegi i 2005 va 100 127308 TJ = 125674 TJ. 101,3 På samme måde udegne man tallet fo 2007: 110,7 127308 TJ = 139121 TJ. 101,3 Udegnes vædien fo alle de manglende te å, få man tabel 5.
2 Indekstal 9 Eksempel 9 (Skift af basiså) He ses på de samme tal som i eksempel 8, se tabel 4. Somme tide kan det væe en fodel at skifte basiså. Dette kunne f.eks. væe, hvis man skal sammenligne to foskellige indeks, de ha foskellige basiså. Hvis tabellen skal egnes om til basiså 2007, beegne man igen den pocentvise vædi i fohold til basisået. Dette e nu 2007, så man få fo 2005: Dvs. indeks fo 2005 e nu 90,3. 100 110,7 = 0,903. Fo 2006 fås altså e indeks 91,5. 101,3 110,7 = 0,915, De nye indekstal blive så tallene i tabel 6. Tabel 6: Danmaks poduktion af vindenegi med 2007 som basiså. Å Indeks 2005 90,3 2006 91,5 2007 100 2008 99,2
10 3 OPGAVER Opgave 1 Lad A n = 1200 k., = 2% og n = 8. Benyt annuitetsopspaingsfomlen til at bestemme b. Opgave 2 Lad b = 1273 k., = 11,11% og n = 7. Benyt annuitetsopspaingsfomlen til at bestemme A n. Opgave 3 Lad A n = 6170 k., = 4% og b = 193 k.. Benyt annuitetsopspaingsfomlen til at bestemme n. Opgave 4 Lad A n = 3000 k., b = 300 k. og n = 8. Benyt annuitetsopspaingsfomlen til at bestemme med 2 decimale. (NB: opgaven løses ved at pøve efte med foskellige vædie af.) Opgave 5 På en annuitetsopspaingskonto e det faste månedlige beløb 1620 k., og den månedlige ente e 1%. Hvad e saldoen efte den 9. indbetaling? Opgave 6 En familie kan hve måned sætte 8000 k. i banken. De tilbydes en konto med en månedlig ente på 0,75%. Hvo mange månede skal familien indsætte penge fo at saldoen ovestige 250000 k.? Opgave 7 En familie ønske at spae op til udbetalingen på et hus, de koste 4000000 k. Udbetalingen e på 10% af huspisen. De kan få 0,4% i månedlig ente i dees bank. Hvo sto skal den månedlige indbetaling væe, hvis familien ønske at have til udbetalingen efte 48 indbetalinge? Opgave 8 Gunhild ha hvet kvatal indbetalt 4070 k. på en konto i banken. Efte 26. kvatalsvise indbetaling e det blevet til 160000 k. a) Hvad ha den kvatalsvise ente væet (2 decimale)? b) Hvilken ålig ente svae en sådan kvatalsvis ente til? Opgave 9 På en annuitetsopspaingskonto indbetale en mand 1835 k. om ået til en ålig ente på 7,3%. a) Hvad stå de på kontoen umiddelbat efte den 28. indbetaling? b) Hvo meget ha han fået i ente? Manden blive nu kontaktet af en anden bank, de tilbyde en annuitetsopspaing med en ålig ente, de e det dobbelte af enten på den gamle konto. c) Besva fo den nye ente de samme to spøgsmål som ovenfo. d) Betyde en fodobling af enten en fodobling af opspaingen og af den samlede entetilskivning?
3 Opgave 11 Opgave 10 Thokild beslutte at indbetale 3500 k. hve måned på en konto, hvo han få 0,9% i ente p. måned. a) Hvo meget vil de stå på kontoen umiddelbat efte den 13. indbetaling? Det vise sig, at Thokild få nogle ufoudsete udgifte, så han kun nå at foetage 10 indbetalinge. Han lade deefte pengene stå i 3 månede til den aftalte ente. b) Hvo meget stå de da på kontoen? c) Hvo meget miste Thokild i enteindtægt ved at afholde sig fa at indbetale de sidste 3 gange? Opgave 11 Lad G = 150000 k., = 2,5% og n = 14. Benyt fomlen fo annuitetslån til at bestemme y. Opgave 12 Lad y = 12000 k., = 4,5% og n = 28. Benyt fomlen fo annuitetslån til at bestemme G. Opgave 13 Lad G = 12345 k., y = 719,74 k. og = 4,44%. Benyt fomlen fo annuitetslån til at bestemme n. Opgave 14 Lad G = 12000 k., y = 1000 k. og n = 15. Benyt fomlen fo annuitetslån til at bestemme (2 decimale). (NB: He blive man nødt til at pøve efte med foskellige vædie af.) Opgave 15 Bjane Eiksen ha købt sig en scoote på afbetaling. Scooteen koste 25000 k., men Bjane give 20% i udbetaling ved købet. Restbeløbet betale han i 48 lige stoe ate. Hvo meget betale han p. måned, nå cykelhandleen tage 2,5% i ente p. måned? Opgave 16 Hos»Fedes Cykle & Knallete«tilbydes et annuitetslån til en uundvælig mountainbike til kun 17000 k. De e månedlige temine, og den månedlige ente e på 2%. Løbetiden på lånet e på 8 å. a) Bestem den månedlige ydelse. b) Hvo meget komme man til at betale i ente på lånet? Opgave 17 Ane Rasmussen tilbydes et annuitetslån på 45000 k. med ålige temine og en ålig ente på 5,6%. Han skal betale lånet tilbage på 7 å. Bestem den månedlige ydelse. Opgave 18 Hvo meget kan Kaj højst tillade sig at låne i en bank, nå han i sit budget kan undvæe 2000 k. p. halvå, banken tage 5% i ente p. halvå, og lånet skal betales tilbage ove 6 å? Opgave 19 Thya Madsen skal giftes og få defo syet en budekjole fo 55000 k. i en budefoetning. Kjolen kan enten betales i 60 lige stoe månedlige ate med en ente på 2% p. måned elle i 72 lige stoe ate med en ente på 1,75% p. måned. a) Hvad komme Thya af med p. måned efte hve af de to betalingsmåde? b) Hvad komme Thya i alt til at betale fo kjolen efte hve af de to betalingsmåde?
12 Opgave 20 Den gennemsnitlige fobugepis på benzin 98 oktan p. 10.1. det pågældende å ses i skemaet: Opgave 22 I tabellen ses befolkningstallene fo København og Jylland i nogle af åene fa 1769 til 2005. Å Pis (k.) 2000 7,77 2001 8,18 2002 8,01 2003 8,47 2004 8,37 2005 8,65 2006 10,13 a) Udegn indekstal fo fobugepisen på benzin 98 oktan fa 2000 til 2006 med 2000 som basiså. b) Bestem den pocentvise ænding fa 2001 til 2004 samt fa 2005 til 2006 fo benzinpisen. Opgave 21 Nedenstående tabel vise oplysninge om danskenes samlede fobug af vin og spiitus, dels målt i mia. k., dels angivet som indekstal med å 2000 som basiså. Å København Jylland 1769 80 000 350 663 1801 100 975 385 124 1850 129 695 600 876 1870 181 291 788 119 1901 378 235 1 063 792 1921 561 344 1 498 479 1930 617 069 1 623 362 1950 768 105 1 902 093 1970 622 773 2 193 590 1990 466 723 2 378 348 2000 495 699 2 463 182 2005 502 362 2 497 236 a) Bestem indekstal fo befolkningstallene fo henholdsvis København og Jylland med 1801 som basiså. b) Afgø ved beegning, om befolkningstallet i København elle Jylland e steget pocentvis mest fa 1850 til 1950. Åstal Fobug (mia. k.) Indekstal 2000 7,3 100 2003 114 2006 9,4 a) Bestem fobuget i 2003. Bestem indekstallet fo 2006. b) Hvo mange pocent e fobuget af vin og spiitus i gennemsnit vokset om ået i peioden 2000 2006?