Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation Standard vektorer Identitetsmatricen Calculus 1-2004 Uge 35.1-1

Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Calculus 1-2004 Uge 35.1-2

Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Calculus 1-2004 Uge 35.1-2

Taltupler [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Det n-dimensionale koordinatvektorrum udgøres af alle n-tupler x = (x 1,...,x i,...,x n ) (x = x) af reelle tal og betegnes R n Taltuplen x kaldes en (koordinat)vektor med i-te koordinat x i. Vektoren, hvis koordinater alle er 0 kaldes nulvektoren. 0 = (0,...,0) Calculus 1-2004 Uge 35.1-2

Planen [LA] 1 Koordinatvektorer Figur y b (a, b) 0 a x Talplanen R 2 Calculus 1-2004 Uge 35.1-3

Rummet Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.1 Three-dimensional co... z c 0 (a, b,c) b y a x Talrummet R 3 Calculus 1-2004 Uge 35.1-4

Addition Definition Sum af vektorer x + y = x 1. + y 1. = [LA] 1 Koordinatvektorer x 1 + y 1. x n y n x n + y n Calculus 1-2004 Uge 35.1-5

Addition Definition Sum af vektorer x + y = x 1. + y 1. = [LA] 1 Koordinatvektorer x 1 + y 1. x n y n x n + y n Eksempel 1 2 + 3 4 5 = 6 5 7 9 Calculus 1-2004 Uge 35.1-5

Skalering [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor αx = α x 1. = αx 1. x n αx n Calculus 1-2004 Uge 35.1-6

Skalering [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Skalarmultiplikation af skalar (tal) og vektor αx = α x 1. = αx 1. x n αx n Eksempel 3 1 2 = 3 3 6 9 Calculus 1-2004 Uge 35.1-6

Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler Calculus 1-2004 Uge 35.1-7

Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov u + v = v + u Calculus 1-2004 Uge 35.1-7

Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w Calculus 1-2004 Uge 35.1-7

Regneregler [LA] 1 Koordinatvektorer Regneregler 1. Kommutativ lov 2. Associativ lov u + v = v + u u + (v + w) = (u + v) + w 3. Distributive love r(u + v) = ru + rv (r + s)u = ru + su Calculus 1-2004 Uge 35.1-7

Associativ addition Figur [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors a + b + c b + c c b a a + b Associativ lov for vektorer i planen Calculus 1-2004 Uge 35.1-8

Linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) λ 1,...,λ k giver linearkombinationen λ 1 u 1 + + λ k u k Calculus 1-2004 Uge 35.1-9

Linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Et sæt af vektorer u 1,...,u k og koefficienter (skalarer) λ 1,...,λ k giver linearkombinationen λ 1 u 1 + + λ k u k Eksempel 0 1 5 + 3 7 1 2 2 3 4 5 = 6 5 4 3 Calculus 1-2004 Uge 35.1-9

Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u 1 + + λ k u k Calculus 1-2004 Uge 35.1-10

Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u 1 + + λ k u k Et span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Calculus 1-2004 Uge 35.1-10

Span [LA] 1 Koordinatvektorer Definition Givet er sæt af vektorer u 1,...,u k i R n. Så er deres span alle linearkombinationer v = λ 1 u 1 + + λ k u k Et span er stabilt overfor dannelse af linearkombination og giver et underrum af R n. Eksempel Diagonalen i talplanen er et span {(x,y) x = y} = span((1, 1)) R 2 Calculus 1-2004 Uge 35.1-10

Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Calculus 1-2004 Uge 35.1-11

Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Eksempel Et underrum i R n er et vektorrum. Calculus 1-2004 Uge 35.1-11

Vektorrum [LA] 1 Koordinatvektorer, [S] 9.2 Vectors Definition En mængde med struktur som et koordinatvektorrum kaldes et vektorrum og elementerne kaldes vektorer. Vektorer kan adderes og skalarmultipliceres med reelle skalarer. Eksempel Et underrum i R n er et vektorrum. Eksempel Mængden af alle reelle funktioner f : X R er et vektorrum. Calculus 1-2004 Uge 35.1-11

Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Afkryds: ja nej Calculus 1-2004 Uge 35.1-12

Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. ja nej Calculus 1-2004 Uge 35.1-12

Test linearkombination [LA] 1 Koordinatvektorer Test Enhver vektor x R 3 kan skrives som en linearkombination x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1). Løsning Afkryds: ja nej x = λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 ( 1, 1, 1) = (λ 1 λ 2 )(1, 1, 1) som alle har samme 1. og 2. koordinat. Calculus 1-2004 Uge 35.1-12

Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Calculus 1-2004 Uge 35.1-13

Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn Calculus 1-2004 Uge 35.1-13

Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Calculus 1-2004 Uge 35.1-13

Matrix indgang Definition En m n-matrix er et rektangulært regneark med m-rækker og n-søjler. Det skrives (A = A) ij-te (matrix)indgang A = (a ij ) i=1...m,j=1...n a 11... a 1n =. a ij. a m1... a mn a ij Matricen 0 = (0) med alle indgange lig 0 kaldes nulmatricen. Calculus 1-2004 Uge 35.1-13

Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n Calculus 1-2004 Uge 35.1-14

Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) Calculus 1-2004 Uge 35.1-14

Matrix række/søjle Definition En m n-matrix A = (a ij ) i=1...m,j=1...n har i-te række a i = (a i1... a in ) og j-te søjle a j = a 1j. a mj Calculus 1-2004 Uge 35.1-14

Rækker og søjler Eksempel m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) Calculus 1-2004 Uge 35.1-15

Rækker og søjler Eksempel m = 1 rækkevektor/rækkematrix (a 1... a n ) n = 1 søjlevektor/søjlematrix a 1. a m Calculus 1-2004 Uge 35.1-15

3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 Calculus 1-2004 Uge 35.1-16

3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 4-rækkematrix ( ) 6 2 9 2 Calculus 1-2004 Uge 35.1-16

3x4 matrix Eksempler 3 4-matrix 1 2 0 2 1 8 3 4 5 4 3 1 4-rækkematrix ( ) 6 2 9 2 3-søjlematrix 5 0 5 Calculus 1-2004 Uge 35.1-16

Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. Calculus 1-2004 Uge 35.1-17

Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Calculus 1-2004 Uge 35.1-17

Addition skalering Definition Sum, Skalarmultiplikation To m n-matricer kan adderes til en m n-matrix. En matrix kan skaleres. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b ij ) i=1...m,j=1...n A + B = (a ij + b ij ) i=1...m,j=1...n λa = (λa ij ) i=1...m,j=1...n Eksempel ( ) 1 2 1 8 + ( ) 1 2 1 8 = ( ) 2 4 2 16 = 2 ( ) 1 2 1 8 Calculus 1-2004 Uge 35.1-17

Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Calculus 1-2004 Uge 35.1-18

Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p Calculus 1-2004 Uge 35.1-18

Matrix multiplikation Definition (Multiplikation) En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus 1-2004 Uge 35.1-18

Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. Calculus 1-2004 Uge 35.1-19

Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk Calculus 1-2004 Uge 35.1-19

Gange er nemt Bemærkning I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus 1-2004 Uge 35.1-19

Øvelse Eksempel ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 Calculus 1-2004 Uge 35.1-20

Øvelse Eksempel = ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 ( ) [1 3 + 2 4] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) 3 + 8 4] [( 1) ( 5) + 8 0] Calculus 1-2004 Uge 35.1-20

Øvelse Eksempel = ( ) ( ) 1 2 3 5 1 8 4 0 ( ) [1 3 + 2 4] [1 ( 5) + 2 0] [( 1) 3 + 8 4] [( 1) ( 5) + 8 0] = ( ) 11 5 29 5 Calculus 1-2004 Uge 35.1-20

Regneark Eksempel Rækkesum a 11... a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a 11 + + a 1n. a m1 + + a mn Calculus 1-2004 Uge 35.1-21

Regneark Eksempel Rækkesum a 11... a 1n 1. a ij. a m1... a mn. 1 = a 11 + + a 1n. a m1 + + a mn Søjlesum = ( ) a 11... a 1n 1,..., 1. a ij. a m1... a mn ) (a 11 + + a m1,..., a 1n + + a mn Calculus 1-2004 Uge 35.1-21

Vigtigste regneregel Sætning 1 (Associativ lov) Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Calculus 1-2004 Uge 35.1-22

Vigtigste regneregel Sætning 1 (Associativ lov) Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bevis Fælles il-te indgang d il = j,k a ij b jk c kl Calculus 1-2004 Uge 35.1-22

Multiplikation og linearkombination Sætning 2 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x 1 + + a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Calculus 1-2004 Uge 35.1-23

Multiplikation og linearkombination Sætning 2 Givet A en m n-matrix og x en n-søjlematrix, så er produktet y = Ax = a 1 x 1 + + a n x n den m-søjlematrix, der fremkommer som linearkombinationen af søjlerne i A med koefficienter de n indgange i x. Bevis Udregn y i = j a ij x j Calculus 1-2004 Uge 35.1-23

Nemme regneregler Bemærkning Simple regneregler For matricer af størrelser, så operationerne er definerede gælder Associativ lov Distributive love A + (B + C) = (A + B) + C A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus 1-2004 Uge 35.1-24

Pas på Advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( 0 0 1 0 ( ) ( 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) ) = = ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 Calculus 1-2004 Uge 35.1-25

Pas på Advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA Nulreglen gœlder ikke ( ) ( 0 0 1 0 ( ) ( 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 ) ) = = ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0 1 0 A 0, B 0, AB = 0 Calculus 1-2004 Uge 35.1-25

Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) =. 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 7 6 (b) =. 3 4 3 4 15 12 Afkryds det rigtige: (a) (b) Calculus 1-2004 Uge 35.1-26

Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) =. 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 7 6 (b) =. 3 4 3 4 15 12 Afkryds det rigtige: (a) (b) Løsning ( ) ( ) 1 x 1 2 3 4 x 4 = ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [3 1 + 4 x] [2 3 + 4 4] Calculus 1-2004 Uge 35.1-26

Test matrix multiplikation Test Hvilket ( matrixprodukt ) ( ) er ( rigtigt? ) 1 x 1 2 1 + x 2 2 + 4x (a) =. 3 4 x 4 3 + 4x 22 ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 7 6 (b) =. 3 4 3 4 15 12 Løsning ( ) ( ) 1 x 1 2 3 4 x 4 = Afkryds det rigtige: ( ) [1 1 + x x] [1 2 + x 4]. [3 1 + 4 x] [2 3 + 4 4] (a) (b) Calculus 1-2004 Uge 35.1-26

Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. Calculus 1-2004 Uge 35.1-27

Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. 0. e i = 1. 0 Calculus 1-2004 Uge 35.1-27

Enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i er (søjle,række)-vektoren, hvis i-te koordinat er 1 og alle øvrige er 0. 0. e i = 1. 0 e i = ( ) 0,..., 1,..., 0 Calculus 1-2004 Uge 35.1-27

Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n Calculus 1-2004 Uge 35.1-28

Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har fremstillingen x = n i=1 x i e i Calculus 1-2004 Uge 35.1-28

Span af enhedsvektorer [LA] 3 Lineære funktioner Bemærkning span(e 1,...,e n ) = R n En vektor x R n har fremstillingen x = n i=1 x i e i Eksempel (1, 2, 3) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) 3(0, 0, 1) Calculus 1-2004 Uge 35.1-28

Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus 1-2004 Uge 35.1-29

Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus 1-2004 Uge 35.1-29

Multiplikation af enhedsvektorer Eksempel Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus 1-2004 Uge 35.1-29

Kvadratisk matrix, identitetsmatrix Definition En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Calculus 1-2004 Uge 35.1-30

Kvadratisk matrix, identitetsmatrix Definition En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen I n = 1 0... 0... 0. 0 1 med 1 i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Calculus 1-2004 Uge 35.1-30

Multiplikation af identitetsmatrix Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Calculus 1-2004 Uge 35.1-31

Multiplikation af identitetsmatrix Sætning 3 Lad A vœre en m n-matrix. Så gœlder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen œndrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus 1-2004 Uge 35.1-31