1: Fundamentale begreber.

Topologi 1

1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis A for de to operationer indredannelse og afslutningsdannelse, da vil disse fire topologiske grundbegreber opfylde følgende regler, hvor vi for enhver mængde M benytter M som betegnelse for mængden af delmængder af M og M ( ) for mængden af endelige delmængder: O: Åbne mængder X O O O O : O O O O ( ) : O O O C C O C: Afsluttede mængder C X C C C : C C C C ( ) : C C I(X) = X I O O I I: Indreoperationen D D : I(D) D D D : I(I(D)) = I(D) ( ) D D ( ) : I D = I(D) D D D D I A A I A( ) = A C C A A: Afslutningsoperationen D D : A(D) D D D : A(A(D)) = A(D) ( ) D D ( ) : A D = A(D) D D D D Disse regler kan fyndigere (og lidt forkortet) udtrykkes ved at sige at de åbne mængder udgør en samling som er lukket med hensyn til fællesmængdedannelse af endelig mange mængder og foreningsmængde af vilkårligt mange, mens samlingen af afsluttede mængder har det lige omvendt. Indredannelsen er en formindskende idempotent operator som respekterer fællesmængdedannelse af endelig mange mængder mens afslutningsdannelse er udvidende, idempotent og respekterer foreningsmængdedannelse af endelig mange mængder. Jeg fremhæver disse egenskaber fordi de er fundamentale på to forskellige måder. For det første er det muligt at definere de fleste øvrige begreber (fx kontinuitet og kompakthed) alene ud fra disse begreber uden at inddrage den metrik de stammer fra. Som bekendt siger vi jo også at to metrikker er topologisk ækvivalente, hvis de giver anledning til de samme systemer af åbne mængder. Desuden giver de et overskueligt overblik over disse begrebers indbyrdes relationer, og analogier imellem dem. Dette overblik kan yderligere perspektiveres ved at se på hvordan disse fire understrukturer er indbyrdes forbundet. Dette har jeg sammenfattet i følgende skema. Her er de fire strukturer relateret parvis for de vigtigste par. Af skemaet fremgår det hvordan man kan frembringe en af understrukturerne fra nogle af de øvrige. F.eks giver kendskab til systemet af åbne mængder fuld kendskab til systemet af de afsluttede mængder og fuld kendskab til hvordan indredannelsen virker. De angivne egenskaber kan ved hjælp af disse forbindende relationer også nemt overføres fra et af systemerne til de øvrige. En strategi til at bevise samtlige relationer kunne således være at bevise dels at et af systemerne har disse egenskaber, ved anvendelse af den underliggende metrik, dels eftervise de forbindende relationer, måske igen ved brug af metrikken (visse af dem kan endda være definitioner og skal da slet ikke vises. 2

For det andet giver de to skemaer et godt udgangspunkt for at forstå generaliseringen fra topologi i metriske rum til generelle topologiske rum. Vi har nemlig så et godt forslag til hvad vi skal ønske os af et sådant generelt begreb. Til den videre diskussion vil vi betegne de fire betingelser der er nævnt for de åbne mængder, som aksiomerne for et system af åbne mængder og analogt for de andre blokke af betingelser. O Fra åbne til indre I(D) = O O D,O O Fra indre til åbne O = {D D : I(D) = D} I Fra afsluttede til åbne O = {X \ C : C C} Fra åbne til afsluttede C = {X \ O : O O} Fra indre til afslutning A(D) = X \ I(X \ D) Fra afslutning til indre I(D) = X \ A(X \ D) C Fra afsluttede til afslutning A(D) = C C D,C C Fra afslutning til afsluttede C = {D D : A(D) = D} A 1. Definition (Topologisk struktur) Ved en topologisk struktur forstås en kombination af en mængde X, kaldet det underliggende rum, to systemer O og C af delmængder af X samt to unære operationer I og A på mængden af delmængder af X, således at samtlige egenskaber nævnt i de to skemaer ovenfor er opfyldt. Betegnelserne åbne mængder, afsluttede mængder, det indre af en mængde og afslutningen af en mængde benyttes på oplagt vis Som antydet giver denne definition umiddelbart anledning til følgende 2.Sætning (Et metrisk rum frembringer en topologisk struktur) Og hvad så, hvis man ikke lige har en metrik. Det er jo en frygtelig masse objekter med indbyrdes interne relationer man skal definere og eftervise. Heldigvis kan man nøjes med meget mindre. Man kan f.eks. nøjes med at have et system O som opfylder de fire betingelser som er knyttet til systemet af åbne mængder. Vi udmønter dette i følgende sætning. 3.Sætning (De åbne mængder bestemmer den topologiske struktur) Lad der være givet en mængde X og et system O af delmængder af X som opfylder axiomerne for de åbne mængder. Da findes der netop eet system C af delmængder af X som opfylder axiomerne for afsluttede mængder, een operator I som opfylder axiomerne for en indreoperation og een operator A som opfylder axiomerne for en afslutningsoperator således at X, O, C, I, A sammen udgør en topologisk struktur. Bevis: Vi vil vise lidt mere fordi vi har visse bagtanker. Lad der være givet et system O, som opfylder axiomerne for et system af åbne mængder og lad os danne det 3

system C som består af komplementærmængderne. Da vil C opfylde axiomerne for et system af afsluttede mængder og vi vi have at O netop er komplementærmængderne af mængderne i C. Vi kan udtrykke dette på følgende måde. Vi vil ikke gennemføre hele beviset, blot eksemplificere: Lad C C og sæt O = { C : C C. Da har vi at O O og derfor at O O. Derfor vil O C og da O = C har vi altså at C C. Dermed har vi eftervist at C opfylder et af aksiomerne. Og omvendt. Hvis der er givet et system C som opfylder aksiomerne for et system af afsluttede mængder og vi lader O være systemet bestående af komplementærmængder af mængderne i C, da vil O opfylde aksiomerne for et system af åbne mængder. Vi kan heraf slutte to ting. Hvis systemet af åbne mængder er givet på forhånd, så vil systemet af afsluttede mængder være bestemt heraf og vil automatisk opfylde de nødvendige aksiomer. Hvis systemet af afsluttede mængder er givet vil systemet af åbne mængder være bestemt heraf og vil automatisk opfylde aksiomerne for et system af åbne mængder. Noget tilsvarende gælder for de andre ingredienser i definitionen af den topologiske struktur: Hvis et af hjørnerne i det første diagram er bestemt således at aksiomerne svarende til dette hjørne er opfyldt, så vil de øvrige hjørner være bestemt heraf ved relationerne i relationsdiagrammet og aksiomerne svarende til disse hjørner vil automatisk være opfyldt ligesom samtlige andre relationer i relationsdiagrammet automatisk vil være opfyldt. Når man derfor skal angive en topologi er det nok at etablere et af hjørnerne. Det er sædvanligt i elementære fremstillinger, at forfatteren vælger et bestemt hjørne, f.eks. systemet af åbne mængder, og siger at dette er definitionen på en topologi. Herefter følger så definitionerne af de øvrige begreber og beviset for at de opfylder aksiomerne. Man kan f.eks. starte med at definere systemet af afsluttede mængder og indredannelsesoperationen begge ud fra systemet af åbne mængder, og slutteligt at definere afslutningsoperationen enten ud fra de afsluttede mængder eller ud fra indredannelsesoperationen. En anden vej som ofte vælges er at starte med en afslutningsoperation og definere resten herudfra. Påstanden om at man kan starte i hvad hjørne man kunne ønske sig er derfor ikke af egentlig praktisk betydning, men har mere karakter af begrebsafklaring. Jeg vil illustrere med nogle få beviser: Lad E være en vilkårlig delmængde lad os vise at I(I(E)) = I(E), hvis I(E) er defineret ud fra systemet af åbne mængder. Det er klart ud fra definitionen at I(D) D da I(D) er foreningsmængde af delmængder af D. Når dette anvendes på D = I(E) følger straks at I(I(E)) I(E), altså den ene inklusion. Lad nu O være en vilkårlig åben mængde for hvilken O E, da vil O I(E) per definition af I. Derfor må vi også have at O I(I(E)). Vi har dermed at I(E) er en foreningsmængde af nogle mængder som alle er delmængde af I(I(E)), og derfor er I(E) selv en delmængde af I(I(E)). Dermed er begge inklusioner bevist. Lad os dernæst antage at afslutningsoperationen A opfylder de til denne hørende aksiomer og definere systemet C af afsluttede mængder ved at kalde D for afsluttet hvis A(D) = D. Vi vil vise at dette system opfylder aksiomerne for et system af afsluttede mængder. Antag så at C er en endelig mængde af afsluttede mængder. Vi har da at A( C) = A(C) = C C C C C C C 4

hvoraf det fremgår at C C C er afsluttet. Det almindeligst forekommende valg er nu om dage at sige at en topologi er et system af delmængder, som opfylder aksiomerne for et system af åbne mængder. Historisk har man først benyttet en definition baseret på et omegnsbegreb, som vi vender tilbage til om lidt, men også den definition, hvor der tages udgangspunkt i afslutningsoperationen (denne kaldes en Kuratowski operation) forekommer ofte. Et vigtigt aspekt er at have bekvemme metoder til at definere givne topologier, og her kan vi forsøge at efterligne definitionen af metriske rum ved at skaffe os en analogi til de åbne kugler. Dette er indeholdt i følgende definition: 4. Definition (Basis) Ved en basis for en topologisk struktur (X, O, C, I, A) forstås et system, B, bestående af åbne mængder, kaldet basismængder, sådan at enhver åben mængde kan skrives som foreningsmængde af basismængder. Forbindelsen til kugler i metriske rum fås af at mængden af åbne kugler i et metrisk rum udgør en basis for topologien. For ethvert punkt x i den åbne mængde O kan vi jo finde en åben kugle K indeholdende x og indeholdt i O. Foreningsmængden af alle disse kugle vil jo netop være O. Basisbegrebet giver os en ny og bekvem måde at fremstille topologier på. Hvis vi nemlig angiver en basis så er jo de åbne mængder givet og dermed hele den topologiske struktur. Hvad vi da har brug for er et kriterium for at et system af mængder på denne måde faktisk giver en topologi. Der gælder: 5.Sætning (Kriterier for en basis) Lad B være et system af delmængder som opfylder følgende to betingelser (1) Ethvert punkt i X ligger i mindst en mængde fra B (2) Hvis x ligger i B 1 B 2 og B 1, B 2 B, da findes B 3 B således at x B 3. da findes der netop en topologisk struktur på X som B er en basis for. Bevis : Lad I betegne den operation på delmængderne af X som er defineret ved at I(D) = B B,B D da vil I opfylde aksiomerne for en indredannelsesoperation. Vi ser jo umiddelbart at I(D) D. Vi skal da blot vise at I(D) I(I(D)). Lad da B B være således at B D. Da har vi også at B I(D) og dermed også at B I(I(D)). Vi har altså at I(D) er foreningsmængde af mængder som er indeholdt i I(I(D)) hvorfor I(D) selv er indeholdt i I(I(D)). Dermed har vi bevist idempotensen af I. Fællesmængdeaksiomet: Det er klart at I(D 1 D 2 ) I(D 1 ) I(D 2 ). Lad nu x I(B 1 ) I(B 2 ). Vi kan da per definition af I finde B 1, B 2 B således at x B 1 B 2 og B 1 D 1, B 2 D 2. Men i henhold til betingelse (2) kan vi finde B 3 B med x B 3 B 1 B 2. Vi har altså at x B 3 D 1 D 2 og altså at x I(D 1 D 2 ). Dermed vil I give anledning til en topologi. Og det indses let (sorry!) at B vil være en basis for denne topologi. B 5

Vi konstaterer at mængden af åbne kugler i et metrisk rum udgør en basis: hvis x ligger i fællesmængden af to kugler, så er det centrum i en kugle som er indeholdt i fællesmængden, da denne fællesmængde jo er en åben mængde. Jeg skal straks diske op med flere vigtige eksempler, som repræsenterer ægte generaliseringer. Men jeg hæfter mig først ved ækvivalensbegrebet, at to forskellige metrikker, og dermed to forskellige baser kan føre til samme topologi. Vi forbereder med en 6.Sætning (Forberedelse til ækvivalens) Lad B 1 og B 2 være topologiske baser på X. Da er følgende to betingelser ensbetydende: (1) B 1 og B 2 er baser for samme topologi (2) For et hvert punkt vil enhver basismængde fra den ene basis, indeholdende dette punkt, indeholde en basismængde fra den anden basis, også indeholdende punktet. Bevis : Lad os antage at (1) er opfyldt og at x B 1 B 1. Da vil B 1 være en åben mængde i den fælles topologi. Derfor findes B 2 B 2 med x B 2 B 1. Og så er vi klar til 7. Definition (Ækvivalente baser) To baser som opfylder de to ensbetydende betingelser i foregående sætning kaldes ækvivalente I de følgende eksempler får vi brug for følgende to redskaber baseret på baser: 8.Sætning (Karakterisering af indre og afslutning vha baser) Lad B være en basis for en topologisk struktur. Da er følgende to udsagn ensbetydende (1) a I(D) (2) B B : a B D og også følgende to udsagn er ensbetydende (3) a A(D) (4) B B : a B D B Vi har altså at et punkt er indre punkt i en mængde hvis og kun hvis det er indeholdt i en basismængde, som selv er indeholdt i en mængde og at et punkt tilhører afslutningen af en mængde hvis og kun hvis enhver basismængde som indeholder punktet også indeholder punkter fra mængden. Beviset er en umiddelbar anvendelse af definitionerne. Eksempler: (1) Mængden af åbne intervaller på den reelle akse udgør en basis for standardtopologien. (2) Mængden af singletoner udgør en basis for den diskrete topologi, den hvor enhver mængde per definition er åben. 9. Definition (Kvasimetrik) en funktion på X X med værdier i [0, ], som er symmetrisk, opfylder trekantsuligheden og har værdien 0 på diagonalen. 6

En metrik er naturligvis en kvasimetrik, men ved en kvasimetrik tillader vi værdien og vi tillader at to forskellige punkter har kvasiafstand 0. 10. Definition (Kvasikugle) Antag at d er en kvasimetrik og r > 0. Mængden {y X : d(x, y) < r} kaldes da en åben kvasikugle med centrum i x og radius r mht d og betegnes K d (x, r) 11.Sætning (Kvasikugler i kvasikugler) Ethvert punkt indeholdt i en åben kvasikugle er centrum i en anden åben kvasikugle helt indeholdt i den første Bevis :Samme bevis som det tilsvarende resultat for metriske rum. 12.Sætning (Fællesmængde af kvasikugler) Lad x K d (x 1, r 1 ) K d (x 2, r 2 ). Da findes r > 0 således at K d (x, r) K d (x 1, r 1 ) K d (x 2, r 2 ) Bevis :Følger nemt af foregående sætning. 13.Sætning (Kvasikuglerne er basis for en metrik) Bevis :Følger af foregående sætning ved brug af karakteriseringen af baser. 14. Definition (Kombikugle ) Antag at Q er en familje af kvasimetrikker på X. En fællesmængde af endelig mange kvasikugler med centrum i x og radius r kaldes da en kombikugle mht Q. Hvis D er en endelig delmængde af af Q lader vi K D (x, r) betegne kombikuglen K D (x, r) = K d (x, r) d D 15.Sætning (Kombikuglerne udgør en basis for en topologi) Lad Q være en mængde af kvasimetrikker på X og lad B være mængden af kombikugler dannet på grundlag af Q. Da udgør B en basis for en topologi. Bevis : Følger direkte af næste sætning 16.Sætning (Fællesmængde af baser) 7

Antag at {B i : i I} er en familje af baser for topologier på X og lad B være systemet af fællesmængder af endeligt mange basismængder, altså B = { B i : J I ( ), B i B i } i J Da er B en basis for en topologi på X 17. Definition (Fællesmængdetopologien) Den i foregående sætning definerede topologi kaldes for fællesmængdetopologien for familjen af topologier. Her følger en række eksempler på topologier givet ved en familje af kvasimetrikker: 18. Eksempel (Produkttopologi) Lad X i være en vilkårlig familje af metriske rum med metrik d i og lad X betegne produktmængden X i. For hvert i har vi da en kvasimetrik D i (x, y) = d i (x i, y i ). Den til denne samling af kvasimetrikker svarende topologi kaldes produkttopologien, og den vender vi tilbage til. 19. Eksempel (Uniform konvergens på delmængde ) Lad M være en mængde, Y et metrisk rum med metrik d og lad X være et underrum af F(M, Y ) af afbildninger af M ind i Y. Lad K M og lad d K være kvasimetrikken for uniform konvergens på K, nemlig d K (f, g) = sup{d(f(x), g(x)) : x K}. Vi kalder den tilsvarende topologi for topologien for uniform konvergens på K af den gode grund at følgende to udsagn er ensbetydende: (1) d K (f n, f) 0 for n (2) ε > 0 N N x K n > N : d(f n (x), f(x)) < ε Hvis K er en ægte delmængde af M vil d K ikke være en metrik, men kun en kvasimetrik. Lad nemlig to funktioner f og g stemme overens på K da er d K (f, g) = 0 men det gælder jo ikke nødvendigvis at f = g. 20. Eksempel (Uniform konvergens på et system af delmængder) Lad så K være et system af delmængder af M. Vi omtaler da topologien frembragt af basen frembragt af kombikuglerne med hensyn til mængden {d K : K K} som topologien for niform konvergens på K. Det gør vi af den gode grund at Vigtige eksempler på dette: (1) K = {M}, topologien for ligelig konvergens. (2) K er mængden af kompakte delmængder af M (nu udstyret med en metrik), topologien for uniform konvergens på kompakte delmængder. (3) K er mængden af singletonner, altså K = {{x} : x M}. Denne topologi kaldes af letforståelige grunde topologien for punktvis konvergens. Ligelig konvergens i en mængde bestående af et enkelt punkt er jo det samme som punktvis konvergens i dette punkt. For K = {x} sætter vi d K = d x og har så at d x (f, g) = d(f(x), g(x)) og at K x (f, r) = {g : d(f(x), g(x)) < r}. For D = {{y} : y Y } sætter vi K D (f, r) = K Y (f, r). 8

En basismængde vil da have formen B = K Y (f, r) = K y (f, r) = {g : d y (f, g) < r} = {g : d(f(y), g(y)) < r} y Y y Y y Y (4) M er en åben delmængde af den komplese plan og K er mængden af afsluttede cirkelskiver som er delmængde af M. Lad X være mængden af komplekse funktioner på M. Her kan man (dvs I) bevise at delmængden af kontinuerte funktioner er afsluttet i topologien for uniform konvergens på K. Dette er en styrkelse af sætningen om at du får en kontinuert funktion som grænsefunktion for en uniformt konvergent følge af kontinuerte følger, man behøver ikke den globale uniforme konvergens. (5) M er den åbne konvergenscirkelskive for en kompleks potensrække. Og K er mængden af afsluttede delcirkelskiver. Da vil sumfunktionen være uniform grænsefunktion på enhver af mængderne i K. Det er på den måde at vi plejer at vise at sumfunktionen er kontinuert. Vi skal afslutte dette afsnit om de fundamentale begreber med endnu et vigtigt hjælpemiddel. 21. Definition (Omegn) Mængden U kaldes en omegn af x hvis x I(U). Mængden af omegne af x betegnes U x. Et system af omegne af x kaldes en omegnsbasis for x, hvis enhver omegn af x indeholder en mængde fra systemet. 22. Bemærkning (Omegnssystemets axiomatik) De åbne mængder kan karakteriseres som de mængder for hvilke der til ethvert af dens punkter findes en omegn af punktet som er indeholdt i mængden. Omegnssystemet bestemmer altså topologien. Det er muligt at opstille et axiomsystem for et system af mængder som alle systemer af åbne mængder opfylder og sådan at ethvert system der opfylder dem vil være systemet af åbne mængder i en topologi. Dette er historisk set den oprindelige måde at definere topologi på, og den er stadig udbredt. 9

2: Konvergens 23. Definition (Konvergens af følge.) Lad x være en følge på et topologisk rum X og lad a X. Vi siger da at x konvergerer mod a hvis følgende betingelse er opfyldt B B a N N n > N : x n B Det er ikke særlig svært at se at en følge der i overensstemmelse med denne definition er konvergent i topologien svarende til en metrik også er konvergent i forhold til definitionen af konvergente følger i metriske rum. Og omvendt. Der er altså tale om en generalisering. Derimod er det ikke alle resultater om følger i metriske rum som direkte overføres. I metriske rum gælder f.eks. at et punkt a tilhører afslutningen af en mængde A hvis og kun hvis der findes en følge x på A som konvergerer mod a. Dette gælder ikke generelt, hvilket fremgår af følgende eksempel: 24. Eksempel (En følgeafsluttet mængde som ikke er afsluttet) Vi betragter X = F(R, R) med topologien for punktvis konvergens og lader A være en mængden af funktioner som har værdien 0 i alle punkter bortset fra en endelig undtagelsesmængde, hvor værdien er 1. Undtagelsesmængden kan variere fra funktion til funktion. lad nu a betegne den funktion som er konstant 1. Vi vil da vise at a ligger i afslutningen af A. Lad B være en basis for topologien og lad B være en vilkårlig basismængde indeholdende a. Vi skal da vise at B ikke er disjunkt med A. Lad Y være en endelig delmængde af M og r > 0 være valgt så B = K Y (a, r) Lader vi nu b være den funktion, som er 1 i Y og 0 udenfor da vil b A B. B er altså ikke disjunkt med A hvilket vi havde sat os for at vise. Men der findes ikke nogen følge på A, som konvergerer mod a, idet det må være klart at en punktvis grænsefunktion for en sådan følge kun have være forskellig fra 0 i et tælleligt antal punkter. De kendte sammenhænge mellem konvergens og kontinuitet, som vi vender tilbage til, holder heller ikke. Det er imidlertid muligt at definere et mere generelt konvergensbegreb, som på alle punkter kan spille den rolle i topologiske rum, som de konvergente følger spiller for metriske rum Dette begreb kalder vi et filtrerende system. Det karakteristiske ved følger er deres haler. Konvergens har løst (og sjusket) sagt noget at gøre med at halerne bliver mindre og mindre. At halerne fra et vist trin er passende små. En nøjere analyse viser at det eleganteste er at opfatte en følge som en mængde af haler. Vi definerer derfor 25. Definition (Filtrerende system) Ved et filtrerende system vil vi forstå en mængde F af ikke tomme delmængder, som har følgende egenskab: Hvis F 1, F 2 F så findes der F 3 F så F 3 F 1 F 2 Vi kunne bruge den mere malende betegnelse halesystem, men afstår dog. Betingelsen siger altså at hvis vi har to forskellige haler så findes en hale som er indeholdt i dem begge. Vi ser således at mængden af haler for en følge er et simpelt eksempel på et halesystem. Her vil jo den ene af to haler være indeholdt i den anden. Som et andet eksempel på et filtrerende system kan vi tage mængden af de delmængder af M som består af samtlige punkter på nær endelig mange. Dette system opfylder oplagt betingelserne og vi bemærker at det 10

indeholder mere en tællelig mange haler. Vil slår det lige fast med følgende 26. Definition (Frechets filtrerende system) Lad F bestå af samtlige mængder som er komplementærmængde til en endelig delmængde. Da kalder vi F for Frechets filtrerende system Andre eksempler på filtrerende systemer: Lad A være en given delmængde og lad F være mængden af delmængder som indeholder A, da er F et (temmelig trivielt) filtrerende system. 27. Definition (Konvergens af filtrerende system) Lad F være et filtrerende system på X og lad a X. Vi siger da at F konvergerer mod a hvis følgende betingelse er opfyldt for enhver basis B for topologien på X: B B a F F : F B 28.Sætning (En basis er nok) Det er tilstrækkeligt at betingelsen i definitionen er opfyldt for en enkelt basis B Bevis :øvelse. Det er nemt at se at hvis x er en følge og F = {{x n : n N} : N N} da vil F konvergere mod a hvis og kun hvis x konvergerer mod a. Det sidste kan jo ved en let omformulering af definitionen ovenfor formuleres på følgende måde: B B a N N : {x n : n N} B 29. Eksempel (Punktvis konvergens fortsat) Vi benytter samme betegnelser som i eksemplet med den ikke følgeafsluttede mængde. Lad Y være en endelig delmængde af M og lad F Y bestå af de funktioner på M som dels tilhører A, dels har værdien 1 i ethvert punkt af Y. Det er da klart at F Y1 Y 2 F Y1 F Y2. Derfor vil systemet F defineret som {F Y : Y M ( ) være filtrerende. Lad os vise at F konvergerer mod a. En vilkårlig basismængde B, der indeholder a vil indeholde en kombikugle K Y (a, r), hvor Y M ( ). Hvis nu b F Y da vil d Y (a, b) = 0 og dermed har vi at F Y K Y (a, r) B og derfor har vi at F konvergerer mod a. Efter dette eksempel kan det ikke undre at der gælder følgende sætning. 30.Sætning (Filtreringsafsluttet og afsluttet) Lad D være en vilkårlig delmængde af det topologiske rum X og lad a D. Da er følgende udsagn ensbetydende: (1) a A(D) (2) Der findes et filtrerende system F på D som konvergerer mod a 11

Bevis :V i lader B være en basis for topologien. Antag at (1) er opfyldt. For hver B B x har vi at A B ikke er tom. Det er let at eftervise at systemet F = {A B : B B x } er filtrerende og at det konvergerer mod a. Antag at (2) er opfyldt.lad B være et vilkårligt element i B. Vi har da at der findes F F således at F B. Da F per definition er en ikke tom delmængde af D har vi at B D som omfatter B F = F ikke er tom. 12

3: kontinuitet 31. Definition (Kontinuert afbildning) Lad (X, O X, C X, I X, A X ) og (Y, O Y, C Y, I Y, A Y ) være topologiske struktur og lad f : X Y Vi siger da at f er kontinuert hvis følgende betingelse er opfyldt O O Y : f 1 (O) O X 32.Sætning (Andre formuleringer af kontinuitet) Vi gør samme antagelser som i definitionen af kontinuitet. Da er følgende betingelser ensbetydende: (0) f er kontinuert (1) O O Y : f 1 (O) O X (2) C C Y : f 1 (C) C X (3) D D : f(a(d)) A(f(D)) (4) B B Y : f 1 (B) O X Bevis : (1) medfører (2): Antag at (1) er opfyldt. Da er og da C O Y f 1 (C) = f 1 ( C) = f 1 ( C) vil f 1 ( C) O X og derfor vil f 1 ( C) C (2) medfører (1): er helt analogt. (2) medfører (3): Vi antager at (2) er opfyldt. Lad D D. Vi har da at A(f(D)) er fællesmængden for {C C Y : f(d) C}. Lad så C tilhøre denne mængde. Da f(d) C vil D f 1 (C). Da (2) er opfyldt vil f 1 (C) C X. Af disse to kendsgerninger følger da at A(D) f 1 (C) og videre heraf at f(a(d)) C. Da dette gælder for alle de betragtede C har vi da at f(a(d)) A(f(D)). (3) medfører (2): Vi antager at (3) er opfyldt. Lad C C Y og sæt D = f 1 (C). Vi skal vise at D er afsluttet. Vi har at f(d) C og dermed at A(f(D)) C, da C er afsluttet. Men efter antagelsen (3) har vi da også at f(a(d)) C, hvoraf følger at A(D) f 1 (C). Ved kombination giver det hele at A(D) D og så er D selvfølgelig afsluttet. (4) ensbetydende med (2): øvelse! Beviset virker tørt og formelt, og der er ikke andet for end at følge det skridt for skridt. indstillet sig på det (og det er hårdt) så går det ganske let. Når man har I metriske rum er der en sammenhæng mellem kontinuerte følger og konvergens. Denne sammenhæng går ikke uændret over. Men hvis man udskifter følger med filtrerende systemer er analogien simpel. Sammenhængen mellem kontinuitet og konvergens fremgår af 33.Sætning (Kontinuitet og konvergens) Følgende to udsagn er ensbetydende: 13

(1) f er kontinuert (2) a F : F a f(f) f(a) Bevis : Antag at (1) er opfyldt og at F a. Med f(f) forstår vi systemet {f(f ) : F F}. Det er nemt at se at dette er et filtrerende system. Lad B X og B Y være baser for de involverede topologier. Lad B Y B Y med f(a) B Y, da kan vi på grund af kontinuiteten finde B X B X med a B X således at f(b X ) B Y. Da F a kan vi finde F F så at F B X. Så vil f(f ) B Y. Vi har altså til enhver basismængde B Y indeholdende f(a) fundet en filtermængde f(f ) indeholdt i B Y og dermed har vi at (3) er opfyldt. Antag at (2) er opfyldt. Vi benytter os af formulering (3) af kontinuitet. Lad D være en vilkårlig delmængde af X og lad a A(D). Vi kan da bestemme et filtrerende system F på D således at F a. Da vil f(f) være et filtrerende system på f(d) som vil konvergere mod f(a) på grund af antagelsen (2). Men da vil f(a) A(f(A)). Da dette gælder for alle a A(D) har vi at f(a(d)) A(f(D)). Da dette gælder for alle D har vi at f er kontinuert. 34.Sætning (Sammensætning af kontinuerte afbildninger) Sammensætning af kontinuerte afbildninger er kontinuert Bevis : Dette er helt automatisk ved alle kriterierne for kontinuitet. Bemærk at (f g) 1 (D) = f 1 (g 1 (D)) og at (f g)(f) = f(g(f)). 35. øvelse (sammensætning og filtrerende systemer) Den enkleste (og måske derfor smukkeste) bevismetode bygger på filtrerende systemer. Gennemfør dette som en øvelse 36. Definition (Homeomorfi) En kontinuert bijektiv afbildning, hvis inverse er kontinuert kaldes en homeomorfi. 37. Bemærkning (Morfier) Bemærk analogien mellem på den ene side algebraiske strukturer og på den anden side topologiske strukturer. Algebraiske strukturer er forbundet ved homomorfier, hvor de bijektive homomorfier med en invers som også er en homomorfi per definition er isomorfier. Topologiske strukturer er forbundet ved kontinuerte afbildninger, hvor de bijektive kontinuerte afbildninger med en invers som også er en kontinuert afbildning per definition er isomomorfier. Bemærk at såvel homomorfier som kontinuerte afbildninger kan siges at respektere henholdsvis den algebraiske og den topologiske struktur. Homografierne respekterer operationerne og de kontinuerte afbildninger 14

respekterer konvergens. Isomorfierne er de morfier som (i en hvis forstand) identificerer strukturerne. Disse træk kan genfindes ved andre strukturer (ordensstrukturer, målstrukturer). Man har derfor en generel terminologi, idet man taler om en kategori, bestående af visse mængder, forsynet med struktur, og forbundet med afbildninger, som respekterer strukturen. Generelt kaldes mængderne for kategoriens objekter og afbildningerne for kategoriens morfier, blandt hvilke de bijektive med en invers som også er en morfi kaldes isomorfier. Bemærk dog den forskel der er mellem de to fremhævede typer strukturer. For algebraiske strukturer kan man vise at en bijektiv homomorfi automatisk er en isomorfi. Det tilsvarende resultat gælder ikke for topologiske strukturer, end ikke for dem som er defineret ved hjælp af en metrik. Dette uddybes i næste eksempel: 38. Eksempel (En kontinuert bijektion, som ikke er en homeomorfi) Lad X være intervaller [0, 2π[ med topologien svarende til delrumsmetrikken fra den reelle akse og lad Y være enhedscirklen i den komplekse plan, ligeledes med topologien stammende fra delrumsmetrikken i C. Lad så f : X Y være afbildningen f(t) = e it, som er en kontinuert bijektion. Dens omvendte afbildning er derimod ikke kontinuert hvad der er intuitivt klart. Det ses dog også nemt formelt: Lad D være f(]3π/2, 2π[), altså den åbne cirkelbue fra i til 1, og lad g betegne f 1. Da har vi at A(C) er den afsluttede cirkelbue, g(a(c)) er intervallet [3π/2, 2π[ forenet med punktet 0, mens A(g(C)) = [3π/2, 2π[. Dette er i strid med et af kriterierne for kontinuitet. 39. øvelse () Lad O 1 = X og lad O 2 = {, X}. Vis at O 1 og O 2 opfylder axiomerne for de åbne mængder for en topologi. Vis at den identiske afbildning er en kontinuert bijektion opfattet som afbildning fra X udstyret med O 1 til X udstyret med O 2. Overvej derpå verdenssituationen på ny! 15

4: Afledte topologier Vi skal i dette afsnit definere hvad jeg vl kalde afledte topologier. Vi vil se på hvordan en topologi på en mængde kan benyttes til at definere topologier på andre mængder som er beslægtet med den givne. Vi skal definere topologier på delmængder, funktioner med værdier i det givne rum, i produkter hvor rummet indgår som faktor og i kvotientdannelser af rummet. Vi vil dog forberede os med to mere generelle situationer som indeholder de her nævnte som specialtilfælde. Det mere generelle er dog langt simplerre (!) og mere overskueligt. Vi antager at vi har en topologi på mængden X som er forbundet med mængden Y vha en afbildning f: (1) f : X Y, topologi dannet ved fremrykning med f. (2) f : Y X, topologien dannet ved tilbagetrækning med f. Der er tale om ad hoc betegnelser som jeg har valgt for deres suggestive virkning. Man kunne ha talt om topologien fremkommet ved at flytte frem og tilbage. Mere officielt taler man om henholdsvis finaltopologi og initialtopologi idet man refererer til om topologien skal defineres i det rum hvor den givne afbildning begynder eller slutter, skal topologien defineres ved pilens hoved eller ved dens hale. 40.Sætning (***Eksistens af fremrykket topologi) Lad X være en topologisk struktur, hvor O X er systemet af åbne mængder. Lad f : X Y være en afbildning. Lad B Y = {B Y : f 1 (B) O Y } Da gælder at (1) B Y er basis for en topologi (2) Denne topologi afhænger ikke af den specifikke basis. (3) f er kontinuert, når Y er forsynet med denne topologi. Bevis : kommer senere. Ikke for vanskeligt som en umiddelbar men ikke triviel øvelse. 41. Definition (Fremrykningstopologi) Den i foregående sætning indførte topologi kaldes topologien på Y fremkommet ved fremrykning af topologien på X vha af f 42.Sætning (Karakterisering af fremrykningstopologien) Lad X og Y være topologiske rum og lad f : Y X. Hvis topologien på Y er fremrykningstopologien vha f da gælder følgende: (1): f er kontinuert. (2): For ethvert topologisk rum Z og enhver afbildning h : Z Y gælder at h er kontinuert hvis og kun hvis h f er kontinuert. 16

Bevis : kommer senere. Ikke for vanskeligt som en umiddelbar men ikke triviel øvelse. X f Y h Z 43.Sætning (Eksistens af tilbagetrukket topologi) Lad X være en topologisk struktur, hvor B X er en basis. Lad f : Y X være en afbildning. Lad B Y = {f 1 (A) : A B X } Da gælder at (1) B Y er basis for en topologi (2) Denne topologi afhænger ikke af den specifikke basis. (3) f er kontinuert, når Y er forsynet med denne topologi. Bevis : (1): Lad B 1, B 2 B Y, og vælg A 1, A 2 B X så B 1 = f 1 (A 1 ), B 2 = f 1 (A 2 ). Lad y B 1 B 2. Da vil f(y) A 1 og f(y) A 2 så f(y) A 1 A 2. Der findes derfor A 3 B X, således at f(y) A 3 A 1 A 2. Sæt B 3 = f 1 (A 3 ). Da vil y B 3 B 1 B 2. 44. Definition (Tilbagetrækningstopologi, initialtopologi) Den i foregående sætning indførte topologi kaldes topologien på Y fremkommet ved tilbagetrækning af topologien på X vha af f Z h Y f X 45.Sætning (Karakterisering af tilbagetrækningstopologien) Lad X og Y være topologiske rum og lad f : X Y. Hvis Topologien på Y er tilbagetrækningstopologien vha f da er følgende to egenskaber opfyldt: (1): f er kontinuert. (2): For ethvert topologisk rum Z og enhver afbildning h : Y Z gælder at h er kontinuert hvis og kun hvis f h er kontinuert. Tilbagetrækningstopologien er den eneste topologi som både opfylder (1) og (2). En topologi som opfylder (1) vil være finere end tilbagetrækningstopologien. 17

Bevis : Det er allerede bevist at (1) er opfyldt, så lad os vise (2). Lad h : Y Z. Antag først at h er kontinuert. Da er f h klart kontinuert, da f jo er kontinuert. Antag så at f h er kontinuert. Lad B = f 1 (A) B Y, da er h 1 (B) = (h 1 (f 1 (A)) = (f h) 1 (A). Dermed har vi vist at originalmængden til enhver basismængde ved f er en basismængde og altså åben. Derfor er h kontinuert. Dermed har vi vist at (2) er opfyldt. Vi vender os da til påstanden om entydigheden af en topologi med de ønskede egenskaber. Antag at først at (1) er opfyldt for Y, forsynet med en topologi. Lad O Y mængder for denne topologi. være systemet af åbne Da er enhver mængde af formen f 1 (O), O O X en åben mængde, og da disse åbne mængder udgør en basis for de åbne mængder i tilbagetrækningstopologien, må enhver af dens åbne mængde altså være en åben mængde i den givne topologi på Y. Antag dernæst at også (2) er opfyldt. Sæt Z = Y (som mængder) og udstyr Z med tilbagetrækningstopologien. Lad h : Z Y betegne den identiske afbildning. Vi har antaget at f er kontinuert heraf følger at f h = f er kontinuert. Heraf følger videre at h er kontinuert (da (2) er opfyldt for topologien på Y )og deraf at enhver åben mængde i Y (som sin egen originalmængde) ved h er en åben mængde i Z. Med det vi allerede havde bevist må de to topologier så være ens. Den sidste påstand i sætningen indgik som led i beviset for den forrige. Vi får brug for udvidelser af disse definitioner hvor der indgår en hel familje af afbildninger: 46. Definition (Fremrykningstopologien for en familje) Lad Y være en mængde og lad I være en indeksmængde. Lad der for hvert i I være givet et topologisk rum X i og en afbildning f i : X i Y. For hvert i I har vi da en fremrykningstopologi på Y. Vi kalder da fællesmængdetopologien for disse fremrykningstopologier for fremrykningstopologien af topologierne på (X i ) i vha afbildningerne (f i ) i Da gælder at X 1 f 1 f X 2 2 Y h Z f 3 X 3 47.Sætning (Fremrykningstopologiens egenskaber) 18

Med de samme betegnelser som i definitionen. (1) Alle afbildningerne f i er kontinuerte. (2) For ethvert topologisk rum Z er afbildningen h : Y Z kontinuert hvis og kun hvis afbildningen h f i er kontinuert for ethvert i I. Desuden gælder det at fremrykningstopologien er den eneste topologi med disse to egenskaber. Bevis : Det er oplagt at (1) er opfyldt. At h f i er kontinuert skyldes at den er kontinuert i fremrykningstopologien for f i alene, og af at enhver åben mængde i denne topologi også er åben i familjetopologien. Hvis h f i er kontinuert for et givet i da er h kontinuert i tilbagetrækningstopologien for mht f i. Hvis f er kontinuert mht enhver topologi i en familje af topologier da er den også kontinuert deres fællesmængdetopologi. 48. Definition (Tilbagetrækningstopologien for en familje) Lad Y være en mængde, og lad I være en indeksmængde. Lad der for hvert i I være givet et topologisk rum X i og en afbildning f i : Y X i. For hvert i I har vi da en tilbagetrækningstopologi på Y. Vi kalder da fællesmængdetopologien for disse tilbagetrækningstopologier for tilbagetrækningstopologien af topologierne på (X i ) i vha afbildningerne (f i ) i Da gælder at Z f 1 X 1 h Y f 2 X2 f 3 X 3 49.Sætning (Tilbagetrækningstopologiens egenskaber) Med de samme betegnelser som i definitionen. (2) Alle afbildningerne f i er kontinuerte. (3) For ethvert topologisk rum er afbildningen h : Z Y kontinuert hvis og kun hvis afbildningen f i h er kontinuert for ethvert i I. Desuden gælder det at denne tilbagetrækningstopologi er den eneste topologi med disse to egenskaber. Vi er nu beredte til at vores egentlige formål, nemlig definition af topologier på delmængder, produktmængder, kvotienter og funktionsrum. 19

50. Definition (Delrumstopologi, relativ topologi) Lad X være en topologisk struktur. Lad Y være en delmængde af X og lad i Y betegne inklusionsafbildningen af Y i X. Tilbagetrækningstopologien på Y vha i kaldes da delrumstopologien på Y. 51.Sætning (Delrumstopologien) O Y = {Y O : O = O} C Y = {Y C : C = C} f : Z Y er kontinuert hvis og kun hvis f : Z X er kontinuert. 52. Eksempel (Pas på) X = R, Y = Q, A = Q. Da: A R (A) = R, A Q (A) = Q, I R (A) =, I Q (A) = Q 53. Definition (Produkttopologi) Lad (X i ) i I være en familje af topologiske rum og lad X være produktmængden hvorpå er defineret projektionerne p i : X X i. Da kalder vi topologien på X fremkommet ved tilbagetrækning at topologierne på X i vha p i for produkttopologien på X. Ved at fortolke hovedresultaterne for tilbagetrækningstopologier får vi da 54.Sætning (projektionernes egenskaber) Projektionerne er kontinuerte og enhver afbildning med værdier i produktet er kontinuert hvis og kun hvis de enkelte komponentafbildninger er kontinuerte 55. Definition (Kvotienttopologi) Lad X være et topologisk rum og lad være en ækvivalensrelation på X og lad k være den kanoniske projektion på ækvivalensklassemængden X. Vi kan da betragte den topologi som er fremrykningstopologien på X vha k. Denne topologi kaldes kvotienttopologien på X. 56.Sætning (Kvotienttopologiens egenskaber) (1) Den kanoniske projektion er kontinuert. (2) En afbildning h : X Z, hvor Z er et topologisk rum, er kontinuert i kvotienttopologien hvis og kun hvis h k er kontinuert. R p K S 1 h R/Z 20

57. Eksempel (Endimensional torus) L ad X = R og være ækvivalensrelationen defineret i tilknytning til undergruppen Z. Vi betegner da X/ med R/Z og giver den også navnet T eller T 1, den endimensionale torus. Vi skal nemlig længere fremme vise at T med kvotienttopologien er homeomorf med S 1, enhedscirklen i den komplekse plan udstyret med delrumstopologien. Men lad os først se på en anden identificering af T: I hver ækvivalensklasse vil der være netop en repræsentant som er element i intervallet [0, 1[, en slags principal repræsentant. Afbildningen h, der til en klasse knytter dens principale repræsentant, er derfor er bijektion af T på Z = [0, 1[. Denne bijektion er imidlertid ikke kontinuert, når Z er udstyret med delrumstopologien fra R. Dette er intuitivt klart (!) men kan også nemt (nemmere!)indses formelt, idet afbildningen h k, altså T t h([t]) [0, 1[, er en savtakafbildning, som tydeligvis er diskontinuert (i hvert fald som afbildning ind i R, men som vi har set ved karakteriseringen af delrumstopologi, da også som afbildning ind i Z. Lad os så vende tilbage til identificeringen med S 1,som foregår via afbildningen h([t]) e 2πit. Denne afbildning er veldefineret da billedet af en klasse åbenbart ikke afhænger af den valgte repræsentant. Her testes kontinuitet ved afbildningen h k, altså R t e 2πit S 1, som tydeligvis er kontinuert. Derfor er også identifikationen h kontinuert. Vi vender tilbage til dette eksempel og viser at h er en homeomorfi, altså en topologisk identificering, når vi har skaffet lidt flere værktøjer. 58. øvelse (Den rigtige torus) Følg vejen i eksemplet ovenfor og definer kvotienttopologien på T 2 = R 2 /Z 2. mængden [0, 1[ 2. Definer en principal rest i Vis at den principale rest ikke afhænger kontinuert af restklassen. Vis at afbildningen [(s, t)] (cos(2πs)(r+r cos(2πt)), cos(2πs)(r+r sin(2πt)), sin(2πt)) er en (veldefineret) bijektion af T 2 på den geometriske torus, som fremkommer, når en cirkel med radius r i x, z-planen roteres om z aksen så den centrum bevæger sig på cirklen i x y-planen med centrum i koordinatsystemets begyndelsespunkt og radius R. Tip for s = 0 fås en parameterfremstilling med t som parameter for den nævnte cirkel med radius r og centrum i (R, 0). For fast t fås en parameterfremstilling med s som parameter for den for den cirkel som fås ved drejning af det til t hørende punkt på cirklen om z-aksen. Så er vi nået til af definere topologier på rum af funktioner der har værdier i et topologisk rum. 59. Definition (Forberedelse) Lad X være et topologisk, M en mængde. Lad F betegne F(M, X). Lad B være en basis for topologien på X og lad K være en familje af delmængder af M. For B B og K K sætter vi B(K, B) = {f F(M, X) : f(k) B}, som vi kalder elementærbasismængden frembragt af B og K. En fællesmængde af endelig mange elementæromegne kalder vi en kombibasismængde. Betegnelsen B(B 1, K 1 ;... ; B n, K n ) giver sig selv. Endelig lader vi B(B, K) betegne mængden af kombibasismængder. 60.Sætning (Forberedelse) Med betegnelserne fra forrige definition har vi at B(B, K) er basis for en topologi på F 21

Bevis :Det er oplagt at fællesmængden af to kombibasismængder selv er en kombibasismængde. 61. Definition (Topologien for K-konvergens) Vi kalder topologien svarende til den i foregående sætning nævnte basis for K-åben topologien på F. Vi vil også (her og mellem os!) kalde den topologien for K-konvergens. 62. Bemærkning (Analogier.) Der er en oplagt analogi til den situation, hvor topologien på X er induceret af en familje af kvasimetrikker og B er mængden af kombikugler og K. Men bemærk at denne situation ikke er et specialtilfælde af ovenstående definition. I almindelighed altså. Det kan dog være at de frembragte topologier er ækvivalente når der er specielle ekstrabetingelser opfyldt. Mere herom længere fremme. Vi venter stadig på kompakthed. 22

5: Kompakthed For en ordens skyld skal det anføres at vi benytter betegnelserne familje og system i samme betydning som ordet mængde. Vi gør det for at få lidt sprogligt råderum. Vi vil dog bruge dem i bestemte situationer, som det forhåbentlig fremgår af sammenhængen. 63. Definition (Overdækning, deloverdækning) Vi siger at et system M af delmængder af en mængde M er en overdækning af delmængden A M hvis A M. Et delsystem som også er en overdækning kaldes en deloverdækning. En overdækning med endelig mange mængder kaldes en endelig overdækning. En overdækning med åbne mængder kaldes en åben overdækning etc. 64. Definition (Kompakt delmængde) Lad X være et topologisk rum, og A en delmængde af X. Vi siger da at A er kompakt hvis der til enhver åben overdækning af A findes en endelig deloverdækning. 65. Bemærkning (For metriske rum definerer man at en delmængde er kompakt hvis der til enhver følge på mængden findes en delfølge som er konvergent med grænsepunkt i mængden. Derefter viser man at denne betingelse er ensbetydende med ovenstående definition. Beviset herfor er slet ikke simpelt. En grund til at vælge det andet alternativ ved generalisering til topologiske rum er at de to betingelser ikke i almindelighed er ækvivalente, og at det er den anden definition som giver det vi er ude efter. Nå ja, hvad er vi ude efter? Vi vil gerne generalisere resultatet om at en kontinuert reel funktion på en kompakt mængde har et maksimum og et minimum. Og resultatet at en kontinuert bijektion af en kompakt mængde er en homeomorfi. ) 66. Definition (Forfinelse af filtrerende system.) Lad F 1 og F 2 være filtrerende systemer på X. Vi siger at F 2 er en forfinelse af F 1 hvis enhver mængde i F 1 indeholder en mængde fra F 2. 67.Sætning (Forfinelse respekterer konvergens) Hvis F 2 er en forfinelse af F 1 og F 1 a da vil F 2 a Bevis :Simpel øvelse. 68. Definition (Fortætningspunkt for et filtrerende system) Et punkt a kaldes et fortætningspunkt for det filtrerende system F hvis enhver basismængde som indeholder a rammer enhver filtermængde. 69. Bemærkning (Forbindelsen til metriske rum) Et fortætningspunkt er altså et punkt som vi bliver ved med at komme i nærheden af, uden nødvendigvis at blive suget ind af. Ligegyldigt hvor tæt (B) på a vil du kunne være så tæt på a ligegyldigt hvor langt ude i halen (F ) du er. 23

70.Sætning (Karakterisering af fortætningspunkterne) Mængden af fortætningspunkter for et filtrerende system F er fællesmængden af afslutningerne af mængder i F, altså mængden F F A(F ) Bevis : Lad a være et fortætningspunkt. Lad F F. Da enhver basismængde indeholdende a rammer F må a A(F ). Derfor er a element i den anførte fællesmængde. Lad så a være element i den anførte fællesmængde. Lad F F og B B a. Da a A(F ) må F ramme B. Da F og B var vilkårlige er a et fortætningspunkt. 71.Sætning (Karakterisering af fortætningspunkter) a er fortætningspunkt for F hvis og kun hvis der findes en forfinelse F 1 af F med a som grænsepunkt. Bevis : Lad a være et fortætningspunkt. Vi betragter systemet F 1 = {B F : B B, f F}. Dette er er et filtrerende system: mængderne er ikke tomme da a er et fortætningspunkt. Resten er elementært. Systemet er oplagt en forfinelse af F og det konvergerer mod a. Lad så a være grænsepunkt for et filtrerende system F 1, som er en forfinelse af F. Lad B B a og F F. Da findes F 1 F med F 1 F 1. På grund af konvergensen findes F 2 F 1 så F 2 B. Endelig findes F 3 F 1 med F 3 F 1 F 2. Derfor er F B ikke tom og derfor er a et fortætningspunkt for F. 72.Sætning (Karakteriseringer af kompakthed) Lad A være en delmængde af X. Da er følgende udsagn ensbetydende (1): A er kompakt (2): Ethvert filtrerende system på A har et fortætningspunkt i A (3): For ethvert filtrerende system på A findes en konvergent forfinelse med grænsepunkt i A 24

Bevis : Bevis for at (1) medfører (2). Antag at (1) er opfyldt. Lad F være et filtrerende system på A. Antag at F ikke har fortætningspunkter i A, altså at mængden ( F F AF ) A er tom. Betragt nu systemet { A(F ) : F F}. Dette system består af åbne mængder. Desuden er det en overdækning af A, idet ( F F A(F ) ) A = ( F F A(F ) ) A = A = X A = A Der findes derfor en endelig deloverdækning. Lad F 1,..., F n F være valgt således at { A(F 1 ),..., A(F n )} er en overdækning af A. I så fald er A(F 1 )... A(F n ) A og følgelig A(F 1 )... A(F n ) A =. Videre får vi at A(F 1 )... A(F n ) = A(F 1... F n ) Heraf slutter vi at F 1... F n =, men dette er i strid med at F er et filtrerende system på A. Vi har altså ved et indirekte bevis vist at der må eksistere fortætningspunkter. Og så har vi at (2) er opfyldt. Bevis for at (2) medfører (1). Antag at (1) ikke er opfyldt. Lad da O være en åben overdækning af A uden nogen endelig deloverdækning. Lad F være det system som fremkommer ved at tage enhver komplementærmængde til foreningsmængden af endelig mange mængder fra O, altså F = { (O 1... O n ) : O 1,..., O n O, n N}. Antagelsen om at der ikke findes endelige deloverdækninger betyder da at ingen af mængderne i F er tomme. Man kan nu simpelt checke at F er et filtrerende system. Mængderne i F er afsluttede da det er komplementærmængder af åbne mængder. Derfor vil mængden, T, af fortætningspunkter for F være fællesmængden af alle filtermængderne, altså T = { O 1... O n ) : O 1,..., O n O, n N} = Da O er en åben overdækning af A har vi da at T A = Derfor er (2) ikke opfyldt og vi har bevist at (2) medfører (1). Bevis for at (2) medfører (3). Antag at (2) er opfyldt. O O O = O O O. Antag at F er et filtrerende system på A. Da (2) er opfyldt kan vi bestemme et fortætningspunkt i A(A). Men ethvert fortætningspunkt er grænsepunkt for et filtrerende system fremkommet ved forfining. Derved har vi vist at (3) er opfyldt. Bevis for at (3) medfører (2). Antag at (3) er opfyldt. Hvis F 1 er en forfining af det filtrerende system F da vil ethvert grænsepunkt for F 1 være et fortætningspunkt for F. Heraf følger at (3) medfører (2). Men vi har heldigvis nok til at bevise hovedsætningen om kompakthed: 25

73.Sætning (Kontinuert billede af kompakt er kompakt) Lad f : X Y være kontinuert og lad A være en kompakt delmængde af X. delmængde af Y Da er f(a) en kompakt Bevis : Beviset er så simpelt at man tror det er snyd. Man skal blot på meget simpel vis benytte definitionerne af kontinuitet og kompakthed: En åben overdækning af f(a) trækkes tilbage til en åben overdækning af A, som kan udtyndes og dermed giver en udtynding af den givne overdækning. Udfør detaljerne. Den egentlige hovedsætning er følgende korollar: 74.Sætning (Reel funktion antager maximum og minimum på en kompakt mængde) Bevis : f(a) er en kompakt delmængde af R. Som vi ved fra teorien om metriske rum så er f(a) derfor afsluttet og begrænset, hvoraf påstanden følger. Nu skal vi have nogle regneregler for kompakte mængder: 75.Sætning (Afsluttet del af kompakt er kompakt) Lad A være en afsluttet delmængde af X. Antag at C er kompakt og afsluttet og at A C. Da er A kompakt. Bevis : Lad F være et vilkårligt filtrerende system på A. Efter antagelserne vil F have et fortætningspunkt i C. Dette fortætningspunkt må ligge i A da A er afsluttet. Dermed har vi vist at A er kompakt. 76.Sætning (Endelige foreningsmængder og fællesmængder) En foreningsmængde af endelig mange kompakte delmængder er kompakt. Bevis :øvelse 26