Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave Ingen egenværdier 1 egenværdi Calculus 2-2006 Uge 48.2-1 1. ordens lineær ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er dx = a(xy + b(x En partikulær løsning er en differentiabel funktion y(x som opfylder y (x = a(xy(x + b(x Den fuldstændige løsning er en angivelse af alle løsninger. Ligningen = a(xy kaldes homogen og er den homogene dx part af den inhomogene, b 0, ligning ovenfor. Calculus 2-2006 Uge 48.2-2
Lineær struktur [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.3 Hvis z 1 (x, z 2 (x er løsninger til den homogene lineære differentialligning dx = a(xy så er enhver linearkombination også en løsning. z(x = C 1 z 1 (x + C 2 z 2 (x Calculus 2-2006 Uge 48.2-3 Lineær struktur [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.3 - fortsat Hvis z 0 (x er en løsning til den inhomogene lineære differentialligning dx så er enhver løsning af formen = a(xy + b(x y(x = z(x + z 0 (x hvor z(x er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus 2-2006 Uge 48.2-4
Konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.5 Den lineære ligning med konstante koefficienter dx = ay + b har fuldstændig løsning givet ved a = 0: y(x = C + bx a 0: hvor C er arbitrær. y(x = Ce ax b a Calculus 2-2006 Uge 48.2-5 Ikke konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.7 Den homogene lineære ligning har fuldstændig løsning dx = a(xy y(x = Ce A(x hvor C er arbitrær og A(x = a(x dx Calculus 2-2006 Uge 48.2-6
Ikke konstante koefficienter [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.7 - Bevis dx = a(xy er separabel med løsninger y = a(xdx ln y = A(x + K y(x = Ce A(x Calculus 2-2006 Uge 48.2-7 Inhomogen ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.9 Den generelle lineære ligning har fuldstændig løsning dx = a(xy + b(x y(x = Ce A(x + B(xe A(x hvor C er arbitrær og A(x = a(x dx, B(x = e A(x b(x dx Calculus 2-2006 Uge 48.2-8
Inhomogen ligning [LA] 15 Lineær differentialligning Sætning 15.5,9 - Bevis z(x = e A(x y(x opfylder ligningen som integreres til og forlænges til dz dx = e A(x b(x z(x = B(x + C y(x = Ce A(x + B(xe A(x Calculus 2-2006 Uge 48.2-9 Løsningsmetode [LA] 15 Lineær differentialligning Bemærkning 15.10 - metode dx = a(xy + b(x 1. Bestem en stamfunktion A(x = a(x dx 2. Bestem en stamfunktion B(x = e A(x b(x dx 3. Skriv løsningen y(x = Ce A(x + B(xe A(x Calculus 2-2006 Uge 48.2-10
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel 15.11 - Opgave 7 Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3 Angiv endvidere den partikulære løsning y(x, der opfylder y(0 = 2. Løsning giver y = 2y + (xe 2x + 3 a(x = 2, b(x = xe 2x + 3 Calculus 2-2006 Uge 48.2-11 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel 15.11 - fortsat A(x = a(x dx = 2 dx = 2x B(x = e A(x b(x dx = e 2x (xe 2x + 3dx Som giver = 1 2 x2 + 3 2 e2x Calculus 2-2006 Uge 48.2-12
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel 15.11 - fortsat fuldstændig løsning y(x = Ce A(x + B(xe A(x = Ce 2x + ( 1 2 x2 + 3 2 e2x e 2x = Ce 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 Calculus 2-2006 Uge 48.2-13 Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Eksempel 15.11 - fortsat I den partikulære løsning bestemmes C ved y(0 = 2. y(0 = Ce 0 + 3 2 = 2 I alt er løsningen C = 2 3 2 = 1 2 y(x = 1 2 e 2x + 1 2 x2 e 2x + 3 2 = 1 2 (1 + x2 e 2x + 3 2 Calculus 2-2006 Uge 48.2-14
Lineært system Definition 16.1 Ved et lineært differentialligningssystem (2 ligninger med konstante koefficienter forstås 1 dx = a 11 y 1 + a 12 y 2 + b 1 2 dx = a 21 y 1 + a 22 y 2 + b 2 En løsning er differentiable funktioner x y 1 (x, x y 2 (x som indsat opfylder lignningerne. Calculus 2-2006 Uge 48.2-15 Lineært system på matrixform Definition 16.2 - matrixform For 2 2-matricen A = (a ij, koefficientmatricen, og 2-søjlerne b = (b i, y(x = (y i (x skrives differentialligningssystem eller En løsning skrives dx = Ay + b ( ( ( 1 a dx 11 a 12 2 = a dx 21 a 22 y 1 y 2 ( y 1 (x x y(x = y 2 (x + ( b 1 b 2 Calculus 2-2006 Uge 48.2-16
Lineært system Bemærkning 16.3 Givet 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlerne b = (b i, y(x = (y i (x kaldes systemet dx = Ay homogent og er den homogene part af det inhomogene, b 0, system dx = Ay + b Calculus 2-2006 Uge 48.2-17 Lineær struktur Sætning 16.5 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlen y(x = (y i (x. Hvis z 1 (x, z 2 (x er løsninger til det homogene lineære differentialligningssystem så er enhver linearkombination også en løsning. dx = Ay z(x = C 1 z 1 (x + C 2 z 2 (x Calculus 2-2006 Uge 48.2-18
Lineær struktur Sætning 16.5 - fortsat Betragt yderligere 2-søjlen b. Hvis z 0 (x er en løsninger til det inhomogene lineære differentialligningssystem så er enhver løsning af formen dx = Ay + b y(x = z(x + z 0 (x hvor z(x er en løsning til den homogene part af systemet. Calculus 2-2006 Uge 48.2-19 Diagonal system Eksempel 16.6 Systemet y 1 = λ 1 y 1 y 2 = λ 2 y 2 har diagonalmatricen Λ = ( λ 1 0 0 λ 2 som koefficientmatrix. e 1, e 2 er egenvektorer og basis for R 2. Calculus 2-2006 Uge 48.2-20
Diagonal system Eksempel 16.6 - fortsat Fra Sætning 1.3 fås den fuldstændige løsning y 1 (x = C 1 e λ 1x, y 2 (x = C 2 e λ 2x på vektorform giver dette ( ( ( y 1 (x C 1 e λ 1x y(x = = = C y 2 (x C 2 e λ 2x 1 eller udtrykt ved egenvektorerne e λ 1x 0 ( 0 + C 2 e λ 2x y(x = C 1 e λ 1x e 1 + C 2 e λ 2x e 2 Calculus 2-2006 Uge 48.2-21 En egenvektor Sætning 16.7 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlen y(x = (y i (x samt det homogene lineære differentialligningssystem dx = Ay Hvis u er en egenvektor for A med egenværdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x = Ce λx u Calculus 2-2006 Uge 48.2-22
Egenvektor og løsning Sætning 16.8 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlerne b = (b i, y(x = (y i (x samt det lineære differentialligningssystem dx = Ay + b En konstant funktion y(x = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis yderligere u er en egenvektor for A med egenværdi λ, så er løsninger, hvor C er arbitrær. y(x = Ce λx u + v Calculus 2-2006 Uge 48.2-23 Flere egenvektorer Sætning 16.9 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlen y(x = (y i (x samt det homogene lineære differentialligningssystem Hvis dx = Ay y 0 = C 1 u 1 + C 2 u 2 er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er y(x = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 en løsning, der opfylder y(0 = y 0. Calculus 2-2006 Uge 48.2-24
Diagonaliserbar system system Sætning 16.10 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlen y(x = (y i (x samt det homogene lineære differentialligningssystem dx = Ay Hvis matricen U med søjler u 1, u 2 diagonaliserer A med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 hvor C 1, C 2 er arbitrære. Calculus 2-2006 Uge 48.2-25 Fuldstændig løsning Sætning 16.11 Betragt 2 2-matricen A = (a ij og 2-søjlerne b = (b i, y(x = (y i (x samt det lineære differentialligningssystem dx = Ay + b En konstant funktion y(x = v er en løsning, hvis Av = b. Hvis matricen U med søjler u 1, u 2 diagonaliserer A med egenværdier λ 1, λ 2, Au j = λ j u j, så er den fuldstændige løsning givet ved y(x = C 1 e λ 1x u 1 + C 2 e λ 2x u 2 + v hvor C 1, C 2 er arbitrære. Calculus 2-2006 Uge 48.2-26
Opgave Eksempel 16.12 - opgave Betragt differentialligningssystemet y 1 = y 1 + y 2 y 2 = 8y 1 y 2 Det oplyses, at vektoren u = (1, 2 er en egenvektor for matricen A = ( 1 1 8 1 Angiv den løsning y(x = (y 1 (x, y 2 (x der opfylder y(0 = u, altså (y 1 (0, y 2 (0 = (1, 2. Calculus 2-2006 Uge 48.2-27 Opgave Eksemple 16.12 - fortsat Egenværdien λ = 3 fås af udregningen ( ( 1 1 1 Au = = 8 1 2 ( 3 6 = 3u I følge [LA] Sætning 27 er ( y(x = Ce 3x 1 2 løsninger for alle valg af C. Calculus 2-2006 Uge 48.2-28
Opgave Eksemple 16.12 - fortsat ( y(x = Ce 3x 1 2 som opfylder (y 1 (0, y 2 (0 = C(1, 2 = (1, 2 fås for C = 1. Den ønskede løsning skrevet ud y 1 (x = e 3x y 2 (x = 2e 3x Calculus 2-2006 Uge 48.2-29 Opgave Eksemple 16.14 - opgave Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 Løsning Koefficientmatricen er A = ( 1 2 2 1 Calculus 2-2006 Uge 48.2-30
Opgave Eksemple 16.14 - fortsat Egenværdierne findes som rødder i det karakteristiske polynomium 1 λ 2 A λi 2 = 2 1 λ = λ 2 2λ 3 Egenværdier λ 1 = 1, λ 2 = 3 Calculus 2-2006 Uge 48.2-31 Opgave Eksemple 16.14 - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 1: ( ( 2 2 1 1 A + I = 2 2 0 0 giver egenvektorer ( x 1 x 2 = ( ( x 2 1 = x 2 x 2 1 Calculus 2-2006 Uge 48.2-32
Opgave Eksemple 16.14 - fortsat Egenvektorer hørende til egenværdien 3: ( ( 2 2 1 1 A 3I = 2 2 0 0 giver egenvektorer ( x 1 x 2 = ( x 2 x 2 = x 2 ( 1 1 Calculus 2-2006 Uge 48.2-33 Opgave Eksemple 16.14 - fortsat Den fuldstændige løsning til den homogene part y 1 = y 1 + 2y 2 y 2 = 2y 1 + y 2 er i følge [LA] Sætning 30 ( y(x = C 1 e x 1 1 + C 2 e 3x ( 1 1 Skrevet ud y 1 (x = C 1 e x + C 2 e 3x y 2 (x = C 1 e x + C 2 e 3x Calculus 2-2006 Uge 48.2-34
Opgave Eksemple 16.14 - fortsat En konstant løsning y(x = v = (v 1, v 2 skal opfylde 0 = v 1 + 2v 2 8 0 = 2v 1 + v 2 7 Dette løses v = ( 2 3 Calculus 2-2006 Uge 48.2-35 Opgave Eksemple 16.14 - fortsat Den fuldstændige løsning til systemet er i følge [LA] Sætning 31 ( y(x = C 1 e x 1 1 y 1 = y 1 + 2y 2 8 y 2 = 2y 1 + y 2 7 + C 2 e 3x ( 1 1 ( 2 + 3 Skrevet ud y 1 (x = C 1 e x + C 2 e 3x + 2 y 2 (x = C 1 e x + C 2 e 3x + 3 Calculus 2-2006 Uge 48.2-36
Ingen egenværdier Eksempel 16.15 Betragt det lineære system y 1 = y 1 y 2 y 2 = y 1 + y 2 Koefficientmatricen A = ( 1 1 1 1 har karakteristisk polynomium λ 2 2λ + 2 med diskriminant 4 og dermed ingen egenværdier. Calculus 2-2006 Uge 48.2-37 Ingen egenværdier Eksemple 16.15 - Løsning Ved brug af komplekse tal findes løsningen ved metoden med egenvektorer ( ( y(x = C 1 e x cos x + C 2 e x sin x sin x cos x Skrevet ud y 1 (x = C 1 e x cos x C 2 e x sin x y 2 (x = C 1 e x sin x + C 2 e x cos x Calculus 2-2006 Uge 48.2-38
1 egenværdi Eksemple 16.16 Betragt det lineære system y 1 = 3y 1 + y 2 y 2 = 3y 2 Koefficientmatricen A = ( 3 1 0 3 har egenværdi 3 og egenrum E 3 = span(e 1. Calculus 2-2006 Uge 48.2-39 1 egenværdi Eksemple 16.16 - Løsning Løsningen bestemmes ved metoden med egenvektorer ( ( y(x = C 1 e 3x 1 + C 2 e 3x x 0 1 Skrevet ud Gør prøve! y 1 (x = C 1 e 3x + C 2 e 3x x y 2 (x = C 2 e 3x Calculus 2-2006 Uge 48.2-40