UPERLEDNING af Mihael Bix Pedesen Indledning I denne note foudsættes kendskab til de eleentæe egenskabe ved hödingeligningen (se fx Refeene [] elle [3], lidt eleentæe egenskabe ved koplekse tal og Eules ligning (se fx Refeene [6] ). Endvidee skal an have læst upeledende elektone A/ af Pe Hedegåd [5]. Den supeledende tilstand e et akoskopisk kvantefænoen. Heved fostås, at de kvanteekaniske effekte so elles noalt e skjulte og skøbelige nu ha akoskopiske konsekvense, de kan ækes og ses. En supelede kan beskives ved hjælp af en akoskopisk bølgefunktion. Hvo an i fx bintatoet beskive en enkelt elektons bevægelse ved hjælp af en bølgefunktion å an ved beskivelsen af den supeledende tilstand benytte en bølgefunktion de beskive den salede vikning af hele det supeledende kondensat (en odnet bevægelse af alle elle næsten alle valenselektonene i det supeledende ateiale). Den akoskopiske bølgefunktion e eget ee obust end en enkelt elektons bølgefunktion, fodi den e udtyk fo en salet, kollektiv vikning af et eget stot antal elektone. Lige so an kan tage en kystal og vende og deje den ed sine hænde uden at kystallen byde saen, findes de også håndtag hvoed an kan tække i den akoskopiske bølgefunktion (se unde osephson-effekten) uden at bølgefunktionen (og deed den supeledende tilstand) byde saen (kollabee). LONDON-LIGNINGERNE I kvanteekanikken opdage an, at an ikke kan buge det sædvanlige udtyk fo ipulsen, nå fx en elekton bevæge sig i et agnetisk felt. Man skal i stedet benytte den såkaldte kanoniske ipuls, so e den sædvanlige kinetiske ipuls plus et eksta bidag so gundlæggende skyldes tilstedevæelsen af et agnetisk felt: Den kanoniske ipuls e givet ved (L-1) p = v qa hvo A e det såkaldte vektopotential og q e ladningen af patiklen. Det e et felt på sae åde so det agnetiske felt, og de gælde, at an få det velkendte B-felt ved at tage otationen af vektopotentialet : A = B, og an kan defo sige at de uden o A-feltet sno sig et agnetisk felt. Hvis vektopotentialet ænde sig i tiden, dannes et elektiske felt: A = E t Dette e faktisk Faadays lov (induktionsloven). Man kan se det ved at tage otationen på begge side af ligningen: A B = E = E t t I afsnittet Det skjulte felt, s. 11-11 i Ref. [5] e det faktisk vektopotentialet, de e det skjulte felt. Heeligheden e, at vektopotentialet påvike bølgefunktionens fase, nå an sende en elekton en tu undt o et sted hvo de e et A-felt, og det kan ses ved at elektonbølgen lave
intefeens ed sig selv. I en supelede et det endda elativt net at se fænoenet (se afsnittet "fluxkvantiseing" i denne note. Man kan læse en ee udfølig foklaing af fænoenet i Feynan Letues bd. II, s. 15-7 til 15-14 øvest []. Den tyske fysike Fitz London opdagede i 1935 saen ed sin bo Heinz, at (L-1) plus en enkelt eksta antagelse o supeledeens bølgefunktion kan foklae Meissneeffekten. Uden påtykt agnetfelt foventes (eget natuligt) en gundtilstand af supeledeen ed den totale ipuls nul: = p Hvis nu bølgefunktionen på en elle anden åde ha en stivhed i sig (so Meissneeffekten jo indikee), og bevae sin fo så p = også nå de påtykkes et felt, å vi defo have at (L-) = ea. v og den supeledende stø å væe givet ved n e (L-3) = n e v = A Med London-ligningen (L-3) i hånden kan vi nu foklae både supeledning og Meissneeffekt: Pefekt konduktivitet (supeledning) Hvis an nu diffeentiee (L-3) på begge side fås (idet (L-5) d dt ne = d A ne = dt E A = E ) at t hvilket betyde at støen ed tiden vokse popotionalt ed et påtykt elektisk felt. Dette e jo i vikeligheden Newtons anden lov fo de supeledende elektone, so gnidningsfit blive aeleeet. Ud ove de supeledende elektone e en vis del, n N, af den salede ængde elektone i supeledeeen noale, dvs. de kan kollidee ed gitteionene og ed hinanden, og de opføe sig defo helt so elektonene i en noal odstand: n e N τ (L-6) N = E hvilket e den velkendte Ohs lov i en lidt anden foklædning. di Tilsvaende e induktionsloven (Faadays lov) L = V jo bae ligning (L-5) i foklædning. dt Man kan defo opfatte supeledeen so vist på ækvivalentkedsløbet heunde, dvs. so en spole i paallel ed en odstand. L R
Den supeledende del af elektonene ha ingen odstand en en vis induktans L, ens den noale del af elektonene ha en odstand R i paallel ed induktansen. Nå det elektiske felt påtykkes supeledeen vil støen føst få den noale del af elektonene til at bevæge sig, en i løbet af kot tid ha E-feltet aeleeet de supeledende elektone op. Den kaakteistiske tid fo denne poes vil væe 13 L nnτ 1 1 s (L-7) = = τ R n ( T T ) / T nn hvo de efte sidste lighedstegn e indsat hvoledes afhænge af tepeatuen og tillige indsat n en typisk vædi fo τ. En sådan typisk vædi fo τ findes ved at beæke, at n e N = σ E, hvo konduktiviteten N τ σ =, dvs. at an kan skive elaxationstiden (gennesnitstiden elle to kollisione fo en given elekton) τ so τ =, hvo ρ e esitiviteten af stoffet. Typiske vædie fo elaxationstiden ved 77 K ligge n e ρ N 13 oking 1 1 s. Pefekt diaagnetise (Meissne-effekten) London ligningen sige jo, at n e = A Hvis an tage otationen på begge side af denne ligning fås n e ne (L-8) = A = B På den anden side ha vi en af Maxwell ligningene (Apee s lov; uden o en stø sno de sig et agnetfelt): (L-9) 1 = B µ og tage an otationen på begge side af ligningen fås (L-1) 1 1 = B = µ µ B ættes endvidee (L-1) lig ed (L-8) fås: 1 (L-11) B B = λ hvo 1 µ n e (L-1) λ = Det e ikke svæt at løse ovenstående diffeentialligning (L-11) i fx een diension. Resultatet blive at agnetfeltet aftage eksponentielt fa sin fulde vædi uden fo supeledeen, og den kaakteistiske afstand ove hvilken B-feltet aftage inde i supeledeen e defo givet ved λ, og
benævnes indtængningsdybden. Typiske vædie fo indtængningsdybden e 1-1 Å (afhængigt af tepeatuen). Meissneeffekten kan altså fostås ved, at nå supeledeen påtykkes et agnetfelt, induees de en afskæningsstø i det ydeste, tynde lag af supeledeen og afskæningsstøen e pæis så sto, at det agnetfelt so den danne, ophæve det påtykte agnetfelt. Endelig skal an beæke, at an godt kan have pefekt konduktivitet (en "supe-god lede", dvs. et ateiale uden odstand) uden defo at have Meissne-effekten. e på nedenstående figu. En supe-god lede vil nå den blive skubbet ind i et agnetfelt se et agnetfelt de ænde sig, og defo ifølge induktionsloven geneee en stø, de danne et agnetfelt, de odvike det påtykte felt. Hvs den supe-gode lede deiod køles ned ens de e påtykt et agnetfelt, vil de ikke væe nogen ænding i agnetfeltet, og agnetfeltet vil defo stadig gennetænge den supegode lede. Fo en igtig supelede skubbes agnetfeltet deiod ud af supeledeen, i sae øjeblik so tepeatuen nå unde den kitiske tepeatu. GINZBURG-LANDAU TEORIEN Indledning Ginzbug-Landau teoien blev udviklet af de ussiske fysikee Vitaly Ginzbug og Lev Landau i begyndelsen af 195 ene. Den e et estestykke i fysisk intuition. Baseet på de tidligee efainge fa London-ligningene og det faktu at den supeledende tilstand å væe beskevet ved en akoskopisk bølgefunktion, kunne Ginzbug og Landau ved en ække snedige og eget geneelle aguente udlede en ligning, eget svaende til hödingeligningen fo en elekton, so den akoskopiske bølgefunktion å adlyde. Faseovegang og Ginzbug-Landau teoi Ved en faseovegang gå et stof fa en ee syetisk fase (høj tepeatu) til en inde syetisk fase. Et eksepel kunne væe flydende vand (tænk på vand i en kugle det e otationssyetisk). Nå vandet fyse til is blive det faktisk inde syetisk (det iste sin otationssyeti). De opstå pludselig (ved nul gade elsius) en etning, so vi kan beskive ved en etningsvekto, en odenspaaete. Ved en (feo)agnetisk faseovegang odne atoenes spin, de elles ha peget i alle ulige etninge, og pege nu alle i sae etning. He vil odenspaaeteen væe en vekto, de angive agnetfeltets etning. Nå et stof blive supeledende, å det skyldes, at den supeledende fase ha en lavee enegi end den noale, etalliske fase. Nå den supeledende tilstand indtæde ved en bestet tepeatu, få odenspaaeteen, de kaakteisee den supeledende tilstand, en vædi, de e foskellig fa nul. I supeledning e odenspaaeteen den akoskopiske bølgefunktion, so ha en aplitude Ψ og en fase ϕ : (GL-1) iϕ Ψ = Ψ e Tæt ved ovegangstepeatuen å absolutvædien af odenspaaeteen, Ψ, væe lille. Hvis de ikke e nogen elektiske elle agnetiske felte i supeledeen, å foskellen i enegi elle noaltilstanden og den supeledende tilstand da kunne skives so en potensække (GL-) F F N = α ψ + β ψ 4
Man kan ikke benytte potense af Ψ da enegien skal væe et eelt tal (an kan ikke slippe uden o dette ved at nøjes ed at tage ealdelen af Ψ, da enegien i supeledeen ikke kan afhænge af selve fasen). Man kan helle ikke benytte ulige potense af Ψ, da sådanne vil esultee i et ufysisk knæk i enegifoskellen. Altså e de kun tilbage at benytte lige potense af Ψ, og de to føste led e angivet i folen heove, og det vil væe tilstækkeligt hvis Ψ e lille. Koeffiientene skal så bestees, en an skal huske på, at de afhænge af tepeatuen. 1 Ginzbug-Landau enegifoskellen fo T>T ( α > ). Fo enkelheds skyld e det antaget at Ψ e eel. α Ginzbug-Landau enegifoskellen fo T<T ( < ). Det ses, at enegien nu e lavest fo en vædi af Ψ so e foskellig fa nul; Den akoskopiske bølgefunktion (odenspaaeteen) e defo foskellig fa nul i den supeledende fase, en nul i den noale fase (se foegående figu). Desuden ha vi fa kvanteekanikken det geneelle udtyk fo støtætheden (he ålt i A/ ) [3]: e h e ( ) = ( ψ ψ + ψ ψ ) ψ A i og indsættes udtykket (GL-1) fo den akoskopiske bølgefunktion, fås at støtætheden blive e h ( e ) (GL-6) = ( ϕ) ψ A e og e paaete, de angive ladning og asse af de supeledende elektone. Egentlig skulle an to at det bae va e og, so det e tilfældet fo en fi elekton, en so Badeen, Coope og
hieffe viste, danne elektonene pa, så vi skal faktisk sætte e = e og =, en det e ikke så afgøende fo de følgende aguente. Lad os nu betagte det tilfælde hvo ψ e konstant og A e lille. Vi kan fotolke ψ so tætheden af supeledende elektonpa, så n ψ = (vi e igen lidt bagkloge, og ved at elektonene danne pa). Antag endvidee, at de ikke e nogen ænding af fasen af den akoskopiske bølgefunktion genne supeledeen (supeledeen e hoogen). å e det føste led på høje side i (GL-6) nul (vi skal i afsnittet o osephsoneffekten se, at an også kan få en supestø, hvis føste led i (GL-6) ikke e nul, ens andet led i (GL-6) e nul). Defo følge af foel (GL-6), at e ( ) n ( e ) (GL-7) = ψ A = A en det e jo Londons ligning (L-3)! Fa ekspeiente ved an iøvigt, at 4 T T n n = 1 n (1 ) T T hvo gælde fo T unde, en tæt på T og hvo n e tætheden af supeledende elektone nå T (alle ledningselektone vil så deltage). Ved hjælp af Ginzbug-Landau teoien kan vi foklae næsten alle de kaakteistiske fænoene, de, udove pefekt konduktivitet og Meissneeffekt, optæde i supeledning, fx kitisk stø, osephson-effekten, fluxkvantiseing og kitisk agnetfelt (type I og type II supeledee) og i det hele taget fostå supeledning so en faseovegang. Pefekt konduktivitet (supeledning) Da (GL-7) jo netop gav Londons ligning (L-3), kan vi foklae den pefekte konduktivitet ved at følge det alleede givne aguent i London-afsnittet. Pefekt diaagnetise (Meissne-effekten) Ligning (GL-7) gav jo netop London ligningen (L-3), så vi kan bae følge det unde Londonafsnittet alleede givne aguent fo at foklae Meissneeffekten! Kitisk agnetfelt Nå an lægge et agnetfelt hen ove supeledeen vil den fo ikke fo kaftige agnetfelte skubbe agnetfeltet væk. Fo et vis kitisk vædi af agnetfeltet, B, vil det ikke enegiæssigt kunne betale sig fo supeledeen at holde agnetfeltet ude, og den blive i stedet noal. Fa ekspeiente ved an, at det kitiske agnetfelt afhænge på følgende åde af tepeatuen (nå T<T ): T B = B () 1 T hvo B () e det kitiske agnetfelt fo T (se figu heunde).
B Noal B () B (T) upeledende T upeledee kan deles i to hovedtype, afhængigt af hvoledes de eagee på kaftige agnetfelte. Type I supeledee blive sipelthen noale nå en bestet vædi, B 1, af det kitiske felt nås. Type II supeledee foblive supeledende også fo felte ove B 1. De ske en delvis indtængen af agnetfeltet i så fluxlinje (hve ed et fluxkvantu igenne sig), de sidde odnet i et tekantsønste. Oking fluxlinjene e de afskæningsstøe. Fo en støe kitisk felt, B, blive også type II supeledee noale. De nye høj-tepeatu supeledee e type II. Kitisk stø Nå an øge støen genne supeledeen, øges også det af støen dannede agnetfelt. Fo en bestet vædi af støen blive det dannede agnetfelt støe end det kitiske felt, og supeledeen holde op ed at væe supeledende, og gå ove i den noale tilstand. Fa Ginzbug-Landau teoien kan an udlede en foel fo den kitiske støtæthed i en 3 T supelede. vaet e, at = () 1, hvo () e den kitiske stø nå T. Hvis T T 3 T e lige unde T kan an benytte tilnæelsen ( ) 1. T OEPHON-EFFEKTEN osephson effekten ud fa Ginzbug-Landau teoi Vi se på to supeledee, de e adskilt fa hinanden ved et tyndt lag af en isolato (typisk 1- Å tykt). Klassisk set skulle det ikke væe uligt at få en stø genne en sådan fobindelse, en pga. den kvanteekaniske tunneleffekt [3] kan det alligevel lade sig gøe. Endnu ee beækelsesvædigt e det, at an også kan få en supeledende stø genne baieen. En sådan fobindelse elle to supeledee ha også en ække ande beækelsesvædige egenskabe, so blev opdaget i staten af 196 ene af bl.a. englændeen Bian osephson og aeikaneen Philip Andeson. De to supeledee å hve have en akoskopisk bølgefunktion: iϕ1 (-1) Ψ = e fo den venste supelede og 1 Ψ
iϕ (-) Ψ = e fo den høje supelede. Ψ På gund af den kvanteekaniske tunneleffekt e de en endelig sandsynlighed fo at elektonpa kan tunnelee igenne den isoleende baiee. Man kan fostå det ved at odenspaaeteen ha ikke falde bat til vædien nul lige ved isolatoen, en aftage blødt. e figuen heunde: L Ψ Ψ upelede 1 upelede Hvis de skal væe en blød ovegang fa den ene supelede til den anden, skal de to bølgefunktione hægtes pænt saen, fx. so: Iψ e iϕ 1 Reψ x e iϕ x x (-3) Ψ( x ) = (1 ) Ψ1 + Ψ L L tøen kan nu beegnes via det geneelle udtyk fo den kvanteekaniske sandsynlighedsstø (se (GL-6)): eh i (-4) ( Ψ Ψ Ψ Ψ ) = Ψ sin ϕ eh = det vil sige e 1 (-5) = sin ϕ, hvo = h Ψ L hvilket e den føste osephson-ligning. Den sige, at an kan få en supestø genne en kontakt bestående af to supeledee so e adskilt af et ikke fo tykt isolatolag. Beæk, at supestøen løbe elle de to supeledee, uden at de e påtykt nogen spænding V ove kontakten. Dette kaldes også d-osephson effekten. I 1 L I-V kaakteistik, de vise d osephson effekten (en stø løbe fo V=). Fo støe spændinge V opføe osephsonkontakten sig so en sædvanlig odstand. V
Hvad ske de nu, hvis vi påtykke en spændingsfoskel V hen ove kontakten? a, så vil elektonene i et Coopepa have højee enegi på ene side af kontakten end på den anden. Enegifoskellen vil væe E = qv =ev. Fa kvanteekanikken vides [],[3], at bølgefunktionens tidsafhængighed helt geneelt kan skives so i Et (-6) Ψ( t) = Ψe hvo E e enegien, so vi i dette tilfælde så va (-7) E = ev Vi få defo, at i Et i ϕ h (-8) Ψ = Ψe = Ψe og da eksponentene i eksponentialfunktionen skal væe ens fås, at ev (-9) ϕ = t, h således at an ved diffeentiation få d ϕ ev (-1) = dt h hvilket e den anden osephson ligning. Den fysiske fotolkning af denne ligning e, at fasen i hve supelede deje undt, en ikke ed sae fekvens. De opstå defo en tidsafhængig fasefoskel, så den esulteende stø genne kontakten e skiftevis ettet od venste og od høje, altså en vekselstø. En påtykt dspænding esultee defo i en a-vekselstø. Dette kaldes også a-osephson effekten. Det kan net ses at de fekoe en vekselsstø, nå an indsætte ligning (-9) i ligning (-5), hvoved fås ev (-11) = sin t = sin( ω t) h ev Fekvensen ω = benæves osephsonfekvensen. Fo en spænding på 1 µ V e denne fekvens h 483,6 MHz. Da de e tale o supeledende elektone e de ikke nogen odstand og deed intet enegitab ved selve tanspoten af Coopepaet fa den ene kontakt til den anden, så enegigevinsten ev ved hele tiden ved hjælp af vekselspændingen at flytte et Coopepa fe og tilbage igenne kontakten å selvfølgelig dukke op et elle andet sted, og vi fovente (lidt på sae åde so en elekton de spinge fa et eneginiveau til et andet) at det å væe i fo af en foton. Fa kontakten vil de defo blive udsendt ikobølgefotone. I paksis e disse svæe at detektee, da effekten hvoed fotonene udsendes e et lille. Det lykkedes dog at se effekten et pa å efte osephsons teoetiske foudsigelse. Man kan også undesøge hvad de ske, hvis an lægge en vekselspænding ove kontakten oven i den konstante d-spænding dvs. V = V os t V 1 ω + 1. Indsættes nu dette udtyk i (-5) fås ev (-1) ϕ( t) = ω 1 t + sin( ω1t ) + ϕ hω1 Hvis ovenstående udtyk fo fasen indsættes i folen den føste osephson ligning, - fås ev1 (-13) = ( ) sin ω t + sin ω1t + ϕ = n (ev1 / hω1) sin( ω t ± nω1t + ϕ ) hω1 n
hvo n (x) e den odinæe Besselfunktion af n te oden (ikke at foveksle ed den aksiale supestø!) og hvo vi ved det sidste lighedstegn ha benyttet en foel, de gælde fo odinæe Besselfunktione [ 7 ]. Resultatet betyde at osephson-kontakten blande ultipla af den påtykte fekvens ed den fo kontakten kaakteistiske osephson-fekvens ω. peielt kan an betagte tilfældet ω = nω1 : se på det sidste led i (-13). Det vil da ikke afhænge af tiden, og de vi væe en d-supestø! upestøen vil have støelsen n ( ev1 / hω1) sin( ϕ ) og de vil væe en konstant supestø hve gang betingelsen ω = nω1 e opfyldt. Dette ske fo spændinge, de opfylde betingelsen nhω (-14) V = 1. Fo en bestete vædie af spændingen V fås altså en konstant stø, selv o de e e påtykt en vekselspænding! I Den invese a osephson effekt: Fo bestete vædie af V ( supestø. V V n ω = h 1 ) opnås en konstant e Med osephsoneffekten ha vi nu endelig fået et håndtag hvoed vi kan hive og tække i odenspaaeteens fase. e fx på ligning (-9). He e spændingen V diekte koblet til fasefoskellen elle de to supeledee, og ved at egulee V, kan vi påvike odenspaaeteens fase. FLUXKVANTIERING Ligning (GL-6) gee i sig et fænoen, de e næsten lige så beækelsesvædigt so Meissneeffekten. Betagt en ingfoet supelede so vist på figuen heunde. Integeé undt langs en vej de ligge dybt inde i selve supeledeen (hvo B-feltet e nul) og so oslutte hullet i ingen (den stiplede linje på figuen). Da afskæningsstøen løbe i det ydeste, tynde lag af supeledeen, å de gælde at
v e eh (F-1) = d = A + ϕ d Vi ha defo pga. tokes sætning (se efeene [] elle [4]), at (F-) A d = A d = B d = Φ He e Φ den agnetiske flux, de osluttes af ingen. Da bølgefunktionen kun kan have een bestet vædi i et givet punkt, å bølgefunktionens fase ændes ed π hve gang an gå en tu undt: (F-3) ϕ d = ϕ = π n, hvo n e et helt tal.hvis ligning (F- ) og (F-3) kobinees, fås slutesultatet nh (F-4) Φ = = nφ e tøelsen Φ benæves fluxkvantet. Det ses, at den agnetiske flux, de gennetænge supeledeen, kun kan antage bestete heltallige vædie (ultipla af fluxkvantet)! Fluxkvantiseing e blevet obseveet i både konventionelle supeledee og højtepeatu supeledee, og det e et af de bedste bevise på, at an skal benytte en kopleks odenspaaete, nå an skal beskive en supelede. [1] Mihael Tinkha: Intodution to upeondutivity, MGaw-Hill Int. (1975) [] Rihad Feynan: The Feynan Letues in Physis I-III, [3] Moten haff: Intoduktion til kvanteekanik, Akadeisk folag (1971) [4] Reitz, Milfod and Chistie Foundations of Eletoagneti Theoy), 3.ed, Addison-Wesley (1979) [5] Pe Hedegåd: Foenede elektone A/, Nysyn eien (1991) [6] L. olya and D. Walsh: Letues on the Eletial Popeties of Mateials,.ed, Oxfod Univesity Pess (1979) [7] A. Baone, G. Pateno: Physis and Appliations of the osephson Effet, Wiley and ons (1984), s. 9 1 Hvis supeledeen e i et agnetfelt blive udtykket fo enegifoskellen lidt ee koplieet: F 4 1 h FN = α ψ + β ψ + ( e A) ψ + i B µ Den fie enegi kan iniees ht. ψ, hvilket esultee i Ginzbug-Landau ligningen (vi kan dog ikke bae diffeentiee løs. De e he tale o et såkaldt vaiationsegningspoble. Vi vil ikke diskutee det næee he, en et oveskueligt, genneegnet eksepel kan findes i efeene [6]):
h Ψ e A i 1 (GL-4) α + β Ψ Ψ + ( ) Ψ = Hvis an flytte lidt undt på leddene i ligningen se den sådan ud: 1 h (GL-5) ( e A) Ψ = ( α + β Ψ )Ψ i so det ses inde ligningen en hel del o hödinge-ligningen (hvis an se bot fa β -leddet og identifiee α ed E e den faktisk agen til hödinge-ligningen). Man kan nu løse denne ligning i en hel ække foskellige situtatione og deved finde ud af hvodan supeledeen opføe sig. Bl.a. kan an i detalje undesøge hvoledes agnetfeltet delvis tænge ind i supeledeen i type II supeledee.