Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar 2006, opgave 4 Gram-Schmidt Calculus 2-2006 Uge 46.1-1
Komplement Definition 13.1 For en delmængde af vektorer X R n er det ortogonale komplement X = {v R n v u = 0, u X} Fra regnereglerne for skalarproduktet følger straks, at dette er et underrum. Calculus 2-2006 Uge 46.1-2
Komplement Bemærkning 13.2 Nogle nyttige observationer: 1. Der gælder 0 = R n og (R n ) = 0. 2. X (X ). 3. X X 0. 4. Hvis U er et underrum, så er U U = 0. Calculus 2-2006 Uge 46.1-3
Planen Eksempel 13.4 For to egentlige vektorer u, v i R 2 som er ortogonale u v er det ortogonale komplement u = {w w u = 0} underrummet Span(v). Span(v) ORTOGONAL KOMPLEMENT u Calculus 2-2006 Uge 46.1-4
Bestem komplement Eksempel 13.5 For u = (3, 1) R 2 er det ortogonale komplement {v v u = 0} bestemt ved ligningen, v = (v 1, v 2 ), 3v 1 + v 2 = 0 Løsning ( ) ( ) = v 2 ( ) v 1 v 2 = 1 3 v 2 v 2 1 3 1 Skrives Span(u) = Span(( 1 3, 1)) Calculus 2-2006 Uge 46.1-5
Bestem komplement Eksempel 13.5 - figur Span(u) y ( 1 3, 1) u = (3, 1) 1 x Calculus 2-2006 Uge 46.1-6
Tømrerprincippet Sætning 13.6 For en delmængde af vektorer X R n som udspænder et underrum U R n er det ortogonale komplement X = U Altså gælder w U w x, x X Calculus 2-2006 Uge 46.1-7
Beregn komplement Eksempel 13.7 For U = Span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) R 3 er det ortogonale komplement U = {v v u = 0, u U} bestemt ved ligningssystemet, v = (v 1, v 2, v 3 ), v 1 + v 2 + v 3 = 0 2v 1 + 3v 2 + 4v 3 = 0 Calculus 2-2006 Uge 46.1-8
Beregn komplement Eksempel 13.7 - fortsat Det rækkereducerede system er v 1 + v 3 = 0 v 2 + 2v 3 = 0 Løsningerne kan skrives v 1 v 2 v 3 = v 3 2v 3 = v 3 v 3 1 2 1 Dermed er U = Span((1, 2, 1)) Calculus 2-2006 Uge 46.1-9
Beregn komplement Eksempel 13.7 - figur Dermed er U = Span((1, 2, 1)) (1, 2, 1) z U = Span((1, 1, 1), (2, 3, 4)) x y Calculus 2-2006 Uge 46.1-10
Komplement som nulrum Sætning 13.8 For en m n-matrix er nulrummet det ortogonale komplement til rækkerummet N A = Span(a 1,..., a m ) Bevis Produktet Ax = 0 betyder netop at x a i for i = 1,..., m. Calculus 2-2006 Uge 46.1-11
Underrum og komplement Sætning 13.9 Lad U være et underrum i R n. Så har enhver vektor x R n en entydig fremstilling x = v + w, v U, w U Calculus 2-2006 Uge 46.1-12
Underrum og komplement Sætning 13.9 - fortsat Bevis Lad u 1,..., u m være en basis for U. Det følger, at U er nulrummet for m n-matricen med basen for U som rækker. Rangformlen giver, at dim U = n m. Vælg en basis for U u m+1,..., u n. En fremstilling j a ju j = 0 giver m a j u j = n a j u j U U j=1 j=m+1 Det følger, at sættet u 1,..., u n er lineært uafhængigt og dermed en basis for R n. En opskrivning x = j a ju j giver resultatet. Calculus 2-2006 Uge 46.1-13
Vektor og komplement Eksempel 13.10 For U = Span((1, 1, 1)) er det ortogonale komplement U bestemt ved ligningen v 1 v 2 v 3 = 0 Løsningerne kan skrives v 1 v 2 v 3 = v 2 + v 3 = v 2 v 2 v 3 1 1 + v 3 0 1 0 1 Calculus 2-2006 Uge 46.1-14
Vektor og komplement Eksempel 13.10 - fortsat Dermed er U = Span((1, 1, 0), (1, 0, 1)) Vektoren (3, 0, 0) kan skrives (3, 0, 0) = (1, 1, 1) + (1, 1, 0) + (1, 0, 1) og dermed (3, 0, 0) = (1, 1, 1) + (2, 1, 1) hvor (1, 1, 1) U, (2, 1, 1) U. Calculus 2-2006 Uge 46.1-15
Ortogonal projektion Definition 13.11 Situationen relateres til følgende figur x w = x v U v ORTOGONAL PROJEKTION PÅ UNDERRUM U Calculus 2-2006 Uge 46.1-16
Ortogonal projektion Definition 13.11 - fortsat For et underrum U R n er den ortogonale projektion af en vektor x på U den vektor v U, som opfylder Der gælder x = v + w, x v = w U Den ortogonale projektion betegnes Vektoren kaldes restvektoren. v U, w U proj U (x) = v w = x v = x proj U (x) Calculus 2-2006 Uge 46.1-17
Projektion på 1 vektor Sætning 13.13 For et underrum U = Span(u) R n udspændt af netop én vektor u 0 er den ortogonale projektion af en vektor x på U givet ved v = x u u u u Det skrives proj u (x) = x u u u u Bevis Eftervis altså (x x u u u u) u (x x u u u u) u = x u x u u u u u = 0 Calculus 2-2006 Uge 46.1-18
Projektion på 1 vektor Sætning 13.13 - figur x w = x v U v = au U = Span(u) ORTOGONAL PROJEKTION v = proj u (x), a = x u u u Calculus 2-2006 Uge 46.1-19
Beregn projektion Eksempel 13.14 For et underrum U = Span(u) R 3 udspændt af vektoren u = (1, 1, 1) er den ortogonale projektion af en vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) på U givet ved proj u (x) = x u u u u = x 1 + x 2 + x 3 3 (1, 1, 1) Calculus 2-2006 Uge 46.1-20
Beregn projektion Eksempel 13.15 Tegn en figur for overblik x 2 x = (1, 18) proj u (x) = (9, 12) u = (3, 4) 1 ORTOGONAL PROJEKTION proj u (x) på Span(u) x 1 Calculus 2-2006 Uge 46.1-21
Beregn projektion Eksempel 13.15 - fortsat For et underrum U = Span(u) R 2 udspændt af vektoren u = (3, 4) er den ortogonale projektion af en vektor x = (1, 18) på U givet ved proj u (x) = x u u u u = 3 + 4 18 3 2 + 4 2 (3, 4) = 3(3, 4) = (9, 12) Calculus 2-2006 Uge 46.1-22
Projektion på basis Sætning 13.16 Lad u 1,..., u k R n være indbyrdes ortogonale egentlige vektorer. Antag at de udspænder underrummet U. Så gælder 1. Sættet u 1,..., u k er en basis for U. 2. Den ortogonale projektion af en vektor x R n på U er givet ved k proj U (x) = proj uj (x) j=1 3. Det er en opskrivning af projektionen i basen u 1,..., u k proj U (x) = k j=1 x u j u j u j u j Calculus 2-2006 Uge 46.1-23
Beregn projektion Eksempel 13.17 Lad u 1 = (1, 1, 1), u 2 = (1, 2, 1) R 3 være indbyrdes ortogonale vektorer der udspænder underrummet U. Så er den ortogonale projektion proj U (x) = proj u1 (x) + proj u2 (x) = x u 1 u 1 u 1 u 1 + x u 2 u 2 u 2 u 2 = x 1 x 2 + x 3 3 = ( x 1 + x 3 2 (1, 1, 1) + x 1 + 2x 2 + x 3 6, x 2, x 1 + x 3 2 ) (1, 2, 1) Calculus 2-2006 Uge 46.1-24
Beregn projektion Eksempel 13.17 - figur x proj U x proj u1 x proj u2 x u 1 u 2 Calculus 2-2006 Uge 46.1-25
Mindste afstand Sætning 13.19 Lad U R n være et underrum. Antag at vektoren x har ortogonal projektion v = proj U (x) på U. Så gælder: 1. Projektionen v er den vektor i U, der har kortest afstand til x. 2. Normen af restvektoren x v den korteste afstand. Bevis For en vektor v v U gælder x (v v ) 2 = (x v) + v 2 ifølge Pythagoras, da (x v) v. = x v 2 + v 2 Calculus 2-2006 Uge 46.1-26
Mindste afstand Sætning 13.19 - figur x x v x (v v ) v v U MINDSTE AFSTAND TIL UNDERRUM Calculus 2-2006 Uge 46.1-27
Afstand til linje Eksempel 13.20 For en linje U = Span(u) R 3 udspændt af vektoren u = (1, 1, 1) er den vektor i U med kortest afstand til en vektor x = (x 1, x 2, x 3 ) givet ved proj u (x) = x u u u u = x 1 + x 2 + x 3 3 (1, 1, 1) Kvadratafstanden er x proj u (x) 2 = (x 1 m) 2 + (x 2 m) 2 + (x 3 m) 2 hvor m = x 1+x 2 +x 3 3. Calculus 2-2006 Uge 46.1-28
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorer u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Løsning Vektoren u er den ortogonale projektion af v på U. Den korteste afstand er v u Calculus 2-2006 Uge 46.1-29
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - fortsat Vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0) har u 1 u 2 = 1 0 + 1 1 + ( 1) 1 + ( 1) 0 = 0 Projektionen af v = (1, 2, 3, 4) er u = proj U (v) = proj u1 (v) + proj u2 (v) = v u 1 u 1 + v u 2 u 2 u 1 u 1 u 2 u 2 = 4 4 (1, 1, 1, 1) + 5 (0, 1, 1, 0) 2 = ( 1, 3, 7, 1) 2 2 Calculus 2-2006 Uge 46.1-30
Opgave Matematik Alfa 1, August 2002 Opgave 6 - ekstra Restvektoren v u = (1, 2, 3, 4) ( 1, 3 2, 7 2, 1) = (2, 1 2, 1 2, 3) har længde, som angiver den mindste afstand fra v til U v u = (2, 1 2, 1 2, 3) = 27 2 = 3 2 6 Calculus 2-2006 Uge 46.1-31
Tømrermester Bemærkning 13.21 To vektorer kan rettes op w = v proj u (v) v proj u (v) TO VEKTORER RETTET OP u Calculus 2-2006 Uge 46.1-32
Tømrermester Bemærkning 13.21 - fortsat Lad u, v være ikke-parallelle vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u Så er u, w ortogonale og udspænder U. Den ortogonale projektion af vektoren x på U er da proj U (x) = proj u (x) + proj w (x) = x u u u u + x w w w w Calculus 2-2006 Uge 46.1-33
Tømrermester arbejder Eksempel 13.22 Lad u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) være vektorer der udspænder underrummet U. Sæt w = v proj u (v) = v v u u u u = (1, 2, 3) 2(1, 1, 1) = ( 1, 0, 1) Den ortogonale projektion af vektoren x = (3, 3.6, 6) på U er da proj U (x) = proj u (x) + proj w (x) = x u u u u + x w w w w = 12.6 3 (1, 1, 1) + 3 2 = (2.7, 4.2, 5.7) ( 1, 0, 1) Calculus 2-2006 Uge 46.1-34
Tømrermester arbejder Calculus 2 Januar 2006 Opgave 4 - let modificeret Betragt følgende vektorer i R 4 u 1 = (1, 0, 1, 0), u 2 = (2, 1, 0, 0) og lad U betegne underrummet U = Span(u 1, u 2 ). 1) Opret vektorerne ovenfor til et ortogonalt sæt u 1, u 3 som udspænder U. 2) Lad v betegne vektoren v = (5, 4, 3, 3). Angiv den ortogonale projektion proj U (v) af vektoren v på U. 3) Beregn den korteste afstand fra v til U. Calculus 2-2006 Uge 46.1-35
Tømrermester arbejder Calculus 2 Januar 2006 Løsning 1) Vektoren u 3 er givet ved opretning u 3 = u 2 proj u1 (u 2 ) = u 2 u 2 u 1 u 1 u 1 u 1 = (2, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0) 2) Bemærk, at u 3 U og u 2 = u 1 + u 3 Span(u 1, u 3 ), så U = Span(u 1, u 3 ) er udspændt af to ortogonale vektorer. Projektionen af v på underrummet U er proj U (v) = proj u1 (v) + proj u3 (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 3 u 3 u 3 u 3. Calculus 2-2006 Uge 46.1-36
Tømrermester arbejder Calculus 2 Januar 2006 Løsning - fortsat u 1 = (1, 0, 1, 0), u 3 = (1, 1, 1, 0), v = (5, 4, 3, 3): u 1 u 1 = (1, 0, 1, 0) (1, 0, 1, 0) = 1 + 0 + 1 + 0 = 2 u 1 v = (1, 0, 1, 0) (5, 4, 3, 3) = 5 + 4 + 3 + 0 = 8 u 3 u 3 = (1, 1, 1, 0) (1, 1, 1, 0) = 1 + 1 + 1 + 0 = 3 u 3 v = (1, 1, 1, 0) (5, 4, 3, 3) = 5 + 4 3 + 0 = 6 proj U (v) = v u 1 u 1 u 1 u 1 + v u 3 u 3 u 3 u 3 = 8 2 (1, 0, 1, 0) + 6 (1, 1, 1, 0) 3 = (4, 0, 4, 0) + (2, 2, 2, 0) = (6, 2, 2, 0) Calculus 2-2006 Uge 46.1-37
Tømrermester arbejder Calculus 2 Januar 2006 Løsning - fortsat 3) Problemstillingen er vist på figuren v v proj U (v) proj U (v) U Længden af restvektoren er v proj U (v) er den korteste afstand fra v til U. Calculus 2-2006 Uge 46.1-38
Tømrermester arbejder Calculus 2 Januar 2006 Løsning - fortsat 3) v = (5, 4, 3, 3), proj U (v) = (6, 2, 2, 0). Længden af restvektoren er v proj U (v) er den korteste afstand fra v til U. Restvektoren udregnes v proj U (v) = (5, 4, 3, 3) (6, 2, 2, 0) = ( 1, 2, 1, 3) og den korteste afstand beregnes ( 1, 2, 1, 3) = 1 + 4 + 1 + 9 = 15. Calculus 2-2006 Uge 46.1-39
Gram-Schmidt Sætning 13.23 Et sæt vektorer v 1,..., v m R n som udspænder et underrum U kan oprettes til en basis u 1,..., u k for U bestående af indbyrdes ortogonale vektorer. Bevis Tag vektorer 0 fra følgende procedure u = v j+1 proj Span(v1,...,v j )(v j+1 ) Calculus 2-2006 Uge 46.1-40