Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere end ét reciprokt element b 1? Tip: Betragt udtryk af formen -b 1 + b + -b 2 b 1 1 b b 1 2 benyt regnereglerne i legemer TØ-Opgave 2 Boolsk algebra Scheffer s streg: Legemer behøver ikke at bestå af tal Så vores lille legeme {0, 1} med additions- multiplikationstabellerne + 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 kunne feks bestå af sandhedsværdierne falsk 0 sand 1 Dvs + bliver de liske/boolske operatorer exclusive or and, vi har nu 10 lik-regler T1-10 for disse to operationer! Vi definerer nu en ny operation kaldet Sheffer s streg: 0 1 0 1 1 1 1 0 Idet, betegner hhv de liske operatorer not, and or, bedes I vise følgende for alle sandhedsværdier a b : a a b = a b Sheffer s streg kaldes så nand b a a = a c a b = a b Tip: Se på tabeller for bla a b a b Benyt dette til at udtrykke a b a + b udelukkende via den nye operator I dette lille legeme har vi altså ikke brug for to forskellige operatorer, idet alle sædvanlige liske operatorer kan udtrykkes via Sheffer s streg! Har c net at gøre med følgende udsagn?: Hvis A B er to delmængder af rummet R 2, så er foreningsmængden A B lig med R 2 \ R 2 \ A R 2 \ B, hvor R 2 \ betegner komplementærmængde fællesmængde TØ-Opgave 3 Det irrationelle tal 2: I Forelæsningsnote 1 påstås det, at 2 ikke er et rationelt tal Vis, at dette er korrekt ved at antage, at der findes to heltal p q 0, så p = 2 q Tip: Vis, at denne antagelse medfører, at p 2 er et lige heltal, at p er lige, at q er lige, at brøken p derfor kan forkortes med en q faktor 2 i tæller nævner Hvorfor fører antagelsen tilsidst til en modstrid?

TØ-Opgave 4 Legemerne blandt ringene Z q : Når man heltalsdividerer et heltal p med et positivt heltal q N, får man en heltallig kvotient kvot = p div q en heltallig rest r = p mod q, hvor r {0, 1,, q 1}, p = kvot q + r Feks er 21 div 4 = 5 21 div 4 = -6, idet resterne er hhv 1 3 Lad nu et heltal q 2 være givet, betragt den endelige mængde Z q = {0, 1,, q 1} Vi definerer additionen + q multiplikationen q på denne mængde via de sædvanlige heltalsoperatorer + : a + q b = a + b mod q a q b = a b mod q får herved en ring med 1-element Dette behøver I ikke vise! Er Z q så et tallegeme? Svaret er ja, hvis q er et primtal, nej ellers, I skal nu vise nej et: Vis, at Z q ikke er et legeme, hvis q er delelig med et af tallene 2, 3,, q 1 Tip: Vis først, at produktet af to elementer a 0 b 0 i et tallegeme ikke kan være 0, idet a 1 b 1 eksisterer Har I set legemet Z 2 tidligere i dette kursus? Hvad er 2 2 1 i legemet Z 7? TØ-Opgave 5 Legemet af orden primtal n, dvs 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, : Faktisk findes der for hvert primtal hvert n N kun ét endeligt legeme med primtal n elementer når vi ser bort fra omdøbning af elementer! Dette legeme dem, hvor elementerne har andre navne kaldes for Galois legemet af orden primtal n betegnes GFprimtal n Eng: field betyder bla algebraisk legeme Brug denne oplysning samt TØ-Opgave 4 Z 3 er et legeme til at afgøre hvilke af følgende mængder, der er legemer: 1 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a c a b b a b c c b c a a b c a c b a b b b b c a b c 2 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a a b c b b c a c c a b a b c a a a a b a b c c a c a 3 Mængden {a, b, c}, hvor + a b c a b c a b c a b c a b c a b c a a b c b b a c c c c c

TØ-Opgave 6 Eksempler på brug af punkt-matricer i grafteori: I grafteori benyttes ofte to-dimensionelle talsæt til at repræsentere grafen den information, der måtte findes i grafen Lad os feks se på nedenstående graf, der har 7 punkter/knuder et antal kanter mellem punkterne 7 3 6 4 5 1 2 Da alle kanter er ensrettede, dvs gående fra eet punkt til et andet, siges grafen at være en orienteret graf Til at repræsentere grafen kan vi bruge en såkaldt punkt-matrix P, hvor P i,j = 1, hvis der findes en kant fra punkt i til punkt j, 0 ellers 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 P = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Til enhver matrix hører der jo en lineær afbildning f P x = P x, så man kunne måske være interesseret i at finde ud af, hvilken betydning f P har rent graf-teoretisk? a Hvis det reelle tal x i betegner en præmie/straf afhængig af x i s fortegn for at pege på knude nr i, i = 1, 2,, 7, hvad betegner f P x så? Tip: Hvad betegner x j f P e j? De spørgsmål, som graf-teoretikere er interesseret i, involverer d sjældent afbildningen f P direkte Derimod kan graf-teoretikere feks være interesserede i at finde ud af, om det er muligt at komme fra et vilkårligt punkt til et andet i en graf b Hvad kan vi læse ud af 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 P 2 = 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1?

c Hvilken af de to matricer P 7 6 k=1 P k = P + P 2 + + P 6 kan vi bruge til at finde ud af, om man kan komme fra punkt i til punkt j? Hvad betyder det, når det 3, 5 te 5, 3 te element i denne matrix er hhv 0 4? d Lad os udvide de reelle tal med + udfylde punkt-matricen med kantlængder i stedet for blot 0 1: 342 255 210 478 531 P = 379 210 178 303 531 Hvad tror I, det j, k te element i P repræsenterer, når følgende algoritme er udført? I behøver ikke bevise jeres formodning Algoritmen har ikke meget med lineær algebra at gøre! for i from 1 to 7 do for j from 1 to 7 do for k from 1 to 7 do P[j, k] := min{ P[j, k], P[j, i] + P[i, k] } end do; end do; end do; TØ-Opgave 7 Eksempel på brug af grafteori til omordning af matrix-elementer: Som vi så i foregående opgave, så benyttes der somme tider matricer inden for graf-teorien, men det forekommer d oftere, at graf-teori benyttes til at undersøge matricer! Hvis vi har en stor, sparse n n matrix A dvs n er stor, mange af A s elementer er 0, så kan vi ud fra en graf relativt let se, om en omordning af rækker søjler i matricen kunne give en matrix, der i en eller anden sammenhæng ville gøre vores matrix-beregninger lettere Betragt feks den reelle matrix A = 0 0 0 0 0 2365 0 1998 0 0 0 45 0 0 999 0 0 0 0 0 567 0 π 0 0 0 0 0 0 exp271 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Grafen i TØ-Opgave 6 viser, hvorvidt element A i,j er forskellig fra 0, ud fra en af matricerne i spørgsmål c kan vi konkludere, at der ingen veje er fra punkterne {1, 3, 6, 7} til punkterne {2, 4, 5} Hvis vi derfor skriver matricens rækker søjler i rækkefølgen 1, 3, 6, 7, 2, 4, 5 får vi en såkaldt blok-matrix, der har kvadratiske blok-matricer i øverste venstre nederste højre hjørne:

Ā = Ā 1,1 0 Ā 2,1 Ā 2,2 = 0 0 2365 0 0 0 0 999 0 0 567 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1998 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 π 0 0 0 0 0 0 exp271 1 0 Antag nu, at vi ønsker at finde løsningsmængden til et givet lineært ligningssystem A x = b, hvor højreside-vektoren b er givet Vi kan omordne ligningerne uden at ændre løsningsmængden, vi kan så ændre nummereringen af de ubekendte i x-vektoren, så vi i stedet betragter et ligningssystem af formen Ā x = b, hvor x = x 1, x 3, x 6, x 7, x 2, x 4, x 5 a Vis, at der ikke er løsninger til A x = b for vilkårlige reelle b ved kun at se på de øverste 4 ligninger i Ā x = b b Vis, at den linære afbildning f A x = A x ikke er surjektiv c Find løsningsmængden {x A x = b}, når b = 473, 90, 567, 0, 5, 3 2, 3 d Vis, at den lineære afbildning f A x = A x ikke er injektiv e Vis, at løsningsmængden ker f = {x f A x = 0} så kaldet kernen for f eller nulrummet for matricen A er 1-dimensionelt, dvs at der eksisterer een egentlig basis-vektor u, så ethvert x i ker f kan skrives på entydig måde som et tal gange u Det følger da af Sætning 487, at mængden af de højresidevektorer b, for hvilke der er løsninger til ligningssystemet, kun er 6-dimensionelt, at der derfor ikke er løsninger for vilkårlige b i det 7-dimensionelle R 7, men den sætning har vi jo endnu ikke gennemgået TØ-Opgave 8 Tidskompleksitet af visse matrix-operationer: Hvis den absolutte værdi af en funktion f : R R er begrænset af en positiv konstant k + gange en funktion g i en omegn af et reelt tal x 0, har vi, at fx k + gx for alle x, når x x 0 < ε, for et eller andet ε > 0 Dette skrives oftest kortere på følgende måde: fx = Ogx for x x 0 Feks har vi ved brug af denne såkaldte store-o-notation, at

10x 4 355x 3 + 54327 = O1 for x 0, 27 = O1 for x 1, x 3 x 2 +15 27 x 2 x 1 = Ox 2 for x 0 Når man skal vurdere, hvor megen tid eller plads udførelsen af en algoritme kræver dvs dens tids- eller pladskompleksitet, er det som regel kompleksiteten for løsningen af de store problemer, der er interessant Dvs hvis fx feks angiver den tid, der kræves for at løse det værst tænkelige problem af størrelse x, vil man gerne finde en simpel funktion gx á la x 4, x! eller expx, hvor der gælder, at fx c gx for alle x > et eller andet x 0 Også i denne situation benyttes O-notationen, så: 10x 4 355x 3 + 54327 = Ox 4 for x, 27 = Ox 3 for x, x 3 x 2 +15 = Ox 3 for x 27 x 2 x 1 a I NVP, Afsnit 37, skal vi lære om en rekursiv algoritme til at regne den såkaldte determinant ud for en n n matrix Hvis n er 2, kræver algoritmen 3 simple regneoperationer multiplikation addition/subtraktion af tal, men for større n kræver den, at man først regner determinanterne af n stk n 1 n 1 matricer ud, derefter udfører 2n 1 simple regneoperationer Idet vi antager, at hver regneoperation tager højst k + tidsenheder, har vi altså følgende for algoritmens tidsfunktion f: f2 3k +, fn n fn 1 + 2n 1k + Vis pr induktion, at fn gn n!, hvor 1 gn = 25k + + 2k + i! i=0 Da gn k + 2exp1 25 er fn altså On! b Vi ved, at en vilkårlig n n matrix A kan omformes til en trappematrix via Gauss-elimination Da elementerne a i,j i en sådan n n trappematrix er 0, hvis i > j, kaldes en trappematricen for en øvre trekantsmatrix, dennes determinant koster kun n 1 multiplikationer at beregne Sætning 344! Determinanten for A fås som ±determinanten for trappematricen, hvor + benyttes, hvis omformningen krævede et lige antal rækkeombytninger, ellers Dvs tidskompleksiteten af denne algoritme til beregning af determinanten for A er: fn = Gauss eliminationn + On

Benyt O-notationen, følgende formler evt så prramskitsen til at vise, at dette fn kun er On 3 n k=i+1 n i = 2n i = i = 1 2 n 1n = On2 2n in i = 2 i 2 = 1 3 n 1n2n 1 for i from 1 to n 1 do # danne 0 er under element i, i find maxi [i, n] så A[maxi, i] er maksimal : if maxi <> i then byt elementerne A[i, j] A[maxi, j] for j = i, i + 1,, n end if: if A[i, i] <> 0 then # operationer er da nødvendige for k from i + 1 to n do # addere til række k c := A[k, i] / A[i, i]: # c beregnes så A[k, i] bliver 0 for j from i to n do # addition af c gange række i A[k, j] := A[k, j] + c A[i, j] # til række k end do end do end if end do c Vis ved brug af formlerne i b, at det kun koster n 2 simple regneoperationer at løse et lineært ligningssystem med en n n trappematrix som koefficientmatrix, konkludér at en evt løsning til et generelt n n ligningssystem kan findes via On 3 simple regneoperationer d Antag, at vi skal have beregnet A 1 ganget en vektor b Vi finder en effektiv algoritme til at beregne A 1 via 2n 3 + On 2 simple regneoperationer ganger denne matrix på vektoren b Kunne vi have sparet nle beregninger, når Gauss-elimination nu kun koster 2 3 n3 + On 2 operationer? TØ-Opgave 9 Determinant som biprodukt ved Gauss-elimination: Lav nle få udvidelser af prramskitsen i TØ-Opgave 8, så determinanten af koefficientmatricen beregnes lige efter Gauss-eliminationen TØ-Opgave 10 Determinanter, der er lette at beregne: Bestem, uden at regne ret meget, værdien af følgende determinanter Brug NVP eller definitionen på deta i Forelæsningsnote 4 a e 1 2 0 3 4 0 5 6 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 b f 1 2 1 3 4 3 5 6 5 0 0 1 0 2 0 3 0 0 c g 1 3 5 2 4 6 7 21 35 0 0 1 0 2 0 3 28 3 d h 1 3 5 2 4 6 2 2 2 1 3 5 0 4 6 0 0 2

TØ-Opgave 11 Række- eller søjleudvikling af determinant: Udregn følgende determinant ved at udvikle efter en passende række eller søjle jf NVP, Afsnit 37 31: 4 1 3 2 5 2 1 2 1 2 3 0 2 0 0 3 TØ-Opgave 12 En lineær afbildning fra R 2 2 til R 2 2 : Betragt følgende afbildning fra R 2 2 til R 2 2 : x1 x f 2 x1 + x = 2 0 x 3 x 4 2x 1 + 2x 2 x 1 x 2 a Vis, at f er en lineær afbildning b Find via en isomorfi φ : R 2 2 R 4 baser for underrummene fr 2 2 ker f Tip: Se på Isof = φ f φ 1 : R 4 R 4 c Check at Dimensionssætningen er opfyldt for f d Er f surjektiv, injektiv eller bijektiv? e Vis, at to endeligt-dimensionelle isomorfe underrum altid har samme dimension Tip: Definition 432 Sætning 425 f Lad f t : R 2 2 R 2 2 være afbildningen f t = φ 1 Isof t φ Vis ved kun at bruge sætninger fra NVP, at f t R 2 2 ker f t er 2-dimensionelle, find den omvendte afbildning til f indskrænk : f t R 2 2 fr 2 2, hvor f indskrænk har samme værdier som f Tip: f t R 2 2 fr 2 2 består hhv af matricerne a b 0 0 c 0 2c d, hvor a, b, c, d R g Udvid basen for ker f til en basis for R 2 2 TØ-Opgave 13 Beregninger i vektorrummene C n C m n : Idet der henvises til Forelæsningsnote 5 vedr vektorrummene C n C m n, bedes I udregne x y, y x, 2 + 5ix y, x 2 + 5iy, x x, x, 2 + 5ix 2 + 5ix 2 + 5ix, når x = 2 + 3i i 2 i y = 1 i 2 + 2i 3

TØ-Opgave 14 Determinanter af Hermiteske hhv symmetriske matricer: Idet der henvises til Forelæsningsnote 5 vedr Hermiteske matricer, bedes I vise, at følgende Hermiteske matricer har reelle determinanter ved at udregne dem: 2 3 + 4i 3 4i 7 1 0 3 + 4i 0 2 3 2i 3 4i 3 + 2i 3 I bedes så vise, at følgende symmetriske matricer ikke har reelle determinanter ved at udregne dém: 2 3 + 4i 3 + 4i 7 1 + i 0 3 + 4i 0 2 i 3 2i 3 + 4i 3 2i 3 + i TØ-Opgave 15 Fra komplekse vektorer matricer til reelle: Følgende observation kan være nyttig, når man skal arbejde med komplekse vektorer matricer i prrammeringsspr, hvor typen complex mangler: En vilkårlig vektor z C n matrix C C m n kan skrives på formen z = x+i y C = A+i B, hvor x, y R n A, B R m n Ved at samle de reelle led de imaginære led i ligningssystemet A + i Bx + i y = b + i c, får man da omformet det komplekse ligningssystem til et reelt system: A B B A x y = b c Løs følgende ligningssystem ved udelukkende at arbejde på reelle tal: 2 2 + 4i 3i 1 5i z1 TØ-Opgave 16 Eksisterer tallet 1?: z 2 = 8i 5i 4 Diskutér følgende bevis for, at 1 = 1 medfører 1 = 1: 1 = 1 1 = 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 = 2 1 1 = 1