Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og produktregel Potensreglen Entydig løsning entydig løsning Clculus 1-2006 Uge 38.1-1 Eksempel 9.1 Arel 2 1 b1 Arel 1 + b 1 2 + b 2 1 2 b 1 b 2 2 2 b 1 1 b 2 2 b 1 1 2 b 1 b 2 Clculus 1-2006 Uge 38.1-2 b 2 Nemme determinnter Udregn determinnter Eksempel 9.3 Determinnten f en kvdrtisk mtrix 1-mtrix 2-mtrix 11 11 11 21 22 11 22 21 3-mtrix 11 13 22 23 21 22 23 11 31 32 33 32 33 21 23 31 33 + 21 22 13 31 32 Eksempel 9.4 1 4 2 3 10 3 4 1 5 6 3 0 2 4 6 2 0 + 3 4 5 2 3 2 3 0 5 0 6 3 24 0 6 2 +34 3 5 2 18 + 24 + 6 Clculus 1-2006 Uge 38.1-3 Clculus 1-2006 Uge 38.1-4 Spejling og drejning Determinnt ved rækkeudvikling Eksempel 9.5 Determinnten f en spejling cos 2θ sin 2θ MtrS θ sin 2θ cos 2θ cos 2 2θ sin 2 2θ 1 Determinnten f en drejning cos θ sin θ MtrD θ sin θ cos θ cos 2 θ + sin 2 θ 1 Definition 9.6 Ld A ij være den m 1 n 1-mtrix, der fremkommer ved t slette i-te række og j-te søjle i en m n-mtrix A. Determinnten f en kvdrtisk n n-mtrix A er givet ved rækkeudvikling efter 1-te række Kn skrives A 1 1+j 1j A 1j j1 A 1 1+1 11 A 11 + 1 1+2 A + Clculus 1-2006 Uge 38.1-5 Clculus 1-2006 Uge 38.1-6 Determinnt Determinnt mnge veje Eksempel 9.8 11 13 21 22 23 31 32 33 11 22 23 21 23 + 13 21 22 32 33 31 33 31 32 22 23 11 32 33 21 23 31 33 + 21 22 13 31 32 Sætning 9.9 1. Determinnten kn beregnes ved rækkeudvikling efter i-te række A 1 i+j ij A ij j1 2. Determinnten kn beregnes ved søjleudvikling efter j-te søjle A 1 i+j ij A ij i1 Clculus 1-2006 Uge 38.1 - Clculus 1-2006 Uge 38.1-8
Søjleudvikling Udregn determinnt f orden 4 Eksempel 9.10 Beregn determinnt ved udvikling efter nden søjle 1 3 1 3 2 4 6 + 5 8 4 6 8 9 9 9 4 6 2 9 + 5 1 3 9 8 1 3 4 6 24 9 6 + 51 9 3 81 6 3 4 60 + 48 0 Eksempel 9.11 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 4+4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 3+3 1 0 0 1 1 Clculus 1-2006 Uge 38.1-9 Clculus 1-2006 Uge 38.1-10 Trekntsmtrix Rækkeopertionsmtricer Eksempel 9. 0-række/søjle 0 0 0 0 22 21 22 0........ øvre trekntsmtrix 11 1n 0 22 2n..... 11 22 nn. 0 0 nn Clculus 1-2006 Uge 38.1-11 Bemærkning 9.13 Ombytning f to rækker: 0 1 1 0 1 Multipliktion f række med tl 0: 1 0 0 s s Addition f et multiplum f en række til en nden: 1 s 0 1 1 Clculus 1-2006 Uge 38.1 - Rækkeregneregler Søjleregneregler Sætning 9.14 Beregning f determinnt Ombytning f to rækker: Determinnten skifter fortegn Multipliktion f række med tl: Determinnten multipliceres med smme tl Addition f et multiplum f en række til en nden: Determinnten er uændret Sætning 9.14 - fortst Beregning f determinnt Ombytning f to søjler: Determinnten skifter fortegn Multipliktion f søjle med tl: Determinnten multipliceres med smme tl Addition f et multiplum f en søjle til en nden: Determinnten er uændret Clculus 1-2006 Uge 38.1-13 Clculus 1-2006 Uge 38.1-14 Sklering f række eller søjle Trnsponering og sklering Eksempel 9.15 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 Bemærkning 9.1 Udvikling efter række er udvikling efter søjle i den trnsponerede mtrix, så determinnten er den smme A T A Bemærkning 9.18 En n n-mtrix A skleres med λ ved t sklere hver række. Så nvendes rækkesklerings reglen n-gnge fås λa λ n A Clculus 1-2006 Uge 38.1-15 Clculus 1-2006 Uge 38.1-16
Determinnten er nul determinnt nul Bemærkning 9.20 Observtioner om determinnt nul En 0-række eller en 0-søjle: Determinnten er 0 To ens rækker eller to ens søjler: Determinnten er 0 Gælder der ltid, t determinnten 1 x 1 3 y 3 0. 0 z 0 Eksempel 1 3 1 0 2 5 2 8 0 2 2 1 1 9 1 2 Første og tredje søjle er ens. Clculus 1-2006 Uge 38.1-1 Clculus 1-2006 Uge 38.1-18 Udregn determinnter Determinnt f mtrixprodukt Eksempel 9.22 Reducer til øvre trekntsmtrix 1 3 4 1 10 10 0 10 2 0 3 6 0 3 6 2 3 0 0 1 6 0 0 4 1 3 4 Sætning 9.23 - Produktreglen For to kvdrtiske n n-mtricer A, B gælder AB A B Bevis For B fst og A en rækkeopertionsmtrix er produktreglen netop rækkeregnereglerne. Ved rækkereduktion kn A skrives som produkt f rækkeopertions-mtricer smt enten identitetsmtricen eller en mtrix med en 0-række nederst. Produktreglen følger herf. Clculus 1-2006 Uge 38.1-19 Clculus 1-2006 Uge 38.1-20 Brug produktreglen Determinnt f potens Eksempel 9.24 A 2 3 0 15 21 15 AA 36 51 42 AA A A 144 14 19 24 Eksempel 9.25 Potensers determinnt 1 4 2 3 10 3 4 k 3 4 k 10 k 3 4 Clculus 1-2006 Uge 38.1-21 Clculus 1-2006 Uge 38.1-22 Determinnt f invers mtrix Brug inversreglen Sætning 9.26 -Inversreglen En kvdrtisk mtrix A er invertibel, hvis og kun hvis A 0. Der gælder A 1 1 A hvis A 0. Bevis Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis A 0 så kn A skrives som produkt f rækkeopertionsmtricer, som hver er invertible. A er d invertibel. Eksempel 9.2 Mtricen hr determinnt A 2 3 0 A A er invertibel og den inverse hr determinnt A 1 A 1 1 Clculus 1-2006 Uge 38.1-23 Clculus 1-2006 Uge 38.1-24
inversregel produktreglen Determinnten f en invertibel mtrix er ltid 0. Sætning giver svret direkte. Givet en kvdrtisk mtrix A. Hvis deta 2 0, så er deta 0. Af produktreglen følger deta 2 deta 2 0 Clculus 1-2006 Uge 38.1-25 Clculus 1-2006 Uge 38.1-26 Determinnt f negtive potenser Determinnt f lle potenser Eksempel 9.28 Negtive potensers determinnt 1 4 2 3 10 3 4 1 3 4 1 10 k 3 4 1 10 k Eksempel 9.29 Potensreglen for determinnt Hvis A 0 så for lle hele tl k. Hvis A 0 så for lle hele tl k > 0. A k A k A k 0 Clculus 1-2006 Uge 38.1-2 Clculus 1-2006 Uge 38.1-28 Cofktormtricen Cofktormtricen Definition 9.30 Ld A være en n n-mtrix og A ij fremkomme ved t slette i-te række og j-te søjle. Cofktormtricen CofA er n n-mtricen: n 1: identitetsmtricen CofA I 1. n > 1: med ij-te indgng 1 i+j A ji Eksempel 9.31 1 1mtricen hr 2 2-mtricen hr A 10 CofA 1 A 3 4 4 2 CofA 3 1 Clculus 1-2006 Uge 38.1-29 Clculus 1-2006 Uge 38.1-30 Cofktorformlen Cofktormtricen Sætning 9.32 Ld A være en n n-mtrix. Så er produktet A CofA CofAA A I n Hvis A 0, så er A invertibel og der gælder A 1 1 A CofA Eksempel 9.33 For mtricen A d CofA c A 1 1 CofA. Altså d bc c b er cofktormtricen c d b. Hvis d bc 0 så er A invertibel med 1 b d 1 d d bc c b Clculus 1-2006 Uge 38.1-31 Clculus 1-2006 Uge 38.1-32
Ligningssystem og determinnt Bestem entydig løsning Sætning 9.34 - Entydig løsning 1. Et homogent ligningssystem med en kvdrtisk koefficientmtrix A hr en egentlig løsning 0 uendelig mnge, hvis og kun hvis A 0. 2. Det inhomogen ligningssystem Ax b hr en og kun en løsning, hvis og kun hvis A 0. Eksempel 9.35 For hvilke tl t hr det homogene ligningssystem med koefficientmtrix A 1 t 1 1 1 t en entydig løsning. Find løsningsrummet for lle t. Clculus 1-2006 Uge 38.1-33 Clculus 1-2006 Uge 38.1-34 Bestem entydig løsning Bestem lle løsninger Eksempel 9.35 - løsning Beregn determinnten A 1 t 1 0 t 1 0 t 1 2 1 1 t 0 0 t 1 For t 1 hr det homogene ligningssystem Ax 0 Eksempel 9.35 - løsning For t 1 er den reducerede form f ligningssystemet x 1 x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 0 Dette giver løsninger 1 1 x 2 1 + x 3 0 0 1 entydig løsning x 0. Clculus 1-2006 Uge 38.1-35 Clculus 1-2006 Uge 38.1-36 entydig løsning Crmers regel Gælder der ltid, t lle ligningssystemer med koefficientmtrix 1 1 0 1 b hr en entydig løsning. 0 0 2 1 1 0 1 b 1 1 2 2 0 0 0 2 Sætning 9.36 Ld A være en kvdrtisk n n-mtrix med determinnt A 0. Det inhomogen ligningssystem Ax b hr løsningen x A 1 b, hvor den j-te koordint er givet ved Crmers regel x j 1 j 1 b j+1 n A Tælleren er determinnten f den mtrix der fremkommer ved t ersttte j-te søjle med søjlevektoren b. Clculus 1-2006 Uge 38.1-3 Clculus 1-2006 Uge 38.1-38 Crmers regel Eksempel 11 Ligningssystemet med 21 22 11 22 21 0, 11 x 1 + x 2 b 1 21 x 1 + 22 x 2 b 2 hr løsning b 1 11 b 1 b 2 22 21 b 2 x 1 11, x 2 11 21 22 21 22 Clculus 1-2006 Uge 38.1-39